数学二次函数的专项培优练习题(含答案)及详细答案

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 点坐标为（ 1 13 ，﹣ 1 13 ）；（3）点 Q 的坐
2
2
标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由根与系数的关系可得 x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入 x12+x22﹣x1x2＝13，求出 m1＝2，m2＝﹣5．根据 OA＜OB，得出抛物线的对称轴在 y 轴右侧，那么 m＝2，即可确定 抛物线的解析式；
所以当 PQ＝CQ 时，四边形 FECQ 为菱形，据此得到
，解得 t 值；
②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ= ，NQ＝CQ 时，四边形 NHCQ 为菱形，NQ2＝CQ2，得：
，解得 t 值．
解：（1）由矩形的性质可得点 A（1，4），
∵ 抛物线的顶点为 A，
设抛物线的解析式为 y＝a（x－1）2＋4，
形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐 标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（1, 0）、C（3, 0）、D（3,
4）．以 A 为顶点的抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过点 C．动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的 2
72t
800
0
．
13t
20t
40
0
．所以
t1
Βιβλιοθήκη Baidu20 13
，
（舍去）．
“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析 式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.
3．如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（-2，0），B（1，0），交 y 轴于 C（0， 2）； （1）求二次函数的解析式； （2）连接 AC，在直线 AC 上方的抛物线上是否存在点 N，使△ NAC 的面积最大，若存在， 求出这个最大值及此时点 N 的坐标，若不存在，说明理由． （3）若点 M 在 x 轴上，是否存在点 M，使以 B、C、M 为顶点的三角形是等腰三角形，若 存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，说明理由． （4）若 P 为抛物线上一点，过 P 作 PQ⊥BC 于 Q，在 y 轴左侧的抛物线是否存在点 P 使 △ CPQ∽ △ BCO（点 C 与点 B 对应），若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说明理由．
（2）连接 BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 BE＝ 1 CD＝CE．利 2
用 SSS 证明△ OBE≌ △ OCE，得出∠ BOE＝∠ COE，即点 E 在第四象限的角平分线上，设 E 点 坐标为（m，﹣m），代入 y＝x2﹣2x﹣3，求出 m 的值，即可得到 E 点坐标； （3）过点 Q 作 AC 的平行线交 x 轴于点 F，连接 CF，根据三角形的面积公式可得 S△ ACQ＝ S△ ACF．由 S△ ACQ＝2S△ AOC，得出 S△ ACF＝2S△ AOC，那么 AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定 系数法求出直线 AC 的解析式为 y＝﹣3x﹣3．根据 AC∥ FQ，可设直线 FQ 的解析式为 y＝﹣ 3x+b，将 F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线 FQ 的解析式为 y＝﹣3x+3，把它与抛
速度沿线段 AD 向点 D 运动，运动时间为 t 秒．过点 P 作 PE⊥x 轴交抛物线于点 M，交 AC 于点 N．
（1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）当 t 为何值时，△ ACM 的面积最大？最大值为多少？ （3）点 Q 从点 C 出发，以每秒 1 个单位的速度沿线段 CD 向点 D 运动，当 t 为何值时，在 线段 PE 上存在点 H，使以 C、Q、N、H 为顶点的四边形为菱形？ 【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）当 t＝２时，△ AＭC 面积的最大值为
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，抛物线 y＝x2﹣mx﹣（m+1）与 x 轴负半轴交于点 A（x1，0），与 x 轴正半轴交 于点 B（x2，0）（OA＜OB），与 y 轴交于点 C，且满足 x12+x22﹣x1x2＝13． （1）求抛物线的解析式； （2）以点 B 为直角顶点，BC 为直角边作 Rt△ BCD，CD 交抛物线于第四象限的点 E，若 EC ＝ED，求点 E 的坐标； （3）在抛物线上是否存在点 Q，使得 S△ ACQ＝2S△ AOC？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存 在，说明理由．
，得：
，
将 x 1 1 t 代入得
，
2
∴ N（1 1 t ， ）， 2
∴ MN
，
∴
，
∴ 当 t＝２时，△ AＭC 面积的最大值为 1．
（3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时，
∵ Ｎ（1 1 t ， 2
），P（1 1 t ，４）， 2
∴ PＮ＝４—（ ）＝ ＝CQ，
又∵ PN∥ CQ，
∴ 四边形 PNCQ 为平行四边形，
y x2 2x 3
物线的解析式联立，得出方程组
，求解即可得出点 Q 的坐标．
y 3x 3
【详解】
（1）∵ 抛物线 y＝x2﹣mx﹣（m+1）与 x 轴负半轴交于点 A（x1，0），与 x 轴正半轴交于 点 B（x2，0）， ∴ x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），
∵ x12+x22﹣x1x2＝13， ∴ （x1+x2）2﹣3x1x2＝13， ∴ m2+3（m+1）＝13， 即 m2+3m﹣10＝0， 解得 m1＝2，m2＝﹣5． ∵ OA＜OB， ∴ 抛物线的对称轴在 y 轴右侧， ∴ m＝2， ∴ 抛物线的解析式为 y＝x2﹣2x﹣3； （2）连接 BE、OE．
【答案】（1）二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；；（2）最大值为 1，此时 N（-1，2）；
（3）M 的坐标为（-1，0）或（1± 5 ，0）或（- 3 ，0）；（4）点 P 的坐标为：（-1， 2
2）或（- 7 ，- 10 ）． 39
【解析】 【分析】 （1）利用交点式求二次函数的解析式； （2）求直线 AC 的解析式，作辅助线 ND，根据抛物线的解析式表示 N 的坐标，根据直线
∴ 当 PQ＝CQ 时，四边形 FECQ 为菱形，
PQ2＝PD2+DQ2 ＝
，
∴
，
整理，得 t2 40t 80 0 ．解得 t1 20 8 5 ， t2 20 8 5 （舍去）；
②如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时， NH=CQ= ，NQ＝CQ 时，四边形 NHCQ 为菱形，
NQ2＝CQ2，得：
．
整理，得13t 2
代入点 C（3, 0），可得 a＝－1．
∴ y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3．
（2）∵ P（1 1 t ，４）， 2
将 x 1 1 t 代入抛物线的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝ 4 1 t 2 ，
2
4
∴ M（1 1 t ， 4 1 t 2 ），
2
4
设直线 AC 的解析式为
，
将 A（１,４），C（３,０）代入
AC 的解析式表示 D 的坐标，表示 ND 的长，利用铅直高度与水平宽度的积求三角形 ANC 的 面积，根据二次函数的最值可得面积的最大值，并计算此时 N 的坐标； （3）分三种情况：当 B、C、M 为顶点的三角形是等腰三角形时，分别以三边为腰，画图 形，求 M 的坐标即可； （4）存在两种情况：①如图 4，点 P1 与点 C 关于抛物线的对称轴对称时符合条件；
得 m＝m2﹣2m﹣3，解得 m＝ 1 13 ， 2
∵ 点 E 在第四象限，
∴ E 点坐标为（ 1 13 ，﹣ 1 13 ）；
2
2
（3）过点 Q 作 AC 的平行线交 x 轴于点 F，连接 CF，则 S△ ACQ＝S△ ACF．
∵ S△ ACQ＝2S△ AOC， ∴ S△ ACF＝2S△ AOC， ∴ AF＝2OA＝2， ∴ F（1，0）． ∵ A（﹣1，0），C（0，﹣3）， ∴ 直线 AC 的解析式为 y＝﹣3x﹣3． ∵ AC∥ FQ， ∴ 设直线 FQ 的解析式为 y＝﹣3x+b， 将 F（1，0）代入，得 0＝﹣3+b，解得 b＝3， ∴ 直线 FQ 的解析式为 y＝﹣3x+3．
∴ 当 n=-1 时，△ ANC 的面积有最大值为 1，此时 N（-1，2），
（3）存在，分三种情况：
①如图 2，当 BC=CM1 时，M1（-1，0）；
②如图 2，由勾股定理得：BC= 22 12 = 5 ， 以 B 为圆心，以 BC 为半径画圆，交 x 轴于 M2、M3，则 BC=BM2=BM3= 5 ， 此时，M2（1- 5 ，0），M3（1+ 5 ，0）；
③如图 3，作 BC 的中垂线，交 x 轴于 M4，连接 CM4，则 CM4=BM4，
设 OM4=x，则 CM4=BM4=x+1， 由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，
解得：x= 3 ， 2
∵ M4 在 x 轴的负半轴上，
∴ M4（- 3 ，0）， 2
综上所述，当 B、C、M 为顶点的三角形是等腰三角形时，M 的坐标为（-1，0）或
②如图 5，图 3 中的 M（- 3 ，0）时，MB=MC，设 CM 与抛物线交于点 P2，则 2
△ CP2Q∽ △ BCO，P2 为直线 CM 的抛物线的交点． 【详解】 （1）∵ 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（-2，0），B（1，0）， 设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1）， 把 C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1）， a=-1， ∴ y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2， ∴ 二次函数的解析式为：y=-x2-x+2； （2）如图 1，过 N 作 ND∥ y 轴，交 AC 于 D，设 N（n，-n2-n+2），
y x2 2x 3
联立
，
y 3x 3
解得
x1 y1
3
，
12
x2 y2
2 3
，
∴ 点 Q 的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析
式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角
1；（3） 20 8 5 或 20 ． 13
【解析】 （1）由矩形的性质得到点 A 的坐标，由抛物线的顶点为 A，设抛物线的解析式为 y＝a（x －1）2＋4，把点 C 的坐标代入即可求得 a 的值； （2）由点 P 的坐标以及抛物线解析式得到点 M 的坐标，由 A、C 的坐标得到直线 AC 的解 析式，进而得到点 N 的坐标，即可用关于 t 的式子表示 MN，然后根据△ ACM 的面积是 △ AMN 和△ CMN 的面积和列出用 t 表示的△ ACM 的面积，利用二次函数的性质即可得到 当 t＝２时，△ AＭC 面积的最大值为 1； （3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由 PＮ＝CQ，PN∥ CQ，得到四边形 PNCQ 为平行四边形，
设直线 AC 的解析式为：y=kx+b，
把
A（-2，0）、C（0，2）代入得：
2k b＝2
b＝0
，
解得：
k＝1 b＝2
，
∴ 直线 AC 的解析式为：y=x+2，
∴ D（n，n+2），
∴ ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n，
∴ S△ ANC= 1 ×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1， 2
（1± 5 ，0）或（- 3 ，0）； 2
（4）存在两种情况： ①如图 4，过 C 作 x 轴的平行线交抛物线于 P1，过 P1 作 P1Q⊥BC，
此时，△ CP1Q∽ △ BCO， ∴ 点 P1 与点 C 关于抛物线的对称轴对称， ∴ P1（-1，2），
②如图 5，由（3）知：当 M（- 3 ，0）时，MB=MC，设 CM 与抛物线交于点 P2， 2
过 P2 作 P2Q⊥BC，此时，△ CP2Q∽ △ BCO，
∵ 在 Rt△ BCD 中，∠ CBD＝90°，EC＝ED，
∴ BE＝ 1 CD＝CE． 2
令 y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得 x1＝﹣1，x2＝3， ∴ A（﹣1，0），B（3，0）， ∵ C（0，﹣3）， ∴ OB＝OC， 又∵ BE＝CE，OE＝OE， ∴ △ OBE≌ △ OCE（SSS）， ∴ ∠ BOE＝∠ COE， ∴ 点 E 在第四象限的角平分线上， 设 E 点坐标为（m，﹣m），将 E（m，﹣m）代入 y＝x2﹣2x﹣3，