人教数学二次函数的专项培优易错试卷练习题(含答案)含答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量(y 万件)与销售单价(x 元)之间符合一次函数关系，其图象如图所示．

()1求y 与x 的函数关系式；

()2物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x 定为每件多少元时，厂家每月获得的利润()w 最大？最大利润是多少？

【答案】（1）2280y x =-+；（2）当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元．

【解析】

【分析】

()1根据函数图象经过点()40,200和点()60,160，利用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式；

()2先根据利润=销售数量(⨯销售单价-成本)，由试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，结合电子产品的成本价即可得出x 的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值．

【详解】

解：()1设y 与x 的函数关系式为()0y kx b k =+≠，

函数图象经过点()40,200和点()60,160，

{4020060160k b k b +=∴+=，解得：{2

280k b =-=， y ∴与x 的函数关系式为2280y x =-+．

()2由题意得：()()224022802360112002(90)5000w x x x x x =--+=-+-=--+． 试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元，

∴自变量x 的取值范围是4080x ≤≤．

20-<，

∴当90x <时，w 随x 的增大而增大，

80x ∴=时，w 有最大值，

当80x =时，4800w =，

答：当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元．

【点睛】

本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键，并注意最值的求法．

2．如图，直线AB 和抛物线的交点是A （0，﹣3），B （5，9），已知抛物线的顶点D 的横坐标是2．

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）在x 轴上是否存在一点C ，与A ，B 组成等腰三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不在，请说明理由；

（3）在直线AB 的下方抛物线上找一点P ，连接PA ，PB 使得△PAB 的面积最大，并求出这个最大值．

【答案】（1）21248355y x x =--，顶点D （2，635

-）；（2）C （10±0）或（5222±0）或（

9710，0）；（3）752 【解析】

【分析】

（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2b a

=-

=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解；

（2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可； （3）由S △PAB 12

=•PH •x B ，即可求解．

【详解】

（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2b a

=-=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=x 2485

-x ﹣3． 当x =2时，y 635=-，即顶点D 的坐标为（2，635

-）； （2）A （0，﹣3），B （5，9），则AB =13，设点C 坐标（m ，0），分三种情况讨论：

①当AB =AC 时，则：（m ）2+（﹣3）2=132，解得：m ，即点C 坐标为：

（，0）或（﹣，0）；

②当AB =BC 时，则：（5﹣m ）2+92=132，解得：m =5±，即：点C 坐标为

（5+，0）或（5﹣0）；

③当AC =BC 时，则：5﹣m ）2+92=（m ）2+（﹣3）2，解得：m =

9710，则点C 坐标为（9710

，0）．

综上所述：存在，点C 的坐标为：（，0）或（5±0）或（9710

，0）； （3）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ．设直线AB 的表达式为y =kx ﹣3，把点B 坐标代入上式，9=5k ﹣3，则k 125=，故函数的表达式为：y 125

=x ﹣3，设点P 坐标为（m ，125m 2485-m ﹣3），则点H 坐标为（m ，125m ﹣3），S △PAB 12=•PH •x B 52

=（125-m 2+12m ）=－6m 2+30m =25756()22m --+，当m =52

时，S △PAB 取得最大值为：752

． 答：△PAB 的面积最大值为752

．

【点睛】

本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

3．已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．

（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由．

（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．

（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（1

4

，y1），D（

3

4

，y2）

都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．

【答案】（1）点M在直线y＝4x+1上；理由见解析；（2）x的取值范围是x＜0或x＞

5；（3）①当0＜b＜1

2

时，y1＞y2，②当b＝

1

2

时，y1＝y2，③当

1

2

＜b＜

4

5

时，y1＜

y2．

【解析】

【分析】

（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；

（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．