中考数学 二次函数 培优练习(含答案)及答案
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中考数学二次函数培优练习(含答案)及答案
一、二次函数
1.(10分)(2015•佛山)如图,一小球从斜坡O点处抛出,球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画.
(1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标;
(2)小球的落点是A,求点A的坐标;
(3)连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA,求△POA的面积;
(4)在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合),△MOA的面积等于△POA的面积.请直接写出点M的坐标.
【答案】(1)(2,4);(2)(,);(3);(4)(,).
【解析】
试题分析:(1)利用配方法抛物线的一般式化为顶点式,即可求出二次函数图象的最高点P的坐标;
(2)联立两解析式,可求出交点A的坐标;
(3)作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B.根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA,代入数值计算即可求解;
(4)过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,由于两平行线之间的距离相等,根据同底等高的两个三角形面积相等,可得△MOA的面积等于△POA的面积.设直
线PM的解析式为y=x+b,将P(2,4)代入,求出直线PM的解析式为y=x+3.再与抛
物线的解析式联立,得到方程组,解方程组即可求出点M的坐标.
试题解析:(1)由题意得,y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,
故二次函数图象的最高点P的坐标为(2,4);
(2)联立两解析式可得:,解得:,或.
故可得点A的坐标为(,);
(3)如图,作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B.
S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA
=×2×4+×(+4)×(﹣2)﹣××
=4+﹣
=;
(4)过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,则△MOA的面积等于△POA的面积.
设直线PM的解析式为y=x+b,
∵P的坐标为(2,4),
∴4=×2+b,解得b=3,
∴直线PM的解析式为y=x+3.
由,解得,,
∴点M的坐标为(,).
考点:二次函数的综合题
2.如图,抛物线y=x2﹣mx﹣(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(x2,0)(OA<OB),与y轴交于点C,且满足x12+x22﹣x1x2=13.
(1)求抛物线的解析式;
(2)以点B为直角顶点,BC为直角边作Rt△BCD,CD交抛物线于第四象限的点E,若EC =ED,求点E的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点Q,使得S△ACQ=2S△AOC?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)E点坐标为(113
2
+
,﹣
113
2
);(3)点Q的坐
标为(﹣3,12)或(2,﹣3).理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1•x2=﹣(m+1),代入x12+x22﹣x1x2=13,求出m1=2,m2=﹣5.根据OA<OB,得出抛物线的对称轴在y轴右侧,那么m=2,即可确定抛物线的解析式;
(2)连接BE、OE.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE=1
2
CD=CE.利
用SSS证明△OBE≌△OCE,得出∠BOE=∠COE,即点E在第四象限的角平分线上,设E点坐标为(m,﹣m),代入y=x2﹣2x﹣3,求出m的值,即可得到E点坐标;
(3)过点Q作AC的平行线交x轴于点F,连接CF,根据三角形的面积公式可得S△ACQ=S△ACF.由S△ACQ=2S△AOC,得出S△ACF=2S△AOC,那么AF=2OA=2,F(1,0).利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣3x﹣3.根据AC∥FQ,可设直线FQ的解析式为y=﹣3x+b,将F(1,0)代入,利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y=﹣3x+3,把它与抛
物线的解析式联立,得出方程组
223
33
y x x
y x
⎧=--
⎨
=-+
⎩
,求解即可得出点Q的坐标.
【详解】
(1)∵抛物线y=x2﹣mx﹣(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(x2,0),
∴x1+x2=m,x1•x2=﹣(m+1),
∵x12+x22﹣x1x2=13,
∴(x 1+x 2)2﹣3x 1x 2=13,
∴m 2+3(m +1)=13,
即m 2+3m ﹣10=0,
解得m 1=2,m 2=﹣5.
∵OA <OB ,
∴抛物线的对称轴在y 轴右侧,
∴m =2,
∴抛物线的解析式为y =x 2﹣2x ﹣3;
(2)连接BE 、OE .
∵在Rt △BCD 中,∠CBD =90°,EC =ED ,
∴BE =12
CD =CE . 令y =x 2﹣2x ﹣3=0,解得x 1=﹣1,x 2=3,
∴A (﹣1,0),B (3,0),
∵C (0,﹣3),
∴OB =OC ,
又∵BE =CE ,OE =OE ,
∴△OBE ≌△OCE (SSS ),
∴∠BOE =∠COE ,
∴点E 在第四象限的角平分线上,
设E 点坐标为(m ,﹣m ),将E (m ,﹣m )代入y =x 2﹣2x ﹣3,
得m =m 2﹣2m ﹣3,解得m 113± ∵点E 在第四象限,
∴E 点坐标为(1132+,﹣1132
+); (3)过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ,连接CF ,则S △ACQ =S △ACF .