二次函数(培优篇)(Word版 含解析)
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当x＝1时，y＝2，
∴Q'坐标为（1，2），
∵Q'D＝AD＝BD＝2，
∴∠Q'AB＝∠Q'BA＝45°，
∴∠AQ'B＝90°，
∴点Q'为所求，
②当点Q在x轴下方时，设点Q（1，m），
过点A1'作A1'E⊥DQ于E，
∴∠A1'EQ＝∠QDA＝90°，
∴∠DAQ+∠AQD＝90°，
由旋转知，AQ＝A1'Q，∠AQA1'＝90°，
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，三角形“k”字型全等，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．
2．如图，抛物线 与 轴交于 两点(点 位于点 的左侧)，与 轴的负半轴交于点 ．
求点 的坐标．
若 的面积为 ．
①求这条抛物线相应的函数解析式．
的面积为
．
点 的坐标为 点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为
则
．
当点 在 轴上方时，直线 直线
直线 的函数解析式 为
则
(舍去)，
点的 坐标为 ；
当点 在 轴下方时，直线 与直线 关于 轴对称，
则直线 的函数解析式为
则
(舍去)，
点 的坐标为
综上可得，点 的坐标为 或
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，结合数形结合的思想和分类讨论的思想解题是解本题的关键．
【详解】
解：（1）将 带入抛物线 ，得b=1，
则 ，
（2）设 ，则 ，
∴
，
∵ 且
，
∴ 时， ，
即 ，
∴ ，
（3）根据题意，将抛物线 向下平移 个单位长度得到抛物线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴由圆的特性易求得，⊙ 的最高点点 坐标为：
，
设 ，则 ，
∴ ，
化简上式得： ，
∵ 点在 上，则 ，
∴ 为上述方程的一个解，
∴点C的坐标是（0，3），
把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得 ，
∴
∴直线AC的解析式ห้องสมุดไป่ตู้y＝﹣x+3；
（2）如图，连接BC，
∵点D是抛物线与x轴的交点，
∴AD＝BD，
∴S△ABC＝2S△ACD，
∵S△ACP＝2S△ACD，
∴S△ACP＝S△ABC，此时，点P与点B重合，
即：P（﹣1，0），
（2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论；
（3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论．
【详解】
解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得 ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，
二次函数（培优篇）（Word版 含解析）
一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A，C，连接CD．
（1）求抛物线和直线AC的解析式：
（2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；
②在拋物线上是否存在一点 使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（1，0）；（2）① ；②存在，点 的坐标为 或 ．
【解析】
【分析】
（1）直接令 ，即可求出点B的坐标；
（2）①令x=0，求出点C坐标为（0，a），再由△ABC的面积得到 (1−a)•(−a)＝6即可求a的值，即可得到解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ； ；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）
【解析】
【分析】
（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论；
过B点作PB∥AC交抛物线于点P，则直线BP的解析式为y＝﹣x﹣1①，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②，
联立①②解得， 或 ，
∴P（4，﹣5），
∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；
（3）如图，
①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q'，
由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或
【解析】
【分析】
（1）将 带入抛物线 解析式，求得b的值，即可得到抛物线 的解析式；
（2）设 ，则 ，求 并进行化简，由 且 得 ，则当 时，取 ，带入 ，即可求得 ；
（3）依题意将抛物线 向下平移 个单位长度得到抛物线 ，求得 解析式，根据解析式特点设 ，得到 ，由圆的特性易求得，⊙ 的最高点点 坐标为： ，设 ，则 ，化简得到 ，由 点在 上，得 ，继而得到 ，解得 或 ．
3．如图1，抛物线 交 轴于 ．
（1）直接写出抛物线 的解析式______________．
（2）如图1， 轴上两动点 满足： ．若 （ 在 左侧）为线段 上的两个动点，且满足： 点和 点关于直线 对称．过 作 轴交 于 ，过 作 轴交 于 ，连接 ．求 的最大值（用含 的代数式表示）．
（3）如图2，将抛物线 向下平移 个单位长度得到抛物线 ． 对称轴左侧的抛物线上有一点 ，其横坐标为 ．以 为直径作 ，记⊙ 的最高点为 ．若 在直线 上，求 的值．
②当点P在x轴上方时，直线OP的函数表达式为y=3x，则直线与抛物线的交点为P；当点P在x轴下方时，直线OP的函数表达式为y=-3x，则直线与抛物线的交点为P；分别求出点P的坐标即可．
【详解】
解： 当 时，
解得
点 位于点 的左侧，与 轴的负半轴交于点
点 坐标为 ．
由 可得，点 的坐标为 ，点 的坐标为
∴分析可知 ，
，
∴ ，
解得： ， （经检验 ， 是方程 的解），
故 或 ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识．解题关键是熟练掌握二次函数的性质，充分利用数形结合的思想．
∴∠AQD+∠A1'QE＝90°，
∴∠DAQ＝∠A1'QE，
∴△ADQ≌△QEA1'（AAS），
∴AD＝QE＝2，DQ＝A1'E＝﹣m，
∴点A1'的坐标为（﹣m+1，m﹣2），
代入y＝﹣x2+2x+3中，
解得，m＝﹣3或m＝2（舍），
∴Q的坐标为（1，﹣3），
∴点Q的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．
∴Q'坐标为（1，2），
∵Q'D＝AD＝BD＝2，
∴∠Q'AB＝∠Q'BA＝45°，
∴∠AQ'B＝90°，
∴点Q'为所求，
②当点Q在x轴下方时，设点Q（1，m），
过点A1'作A1'E⊥DQ于E，
∴∠A1'EQ＝∠QDA＝90°，
∴∠DAQ+∠AQD＝90°，
由旋转知，AQ＝A1'Q，∠AQA1'＝90°，
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，三角形“k”字型全等，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．
2．如图，抛物线 与 轴交于 两点(点 位于点 的左侧)，与 轴的负半轴交于点 ．
求点 的坐标．
若 的面积为 ．
①求这条抛物线相应的函数解析式．
的面积为
．
点 的坐标为 点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为
则
．
当点 在 轴上方时，直线 直线
直线 的函数解析式 为
则
(舍去)，
点的 坐标为 ；
当点 在 轴下方时，直线 与直线 关于 轴对称，
则直线 的函数解析式为
则
(舍去)，
点 的坐标为
综上可得，点 的坐标为 或
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，结合数形结合的思想和分类讨论的思想解题是解本题的关键．
【详解】
解：（1）将 带入抛物线 ，得b=1，
则 ，
（2）设 ，则 ，
∴
，
∵ 且
，
∴ 时， ，
即 ，
∴ ，
（3）根据题意，将抛物线 向下平移 个单位长度得到抛物线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴由圆的特性易求得，⊙ 的最高点点 坐标为：
，
设 ，则 ，
∴ ，
化简上式得： ，
∵ 点在 上，则 ，
∴ 为上述方程的一个解，
∴点C的坐标是（0，3），
把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得 ，
∴
∴直线AC的解析式ห้องสมุดไป่ตู้y＝﹣x+3；
（2）如图，连接BC，
∵点D是抛物线与x轴的交点，
∴AD＝BD，
∴S△ABC＝2S△ACD，
∵S△ACP＝2S△ACD，
∴S△ACP＝S△ABC，此时，点P与点B重合，
即：P（﹣1，0），
（2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论；
（3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论．
【详解】
解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得 ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，
二次函数（培优篇）（Word版 含解析）
一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A，C，连接CD．
（1）求抛物线和直线AC的解析式：
（2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；
②在拋物线上是否存在一点 使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（1，0）；（2）① ；②存在，点 的坐标为 或 ．
【解析】
【分析】
（1）直接令 ，即可求出点B的坐标；
（2）①令x=0，求出点C坐标为（0，a），再由△ABC的面积得到 (1−a)•(−a)＝6即可求a的值，即可得到解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ； ；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）
【解析】
【分析】
（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论；
过B点作PB∥AC交抛物线于点P，则直线BP的解析式为y＝﹣x﹣1①，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②，
联立①②解得， 或 ，
∴P（4，﹣5），
∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；
（3）如图，
①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q'，
由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或
【解析】
【分析】
（1）将 带入抛物线 解析式，求得b的值，即可得到抛物线 的解析式；
（2）设 ，则 ，求 并进行化简，由 且 得 ，则当 时，取 ，带入 ，即可求得 ；
（3）依题意将抛物线 向下平移 个单位长度得到抛物线 ，求得 解析式，根据解析式特点设 ，得到 ，由圆的特性易求得，⊙ 的最高点点 坐标为： ，设 ，则 ，化简得到 ，由 点在 上，得 ，继而得到 ，解得 或 ．
3．如图1，抛物线 交 轴于 ．
（1）直接写出抛物线 的解析式______________．
（2）如图1， 轴上两动点 满足： ．若 （ 在 左侧）为线段 上的两个动点，且满足： 点和 点关于直线 对称．过 作 轴交 于 ，过 作 轴交 于 ，连接 ．求 的最大值（用含 的代数式表示）．
（3）如图2，将抛物线 向下平移 个单位长度得到抛物线 ． 对称轴左侧的抛物线上有一点 ，其横坐标为 ．以 为直径作 ，记⊙ 的最高点为 ．若 在直线 上，求 的值．
②当点P在x轴上方时，直线OP的函数表达式为y=3x，则直线与抛物线的交点为P；当点P在x轴下方时，直线OP的函数表达式为y=-3x，则直线与抛物线的交点为P；分别求出点P的坐标即可．
【详解】
解： 当 时，
解得
点 位于点 的左侧，与 轴的负半轴交于点
点 坐标为 ．
由 可得，点 的坐标为 ，点 的坐标为
∴分析可知 ，
，
∴ ，
解得： ， （经检验 ， 是方程 的解），
故 或 ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识．解题关键是熟练掌握二次函数的性质，充分利用数形结合的思想．
∴∠AQD+∠A1'QE＝90°，
∴∠DAQ＝∠A1'QE，
∴△ADQ≌△QEA1'（AAS），
∴AD＝QE＝2，DQ＝A1'E＝﹣m，
∴点A1'的坐标为（﹣m+1，m﹣2），
代入y＝﹣x2+2x+3中，
解得，m＝﹣3或m＝2（舍），
∴Q的坐标为（1，﹣3），
∴点Q的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．