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中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇附答案解析

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中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇及详细答案

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇及详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12，所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩， 则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN=12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值；（3）如图2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x轴、PD⊥x轴，∴∠DPE=90°，若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，则当y=6时，﹣12x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即点P（4，6）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.2．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣12，﹣94a）；（2）2732748aa--；（3）2≤t＜94．【解析】【分析】（1）把M 点坐标代入抛物线解析式可得到b 与a 的关系，可用a 表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D 的坐标；（2）把点M （1，0）代入直线解析式可先求得m 的值，联立直线与抛物线解析式，消去y ，可得到关于x 的一元二次方程，可求得另一交点N 的坐标，根据a ＜b ，判断a ＜0，确定D 、M 、N 的位置，画图1，根据面积和可得△DMN 的面积即可；（3）先根据a 的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH 与抛物线只有一个公共点时，t 的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t 的值，可得：线段GH 与抛物线有两个不同的公共点时t 的取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax 2+ax+b 有一个公共点M （1，0），∴a+a+b=0，即b=-2a ，∴y=ax 2+ax+b=ax 2+ax-2a=a （x+12）2-94a ， ∴抛物线顶点D 的坐标为（-12，-94a ）； （2）∵直线y=2x+m 经过点M （1，0），∴0=2×1+m ，解得m=-2，∴y=2x-2，则2222y x y ax ax a -⎧⎨+-⎩＝＝， 得ax 2+（a-2）x-2a+2=0，∴（x-1）（ax+2a-2）=0，解得x=1或x=2a-2， ∴N 点坐标为（2a-2，4a -6）， ∵a ＜b ，即a ＜-2a ，∴a ＜0， 如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ，∵抛物线对称轴为122a x a =-=-， ∴E （-12，-3）， ∵M （1，0），N （2a-2，4a -6）， 设△DMN 的面积为S ， ∴S=S △DEN +S △DEM =12|（ 2a -2）-1|•|-94a -（-3）|=274−3a −278a ， （3）当a=-1时， 抛物线的解析式为：y=-x 2-x+2=-（x+12）2+94， 由222y x x y x ⎧=--+⎨=-⎩， -x 2-x+2=-2x ，解得：x 1=2，x 2=-1，∴G （-1，2），∵点G 、H 关于原点对称，∴H （1，-2），设直线GH 平移后的解析式为：y=-2x+t ，-x 2-x+2=-2x+t ，x 2-x-2+t=0，△=1-4（t-2）=0， t=94， 当点H 平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入y=-2x+t ，t=2，∴当线段GH 与抛物线有两个不同的公共点，t 的取值范围是2≤t ＜94．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M 的坐标得到b 与a 的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x 的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH 与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．3．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优 易错 难题篇及详细答案

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优 易错 难题篇及详细答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线2234323y x x =--+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；（3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可【详解】（1）∵23432333y x x =--+a=233-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=x+33-；联立两解析式求交点22343232323y=x+y x x⎧=--+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩或x=1y=0⎧⎨⎩，∴A（-2，23），B（1,0）；（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，在223432333y x x=--+中，令y=0可求得x= -3或x=1，∴C（-3,0），且A（-2，23），∴AC=22-++2133=（23）（）由翻折的性质可知AN=AC=13，∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，∴N在y轴上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=22AN-AD=13-4=3，∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2 ，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，∴∠ ACK=∠ EFH，在△ ACK和△ EFH中ACK=EFHAKC=EHFAC=EF∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK≌△ EFH，∴FH=CK=1，HE=AK=23，∵抛物线的对称轴为x=-1，∴ F点的横坐标为0或-2，∵点F在直线AB上，∴当F点的横坐标为0时，则F（0，23），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH-OF=23-23=43，即E的纵坐标为-43，∴ E（-1，-43）；当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵ C（-3,0），且A（-2，23），∴线段AC的中点坐标为（-2.5，3），设E（-1，t），F（x，y），则x-1=2×（-2.5），y+t=23，∴x= -4，y=23-t，23-t=-233×（-4）+233，解得t=43-3，∴E（-1，43-3），F（-4，1033）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-43）、（0，23）或E（-1，43-），F（-4，103）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题2．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 30），抛物线的对称轴为x 32）点P 的坐标为3034）；（33 【解析】试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的3，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：22390ax ax a --=，∵a ≠0，∴22390x x --=，解得：x =3x =33∴点A 30），B （330），∴抛物线的对称轴为x 3（2）∵OA 3OC =3，∴tan ∠CAO 3∴∠CAO =60°． ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO =33AO =1，∴点D 的坐标为（0，1）． 设点P 3a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2．当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 的坐标为（3，0）． 当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P 的坐标为（3，﹣4）． 综上所述，点P 的坐标为（3，0）或（3，﹣4）．（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：330m -+=，解得：m =3，∴直线AC 的解析式为33y x =+．设直线MN 的解析式为y =kx +1． 把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1k -，0），∴AN =13k-+=31k -． 将33y x =+与y =kx +1联立解得：x =3k -，∴点M 的横坐标为3k -．过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG =33k +-．∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG 33k +-2323k k --，∴11AM AN +323231k k k ---33232k k --3(31)2(31)k k --3 点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．3．在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线233(0)2y ax x a =-≠经过点3,3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C .（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标；（Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为2122y x x =-;抛物线的对称轴为直线2x =;（Ⅱ）P 点坐标为9(0,)4-;（Ⅲ）存在，Q点坐标为或(-，理由见解析【解析】【分析】（Ⅰ）将3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.（Ⅱ）先求出B 点胡坐标，要求PA PB +胡最小值，只需找到B 关于轴的对称点1B ，则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ，根据待定系数法求出AB 1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.（Ⅲ）设点Q 的坐标，并求出△AOQ 面积，从而得到△AOQ 面积，根据Q 点胡不同位置进行分类，用m 及割补法求出面积方程，即可求解.【详解】（Ⅰ）∵2(0)y ax x a =≠经过点3)A -，∴232a -=⨯-12a =， ∴抛物线的解析式为212y x x =，∵21222b x a =-=-=⨯ ∴抛物线的对称轴为直线2x =. （Ⅱ）∵点(0,0)O，对称轴为2x =， ∴点O 关于对称轴的对称点B点坐标为.作点B 关于轴的对称点1B，得1(B -，设直线AB 1的解析式为y kx b =+，把点3)A -，点1(B -代入得30b b⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得3494kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴3944y x=--.∴直线394y x=--与y轴的交点即为P点.令0x=得9y4=-，∵P点坐标为9(0,)4-.（Ⅲ）∵(3,3)A-，//AC x轴，∴3AC=，3OC=，∴11333322AOCS OC AC∆=⋅=⋅⋅=，又∵13AOC AOQS S∆∆=，∴933AOQ AOCS S∆∆==.设Q点坐标为2133(,)22m m m-，如图情况一，作QR CA⊥，交CA延长线于点R，∵93AOQ AOC AQROCRQS S S S∆∆∆=--=梯形，∴()21133113333322222mm m m⎛⎫⋅+-+-⋅⋅-⎪⎪⎭-⎝2133933222m m⎛⎫-+=⎪⎪⎝⎭，化简整理得23180m m--=，解得133m=，223m=-.如图情况二，作QN AC⊥，交AC延长线于点N，交x轴于点M，∵93AOQ AQN QMO OMNAS S S S∆∆∆=--=梯形∴2211331133(3m)3()2222m m m m m ⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭393(3)2m m --+-=，化简整理得23180m m --=，解得133m =，223m =-，∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-，∴抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=.【点睛】主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.4．如图，抛物线y=ax 2+6x+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y=x ﹣5经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标； ②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或412或5-41②点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．【解析】分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以2，接着根据平行四边形的性质得到2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到2PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（12，-52），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-15x+b，把E（12，-52）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-15x-125，则解方程组511255y xy x-⎧⎪⎨--⎪⎩＝＝得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=13+62x，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．详解：（1）当x=0时，y=x ﹣5=﹣5，则C （0，﹣5）， 当y=0时，x ﹣5=0，解得x=5，则B （5，0），把B （5，0），C （0，﹣5）代入y=ax 2+6x+c 得253005a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得15a b =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；（2）①解方程﹣x 2+6x ﹣5=0得x 1=1，x 2=5，则A （1，0）， ∵B （5，0），C （0，﹣5），∴△OCB 为等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵AM ⊥BC ，∴△AMB 为等腰直角三角形，∴AM=2AB=2×4=22， ∵以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，AM ∥PQ ， ∴PQ=AM=22，PQ ⊥BC ，作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，则∠PDQ=45°，∴222=4，设P （m ，﹣m 2+6m ﹣5），则D （m ，m ﹣5），当P 点在直线BC 上方时，PD=﹣m 2+6m ﹣5﹣（m ﹣5）=﹣m 2+5m=4，解得m 1=1，m 2=4， 当P 点在直线BC 下方时，PD=m ﹣5﹣（﹣m 2+6m ﹣5）=m 2﹣5m=4，解得m 15+41，m 25-41， 综上所述，P 点的横坐标为4或5+412或5-412； ②作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如图2，∵M1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1，∴∠AM1B=2∠ACB，∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，∴N（3，﹣2），易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（12，﹣52，设直线EM1的解析式为y=﹣15x+b，把E（12，﹣52）代入得﹣110+b=﹣52，解得b=﹣125，∴直线EM1的解析式为y=﹣15x﹣125解方程组511255y xy x=-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则M1（136，﹣176）；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），∵3=13+ 62x∴x=236，∴M2（236，﹣76）.综上所述，点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．二次函数y=x2-2mx+3（m＞）的图象与x轴交于点A（a，0）和点B（a+n，0）（n ＞0且n为整数），与y轴交于C点．（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC的面积；（2）求证：a=m-；（3）线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a的值．【答案】（1）y=x2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=−．【解析】试题分析：（1）①首先根据a=1求得A的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m的值即可确定二次函数的解析式；②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m，然后根据A、B两点关于x=m对称得到a+n-m=m-a，从而确定a、m、n之间的关系；（3）根据a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，求得m 的值即可确定a的值．试题解析：（1）①∵a=1，∴A（1，0），代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，∴y=x2-4x+3；②在y=x2-4x+3中，当y=0时，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，∴A（1，0）、B（3，0），∴AB=2再根据解析式求出C点坐标为（0，3），∴OC=3，△ABC的面积=×2×3=3；（2）∵y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，∴对称轴为直线x=m，∵二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B∴点A和点B关于直线x=m对称，∴a+n-m=m-a，∴a=m-；（3）y=x2-2mx+3（m＞）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m＞）①当a 为整数，因为n ＞0且n 为整数 所以a+n 是整数，∵线段AB （包括A 、B ）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n=2，∴a=m-1，∴A （m-1，0）代入y=（x-m ）2-m 2+3得（x-m ）2-m 2+3=0，∴m 2-4=0，∴m=2，m=-2（舍去），∴a=2-1=1，②当a 不是整数，因为n ＞0且n 为整数 所以a+n 不是整数，∵线段AB （包括A 、B ）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n=3，∴a=m-∴A （m-，0）代入y=（x-m ）2-m 2+3得0=（m--m ）2-m 2+3，∴m 2=， ∴m=，m=-（舍去）， ∴a=−，综上所述：a=1或a=−． 考点：二次函数综合题．6．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ．①求S 与m 的函数关系式；②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=--+.（2）3210+.（3）①2S m 4m 3=---.②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.【解析】【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可.【详解】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-.∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+.（2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值.∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小.∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴2，10.∴△PBC 的周长最小是：3210.（3）①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），∴直线AD 的解析式为y=2x+6∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+）∴()22EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---.∴()22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---.②()22S m 4m 3m 21=---=-++，∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）三点． （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P 为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC 面积为3，求点P 的坐标； （3）如图2，D 为抛物线的顶点，在线段AD 上是否存在点M ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x+3；（2）点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，（32-，32）或（34-，94），见解析. 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法，然后将A 、B 、C 的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式； （2））过P 点作PQ 垂直x 轴，交AC 于Q ，把△APC 分成两个△APQ 与△CPQ ，把PQ 作为两个三角形的底，通过点A ，C 的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积．（3）通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，∠AOM=∠CAB=45°，即OM 为y=-x ，若∠AOM=∠CBA ，则OM 为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM 与AD 的交点M ．【详解】（1）把A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）代入抛物线解析式y ＝ax 2+bx+c 得 93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2﹣2x+3．（2）如解（2）图1，过P 点作PQ 平行y 轴，交AC 于Q 点，∵A （﹣3，0），C （0，3），∴直线AC 解析式为y ＝x+3，设P 点坐标为（x ，﹣x 2﹣2x+3．），则Q 点坐标为（x ，x+3），∴PQ ＝﹣x 2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x 2﹣3x ．∴S △PAC ＝1PQ A 2O ⋅， ∴()213332x x --⋅=， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝﹣2．当x ＝﹣1时，P 点坐标为（﹣1，4），当x ＝﹣2时，P 点坐标为（﹣2，3），综上所述：若△PAC 面积为3，点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），（3）如解（3）图1，过D 点作DF 垂直x 轴于F 点，过A 点作AE 垂直BC 于E 点，∵D 为抛物线y ＝﹣x 2﹣2x+3的顶点，∴D 点坐标为（﹣1，4），又∵A （﹣3，0），∴直线AC 为y ＝2x+4，AF ＝2，DF ＝4，tan ∠PAB ＝2，∵B （1，0），C （0，3）∴tan ∠ABC ＝3，BC ＝10，sin ∠ABC ＝310，直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3． ∵AC ＝4，∴AE ＝AC•sin ∠ABC ＝310410⨯＝6105，BE ＝2105， ∴CE ＝310， ∴tan ∠ACB ＝2AE CE =， ∴tan ∠ACB ＝tan ∠PAB ＝2，∴∠ACB ＝∠PAB ，∴使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，如解（3）图2Ⅰ．当∠AOM ＝∠CAB ＝45°时，△ABC ∽△OMA ，即OM 为y ＝﹣x ，设OM 与AD 的交点M （x ，y ）依题意得：3y x y x =-⎧⎨=+⎩， 解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即M 点为（32-，32）． Ⅱ．若∠AOM ＝∠CBA ，即OM ∥BC ，∵直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3．∴直线OM 为y ＝﹣3x ，设直线OM 与AD 的交点M （x ，y ）．则依题意得：33y x y x =-⎧⎨=+⎩， 解得3494x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即M 点为（34-，94）， 综上所述：存在使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似的点M ，其坐标为（32-，32）或（34-，94）． 【点睛】 本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．8．已知矩形ABCD 中，AB =5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP=.如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动(不包含点C ).设动点M 的运动时间为t (s )，APM ∆的面积为S (cm ²)，S 与t 的函数关系如图②所示：(1)直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;(2)如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇(不包含点C )，动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm .①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2，10；(2)①2/6/3cm s v cm s ≤＜；②当154x =时，12S S ⋅取最大值2254. 【解析】【分析】（1）由题意可知图像中0~2.5s 时，M 在AB 上运动，求出速度，2.5~7.5s 时，M 在BC 上运动，求出BC 长度；（2）①分别求出在C 点相遇和在B 点相遇时的速度，取中间速度，注意C 点相遇时的速度不能取等于；②过M 点做MH ⊥AC ，则125MH CM == 得到S 1，同时利用12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形=15，得到S 2，再得到12S S ⋅关于x 的二次函数，利用二次函数性质求得最大值【详解】(1)5÷2.5=2/cm s ；（7.5-2.5）×2=10cm(2)①解：在C 点相遇得到方程57.5v = 在B 点相遇得到方程15 2.5v= ∴5=7.515=2.5v v⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 解得 23=5v v ⎧=⎪⎨⎪⎩ ∵在边BC 上相遇，且不包含C 点∴2/6/3cm s v cm s ≤＜ ②如下图12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形()()5152525751022x x ⨯-⨯-=---=15过M 点做MH ⊥AC ，则125MH CM == ∴112152S MH AP x =⋅=-+ ∴22S x = ()122152S S x x ⋅=-+⋅=2430x x -+ =215225444x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ 因为152.57.54＜＜，所以当154x =时，12S S ⋅取最大值2254. 【点睛】本题重点考查动点问题，二次函数的应用，求不规则图形的面积等知识点，第一问关键能够从图像中得到信息，第二问第一小问关键在理清楚运动过程，第二小问关键在能够用x 表示出S 1和S 29．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=12x 2+32x ﹣2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线l 经过A ，C 两点，连接BC ．（1）求直线l 的解析式； （2）若直线x=m （m ＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E ，与直线l 交于点D ，连接OD ．当OD ⊥AC 时，求线段DE 的长；（3）取点G （0，﹣1），连接AG ，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P ，使∠BAP=∠BCO ﹣∠BAG ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=122x--；（2）DE=3225；（3）存在点P（139，9881），使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得点A和点C的坐标，从而可以求得直线l的函数解析式；（2）根据题意作出合适的辅助线，利用三角形相似和勾股定理可以解答本题；（3）根据题意画出相应的图形，然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC=∠OCB，然后根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题．【详解】（1）∵抛物线y=12x2+32x-2，∴当y=0时，得x1=1，x2=-4，当x=0时，y=-2，∵抛物线y=12x2+32x-2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，∴点A的坐标为（-4，0），点B（1，0），点C（0，-2），∵直线l经过A，C两点，设直线l的函数解析式为y=kx+b，402k bb-+⎧⎨-⎩＝＝，得122kb⎧-⎪⎨⎪-⎩＝＝，即直线l的函数解析式为y=−12x−2；（2）直线ED与x轴交于点F，如图1所示，由（1）可得，AO=4，OC=2，∠AOC=90°，∴AC=25， ∴OD=45525=， ∵OD ⊥AC ，OA ⊥OC ，∠OAD=∠CAO ，∴△AOD ∽△ACO ，∴AD AO AO AC ＝， 即425AD ＝，得AD=85， ∵EF ⊥x 轴，∠ADC=90°，∴EF ∥OC ，∴△ADF ∽△ACO ，∴AF DF AD AO OC AC＝＝， 解得，AF=165，DF=85， ∴OF=4-165=45， ∴m=-45， 当m=-45时，y=12×（−45）2+32×（-45）-2=-7225， ∴EF=7225， ∴DE=EF-FD=7225−85＝3225； （3）存在点P ，使∠BAP=∠BCO-∠BAG ，理由：作GM ⊥AC 于点M ，作PN ⊥x 轴于点N ，如图2所示，∵点A （-4，0），点B （1，0），点C （0，-2），∴OA=4，OB=1，OC=2，∴tan ∠OAC=2142OC OA ＝＝，tan ∠OCB=12OB OC ＝，， ∴∠OAC=∠OCB ，∵∠BAP=∠BCO-∠BAG ，∠GAM=∠OAC-∠BAG ，∴∠BAP=∠GAM ， ∵点G （0，-1），OA=4，∴OG=1，GC=1，∴，••22AC GM CG OA ＝，即1422GM ⨯＝， 解得，， ∴=， ∴tan ∠GAM=29GM AM =， ∴tan ∠PAN=29， 设点P 的坐标为（n ，12n 2+32n-2）， ∴AN=4+n ，PN=12n 2+32n-2， ∴2132222 49n n n +-+＝， 解得，n 1=139，n 2=-4（舍去）， 当n=139时，12n 2+32n-2=9881， ∴点P 的坐标为（139，9881）， 即存在点P （139，9881），使∠BAP=∠BCO-∠BAG ． 【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似、锐角三角函数和二次函数的性质解答．10．综合与探究如图，抛物线y=211433x x --与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ，过点P 作PE ∥AC 交x 轴于点E ，交BC 于点F ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请用含m 的代数式表示线段QF 的长，并求出m 为何值时QF 有最大值．【答案】（1）C （0，﹣4）；（2）Q 点坐标为（522，522﹣4）或（1，﹣3）； （3）当m=2时，QF 有最大值．【解析】【分析】（1）解方程13x 2−13x-4=0得A （-3，0），B （4，0），计算自变量为0时的二次函数值得C 点坐标； （2）利用勾股定理计算出AC=5，利用待定系数法可求得直线BC 的解析式为y=x-4，则可设Q （m ，m-4）（0＜m ＜4），讨论：当CQ=CA 时，则m 2+（m-4+4）2=52，当AQ=AC 时，（m+3）2+（m-4）2=52；当QA=QC 时，（m+3）2+（m-4）2=52，然后分别解方程求出m 即可得到对应的Q 点坐标；（3）过点F 作FG ⊥PQ 于点G ，如图，由△OBC 为等腰直角三角形．可判断△FQG 为等腰直角三角形，则FG=QG=22FQ ，再证明△FGP ～△AOC 得到34FG PG =，则22FQ ，所以72FQ ，于是得到32，设P （m ，13m 2-13m-4）（0＜m ＜4），则Q （m ，m-4），利用PQ=-13m 2+43m 得到FQ=327（-13m 2+43m ），然后利用二次函数的性质解决问题．【详解】（1）当y=0，13x2−13x-4=0，解得x1=-3，x2=4，∴A（-3，0），B（4，0），当x=0，y=13x2−13x-4=-4，∴C（0，-4）；（2）AC=2234=5，易得直线BC的解析式为y=x-4，设Q（m，m-4）（0＜m＜4），当CQ=CA时，m2+（m-4+4）2=52，解得m1=52，m2=-52（舍去），此时Q点坐标为（52，52-4）；当AQ=AC时，（m+3）2+（m-4）2=52，解得m1=1，m2=0（舍去），此时Q点坐标为（1，-3）；当QA=QC时，（m+3）2+（m-4）2=52，解得m=252（舍去），综上所述，满足条件的Q点坐标为（522，522-4）或（1，-3）；（3）解：过点F作FG⊥PQ于点G，如图，则FG∥x轴．由B（4，0），C（0，-4）得△OBC为等腰直角三角形∴∠OBC=∠QFG=45∴△FQG为等腰直角三角形，∴FG=QG=22FQ，∵PE∥AC，PG∥CO，∴∠FPG=∠ACO，∵∠FGP=∠AOC=90°，∴△FGP～△AOC．∴FG PG OA CO =，即34FG PG =，∴PG=43FG=43•2FQ=3FQ ，∴PQ=PG+GQ=3FQ+2FQ=6FQ ，∴PQ ， 设P （m ，13m 2-13m-4）（0＜m ＜4），则Q （m ，m-4）， ∴PQ=m-4-（13m 2-13m-4）=-13m 2+43m ，∴（-13m 2+43m ）=-7（m-2）2∵-7＜0， ∴QF 有最大值．∴当m=2时，QF 有最大值．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。

备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇及详细答案

备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇及详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．（1）求抛物线的解析式；（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113+113+3）点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝12CD＝CE．利用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，求解即可得出点Q的坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），∵x 12+x 22﹣x 1x 2＝13，∴（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2＝13，∴m 2+3（m +1）＝13，即m 2+3m ﹣10＝0，解得m 1＝2，m 2＝﹣5．∵OA ＜OB ，∴抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴m ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）连接BE 、OE ．∵在Rt △BCD 中，∠CBD ＝90°，EC ＝ED ，∴BE ＝12CD ＝CE ． 令y ＝x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A （﹣1，0），B （3，0），∵C （0，﹣3），∴OB ＝OC ，又∵BE ＝CE ，OE ＝OE ，∴△OBE ≌△OCE （SSS ），∴∠BOE ＝∠COE ，∴点E 在第四象限的角平分线上，设E 点坐标为（m ，﹣m ），将E （m ，﹣m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3，得m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ＝1132±， ∵点E 在第四象限，∴E 113+113+）； （3）过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ，连接CF ，则S △ACQ ＝S △ACF ．∵S△ACQ＝2S△AOC，∴S△ACF＝2S△AOC，∴AF＝2OA＝2，∴F（1，0）．∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．∵AC∥FQ，∴设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，得0＝﹣3+b，解得b＝3，∴直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3．联立22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，解得113 12x y =-⎧⎨=⎩，2223xy=⎧⎨=-⎩，∴点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．2．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，（0，3﹣）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【解析】【分析】（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B （3，0），∴点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB 时，，∴或OP=PC ﹣﹣3∴P1（0，P 2（0，3﹣②当PB=PC 时，OP=OB=3，∴P 3（0，-3）；③当BP=BC 时，∵OC=OB=3∴此时P 与O 重合，∴P 4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=1×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，2当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3；y ＝﹣x +1；（2）当x ＝﹣12时，△APC 的面积取最大值，最大值为278，此时点P 的坐标为（﹣12，154）；（3）在对称轴上存在一点M （﹣1，2），使△ANM 的周长最小，△ANM 周长的最小值为102【解析】【分析】（1）根据点A ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），进而可得出PF 的值，由点C 的坐标可得出点Q 的坐标，进而可得出AQ 的值，利用三角形的面积公式可得出S △APC ＝﹣32x 2﹣32x +3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N 的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C ，N 的坐标可得出点C ，N 关于抛物线的对称轴对称，令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，则此时△ANM 周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M 的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM 周长的最小值即可得出结论．【详解】（1）将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得：10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的函数关系式为y ＝﹣x 2﹣2x +3；设直线AC 的函数关系式为y ＝mx +n （m ≠0），将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝mx +n ，得：023m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得：11m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的函数关系式为y ＝﹣x +1．（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，如图1所示．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点Q的坐标为（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，∴S△APC＝12AQ•PF＝﹣32x2﹣32x+3＝﹣32（x+12）2+278．∵﹣32＜0，∴当x＝﹣12时，△APC的面积取最大值，最大值为278，此时点P的坐标为（﹣12，154）．（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点N的坐标为（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此时△ANM周长取最小值．当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），∴AC＝，AN，∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝．∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为+【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S △APC ＝﹣32x 2﹣32x +3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M 的位置．4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当23x =-时，ADE ∆的面积取得最大值503；（3）P 点的坐标为()1,1-，()1,11-±，()1,219--±. 【解析】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；（2）根据函数解析式设出点D 坐标，过点D 作DG ⊥x 轴，交AE 于点F ，表示△ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可；（3）设出点P 坐标，分PA =PE ，PA =AE ，PE =AE 三种情况讨论分析即可．详解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6）， ∴16404206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：34326a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩， 所以二次函数的解析式为：y =233642x x --+； （2）由A （﹣4，0），E （0，﹣2），可求AE 所在直线解析式为y =122x --， 过点D 作DN ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如图，设D （m ，233642m m --+），则点F （m ，122m --）， ∴DF =233642m m --+﹣（122m --）=2384m m --+，∴S △ADE =S △ADF +S △EDF =12×DF ×AG +12DF ×EH =12×DF ×AG +12×DF ×EH =12×4×DF =2×（2384m m --+） =23250233m -++（）， ∴当m =23-时，△ADE 的面积取得最大值为503． （3）y =233642x x --+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求PA =29n +，PE =212n ++（），AE =16425+=，分三种情况讨论： 当PA =PE 时，29n +=212n ++（），解得：n =1，此时P （﹣1，1）； 当PA =AE 时，29n +=16425+=，解得：n =11±，此时点P 坐标为（﹣1，11±）；当PE =AE 时，212n ++（）=16425+=，解得：n =﹣219±，此时点P 坐标为：（﹣1，﹣219±）．综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，11±），（﹣1，﹣219±）． 点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．5．如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B 与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，（0，3﹣）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【解析】【分析】（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B （3，0），∴点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB 时，，∴或OP=PC ﹣﹣3∴P1（0，P 2（0，3﹣②当PB=PC 时，OP=OB=3，∴P 3（0，-3）；③当BP=BC 时，∵OC=OB=3∴此时P 与O 重合，∴P 4（0，0）；综上所述，点P 的坐标为：（0，0，3﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=1×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，2当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ：S △PBQ =5：2，求K 点坐标．【答案】（1）y=38x 2﹣34x ﹣3 （2）运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910 （3）K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158） 【解析】【详解】试题分析：（1）把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣910（t ﹣1）2+910．利用二次函数的图象性质进行解答； （3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=34x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =94．则根据图形得到：S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣34m 2+3m=94．易求得K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158）． 解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得 423016430a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得3834a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以该抛物线的解析式为：y=38x 2﹣34x ﹣3； （2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ．∴PB=6﹣3t ．由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）．在Rt △BOC 中，．如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．∴QH ∥CO ，∴△BHQ ∽△BOC ， ∴HB OC BG BC=，即Hb 35t =， ∴HQ=35t ． ∴S △PBQ =12PB•HQ=12（6﹣3t ）•35t=﹣910t 2+95t=﹣910（t ﹣1）2+910． 当△PBQ 存在时，0＜t ＜2∴当t=1时， S △PBQ 最大=910． 答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910； （3）设直线BC 的解析式为y=kx+c （k≠0）．把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得403k c c +=⎧⎨=-⎩， 解得3k 4c 3⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 的解析式为y=34x ﹣3． ∵点K 在抛物线上． ∴设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，34m ﹣3）．∴EK=34m﹣3﹣（38m2﹣34m﹣3）=﹣38m2+32m．当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=9 10．∴S△CBK=94．S△CBK=S△CEK+S△BEK=12EK•m+12•EK•（4﹣m）=12×4•EK=2（﹣38m2+32m）=﹣34m2+3m．即：﹣34m2+3m=94．解得 m1=1，m2=3．∴K1（1，﹣278），K2（3，﹣158）．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．7．如图，已知抛物线234 2y ax x=++的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．【答案】（1）213442y x x =-++，点A 的坐标为(-2，0)，点B 的坐标为(8，0)；（2）存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M 的坐标为(4-771)、(2，6)、(6，4)或7，71)．【解析】【分析】（1） 由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a 值， 进而可得出抛物线的解析式， 再利用二次函数图象上点的坐标特征， 即可求出点A 、B 的坐标；（2） 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标， 由点B 、C 的坐标， 利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式， 假设存在， 设点P 的坐标为（x,213-442x x ++），过点P 作PD//y 轴， 交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x,1-42x +），PD=-14x 2+2x ，利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC 的面积关于x 的函数关系式， 再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3） 设点M 的坐标为（m,213-442m m ++），则点N 的坐标为（m,1-42m +），进而可得出MN 2124m m =-+，结合MN=3即可得出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程， 解之即可得出结论 ．【详解】（1）抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线3x =， 3232a∴-=，解得：14a =-， ∴抛物线的解析式为213442y x x =-++． 当0y =时，2134042x x -++=， 解得：12x =-，28x =，∴点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()8,0．（2） 当0x =时，2134442y x x =-++=， ∴点C 的坐标为()0,4．设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠．将()8,0B 、()0,4C 代入y kx b =+，804k b b +=⎧⎨=⎩，解得：124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为142y x =-+． 假设存在， 设点P 的坐标为213,442x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，过点P 作//PD y 轴， 交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为1,42x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，如图所示 ． 2213114424224PD x x x x x ⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪⎝⎭， ()222111·8?28416224PBC S PD OB x x x x x ∆⎛⎫∴==⨯-+=-+=--+ ⎪⎝⎭． 10-<，∴当4x =时，PBC ∆的面积最大， 最大面积是 16 ．08x <<，∴存在点P ，使PBC ∆的面积最大， 最大面积是 16 ．（3） 设点M 的坐标为213,442m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则点N 的坐标为1,42m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 2213114424224MN m m m m m ⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪⎝⎭． 又3MN =，21234m m ∴-+=． 当08m <<时， 有212304m m -+-=， 解得：12m =，26m =，∴点M 的坐标为()2,6或()6,4；当0m <或8m >时， 有212304m m -++=，解得：3427m =-，4427m =+，∴点M 的坐标为(427-，71)-或(427+，71)--．综上所述：M 点的坐标为(427-，71)-、()2,6、()6,4或(427+，71)--．【点睛】本题考查了二次函数的性质、 二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积， 解题的关键是： （1） 利用二次函数的性质求出a 的值； （2） 根据三角形的面积公式找出关于x 的函数关系式； （3） 根据MN 的长度， 找出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程 ．8．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A （1，0），B （3，0），交y 轴于点C ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上的一动点，求△BCP 面积的最大值；（3）直线x=m 分别交直线BC 和抛物线于点M ，N ，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出m 的值．【答案】（1）这个二次函数的表达式是y=x 2﹣4x+3；（2）S △BCP 最大=278；（3）当△BMN 是等腰三角形时，m 22，1，2．【解析】分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE 的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m 的方程，根据解方程，可得答案．详解：（1）将A （1，0），B （3，0）代入函数解析式，得309330a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝， 解得14a b ⎧⎨-⎩＝＝， 这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C （0，3），设BC 的表达式为y=kx+b ，将点B （3，0）点C （0，3）代入函数解析式，得300k b b +⎧⎨⎩＝＝， 解这个方程组，得13k b -⎧⎨⎩＝＝ 直线BC 的解析是为y=-x+3，过点P 作PE ∥y 轴，交直线BC 于点E （t ，-t+3），PE=-t+3-（t 2-4t+3）=-t 2+3t ，∴S △BCP =S △BPE +S CPE =12（-t 2+3t ）×3=-32（t-32）2+278， ∵-32＜0，∴当t=32时，S △BCP 最大=278. （3）M （m ，-m+3），N （m ，m 2-4m+3）MN=m 2-3m ，2|m-3|，当MN=BM 时，①m 22（m-3），解得2，②m 22m-3），解得2当BN=MN 时，∠NBM=∠BMN=45°，m 2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）当BM=BN 时，∠BMN=∠BNM=45°，-（m 2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），当△BMN 是等腰三角形时，m 的值为2，-2，1，2．点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．9．如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，点A 的坐标为（10，0），抛物线y=ax 2+bx+4过点B ，C 两点，且与x 轴的一个交点为D （﹣2，0），点P 是线段CB 上的动点，设CP =t （0＜t ＜10）．（1）请直接写出B 、C 两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P 作PE ⊥BC ，交抛物线于点E ，连接BE ，当t 为何值时，∠PBE =∠OCD ？ （3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作PM ∥BQ ，交CQ 于点M ，作PN ∥CQ ，交BQ 于点N ，当四边形PMQN 为正方形时，请求出t 的值．【答案】（1）B （10，4），C （0，4），215463y x x =-++；（2）3；（3）103或 203. 【解析】 试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C 点坐标，由矩形的性质可求得B 点坐标，由B 、D 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设P （t ，4），则可表示出E 点坐标，从而可表示出PB 、PE 的长，由条件可证得△PBE ∽△OCD ，利用相似三角形的性质可得到关于t 的方程，可求得t 的值；（3）当四边形PMQN 为正方形时，则可证得△COQ ∽△QAB ，利用相似三角形的性质可求得CQ 的长，在Rt △BCQ 中可求得BQ 、CQ ，则可用t 分别表示出PM 和PN ，可得到关于t 的方程，可求得t 的值．试题解析：解：（1）在y ＝ax 2＋bx ＋4中，令x ＝0可得y ＝4，∴C （0，4），∵四边形OABC 为矩形，且A （10，0），∴B （10，4），把B 、D 坐标代入抛物线解析式可得10010444240a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得1653a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线解析式为y ＝16-x 2＋53x ＋4； （2）由题意可设P （t ，4），则E （t ，16-t 2＋53t ＋4）， ∴PB ＝10﹣t ，PE ＝16-t 2＋53t ＋4﹣4＝16-t 2＋53t ， ∵∠BPE ＝∠COD ＝90°，当∠PBE ＝∠OCD 时，则△PBE ∽△OCD ， ∴PE PB OD OC=，即BP •OD ＝CO •PE ， ∴2（10﹣t ）＝4（16-t 2＋53t ），解得t ＝3或t ＝10（不合题意，舍去）， ∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ；当∠PBE ＝∠CDO 时，则△PBE ∽△ODC ， ∴PE PB OC OD=，即BP •OC ＝DO •PE ， ∴4（10﹣t ）＝2（16-t 2＋53t ），解得t ＝12或t ＝10（均不合题意，舍去） 综上所述∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ； （3）当四边形PMQN 为正方形时，则∠PMC ＝∠PNB ＝∠CQB ＝90°，PM ＝PN ， ∴∠CQO ＋∠AQB ＝90°，∵∠CQO ＋∠OCQ ＝90°，∴∠OCQ ＝∠AQB ，∴Rt △COQ ∽Rt △QAB ， ∴CO OQ AQ AB=，即OQ •AQ ＝CO •AB ， 设OQ ＝m ，则AQ ＝10﹣m ，∴m （10﹣m ）＝4×4，解得m ＝2或m ＝8，①当m ＝2时，CQBQ∴sin ∠BCQ ＝BQ BC，sin ∠CBQ ＝CQ BC， ∴PM ＝PC •sin ∠PCQt ，PN ＝PB •sin ∠CBQ（10﹣t ），∴25t＝5（10﹣t ），解得t ＝103， ②当m ＝8时，同理可求得t ＝203， ∴当四边形PMQN 为正方形时，t 的值为103或203． 点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在（1）中注意利用矩形的性质求得B 点坐标是解题的关键，在（2）中证得△PBE ∽△OCD 是解题的关键，在（3）中利用Rt △COQ ∽Rt △QAB 求得CQ 的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．10．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）．【解析】试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c=++中，得：0{9303a b c a b c c -+=++==-，解得：1{23a b c ==-=-，故抛物线的解析式：223y x x =--．（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2b a -=1，故P （1，0）； （3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2b a -=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1； ②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6±；③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-； 当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，6）（1，6-）（1，﹣1）（1，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．。

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇含答案解析

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇含答案解析

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2和y ＝a （x ﹣h ）2，抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2经过原点，与x 轴正半轴交于点A ，与其对称轴交于点B ；点P 是抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2上一动点，且点P 在x 轴下方，过点P 作x 轴的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ，过点D 作PD 的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ′（不与点D 重合），连接PD ′，设点P 的横坐标为m ：（1）①直接写出a 的值；②直接写出抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；（2）当抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点时，设△PDD ′与△OAB 重叠部分图形周长为L ： ①求PD DD'的值； ②直接写出L 与m 之间的函数关系式；（3）当h 为何值时，存在点P ，使以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．【答案】（1）①12；②y ＝212x ﹣2x ； （2）①1； ②L ＝2(22)(02)21(221)4(24)2m m m m π⎧+<⎪⎨-++<<⎪⎩； （3）h ＝±3 【解析】【分析】（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝212x ﹣2x ； （2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝12，y ＝12x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值．【详解】解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中，得：0＝a （0﹣2）2﹣2，解得：a ＝12； ②y ＝212x ﹣2x ；． （2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝12； ∴y ＝12x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4如图1，222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫=--== ⎪⎝⎭PD 2m 1DD 2m'∴== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭， 2222322m m 22,PG m 22m FH PH PF ===-+-=-+ ∵DD ′∥EG EG PE DD PD '∴=，即：EG •PD ＝PE •DD ′，得：EG •（2m ）＝（2m ﹣12m 2）•2m ∴EG ＝2m ﹣12m 2，EF ＝4﹣m ∴L ＝EG +EF +FH +GH ＝EG +EF +PG221224222m m m m m ⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭221m (221)m 42+=-+++ 2(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)2L ⎧+<⎪∴=⎨+-+++<<⎪⎩； （3）如图3，∵OADD ′为菱形∴AD ＝AO ＝DD ′＝4，∴PD ＝2，23PA =23h ∴=±【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．2．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或412或5-41②点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．【解析】分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以2，接着根据平行四边形的性质得到2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到2PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（12，-52），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-15x+b，把E（12，-52）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-15x-125，则解方程组511255 y xyx-⎧⎪⎨--⎪⎩＝＝得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=13+62x，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．详解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5），当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0），把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得253005a cc++=⎧⎨=-⎩，解得15ab=-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），∵B（5，0），C（0，﹣5），∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵AM⊥BC，∴△AMB为等腰直角三角形，∴AM=2AB=2×4=22，∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，∴PQ=AM=22，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，∴222=4，设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），当P点在直线BC上方时，PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，当P点在直线BC下方时，PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=5+41，m2=5-41，综上所述，P点的横坐标为4或5+412或5-412；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，∵M1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1，∴∠AM1B=2∠ACB，∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，∴N（3，﹣2），易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（12，﹣52，设直线EM1的解析式为y=﹣15x+b，把E（12，﹣52）代入得﹣110+b=﹣52，解得b=﹣125，∴直线EM1的解析式为y=﹣15x﹣125解方程组511255y xy x=-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则M1（136，﹣176）；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），∵3=13+62x ∴x=236， ∴M 2（236，﹣76）. 综上所述，点M 的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）． 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．3．如图1，二次函数234y ax ax a =--的图像与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点()0,3C -.（1）求二次函数的表达式及点A 、点B 的坐标;（2）若点D 在二次函数图像上，且45DBC ABC S S =△△，求点D 的横坐标; （3）将直线BC 向下平移，与二次函数图像交于,M N 两点(M 在N 左侧)，如图2，过M 作ME y ∥轴，与直线BC 交于点E ，过N 作NF y ∥轴，与直线BC 交于点F ，当MN ME +的值最大时，求点M 的坐标.【答案】（1）y ＝239344x x --，A （﹣1，0），B （4，0）；（2）D 点的横坐标为22﹣2，2；（3）M （13，﹣113） 【解析】【分析】（1）求出a ，即可求解；（2）求出直线BC 的解析式，过点D 作DH ∥y 轴，与直线BC 交于点H ，根据三角形面积的关系求解；（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，设M（m，34m2﹣94m﹣3），N（n，34n2﹣94n﹣3），判断四边形MNFE是平行四边形，根据ME＝NF，求出m+n＝4，再确定ME+MN＝﹣34m2+3m+5﹣52m＝﹣34（m﹣13）2+6112，即可求M；【详解】（1）y＝ax2﹣3ax﹣4a与y轴交于点C（0，﹣3），∴a＝34，∴y＝34x2﹣94x﹣3，与x轴交点A（﹣1，0），B（4，0）；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴403k bb+=⎧⎨=-⎩，∴343kb⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴y＝34x﹣3；过点D作DH∥y轴，与直线BC交于点H，设H（x，34x﹣3），D（x，34x2﹣94x﹣3），∴DH＝|34x2﹣3x|，∵S△ABC＝1155323⨯⨯=，∴S△DBC＝41552⨯＝6，∴S△DBC＝2×|34x2﹣3x|＝6，∴x＝，x＝2﹣，x＝2；∴D点的横坐标为2﹣，2；（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，设M（m，34m2﹣94m﹣3），N（n，34n2﹣94n﹣3），则E（m，34m﹣3），F（n，34n﹣3），∴ME＝﹣34m2+3m，NF＝﹣34n2+3n，∵EF∥MN，ME∥NF，∴四边形MNFE是平行四边形，∴ME＝NF，∴﹣34m2+3m＝﹣34n2+3n，∴m+n＝4，∴MG＝n﹣m＝4﹣2m，∴∠NMG＝∠OBC，∴cos∠NMG＝cos∠OBC＝MG OBMN BC,∵B（4，0），C（0，﹣3），∴OB＝4，OC＝3，在Rt△BOC中，BC＝5，∴MN＝54（n﹣m）＝54（4﹣2m）＝5﹣52m，∴ME+MN＝﹣34m2+3m+5﹣52m＝﹣34（m﹣13）2+6112，∵﹣34＜0，∴当m＝13时，ME+MN有最大值，∴M（13，﹣113）【点睛】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合三角形的性质解题.4．如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a ，b ，c ]称为“抛物线系数”．(1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题；(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b ，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A ，与x 轴交于O ，B 两点，在抛物线上是否存在一点P ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，使得△BPQ ∽△OAB ？如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）假；（2）3）y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ；（4）P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3）或（－1，1）．【解析】分析：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，由此可得出结论；（2）根据“抛物线三角形”定义得到22y x =-，由此可得出结论；（3）根据“抛物线三角形”定义得到y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形， 由抛物线顶点为（b ，b 2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到2122b b =⨯，解方程即可得到结论； （4）分两种情况讨论：①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时，②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时． 详解：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；（2）由题意得：22y x =-，令y =0，得：x=，∴ S=122⨯=12x x ； （3）依题意：y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形． ∵y ＝－x 2＋2bx =22()x b b --+，∴顶点为（b ，b 2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：2122b b =⨯，∴2b b =，解得：b ＝0（舍去）或b ＝±1， ∴y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ．（4）①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时．∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2＋2a ），∴Q （（a ，0）， 则｜－a 2＋2a ｜＝｜2－a ｜，即(2)2a a a -=-．∵a －2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，1）或（－1， －3）．②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时．∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2－2a ），∴Q （（a ，0），则｜－a 2－2a ｜＝｜2+a ｜，即(2)2a a a +=+．∵a +2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，－3，）或（－1，1）．综上所述：P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3，）或（－1，1）．点睛：本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x 与抛物线交于A 、B 两点，直线l 为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l 上是否存在一点P ，使PA+PB 取得最小值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F （x 0，y 0）为平面内一定点，M （m ，n ）为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x 2﹣x+1．（2）点P 的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F 的坐标为（2，1）．【解析】 分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a （x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A 、B 的坐标，作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值，根据点B 的坐标可得出点B′的坐标，根据点A 、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；（3）由点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0，由m 的任意性可得出关于x 0、y 0的方程组，解之即可求出顶点F 的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a （x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a ，解得：a=14， ∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x 2-x+1． （2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，得：214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．∵点B （4，1），直线l 为y=-1，∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0），将A （1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43， 当y=-1时，有-1312x+43=-1， 解得：x=2813，∴点P 的坐标为（2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2，∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1．∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，∴n=14m 2-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（14m 2-m+1）+y 02=2（14m 2-m+1）+1， 整理得：（1-12-12y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值， ∴000220001110222220230y x y x y y ⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝，∴0021x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴定点F 的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P 的位置；（3）根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x 0、y 0的方程组．6．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞ 【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵2，∴QF=1．①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=12PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t ＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12（23t t -）=21322t t -．综上所述，S=2213 (03)22{13 (03)22t t t t t t t 或-+<<-．考点：二次函数综合题；分类讨论．7．已知：二次函数2432y x x a =-++(a 为常数)．(1)请写出该二次函数图象的三条性质；(2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，求a 的取值范围．【答案】(1)见解析；(2)523a ≤<． 【解析】【分析】(1)可从开口方向、对称轴、最值等角度来研究即可；(2) 先由二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，即关于x 的一元二次方程26330x x a -++=有两个不相等的实数根，由此可得2a <，再根据二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，也就是说二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出函数2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，将x=4代入求得a 的取值范围，由此即可求得答案.【详解】(1)①图象开口向上；②图象的对称轴为直线2x =；③当2x >时，y 随x 的增大而增大；④当2x <时，y 随x 的增大而减小；⑤当2x =时，函数有最小值；(2)∵二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，∴243221x x a x -++=-，即26330x x a -++=，364(33)12240a a ∆=-+=-+>，解得2a <，∵二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，∴二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出二次函数2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，∴当4x =时，2633350x x a a -++=-≥，得53a ≥， ∴当二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点时， a 的取值范围为523a ≤<． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合题，涉及了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，二次函数的图象与x 轴交点问题，正确进行分析并运用数形结合思想、灵活运用相关知识是解题的关键.8．如图，已知直线AB 与抛物线C ：2y ax 2x c =++ 相交于()1,0A -和点()B 2,3两点.⑴求抛物线C 的函数表达式；⑵若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA MB 、为相邻两边作平行四边形MANB ,当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；⑶在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ,使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线17y4=的距离，若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】⑴2y x2x3=-++；⑵当12a=，S□MANB=2S△ABM=274，此时115M,24⎛⎫⎪⎝⎭；⑶存在. 当15F1,4⎛⎫⎪⎝⎭时，无论x取任何实数，均有PG PF=. 理由见解析.【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y=ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）如图2，分别过点B，C作直线y=174的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=174的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF=BN，CF=CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可．【详解】（1）由题意把点（-1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，得，20443a ca c-+=⎧⎨++=⎩，解得a=-1，c=3，∴此抛物线C函数表达式为：y=-x2+2x+3；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，将点（-1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，得，23k bk b-+⎧⎨+⎩＝＝，解得，k=1，b=1，∴y AB=x+1，设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK=-a2+2a+3-（a+1）=-（a-12）2+94，根据二次函数的性质可知，当a=12时，MK有最大长度94，∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK=12MK•AH+12MK•（x B-x H）=12MK•（x B-x A）=12×94×3=278，∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大=2S△AMB最大=2×278=274，M（12，154）；（3）存在点F，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴对称轴为直线x=1，当y=0时，x1=-1，x2=3，∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），如图2，分别过点B，C作直线y=174的垂线，垂足为N，H，抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=174的距离，设F（1，a），连接BF，CF，则BF=BN=174-3=54，CF=CH=174，由题意可列：2222225 (21)(3)417(31)4aa⎧⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得，a=154，∴F（1，154）．【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．9．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+53x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=214，M坐标为（32，3）；（3）F坐标为（0，﹣32）．【解析】【分析】1）把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，确定出二次函数解析式，与一次函数解析式联立求出E坐标即可；（2）过M作MH垂直于x轴，与直线CE交于点H，四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大，构造出二次函数求出最大值，并求出此时M坐标即可；（3）令y=0，求出x的值，得出A与B坐标，由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC 与三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的长，即可确定出F坐标．【详解】（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得：2016232a cc⎧++=-⎪⎨⎪=⎩，解得：2a32c⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即二次函数解析式为y=﹣23x2+53x+2，联立一次函数解析式得：2225233y xy x x﹣﹣=+⎧⎪⎨=++⎪⎩，消去y得：﹣13x+2=﹣23x2+53x+2，解得：x=0或x=3，则E（3，1）；（2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H，设M（m，﹣23m2+53m+2），则H（m，﹣13m+2），∴MH=（﹣23m2+53m+2）﹣（﹣13m+2）=﹣23m2+2m，S四边形COEM=S△OCE+S△CME=12×2×3+12MH•3=﹣m2+3m+3，当m=﹣ab=32时，S最大=214，此时M坐标为（32，3）；（3）连接BF，如图②所示，当﹣23x2+53x+20=0时，x1=5+734，x2=5-734，∴OA=73-5，OB=5+73，∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，∴△AOC∽△FOB，∴OA OCOF OB=，即73-545+73OF=，解得：OF=32，则F坐标为（0，﹣32）．【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．10．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t （0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．【答案】（1）B（10，4），C（0，4），215463y x x=-++；（2）3；（3）103或203.【解析】试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可证得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）当四边形PMQN为正方形时，则可证得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性质可求得CQ 的长，在Rt △BCQ 中可求得BQ 、CQ ，则可用t 分别表示出PM 和PN ，可得到关于t 的方程，可求得t 的值．试题解析：解：（1）在y ＝ax 2＋bx ＋4中，令x ＝0可得y ＝4，∴C （0，4），∵四边形OABC 为矩形，且A （10，0），∴B （10，4），把B 、D 坐标代入抛物线解析式可得10010444240a b a b ++=⎧⎨-+=⎩， 解得1653a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线解析式为y ＝16-x 2＋53x ＋4； （2）由题意可设P （t ，4），则E （t ，16-t 2＋53t ＋4）， ∴PB ＝10﹣t ，PE ＝16-t 2＋53t ＋4﹣4＝16-t 2＋53t ， ∵∠BPE ＝∠COD ＝90°，当∠PBE ＝∠OCD 时，则△PBE ∽△OCD ， ∴PE PB OD OC=，即BP •OD ＝CO •PE ， ∴2（10﹣t ）＝4（16-t 2＋53t ），解得t ＝3或t ＝10（不合题意，舍去）， ∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ；当∠PBE ＝∠CDO 时，则△PBE ∽△ODC ， ∴PE PB OC OD=，即BP •OC ＝DO •PE ， ∴4（10﹣t ）＝2（16-t 2＋53t ），解得t ＝12或t ＝10（均不合题意，舍去） 综上所述∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ； （3）当四边形PMQN 为正方形时，则∠PMC ＝∠PNB ＝∠CQB ＝90°，PM ＝PN ， ∴∠CQO ＋∠AQB ＝90°，∵∠CQO ＋∠OCQ ＝90°，∴∠OCQ ＝∠AQB ，∴Rt △COQ ∽Rt △QAB ，∴CO OQ AQ AB=，即OQ •AQ ＝CO •AB ， 设OQ ＝m ，则AQ ＝10﹣m ，∴m （10﹣m ）＝4×4，解得m ＝2或m ＝8，①当m ＝2时，CQ BQ∴sin ∠BCQ ＝BQ BC ，sin ∠CBQ ＝CQ BC ，∴PM ＝PC •sin ∠PCQ t ，PN ＝PB •sin ∠CBQ （10﹣t ），∴t （10﹣t ），解得t ＝103， ②当m ＝8时，同理可求得t ＝203， ∴当四边形PMQN 为正方形时，t 的值为103或203． 点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在（1）中注意利用矩形的性质求得B 点坐标是解题的关键，在（2）中证得△PBE ∽△OCD 是解题的关键，在（3）中利用Rt △COQ ∽Rt △QAB 求得CQ 的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．。

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇含答案

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇含答案

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇含答案一、二次函数1．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且()6,0A -，与y 轴交于点C ．()1求抛物线的函数解析式；()2求ABC V 的面积；()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使APC V 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】()1 2134y x x =+-；()212；()27334APC x S =-V 当时，有最大值，点P 的坐标是153,4P ⎛⎫--⎪⎝⎭． 【解析】【分析】 (1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC V 的面积计算拆分为APF CPF S S +V V 即可.【详解】()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++，∵函数图象顶点为()2,4M --，∴2(2)4y a x =+-，又∵函数图象经过点()6,0A -，∴20(62)4a =-+- 解得14a =， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =+-，即2134y x x =+-；()2∵点C 是函数2134y x x =+-的图象与y 轴的交点， ∴点C 的坐标是()0,3-，又当0y =时，有21304y x x =+-=， 解得16x =-，22x =，∴点B 的坐标是()2,0，则11831222ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=V ； ()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．设(),0E x ，则21,34P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设直线AC 的解析式为y kx b =+， ∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -，∴603k b b -+=⎧⎨-=⎩， 解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为132y x =--， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则221113332442PF x x x x x ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭， ∴1122APC APF CPF S S S PF AE PF OE =+=⋅+⋅V V V 2221113393276(3)22424244PF OA x x x x x ⎛⎫=⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭， ∴当3x =-时，APC S V 有最大值274，此时点P 的坐标是153,4P ⎛⎫--⎪⎝⎭． 【点睛】 本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.2．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是2y ax c =+的形式.请根据所给的数据求出a ，c 的值.(2)求支柱MN 的长度.(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.【答案】（1）y=-350x 2+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 【解析】 试题分析：（1）根据题目可知A ．B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）设N 点的坐标为（5，y N ）可求出支柱MN 的长度．（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．做GH 垂直AB 交抛物线于H 则可求解．试题解析： (1) 根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).将B 、C 的坐标代入2y ax c =+，得 6,0100.c a c =⎧⎨=+⎩解得3,650a c =-=. ∴抛物线的表达式是23650y x =-+.(2) 可设N (5,N y )， 于是23564.550N y =-⨯+=. 从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.(3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和，则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23176335050H y =-⨯+=+>. 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.3．如图，抛物线y=﹣（x ﹣1）2+c 与x 轴交于A ，B （A ，B 分别在y 轴的左右两侧）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，已知A （﹣1，0）．（1）求点B ，C 的坐标；（2）判断△CDB 的形状并说明理由；（3）将△COB 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t ＜3）得到△QPE ．△QPE 与△CDB 重叠部分（如图中阴影部分）面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形；(Ⅲ)22333(0)221933(3)222t t t S t t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩. 【解析】【分析】（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B ，C 的坐标．（2）分别求出△CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形． （3）△COB 沿x 轴向右平移过程中，分两个阶段：①当0＜t≤32时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；②当32＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形． 【详解】 解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()21y x c =--+上， ∴()2011c =---+，得4c = ∴抛物线解析式为：()214y x =--+， 令0x =，得3y =，∴()0,3C ；令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B .(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下：由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4.如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ∆中，由勾股定理得：22223332BC OB OC =+=+=；在Rt CND ∆中，由勾股定理得：2222112CD CN DN =+=+=；在Rt BMD ∆中，由勾股定理得：22222425BD BM DM =+=+=.∵222BC CD BD +=，∴CDB ∆为直角三角形.(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+，∵()()3,0,0,3B C ，∴303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得1,3k b =-=，∴3y x =-+，直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++；设直线BD 的解析式为y mx n =+，∵()()3,0,1,4B D ，∴304m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：2,6m n =-=， ∴26y x =-+.连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ⎛⎫⎪⎝⎭. 在COB ∆向右平移的过程中：(1)当302t <≤时，如答图2所示：设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-.设QE 与BD 的交点为F ，则：263y x y x t =-+⎧⎨=-++⎩. 解得32x t y t =-⎧⎨=⎩， ∴()3,2F t t -.111222QPE PBK FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ∆∆∆=--=⋅-⋅-⋅ ()221113333232222t t t t t =⨯⨯---⋅=-+. (2)当332t <<时，如答图3所示：设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J .∵CQ t =，∴KQ t =，3PK PB t ==-.直线BD 解析式为26y x =-+，令x t =，得62y t =-，∴(),62J t t -. 1122PBJ PBK S S S PBPJ PB PK ∆∆=-=⋅-⋅ ()()()211362322t t t =---- 219322t t =-+. 综上所述，S 与t 的函数关系式为：2233302219333222t t t S t t t ⎧⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩.4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当23x =-时，ADE ∆的面积取得最大值503；（3）P 点的坐标为()1,1-，()1,11-±，()1,219--±. 【解析】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；（2）根据函数解析式设出点D 坐标，过点D 作DG ⊥x 轴，交AE 于点F ，表示△ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可；（3）设出点P 坐标，分PA =PE ，PA =AE ，PE =AE 三种情况讨论分析即可．详解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6）， ∴16404206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：34326a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩， 所以二次函数的解析式为：y =233642x x --+； （2）由A （﹣4，0），E （0，﹣2），可求AE 所在直线解析式为y =122x --， 过点D 作DN ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如图，设D （m ，233642m m --+），则点F （m ，122m --）， ∴DF =233642m m --+﹣（122m --）=2384m m --+， ∴S △ADE =S △ADF +S △EDF =12×DF ×AG +12DF ×EH =12×DF ×AG +12×DF ×EH =12×4×DF =2×（2384m m --+） =23250233m -++（）， ∴当m =23-时，△ADE 的面积取得最大值为503． （3）y =233642x x --+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求PA PE AE =，分三种情况讨论：当PA =PE n =1，此时P （﹣1，1）；当PA =AE =n =，此时点P 坐标为（﹣1，）；当PE =AE =n =﹣2P 坐标为：（﹣1，﹣2）．综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，1，﹣2）． 点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．5．在平面直角坐标系中，有两点(),A a b 、(),B c d ，若满足：当a b ≥时，c a =，2d b =-；当a b <时，c a <-，d b <，则称点为点的“友好点”.（1）点()4,1的“友好点”的坐标是_______.（2）点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，点B 是点A 的“友好点”.①当B 点与A 点重合时，求点A 的坐标.②当A 点与A 点不重合时，求线段AB 的长度随着a 的增大而减小时，a 的取值范围.【答案】（1）()41-,；（2）①点A 的坐标是()2,0或()1,1-；②当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小；【解析】【分析】（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B 点坐标，A 点又在直线2y x =-上，得到2b a =-；①当点A 和点B 重合，得2b b =-．解出即可，②当点A 和点B 不重合， 1a ≠且2a ≠．所以对a 分情况讨论，1°、当1a <或2a >时，()222313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当a ≤32时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取1a <．2°当12a <<时，()22231+3224AB b b a a a ⎛⎫=--=--=--+ ⎪⎝⎭，当32a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取322a ≤<． 综上，当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【详解】（1）点()4,1，4＞1，根据“友好点”定义，得到点()4,1的“友好点”的坐标是()41-, （2）Q 点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，∴2b a =-．Q 2a a >-，根据友好点的定义，点B 的坐标为()2,B a b -，①当点A 和点B 重合，∴2b b =-．解得0b =或1b =-．当0b =时，2a =；当1b =-时，1a =， ∴点A 的坐标是()2,0或()1,1-．②当点A 和点B 不重合，1a ≠且2a ≠．当1a <或2a >时，()222313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭． ∴当a ≤32时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取1a <． 当12a <<时， ()22231+3224AB b b a a a ⎛⎫=--=--=--+ ⎪⎝⎭ ． ∴当32a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取322a ≤<． 综上，当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小．【点睛】本题属于阅读理解题型，结合二次函数的基本性质进行解题，第二问的第二小问的关键是求出AB 的长用a 进行表示，然后利用二次函数基本性质进行分类讨论6．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-.（1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或【解析】【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论．【详解】（1）证明：∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥∴抛物线与x 轴总有交点.（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知，方程的两根为：x = 即1216x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解：令 x = 0， y =6m -+∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0），它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -），由题意，可得：6166m m m 或-+=-+=-56m m ∴==或【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．7．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为：P1（3+5，15-），P2（35-，1+5），P3（5+5，1+5），P4（55-，15-）.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=12×3×3+12PG•AE，=92+12×3×（-m2+5m-3），=-32m2+152m，=32（m-52）2+758，∵-32＜0，∴当m=52时，S有最大值是758；（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ，易得△OMP ≌△PNF ，∴OM=PN ，∵P （m ，m 2-4m+3），则-m 2+4m-3=2-m ，解得：m=5+52或552-， ∴P 的坐标为（5+5，1+5）或（55-，15-）； 如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP ≌△PMF ，∴PN=FM ，则-m 2+4m-3=m-2，解得：3+535- P 3+515-35-1+52）； 综上所述，点P 5+51+555-1523+515-）或（35-，1+5）． 点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．8．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A ，与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为(1,0)-．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P ，使PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++ （2）最大值为10（3）故点P 坐标为：315(,)24或33232(24+--或332362(,24--+． 【解析】【分析】（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式，即可求解； （2）矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，即可求解； （3）2711sin4532822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯94PH HG ==，即可求解．【详解】（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式得：044a =+，解得：1a =-，故函数表达式为：223y x x =-++…①；（2）设点M 的坐标为()2,23x x x -++，则点()22,23N x x x --++，则222MN x x x =-+=-，223GM x x =-++，矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++， ∵20-<，故当22b x a =-=，C 有最大值，最大值为10， 此时2x =，点()0,3N 与点D 重合； （3）PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916， 则99272316168PNC S MN GM ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 连接DC ，在CD 得上下方等距离处作CD 的平行线m 、n ，过点P 作y 轴的平行线交CD 、直线n 于点H 、G ，即PH GH =，过点P 作PK CD ⊥于点K ，将()3,0C 、()0,3D 坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD 的表达式为：3y x =-+，OC OD =，∴45OCD ODC PHK ∠=∠=︒=∠，32CD =设点()2,23P x x x -++，则点(),3H x x -+， 2711sin4532822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯ 解得：94PH HG ==， 则292334PH x x x =-+++-=， 解得：32x =， 故点315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线n 的表达式为：93344y x x =-+-=-+…②，联立①②并解得：3322x ±=， 即点'P 、''P 的坐标分别为332362,24⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭、332362,24⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭； 故点P 坐标为：315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或332362,24⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭或332362,24⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．9．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=--+.（2）3210.（3）①2S m 4m 3=---.②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.【解析】【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可.【详解】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-.∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+.（2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值.∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小.∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴2，10.∴△PBC 的周长最小是：3210.（3）①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），∴直线AD 的解析式为y=2x+6∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+）∴()22EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---. ∴()22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---.②()22S m 4m 3m 21=---=-++，∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.10．如图，抛物线y=ax 2+bx 过点B （1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x 轴的正半轴交于点A ．（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x 的取值范围； （2）在第二象限内的抛物线上有一点P ，当PA ⊥BA 时，求△PAB 的面积．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．【解析】【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．【详解】（1）由题意得，3 22a bba+-⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝，解得14ab-⎧⎨⎩＝＝，∴抛物线的解析式为y=x2-4x，令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，结合图象知，A的坐标为（4，0），根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x）,∵PA⊥BA∴∠PAF+∠BAE=90°,∵∠PAF+∠FPA=90°,∴∠FPA=∠BAE又∠PFA=∠AEB=90°∴△PFA ∽△AEB, ∴PF AF AE BE =，即244213x x x --=-， 解得，x= −1，x=4（舍去）∴x 2-4x=-5∴点P 的坐标为（-1，-5），又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1所以BP 与x 轴交点为（14，0） ∴S △PAB=115531524⨯⨯+= 【点睛】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．11．如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间满足函数关系y ＝at 2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m .(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（2）能.【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t 2+5t+，当t=时，y 最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t 得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．解：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t 2+5t+，∴当t=时，y 最大=4.5； （2）把x=28代入x=10t 得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．考点：二次函数的应用．12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当23x =-时，ADE ∆的面积取得最大值503；（3）P 点的坐标为()1,1-，(1,11-，(1,219--. 【解析】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；（2）根据函数解析式设出点D 坐标，过点D 作DG ⊥x 轴，交AE 于点F ，表示△ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可；（3）设出点P 坐标，分PA =PE ，PA =AE ，PE =AE 三种情况讨论分析即可．详解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6），∴1640 4206a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：3 4 3 26abc⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以二次函数的解析式为：y=233642x x--+；（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=122x--，过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，设D（m，233642m m--+），则点F（m，122m--），∴DF=233642m m--+﹣（122m--）=2384m m--+，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=12×DF×AG+12DF×EH=12×DF×AG+12×DF×EH=12×4×DF=2×（2384m m--+）=23250233m-++（），∴当m =23-时，△ADE 的面积取得最大值为503． （3）y =233642x x --+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求PA =29n +，PE =212n ++（），AE =16425+=，分三种情况讨论： 当PA =PE 时，29n +=212n ++（），解得：n =1，此时P （﹣1，1）； 当PA =AE 时，29n +=16425+=，解得：n =11±，此时点P 坐标为（﹣1，11±）；当PE =AE 时，212n ++（）=16425+=，解得：n =﹣219±，此时点P 坐标为：（﹣1，﹣219±）．综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，11±），（﹣1，﹣219±）． 点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．13．如图，已知二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点．（1）求二次函数的解析式；（2）将沿x 轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，直线y=m （m ＞0）交于M 、N 两点，求线段MN 的长度（用含m 的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，、交于A 、B 两点，如果直线y=m 与、的图象形成的封闭曲线交于C 、D 两点（C 在左侧），直线y=﹣m 与、的图象形成的封闭曲线交于E 、F 两点（E 在左侧），求证：四边形CEFD 是平行四边形．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）根据待定系数法即可解决问题．（2）先求出抛物线y 2的顶点坐标，再求出其解析式，利用方程组以及根与系数关系即可求出MN ．（3）用类似（2）的方法，分别求出CD 、EF 即可解决问题．试题解析：（1）∵二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点，∴，解得：，∴二次函数的解析式．（2）∵=，∴顶点坐标（﹣3，），∵将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，∴抛物线的顶点坐标（﹣1，），∴抛物线为，由，消去y整理得到，设，是它的两个根，则MN===；（3）由，消去y整理得到，设两个根为，，则CD===，由，消去y得到，设两个根为，，则EF===，∴EF=CD，EF∥CD，∴四边形CEFD是平行四边形．考点：二次函数综合题．14．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t （0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N ，当四边形PMQN 为正方形时，请求出t 的值．【答案】（1）B （10，4），C （0，4），215463y x x =-++；（2）3；（3）103或 203. 【解析】 试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C 点坐标，由矩形的性质可求得B 点坐标，由B 、D 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设P （t ，4），则可表示出E 点坐标，从而可表示出PB 、PE 的长，由条件可证得△PBE ∽△OCD ，利用相似三角形的性质可得到关于t 的方程，可求得t 的值；（3）当四边形PMQN 为正方形时，则可证得△COQ ∽△QAB ，利用相似三角形的性质可求得CQ 的长，在Rt △BCQ 中可求得BQ 、CQ ，则可用t 分别表示出PM 和PN ，可得到关于t 的方程，可求得t 的值．试题解析：解：（1）在y ＝ax 2＋bx ＋4中，令x ＝0可得y ＝4，∴C （0，4），∵四边形OABC 为矩形，且A （10，0），∴B （10，4），把B 、D 坐标代入抛物线解析式可得10010444240a b a b ++=⎧⎨-+=⎩， 解得1653a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线解析式为y ＝16-x 2＋53x ＋4； （2）由题意可设P （t ，4），则E （t ，16-t 2＋53t ＋4）， ∴PB ＝10﹣t ，PE ＝16-t 2＋53t ＋4﹣4＝16-t 2＋53t ， ∵∠BPE ＝∠COD ＝90°，当∠PBE ＝∠OCD 时，则△PBE ∽△OCD ， ∴PE PB OD OC=，即BP •OD ＝CO •PE ，∴2（10﹣t ）＝4（16-t 2＋53t ），解得t ＝3或t ＝10（不合题意，舍去）， ∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ；当∠PBE ＝∠CDO 时，则△PBE ∽△ODC ， ∴PE PB OC OD=，即BP •OC ＝DO •PE ， ∴4（10﹣t ）＝2（16-t 2＋53t ），解得t ＝12或t ＝10（均不合题意，舍去） 综上所述∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ； （3）当四边形PMQN 为正方形时，则∠PMC ＝∠PNB ＝∠CQB ＝90°，PM ＝PN ， ∴∠CQO ＋∠AQB ＝90°，∵∠CQO ＋∠OCQ ＝90°，∴∠OCQ ＝∠AQB ，∴Rt △COQ ∽Rt △QAB ， ∴CO OQ AQ AB=，即OQ •AQ ＝CO •AB ， 设OQ ＝m ，则AQ ＝10﹣m ，∴m （10﹣m ）＝4×4，解得m ＝2或m ＝8，①当m ＝2时，CQ BQ∴sin ∠BCQ ＝BQ BC ，sin ∠CBQ ＝CQ BC ，∴PM ＝PC •sin ∠PCQ t ，PN ＝PB •sin ∠CBQ （10﹣t ），∴t （10﹣t ），解得t ＝103， ②当m ＝8时，同理可求得t ＝203， ∴当四边形PMQN 为正方形时，t 的值为103或203． 点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在（1）中注意利用矩形的性质求得B 点坐标是解题的关键，在（2）中证得△PBE ∽△OCD 是解题的关键，在（3）中利用Rt △COQ ∽Rt △QAB 求得CQ 的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．15．如图，抛物线y=ax 2+c （a≠0）经过C （2，0），D （0，﹣1）两点，并与直线y=kx 交于A 、B 两点，直线l 过点E （0，﹣2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点M 、N ．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．【答案】解：（1）y=x2﹣1（2）详见解析（3）详见解析【解析】【分析】（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解。

备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇含答案

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备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇含答案一、二次函数1．某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量(y 万件)与销售单价(x 元)之间符合一次函数关系，其图象如图所示．()1求y 与x 的函数关系式；()2物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x 定为每件多少元时，厂家每月获得的利润()w 最大？最大利润是多少？【答案】（1）2280y x =-+；（2）当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元．【解析】【分析】()1根据函数图象经过点()40,200和点()60,160，利用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式；()2先根据利润=销售数量(⨯销售单价-成本)，由试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，结合电子产品的成本价即可得出x 的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值．【详解】解：()1设y 与x 的函数关系式为()0y kx b k =+≠，Q 函数图象经过点()40,200和点()60,160，{4020060160k b k b +=∴+=，解得：{2280k b =-=， y ∴与x 的函数关系式为2280y x =-+．()2由题意得：()()224022802360112002(90)5000w x x x x x =--+=-+-=--+． Q 试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元，∴自变量x 的取值范围是4080x ≤≤．20-<Q ，∴当90x <时，w 随x 的增大而增大，80x ∴=时，w 有最大值，当80x =时，4800w =，答：当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键，并注意最值的求法．2．已知抛物线26y x x c =-++.（1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围；（Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N 两点，若MN =C 的值； （Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ∆≅∆，求c 的取值范围.【答案】（I ）9c -…；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是2174c -<< 【解析】【分析】(1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解;(3)由OPA OQB ∆≅∆可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解.【详解】解：（I ）∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点， ∴一元二次方程260x x c -++=有实根。

2020-2021备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇含答案解析

2020-2021备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇含答案解析

2020-2021备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇含答案解析一、二次函数1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x =+.（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或317⎛+- ⎝⎭或317⎛-- ⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．2．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）.（2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0）， ∴2a 1b 12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=.∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=，∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3).又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭. ∵a 10<=-，-3302<<-∴线段QD 长度的最大值为94.3．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示．（1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？【答案】（1）y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）当x ＝15.5时，w 的最大值为1805元；（3）当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．【解析】【分析】（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 即可求解；（2）由题意得：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，即可求解；（3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，当x ＝13时，既能销售完又能获得最大利润．【详解】解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：2001530010k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：20500k b =-⎧⎨=⎩， 即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大，则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，当x ＝﹣2b a ＝312＝15.5时，w 的最大值为1805元； （3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；设：应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ，由题意得：50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.4．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x 元．求：（1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费p （元）关于x （元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？【答案】（1）y=60-10x ；（2）z=-110x 2+40x+12000；（3）w=-110x 2+42x+10800，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．【解析】试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；（2）已知每天定价增加为x 元，则每天要（200+x ）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；（3）支出费用为20×（60﹣10x ），则利润w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10x ），利用配方法化简可求最大值．试题解析：解：（1）由题意得： y =60﹣10x （2）p =（200+x ）（60﹣10x ）=﹣2110x +40x +12000 （3）w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10x ） =﹣2110x +42x +10800 =﹣110（x ﹣210）2+15210 当x =210时，w 有最大值．此时，x +200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．5．如图，过()A 1,0、()B 3,0作x 轴的垂线，分别交直线y 4x =-于C 、D 两点.抛物线2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．()1求抛物线的表达式；()2点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；()3若AOC V 沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中AOC V 与OBD V 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．【答案】（1）2413y x x 33=-+；（2）32332+332-；（3）13． 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3．设点M 的横坐标为x ，则求出MN =|43x 2﹣4x |；解方程|43x 2﹣4x |=3，求出x 的值，即点M 横坐标的值；（3）设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），利用平移性质求出S 的表达式：S 16=-（t ﹣1）213+；当t =1时，s 有最大值为13． 【详解】（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）． ∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx ，∴3931a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得43133a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的表达式为：y 43=-x 2133+x ． （2）存在．设直线OD 解析式为y =kx ，将D （3，1）代入，求得k 13=，∴直线OD 解析式为y 13=x ． 设点M 的横坐标为x ，则M （x ，13x ），N （x ，43-x 2133+x ），∴MN =|y M ﹣y N |=|13x ﹣（43-x 2133+x ）|=|43x 2﹣4x |． 由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3，∴|43x 2﹣4x |=3．若43x 2﹣4x =3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：x 32+=或x 32-= 若43x 2﹣4x =﹣3，整理得：4x 2﹣12x +9=0，解得：x 32=，∴存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：32或32+或32-． （3）∵C （1，3），D （3，1），∴易得直线OC 的解析式为y =3x ，直线OD 的解析式为y 13=x ． 如解答图所示，设平移中的三角形为△A 'O 'C '，点C '在线段CD 上．设O 'C '与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ；设A 'C '与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ．设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），则图中AF =t ，F （1+t ，0），Q （1+t ，1133+t ），C '（1+t ，3﹣t ）．设直线O 'C '的解析式为y =3x +b ，将C '（1+t ，3﹣t ）代入得：b =﹣4t ，∴直线O 'C '的解析式为y =3x ﹣4t ，∴E （43t ，0）． 联立y =3x ﹣4t 与y 13=x ，解得：x 32=t ，∴P （32t ，12t ）． 过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG 12=t ，∴S =S △OFQ ﹣S △OEP 12=OF •FQ 12-OE •PG 12=（1+t ）（1133+t ）12-•43t •12t 16=-（t ﹣1）213+ 当t =1时，S 有最大值为13，∴S 的最大值为13．【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN =AC =3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题的关键是求出S 的表达式，注意图形面积的计算方法．6．如图，抛物线y=﹣（x ﹣1）2+c 与x 轴交于A ，B （A ，B 分别在y 轴的左右两侧）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，已知A （﹣1，0）．（1）求点B ，C 的坐标；（2）判断△CDB 的形状并说明理由；（3）将△COB 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t ＜3）得到△QPE ．△QPE 与△CDB 重叠部分（如图中阴影部分）面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形；(Ⅲ)22333(0)221933(3)222t t t S t t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩. 【解析】【分析】（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B ，C 的坐标．（2）分别求出△CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形． （3）△COB 沿x 轴向右平移过程中，分两个阶段：①当0＜t≤32时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当32＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形． 【详解】解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()21y x c =--+上， ∴()2011c =---+，得4c = ∴抛物线解析式为：()214y x =--+， 令0x =，得3y =，∴()0,3C ；令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B .(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下：由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4.如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ∆中，由勾股定理得：22223332BC OB OC =+=+=； 在Rt CND ∆中，由勾股定理得：2222112CD CN DN =+=+=； 在Rt BMD ∆中，由勾股定理得：22222425BD BM DM =+=+=.∵222BC CD BD +=，∴CDB ∆为直角三角形.(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+，∵()()3,0,0,3B C ，∴303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得1,3k b =-=，∴3y x =-+，直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++；设直线BD 的解析式为y mx n =+，∵()()3,0,1,4B D ，∴304m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：2,6m n =-=， ∴26y x =-+. 连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ⎛⎫⎪⎝⎭. 在COB ∆向右平移的过程中：(1)当302t <≤时，如答图2所示：设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-.设QE 与BD 的交点为F ，则：263y x y x t=-+⎧⎨=-++⎩. 解得32x t y t=-⎧⎨=⎩， ∴()3,2F t t -. 111222QPE PBK FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ∆∆∆=--=⋅-⋅-⋅ ()221113333232222t t t t t =⨯⨯---⋅=-+.(2)当332t <<时，如答图3所示：设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J .∵CQ t =，∴KQ t =，3PK PB t ==-.直线BD 解析式为26y x =-+，令x t =，得62y t =-， ∴(),62J t t -.1122PBJ PBK S S S PB PJ PB PK ∆∆=-=⋅-⋅ ()()()211362322t t t =---- 219322t t =-+. 综上所述，S 与t 的函数关系式为：2233302219333222t t t S t t t ⎧⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩.7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当23x =-时，ADE ∆的面积取得最大值503；（3）P 点的坐标为()1,1-，(1,11-，(1,219--. 【解析】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；（2）根据函数解析式设出点D 坐标，过点D 作DG ⊥x 轴，交AE 于点F ，表示△ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可；（3）设出点P 坐标，分PA =PE ，PA =AE ，PE =AE 三种情况讨论分析即可．详解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6）， ∴16404206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得：34326a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩， 所以二次函数的解析式为：y =233642x x --+； （2）由A （﹣4，0），E （0，﹣2），可求AE 所在直线解析式为y =122x --， 过点D 作DN ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如图，设D （m ，233642m m --+），则点F （m ，122m --）， ∴DF =233642m m --+﹣（122m --）=2384m m --+， ∴S △ADE =S △ADF +S △EDF =12×DF ×AG +12DF ×EH =12×DF ×AG +12×DF ×EH =12×4×DF =2×（2384m m --+） =23250233m -++（）， ∴当m =23-时，△ADE 的面积取得最大值为503． （3）y =233642x x --+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求PA 29n +PE 212n ++（）AE 16425+=，分三种情况讨论： 当PA =PE 29n +212n ++（）n =1，此时P （﹣1，1）； 当PA =AE 29n +16425+=n =11，此时点P 坐标为（﹣1，11）；当PE =AE 212n ++（）16425+=n =﹣219P 坐标为：（﹣1，﹣219）．综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，111，﹣219）． 点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．8．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1(a≠0)交x轴于A，B(1，0)两点，交y轴于点C，一次函数y ＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F(1)求抛物线的解析式；(2)若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E 的坐标；若没有，请说明理由；(3)在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)4912，(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．【解析】【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）由函数图象上点的坐标特征：可设点E的坐标为（m，m+3），点F的坐标为（m，1 3m2+23m﹣1），由此得到EF＝﹣13m2+13m+4，根据二次函数最值的求法解答即可；（3）分三种情形①如图1中，当EG为菱形对角线时．②如图2、3中，当EC为菱形的对角线时，③如图4中，当ED为菱形的对角线时，分别求解即可．【详解】解：(1)将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为(﹣3，0)．设抛物线的解析式为y＝a(x﹣x1)(x﹣x2)，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，∴y＝a(x+3)(x﹣1)．∵点C的坐标为(0，﹣1)，∴﹣3a＝﹣1，得a＝13，∴抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)设点E的坐标为(m，m+3)，线段EF的长度为y，则点F的坐标为(m，13m2+23m﹣1)∴y ＝(m +3)﹣(13m 2+23m ﹣1)＝﹣13m 2+13m +4 即y ＝-13(m ﹣12) 2+4912， 此时点E 的坐标为(12，72)；(3)点G 的坐标为(2，1)，(﹣，﹣﹣1)，，﹣1)，(﹣4，3)． 理由：①如图1，当四边形CGDE 为菱形时．∴EG 垂直平分CD∴点E 的纵坐标y ＝132-+＝1， 将y ＝1带入y ＝x +3，得x ＝﹣2．∵EG 关于y 轴对称，∴点G 的坐标为(2，1)；②如图2，当四边形CDEG 为菱形时，以点D 为圆心，DC 的长为半径作圆，交AD 于点E ，可得DC ＝DE ，构造菱形CDEG设点E 的坐标为(n ，n +3)，点D 的坐标为(0，3)∴DE ∵DE ＝DC ＝4，∴4，解得n 1＝﹣，n 2＝．∴点E 的坐标为(﹣，﹣+3)或，+3)将点E 向下平移4个单位长度可得点G ，点G 的坐标为(﹣，﹣﹣1)(如图2)或，﹣1)(如图3)③如图4，“四边形CDGE 为菱形时，以点C 为圆心，以CD 的长为半径作圆，交直线AD 于点E ，设点E 的坐标为(k ，k +3)，点C 的坐标为(0，﹣1)．∴EC∵EC ＝CD ＝4，∴2k 2+8k +16＝16，解得k 1＝0(舍去)，k 2＝﹣4．∴点E 的坐标为(﹣4，﹣1)将点E 上移1个单位长度得点G ．∴点G 的坐标为(﹣4，3)．综上所述，点G 的坐标为(2，1)，(﹣，﹣﹣1)，，﹣1)，(﹣4，3)．【点睛】本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．9．已知抛物线2y ax bx c =++上有两点M (m +1，a )、N (m ，b ).(1)当a ＝－1，m ＝1时，求抛物线2y ax bx c =++的解析式；(2)用含a 、m 的代数式表示b 和c ；(3)当a ＜0时，抛物线2y ax bx c =++满足24b ac a -=，2b c a +≥，34m ≤-， 求a 的取值范围.【答案】（1）11b c =⎧⎨=⎩；（2）b=-am ，c=-am ；（3）161393a -≤≤- 【解析】【分析】（1）根据题意得到M (2，－1)、N (1，b )，代入抛物线解析式即可求出b 、c ；（2）将点M (m +1，a )、N (m ，b )代入抛物线2y ax bx c =++，可得22(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩，化简即可得出；（3）把b am =-，c am =-代入24b ac a -=可得214a m m=+，把b am =-，c am =-代入2b c a +≥可得1m ≥-，然后根据m 的取值范围可得a 的取值范围.【详解】解：(1)∵a ＝－1，m ＝1，∴M (2，－1)、N (1，b )由题意，得4211b c b c b -++=-⎧⎨-++=⎩，解，得11b c =⎧⎨=⎩ (2) ∵点M (m +1，a )、N (m ，b )在抛物线2y ax bx c =++上22(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩①②①－②得，2am b b +=-，∴b am =-把b am =-代入②，得c am =- (3)把b am =-，c am =-代入24b ac a -=得2224a m a m a +=0a <Q ，22141,4am am a m m∴+=∴=+ 把b am =-，c am =-代入2b c a +≥得22am a -≥，1m ∴≥-34m Q ≤-，314m ∴-≤≤- 224(2)4m m m +=+-Q ，当2m >-时，24m m +随m 的增大而增大2393416m m ∴-≤+≤-216113943m m ∴-≤≤-+ 即161393a -≤≤- 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出b am =-，c am =-是解题关键.10．如图1，已知抛物线y ＝ax 2+bx+3(a≠0)与x 轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．(4)如图2，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，10）或P（﹣1，﹣10）或P（﹣1，6）或P（﹣1，53）；（3）存在，Q（﹣1，2）；（4）63 8，315,24E⎛⎫-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M 的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．③当CM＝C P时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；（3）根据轴对称﹣最短路径问题解答；（4）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE＝S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在△BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩， 解得：12a b =-⎧⎨=-⎩． ∴所求抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3；（2）如答图1，∵抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3，∴其对称轴为x ＝22-＝﹣1， ∴设P 点坐标为（﹣1，a ），当x ＝0时，y ＝3，∴C （0，3），M （﹣1，0）∴当CP ＝PM 时，（﹣1）2+（3﹣a ）2＝a 2，解得a ＝53， ∴P 点坐标为：P 1（﹣1，53）； ∴当CM ＝PM 时，（﹣1）2+32＝a 2，解得a ＝±10，∴P 点坐标为：P 2（﹣1，10）或P 3（﹣1，﹣10）；∴当CM ＝CP 时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a ）2，解得a ＝6， ∴P 点坐标为：P 4（﹣1，6）．综上所述存在符合条件的点P ，其坐标为P （﹣1，10）或P （﹣1，﹣10）或P （﹣1，6）或P （﹣1，53）； （3）存在，Q （﹣1，2），理由如下：如答图2，点C （0，3）关于对称轴x ＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q ．设直线AC′函数关系式为：y ＝kx+t （k≠0）．将点A （1，0），C′（﹣2，3）代入，得023k t k t +=⎧⎨-+=⎩，解得11k t =-⎧⎨=⎩，所以，直线AC′函数关系式为：y ＝﹣x+1． 将x ＝﹣1代入，得y ＝2， 即：Q （﹣1，2）；（4）过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，设E （a ，﹣a 2﹣2a+3）（﹣3＜a ＜0）∴EF ＝﹣a 2﹣2a+3，BF ＝a+3，OF ＝﹣a ∴S 四边形BOCE ＝12BF•EF+12（OC+EF ）•OF ＝12（a+3）•（﹣a 2﹣2a+3）+12（﹣a 2﹣2a+6）•（﹣a ） ＝﹣32a 2﹣92a+92＝﹣32（a+32）2+638， ∴当a ＝﹣32时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为638． 此时，点E 坐标为（﹣32 ，154）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．11．我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是()2y=ax bx a 0+≠。

2020-2021备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇含答案解析(1)

2020-2021备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇含答案解析(1)

2020-2021备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇含答案解析(1)一、二次函数1．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则3k bb+=⎧⎨=⎩，解得：33kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．2．如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=12x2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.（1）求点B 的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE：EP=1：4 时，求点E 的坐标；（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到OC ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接C ′D、C′B，求C ′B+ 23C′D 的最小值．【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=12x2-x-32；（2）E(1，6)；（3）C′B＋2 3C′D4103【解析】试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得AE AP =AGAF=EGPF=15，从而求出E的坐标；（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝23C′D，由C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．试题解析：解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-122b=1，∴b=-1．∵抛物线过点A（-1，0），∴12-b+c=0，解得：c=-32，即：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32．令y=0，则12x2-x-32=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AEAP =AGAF=EGPF=15．又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则OM＝43，BM＝2243()3+＝973．∵423'23OMOC==，'23OCOD=，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴'2'3MCC D=，∴MC′＝23C′D，∴C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BM＝4103，∴C′B＋23C′D的最小值为4103．点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．【答案】(1)y ＝﹣x 2﹣2x+3；(2)点P(32-，154)；(3)符合条件的点D 的坐标为D 1(0，3)，D 2(﹣6，﹣3)，D 3(﹣2，﹣7)．【解析】【分析】 (1)令y ＝0，求出点A 的坐标，根据抛物线的对称轴是x ＝﹣1，求出点C 的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)设点P(m ，﹣m 2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B 的坐标，过点P 作PF ∥y 轴交直线AB 于点F ，利用S △ABP ＝S △PBF +S △PFA ，用含m 的式子表示出△ABP 的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P 的坐标；(3)求出点E 的坐标，然后求出直线BC 、直线BE 、直线CE 的解析式，再根据以点B 、E 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D 1D 2、直线D 1D 3、直线D 2D 3的解析式，即可求出交点坐标．【详解】解：(1)令y ＝0，可得：x ﹣1＝0，解得：x ＝1，∴点A(1，0)，∵抛物线y ＝ax 2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x ＝﹣1，∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，∴309330a b a b ++⎧⎨-+⎩＝＝ ，解得：12a b -⎧⎨-⎩＝，＝∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3；(2)∵点P 在直线AB 上方的抛物线上运动，∴设点P(m ，﹣m 2﹣2m+3)，∵抛物线与直线y ＝x ﹣1交于A 、B 两点，∴2231y x x y x ⎧--+⎨-⎩＝＝ ，解得：1145x y -⎧⎨-⎩＝＝，2210x y ＝，＝⎧⎨⎩ ∴点B(﹣4，﹣5)，如图，过点P 作PF ∥y 轴交直线AB 于点F ， 则点F(m ，m ﹣1)，∴PF ＝﹣m 2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m 2﹣3m+4，∴S △ABP ＝S △PBF +S △PFA ＝12(﹣m 2﹣3m+4)(m+4)+12(﹣m 2﹣3m+4)(1﹣m) ＝-52（m+32 ）2+ 1258 ， ∴当m ＝32-时，P 最大， ∴点P(32-，154).(3)当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，∴点E(﹣1，﹣2)，如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y ＝﹣x﹣3，∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9，联立533y xy x+⎧⎨+⎩＝＝得D1(0，3)，同理可得D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)，综上所述，符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解．4．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞ 【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵2，∴QF=1．①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=12PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12（23tt -）=21322t t -． 综上所述，S=2213 (03)22{13 (03)22t t t t t t t 或-+<<-．考点：二次函数综合题；分类讨论．5．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16-x 2+bx+c 表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为172m. （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16-x 2+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10 m ；(2)两排灯的水平距离最小是3．【解析】【详解】试题分析：根据点B 和点C 在函数图象上，利用待定系数法求出b 和c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y 的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x 的值，然后进行做差得出最小值．试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,2B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线上 所以41719326c b c =⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24b c =⎧⎨=⎩，所以21246y x x =-++ 所以，当62b x a =-=时，10t y =≦ 答：21246y x x =-++，拱顶D 到地面OA 的距离为10米 （2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）） 当x=2或x=10时，2263y =>，所以可以通过 （3）令8y =，即212486x x -++=，可得212240x x -+=，解得1266x x =+=-12x x -=答：两排灯的水平距离最小是考点：二次函数的实际应用．6．如图1，已知抛物线y ＝ax 2+bx+3(a≠0)与x 轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．(4)如图2，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，10）或P（﹣1，﹣10）或P（﹣1，6）或P（﹣1，53）；（3）存在，Q（﹣1，2）；（4）63 8，315,24E⎛⎫-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M 的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．③当CM＝C P时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；（3）根据轴对称﹣最短路径问题解答；（4）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE＝S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在△BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩．∴所求抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3； （2）如答图1，∵抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3， ∴其对称轴为x ＝22-＝﹣1， ∴设P 点坐标为（﹣1，a ），当x ＝0时，y ＝3， ∴C （0，3），M （﹣1，0）∴当CP ＝PM 时，（﹣1）2+（3﹣a ）2＝a 2，解得a ＝53， ∴P 点坐标为：P 1（﹣1，53）； ∴当CM ＝PM 时，（﹣1）2+32＝a 2，解得a ＝±10， ∴P 点坐标为：P 2（﹣1，10）或P 3（﹣1，﹣10）；∴当CM ＝CP 时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a ）2，解得a ＝6， ∴P 点坐标为：P 4（﹣1，6）．综上所述存在符合条件的点P ，其坐标为P （﹣1，10）或P （﹣1，﹣10）或P （﹣1，6）或P （﹣1，53）； （3）存在，Q （﹣1，2），理由如下：如答图2，点C （0，3）关于对称轴x ＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q ．设直线AC′函数关系式为：y ＝kx+t （k≠0）．将点A （1，0），C′（﹣2，3）代入，得023k t k t +=⎧⎨-+=⎩，解得11k t =-⎧⎨=⎩，所以，直线AC′函数关系式为：y ＝﹣x+1． 将x ＝﹣1代入，得y ＝2， 即：Q （﹣1，2）；（4）过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，设E （a ，﹣a 2﹣2a+3）（﹣3＜a ＜0）∴EF ＝﹣a 2﹣2a+3，BF ＝a+3，OF ＝﹣a ∴S 四边形BOCE ＝12BF•EF+12（OC+EF ）•OF ＝12（a+3）•（﹣a 2﹣2a+3）+12（﹣a 2﹣2a+6）•（﹣a ） ＝﹣32a 2﹣92a+92＝﹣32（a+32）2+638， ∴当a ＝﹣32时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为638． 此时，点E 坐标为（﹣32 ，154）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．7．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y1 3 =x2﹣3；（3）M的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．【解析】【分析】（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可；（2）把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．【详解】（1）将C（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：m＝﹣3；（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，所以点B的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：390ba b=-⎧⎨+=⎩，解得：133ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：y13=x2﹣3；（3）存在，分以下两种情况：①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC ＝45°+15°＝60°， ∴OD ＝OC •tan30°3=，设DC 为y ＝kx ﹣3，代入（3，0），可得：k 3=，联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 解得：121203336x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩，， 所以M 1（33，6）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ， 则∠OEC ＝45°-15°＝30°， ∴OE ＝OC •tan60°＝33，设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（33，0）可得：k 33=， 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解得：12120332x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩，， 所以M 2（3，﹣2）．综上所述M 的坐标为（33，6）或（3，﹣2）． 【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．8．如图1,在平面直角坐标系中,直线1y x =-与抛物线2y x bx c =-++交于A B 、两点，其中(),0A m ,()4,B n .该抛物线与y 轴交于点C ,与x 轴交于另一点D .(1)求mn 、的值及该抛物线的解析式;(2)如图2.若点P 为线段AD 上的一动点(不与A D 、重合).分别以AP 、DP 为斜边,在直线AD 的同侧作等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ,连接MN ,试确定△MPN 面积最大时P 点的坐标.(3)如图3.连接BD 、CD ,在线段CD 上是否存在点Q ,使得以A D Q 、、为顶点的三角形与△ABD 相似,若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）265y x x =-+-；（2）当2m =，即2AP =时，MPN S ∆最大，此时3OP =,所以()3,0P ；（3）存在点Q 坐标为2-3（，）或78-33⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 【解析】分析：（1）把A 与B 坐标代入一次函数解析式求出m 与n 的值，确定出A 与B 坐标，代入二次函数解析式求出b 与c 的值即可；（2）由等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ，得到∠MPN 为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN 面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P 的坐标即可； （3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ 的长，利用两点间的距离公式求出Q 坐标即可．详解：（1）把A （m ，0），B （4，n ）代入y =x ﹣1得：m =1，n =3，∴A （1，0），B （4，3）．∵y =﹣x 2+bx +c 经过点A 与点B ，∴101643b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得：65b c =⎧⎨=-⎩，则二次函数解析式为y =﹣x 2+6x ﹣5；（2）如图2，△APM 与△DPN 都为等腰直角三角形，∴∠APM =∠DPN =45°，∴∠MPN =90°，∴△MPN 为直角三角形，令﹣x 2+6x ﹣5=0，得到x =1或x =5，∴D （5，0），即DP =5﹣1=4，设AP =m ，则有DP =4﹣m ，∴PM =2m ，PN =2（4﹣m ），∴S △MPN =12PM •PN =12m （4﹣m ）=﹣14m 2﹣m =﹣14（m ﹣2）2+1，∴当m =2，即AP =2时，S △MPN 最大，此时OP =3，即P （3，0）；（3）存在，易得直线CD 解析式为y =x ﹣5，设Q （x ，x ﹣5），由题意得：∠BAD =∠ADC =45°，分两种情况讨论：①当△ABD ∽△DAQ 时，AB DA =BD AQ ，即4=4AQ ，解得：AQ =3，由两点间的距离公式得：（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=1283，解得：x =73，此时Q （73，﹣83）；②当△ABD ∽△DQA 时，BDAQ=1，即AQ ，∴（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=10，解得：x =2，此时Q （2，﹣3）．综上，点Q 的坐标为（2，﹣3）或（73，﹣83）．点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．9．如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B 与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处． 【解析】 【分析】（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处． 【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=32，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC﹣OC=32﹣3∴P1（0，3+32），P2（0，3﹣32）；②当PB=PC时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=1×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，2当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．10．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵PQ=2，∴QF=1．①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=12PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12（23t t -）=21322t t -．综上所述，S=2213(03)22{13 (03)22t t t t t t t 或-+<<-．考点：二次函数综合题；分类讨论．11．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上． ①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32，154） 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c ba++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得x=21-（舍去）或x=21--，∴点P （21--，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形 =12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P（32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为()1,0-，且4OA OC OB ==，抛物线()20y ax bx c a =++≠图象经过,,A B C 三点．（1）求,A C 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD AC ⊥于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．【答案】解：（1）点A 、C 的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；；（2）抛物线的表达式为：234y x x ＝﹣﹣ ； （3）PD 有最大值，当x ＝2时，其最大值为2，此时点P （2，﹣6）．【解析】【分析】（1）OA ＝OC ＝4OB ＝4，即可求解；（2）抛物线的表达式为：234y x x ＝a （x+1）(x-4)=a(﹣﹣) ，即可求解； （3）224342--++＝（）PD x x x ，即可求解． 【详解】 解：（1）OA ＝OC ＝4OB ＝4，故点A 、C 的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；（2）抛物线的表达式为：234y x x ＝a （x+1）(x-4)=a(﹣﹣)， 即﹣4a ＝﹣4，解得：a ＝1，故抛物线的表达式为：234y x x --＝ ；（3）直线CA 过点C ，设其函数表达式为：4y kx -＝，将点A 坐标代入上式并解得：k ＝1，故直线CA 的表达式为：y ＝x ﹣4，过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H ，∵OA ＝OC ＝4，45OAC OCA ∴∠∠︒＝＝ ，∵//PH y 轴，45PHD OCA ∴∠∠︒＝＝，设点234P x x x --（，），则点H （x ，x ﹣4）， 2224342222--+++＝（）=-PD x x x x x ∵2＜0，∴PD 有最大值，当x ＝2时，其最大值为22 此时点P （2，﹣6）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示PD ，是本题解题的关键13．如图所示抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A -，点()0,3C ，且OB OC = （1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点,D E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值；（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分，求点P 的坐标.【答案】（1）2y x 2x 3=-++，对称轴为直线1x =；（2）四边形ACDE 的周长最小值为10131++；（3）12(4,5),(8,45)P P --【解析】【分析】（1）OB=OC ，则点B （3，0），则抛物线的表达式为：y=a （x+1）（x-3）=a （x 2-2x-3）=ax 2-2ax-3a ，即可求解；（2）CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D 、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，即可求解；（3）S △PCB ：S △PCA =12EB×（y C -y P ）：12AE×（y C -y P ）=BE ：AE ，即可求解． 【详解】（1）∵OB=OC ，∴点B （3，0），则抛物线的表达式为：y=a （x+1）（x-3）=a （x 2-2x-3）=ax 2-2ax-3a ，故-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x 2+2x+3…①；对称轴为：直线1x =（2）ACDE 的周长=AC+DE+CD+AE ，其中AC=10、DE=1是常数，故CD+AE 最小时，周长最小，取点C 关于函数对称点C （2，3），则CD=C′D ，取点A′（-1，1），则A′D=AE ，故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D 、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，四边形ACDE 的周长的最小值10101013（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，又∵S△PCB：S△PCA=12EB×（y C-y P）：12AE×（y C-y P）=BE：AE，则BE：AE，=3：5或5：3，则AE=52或32，即：点E的坐标为（32，0）或（12，0），将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点A′点来求最小值，是本题的难点．14．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=S△ACD，求点E的坐标；（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；（2）点E的坐标为E（﹣4，5）（3）当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG.【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方求对称轴；（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），先根据已知条件求S△ACE=10，根据不规则三角形面积等于铅直高度与水平宽度的积列式可求得m的值，并根据在对称轴左侧的抛物线上有一点E，则点E 的横坐标小于﹣1，对m的值进行取舍，得到E的坐标；（3）分两种情况：①当B在原点的左侧时，构建辅助圆，根据直径所对的圆周角是直角，只要满足∠BPF=90°就可以构成∠OBP=∠FPG，如图2，求出圆E与y轴有一个交点时的m值，则可得取值范围；②当B在原点的右侧时，只有△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形时满足条件，直接计算即可．试题解析：（1）当m=﹣3时，B（﹣3，0），把A（1，0），B（﹣3，0）代入到抛物线y=x2+bx+c中得：，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），由题意得：AD=1+1=2，OC=3，S△ACE=S△ACD=×ADOC=×2×3=10，设直线AE的解析式为：y=kx+b，把A（1，0）和E（m，m2+2m﹣3）代入得，，解得：，∴直线AE的解析式为：y=（m+3）x﹣m﹣3，∴F（0，﹣m﹣3），∵C（0，﹣3），∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m，∴S△ACE=FC（1﹣m）=10，﹣m（1﹣m）=20，m2﹣m﹣20=0，（m+4）（m﹣5）=0，m1=﹣4，m2=5（舍），∴E（﹣4，5）；（3）如图2，当B在原点的左侧时，连接BF，以BF为直径作圆E，当⊙E与y轴相切时，设切点为P，∴∠BPF=90°，∴∠FPG+∠OPB=90°，∵∠OPB+∠OBP=90°，∴∠OBP=∠FPG，连接EP，则EP⊥OG，∵BE=EF，∴EP是梯形的中位线，∴OP=PG=2，∵FG=1，tan∠FPG=tan∠OBP=，∴，∴m=﹣4，∴当﹣4≤m＜0时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG；如图3，当B在原点的右侧时，要想满足∠OBP=∠FPG，则∠OBP=∠OPB=∠FPG，∴OB=OP，∴△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形，∴FG=PG=1，∴OB=OP=3，∴m=3，综上所述，当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG．考点：二次函数的综合题.15．如图1,抛物线2112y ax x c =-+与x 轴交于点A 和点()1,0B ,与y 轴交于点30,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭,抛物线1y 的顶点为,G GM x ⊥轴于点M ．将抛物线1y 平移后得到顶点为B 且对称轴为直l 的抛物线2y ．(1)求抛物线2y 的解析式；(2)如图2,在直线l 上是否存在点T ,使TAC ∆是等腰三角形?若存在,请求出所有点T 的坐标:若不存在,请说明理由；(3)点P 为抛物线1y 上一动点,过点P 作y 轴的平行线交抛物线2y 于点Q ，点Q 关于直线l 的对称点为R ，若以,,P Q R 为顶点的三角形与AMC ∆全等,求直线PR 的解析式．【答案】（1）抛物线2y 的解析式为2111424y x x =-+-；（2）T 点的坐标为13137(1,4T +,23137(1,4T -,377(1,)8T -；（3）PR 的解析式为13y x 24=-+或1124y x =--. 【解析】分析：（1）把()1,0B 和30,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入2112y ax x c =-+求出a 、c 的值，进而求出y 1，再根据平移得出y 2即可；（2）抛物线2y 的对称轴l 为1x =,设()1,T t ,已知()33,0,0,4A C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点T 作TE y ⊥轴于E ,分三种情况时行讨论等腰三角形的底和腰，得到关于t 的方程，解方程即可； （3）设2113,424P m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,则2111,424Q m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭,根据对称性得21112,424R m m m ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭,分点P 在直线的左侧或右侧时,结合以,,P Q R 构成的三角形与AMG ∆全等求解即可.详解:(1)由题意知，34102c a c ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 解得14a =-， 所以,抛物线y 的解析式为21113424y x x =--+； 因为抛物线1y 平移后得到抛物线2y ,且顶点为()1,0B ， 所以抛物线2y 的解析式为()22114y x =--， 即： 22111424y x x =-+-； (2)抛物线2y 的对称轴l 为1x =,设()1,T t ,已知()33,0,0,4A C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 过点T 作TE y ⊥轴于E ,则22221TC TE CE =+=+ 2233254216t t t ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 222TA TB AB =+= ()2221316t t ++=+，。

2020-2021中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优易错试卷篇附详细答案

2020-2021中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优易错试卷篇附详细答案

2020-2021中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优易错试卷篇附详细答案一、二次函数1．（6分）（2015•牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．【答案】（1）y=-2x-3；（2）．【解析】试题分析：（1）把A,B两点坐标代入，求待定系数b,c，进而确定抛物线的解析式；（2）连接BE，点F是AE中点，H是AB中点，则FH为三角形ABE的中位线，求出BE的长，FH就知道了，先由抛物线解析式求出点E坐标，根据勾股定理可求BE，再根据三角形中位线定理求线段HF的长．试题解析：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴把A,B两点坐标代入得：，解得：，∴抛物线的解析式是：y=-2x-3；（2）∵点E（2，m）在抛物线上，∴把E点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得：m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E（2，﹣3），∴BE==．∵点F是AE中点，点H是抛物线的对称轴与x轴交点，即H为AB的中点，∴FH是三角形ABE的中位线，∴FH=BE=×=．∴线段FH的长．考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理．2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a，解得：a=14，∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x2-x+1．（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．∵点B （4，1），直线l 为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0）， 将A （1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43， 当y=-1时，有-1312x+43=-1， 解得：x=2813， ∴点P 的坐标为（2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1． ∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，∴n=14m2-m+1，∴m2-2x0m+x02-2y0（14m2-m+1）+y02=2（14m2-m+1）+1，整理得：（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．∵m为任意值，∴00220001110222220230yx yx y y⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝，∴021xy⎧⎨⎩＝＝，∴定点F的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=94；②P（2，﹣3）或（2﹣）． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3； （2）设BC 的解析式为y=kx+b ， 将B ，C 的坐标代入函数解析式，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， BC 的解析式为y=x ﹣3，设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3）， PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+94， 当n=32时，PM 最大=94； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2， 解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2， n 2﹣2n ﹣3=-3， P （2，-3）；当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2（不符合题意，舍），n 3， n 2﹣2n ﹣， P （，综上所述：P （2，﹣3）或（，2﹣）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.4．对于二次函数 y=ax 2+（b+1）x+（b ﹣1），若存在实数 x 0，使得当 x=x 0，函数 y=x 0，则称x 0 为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b ，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A 、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A 、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值. 【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－98【解析】 【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x 2-x-3，根据x o 是函数y 的一个不动点的定义，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o 是函数y 的一个不动点的定义得到ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，整理得ax 02+bx o +（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，把b 2-4ab+4a 看作b 的二次函数，由于对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，则（4a ）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a ，b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得. 【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x 2-x-3，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，解得x o =-1或x o =3，所以函数y 的不动点为-1和3；（2）因为y=x o ，所以ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，即ax 02+bx o +（b-1）=0，因为函数y 恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，而对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，所以（4a ）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a=- A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b ba a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称， 又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上.∴b a -=ba-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.5．如图所示，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值. 【答案】(1)y=-224(2)4y x x x =-+=--+，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4） (2)m 、n 的值分别为 5，-5 【解析】（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得： 4b+c-16=0，b+c-1="3" ， 解得：b="4" ， c=0．所以抛物线的表达式为：24y x x =-+． y=-224(2)4y x x x =-+=--+，所以 抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）． （2） 由题可知，E 、F 点坐标分别为（4-m ，n ），（m-4，n ）． 三角形POF 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|， 三角形AOP 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，四边形OAPF 的面积= 三角形POF 的面积+三角形AOP 的面积=20， 所以 4|n|=20， n=-5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以n<0） 又n=-2m +4m ，所以2m -4m-5=0，m=5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以m>0) 故所求m 、n 的值分别为 5，-5．6．如图，直线y ＝-12x-3与x 轴，y 轴分别交于点A ，C ，经过点A ，C 的抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与x 轴的另一个交点为点B(2，0)，点D 是抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接AD ，DC ．设点D 的横坐标为m ． (1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第三象限，设△DAC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点D 的坐标；(3)连接BC ，若∠EAD ＝∠OBC ，请直接写出此时点D 的坐标．【答案】(1)y ＝14x 2+x ﹣3；(2)S △ADC =﹣34(m+3)2+274；△ADC 的面积最大值为274；此时D(﹣3，﹣154)；(3)满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21). 【解析】 【分析】（1）求出A 坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE 与AC 的交点为点F.设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)，根据S △ADC ＝S △ADF +S △DFC 求出解析式，再求最值；（3）①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ．②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝32x+9，解方程组求出函数图像交点坐标. 【详解】解：(1)在y ＝﹣12x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6， 即点A 的坐标为：(﹣6，0)，将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得：366304230a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)， 设DE 与AC 的交点为点F. ∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣32m ，∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC ＝12DF•AE+12•DF•OE ＝12DF•OA ＝12×(﹣14m 2﹣32m)×6 ＝﹣34m 2﹣92m ＝﹣34(m+3)2+274，∵a ＝﹣34＜0，∴抛物线开口向下，∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值274， 又∵当m ＝﹣3时，14m 2+m ﹣3＝﹣154，∴存在点D(﹣3，﹣154)，使得△ADC 的面积最大，最大值为274； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ． ②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)， 直线AD′的解析式为y ＝32x+9， 由2392134y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得60x y =-⎧⎨=⎩或821x y =⎧⎨=⎩，此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件， 综上所述，满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.7．如图，菱形ABCD 的边长为20cm ，∠ABC ＝120°，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 从点A 出发，以4cm /s 的速度，沿A →B 的路线向点B 运动；过点P 作PQ ∥BD ，与AC 相交于点Q ，设运动时间为t 秒，0＜t ＜5．（1）设四边形PQCB 的面积为S ，求S 与t 的关系式；（2）若点Q 关于O 的对称点为M ，过点P 且垂直于AB 的直线l 交菱形ABCD 的边AD （或CD ）于点N ，当t 为何值时，点P 、M 、N 在一直线上？（3）直线PN 与AC 相交于H 点，连接PM ，NM ，是否存在某一时刻t ，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) S=﹣231003t 0＜t ＜5）； (2) 307;(3)见解析. 【解析】 【分析】（1）如图1，根据S=S △ABC -S △APQ ，代入可得S 与t 的关系式；（2）设PM=x ，则AM=2x ，可得3，计算x 的值，根据直角三角形30度角的性质可得3AM=AO+OM ，列方程可得t 的值； （3）存在，通过画图可知：N 在CD 上时，直线PN 平分四边形APMN 的面积，根据面积相等可得MG=AP ，由AM=AO+OM ，列式可得t 的值． 【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=60°，AC ⊥BD ， ∴∠OAB=30°， ∵AB=20，∴OB=10，3 由题意得：AP=4t ， ∴PQ=2t ，3，∴S=S △ABC ﹣S △APQ ， =11··22AC OB PQ AQ -， =111020322322t t ⨯⨯-⨯⨯ ， =﹣23t 2+1003（0＜t ＜5）；（2）如图2，在Rt △APM 中，AP=4t ，∵点Q 关于O 的对称点为M ，∴OM=OQ ，设PM=x ，则AM=2x ，∴AP=3x=4t ，∴x=3， ∴AM=2PM=3， ∵AM=AO+OM ，∴3=103+103﹣23t ， t=307； 答：当t 为307秒时，点P 、M 、N 在一直线上； （3）存在，如图3，∵直线PN 平分四边形APMN 的面积，∴S △APN =S △PMN ，过M 作MG ⊥PN 于G ， ∴11··22PN AP PN MG = ， ∴MG=AP ，易得△APH ≌△MGH ， ∴3， ∵AM=AO+OM ，同理可知：3﹣3，3333t ， t=3011．答：当t为3011秒时，使得直线PN平分四边形APMN的面积．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.8．已知点A（﹣1，2）、B（3，6）在抛物线y=ax2+bx上(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x 轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；(3)如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2﹣x；(2)证明见解析；(3)当运动时间为或秒时，QM=2PM．【解析】【分析】（1）（1）A，B的坐标代入抛物线y=ax2+bx中确定解析式；（2）把A点坐标代入所设的AF的解析式，与抛物线的解析式构成方程组，解得G点坐标，再通过证明三角形相似，得到同位角相等，两直线平行；（3）具体见详解.【详解】．解：（1）将点A（﹣1，2）、B（3，6）代入中，，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，将点A（﹣1，2）代入y=kx+m中，即﹣k+m=2，∴k=m﹣2，∴直线AF的解析式为y=（m﹣2）x+m．联立直线AF和抛物线解析式成方程组，，解得：或，∴点G的坐标为（m，m2﹣m）．∵GH⊥x轴，∴点H的坐标为（m，0）．∵抛物线的解析式为y=x2﹣x=x（x﹣1），∴点E的坐标为（1，0）．过点A作AA′⊥x轴，垂足为点A′，如图1所示．∵点A（﹣1，2），∴A′（﹣1，0），∴AE=2，AA′=2．∴ =1， = =1，∴= ，∵∠AA′E=∠FOH，∴△AA′E∽△FOH，∴∠AEA′=∠FHO，∴FH∥AE．（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，将A（﹣1，2）、B（3，6）代入y=k0x+b0中，得，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+3，当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣3，t），点Q的坐标为（t，0）．当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示，∵QM=2PM，∴ =，∴QM′=QP'=2，MM′=PP'=t，∴点M的坐标为（t﹣2， t）．又∵点M在抛物线y=x2﹣x上，∴ t=（t﹣2）2﹣（t﹣2），解得：t=；当点M在线段QP的延长线上时，同理可得出点M的坐标为（t﹣6，2t），∵点M在抛物线y=x2﹣x上，∴2t=（t﹣6）2﹣（t﹣6），解得：t=．综上所述：当运动时间秒或时，QM=2PM．【点睛】本题考查二次函数综合运用，综合能力是解题关键.9．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；（2）点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；（3）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，﹣1）；（3）42【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如图1，设D（2，y），利用两点间的距离公式得到BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，然后讨论：当BD为斜边时得到18+4+（y﹣3）2=1+y2；当CD 为斜边时得到4+（y﹣3）2=1+y2+18，再分别解方程即可得到对应D的坐标；（3）先证明∠CEF=90°得到△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，则PE 2，PF2，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），接着利用t表示PF、PE，这样PE+EF=2PE+PF=﹣2t22，然后利用二次函数的性质解决问题．试题解析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得：9303b cc++=⎧⎨=⎩，解得：43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=x2﹣4x+3；（2）如图1，抛物线的对称轴为直线x=﹣42-=2，设D（2，y），B（3，0），C（0，3），∴BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y﹣3）2=1+y2，解得：y=5，此时D点坐标为（2，5）；当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即4+（y﹣3）2=1+y2+18，解得：y=﹣1，此时D点坐标为（2，﹣1）；（3）易得BC的解析式为y=﹣x+3．∵直线y=x+m与直线y=x平行，∴直线y=﹣x+3与直线y=x+m垂直，∴∠CEF=90°，∴△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC 于G ，如图2，△EPG 、△PHF 都为等腰直角三角形，PE =22PG ，PF =2PH ，设P （t ，t 2﹣4t +3）（1＜t ＜3），则G （t ，﹣t +3），∴PF =2PH =2t ，PG =﹣t +3﹣（t 2﹣4t +3）=﹣t 2+3t ，∴PE =2PG =﹣2t 2+32t ，∴PE +EF =PE +PE +PF =2PE +PF =﹣2t 2+32t +2t =﹣2t 2+42t =﹣2（t ﹣2）2+42，当t =2时，PE +EF 的最大值为42．点睛：本题考查了二次函数的综合题．熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．10．某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系如图所示．（1）根据图象直接写出y 与x 之间的函数关系式．（2）设这种商品月利润为W （元），求W 与x 之间的函数关系式．（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？【答案】（1）y ＝180(4060)3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩；（2）W ＝222105400(4060)33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．【解析】【分析】（1）当40≤x≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，当60＜x≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y=mx+n ，解方程组即可得到结论；（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；（3）当40≤x≤60时，W=-x 2+210x-5400，得到当x=60时，W 最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x 2+390x-9000，得到当x=65时，W 最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论．【详解】解：（1）当40≤x ≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx +b ，将（40，140），（60，120）代入得4014060120k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：1180k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣x +180；当60＜x ≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝mx +n ，将（90，30），（60，120）代入得903060120m n m n +=⎧⎨+=⎩， 解得：3300m n =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝﹣3x +300；综上所述，y ＝180(4060)3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩； （2）当40≤x ≤60时，W ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣x +180）＝﹣x 2+210x ﹣5400， 当60＜x ≤90时，W ＝（x ﹣30）（﹣3x +300）＝﹣3x 2+390x ﹣9000，综上所述，W ＝222105400(4060)33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩； （3）当40≤x ≤60时，W ＝﹣x 2+210x ﹣5400，∵﹣1＜0，对称轴x ＝2102--＝105， ∴当40≤x ≤60时，W 随x 的增大而增大，∴当x ＝60时，W 最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，当60＜x ≤90时，W ＝﹣3x 2+390x ﹣9000，∵﹣3＜0，对称轴x ＝3906--＝65， ∵60＜x ≤90，∴当x ＝65时，W 最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，∵3675＞3600，∴当x ＝65时，W 最大＝3675，答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．11．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A ，与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为(1,0)-．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P ，使PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++ （2）最大值为10 （3）故点P 坐标为：315(,)24或33232(24+--或332362(,24--+． 【解析】【分析】（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式，即可求解； （2）矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，即可求解； （3）2711sin4532822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯94PH HG ==，即可求解．【详解】（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式得：044a =+，解得：1a =-，故函数表达式为：223y x x =-++…①；（2）设点M 的坐标为()2,23x x x -++，则点()22,23N x x x --++，则222MN x x x =-+=-，223GM x x =-++，矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++， ∵20-<，故当22b x a =-=，C 有最大值，最大值为10， 此时2x =，点()0,3N 与点D 重合； （3）PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916， 则99272316168PNC S MN GM ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 连接DC ，在CD 得上下方等距离处作CD 的平行线m 、n ，过点P 作y 轴的平行线交CD 、直线n 于点H 、G ，即PH GH =，过点P 作PK CD ⊥于点K ，将()3,0C 、()0,3D 坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD 的表达式为：3y x =-+，OC OD =，∴45OCD ODC PHK ∠=∠=︒=∠，32CD =设点()2,23P x x x -++，则点(),3H x x -+， 2711sin4532822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯ 解得：94PH HG ==， 则292334PH x x x =-+++-=， 解得：32x =， 故点315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线n 的表达式为：93344y x x =-+-=-+…②， 联立①②并解得：332x ±=即点'P 、''P 的坐标分别为332362,⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭、332362,⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭； 故点P 坐标为：315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或332362,24⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭或332362,24⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．12．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，将OBC V 沿BC 所在的直线翻折，得到DBC △，连接OD ． （1）用含a 的代数式表示点C 的坐标．（2）如图1，若点D 落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方，求抛物线的解析式．（3）设OBD V 的面积为S 1，OAC V 的面积为S 2，若1223S S =，求a 的值．【答案】（1）(0,3)C a -；(2) 抛物线的表达式为：252535y x =++； (3) 22a =-22a =【解析】【分析】（1）根据待定系数法，得到抛物线的表达式为：()2(1)(3)23y a x x a x x =+-=--，即可求解；（2）根据相似三角形的判定证明CPD DQB V V ∽，再根据相似三角形的性质得到CP PD CD DQ BQ BD==，即可求解； （3）连接OD 交BC 于点H ，过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ，由三角形的面积公式得到1223S S =，29m DM =，11299m HN DM OC ===，而22899m HN ON BN ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，即可求解． 【详解】（1）抛物线的表达式为：()2(1)(3)23y a x x a x x =+-=--，即3c a =-，则点(0,3)C a -；（2）过点B 作y 轴的平行线BQ ，过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点P 、交BQ 于点Q ， ∵90CDP PDC ︒∠+∠=，90PDC QDB ︒∠+∠=，∴QDB DCP ∠=∠，设：(1,)D n ，点(0,3)C a -，90CPD BQD ︒∠=∠=，∴CPD DQB V V ∽，∴CP PD CD DQ BQ BD==， 其中：3CP n a =+，312DQ =-=，1PD =，BQ n =，3CD a =-，3BD =， 将以上数值代入比例式并解得：5a =±， ∵0a <，故55a =-， 故抛物线的表达式为：252535555y x x =-++； （3）如图2，当点C 在x 轴上方时，连接OD 交BC 于点H ，则DO BC ⊥，过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ，设：3OC m a ==-，11322OBD S S OB DM DM ∆==⨯⨯=， 2112OAC S S m ∆==⨯⨯，而1223S S =， 则29m DM =，11299m HN DM OC ===， ∴1193BN BO ==，则18333ON =-=， 则DO BC ⊥，HN OB ⊥，则BHN HON ∠=∠，则tan tan BHN HON ∠=∠，则22899m HN ON BN ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭， 解得：62m =±（舍去负值），|3|62CO a =-=，解得：22a =-（不合题意值已舍去），故：22a =-．当点C 在x 轴下方时，同理可得：22a =；故：22a =-或22a =【点睛】本题考查的是二次函数综合运用、一次函数、三角形相似、图形的面积计算，其中（3）用几何方法得出：22899m HN ON BN ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，是本题解题的关键．13．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y 轴交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、 Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ.①若点P 的横坐标为12-，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标； ②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.【答案】（1）抛物线y=-x 2+2x+3；（2）①点D （ 31524，）；②△PQD 面积的最大值为8【解析】分析：（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）（I ）由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+54），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+6x+72，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，进而可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．详解：（1）将A （-1，0）、B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，得：309330a b a b -+⎧⎨++⎩＝＝，解得：12a b -⎧⎨⎩＝＝， ∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3．（2）（I ）当点P 的横坐标为-12时，点Q 的横坐标为72， ∴此时点P 的坐标为（-12，74），点Q 的坐标为（72，-94）． 设直线PQ 的表达式为y=mx+n ，将P （-12，74）、Q （72，-94）代入y=mx+n ，得： 17247924m n m n ⎧-+⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩＝＝，解得：154m n -⎧⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴直线PQ 的表达式为y=-x+54． 如图②，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+54），∴DE=-x2+2x+3-（-x+54）=-x2+3x+74，∴S△DPQ=12DE•（x Q-x P）=-2x2+6x+72=-2（x-32）2+8．∵-2＜0，∴当x=32时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（32，154）．（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，∴点P的坐标为（t，-t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3．设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，∴S△DPQ=12DE•（x Q-x P）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．∵-2＜0，∴当x=t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+6x+72；（II）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t．14．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F （0，12），当点P 在x 轴上运动时，试求m 为何值时，四边形DMQF 是平行四边形？ （3）点P 在线段AB 运动过程中，是否存在点Q ，使得以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣12x 2+32x+2；（2）m=﹣1或m=3时，四边形DMQF 是平行四边形；（3）点Q 的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似．【解析】 分析：（1）待定系数法求解可得；（2）先利用待定系数法求出直线BD 解析式为y=12x-2，则Q （m ，-12m 2+32m+2）、M （m ，12m-2），由QM ∥DF 且四边形DMQF 是平行四边形知QM=DF ，据此列出关于m 的方程，解之可得；（3）易知∠ODB=∠QMB ，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB ∽△MBQ 得12DO MB OB BQ ==，再证△MBQ ∽△BPQ 得BM BP BQ PQ =，即214 132222m m m -=-++，解之即可得此时m 的值；②∠BQM=90°，此时点Q 与点A 重合，△BOD ∽△BQM′，易得点Q 坐标．详解：（1）由抛物线过点A （-1，0）、B （4，0）可设解析式为y=a （x+1）（x-4）， 将点C （0，2）代入，得：-4a=2，解得：a=-12， 则抛物线解析式为y=-12（x+1）（x-4）=-12x 2+32x+2； （2）由题意知点D 坐标为（0，-2），设直线BD 解析式为y=kx+b ，将B （4，0）、D （0，-2）代入，得：402k b b +⎧⎨-⎩＝＝，解得：122k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝， ∴直线BD 解析式为y=12x-2， ∵QM ⊥x 轴，P （m ，0）， ∴Q （m ，--12m 2+32m+2）、M （m ，12m-2）， 则QM=-12m 2+32m+2-（12m-2）=-12m 2+m+4， ∵F （0，12）、D （0，-2）， ∴DF=52， ∵QM ∥DF ，∴当-12m 2+m+4=52时，四边形DMQF 是平行四边形， 解得：m=-1（舍）或m=3，即m=3时，四边形DMQF 是平行四边形；（3）如图所示：∵QM ∥DF ，∴∠ODB=∠QMB ，分以下两种情况：①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB ∽△MBQ ，则21=42DO MB OB BQ ==， ∵∠MBQ=90°，∴∠MBP+∠PBQ=90°，∵∠MPB=∠BPQ=90°，∴∠MBP+∠BMP=90°，∴∠BMP=∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴BM BP BQ PQ=，即214132222mm m-=-++，解得：m1=3、m2=4，当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，此时m=-1，点Q的坐标为（-1，0）；综上，点Q的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．15．如图，已知抛物线2(0)y ax bx a=+≠过点A(3,-3) 和B(33,0)，过点A作直线AC//x轴，交y轴与点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得13AOC AOQS S∆∆=?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）213322y x x=-；（2）P点坐标为（3）或（833,-43）；（3）Q 点坐标（30）或（315）【解析】【分析】（1）把A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出解析式；（2）设P坐标为21,2x x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，表示出AD 与PD ，由相似分两种情况得比例求出x的值，即可确定出P 坐标；（3）存在，求出已知三角形AOC 边OA 上的高h ，过O 作OM ⊥OA ，截取OM=h,与y 轴交于点N ，分别确定出M 与N 坐标，利用待定系数法求出直线MN 解析式，与抛物线解析式联立求出Q 坐标即可．【详解】（1）把A 3)-和点B 0)代入抛物线得：33270a a ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩， 解得：12a =，b =，则抛物线解析式为212y x x =-； （2）当P 在直线AD 上方时，设P坐标为21,2x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则有AD x =21322PD x x =-+， 当OCA ADP ∆∆∽时，OC CA AD DP ==，整理得：23186x -+=-，即23240x -+=，解得：6x =，即3x =或x =此时(3P ，4)3-； 当OCA PDA ∆∆∽时，OC CA PD AD ==，296x x -+=-2120x -+=，解得：x =x =此时P 6)；当点()0,0P 时，也满足OCA PDA ∆∆∽；当P 在直线AD 下方时，同理可得：P的坐标为10)3-，综上，P的坐标为83(3，4)3-或(43，6)或43(3，10)3-或()0,0；（3）在Rt AOC∆中，3OC=，3AC=，根据勾股定理得：23OA=，Q11··22OC AC OA h=，32h∴=，1333AOC AOQS S∆∆==Q，AOQ∴∆边OA上的高为92，过O作OM OA⊥，截取92OM=，过M作//MN OA，交y轴于点N，如图所示：在Rt OMN∆中，29ON OM==，即()0,9N，过M作MH x⊥轴，在Rt OMH∆中，1924MH OM==，393OH==，即93(M，9)4，设直线MN解析式为9y kx=+，把M坐标代入得：99394=+，即3k=39y x=+，联立得：2391332y xy x x⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩，解得：33xy⎧=⎪⎨=⎪⎩315xy⎧=-⎪⎨=⎪⎩(33Q0)或(23-，15)，则抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，此时点Q 的坐标为0)或(-15)．【点睛】二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．。

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优易错试卷篇及详细答案

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优易错试卷篇及详细答案

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优易错试卷篇及详细答案一、二次函数1．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y （盒）与销售单价x （元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w 元．（1）求w 与x 之间的函数关系式；（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？【答案】（1）w=﹣2x 2+480x ﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元 【解析】 【分析】 （1）用每件的利润()80x -乘以销售量即可得到每天的销售利润，即()()()80802320w x y x x =-=--+， 然后化为一般式即可；（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式()221203200w x =--+，然后根据二次函数的最值问题求解；（3）求2400w =所对应的自变量的值，即解方程()2212032002400x --+=．然后检验即可. 【详解】（1）()()()80802320w x y x x =-=--+， 2248025600x x =-+-，w 与x 的函数关系式为：2248025600w x x =-+-； （2）()2224802560021203200w x x x =-+-=--+， 2080160x -<≤≤Q ，，∴当120x =时，w 有最大值．w 最大值为3200．答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元． （3）当2400w =时，()2212032002400x --+=． 解得：12100140x x ，．== ∵想卖得快，2140x ∴=不符合题意，应舍去．答：销售单价应定为100元．2．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）的对称轴为直线x ＝﹣1，抛物线交x 轴于A 、C 两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)点P(32-，154)；(3)符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．【解析】【分析】(1)令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PF∥y 轴交直线AB于点F，利用S△ABP＝S△PBF+S△PFA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；(3)求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标．【详解】解：(1)令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，∴点A(1，0)，∵抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，∴309330a ba b++⎧⎨-+⎩＝＝，解得：12ab-⎧⎨-⎩＝，＝∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；(2)∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，∴设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，∴2231y x xy x⎧--+⎨-⎩＝＝，解得：1145xy-⎧⎨-⎩＝＝，221xy＝，＝⎧⎨⎩∴点B(﹣4，﹣5)，如图，过点P作PF∥y轴交直线AB于点F，则点F(m，m﹣1)，∴PF＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，∴S△ABP＝S△PBF+S△PFA＝12(﹣m2﹣3m+4)(m+4)+12(﹣m2﹣3m+4)(1﹣m)＝-52（m+32）2+1258，∴当m＝32-时，P最大，∴点P(32-，154).(3)当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，∴点E(﹣1，﹣2)，如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y ＝﹣x﹣3，∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9，联立533y xy x+⎧⎨+⎩＝＝得D1(0，3)，同理可得D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)，综上所述，符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解．3．如图，抛物线y ＝12x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当MC +MA 的值最小时，求点M 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y ＝213x -22x ﹣2，顶点D 的坐标为 （32，﹣258）；（2）△ABC 是直角三角形，证明见解析；（3）点M 的坐标为（32，﹣54）． 【解析】 【分析】（1）因为点A 在抛物线上，所以将点A 代入函数解析式即可求得答案；（2）由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标，即可求得AB 、BC 、AC 的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；（3）根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x 32=对称，求出点B ，C 的坐标，根据轴对称性，可得MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．则BC 与直线x 32=交点即为M 点，利用得到系数法求出直线BC 的解析式，即可得到点M 的坐标． 【详解】（1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y 212x =+bx ﹣2上，∴2112⨯-+（）b ×（﹣1）﹣2＝0，解得：b 32=-，∴抛物线的解析式为y 21322x =-x ﹣2． y 21322x =-x ﹣212=（x 2﹣3x ﹣4 ）21325228x =--（），∴顶点D 的坐标为 （32528，-）． （2）当x ＝0时y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），OC ＝2． 当y ＝0时，21322x -x ﹣2＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5．∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2+OC 2＝5，BC 2＝OC 2+OB 2＝20，∴AC 2+BC 2＝AB 2．∴△ABC 是直角三角形．（3）∵顶点D 的坐标为 （32528，-），∴抛物线的对称轴为x 32=． ∵抛物线y 12=x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，∴点A 与点B 关于对称轴x 32=对称． ∵A （﹣1，0），∴点B 的坐标为（4，0），当x ＝0时，y 21322x =-x ﹣2＝﹣2，则点C 的坐标为（0，﹣2），则BC 与直线x 32=交点即为M 点，如图，根据轴对称性，可得：MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，把C （0，﹣2），B （4，0）代入，可得：240b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴y 12=x ﹣2．当x 32=时，y 1352224=⨯-=-，∴点M 的坐标为（3524-，）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值． 【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．（2）存在．S △PBC 最大值为2716（3）2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值． 【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -）， ∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+． ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+， 解得：12m 2=-,22m 2=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+， 解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ． 综上所述，2m =-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．5．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA ＝1，tan ∠BAO ＝3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求以C 、E 、F 为顶点三角形与△COD 相似时点P 的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3；（2）当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）． 【解析】【分析】（1）根据正切函数，可得OB ，根据旋转的性质，可得△DOC ≌△AOB ，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，得到△EFC ∽△EMP ，根据相似三角形的性质，可得PM 与ME 的关系，解方程，可得t 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】（1）在Rt △AOB 中，OA ＝1，tan ∠BAO OBOA==3，∴OB ＝3OA ＝3． ∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC ≌△AOB ，∴OC ＝OB ＝3，OD ＝OA ＝1，∴A ，B ，C 的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3；（2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3，∴对称轴为l 2ba=-=-1，∴E 点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM ，∴△EFC ∽△EMP ，∴13EM EF OD MP CF CO ===，∴MP ＝3ME ． ∵点P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t +3）．∵P 在第二象限，∴PM ＝﹣t 2﹣2t +3，ME ＝﹣1﹣t ，t ＜0，∴﹣t 2﹣2t +3＝3（﹣1﹣t ），解得：t 1＝﹣2，t 2＝3（与t ＜0矛盾，舍去）．当t ＝﹣2时，y ＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P （﹣2，3）．综上所述：当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）． 【点睛】本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC ，OD 的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP ＝3ME ．6．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16-x 2+bx+c 表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为172m. （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16-x 2+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10 m ；(2)两排灯的水平距离最小是3． 【解析】 【详解】试题分析：根据点B 和点C 在函数图象上，利用待定系数法求出b 和c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y 的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x 的值，然后进行做差得出最小值．试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,2B C ⎛⎫⎪⎝⎭在抛物线上 所以41719326c b c =⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24b c =⎧⎨=⎩，所以21246y x x =-++ 所以，当62bx a=-=时，10t y =≦ 答：21246y x x =-++，拱顶D 到地面OA 的距离为10米 （2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0））当x=2或x=10时，2263y =>，所以可以通过 （3）令8y =，即212486x x -++=，可得212240x x -+=，解得12623,623x x =+=- 1243x x -=答：两排灯的水平距离最小是43 考点：二次函数的实际应用．7．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.【答案】（1）2(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y < 【解析】 【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+∴当0y =时，得15=x ，21x =-∴(5,0)A代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得45215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E ，(0,1)F ∵点M 在AOB ∆内，∴405b << 当点,C D 关于抛物线对称轴（直线x b =）对称时，1344b b -=-，∴12b = 且二次函数图象的开口向下，顶点M 在直线41y x =+上综上：①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y <.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.8．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，已知A （﹣1，0），C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，当△CDP 为等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E ，EF ⊥x 轴于点F ，N 是线段EF 上一动点，M （m ，0）是x 轴一个动点，若∠MNC ＝90°，请求出m 的取值范围．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣2,23）55 4m-≤≤【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（t，3﹣t），即可得D（t，﹣t2+2t+3），即可求得PD的长，然后分三种情况讨论，求点P的坐标；（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m＝（n﹣32）2﹣54，然后根据n的取值得到最小值．【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），∴103b cc--+=⎧⎨=⎩，解得b＝2，c＝3．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）令﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b′，则330bk b''=⎧⎨+=⎩，解得：k=-1,b’=3故直线BC的解析式为y＝﹣x+3；∴设P（t，3﹣t），∴D（t，﹣t2+2t+3），∴PD＝（﹣t2+2t+3）﹣（3﹣t）＝﹣t2+3t，∵OB＝OC＝3，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，当CD＝PC时，则∠CPD＝∠CDP，∵PD ∥y 轴，∴∠CPD ＝∠OCB ＝45°，∴∠CDP ＝45°，∴∠PCD ＝90°，∴直线CD 的解析式为y ＝x +3，解2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩得03x y =⎧⎨=⎩或14x y =⎧⎨=⎩∴D （1，4），此时P （1，2）；当CD ＝PD 时，则∠DCP ＝∠CPD ＝45°，∴∠CDP ＝90°，∴CD ∥x 轴，∴D 点的纵坐标为3，代入y ＝﹣x 2+2x +3得，3＝﹣x 2+2x +3，解得x ＝0或x ＝2，此时P （2，1）；当PC ＝PD 时，∵PC t ， ∴＝﹣t 2+3t ，解得t ＝0或t ＝3，此时P （3）；综上，当△CDP 为等腰三角形时，点P 的坐标为（1，2）或（2，1）或（3） （3）如图2，由（1）y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴E （1，4），设N （1，n ），则0≤n ≤4，取CM 的中点Q （2m ，32）， ∵∠MNC ＝90°， ∴NQ ＝12CM ， ∴4NQ 2＝CM 2， ∵NQ 2＝（1﹣2m ）2+（n ﹣32）2， ∴4[（1﹣2m ）2+（n ﹣32）2]＝m 2+9， 整理得，m ＝（n ﹣32）2﹣54， ∵0≤n ≤4，当n ＝32时，m 最小值＝﹣54，n ＝4时，m ＝5， 综上，m 的取值范围为：﹣54≤m ≤5．【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．9．已知抛物线2y ax bx c =++上有两点M (m +1，a )、N (m ，b ).(1)当a ＝－1，m ＝1时，求抛物线2y ax bx c =++的解析式；(2)用含a 、m 的代数式表示b 和c ；(3)当a ＜0时，抛物线2y ax bx c =++满足24b ac a -=，2b c a +≥，34m ≤-， 求a 的取值范围. 【答案】（1）11b c =⎧⎨=⎩；（2）b=-am ，c=-am ；（3）161393a -≤≤- 【解析】【分析】（1）根据题意得到M (2，－1)、N (1，b )，代入抛物线解析式即可求出b 、c ；（2）将点M (m +1，a )、N (m ，b )代入抛物线2y ax bx c =++，可得22(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩，化简即可得出；（3）把b am =-，c am =-代入24b ac a -=可得214a m m=+，把b am =-，c am =-代入2b c a +≥可得1m ≥-，然后根据m 的取值范围可得a 的取值范围.【详解】解：(1)∵a ＝－1，m ＝1，∴M (2，－1)、N (1，b )由题意，得4211b c b c b -++=-⎧⎨-++=⎩，解，得11b c =⎧⎨=⎩(2) ∵点M (m +1，a )、N (m ，b )在抛物线2y ax bx c =++上22(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩①②①－②得，2am b b +=-，∴b am =-把b am =-代入②，得c am =- (3)把b am =-，c am =-代入24b ac a -=得2224a m a m a +=0a <Q ，22141,4am am a m m∴+=∴=+ 把b am =-，c am =-代入2b c a +≥得22am a -≥，1m ∴≥-34m Q ≤-，314m ∴-≤≤- 224(2)4m m m +=+-Q ，当2m >-时，24m m +随m 的增大而增大2393416m m ∴-≤+≤-216113943m m ∴-≤≤-+ 即161393a -≤≤- 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出b am =-，c am =-是解题关键.10．如图甲，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC 的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．考点：二次函数综合题．11．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(4)如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，10）或P（﹣1，﹣10）或P（﹣1，6）或P（﹣1，53）；（3）存在，Q（﹣1，2）；（4）63 8，315,24E⎛⎫-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M 的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．③当CM＝C P时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；（3）根据轴对称﹣最短路径问题解答；（4）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE＝S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在△BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴30 9330 a ba b++=⎧⎨-+=⎩，解得：12 ab=-⎧⎨=-⎩．∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如答图1，∵抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3，∴其对称轴为x ＝22-＝﹣1， ∴设P 点坐标为（﹣1，a ），当x ＝0时，y ＝3，∴C （0，3），M （﹣1，0）∴当CP ＝PM 时，（﹣1）2+（3﹣a ）2＝a 2，解得a ＝53， ∴P 点坐标为：P 1（﹣1，53）； ∴当CM ＝PM 时，（﹣1）2+32＝a 2，解得a ＝±10，∴P 点坐标为：P 2（﹣1，10）或P 3（﹣1，﹣10）；∴当CM ＝CP 时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a ）2，解得a ＝6， ∴P 点坐标为：P 4（﹣1，6）．综上所述存在符合条件的点P ，其坐标为P （﹣1，10）或P （﹣1，﹣10）或P （﹣1，6）或P （﹣1，53）； （3）存在，Q （﹣1，2），理由如下：如答图2，点C （0，3）关于对称轴x ＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q ．设直线AC′函数关系式为：y ＝kx+t （k≠0）．将点A （1，0），C′（﹣2，3）代入，得023k t k t +=⎧⎨-+=⎩， 解得11k t =-⎧⎨=⎩， 所以，直线AC′函数关系式为：y ＝﹣x+1．将x ＝﹣1代入，得y ＝2，即：Q （﹣1，2）；（4）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a∴S四边形BOCE＝12BF•EF+12（OC+EF）•OF＝12（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+12（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）＝﹣32a2﹣92a+92＝﹣32（a+32）2+638，∴当a＝﹣32时，S四边形BOCE最大，且最大值为638．此时，点E坐标为（﹣32，154）．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．12．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=94；②P（2，﹣3）或（2﹣）．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．【详解】（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）设BC 的解析式为y=kx+b ，将B ，C 的坐标代入函数解析式，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， BC 的解析式为y=x ﹣3，设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3），PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+94， 当n=32时，PM 最大=94； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2，解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2，n 2﹣2n ﹣3=-3，P （2，-3）；当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2（不符合题意，舍），n 3，n 2﹣2n ﹣，P （，综上所述：P （2，﹣3）或（，2﹣）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.13．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y 轴交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、 Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ.①若点P 的横坐标为12-，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标； ②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.【答案】（1）抛物线y=-x 2+2x+3；（2）①点D （ 31524，）；②△PQD 面积的最大值为8【解析】分析：（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）（I ）由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+54），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+6x+72，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，进而可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．详解：（1）将A （-1，0）、B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，得：309330a b a b -+⎧⎨++⎩＝＝，解得：12a b -⎧⎨⎩＝＝， ∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3．（2）（I ）当点P 的横坐标为-12时，点Q 的横坐标为72， ∴此时点P 的坐标为（-12，74），点Q 的坐标为（72，-94）． 设直线PQ 的表达式为y=mx+n ，将P（-12，74）、Q（72，-94）代入y=mx+n，得：17247924m nm n⎧-+⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩＝＝，解得：154mn-⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，∴直线PQ的表达式为y=-x+54．如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+54），∴DE=-x2+2x+3-（-x+54）=-x2+3x+74，∴S△DPQ=12DE•（x Q-x P）=-2x2+6x+72=-2（x-32）2+8．∵-2＜0，∴当x=32时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（32，154）．（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，∴点P的坐标为（t，-t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3．设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，∴S△DPQ=12DE•（x Q-x P）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．∵-2＜0，∴当x=t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x 2+6x+72；（II ）利用三角形的面积公式找出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ．14．如图，已知抛物线经过点A （﹣1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 做x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）已知点F （0，12），当点P 在x 轴上运动时，试求m 为何值时，四边形DMQF 是平行四边形？（3）点P 在线段AB 运动过程中，是否存在点Q ，使得以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣12x 2+32x+2；（2）m=﹣1或m=3时，四边形DMQF 是平行四边形；（3）点Q 的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似．【解析】分析：（1）待定系数法求解可得；（2）先利用待定系数法求出直线BD 解析式为y=12x-2，则Q （m ，-12m 2+32m+2）、M （m ，12m-2），由QM ∥DF 且四边形DMQF 是平行四边形知QM=DF ，据此列出关于m 的方程，解之可得；（3）易知∠ODB=∠QMB ，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB ∽△MBQ 得12DO MB OB BQ ==，再证△MBQ ∽△BPQ 得BM BP BQ PQ =，即214 132222m m m -=-++，解之即可得此时m 的值；②∠BQM=90°，此时点Q 与点A 重合，△BOD ∽△BQM′，易得点Q 坐标．详解：（1）由抛物线过点A （-1，0）、B （4，0）可设解析式为y=a （x+1）（x-4），将点C（0，2）代入，得：-4a=2，解得：a=-12，则抛物线解析式为y=-12（x+1）（x-4）=-12x2+32x+2；（2）由题意知点D坐标为（0，-2），设直线BD解析式为y=kx+b，将B（4，0）、D（0，-2）代入，得：402k bb+⎧⎨-⎩＝＝，解得：122kb⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝，∴直线BD解析式为y=12x-2，∵QM⊥x轴，P（m，0），∴Q（m，--12m2+32m+2）、M（m，12m-2），则QM=-12m2+32m+2-（12m-2）=-12m2+m+4，∵F（0，12）、D（0，-2），∴DF=52，∵QM∥DF，∴当-12m2+m+4=52时，四边形DMQF是平行四边形，解得：m=-1（舍）或m=3，即m=3时，四边形DMQF是平行四边形；（3）如图所示：∵QM∥DF，∴∠ODB=∠QMB，分以下两种情况：①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，则21=42 DO MBOBBQ==，∵∠MBQ=90°，∴∠MBP+∠PBQ=90°，∵∠MPB=∠BPQ=90°，∴∠MBP+∠BMP=90°，∴∠BMP=∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴BM BPBQ PQ=，即214132222mm m-=-++，解得：m1=3、m2=4，当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，此时m=-1，点Q的坐标为（-1，0）；综上，点Q的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．15．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）12；（3）t=或t=或t=14．【解析】试题分析：（1）首先利用根与系数的关系得出：，结合条件求出的值，然后把点B，C的坐标代入解析式计算即可；（2）（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；（3）（3）分2＜t≤6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．试题解析：解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根，∴x1+x2=8，由．解得：．∴B（2，0）、C（6，0）则4m﹣16m+4m+2=0，解得：m=，∴该抛物线解析式为：y=；．（2）可求得A（0，3）设直线AC的解析式为：y=kx+b，∵∴∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3，要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），∵P（t，），∴PF=，∴S△APC=S△APF+S△CPF===，此时最大值为：，②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），∵P（t，），∴PM=，∴S△APC=S△APF﹣S△CPF===，当t=8时，取最大值，最大值为：12，综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12；（3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，Q（t，3），P（t，），①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=，若：△AOB∽△AQP，则：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，则：，即：，∴t=0（舍）或t=2（舍），②当t＞6时，AQ′=t，PQ′=，若：△AOB∽△AQP，则：，即：，∴t=0（舍），或t=，。

备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优易错试卷篇附答案

备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优易错试卷篇附答案

备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优易错试卷篇附答案一、二次函数1．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y 13=x 2﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】【分析】 （1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可．【详解】（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得：m ＝﹣3；（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得：x ＝3，所以点B 的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：390b a b =-⎧⎨+=⎩， 解得：133a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：y 13=x 2﹣3；（3）存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，则∠ODC ＝45°+15°＝60°，∴OD ＝OC •tan30°3=设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3= 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 解得：121203336x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以M 1（36）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC ＝45°-15°＝30°，∴OE ＝OC •tan60°＝3设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3= 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解得：12120332x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 所以M 23，﹣2）．综上所述M 的坐标为（3，63，﹣2）．【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．2．如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=1 2x2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.（1）求点B 的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE：EP=1：4 时，求点E 的坐标；（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到OC ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接C ′D、C′B，求C ′B+23C′D 的最小值．【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=12x2-x-32；（2）E(1，6)；（3）C′B＋23C′D4103【解析】试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得AEAP=AGAF=EGPF=15，从而求出E的坐标；（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝23C′D，由C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．试题解析：解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-122b=1，∴b=-1．∵抛物线过点A（-1，0），∴12-b+c=0，解得：c=-32，即：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32．令y=0，则12x2-x-32=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AEAP =AGAF=EGPF=15．又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则OM＝43，BM＝2243()3+＝97．∵423'23OMOC==，'23OCOD=，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴'2'3MCC D=，∴MC′＝23C′D，∴C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BM＝4103，∴C′B＋23C′D的最小值为4103．点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．3．某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量(y 万件)与销售单价(x元)之间符合一次函数关系，其图象如图所示．()1求y与x的函数关系式；()2物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x定为每件多少元时，厂家每月获得的利润()w最大？最大利润是多少？【答案】（1）2280y x =-+；（2）当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元．【解析】【分析】()1根据函数图象经过点()40,200和点()60,160，利用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式；()2先根据利润=销售数量(⨯销售单价-成本)，由试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，结合电子产品的成本价即可得出x 的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值．【详解】解：()1设y 与x 的函数关系式为()0y kx b k =+≠，Q 函数图象经过点()40,200和点()60,160，{4020060160k b k b +=∴+=，解得：{2280k b =-=， y ∴与x 的函数关系式为2280y x =-+．()2由题意得：()()224022802360112002(90)5000w x x x x x =--+=-+-=--+． Q 试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元，∴自变量x 的取值范围是4080x ≤≤．20-<Q ，∴当90x <时，w 随x 的增大而增大，80x ∴=时，w 有最大值，当80x =时，4800w =，答：当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键，并注意最值的求法．4．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．【解析】【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．【详解】（1）由题意得，32 2a bba+-⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝，解得14ab-⎧⎨⎩＝＝，∴抛物线的解析式为y=x2-4x，令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，结合图象知，A的坐标为（4，0），根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P （x ，x 2-4x ）,∵PA ⊥BA∴∠PAF+∠BAE=90°,∵∠PAF+∠FPA=90°,∴∠FPA=∠BAE又∠PFA=∠AEB=90°∴△PFA ∽△AEB, ∴PF AF AE BE =，即244213x x x --=-， 解得，x= −1，x=4（舍去）∴x 2-4x=-5∴点P 的坐标为（-1，-5），又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1所以BP 与x 轴交点为（14，0） ∴S △PAB=115531524⨯⨯+= 【点睛】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．5．已知抛物线26y x x c =-++.（1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围；（Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N 两点，若MN =C 的值；（Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ∆≅∆，求c 的取值范围.【答案】（I ）9c -…；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是2174c -<< 【解析】【分析】(1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解;(3)由OPA OQB ∆≅∆可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解.【详解】解：（I ）∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点， ∴一元二次方程260x x c -++=有实根。

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇及答案解析

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇及答案解析

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇及答案解析一、二次函数1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣12时，△APC的面积取最大值，最大值为278，此时点P的坐标为（﹣12，154）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为102【解析】【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣32x2﹣32x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．【详解】（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的函数关系式为y ＝﹣x 2﹣2x +3； 设直线AC 的函数关系式为y ＝mx +n （m ≠0）， 将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝mx +n ，得：023m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得：11m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的函数关系式为y ＝﹣x +1．（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，如图1所示．设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），∴PE ＝﹣x 2﹣2x +3，EF ＝﹣x +1，EF ＝PE ﹣EF ＝﹣x 2﹣2x +3﹣（﹣x +1）＝﹣x 2﹣x +2． ∵点C 的坐标为（﹣2，3）， ∴点Q 的坐标为（﹣2，0）， ∴AQ ＝1﹣（﹣2）＝3， ∴S △APC ＝12AQ •PF ＝﹣32x 2﹣32x +3＝﹣32（x +12）2+278． ∵﹣32＜0， ∴当x ＝﹣12时，△APC 的面积取最大值，最大值为278，此时点P 的坐标为（﹣12，154）． （3）当x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3， ∴点N 的坐标为（0，3）． ∵y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1． ∵点C 的坐标为（﹣2，3）， ∴点C ，N 关于抛物线的对称轴对称．令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，如图2所示． ∵点C ，N 关于抛物线的对称轴对称， ∴MN ＝CM ，∴AM +MN ＝AM +MC ＝AC ， ∴此时△ANM 周长取最小值． 当x ＝﹣1时，y ＝﹣x +1＝2， ∴此时点M 的坐标为（﹣1，2）．∵点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（﹣2，3），点N 的坐标为（0，3），∴AC＝，AN ，∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝32+10．∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为32+10．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣32x2﹣32x+3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过C、B两点，交x轴于另一点A，连接AC，且tan∠CAO=3．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；(3)在(2)的条件下，当点P在线段BC上时，设PH=e，已知d，e是以y为未知数的一元二次方程：y2－(m+3)y+14(5m2－2m+13)="0" (m为常数)的两个实数根，点M在抛物线上，连接MQ、MH、PM，且．MP平分∠QMH，求出t值及点M的坐标．【答案】(1) y=-x 2+2x+3；(2)223(03){3(3)d t t t d t t t =-+<<=->；（3）t=1，2，2)和(12，2). 【解析】 【分析】（1）当x=0时代入抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C 的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B 的坐标，在直角三角形AOC 中，由三角形函数值就可以求出OA 的值，得出A 的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；（2）分两种情况讨论，当点P 在线段CB 上时，和如图3点P 在射线BN 上时，就有P 点的坐标为（t ，-t+3），Q 点的坐标为（t ，-t 2+2t+3），就可以得出d 与t 之间的函数关系式而得出结论；（3）根据根的判别式就可以求出m 的值，就可以求出方程的解而求得PQ 和PH 的值，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，如图2，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，就可以得出四边形LQMH 是平行四边形，进而得出四边形LQMH 是菱形，由菱形的性质就可以求出结论． 【详解】（1）当x=0，则y=-x+n=0+n=n ，y=ax 2+bx+3=3， ∴OC=3=n ． 当y=0，∴-x+3=0，x=3=OB ， ∴B （3，0）．在△AOC 中，∠AOC ＝90°，tan ∠CAO=33OC OA OA==， ∴OA=1， ∴A （-1，0）．将A （-1，0），B （3，0）代入y=ax2+bx+3， 得9330{30a b a b ++=-+=，解得：1 {2 ab=-=∴抛物线的解析式：y=-x2+2x+3；(2) 如图1，∵P点的横坐标为t 且PQ垂直于x轴∴P点的坐标为(t，－t+3)，Q点的坐标为(t，－t2+2t+3).∴PQ=|(－t+3)－(－t2+2t+3)|="|" t2－3t |∴223(03) {3(3)d t t td t t t=-+<<=->；∵d，e是y2－(m+3)y+14(5m2－2m+13)=0（m为常数）的两个实数根，∴△≥0，即△=(m+3)2－4×14(5m2－2m+13)≥0整理得：△= －4(m－1)2≥0，∵－4(m－1)2≤0，∴△=0，m=1，∴ PQ与PH是y2－4y+4=0的两个实数根，解得y1=y2=2∴ PQ=PH=2，∴－t+3=2，∴t="1,"∴此时Q是抛物线的顶点，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，∵LP=MP，PQ=PH，∴四边形LQMH是平行四边形，∴LH∥QM，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴LH=MH，∴平行四边形LQMH是菱形，∴PM⊥QH，∴点M的纵坐标与P点纵坐标相同，都是2，∴在y=－x2+2x+3令y=2，得x2－2x－1=0，∴x1=1+2，x2=1－2综上：t值为1，M点坐标为(1+2，2)和(1－2，2).3．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，∴当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．考点：二次函数的应用．4．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=1 6-x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为172m.（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16-x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m；(2)两排灯的水平距离最小是3．【解析】【详解】试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,2B C⎛⎫⎪⎝⎭在抛物线上所以41719326cb c=⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24bc=⎧⎨=⎩，所以21246y x x=-++所以，当62bxa=-=时，10ty=≦答：21246y x x=-++，拱顶D到地面OA的距离为10米（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））当x=2或x=10时，2263y =>，所以可以通过 （3）令8y =，即212486x x -++=，可得212240x x -+=，解得12623,623x x =+=- 1243x x -=答：两排灯的水平距离最小是43 考点：二次函数的实际应用．5．如图1，在矩形ABCD 中，DB ＝6，AD ＝3，在Rt △PEF 中，∠PEF ＝90°，EF ＝3，PF ＝6，△PEF （点F 和点A 重合）的边EF 和矩形的边AB 在同一直线上．现将Rt △PEF 从A 以每秒1个单位的速度向射线AB 方向匀速平移，当点F 与点B 重合时停止运动，设运动时间为t 秒，解答下列问题：（1）如图1，连接PD ，填空：PE ＝ ，∠PFD ＝ 度，四边形PEAD 的面积是 ；（2）如图2，当PF 经过点D 时，求△PEF 运动时间t 的值；（3）在运动的过程中，设△PEF 与△ABD 重叠部分面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式及相应的t 的取值范围．【答案】（1）3009+93；（233）见解析. 【解析】分析：（1）根据锐角三角形函数可求出角的度数，然后根据勾股定理求出PE 的长，再根据梯形的面积公式求解.（2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，可得∠EPD=∠ADF=30°，用三角函数计算可得3（3）根据题意，分三种情况：①当0≤t 3时，3＜3时，③3≤t≤6时，根据三角形、梯形的面积的求法，求出S 与t 的函数关系式即可. 详解：（1）∵在Rt △PEF 中，∠PEF=90°，EF=3，PF=6∴sin ∠P=1=2EF PF ∴∠P=30°∵PE ∥AD ∴∠PAD=300，根据勾股定理可得所以S 四边形PEAD =12×（+3）； （2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，得∠EPF=∠ADF=30°，在Rt △ADF 中，由AD=3，得 ； （3）分三种情况讨论：①当0≤t PF 交AD 于Q ，∵AF=t ，t ，∴S=12；②＜3时，PF 交BD 于K ，作KH ⊥AB 于H ，∵AF=t ，∴-t ，S △ABD ，∵∠FBK=∠FKB ，∴，KH=KF×sin600=2,∴S=S △ABD ﹣S △FBK=29,424t -+-③当PE 与BD 交O ，PF 交BD 于K ，∵AF=t ，∴AE=t-3，-t+3，OE=BE×tan300∴S=2++． 点睛：此题主要考查了几何变换综合题，用到的知识点有直角三角形的性质，三角函数值，三角形的面积，图形的平移等，考查了分析推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，要熟练掌握，比较困难.6．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x 元． （1）写出销售量y （件）和获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）y ＝﹣10x+1000；w=﹣10x 2+1300x ﹣30000 （2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元． 【解析】 【分析】（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y ＝600﹣10（x ﹣40），再利用w= y•（x ﹣30）即可表示出w 与x 之间的关系式；（2）先将w ＝﹣10x 2+1300x ﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x ＝46时有最大值，代入求值即可解题. 【详解】 解：（1）依题意，易得销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系：y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系为：w＝y•（x﹣30）＝（1000﹣10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝65∴当44≤x≤46时，y随x的增大而增大∴当x＝46时，w最大值＝8640元即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.7．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N 从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．【解析】【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；（3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩ 解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B （3，0），∴BC=32，点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB 时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC ﹣OC=32﹣3∴P 1（0，3+32），P 2（0，3﹣32）；②当PB=PC 时，OP=OB=3，∴P 3（0，-3）；③当BP=BC 时，∵OC=OB=3∴此时P 与O 重合，∴P 4（0，0）；综上所述，点P 的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，则DN=2t ，∴S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t=﹣（t ﹣1）2+1，当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．8． 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M （1，3）的特征线有：x =1，y =3，y =x +2，y =﹣x +4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A 、C 分别在x 轴和y 轴上，抛物线21()4y x m n =-+经过B 、C 两点，顶点D 在正方形内部． （1）直接写出点D （m ，n ）所有的特征线；（2）若点D 有一条特征线是y =x +1，求此抛物线的解析式； （3）点P 是AB 边上除点A 外的任意一点，连接OP ，将△OAP 沿着OP 折叠，点A 落在点A ′的位置，当点A ′在平行于坐标轴的D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP 上？【答案】（1）x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m+n ；（2）21(2)34y x =-+；（3）抛物923-2312距离，其顶点落在OP 上． 【解析】试题分析：（1）根据特征线直接求出点D 的特征线；（2）由点D 的一条特征线和正方形的性质求出点D 的坐标，从而求出抛物线解析式； （2）分平行于x 轴和y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可．试题解析：解：（1）∵点D （m ，n ），∴点D （m ，n ）的特征线是x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m +n ；（2）点D 有一条特征线是y =x +1，∴n ﹣m =1，∴n =m +1．∵抛物线解析式为21()4y x m n =-+，∴21()14y x m m =-++，∵四边形OABC 是正方形，且D 点为正方形的对称轴，D （m ，n ），∴B （2m ，2m ），∴21(2)24y m m n m =-+=，将n =m +1带入得到m =2，n =3；∴D （2，3），∴抛物线解析式为21(2)34y x =-+． （3）①如图，当点A ′在平行于y 轴的D 点的特征线时：根据题意可得，D （2，3），∴OA ′=OA =4，OM =2，∴∠A ′OM =60°，∴∠A ′OP =∠AOP =30°，∴MN =3=23，∴抛物线需要向下平移的距离=233-=923-． ②如图，当点A ′在平行于x 轴的D 点的特征线时，设A ′（p ，3），则OA ′=OA =4，OE =3，EA ′=2243-=7，∴A ′F =4﹣7，设P （4，c ）（c ＞0），，在Rt △A ′FP 中，（4﹣7）2+（3﹣c ）2=c 2，∴c =1647-，∴P （4，1647-），∴直线OP 解析式为y =473-x ，∴N （2，8273-），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣827-=127+． 综上所述：抛物线向下平移923-或127+距离，其顶点落在OP 上．点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D 的坐标．9．我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是()2y=ax bx a 0+≠。

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优 易错 难题篇附答案

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优 易错 难题篇附答案

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优易错难题篇附答案一、二次函数1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12，所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩， 则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN=12P N•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值；（3）如图2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x轴、PD⊥x轴，∴∠DPE=90°，若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，则当y=6时，﹣12x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即点P（4，6）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.2．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=13x﹣43与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=32．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32，得161203322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩， 解得14a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4； （2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，∴直线m 的解析式为y=13x ． ∵点P 是直线1上任意一点， ∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ．又∵PE=3PF ， ∴PC PB PF PE=． ∴∠FPC=∠EPB ．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP ⊥PE ．（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．∵CF=3BE=18﹣3a ，∴OF=20﹣3a ．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q （﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形，∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=--+.（2）3210.（3）①2S m 4m 3=---.②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.【解析】【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可.【详解】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-.∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+.（2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值.∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小.∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴2，10.∴△PBC 的周长最小是：3210.（3）①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），∴直线AD 的解析式为y=2x+6∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+）∴()22EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---. ∴()22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---.②()22S m 4m 3m 21=---=-++，∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.4．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=94；②P （2，﹣3）或（22﹣2）．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案； （2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．【详解】（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）设BC 的解析式为y=kx+b ，将B ，C 的坐标代入函数解析式，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， BC 的解析式为y=x ﹣3，设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3），PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+94， 当n=32时，PM 最大=94； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2，解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2，n 2﹣2n ﹣3=-3，P （2，-3）；当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+2（不符合题意，舍），n3=3-2，n2﹣2n﹣3=2-42，P（3-2，2-42）；综上所述：P（2，﹣3）或（3-2，2﹣42）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过C、B两点，交x轴于另一点A，连接AC，且tan∠CAO=3．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；(3)在(2)的条件下，当点P在线段BC上时，设PH=e，已知d，e是以y为未知数的一元二次方程：y2－(m+3)y+14(5m2－2m+13)="0" (m为常数)的两个实数根，点M在抛物线上，连接MQ、MH、PM，且．MP平分∠QMH，求出t值及点M的坐标．【答案】(1) y=-x2+2x+3；(2)223(03){3(3)d t t td t t t=-+<<=->；（3）t=1，2，2)和(12，2).【解析】【分析】（1）当x=0时代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B的坐标，在直角三角形AOC中，由三角形函数值就可以求出OA的值，得出A的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；（2）分两种情况讨论，当点P在线段CB上时，和如图3点P在射线BN上时，就有P点的坐标为（t，-t+3），Q点的坐标为（t，-t2+2t+3），就可以得出d与t之间的函数关系式而得出结论；（3）根据根的判别式就可以求出m 的值，就可以求出方程的解而求得PQ 和PH 的值，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，如图2，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，就可以得出四边形LQMH 是平行四边形，进而得出四边形LQMH 是菱形，由菱形的性质就可以求出结论．【详解】（1）当x=0，则y=-x+n=0+n=n ，y=ax 2+bx+3=3，∴OC=3=n ．当y=0，∴-x+3=0，x=3=OB ，∴B （3，0）．在△AOC 中，∠AOC ＝90°，tan ∠CAO=33OC OA OA==， ∴OA=1，∴A （-1，0）．将A （-1，0），B （3，0）代入y=ax2+bx+3，得 9330{30a b a b ++=-+=， 解得：1{2a b =-= ∴抛物线的解析式：y=-x 2+2x+3；(2) 如图1，∵P 点的横坐标为t 且PQ 垂直于x 轴 ∴P 点的坐标为(t ，－t+3)，Q 点的坐标为(t ，－t 2+2t+3).∴PQ=|(－t+3)－(－t 2+2t+3)|="|" t 2－3t |∴223(03){3(3)d t t t d t t t =-+<<=->； ∵d ，e 是y 2－(m+3)y+14(5m 2－2m+13)=0（m 为常数）的两个实数根，∴△≥0，即△=(m+3)2－4×14(5m 2－2m+13)≥0 整理得：△= －4(m －1)2≥0，∵－4(m －1)2≤0， ∴△=0，m=1，∴ PQ 与PH 是y 2－4y+4=0的两个实数根，解得y 1=y 2=2 ∴ PQ=PH=2，∴－t+3=2，∴t="1," ∴此时Q 是抛物线的顶点，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，如图2，∵LP=MP ，PQ=PH ，∴四边形LQMH 是平行四边形， ∴LH ∥QM ，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3， ∴LH=MH ，∴平行四边形LQMH 是菱形，∴PM ⊥QH ，∴点M 的纵坐标与P 点纵坐标相同，都是2， ∴在y=－x 2+2x+3令y=2，得x 2－2x －1=0，∴x 1=1+2，x 2=1－2 综上：t 值为1，M 点坐标为(1+2，2)和(1－2，2).6．如图，抛物线212222y x x =-++与x 轴相交于A B ，两点，（点A 在B 点左侧）与y 轴交于点C.（Ⅰ）求A B ，两点坐标.（Ⅱ）连结AC ，若点P 在第一象限的抛物线上，P 的横坐标为t ，四边形ABPC 的面积为S.试用含t 的式子表示S ，并求t 为何值时，S 最大.（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，若点,G H 分别为抛物线及其对称轴上的点，点G 的横坐标为m ，点H 的纵坐标为n ，且使得以,,,A G H P 四点构成的四边形为平行四边形，求满足条件的,m n 的值.【答案】（Ⅰ）(A B ；（Ⅱ）2(2S t t =--+<<,当t =时，S =最大；（Ⅲ）满足条件的点m n 、的值为：34m n ==，或1524m n ==-，或124m n =-= 【解析】 【分析】（Ⅰ）令y=0，建立方程求解即可得出结论；（Ⅱ）设出点P 的坐标，利用S=S △AOC +S 梯形OCPQ +S △PQB ，即可得出结论；（Ⅲ）分三种情况，利用平行四边形的性质对角线互相平分和中点坐标公式建立方程组即可得出结论． 【详解】解：（Ⅰ）抛物线21222y x x =-++，令0y =，则212022x x -++=，解得：x =x =∴((,A B（Ⅱ）由抛物线21222y x x =-++，令0x =，∴2y =，∴()0,2C ， 如图1，点P 作PQ x ⊥轴于Q ， ∵P 的横坐标为t ，∴设(),P t p ，∴212,,22p t PQ p BQ t OQ t =-++===，∴()()11122222AOC PQB OCPQ S S S S p t t p =++=++⨯+⨯⨯V V 梯形 1122t pt pt t =++-=++21222t t ⎫=-+++⎪⎪⎭2t t =+<<，∴当t =时，S =最大（Ⅲ）由（Ⅱ）知，2t =，∴)2,2P，∵抛物线212222y x x =-++的对称轴为22x =， ∴设2122,2,2G m m H n ⎛⎫⎫-++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭以,,,A G H P 四点构成的四边形为平行四边形，()2,0A ， ①当AP 和HG 为对角线时，∴()2112111222,2022222222m m m n ⎛⎫⎛⎫=++=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2324m n =-=， ②当AG 和PH 是对角线时，∴(()2112112122,2022222222m m m n ⎫⎛⎫=-+++=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭， ∴215,24m n ==-， ③AH 和PG 为对角线时，∴(()2121112122,2202222222m m m n ⎛⎫⎛⎫-=+-+++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴32124m n =-=， 即：满足条件的点m n 、的值为：234m n ==，或52154m n ==-，或3214m n == 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，梯形的面积公式，平行四边形的性质，中点坐标公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．7．如图，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P，使得△ABP的面积为△ABC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，当以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；（4）52或5．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得16403a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得14ab=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝12×2×3＝3．（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP∴6＋12×（m－1）×（3＋m2－4m）＝12×3×3＋12×（3＋m－1）（m2－4m）整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．（4）52或5．提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝52；②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.8．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．【答案】（1）21342y x x =-；（2）当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）． 【解析】 【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定B （6，0），然后设交点式求抛物线解析式；（2）设M （t ，0），先其求出直线OA 的解析式为12y x =直线AB 的解析式为y=2x-12，直线MN 的解析式为y=2x-2t ，再通过解方程组1222y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得N （42t,t 33），接着利用三角形面积公式，利用S △AMN =S △AOM -S △NOM 得到AMN 112S 4t t t 223∆=⋅⋅-⋅⋅然后根据二次函数的性质解决问题； （3）设Q 213m,m m 42⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据相似三角形的判定方法，当PQ PO OC AC=时，△PQO ∽△COA ，则213m m 2|m |42-=；当PQ POAC OC=时，△PQO ∽△CAO ，则2131m m m 422-=，然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x ＝3， ∴B 点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y ＝ax （x ﹣6）， 把A （8，4）代入得a•8•2＝4，解得a ＝14， ∴抛物线解析式为y ＝14x （x ﹣6），即y ＝14x 2﹣32x ； （2）设M （t ，0），易得直线OA 的解析式为y ＝12x ， 设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ，把B （6，0），A （8，4）代入得6084k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k 2b 12=⎧⎨=-⎩，∴直线AB 的解析式为y ＝2x ﹣12， ∵MN ∥AB ，∴设直线MN 的解析式为y ＝2x+n ， 把M （t ，0）代入得2t+n ＝0，解得n ＝﹣2t ，∴直线MN 的解析式为y ＝2x ﹣2t ，解方程组1222y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得4323x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则42N t,t 33⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴S △AMN ＝S △AOM ﹣S △NOM1124t t t 223=⋅⋅-⋅⋅ 21t 2t 3=-+21(t 3)33=--+，当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）； （3）设213m,m m 42⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵∠OPQ ＝∠ACO ， ∴当PQ PO OC AC =时，△PQO ∽△COA ，即PQ PO 84=， ∴PQ ＝2PO ，即213m m 2|m |42-=， 解方程213m m 2m 42-=得m 1＝0（舍去），m 2＝14，此时P 点坐标为（14，0）； 解方程213m m 2m 42-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，0）； ∴当PQ PO AC OC =时，△PQO ∽△CAO ，即PQ PO 48=， ∴PQ ＝12PO ，即2131m m m 422-=，解方程2131m m m 422=-=得m 1＝0（舍去），m 2＝8，此时P 点坐标为（8，0）； 解方程2131m m m 422=-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝4，此时P 点坐标为（4，0）； 综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．9．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)233642y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可；(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，先求出S △OAC =6，再根据S △BCD =34S △AOC ，得到S △BCD =92，然后求出BC 的解析式为362y x =-+，则可得点G 的坐标为3(,6)2m m -+，由此可得2334DG m m =-+，再根据S △BCD =S △CDG +S △BDG =12DG BO ⋅⋅，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边时，有3种情况，由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±154，然后分点N 的纵坐标为154和点N 的纵坐标为154-两种情况分别求解；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D=4，继而求得OM 1= 8，由此即可求得答案. 【详解】(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)，∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6， ∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =34S △AOC ， ∴S △BCD =39642⨯=，设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+， ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =22133346242m m m m -+⨯=-+（）， ∴239622m m -+=， 解得11m =(舍)，23m =， ∴m 的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况， ∵D 点坐标为15(3,)4，∴点N 点纵坐标为±154，当点N 的纵坐标为154时，如点N 2， 此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-时，如点N 3，N 4， 此时233156424x x -++=-，解得：12114,114x x ==∴315(114,)4N +-，415(114,)4N -， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，∵115(1,)4N -，D(3，154)，∴N 1D=4， ∴BM 1=N 1D=4， ∴OM 1=OB+BM 1=8， ∴M 1(8，0)，综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(14(14M M M M -，，，，，，，.【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.10．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y 13=x 2﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】【分析】 （1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可．【详解】（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得：m ＝﹣3；（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得：x ＝3，所以点B 的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：390b a b =-⎧⎨+=⎩， 解得：133a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：y 13=x 2﹣3； （3）存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，则∠ODC ＝45°+15°＝60°，∴OD ＝OC •tan30°3=设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3= 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 解得：121203336x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以M 1（36）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC ＝45°-15°＝30°，∴OE ＝OC •tan60°＝3设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3=联立两个方程可得：23133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：1212032x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 所以M 2，﹣2）．综上所述M 的坐标为（，6，﹣2）．【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．11．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y （件）与价格x （元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y 与x 之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【答案】（1）y 10000x 80000=-+（2）当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元【解析】解：（1）由题意，可设y=kx+b ，把（5，30000），（6，20000）代入得：5k b 300006k b 20000+=⎧⎨+=⎩，解得：k 10000b 80000=-⎧⎨=⎩。

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优易错试卷篇含详细答案

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优易错试卷篇含详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．2．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；（3）M1（1132+，0）、N1131）；M2（1132+，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m），代入所设解析式求解可得；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA=1，∴OC=3OA，∴点C的坐标为（0，3），将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：203a a cc++=⎧⎨=⎩，解得：13ac=-⎧⎨=⎩，∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，所以点G的坐标为（1，4）；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，∵△A′B′G′为等边三角形，∴33，则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（13），将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：24043m kk m⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，解得：114mk=⎧⎨=⎩（舍），2231mk⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴k=1；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），∴PQ=OA=1，∵∠AOQ 、∠PQN 均为钝角，∴△AOQ ≌△PQN ，如图2，延长PQ 交直线y=﹣1于点H ，则∠QHN=∠OMQ=90°，又∵△AOQ ≌△PQN ，∴OQ=QN ，∠AOQ=∠PQN ，∴∠MOQ=∠HQN ，∴△OQM ≌△QNH （AAS ），∴OM=QH ，即x=﹣x 2+2x+2+1，解得：x=113±（负值舍去）， 当x=1132+时，HN=QM=﹣x 2+2x+2=1312-，点M （1132+，0）， ∴点N 坐标为（1132++1312-，﹣1），即（13，﹣1）； 或（113+﹣131-，﹣1），即（1，﹣1）； 如图3，同理可得△OQM ≌△PNH ，∴OM=PH ，即x=﹣（﹣x 2+2x+2）﹣1，解得：x=﹣1（舍）或x=4，当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，∴点N的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；综上点M1（113+，0）、N1（13，﹣1）；M2（113+，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.3．温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅，包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（2≤x≤10，单位：吨）之间的函数关系如图所示．（1）若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？（2）当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得的毛利润（w）最大？最大毛利润为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣进价总成本﹣包装总费用）（3）经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为12万元/吨．深加工费用y（单位：万元）与加工数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝12x+3（2≤x≤10）．①当该公司买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？②该公司买入杨梅吨数在范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些？【答案】（1）杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）当x＝8时，此时W最大值＝40万元；（3）①该公司买入杨梅3吨；②3＜x≤8．【解析】【分析】（1）设其解析式为y＝kx+b，由图象经过点（2，12），（8，9）两点，得方程组，即可得到结论；（2）根据题意得，w＝（y﹣4）x＝（﹣12x+13﹣4）x＝﹣12x2+9x，根据二次函数的性质即可得到结论；（3）①根据题意列方程，即可得到结论；②根据题意即可得到结论．【详解】（1）由图象可知，y 是关于x 的一次函数．∴设其解析式为y ＝kx +b ，∵图象经过点（2，12），（8，9）两点，∴21289k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得k ＝﹣12，b ＝13， ∴一次函数的解析式为y ＝﹣12x +13， 当x ＝6时，y ＝10，答：若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）根据题意得，w ＝（y ﹣4）x ＝（﹣12x +13﹣4）x ＝﹣12x 2+9x ， 当x ＝﹣2b a＝9时，x ＝9不在取值范围内， ∴当x ＝8时，此时W 最大值＝﹣12x 2+9x ＝40万元； （3）①由题意得：﹣12x 2+9x ＝9x ﹣（12x +3） 解得x ＝﹣2（舍去），x ＝3，答该公司买入杨梅3吨；②当该公司买入杨梅吨数在 3＜x ≤8范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些．故答案为：3＜x ≤8．【点睛】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．4．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． （1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y （本）与销售单价x （元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠(06)a a <≤元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a 的值．【答案】（1）10500(3038)y x x =-+；（2）2a =．【解析】【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意得到w=（x-20-a ）（-10x+500）=-10x 2+（10a+700）x-500a-10000（30≤x≤38）求得对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+12a ≤38，则当1352x a =+时，w 取得最大值，解方程得到a 1=2，a 2=58，于是得到a=2．【详解】解：（1）根据题意得，()()2501025105003038y x x x =--=-+；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．()()()()220105001010700500100003038w x a x x a x a x =---+=-++-- 对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+12a ≤38， 则当1352x a =+时，w 取得最大值， ∴1135201035500196022a a x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+---++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴122,58a a ==（不合题意舍去）， ∴2a =．【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．5．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A ，与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为(1,0)-．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P ，使PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++ （2）最大值为10（3）故点P 坐标为：315(,)24或332362+--或332362--+． 【解析】【分析】（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式，即可求解； （2）矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，即可求解； （3）2711sin4532822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯94PH HG ==，即可求解．【详解】（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式得：044a =+，解得：1a =-，故函数表达式为：223y x x =-++…①；（2）设点M 的坐标为()2,23x x x -++，则点()22,23N x x x --++，则222MN x x x =-+=-，223GM x x =-++，矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++， ∵20-<，故当22b x a=-=，C 有最大值，最大值为10， 此时2x =，点()0,3N 与点D 重合； （3）PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916， 则99272316168PNC S MN GM ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 连接DC ，在CD 得上下方等距离处作CD 的平行线m 、n ，过点P 作y 轴的平行线交CD 、直线n 于点H 、G ，即PH GH =，过点P 作PK CD ⊥于点K ，将()3,0C 、()0,3D 坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD 的表达式为：3y x =-+，OC OD =，∴45OCD ODC PHK ∠=∠=︒=∠，32CD =设点()2,23P x x x -++，则点(),3H x x -+， 2711sin4532822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯ 解得：94PH HG ==， 则292334PH x x x =-+++-=， 解得：32x =， 故点315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线n 的表达式为：93344y x x =-+-=-+…②， 联立①②并解得：3322x ±=， 即点'P 、''P 的坐标分别为332362+--⎝⎭、332362--+⎝⎭； 故点P 坐标为：315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或33236224⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭或33236224⎛--+ ⎝⎭． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标.【答案】（1）21452=-+-y x x ；（2）()2,1-M ，25y x =-；（3）点P 、Q 的坐标分别为()6,1或()2,1、()4,3-或()4,1．【解析】【分析】（1）函数表达式为：()243y a x ==+，将点B 坐标代入上式，即可求解；（2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式，即可求解；（3）分当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可.【详解】解：（1）函数表达式为：()243y a x ==+，将点B 坐标代入上式并解得：12a =-， 故抛物线的表达式为：21452=-+-y x x ； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =，故直线AB 的表达式为：25y x =-；（3）设点()4,Q s 、点21,452P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， ①当AM 是平行四边形的一条边时，点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ， 同样点21,452P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭向左平移2个单位、向下平移4个单位得到()4,Q s ，即：24m -=，214542m m s -+--=， 解得：6m =，3s =-，故点P 、Q 的坐标分别为()6,1、()4,3-； ②当AM 是平行四边形的对角线时，由中点定理得：424m +=+，2131452m m s -=-+-+， 解得：2m =，1s =，故点P 、Q 的坐标分别为()2,1、()4,1；故点P 、Q 的坐标分别为()6,1，()4,3-或()2,1、()4,3-，()2,1或()4,1．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏.7．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y 轴交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、 Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ.①若点P 的横坐标为12-，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标； ②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.【答案】（1）抛物线y=-x 2+2x+3；（2）①点D （ 31524，）；②△PQD 面积的最大值为8【解析】分析：（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）（I ）由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x，-x+54），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ=-2x2+6x+72，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，进而可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E 的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．详解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：309330a ba b-+⎧⎨++⎩＝＝，解得：12ab-⎧⎨⎩＝＝，∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3．（2）（I）当点P的横坐标为-12时，点Q的横坐标为72，∴此时点P的坐标为（-12，74），点Q的坐标为（72，-94）．设直线PQ的表达式为y=mx+n，将P（-12，74）、Q（72，-94）代入y=mx+n，得：17247924m nm n⎧-+⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩＝＝，解得：154mn-⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，∴直线PQ的表达式为y=-x+54．如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+54），∴DE=-x2+2x+3-（-x+54）=-x2+3x+74，∴S△DPQ=12DE•（x Q-x P）=-2x2+6x+72=-2（x-32）2+8．∵-2＜0，∴当x=32时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（32，154）．（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，∴点P的坐标为（t，-t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3．设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，∴S△DPQ=12DE•（x Q-x P）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．∵-2＜0，∴当x=t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+6x+72；（II）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t．8．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+53x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=214，M坐标为（32，3）；（3）F坐标为（0，﹣32）．【解析】【分析】1）把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，确定出二次函数解析式，与一次函数解析式联立求出E坐标即可；（2）过M作MH垂直于x轴，与直线CE交于点H，四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大，构造出二次函数求出最大值，并求出此时M坐标即可；（3）令y=0，求出x的值，得出A与B坐标，由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC 与三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的长，即可确定出F坐标．【详解】（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得：2016232a cc⎧++=-⎪⎨⎪=⎩，解得：2a32c⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即二次函数解析式为y=﹣23x2+53x+2，联立一次函数解析式得：2225233y xy x x﹣﹣=+⎧⎪⎨=++⎪⎩，消去y得：﹣13x+2=﹣23x2+53x+2，解得：x=0或x=3，则E（3，1）；（2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H，设M（m，﹣23m2+53m+2），则H（m，﹣13m+2），∴MH=（﹣23m2+53m+2）﹣（﹣13m+2）=﹣23m2+2m，S四边形COEM=S△OCE+S△CME=12×2×3+12MH•3=﹣m2+3m+3，当m=﹣ab=32时，S最大=214，此时M坐标为（32，3）；（3）连接BF，如图②所示，当﹣23x 2+53x+20=0时，x 1=5+734，x 2=5-73， ∴OA=73-5，OB=5+73， ∵∠ACO=∠ABF ，∠AOC=∠FOB ，∴△AOC ∽△FOB ，∴OA OC OF OB = ，即73-545+73OF = ， 解得：OF=32， 则F 坐标为（0，﹣32）． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．9．复习课中，教师给出关于x 的函数（k 是实数）. 教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：①存在函数，其图像经过（1,0）点；②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；③当时，不是y 随x 的增大而增大就是y 随x 的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.【答案】①真，②假，③假，④真，理由和所用的数学方法见解析.【解析】试题分析：根据方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想对各结论进行判断. 试题解析：①真，②假，③假，④真.理由如下：①将（1,0）代入，得，解得. ∴存在函数，其图像经过（1,0）点. ∴结论①为真.②举反例如，当时，函数的图象与坐标轴只有两个不同的交点.∴结论②为假.③∵当时，二次函数（k 是实数）的对称轴为，∴可举反例如，当时，二次函数为， 当时，y 随x 的增大而减小；当时，y 随x 的增大而增大. ∴结论③为假.④∵当时，二次函数的最值为，∴当时，有最小值，最小值为负；当时，有最大值，最大值为正.∴结论④为真.解决问题时所用的数学方法有方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.二次函数的性质；3.方程思想、特殊元素法、反证思想和分类思想的应用.10．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）．【解析】试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c=++中，得：0{9303a b c a b c c -+=++==-，解得：1{23a b c ==-=-，故抛物线的解析式：223y x x =--．（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2b a -=1，故P （1，0）； （3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2b a -=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1； ②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6±；③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-； 当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，6）（1，6-）（1，﹣1）（1，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．。

人教备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇及详细答案(1)

人教备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇及详细答案(1)

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y yQ P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】（1）当y=0时，140 33x-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322a ca-+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14ac=⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=13x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴PC PBPF PE=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴22x x x xQ P F E++=，22y y y yQ P F E++=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18， ∴OF=3a ﹣20． ∴F （0，20﹣3a ）． ∵PEQF 为矩形，∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y yQ P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0， ∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）． ∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．2．如图1，对称轴为直线x =1的抛物线y =12x 2+bx +c ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且点A 坐标为(-1，0).又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，点C 与坐标原点O 关于该对称轴成轴对称. （1）求点 B 的坐标和抛物线的表达式； （2）当 AE ：EP =1：4 时，求点 E 的坐标；（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到 OC ′，旋转角为 α(0°＜α＜90°)，连接 C ′D 、C′B ，求 C ′B+23C′D 的最小值．【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=12x2-x-32；（2）E(1，6)；（3）C′B＋2 3C′D4103【解析】试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得AE AP =AGAF=EGPF=15，从而求出E的坐标；（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝23C′D，由C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．试题解析：解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-122b=1，∴b=-1．∵抛物线过点A（-1，0），∴12-b+c=0，解得：c=-32，即：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32．令y=0，则12x2-x-32=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AEAP =AGAF=EGPF=15．又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．如图，取点M （0，43），连接MC ′、BM ．则OM ＝43，BM ＝2243()3+＝973． ∵423'23OM OC ==，'23OC OD =，且∠DOC ′＝∠C ′OD ，∴△MOC ′∽△C ′OD ．∴'2'3MC C D =，∴MC ′＝23C ′D ，∴C ′B ＋23C ′D ＝C ′B ＋MC ′≥BM ＝4103，∴C ′B ＋23C ′D 的最小值为4103．点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF 的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．3．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且()6,0A -，与y 轴交于点C ．()1求抛物线的函数解析式； ()2求ABC 的面积；()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使APC 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】()1 2134y x x =+-；()212；()27334APC x S =-当时，有最大值，点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【解析】 【分析】(1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC 的面积计算拆分为APFCPFS S+即可.【详解】()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++，∵函数图象顶点为()2,4M --，∴2(2)4y a x =+-， 又∵函数图象经过点()6,0A -， ∴20(62)4a =-+- 解得14a =， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =+-，即2134y x x =+-； ()2∵点C 是函数2134y x x =+-的图象与y 轴的交点，∴点C 的坐标是()0,3-， 又当0y =时，有21304y x x =+-=， 解得16x =-，22x =， ∴点B 的坐标是()2,0， 则11831222ABCSAB OC =⋅=⨯⨯=； ()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．设(),0E x ，则21,34P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设直线AC 的解析式为y kx b =+， ∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -， ∴603k b b -+=⎧⎨-=⎩，解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为132y x =--， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则221113332442PF x x x x x ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭， ∴1122APCAPFCPFSS SPF AE PF OE =+=⋅+⋅ 2221113393276(3)22424244PF OA x x x x x ⎛⎫=⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭， ∴当3x =-时，APC S有最大值274， 此时点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.4．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=94；②P （2，﹣3）或（22﹣2）． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3； （2）设BC 的解析式为y=kx+b ， 将B ，C 的坐标代入函数解析式，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， BC 的解析式为y=x ﹣3，设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3）， PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+94， 当n=32时，PM 最大=94； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2， 解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2， n 2﹣2n ﹣3=-3， P （2，-3）；当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2（不符合题意，舍），n 3，n 2﹣2n ﹣，P （，综上所述：P （2，﹣3）或（，2﹣）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.5．函数()2110,>02y x mx x m =-++≥的图象记为1C ，函数()2110,>02y x mx x m =---<的图象记为2C ，其中m 为常数，1C 与2C 合起来的图象记为C .（Ⅰ）若1C 过点()1,1时，求m 的值； （Ⅱ）若2C 的顶点在直线1y =上，求m 的值； （Ⅲ）设C 在42x -≤≤上最高点的纵坐标为0y ，当0392y ≤≤时，求m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12m =；（Ⅱ）2m =；（Ⅲ）912m ≤≤. 【解析】 【分析】（Ⅰ）将点C 的坐标代入1C 的解析式即可求出m 的值；（Ⅱ）先求出抛物线2C 的顶点坐标，再根据顶点在直线y 1=上得出关于m 的方程，解之即可（Ⅲ）先求出抛物线1C 的顶点坐标，结合（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标，和x 的取值范围，分三种情形讨论求解即可； 【详解】解：（Ⅰ）将点()1,1代入1C 的解析式，解得1m .2=（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标为2m m,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 令2m 112-=，得m 2,=± ∵m>0，∴m 2.=（Ⅲ）∵抛物线1C 的顶点2m P m,12⎛⎫+ ⎪⎝⎭，抛物线2C 的顶点2m Q m,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当0m 2<≤时，最高点是抛物线G 1的顶点∴203m y 1922≤=+≤，解得1m 2.≤≤ 当2m 4<≤时，G 1中（2，2m-1）是最高点，0y =2m-1 ∴32≤2m-19≤，解得2m 4.<≤ 当m>4时，G 2中（-4，4m-9）是最高点，0y =4m-9． ∴32≤4m-99≤，解得94m 2<≤. 综上所述，91m 2≤≤即为所求. 【点睛】本题考查二次函数综合题，待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．6．如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.（1）求抛物线的解析式； （2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）当t=时，△PEF 的面积最大，其最大值为×，最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P ，t 的值为1或【解析】试题分析：（1）由A 、B 、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．试题解析：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴BC=AD=2，∵B（﹣1，0），∴C（1，0），∴线段AC的中点为（，），∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，∴直线l过平行四边形的对称中心，∵A、D关于对称轴对称，∴抛物线对称轴为x=1，∴E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，∴直线l的解析式为y=﹣x+，联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，∴F（﹣，），如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，∵P点横坐标为t，∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，∴最大值的立方根为=；（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴∠PAG=∠APG=45°，∴PG=AG，∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则PK=﹣t 2+2t+3，AQ=t ，KE=3﹣t ，PQ=﹣t 2+2t+3﹣3=﹣t 2+2t ，∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，∴∠PAQ=∠KPE ，且∠PKE=∠PQA ，∴△PKE ∽△AQP ， ∴，即，即t 2﹣t ﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），综上可知存在满足条件的点P ，t 的值为1或． 考点：二次函数综合题7．如图1，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =++经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点，①连接BC 、CD 、BD ，设BD 交直线AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2．求：12S S 的最大值； ②如图2，是否存在点D ，使得∠DCA ＝2∠BAC ？若存在，直接写出点D 的坐标，若不存在，说明理由．【答案】（1）213222y x x =--+；（2）①当2a =-时，12S S 的最大值是45；②点D 的坐标是(2,3)-【解析】【分析】（1）根据题意得到A （-4，0），C （0，2）代入y=-12x 2+bx+c ，于是得到结论； （2）①如图，令y=0，解方程得到x 1=-4，x 2=1，求得B （1，0），过D 作DM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴交于AC 于N ，根据相似三角形的性质即可得到结论；②根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，求得P （-32，0），得到PA=PC=PB=52，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延线于G ，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG ，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）根据题意得A （-4，0），C （0，2）， ∵抛物线y=-12x 2+bx+c 经过A ．C 两点， ∴1016422b c c⎧-⨯-+⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴3b=-2c=2⎧⎪⎨⎪⎩，抛物线解析式为：213222y x x =--+ ; （2）①令0y =，∴2132022x x --+= 解得：14x =- ,21x =∴B （1，0）过点D 作DM x ⊥轴交AC 于M ，过点B 作BN x ⊥轴交AC 于点N ，∴DM ∥BN∴DME BNE ∆∆∽∴12S DE DM S BE BN == 设：213222D a a a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ∴122M a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵()10B ， ∴51,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴()22121214225552a a S DM a S BN --===-++ ∴当2a =-时，12S S 的最大值是45; ②∵A （-4，0），B （1，0），C （0，2），∴AC=25，BC=5，AB=5，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，∴P （-32，0）， ∴PA=PC=PB=52， ∴∠CPO=2∠BAC ， ∴tan ∠CPO=tan （2∠BAC ）=43， 过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ，如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG ，∴∠CDG=∠BAC ，∴tan∠CDG=tan∠BAC=12，即RC：DR=12，令D（a，-12a2-32a+2），∴DR=-a，RC=-12a2-32a，∴（-12a2-32a）：（-a）=1：2，∴a1=0（舍去），a2=-2，∴x D=-2，∴-12a2-32a+2=3,∴点D的坐标是()2,3-【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键，难度较大．8．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6），则N （t ，﹣t+6），由S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB 列出关于t 的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH ⊥OB 知DH ∥AO ，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE 为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E 与点A 重合，求出y=6时x 的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B （6，0）、C （﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a （x ﹣6）（x+2），将点A （0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣12， 所以抛物线解析式为y=﹣12（x ﹣6）（x+2）=﹣12x 2+2x+6； （2）如图1，过点P 作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩， 则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN=12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ）=12PN•OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值；（3）如图2，∵PH ⊥OB 于H ，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH ∥AO ，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE ∥x 轴、PD ⊥x 轴，∴∠DPE=90°，若△PDE 为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，∴∠EDP 与∠BDH 互为对顶角，即点E 与点A 重合，则当y=6时，﹣12x 2+2x+6=6， 解得：x=0（舍）或x=4，即点P （4，6）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.9．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线223433y x =-+“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；（3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可【详解】（1）∵2234323y x x =-+a=233-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=； 联立两解析式求交点2234323332323y=y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩x=1y=0⎧⎨⎩， ∴A （-2，3B （1,0）；（2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，在223432333y x x =--+中，令y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2，23），∴AC=22-++2133=（23）（）由翻折的性质可知AN=AC=13，∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，∴N 在y 轴上，且AD=2，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN=22AN -AD =13-4=3，∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N 点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ，∴∠ ACK=∠ EFH ，在△ ACK 和△ EFH 中ACK=EFH AKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK ≌△ EFH ，∴FH=CK=1，HE=AK=23∵抛物线的对称轴为x=-1，∴ F 点的横坐标为0或-2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点的横坐标为0时，则F （0，233），此时点E 在直线AB 下方， ∴E 到y 轴的距离为EH-OF=32343，即E 的纵坐标为43∴ E（-1，-433）；当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵ C（-3,0），且A（-2，23），∴线段AC的中点坐标为（-2.5，3），设E（-1，t），F（x，y），则x-1=2×（-2.5），y+t=23，∴x= -4，y=23-t，23-t=-233×（-4）+233，解得t=43-3，∴E（-1，43-），F（-4，103）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-43）、（0，23）或E（-1，43 -3），F（-4，1033）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值．（3）当PH＝2时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）a＝165或45；（3）点P的坐标为（2，4）或（1，4）或（3+17，4）．【解析】【详解】（1）点C（0，4），则c＝4，二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）tan∠ACO＝AOCO＝14，△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，即：tan∠FEB＝14或4，∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，EB＝4﹣a，则144aa=-或44aa=-，解得：a＝165或45；（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）；分别延长CF、HP交于点N，∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，∴∠FPN＝∠NFB，∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，∵∠PNF ＝∠BEF ＝90°，FP ＝FB ，∴△PNF ≌△BEF （AAS ），∴FN ＝FE ＝a ，PN ＝EB ＝4﹣a ，∴点P （2a ，4），点H （2a ，﹣4a 2+6a+4），∵PH ＝2，即：﹣4a 2+6a+4﹣4＝|2|，解得：a ＝1或12故：点P 的坐标为（2，4）或（1，4，4）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．。

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优 易错 难题篇含答案

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优 易错 难题篇含答案

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优 易错 难题篇含答案一、二次函数1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线2234323y x x =--+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；（3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可【详解】（1）∵2234323y x x =-+a=233-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=x+33-；联立两解析式求交点22343232323y=x+y x x⎧=--+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩或x=1y=0⎧⎨⎩，∴A（-2，23），B（1,0）；（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，在223432333y x x=--+中，令y=0可求得x= -3或x=1，∴C（-3,0），且A（-2，23），∴AC=22-++2133=（23）（）由翻折的性质可知AN=AC=13，∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，∴N在y轴上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=22AN-AD=13-4=3，∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2 ，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，∴∠ ACK=∠ EFH，在△ ACK和△ EFH中ACK=EFHAKC=EHFAC=EF∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK≌△ EFH，∴FH=CK=1，HE=AK=23，∵抛物线的对称轴为x=-1，∴ F点的横坐标为0或-2，∵点F在直线AB上，∴当F点的横坐标为0时，则F（0，23），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH-OF=23-23=43，即E的纵坐标为-43，∴ E（-1，-43）；当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵ C（-3,0），且A（-2，23），∴线段AC的中点坐标为（-2.5，3），设E（-1，t），F（x，y），则x-1=2×（-2.5），y+t=23，∴x= -4，y=23-t，23-t=-233×（-4）+233，解得t=43-3，∴E（-1，43-3），F（-4，1033）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-43）、（0，23）或E（-1，43-），F（-4，103）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题2．已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由．（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（14，y1），D（34，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．【答案】（1）点M在直线y＝4x+1上；理由见解析；（2）x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）①当0＜b＜12时，y1＞y2，②当b＝12时，y1＝y2，③当12＜b＜45时，y1＜y2．【解析】【分析】（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】（1）点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，∴M的坐标是（b，4b+1），把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，∴点M在直线y＝4x+1上；（2）如图1，直线y＝mx+5交y轴于点B，∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴A（5，0）．由图象，得当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）如图2，∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，A（5，0），B（0，5）得直线AB的解析式为y＝﹣x+5，联立EF，AB得方程组415 y xy x=+⎧⎨=-+⎩，解得45215 xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点E（45，215），F（0，1）．点M在△AOB内，1＜4b+1＜215，∴0＜b＜45．当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣14＝34﹣b，∴b＝12，且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x+1上，综上：①当0＜b＜12时，y1＞y2，②当b＝12时，y1＝y2，③当12＜b＜45时，y1＜y2．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．3．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．【解析】【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．【详解】（1）由题意得，32 2a bba+-⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝，解得14ab-⎧⎨⎩＝＝，∴抛物线的解析式为y=x2-4x，令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，结合图象知，A的坐标为（4，0），根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P （x ，x 2-4x ）,∵PA ⊥BA∴∠PAF+∠BAE=90°,∵∠PAF+∠FPA=90°,∴∠FPA=∠BAE又∠PFA=∠AEB=90°∴△PFA ∽△AEB, ∴PF AF AE BE =，即244213x x x --=-， 解得，x= −1，x=4（舍去）∴x 2-4x=-5 ∴点P 的坐标为（-1，-5），又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1所以BP 与x 轴交点为（14，0） ∴S △PAB=115531524⨯⨯+= 【点睛】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；直线AC 的解析式为y=3x+3；（2）点M 的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139）， 【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-1 3x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，如图2，∵直线AC 的解析式为y=3x+3，∴直线PC 的解析式可设为y=﹣13x+b ， 把C （0，3）代入得b=3，∴直线PC 的解析式为y=﹣13x+3， 解方程组223133y x x y x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得03x y =⎧⎨=⎩或73209x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P 点坐标为（73，209）； 过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，直线PC 的解析式可设为y=﹣x+b ， 把A （﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13， ∴直线PC 的解析式为y=﹣13x ﹣13， 解方程组2231133y x x y x ⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得10x y =-⎧⎨=⎩或103139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P 点坐标为（103，﹣139）. 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139）. 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当23x =-时，ADE ∆的面积取得最大值503；（3）P 点的坐标为()1,1-，(1,11-，(1,219--. 【解析】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；（2）根据函数解析式设出点D 坐标，过点D 作DG ⊥x 轴，交AE 于点F ，表示△ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可；（3）设出点P 坐标，分PA =PE ，PA =AE ，PE =AE 三种情况讨论分析即可．详解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6）， ∴16404206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得：34326a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩， 所以二次函数的解析式为：y =233642x x --+； （2）由A （﹣4，0），E （0，﹣2），可求AE 所在直线解析式为y =122x --， 过点D 作DN ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如图，设D （m ，233642m m --+），则点F （m ，122m --）， ∴DF =233642m m --+﹣（122m --）=2384m m --+， ∴S △ADE =S △ADF +S △EDF =12×DF ×AG +12DF ×EH =12×DF ×AG +12×DF ×EH =12×4×DF =2×（2384m m --+）=23250233m -++（）， ∴当m =23-时，△ADE 的面积取得最大值为503． （3）y =233642x x --+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求PA 29n +PE 212n ++（）AE 16425+=，分三种情况讨论： 当PA =PE 29n +212n ++（）n =1，此时P （﹣1，1）； 当PA =AE 29n +16425+=n =11，此时点P 坐标为（﹣1，11）；当PE =AE 212n ++（）16425+=n =﹣219P 坐标为：（﹣1，﹣219）．综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，111，﹣219）． 点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x 轴一个动点，若∠MNC＝90°，请求出m的取值范围．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣2,23）55 4m-≤≤【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（t，3﹣t），即可得D（t，﹣t2+2t+3），即可求得PD的长，然后分三种情况讨论，求点P的坐标；（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m＝（n﹣32）2﹣54，然后根据n的取值得到最小值．【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），∴103b cc--+=⎧⎨=⎩，解得b＝2，c＝3．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）令﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b′，则330bk b''=⎧⎨+=⎩，解得：k=-1,b’=3故直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3； ∴设P （t ，3﹣t ）， ∴D （t ，﹣t 2+2t +3），∴PD ＝（﹣t 2+2t +3）﹣（3﹣t ）＝﹣t 2+3t ， ∵OB ＝OC ＝3，∴△BOC 是等腰直角三角形， ∴∠OCB ＝45°，当CD ＝PC 时，则∠CPD ＝∠CDP ， ∵PD ∥y 轴，∴∠CPD ＝∠OCB ＝45°， ∴∠CDP ＝45°， ∴∠PCD ＝90°，∴直线CD 的解析式为y ＝x +3，解2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩得03x y =⎧⎨=⎩或14x y =⎧⎨=⎩ ∴D （1，4）， 此时P （1，2）；当CD ＝PD 时，则∠DCP ＝∠CPD ＝45°， ∴∠CDP ＝90°， ∴CD ∥x 轴，∴D 点的纵坐标为3，代入y ＝﹣x 2+2x +3得，3＝﹣x 2+2x +3， 解得x ＝0或x ＝2， 此时P （2，1）；当PC ＝PD 时，∵PC t ， ∴＝﹣t 2+3t ，解得t ＝0或t ＝3，此时P （3）；综上，当△CDP 为等腰三角形时，点P 的坐标为（1，2）或（2，1）或（3） （3）如图2，由（1）y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴E （1，4），设N （1，n ），则0≤n ≤4， 取CM 的中点Q （2m ，32）， ∵∠MNC ＝90°，∴NQ ＝12CM ， ∴4NQ 2＝CM 2，∵NQ 2＝（1﹣2m ）2+（n ﹣32）2， ∴4[（1﹣2m ）2+（n ﹣32）2]＝m 2+9， 整理得，m ＝（n ﹣32）2﹣54， ∵0≤n ≤4， 当n ＝32时，m 最小值＝﹣54，n ＝4时，m ＝5， 综上，m 的取值范围为：﹣54≤m ≤5．【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．7．如图甲，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ． （1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC 的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；综上可知存在满足条件的点M ，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如图，过E 作EF ⊥x 轴，交BC 于点F ，交x 轴于点D ，设E （x ，x 2﹣4x+3），则F （x ，﹣x+3）， ∵0＜x ＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x 2﹣4x+3）=﹣x 2+3x ， ∴S △CBE =S △EFC +S △EFB =EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x 2+3x ）=﹣（x ﹣）2+，∴当x=时，△CBE 的面积最大，此时E 点坐标为（，），即当E 点坐标为（，）时，△CBE 的面积最大．考点：二次函数综合题．8．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． （1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y （本）与销售单价x （元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠(06)a a <≤元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a 的值．【答案】（1）10500(3038)y x x =-+剟；（2）2a =． 【解析】 【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意得到w=（x-20-a ）（-10x+500）=-10x 2+（10a+700）x-500a-10000（30≤x≤38）求得对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+12a ≤38，则当1352x a =+时，w 取得最大值，解方程得到a 1=2，a 2=58，于是得到a=2． 【详解】解：（1）根据题意得，()()2501025105003038y x x x =--=-+剟； （2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．()()()()220105001010700500100003038w x a x x a x a x =---+=-++--剟对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+12a ≤38， 则当1352x a =+时，w 取得最大值， ∴1135201035500196022a a x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+---++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴122,58a a ==（不合题意舍去），∴2a =． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．9．如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数y=x 2+（2k ﹣1）x+k+1的图象与x 轴相交于O 、A 两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ，使△AOB 的面积等于6，求点B 的坐标；（3）对于（2）中的点B ，在此抛物线上是否存在点P ，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB 的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x 2﹣3x 。

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇附答案

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一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，140 33x-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322a ca-+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14ac=⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=13x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴PC PBPF PE=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴22x x x xQ P F E++=，22y y y yQ P F E++=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．2．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且()6,0A -，与y 轴交于点C ．()1求抛物线的函数解析式；()2求ABC 的面积；()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使APC 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】()1 2134y x x =+-；()212；()27334APC x S =-当时，有最大值，点P 的坐标是153,4P ⎛⎫--⎪⎝⎭． 【解析】【分析】 (1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC 的面积计算拆分为APF CPF SS +即可.【详解】 ()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++，∵函数图象顶点为()2,4M --，∴2(2)4y a x =+-，又∵函数图象经过点()6,0A -，∴20(62)4a =-+- 解得14a =， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =+-，即2134y x x =+-； ()2∵点C 是函数2134y x x =+-的图象与y 轴的交点， ∴点C 的坐标是()0,3-，又当0y =时，有21304y x x =+-=， 解得16x =-，22x =，∴点B 的坐标是()2,0， 则11831222ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=；()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．设(),0E x ，则21,34P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -， ∴603k b b-+=⎧⎨-=⎩， 解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为132y x =--， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则221113332442PF x x x x x ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭， ∴1122APC APF CPF S S S PF AE PF OE =+=⋅+⋅ 2221113393276(3)22424244PF OA x x x x x ⎛⎫=⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭， ∴当3x =-时，APC S 有最大值274， 此时点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．（2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值． （3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=．∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22--），∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -），∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，解得：12m 2=-,22m 2=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ．综上所述，2m =-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．4．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇及答案解析

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇及答案解析

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为：P13+5152-），P2（352，1+52），P3（52，1+52），P455-15-.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=12×3×3+12PG•AE，=92+12×3×（-m2+5m-3），=-32m2+152m，=32（m-52）2+758， ∵-32＜0， ∴当m=52时，S 有最大值是758； （3）如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ，易得△OMP ≌△PNF ，∴OM=PN ，∵P （m ，m 2-4m+3），则-m 2+4m-3=2-m ，解得：m=5+5或55-， ∴P 的坐标为（5+5，1+5）或（55-，15-）； 如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP ≌△PMF ，∴PN=FM ，则-m 2+4m-3=m-2，解得：x=3+5或352； P 的坐标为（3+5，152-）或（352，1+52）； 综上所述，点P 的坐标是：（5+52，1+52）或（552-，152-）或（3+5，15-）或（352，1+5）． 点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．2．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，D 为抛物线对称轴上一动点，求D 运动到什么位置时△DAC 的周长最小； （3）如图2，点E 在第一象限抛物线上，AE 与BC 交于点F ，若AF ：FE ＝2：1，求E 点坐标；（4）点M 、N 同时从B 点出发，分别沿BA 、BC 方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M 运动到点A 时，点N 停止运动，则当点N 停止运动后，在x 轴上是否存在点P ，使得△PBN 是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）248433y x x =-++（2）81,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（13，0）． 【解析】【分析】 （1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D 点在对称轴时是△DAC 周长最小的点，先求出直线BC ，然后D 点横坐标是1，直接代入直线BC 求出纵坐标即可 （3）作EH ∥AB交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，易证△ABF ∽△EHF ，得AB AF 2EH EF ==,得EH=2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+），y E ＝y H ，解出方程x ＝1或x ＝2，得到E 点坐标 （4）△PBN 是等腰三角形，分成三种情况，①BP ＝BC 时，利用等腰三角性质直接得到P 1（﹣1，0）或P 2（7，0），②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，易得△NHB ∽△COB ，利用比例式得到NH 、 BH 从而得到 PH ＝BH ，BP ，进而得到OP ，即得到P 点坐标，③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ，易得△NOB ∽△PKB ，利用比例式求出PB ，进而得到OP ，即求出P 点坐标【详解】解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+4，得 40930a b a b c -+=⎧⎨++=⎩ 解得a ＝43-，b ＝83， ∴抛物线的解析式248433y x x =-++； （2）22484164(1)3333=-++=--+y x x x ∴抛物线对称轴为直线x ＝1，∴D 的横坐标为1，由（1）可得C （0，4），∵B （3，0），∴直线BC ：4y 43x =-+ ∵DA ＝DB ，△DAC 的周长＝AC+CD+AD ＝AC+CD+BD ，连接BC ，与对称轴交于点D ，此时CD+BD 最小，∵AC 为定值，∴此时△DAC 的周长，当x ＝1时，y ＝﹣43×1+4＝83， ∴D （1，83）； （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，∴△ABF ∽△EHF ，∵AF ：FE ＝2：1，∴AB AF 2EH EF==， ∵AB ＝4，∴EH ＝2， 设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+） ∵EH ∥AB ，∴y E ＝y H ， ∴248x x 433-++=420x 33-+ 解得x ＝1或x ＝2， y ＝163或4， ∴E （1，163）或（2，4）； （4）∵A （﹣1，0）、B （3，0），C （0，4）∴AB ＝4，OC ＝4，点M 运动到点A 时，BM ＝AB ＝4，∴BN ＝4，∵△PBN 是等腰三角形，①BP ＝BC 时，若P 在点B 左侧，OP ＝PB ﹣OB ＝4﹣3＝1，∴P 1（﹣1，0），若P 在点B 右侧，OP ＝OB+BP ＝4+3＝7，∴P 2（7，0）；②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，△NHB ∽△COB ， ∴45NH BH BN OC OB BC === ∴NH ＝45OC ＝445⨯＝165， BH ＝45BC ＝125， ∴PH ＝BH ＝125， BP ＝245， ∴OP ＝BP ﹣OB ＝249355-=， ∴P 3（﹣95，0）； ③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ，∴△NOB ∽△PKB ， ∴PB BK BN OB= ∴PB ＝83，∴OP＝OB﹣PB＝3﹣83＝13P4（13，0）综上，当△PBN是等腰三角形时，点P的坐标P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣95，0）或P4（13，0）．【点睛】本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综合程度比较高，对综合能力要求比较高. 第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距离，找到D点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键3．二次函数y=x2-2mx+3（m＞）的图象与x轴交于点A（a，0）和点B（a+n，0）（n ＞0且n为整数），与y轴交于C点．（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC的面积；（2）求证：a=m-；（3）线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a的值．【答案】（1）y=x2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=−．【解析】试题分析：（1）①首先根据a=1求得A的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m的值即可确定二次函数的解析式；②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m，然后根据A、B两点关于x=m对称得到a+n-m=m-a，从而确定a、m、n之间的关系；（3）根据a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，求得m 的值即可确定a的值．试题解析：（1）①∵a=1，∴A（1，0），代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，∴y=x2-4x+3；②在y=x2-4x+3中，当y=0时，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，∴A（1，0）、B（3，0），∴AB=2再根据解析式求出C点坐标为（0，3），∴OC=3，△ABC的面积=×2×3=3；（2）∵y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，∴对称轴为直线x=m，∵二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B∴点A和点B关于直线x=m对称，∴a+n-m=m-a，∴a=m-；（3）y=x2-2mx+3（m＞）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m＞）①当a为整数，因为n＞0且n为整数所以a+n是整数，∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n=2，∴a=m-1，∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，∴m2-4=0，∴m=2，m=-2（舍去），∴a=2-1=1，②当a不是整数，因为n＞0且n为整数所以a+n不是整数，∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n=3，∴a=m-∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，∴m2=，∴m=，m=-（舍去），∴a=−，综上所述：a=1或a=−．考点：二次函数综合题．4．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣12x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，52），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52；（2）线段CD 的长为2；（3）M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到y=﹣12（x ﹣2）2+92，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t ，则P （2+t ，92﹣t ），然后把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得到关于t 的方程，从而解方程可得到CD 的长； （3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到12•（m+52+2）•2=8当m ＜0时，利用梯形面积公式得到12•（﹣m+52+2）•2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，52）代入y=﹣12x 2+bx+c 得 10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52；（2）∵y=﹣12（x﹣2）2+92，∴C（2，92），抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，92﹣t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（2+t，92﹣t），把P（2+t，92﹣t）代入y=﹣12x2+2x+52得﹣12（2+t）2+2（2+t）+52=92﹣t，整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，∴线段CD的长为2；（3）P点坐标为（4，92），D点坐标为（2，52），∵抛物线平移，使其顶点C（2，92）移到原点O的位置，∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位，而P点（4，92）向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点E，∴E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，12•（m+52+2）•2=8，解得m=72，此时M点坐标为（0，72）；当m＜0时，12•（﹣m+52+2）•2=8，解得m=﹣72，此时M点坐标为（0，﹣72）；综上所述，M点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.5．已知：如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3与坐标轴分别交于点A ，B （﹣3，0），C （1，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式；（2）当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连接DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3 （2）（﹣32，154） （3）存在，P （﹣2，3）或P （5172-+，53172-+） 【解析】【分析】（1）用待定系数法求解；（2）过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交AB 于点F ，直线AB 解析式为y ＝x +3，设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0），则F （t ，t +3），则PF ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t ，根据S △PAB ＝S △PAF +S △PBF 写出解析式，再求函数最大值；（3）设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0），则D （t ，t +3），PD ＝﹣t 2﹣3t ，由抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4，由对称轴为直线x ＝﹣1，PE ∥x 轴交抛物线于点E ，得y E ＝y P ，即点E 、P 关于对称轴对称，所以2E P x x +＝﹣1，得x E ＝﹣2﹣x P ＝﹣2﹣t ，故PE ＝|x E ﹣x P |＝|﹣2﹣2t |，由△PDE 为等腰直角三角形，∠DPE ＝90°，得PD ＝PE ，再分情况讨论：①当﹣3＜t≤﹣1时，PE ＝﹣2﹣2t ；②当﹣1＜t ＜0时，PE ＝2+2t【详解】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3过点B （﹣3，0），C （1，0）∴933030a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得：12a b =-⎧⎨=-⎩ ∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3（2）过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交AB 于点F∵x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3∴A （0，3）∴直线AB 解析式为y ＝x +3∵点P 在线段AB 上方抛物线上∴设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0）∴F （t ，t +3）∴PF ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t∴S △PAB ＝S △PAF +S △PBF ＝12PF •OH +12PF •BH ＝12PF •OB ＝32（﹣t 2﹣3t ）＝﹣32（t +32）2+278∴点P 运动到坐标为（﹣32，154），△PAB 面积最大 （3）存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0），则D （t ，t +3）∴PD ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t∵抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4∴对称轴为直线x ＝﹣1∵PE ∥x 轴交抛物线于点E∴y E ＝y P ，即点E 、P 关于对称轴对称 ∴2E P x x +＝﹣1 ∴x E ＝﹣2﹣x P ＝﹣2﹣t∴PE ＝|x E ﹣x P |＝|﹣2﹣2t |∵△PDE 为等腰直角三角形，∠DPE ＝90°∴PD ＝PE①当﹣3＜t ≤﹣1时，PE ＝﹣2﹣2t∴﹣t 2﹣3t ＝﹣2﹣2t解得：t 1＝1（舍去），t 2＝﹣2∴P （﹣2，3）②当﹣1＜t ＜0时，PE ＝2+2t∴﹣t 2﹣3t ＝2+2t解得：t 1517-+，t 2517--（舍去） ∴P 517-+5317-+ 综上所述，点P 坐标为（﹣2，3517-+5317-+）时使△PDE 为等腰直角三角形．【点睛】考核知识点：二次函数的综合.数形结合分析问题，运用轴对称性质和等腰三角形性质分析问题是关键.6．如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当12MQ NQ =时，求t 的值；（3）如图②，连接AM 交BC 于点D ，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值．【答案】（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）t 的值为12；（3）当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或t 2﹣1．【解析】【分析】（1）求直线y=-x+4与x 轴交点B ，与y 轴交点C ，用待定系数法即求得抛物线解析式． （2）根据点B 、C 坐标求得∠OBC=45°，又PE ⊥x 轴于点E ，得到△PEB 是等腰直角三角形，由2PB =求得BE=PE=t ，即可用t 表示各线段，得到点M 的横坐标，进而用m 表示点M 纵坐标，求得MP 的长．根据MP ∥CN 可证MPQ NCQ ∽，故有12MP MQ NC NQ ＝＝，把用t 表示的MP 、NC 代入即得到关于t 的方程，求解即得到t 的值．（3）因为不确定等腰△PDM 的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP ，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP ，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME ，把含t 的式子代入并解方程即可；③若MP=DP ，则∠PMD=∠PDM ，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF 进而得CF=CD ．用t 表示M 的坐标，求直线AM 解析式，求得AM 与y 轴交点F 的坐标，即能用t 表示CF 的长．把直线AM 与直线BC 解析式联立方程组，解得x 的值即为点D 横坐标．过D 作y 轴垂线段DG ，得等腰直角△CDG ，用DG 即点D 横坐标，进而可用t 表示CD 的长．把含t 的式子代入CF=CD ，解方程即得到t 的值．【详解】（1）直线y ＝﹣x +4中，当x ＝0时，y ＝4∴C （0，4）当y ＝﹣x +4＝0时，解得：x ＝4∴B （4，0）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点∴1640004b c c -++=⎧⎨++=⎩ 解得：34b c =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+3x +4（2）∵B （4，0），C （0，4），∠BOC ＝90°∴OB ＝OC∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°∵ME ⊥x 轴于点E ，PBt∴∠BEP ＝90°∴Rt △BEP 中，2PE sin PBE PB ∠=＝∴2BE PE PB t ＝＝＝， ∴4M P P x x OE OBBE t y PE t ＝＝＝﹣＝﹣，＝＝ ∵点M 在抛物线上∴2243445M y t t t t +++＝﹣（﹣）（﹣）＝﹣， ∴24MP MP y y t t +＝﹣＝﹣ ， ∵PN ⊥y 轴于点N∴∠PNO ＝∠NOE ＝∠PEO ＝90°∴四边形ONPE 是矩形∴ON ＝PE ＝t∴NC ＝OC ﹣ON ＝4﹣t∵MP ∥CN∴△MPQ ∽△NCQ∴12MP MQ NC NQ == ∴24142t t t -+=- 解得：12142t t ＝，＝（点P 不与点C 重合，故舍去）∴t 的值为12（3）∵∠PEB ＝90°，BE ＝PE∴∠BPE ＝∠PBE ＝45°∴∠MPD ＝∠BPE ＝45°①若MD ＝MP ，则∠MDP ＝∠MPD ＝45°∴∠DMP ＝90°，即DM ∥x 轴，与题意矛盾②若DM ＝DP ，则∠DMP ＝∠MPD ＝45°∵∠AEM ＝90°∴AE ＝ME∵y ＝﹣x 2+3x +4＝0时，解得：x 1＝﹣1，x 2＝4∴A （﹣1，0）∵由（2）得，x M ＝4﹣t ，ME ＝y M ＝﹣t 2+5t∴AE ＝4﹣t ﹣（﹣1）＝5﹣t∴5﹣t ＝﹣t 2+5t解得：t 1＝1，t 2＝5（0＜t ＜4，舍去）③若MP ＝DP ，则∠PMD ＝∠PDM如图，记AM 与y 轴交点为F ，过点D 作DG ⊥y 轴于点G∴∠CFD ＝∠PMD ＝∠PDM ＝∠CDF∴CF ＝CD∵A （﹣1，0），M （4﹣t ，﹣t 2+5t ），设直线AM 解析式为y ＝ax +m∴()2045a m a t m t t -+=⎧⎨-+=-+⎩ 解得：a t m t =⎧⎨=⎩ ， ∴直线AM ：y tx t +＝∴F （0，t ）∴CF ＝OC ﹣OF ＝4﹣t∵tx +t ＝﹣x +4，解得：41t x t -=+， ∴41D x t t DG -=+＝＝， ∵∠CGD ＝90°，∠DCG ＝45°∴()2421t CD DG t -+＝＝， ∴()2441t t t -+﹣＝ 解得：21t ＝﹣综上所述，当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或21t ＝﹣．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．7．如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为()1,0-，且4OA OC OB ==，抛物线()20y ax bx c a =++≠图象经过,,A B C 三点．（1）求,A C 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD AC ⊥于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．【答案】解：（1）点A 、C 的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；；（2）抛物线的表达式为：234y x x ＝﹣﹣ ； （3）PD 有最大值，当x ＝2时，其最大值为2，此时点P （2，﹣6）．【解析】【分析】（1）OA ＝OC ＝4OB ＝4，即可求解；（2）抛物线的表达式为：234y x x ＝a （x+1）(x-4)=a(﹣﹣) ，即可求解； （3）22434--++＝（）PD x x x ，即可求解． 【详解】 解：（1）OA ＝OC ＝4OB ＝4，故点A 、C 的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；（2）抛物线的表达式为：234y x x ＝a （x+1）(x-4)=a(﹣﹣)，即﹣4a ＝﹣4，解得：a ＝1，故抛物线的表达式为：234y x x --＝ ；（3）直线CA 过点C ，设其函数表达式为：4y kx -＝，将点A 坐标代入上式并解得：k ＝1， 故直线CA 的表达式为：y ＝x ﹣4，过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H ，∵OA ＝OC ＝4，45OAC OCA ∴∠∠︒＝＝ ，∵//PH y 轴，45PHD OCA ∴∠∠︒＝＝，设点234P x x x --（，），则点H （x ，x ﹣4）， 22243422222--+++＝（）=-PD x x x x x ∵22- ＜0，∴PD 有最大值，当x ＝2时，其最大值为22 此时点P （2，﹣6）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示PD ，是本题解题的关键8．如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+．①求抛物线的解析式．②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值．③过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．【答案】①265y x x =-+-；②当2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22③点N 的横坐标为：4541+541-． 【解析】【分析】 ①点B 、C 在直线为y x n =+上，则B （﹣n ，0）、C （0，n ），点A （1，0）在抛物线上，所以250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩，解得1a =-，6b =，因此抛物线解析式：265y x x =-+-；②先求出点P 到BC 的高h 为2sin 45)BP t ︒=-，于是21122)22)2222PBE S BE h t t t ∆=⋅=-⨯=-+2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，所以点A 到直线BC 的距离22d =N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设()2,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -，易证△PQN为等腰直角三角形，即NQ PQ ==4PN =，Ⅰ．4NH HP +=，所以265(5)4m m m -+---=解得11m =（舍去），24m =，Ⅱ．4NH HP +=，()25654m m m ---+-=解得152m =，252m =（舍去），Ⅲ．4NH HP -=，()265[(5)]4m m m --+----=，解得152m =（舍去），2m =【详解】解：①∵点B 、C 在直线为y x n =+上，∴B （﹣n ，0）、C （0，n ），∵点A （1，0）在抛物线上， ∴250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩，∴1a =-，6b =，∴抛物线解析式：265y x x =-+-；②由题意，得，4PB t =-，2BE t =，由①知，45OBC ︒∠=，∴点P 到BC 的高h为sin 45)BP t ︒=-，∴211(4)2(2)2222PBE S BE h t t t ∆=⋅=⨯-⨯=-+ 当2t =时，△PBE的面积最大，最大值为③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，∴点A 到直线BC的距离d =过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ． 设()2,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -， 易证△PQN为等腰直角三角形，即NQ PQ == ∴4PN =，Ⅰ．4NH HP +=，∴265(5)4m m m -+---=解得11m =，24m =，∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，∴4m =；Ⅱ．4NH HP +=，∴()25654m m m ---+-= 解得15412m +=，25412m -=， ∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，5m >，∴5412m +=， Ⅲ．4NH HP -=， ∴()265[(5)]4m m m --+----=，解得15412m +=，25412m -=， ∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，0m <，∴5412m -=， 综上所述，若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为：4或5412+或5412-． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．9．如图，已知抛物线的图象与x 轴的一个交点为B （5，0），另一个交点为A ，且与y 轴交于点C （0，5）。

备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇及详细答案(1)

备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇及详细答案(1)

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知抛物线y =x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C （0，－3），对称轴是直线x =1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限． ①当线段PQ =34AB 时，求tan ∠CED 的值； ②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的函数表达式为y =x 2－2x －3．（2）直线BC 的函数表达式为y =x －3．（3）①23．①P 1（122），P 2（1－62，74）． 【解析】 【分析】已知C 点的坐标，即知道OC 的长，可在直角三角形BOC 中根据∠BCO 的正切值求出OB 的长，即可得出B 点的坐标．已知了△AOC 和△BOC 的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO 与OB 的比．由此可求出OA 的长，也就求出了A 点的坐标，然后根据A 、B 、C 三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴− 221bba -⨯＝＝1 ∴b=-2∵抛物线与y 轴交于点C （0，-3）， ∴c=-3，∴抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3； （2）∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点， 当y=0时，x 2-2x-3=0．∴x1=-1，x2=3．∵A点在B点左侧，∴A（-1，0），B（3，0）设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m，则033k mm＝＝+⎧⎨-⎩，∴13 km⎧⎨-⎩＝＝∴直线BC的函数表达式为y=x-3；（3）①∵AB=4，PQ=34 AB，∴PQ=3∵PQ⊥y轴∴PQ∥x轴，则由抛物线的对称性可得PM=32，∵对称轴是直线x=1，∴P到y轴的距离是12，∴点P的横坐标为−12，∴P（−12，−74）∴F（0，−74），∴FC=3-OF=3-74=54∵PQ垂直平分CE于点F，∴CE=2FC=5 2∵点D在直线BC上，∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），过点D作DG⊥CE于点G，∴DG=1，CG=1，∴GE=CE-CG=52-1=32．在Rt△EGD中，tan∠CED=23 GDEG＝．②P1（2，-2），P2（6-52）．设OE=a，则GE=2-a，当CE为斜边时，则DG2=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），∴1=1×（2-a），∴a=1，∴CE=2，∴OF=OE+EF=2∴F、P的纵坐标为-2，把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：2或2∵点P在第三象限．∴P1（2-2），当CD为斜边时，DE⊥CE，∴OE=2，CE=1，∴OF=2.5，∴P和F的纵坐标为：-52，把y=-52，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1-621+62∵点P在第三象限．∴P2（6-52）．综上所述：满足条件为P1（2-2），P2（6-52）．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．2．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是2y ax c =+的形式.请根据所给的数据求出a ，c 的值. (2)求支柱MN 的长度.(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.【答案】（1）y=-350x 2+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 【解析】试题分析：（1）根据题目可知A ．B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）设N 点的坐标为（5，y N ）可求出支柱MN 的长度．（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．做GH 垂直AB 交抛物线于H 则可求解．试题解析： (1) 根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).将B 、C 的坐标代入2y ax c =+，得 6,0100.c a c =⎧⎨=+⎩解得3,650a c =-=. ∴抛物线的表达式是23650y x =-+. (2) 可设N (5,N y )， 于是2356 4.550N y =-⨯+=.从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.(3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和， 则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23176335050H y =-⨯+=+>. 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.3．对于某一函数给出如下定义：若存在实数m ，当其自变量的值为m 时，其函数值等于﹣m ，则称﹣m 为这个函数的反向值．在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小反向值之差n 称为这个函数的反向距离．特别地，当函数只有一个反向值时，其反向距离n 为零．例如，图中的函数有4，﹣1两个反向值，其反向距离n 等于5． （1）分别判断函数y ＝﹣x +1，y ＝1x-，y ＝x 2有没有反向值？如果有，直接写出其反向距离；（2）对于函数y ＝x 2﹣b 2x ， ①若其反向距离为零，求b 的值； ②若﹣1≤b ≤3，求其反向距离n 的取值范围；（3）若函数y ＝223()3()x x x m x x x m ⎧-≥⎨--<⎩请直接写出这个函数的反向距离的所有可能值，并写出相应m 的取值范围．【答案】（1）y ＝−1x有反向值，反向距离为2；y ＝x 2有反向值，反向距离是1；（2）①b ＝±1；②0≤n ≤8；（3）当m ＞2或m ≤﹣2时，n ＝2，当﹣2＜m ≤2时，n ＝4． 【解析】 【分析】(1)根据题目中的新定义可以分别计算出各个函数是否有方向值，有反向值的可以求出相应的反向距离；(2)①根据题意可以求得相应的b 的值；②根据题意和b 的取值范围可以求得相应的n 的取值范围； (3)根据题目中的函数解析式和题意可以解答本题． 【详解】 (1)由题意可得，当﹣m＝﹣m+1时，该方程无解，故函数y＝﹣x+1没有反向值，当﹣m＝1m-时，m＝±1，∴n＝1﹣(﹣1)＝2，故y＝1x-有反向值，反向距离为2，当﹣m＝m2，得m＝0或m＝﹣1，∴n＝0﹣(﹣1)＝1，故y＝x2有反向值，反向距离是1；(2)①令﹣m＝m2﹣b2m，解得，m＝0或m＝b2﹣1，∵反向距离为零，∴|b2﹣1﹣0|＝0，解得，b＝±1；②令﹣m＝m2﹣b2m，解得，m＝0或m＝b2﹣1，∴n＝|b2﹣1﹣0|＝|b2﹣1|，∵﹣1≤b≤3，∴0≤n≤8；(3)∵y＝223()3() x x x mx x x m⎧-≥⎨--<⎩，∴当x≥m时，﹣m＝m2﹣3m，得m＝0或m＝2，∴n＝2﹣0＝2，∴m＞2或m≤﹣2；当x＜m时，﹣m＝﹣m2﹣3m，解得，m＝0或m＝﹣4，∴n＝0﹣(﹣4)＝4，∴﹣2＜m≤2，由上可得，当m＞2或m≤﹣2时，n＝2，当﹣2＜m≤2时，n＝4．【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题目中的新定义，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答相关问题．4．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（-1，-2），抛物线F：y=x2-2mx+m2-2与直线x=-2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的解析式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤-2，比较y1与y2的大小.【答案】(1) 221y x x =+-；(2)12y y >.【解析】 【分析】（1）根据抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2过点C （-1，-2），可以求得抛物线F 的表达式； （2）根据题意，可以求得y P 的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y 1与y 2的大小. 【详解】(1) ∵抛物线F 经过点C （－1，－2）， ∴22122m m -=++-. ∴m 1=m 2=-1.∴抛物线F 的解析式是221y x x =+-.(2)当x=-2时，2442P y m m =++-=()222m +-.∴当m=-2时，P y 的最小值为－2. 此时抛物线F 的表达式是()222y x =+-. ∴当2x ≤-时，y 随x 的增大而减小. ∵12x x <≤－2， ∴1y >2y . 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．5．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-. （1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或 【解析】 【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论． 【详解】（1）证明：∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥ ∴抛物线与x 轴总有交点.（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知，方程的两根为：2572m m x （）-±-=-即1216x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解：令 x = 0， y =6m -+ ∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0）， 它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -）， 由题意，可得：6166m m m 或-+=-+=- 56m m ∴==或 【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．6．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数（）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）；（2）E的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；（3），（，）．【解析】试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；（2）先求得直线BC的解析式为，则可设E（m，），然后分三种情况讨论即可求得；（3）利用△PBD的面积即可求得．试题解析：（1）∵二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C （8，0）两点，∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；（2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），当DC=CE时，，即，解得，（舍去），∴E（，）；当DC=DE 时，，即，解得，（舍去），∴E （0，﹣4）；当EC=DE 时，，解得=，∴E （，）．综上，存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形，所有符合条件的点E 的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；（3）过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点F ，∵P 点的横坐标为m ，∴P 点的纵坐标为：，∵△PBD 的面积===，∴当m=时，△PBD 的最大面积为，∴点P 的坐标为（，）．考点：二次函数综合题．7．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标. 【答案】（1）21452=-+-y x x ；（2）()2,1-M ，25y x =-；（3）点P 、Q 的坐标分别为()6,1或()2,1、()4,3-或()4,1．【解析】【分析】（1）函数表达式为：()243y a x ==+，将点B 坐标代入上式，即可求解；（2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式，即可求解；（3）分当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可.【详解】解：（1）函数表达式为：()243y a x ==+，将点B 坐标代入上式并解得：12a =-， 故抛物线的表达式为：21452=-+-y x x ； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =，故直线AB 的表达式为：25y x =-；（3）设点()4,Q s 、点21,452P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， ①当AM 是平行四边形的一条边时，点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ， 同样点21,452P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭向左平移2个单位、向下平移4个单位得到()4,Q s ， 即：24m -=，214542m m s -+--=， 解得：6m =，3s =-，故点P 、Q 的坐标分别为()6,1、()4,3-；②当AM 是平行四边形的对角线时，由中点定理得：424m +=+，2131452m m s -=-+-+， 解得：2m =，1s =，故点P 、Q 的坐标分别为()2,1、()4,1；故点P 、Q 的坐标分别为()6,1，()4,3-或()2,1、()4,3-，()2,1或()4,1．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏.8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.【答案】(1)点A的坐标为（4，8）将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx得8=16a+4b0=64a+8b解得a=,b=4∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=PEAP=BCAB,即PEAP=48∴PE=AP=t．PB=8-t．∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8.∴EG=-t2+8-(8-t)=-t2+t.∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2.②共有三个时刻：t1=163， t2=4013，t3=8525．【解析】（1）根据题意即可得到点A的坐标，再由A、C两点坐标根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，由tan∠PAE，即可表示出点E的坐标，从而得到点G 的坐标，EG的长等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标，得到一个函数关系式，根据函数关系式的特征即可求得结果；②考虑腰和底，分情况讨论．9．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣1；（2）△ABM为直角三角形．理由见解析；（3）当m≤时，平移后的抛物线总有不动点．【解析】试题分析：（1）分别写出A、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；根据OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分别得到∠MAC＝45°，∠BAC＝45°，得到∠BAM＝90°，进而得到△ABM是直角三角形；（3）根据抛物线的平以后的顶点设其解析式为，∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，∴，方程总有实数根，则≥0，得到m的取值范围即可试题解析：解：（1）∵点A是直线与轴的交点，∴A点为（-1，0）∵点B在直线上，且横坐标为2，∴B点为（2，3）∵过点A、B的抛物线的顶点M在轴上，故设其解析式为：∴，解得：∴抛物线的解析式为． （2）△ABM 是直角三角形，且∠BAM ＝90°．理由如下：作BC ⊥轴于点C ，∵A （-1，0）、B （2，3）∴AC ＝BC ＝3，∴∠BAC ＝45°；点M 是抛物线的顶点，∴M 点为（0，-1）∴OA ＝OM ＝1，∵∠AOM ＝90°∴∠MAC ＝45°；∴∠BAM ＝∠BAC ＋∠MAC ＝90°∴△ABM 是直角三角形．（3）将抛物线的顶点平移至点（，），则其解析式为． ∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，∴ 化简得：∴＝＝ 当时，方程总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点 ∴． 考点：二次函数的综合应用（待定系数法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判别式）10．如图，抛物线y =ax 2+bx 经过△OAB 的三个顶点，其中点A （1，3），点B （3，﹣3），O 为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P （4，m ），Q （t ，n ）为该抛物线上的两点，且n ＜m ，求t 的取值范围； （3）若C 为线段AB 上的一个动点，当点A ，点B 到直线OC 的距离之和最大时，求∠BOC 的大小及点C 的坐标．【答案】（1）22353y x x =；（2）t ＞4；（3）∠BOC =60°，C （323 【解析】分析：（1）将已知点坐标代入y=ax 2+bx ，求出a 、b 的值即可；（2）利用抛物线增减性可解问题；（3）观察图形，点A ，点B 到直线OC 的距离之和小于等于AB ；同时用点A （1，3），点B （3，﹣3）求出相关角度．详解：（1）把点A （1，3），点B （3，﹣3）分别代入y=ax 2+bx 得3=393a b a b ⎧+⎪⎨-=+⎪⎩ ，解得2353a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y=﹣2235333x x + （2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=54， 当x ＞54时，y 随x 的增大而减小， ∴当t ＞4时，n ＜m ． （3）如图，设抛物线交x 轴于点F ，分别过点A 、B 作AD ⊥OC 于点D ，BE ⊥OC 于点E∵AC≥AD ，BC≥BE ，∴AD+BE≤AC+BE=AB ，∴当OC ⊥AB 时，点A ，点B 到直线OC 的距离之和最大．∵A （13B （33∴∠AOF=60°，∠BOF=30°，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=30°．当OC ⊥AB 时，∠BOC=60°，点C 坐标为（32，32）． 点睛：本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性．解答问题时注意线段最值问题的转化方法．。

备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇含详细答案

备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇含详细答案

备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇含详细答案一、二次函数1．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x 元,每星期的销售量为y 件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元． 【解析】 【分析】（1）根据售量与售价x （元/件）之间的关系列方程即可得到结论． （2）设每星期利润为W 元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． 【详解】解：（1）根据题意得，（60﹣x ）×10+100＝3×100， 解得：x ＝40， 60﹣40＝20元，答：这一星期中每件童装降价20元； （2）设利润为w ，根据题意得，w ＝（x ﹣30）[（60﹣x ）×10+100]＝﹣10x 2+1000x ﹣21000 ＝﹣10（x ﹣50）2+4000，答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元． 【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．2．如图，过()A 1,0、()B 3,0作x 轴的垂线，分别交直线y 4x =-于C 、D 两点.抛物线2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．()1求抛物线的表达式；()2点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；()3若AOC V 沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中AOC V 与OBD V 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．【答案】（1）2413y x x 33=-+；（2）32332+332-；（3）13． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3．设点M 的横坐标为x ，则求出MN =|43x 2﹣4x |；解方程|43x 2﹣4x |=3，求出x 的值，即点M 横坐标的值；（3）设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），利用平移性质求出S 的表达式：S 16=-（t ﹣1）213+；当t =1时，s 有最大值为13． 【详解】（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）．∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx ，∴3931a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得43133a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的表达式为：y 43=-x 2133+x ． （2）存在．设直线OD 解析式为y =kx ，将D （3，1）代入，求得k 13=，∴直线OD 解析式为y 13=x ． 设点M 的横坐标为x ，则M （x ，13x ），N （x ，43-x 2133+x ），∴MN =|y M ﹣y N |=|13x ﹣（43-x 2133+x ）|=|43x 2﹣4x |． 由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3，∴|43x 2﹣4x |=3．若43x 2﹣4x =3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：x 32+=或x 32-= 若43x 2﹣4x =﹣3，整理得：4x 2﹣12x +9=0，解得：x 32=，∴存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：32或32+或32-． （3）∵C （1，3），D （3，1），∴易得直线OC 的解析式为y =3x ，直线OD 的解析式为y 13=x ． 如解答图所示，设平移中的三角形为△A 'O 'C '，点C '在线段CD 上． 设O 'C '与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ； 设A 'C '与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ．设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），则图中AF =t ，F （1+t ，0），Q （1+t ，1133+t ），C '（1+t ，3﹣t ）．设直线O 'C '的解析式为y =3x +b ，将C '（1+t ，3﹣t ）代入得：b =﹣4t ，∴直线O 'C '的解析式为y =3x ﹣4t ，∴E （43t ，0）． 联立y =3x ﹣4t 与y 13=x ，解得：x 32=t ，∴P （32t ，12t ）． 过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG 12=t ，∴S =S △OFQ ﹣S △OEP 12=OF •FQ 12-OE •PG 12=（1+t ）（1133+t ）12-•43t •12t 16=-（t ﹣1）213+当t =1时，S 有最大值为13，∴S 的最大值为13．【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN=AC=3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题的关键是求出S的表达式，注意图形面积的计算方法．3．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，∴当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．考点：二次函数的应用．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-1 3x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．对于二次函数 y=ax2+（b+1）x+（b﹣1），若存在实数 x0，使得当 x=x0，函数 y=x0，则称x0为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A 、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A 、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值. 【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－98【解析】 【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x 2-x-3，根据x o 是函数y 的一个不动点的定义，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o 是函数y 的一个不动点的定义得到ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，整理得ax 02+bx o +（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，把b 2-4ab+4a 看作b 的二次函数，由于对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，则（4a ）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a ，b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得. 【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x 2-x-3，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，解得x o =-1或x o =3，所以函数y 的不动点为-1和3；（2）因为y=x o ，所以ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，即ax 02+bx o +（b-1）=0，因为函数y 恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，而对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，所以（4a ）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a=- A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b ba a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称， 又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上.∴b a -=ba-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.6．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值.（2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.【答案】（1）2(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y < 【解析】 【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得45215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E ，(0,1)F∵点M 在AOB ∆内，∴405b <<当点,C D 关于抛物线对称轴（直线x b =）对称时，1344b b -=-，∴12b = 且二次函数图象的开口向下，顶点M 在直线41y x =+上 综上：①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y <.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.7．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx （a ≠0）过A （4，0），B （1，3）两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH ⊥x 轴，交x 轴于点H ． （1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C 的坐标，并求出△ABC 的面积；（3）点P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P ，使得△ABP 的面积为△ABC 面积的2倍？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴正半轴上运动，当以点C ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN 的面积．【答案】（1）y ＝－x 2＋4x ；（2）C （3，3），面积为3；（3）P 的坐标为（5，－5）；（4）52或5． 【解析】试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得16403a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得14ab=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝12×2×3＝3．（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP∴6＋12×（m－1）×（3＋m2－4m）＝12×3×3＋12×（3＋m－1）（m2－4m）整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．（4）52或5．提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝52；②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.8．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0有两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）设x 1，x 2是方程两根，且121111x x k +=-，求k 的值． 【答案】（1）k ≥﹣14；（2）k＝2． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k 的值即可. 【详解】解：（1）△＝（2k +1）2﹣4k 2＝4k 2+4k +1﹣4k 2＝4k +1 ∵△≥0 ∴4k +1≥0 ∴k ≥﹣14； （2）∵x 1，x 2是方程两根， ∴x 1+x 2＝2k +1 x 1x 2＝k 2， 又∵121111x x k +=-， ∴121211x x x x k +=⋅-， 即22111k k k +=+ ，解得：121122k k +==， 又∵k ≥﹣14， 即：k【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于ca”是解题的关键.9．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=-+-，()22AC [01](30)10=--+-=，()22AM [11](m 0)=--+-，分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中，得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=，解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．Q 抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+， ∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=，∴直线BC 的解析式为3y x =-+． Q 当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则CM =，AC ==AM =分三种情况考虑：①当90AMC ∠=o 时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=o 时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭；③当90CAM ∠=o 时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-， ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC V 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，列出关于m 的方程．10．二次函数y=x 2-2mx+3（m ＞）的图象与x 轴交于点A （a ，0）和点B （a+n ，0）（n＞0且n 为整数），与y 轴交于C 点．（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC 的面积； （2）求证：a=m-；（3）线段AB （包括A 、B ）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a 的值． 【答案】（1）y=x 2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=−．【解析】试题分析：（1）①首先根据a=1求得A 的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m 的值即可确定二次函数的解析式；②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m ，然后根据A 、B 两点关于x=m 对称得到a+n-m=m-a ，从而确定a 、m 、n 之间的关系；（3）根据a=m-得到A （m-，0）代入y=（x-m ）2-m 2+3得0=（m--m ）2-m 2+3，求得m 的值即可确定a 的值． 试题解析：（1）①∵a=1， ∴A （1，0），代入y=x 2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2， ∴y=x 2-4x+3；②在y=x 2-4x+3中，当y=0时，有x 2-4x+3=0可得x=1或x=3， ∴A （1，0）、B （3，0），∴AB=2再根据解析式求出C点坐标为（0，3），∴OC=3，△ABC的面积=×2×3=3；（2）∵y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，∴对称轴为直线x=m，∵二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B∴点A和点B关于直线x=m对称，∴a+n-m=m-a，∴a=m-；（3）y=x2-2mx+3（m＞）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m＞）①当a为整数，因为n＞0且n为整数所以a+n是整数，∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n=2，∴a=m-1，∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，∴m2-4=0，∴m=2，m=-2（舍去），∴a=2-1=1，②当a不是整数，因为n＞0且n为整数所以a+n不是整数，∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n=3，∴a=m-∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，∴m2=，∴m=，m=-（舍去），∴a=−，综上所述：a=1或a=−．考点：二次函数综合题．11．如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y=﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．（1）若AB =8，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标； （2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；（3）设x 0≠0，点（x 0，y 1），（x 0，y 2），（x 0，y 3）分别在l ，a 和L 上，且y 3是y 1，y 2的平均数，求点（x 0，0）与点D 间的距离；（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b =2019和b =2019.5时“美点”的个数． 【答案】（1）b =4，（2，﹣2 ）；（2）1；（3）12；（4）当b =2019时“美点”的个数为4040个，b =2019.5时“美点”的个数为1010个． 【解析】 【分析】（1）求出A 、B 的坐标，由AB =8，可求出b 的值．从而得到L 的解析式，找出L 的对称轴与a 的交点即可；（2）通过配方，求出L 的顶点坐标，由于点C 在l 下方，则C 与l 的距离24b b -，配方即可得出结论；（3）由題意得y 1+y 2=2y 3，进而有b +x 0﹣b =2（﹣x 02+bx 0）解得x 0的值，求出L 与x 轴右交点为D 的坐标，即可得出结论；（4）①当b =2019时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019x 直线解析式a ：y =x ﹣2019，美点”总计4040个点，②当b =2019.5时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019.5x ，直线解析式a ：y =x ﹣2019.5，“美点”共有1010个． 【详解】（1）当x =0吋，y =x ﹣b =﹣b ，∴B （0，﹣b ）．∵AB =8，而A （0，b ），∴b ﹣（﹣b ）=8，∴b =4，∴L ：y =﹣x 2+4x ，∴L 的对称轴x =2，当x =2时，y =x ﹣4=﹣2，∴L 的对称轴与a 的交点为（2，﹣2 ）；（2）y =﹣（x 2b -）224b +，∴L 的顶点C （2b ，24b ）．∵点C 在l 下方，∴C 与l 的距离b 2144b -=-（b ﹣2）2+1≤1，∴点C 与l 距离的最大值为1；（3）∵y 3是y 1，y 2的平均数，∴y 1+y 2=2y 3，∴b +x 0﹣b =2（﹣x 02+bx 0），解得：x 0=0或x 0=b 12-． ∵x 0≠0，∴x 0=b 12-，对于L ，当y =0吋，0=﹣x 2+bx ，即0=﹣x （x ﹣b ），解得：x 1=0，x 2=b ．∵b ＞0，∴右交点D （b ，0），∴点（x 0，0）与点D 间的距离b ﹣（b 12-）12=．（4）①当b =2019时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019x ，直线解析式a ：y =x ﹣2019． 联立上述两个解析式可得：x 1=﹣1，x 2=2019，∴可知每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点，∴总计4042个点．∵这两段图象交点有2个点重复，∴美点”的个数：4042﹣2=4040（个）；②当b =2019.5时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019.5x ，直线解析式a ：y =x ﹣2019.5，联立上述两个解析式可得：x 1=﹣1，x 2=2019.5，∴当x 取整数时，在一次函数y =x ﹣2019.5上，y 取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y =x 2+2019.5x 图象上，当x 为偶数时，函数值y 可取整数，可知﹣1到2019.5之 间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个．故b =2019时“美点”的个数为4040个，b =2019.5时“美点”的个数为1010个． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．12．如图，抛物线y=ax 2+bx 过点B （1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x 轴的正半轴交于点A ．（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x 的取值范围； （2）在第二象限内的抛物线上有一点P ，当PA ⊥BA 时，求△PAB 的面积．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣4x ，自变量x 的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB 的面积=15． 【解析】 【分析】（1）将函数图象经过的点B 坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．【详解】（1）由题意得，32 2a bba+-⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝，解得14ab-⎧⎨⎩＝＝，∴抛物线的解析式为y=x2-4x，令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，结合图象知，A的坐标为（4，0），根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x）,∵PA⊥BA∴∠PAF+∠BAE=90°,∵∠PAF+∠FPA=90°,∴∠FPA=∠BAE又∠PFA=∠AEB=90°∴△PFA∽△AEB,∴PF AFAE BE=，即244213x x x--=-，解得，x= −1，x=4（舍去）∴x2-4x=-5∴点P的坐标为（-1，-5），又∵B点坐标为（1，-3），易得到BP直线为y=-4x+1所以BP与x轴交点为（14，0）∴S△PAB=115531524⨯⨯+=【点睛】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．13．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC的距离的最大值为28，此时点P的坐标为（32，154）．【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，得10930b cb c-++=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得303m nn+=⎧⎨=⎩，解得：13mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278；②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段=∴P点到直线BC2728⨯=，此时点P的坐标为（32，154）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S 关于t 的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P 点到直线BC 的距离的最大值．14．如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+．①求抛物线的解析式．②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值．③过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．【答案】①265y x x =-+-；②当2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22③点N 的横坐标为：4或5412+或5412． 【解析】【分析】 ①点B 、C 在直线为y x n =+上，则B （﹣n ，0）、C （0，n ），点A （1，0）在抛物线上，所以250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩，解得1a =-，6b =，因此抛物线解析式：265y x x =-+-；②先求出点P 到BC 的高h为sin 45)BP t ︒=-，于是211(4)2(2)2222PBE S BE h t t t ∆=⋅=⨯-⨯=-+2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，所以点A 到直线BC的距离d =N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设()2,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -，易证△PQN为等腰直角三角形，即NQ PQ ==4PN =，Ⅰ．4NH HP +=，所以265(5)4m m m -+---=解得11m =（舍去），24m =，Ⅱ．4NH HP +=，()25654m m m ---+-=解得152m =，252m =（舍去），Ⅲ．4NH HP -=，()265[(5)]4m m m --+----=，解得152m =（舍去），2m =【详解】解：①∵点B 、C 在直线为y x n =+上，∴B （﹣n ，0）、C （0，n ），∵点A （1，0）在抛物线上， ∴250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩，∴1a =-，6b =，∴抛物线解析式：265y x x =-+-；②由题意，得，4PB t =-，2BE t =，由①知，45OBC ︒∠=，∴点P 到BC 的高h为sin 45)BP t ︒=-，∴211(4)2(2)2222PBE S BE h t t t ∆=⋅=⨯-⨯=-+当2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，∴点A 到直线BC 的距离d =过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设()2,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -，易证△PQN 为等腰直角三角形，即NQ PQ ==∴4PN =，Ⅰ．4NH HP +=，∴265(5)4m m m -+---=解得11m =，24m =，∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，∴4m =；Ⅱ．4NH HP +=，∴()25654m m m ---+-=解得152m =，252m =， ∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，5m >，∴52m =， Ⅲ．4NH HP -=， ∴()265[(5)]4m m m --+----=，解得152m =，252m =， ∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，0m <，∴m =， 综上所述，若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为：4或52+或52． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．15．如图， 已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右侧）与y 轴交于C 点 ．（1）求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标； （2）若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），则是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN=3时，求M 点的坐标 ．【答案】（1）213442y x x =-++，点A 的坐标为(-2，0)，点B 的坐标为(8，0)；（2）存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M 的坐标为(4-771)、(2，6)、(6，4)或7，71)．【解析】【分析】（1） 由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a 值， 进而可得出抛物线的解析式， 再利用二次函数图象上点的坐标特征， 即可求出点A 、B 的坐标；（2） 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标， 由点B 、C 的坐标， 利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式， 假设存在， 设点P 的坐标为（x,213-442x x ++），过点P 作PD//y 轴， 交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x,1-42x +），PD=-14x 2+2x ，利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC 的面积关于x 的函数关系式， 再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3） 设点M 的坐标为（m,213-442m m ++），则点N 的坐标为（m,1-42m +），进而可得出MN 2124m m =-+，结合MN=3即可得出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程， 解之即可得出结论 ．【详解】（1）Q 抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线3x =，。

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一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．2．已知，抛物线y=x2+2mx(m为常数且m≠0）．（1）判断该抛物线与x轴的交点个数，并说明理由．（2）若点A（-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M为抛物线的顶点，求△ABM的面积．（3）若点（2，p)，（3，g），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r，求m的取值范围．【答案】（1）抛物线与x轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5【解析】【分析】（1）首先算出根的判别式b2-4ac的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；（2）根据抛物线的对称性及A,B两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m的取值范围，综上所述，求出m的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m的式子表示出p,g,r，再代入 p<g<r 即可列出关于m的不等式组，求解即可。

【详解】（1）解：抛物线与x 轴有2个交点。

理由如下： ∵m≠0，∴b 2-4ac =（2m ）2-4×1×0=4m 2>0． ∴抛物线与x 轴有2个交点（2）解：∵点A （-n+5，0），B(n-1，0)在抛物线上 ∴抛物线的对称轴x=5122n n -++-=∴221m⨯=2,即m=-2． ∴抛物线的表达式为y=x 2-4x ．∴点A （0，0），点B （4，0）或点A （4，0），点B （0，0），点M （2，-4） ∴△ABM 的面积为12×4×4=8 （3）解：方法一（图象法）：∵抛物线y=x 2+2mx 的对称轴为x=-m ，开口向上。

∴当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件（如图1）．当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2）．此时，-m<2，即m>-2．当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3）．即m>-2.5．综上所述，m 的取值范围m>-2.5 方法二（代数法）：由已知得，p=4+4m ，g=9+6m ，r=16+8m ． ∵p<q<r, ∴4+4m<9+6m<16+8m,解得m ＞-2.5. 【点睛】二次函数的综合应用题。

与X 轴交点的情况当△=b2-4ac>0时，函数图像与x 轴有两个交点。

当△=b2-4ac=0时，函数图像与x 轴只有一个交点。

Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x 轴没有交点。

熟练运用顶点坐标（-2b a ，244ac b a-）3．对于某一函数给出如下定义：若存在实数m ，当其自变量的值为m 时，其函数值等于﹣m ，则称﹣m 为这个函数的反向值．在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小反向值之差n 称为这个函数的反向距离．特别地，当函数只有一个反向值时，其反向距离n 为零．例如，图中的函数有4，﹣1两个反向值，其反向距离n 等于5． （1）分别判断函数y ＝﹣x +1，y ＝1x-，y ＝x 2有没有反向值？如果有，直接写出其反向距离；（2）对于函数y ＝x 2﹣b 2x ， ①若其反向距离为零，求b 的值； ②若﹣1≤b ≤3，求其反向距离n 的取值范围；（3）若函数y ＝223()3()x x x m x x x m ⎧-≥⎨--<⎩请直接写出这个函数的反向距离的所有可能值，并写出相应m 的取值范围．【答案】（1）y＝−1x有反向值，反向距离为2；y＝x2有反向值，反向距离是1；（2）①b＝±1；②0≤n≤8；（3）当m＞2或m≤﹣2时，n＝2，当﹣2＜m≤2时，n＝4．【解析】【分析】(1)根据题目中的新定义可以分别计算出各个函数是否有方向值，有反向值的可以求出相应的反向距离；(2)①根据题意可以求得相应的b的值；②根据题意和b的取值范围可以求得相应的n的取值范围；(3)根据题目中的函数解析式和题意可以解答本题．【详解】(1)由题意可得，当﹣m＝﹣m+1时，该方程无解，故函数y＝﹣x+1没有反向值，当﹣m＝1m-时，m＝±1，∴n＝1﹣(﹣1)＝2，故y＝1x-有反向值，反向距离为2，当﹣m＝m2，得m＝0或m＝﹣1，∴n＝0﹣(﹣1)＝1，故y＝x2有反向值，反向距离是1；(2)①令﹣m＝m2﹣b2m，解得，m＝0或m＝b2﹣1，∵反向距离为零，∴|b2﹣1﹣0|＝0，解得，b＝±1；②令﹣m＝m2﹣b2m，解得，m＝0或m＝b2﹣1，∴n＝|b2﹣1﹣0|＝|b2﹣1|，∵﹣1≤b≤3，∴0≤n≤8；(3)∵y＝223()3() x x x mx x x m⎧-≥⎨--<⎩，∴当x≥m时，﹣m＝m2﹣3m，得m＝0或m＝2，∴n＝2﹣0＝2，∴m＞2或m≤﹣2；当x＜m时，﹣m＝﹣m2﹣3m，解得，m＝0或m＝﹣4，∴n＝0﹣(﹣4)＝4，∴﹣2＜m≤2，由上可得，当m＞2或m≤﹣2时，n＝2，当﹣2＜m≤2时，n＝4．【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题目中的新定义，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答相关问题．4．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=-+-，()22AC [01](30)10=--+-=()22AM [11](m 0)=--+-AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中，得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=，∴直线BC 的解析式为3y x =-+．当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=()22[11](0)AM m =--+-分三种情况考虑：①当90AMC ∠=时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭；③当90CAM ∠=时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-，∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，列出关于m 的方程．5．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=--+.（2）3210. （3）①2S m 4m 3=---.②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）. 【解析】【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可.【详解】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-.∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+.（2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值.∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小.∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴2，10.∴△PBC 的周长最小是：3210.（3）①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），∴直线AD 的解析式为y=2x+6∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+）∴()22EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---. ∴()22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---.②()22S m 4m 3m 21=---=-++，∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.6．如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当12MQ NQ =时，求t 的值；（3）如图②，连接AM 交BC 于点D ，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值．【答案】（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）t 的值为12；（3）当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或t 2﹣1．【解析】【分析】（1）求直线y=-x+4与x 轴交点B ，与y 轴交点C ，用待定系数法即求得抛物线解析式． （2）根据点B 、C 坐标求得∠OBC=45°，又PE ⊥x 轴于点E ，得到△PEB 是等腰直角三角形，由2PB =求得BE=PE=t ，即可用t 表示各线段，得到点M 的横坐标，进而用m 表示点M 纵坐标，求得MP 的长．根据MP ∥CN 可证MPQ NCQ ∽，故有12MP MQ NC NQ ＝＝，把用t 表示的MP 、NC 代入即得到关于t 的方程，求解即得到t 的值． （3）因为不确定等腰△PDM 的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP ，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP ，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME ，把含t 的式子代入并解方程即可；③若MP=DP ，则∠PMD=∠PDM ，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF 进而得CF=CD ．用t 表示M 的坐标，求直线AM 解析式，求得AM 与y 轴交点F 的坐标，即能用t 表示CF 的长．把直线AM 与直线BC 解析式联立方程组，解得x 的值即为点D 横坐标．过D 作y 轴垂线段DG ，得等腰直角△CDG ，用DG 即点D 横坐标，进而可用t 表示CD 的长．把含t 的式子代入CF=CD ，解方程即得到t 的值．【详解】（1）直线y ＝﹣x +4中，当x ＝0时，y ＝4∴C （0，4）当y ＝﹣x +4＝0时，解得：x ＝4∴B （4，0）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点∴1640004b c c -++=⎧⎨++=⎩ 解得：34b c =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+3x +4（2）∵B （4，0），C （0，4），∠BOC ＝90°∴OB ＝OC∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°∵ME ⊥x 轴于点E ，PBt∴∠BEP ＝90°∴Rt △BEP 中，2PE sin PBE PB ∠=＝∴2BE PE PB t ＝＝＝， ∴4M P P x x OE OBBE t y PE t ＝＝＝﹣＝﹣，＝＝ ∵点M 在抛物线上∴2243445M y t t t t +++＝﹣（﹣）（﹣）＝﹣， ∴24MP MP y y t t +＝﹣＝﹣ ， ∵PN ⊥y 轴于点N∴∠PNO ＝∠NOE ＝∠PEO ＝90°∴四边形ONPE 是矩形∴ON ＝PE ＝t∴NC ＝OC ﹣ON ＝4﹣t∵MP ∥CN∴△MPQ ∽△NCQ ∴12MP MQ NC NQ == ∴24142t t t -+=- 解得：12142t t ＝，＝（点P 不与点C 重合，故舍去）∴t 的值为12（3）∵∠PEB ＝90°，BE ＝PE∴∠BPE ＝∠PBE ＝45°∴∠MPD ＝∠BPE ＝45°①若MD ＝MP ，则∠MDP ＝∠MPD ＝45°∴∠DMP ＝90°，即DM ∥x 轴，与题意矛盾②若DM ＝DP ，则∠DMP ＝∠MPD ＝45°∵∠AEM ＝90°∴AE ＝ME∵y ＝﹣x 2+3x +4＝0时，解得：x 1＝﹣1，x 2＝4∴A （﹣1，0）∵由（2）得，x M ＝4﹣t ，ME ＝y M ＝﹣t 2+5t∴AE ＝4﹣t ﹣（﹣1）＝5﹣t∴5﹣t ＝﹣t 2+5t解得：t 1＝1，t 2＝5（0＜t ＜4，舍去）③若MP ＝DP ，则∠PMD ＝∠PDM如图，记AM 与y 轴交点为F ，过点D 作DG ⊥y 轴于点G∴∠CFD ＝∠PMD ＝∠PDM ＝∠CDF∴CF ＝CD∵A （﹣1，0），M （4﹣t ，﹣t 2+5t ），设直线AM 解析式为y ＝ax +m∴()2045a m a t m t t -+=⎧⎨-+=-+⎩解得：a t m t =⎧⎨=⎩ ， ∴直线AM ：y tx t +＝∴F （0，t ）∴CF ＝OC ﹣OF ＝4﹣t∵tx +t ＝﹣x +4，解得：41t x t -=+， ∴41D x t t DG -=+＝＝， ∵∠CGD ＝90°，∠DCG ＝45° ∴)2421t CD DG t -+＝＝， ∴)2441t t t -+﹣ 解得：21t ＝﹣综上所述，当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或21t ＝﹣．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．7．如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是 ______；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______．【答案】（1）()2,9；（2）①95DP =②92155n <<. 【解析】【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点C （2，95），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n=275时，N （2，275），可求DA=952，DN=185，CD=365，当PQ ∥AB 时，△DPQ ∽△DAB ，5；当PQ 与AB 不平行时，5②当PQ ∥AB ，DB=DP 时，5DN=245，所以N （2，215），则有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，95＜n ＜215. 【详解】（1）顶点为()2,9D ；故答案为()2,9；（2）对称轴2x =，9(2,)5C ∴， 由已知可求5(,0)2A -， 点A 关于2x =对称点为13(,0)2， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+， (5,3)B ∴，①当275n =时，27(2,)5N ，2DA ∴=，182DN =，365CD = 当PQ AB ∥时，PDQDAB ∆∆， DAC DPN ∆∆，DP DN DA DC∴=，DP ∴=当PQ 与AB 不平行时，DPQ DBA ∆∆，DNQ DCA ∴∆∆，DP DN DB DC∴=，DP ∴=综上所述DP =②当PQ AB ∥，DB DP =时，DB =DP DN DA DC∴=， 245DN ∴=， 21(2,)5N ∴， ∴有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，92155n <<；故答案为92155n <<； 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当23x =-时，ADE ∆的面积取得最大值503；（3）P 点的坐标为()1,1-，(1,11-，(1,219--. 【解析】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；（2）根据函数解析式设出点D 坐标，过点D 作DG ⊥x 轴，交AE 于点F ，表示△ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可；（3）设出点P 坐标，分PA =PE ，PA =AE ，PE =AE 三种情况讨论分析即可．详解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6）， ∴16404206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：3 4 3 2 6abc⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以二次函数的解析式为：y=233642x x--+；（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=122x--，过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，设D（m，233642m m--+），则点F（m，122m--），∴DF=233642m m--+﹣（122m--）=2384m m--+，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=12×DF×AG+12DF×EH=12×DF×AG+12×DF×EH=12×4×DF=2×（2384m m--+）=23250233m-++（），∴当m=23-时，△ADE的面积取得最大值为503．（3）y=233642x x--+的对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA29n+PE212n++（）AE16425+=，分三种情况讨论：当PA =PE 时，29n +=212n ++（），解得：n =1，此时P （﹣1，1）； 当PA =AE 时，29n +=16425+=，解得：n =11±，此时点P 坐标为（﹣1，11±）；当PE =AE 时，212n ++（）=16425+=，解得：n =﹣219±，此时点P 坐标为：（﹣1，﹣219±）．综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，11±），（﹣1，﹣219±）．点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．9．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx 2﹣8mx+4m+2（m ＞2）与y 轴的交点为A ，与x 轴的交点分别为B （x 1，0），C （x 2，0），且x 2﹣x 1=4，直线AD ∥x 轴，在x 轴上有一动点E （t ，0）过点E 作平行于y 轴的直线l 与抛物线、直线AD 的交点分别为P 、Q ．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC 面积的最大值；（3）当t ＞2时，是否存在点P ，使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）12；（3）t=或t=或t=14．【解析】试题分析：（1）首先利用根与系数的关系得出：，结合条件求出的值，然后把点B ，C 的坐标代入解析式计算即可；（2）（2）分0＜t ＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；（3）（3）分2＜t≤6时和t ＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．试题解析：解：（1）由题意知x 1、x 2是方程mx 2﹣8mx+4m+2=0的两根，∴x 1+x 2=8，由．解得：．∴B（2，0）、C（6，0）则4m﹣16m+4m+2=0，解得：m=，∴该抛物线解析式为：y=；．（2）可求得A（0，3）设直线AC的解析式为：y=kx+b，∵∴∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3，要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），∵P（t，），∴PF=，∴S△APC=S△APF+S△CPF===，此时最大值为：，②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），∵P（t，），∴PM=，∴S△APC=S△APF﹣S△CPF===，当t=8时，取最大值，最大值为：12，综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12；（3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，Q（t，3），P（t，），①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=，若：△AOB∽△AQP，则：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，则：，即：，∴t=0（舍）或t=2（舍），②当t＞6时，AQ′=t，PQ′=，若：△AOB∽△AQP，则：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，则：，即：，∴t=0（舍）或t=14，∴t=或t=或t=14．考点：二次函数综合题．10．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3 的图象与x 轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D 为抛物线的顶点，试判断△BCD 的形状，并说明理由；（3）将直线BC 向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M ，N 两点（点M 在y 轴的右侧），当△AMN 为直角三角形时，求t 的值．【答案】（1）243y x x =-+；（2）△BCD 为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN 为直角三角形时，t 的值为1或4．【解析】【分析】（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C 、D 的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD 、BD 、BC 的长，由勾股定理的逆定理可证出△BCD 为直角三角形； （3）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM 2、AN 2、MN 2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t 的无理方程，解之即可得出结论．【详解】（1）将()1,0A 、()3,0B 代入23y ax bx =++，得： 309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩，∴此二次函数解析式为243y x x =-+．（2）BCD ∆为直角三角形，理由如下：()224321y x x x =-+=--，∴顶点D 的坐标为()2,1-．当0x =时，2433y x x =-+=， ∴点C 的坐标为()0,3．点B 的坐标为()3,0，BC ∴==，BD ==，CD ==22220BC BD CD +==，90CBD ∴∠=︒，BCD ∴∆为直角三角形．（3）设直线BC 的解析式为()0y kx c k =+≠，将()3,0B ，()0,3C 代入y kx c =+，得：303k c c +=⎧⎨=⎩，解得：13k c =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为3y x =-+，∴将直线BC 向上平移t 个单位得到的直线的解析式为3y x t =-++．联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：2343y x t y x x =-++⎧⎨=-+⎩，解得：11322x t y ⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，22322x t y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴点M 的坐标为，点N 的坐标为，． 点A 的坐标为()1,0，(222210571AM t t t ⎫⎫∴=+-=++-+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭(222210571AN t t t ⎫⎫=-+-=++++⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，222188MN t =+=+⎝⎭⎝⎭．AMN ∆为直角三角形，∴分三种情况考虑：①当90MAN ∠=︒时，有222AM AN MN +=，即((22571571188t t t t t t t ++-+++++=+，整理，得：220t t +-=，解得：11t =，22t =-（不合题意，舍去）；②当90AMN ∠=︒时，有222AM MN AN +=，即((22571188571t t t t t t t ++-++=++++，整理，得：2280t t --=，解得：14t =，22t =-（不合题意，舍去）；③当90ANM ∠=︒时，有222AN MN AN +=，即((22571188571t t t t t t t +++++=++-+，10t ++=． 0t >，∴该方程无解（或解均为增解）．综上所述：当AMN ∆为直角三角形时，t 的值为1或4．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC 2+BD 2=CD 2；（3）分∠MAN =90°、∠AMN =90°及∠ANM =90°三种情况考虑．。

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