九年级数学 二次函数(培优篇)(Word版 含解析)
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九年级数学 二次函数（培优篇）（Word 版 含解析）
一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，抛物线()21y x a x a =-++与x 轴交于,A B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y
轴的负半轴交于点C ．
()1求点B 的坐标．
()2若ABC 的面积为6．
①求这条抛物线相应的函数解析式．
②在拋物线上是否存在一点,P 使得POB CBO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（1，0）；（2）①223y x x =+-；②存在，点P 的坐标为
1133313++⎝⎭或53715337-+-⎝⎭
． 【解析】
【分析】
（1）直接令0y =，即可求出点B 的坐标；
（2）①令x=0，求出点C 坐标为（0，a ），再由△ABC 的面积得到
12
(1−a)•(−a)＝6即可求a 的值，即可得到解析式；
②当点P 在x 轴上方时，直线OP 的函数表达式为y=3x ，则直线与抛物线的交点为P ；当点P 在x 轴下方时，直线OP 的函数表达式为y=-3x ，则直线与抛物线的交点为P ；分别求出点P 的坐标即可．
【详解】
解：()1当0y =时，()210,x a x a -++= 解得121,.x x a ==
点A 位于点B 的左侧，与y 轴的负半轴交于点,C
0,a ∴<
∴点B 坐标为()1,0．
()2①由()1可得，点A 的坐标为(),0a ，点C 的坐标为()0,,0,a a <
1,AB a OC a ∴=-=- ABC 的面积为6,
()()116,2
a a ∴--⋅= 123,4a a ∴=-=．
0,a < 3a ∴=-
22 3.y x x =+-
②点B 的坐标为()1,0,点C 的坐标为()0,3-，
∴设直线BC 的解析式为3,y kx =-
则03,k =-
3k ∴=．
,POB CBO ∠=∠
∴当点P 在x 轴上方时，直线//OP 直线,BC
∴直线OP 的函数解析式3,y x =为
则23,23,y x y x x =⎧⎨=+-⎩
1112x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩(舍去)
，2212x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴点的P
坐标为1322⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
； 当点P 在x 轴下方时，直线'OP 与直线OP 关于x 轴对称，
则直线'OP 的函数解析式为3,y x =-
则23,23,y x y x x =-⎧⎨=+-⎩
1152x y ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩舍去)
，2252x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴点P'
的坐标为
53715337
,
⎛⎫
-+-
⎪
⎪
⎝⎭
综上可得，点P的坐标为
1133313
,
⎛⎫
++
⎪
⎪
⎝⎭
或
53715337
,
⎛⎫
-+-
⎪
⎪
⎝⎭
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，结合数形结合的思想和分类讨论的思想解题是解本题的关键．
2．如图，直线y＝1
2
x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝ax2﹣
3
2
x+c经过
A，B两点，与x轴的另一交点为C．（1）求抛物线的解析式；
（2）M为抛物线上一点，直线AM与x轴交于点N，当
3
2
MN
AN
=时，求点M的坐标；
（3）P为抛物线上的动点，连接AP，当∠PAB与△AOB的一个内角相等时，直接写出点P 的坐标．
【答案】（1）y＝1
2
x2﹣
3
2
x﹣2；（2）点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣
3）或（1，﹣3）；（3）点P的坐标为：（﹣1，0）或（3
2
，﹣
25
8
）或（
17
3
，
50
9
）或
（3，﹣2）．【解析】【分析】
（1）根据题意直线y＝1
2
x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别
为：（0，-2）、（4，0），即可求解；
（2）由题意直线MA的表达式为：y＝（1
2
m﹣
3
2
）x﹣2，则点N（
4
3
m-
，0），当
MN
AN
＝3
2
时，则
NH
ON
＝
3
2
，即
4
3
4
3
m
m
m
-
-
-
＝
3
2
，进行分析即可求解；
（3）根据题意分∠PAB=
∠AOB=90°、∠PAB=∠OAB、∠PAB=∠OBA三种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）直线y＝1
2
x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：
（0，﹣2）、（4，0），
则c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝1
2
，
故抛物线的表达式为：y＝1
2
x2﹣
3
2
x﹣2①；
（2）设点M（m，1
2
m2﹣
3
2
m﹣2）、点A（0，﹣2），
将点M、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线MA的表达式为：y＝（1
2
m﹣
3
2
）x﹣2，
则点N（
4
3
m-
，0），
当MN
AN
＝
3
2
时，则
NH
ON
＝
3
2
，即：
4
3
4
3
m
m
m
-
-
-
＝
3
2
，
解得：m＝5或﹣2或2或1，
故点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；（3）①∠PAB＝∠AOB＝90°时，
则直线AP的表达式为：y＝﹣2x﹣2②，
联立①②并解得：x＝﹣1或0（舍去0），
故点P（﹣1，0）；
②当∠PAB＝∠OAB时，
当点P在AB上方时，无解；
当点P在AB下方时，