运输问题的求解方法
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题是一种常见的工业应用问题,涉及到如何安排运输工具和货物,以最小化总成本或最大化利润。
表上作业法(Tableau Programming)是解决运输问题的一种有效方法,其解题思路和原理、具体步骤如下:1. 确定问题的状态在表上作业法中,我们需要先确定问题的状态。
状态是指某个特定时间段内,某个运输问题需要满足的条件。
例如,在一个例子中,我们可以将运输问题的状态定义为“需要从A城市运输货物到B城市,运输工具数量为3,运输距离为100公里”。
2. 定义状态转移方程接下来,我们需要定义状态转移方程,以描述在不同状态下可能采取的行动。
例如,在这个问题中,我们可以定义一个状态转移方程,表示当运输工具数量为2时,货物可以运输到B城市,而运输距离为80公里。
3. 确定最优解一旦我们定义了状态转移方程,我们就可以计算出在不同状态下的最优解。
例如,在这个问题中,当运输工具数量为2时,货物可以运输到B城市,运输距离为80公里,总成本为200元。
因此,该状态下的最优解是运输距离为80公里,运输工具数量为2,总成本为200元。
4. 确定边界条件最后,我们需要确定边界条件,以确保问题的状态不会无限制地变化。
例如,在这个问题中,当运输工具数量为3时,运输距离为120公里,超过了B城市的运输距离范围。
因此,我们需要设置一个限制条件,以确保运输工具数量不超过3,且运输距离不超过120公里。
表上作业法是一种简单有效的解决运输问题的方法,其原理和具体步骤如下。
通过定义状态转移方程、确定最优解、确定边界条件,我们可以计算出问题的最优解,从而实现最小化总成本和最大化利润的目标。
3运输问题及其解法
m
n
m
（3.1－4）
将后 n 个约束相加，得
∑∑ xij = ∑ b j ,
j =1 i =1 j =1 m n
m
n
（3.1－5）
因为，
（3.1-4）式与（3.1-5）式是相同的．由此可见，这 m + n 个约束 ∑ ai = ∑ b j ,所以，
i =1 j =1
不是独立的．我们可以证明：当所有的 ai , b j 都大于零时，任何 m + n − 1 个约束都是相互独立 的．即，系数矩阵 A 的秩 r ( A) = m + n − 1 ，事实上，
位(称为需求量)， 设 cij (i = 1, 2,L , m, j = 1, 2,L , n) 为由产地 Ai 运往销地 B j 的单位运费， xij 为从 Ai 调往 B j 的物资数量，试问如何调运，求能使总运费最小． 为了清楚起见，通常将上述数据列在一张表上，该表称为运输表(见表3.1-1)．
初看起来，最小元素法十分合理，但是，有时按某一最小单位运价优先安排物品调运时， 却可能导致不得不采用运费很高的其他供销点对，从而使整个运输费用增加．对每一个供应地 或销售地， 均可由它到各销售地或到各供应地的单位运价中找出最小单位运价和次小单位运价， 并称这两个单位运价之差为该供应地或销售地的罚数．若罚数的值不大，当不能按最小单位运 价安排运输时造成的运费损失不大；反之，如果罚数的值很大，不按最小运价组织运输就会造 成很大损失，故应尽量按最小单位运价安排运输，元素差额法就是基于这种考虑提出来的． 现结合上例说明这种方法： 首先计算运输表中每一行和每一列的次小单位运价和最小单位运价之间的差值，并分别称 之为行罚数和列罚数；将算出的行罚数填入位于运输表右侧行罚数栏的左边第一列的相应格子 中，列罚数填人位于运输表下边列罚数栏的第一行的相应格子中． A1 行中的次小和最小单位运 价分别为8和6，故其行罚数为2， B1 列中次小单位运价和最小单位运价分别为9和8，故其列罚 数为1，如此进行，可计算出 A1 , A2 , A3 的行罚数分别为2，2和4， B1 , B2 , B3 , B4 列的列罚数分别 为1，3，3，2．在这些罚数中最大者为4(在表4.2 - 6中用小圆圈标出)，它位于 A3 行，由于在
管理运筹学 第七章 运输问题之表上作业法
最优解的判断与调整
最优解的判断
比较目标函数值，如果当前基础可行解 的目标函数值最优，则该解为最优解。
VS
最优解的调整
如果当前基础可行解不是最优解，需要对 其进行调整。通过比较不同运输路线的运 输费用，对运输量进行优化分配，以降低 总运输费用。
最优解的验证与
要点一
最优解的验证
对求得的最优解进行检验，确保其满足所有约束条件且目 标函数值最优。
01
将智能优化算法（如遗传算法、模拟退火算法等）与表上作业
法相结合，以提高求解效率和精度。
发展混合算法
02
结合多种算法的优势，发展混合算法以处理更复杂的运输问题。
拓展应用范围
03
在保持简单易行的基础上，拓展表上作业法的应用范围，使其
能够处理更多类型的运筹问题。
THANKS FOR WATCHING
果达到最优解，则确定最优解；如果未达到最优解，则确定次优解。
表上作业法的应用范围
总结词
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。
详细描述
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。在这种情况下，可以通过在运输表 格上填入数字来求解最小运输成本。此外，表上作业法还可以用于解决其他类型的线性规划问题，如资源分配问 题、生产计划问题等。
03 表上作业法的求解过程
初始基础可行解的求解
确定初始基础可行解
根据已知的发货地和收货地的供需关系，以及运输能力限制，通 过试算和调整，求得初始的基础可行解。
初始解的检验
检查初始解是否满足非负约束条件，即所有出发地到收货地的运输 量不能为负数。
初始解的调整
如果初始解不满足非负约束条件，需要对运输量进行调整，直到满 足所有约束条件。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题是指在给定的供应地和需求地之间，选择最佳的运输方案，使总运输成本最低的问题。
表上作业法是一种常用的解决运输问题的方法，它基于线性规划的思想，通过逐步逼近最优解的方式来求解运输问题。
表上作业法的原理是将运输问题转化为一个线性规划问题，通过构建一个供需平衡表来描述运输问题。
在该表中，将供应地和需求地分别作为行和列，并在表中填入运输量的变量。
同时，引入一个辅助表来记录每个供应地和需求地的运输量。
具体的求解步骤如下：1. 构建供需平衡表：将给定的供应地和需求地以及对应的运输量填入表格中，并计算每个供应地和需求地的供应总量和需求总量。
2. 确定初始基本可行解：根据运输量的限制条件，确定一个初始的基本可行解。
可以选择将某些运输量设置为0，使得每个供应地和需求地都满足其供应总量和需求总量。
3. 计算单位运输成本：根据给定的运输成本，计算每个供应地和需求地之间的单位运输成本，填入表格中。
4. 判断最优解条件：检查当前的基本可行解是否满足最优解的条件。
如果每个供应地和需求地都满足其供应总量和需求总量，并且没有其他更低成本的运输方案，则当前解为最优解。
5. 迭代改进解：如果当前解不满足最优解的条件，则需要进行迭代改进。
在每一次迭代中，选择一个非基本变量（即非0运输量）进行改变，并计算改变后的基本可行解。
6. 更新供需平衡表和辅助表：根据改变后的基本可行解，更新供需平衡表和辅助表的运输量，并重新计算单位运输成本。
7. 重复步骤4-6，直到找到最优解为止。
通过以上的步骤，表上作业法能够有效地求解运输问题，并得到最优的运输方案。
它在实践中广泛应用于物流管理、供应链优化等领域，为运输问题的决策提供了科学的依据。
《管理运筹学》02-7运输问题
通过将问题分解为多个子问题，并应用分支定 界法等算法，可以找到满足所有约束条件的整 数解，实现运输资源的合理配置。
04运Leabharlann 问题的实际案例物资调拨案例
总结词
物资调拨案例是运输问题中常见的一种，主要涉及如何优化物资从供应地到需 求地的调配。
02
动态运输问题需要考虑运输过 程中的不确定性，如交通拥堵 、天气变化等，需要建立动态 优化模型来应对这些变化。
03
解决动态运输问题需要采用实 时优化算法，根据实际情况不 断调整运输计划，以实现最优 的运输效果。
多式联运问题
1
多式联运是指将不同运输方式组合起来完成一个 完整的运输任务，需要考虑不同运输方式之间的 衔接和配合。
生产计划案例
总结词
生产计划案例主要关注如何根据市场需求和生产能力制定合理的生产计划。
详细描述
生产计划案例需要考虑市场需求、产品特性、生产成本、生产周期等因素。通过 优化生产计划，可以提高生产效率、降低生产成本，并确保产品按时交付给客户 。
05
运输问题的扩展研究
动态运输问题
01
动态运输问题是指运输需求随 时间变化而变化的运输问题， 需要考虑时间因素对运输计划 的影响。
2
多式联运问题需要考虑不同运输方式的成本、时 间、能力等因素，需要建立多目标优化模型来平 衡这些因素。
3
解决多式联运问题需要采用混合整数规划或遗传 算法等算法，以实现多目标优化的效果。
逆向物流问题
1
逆向物流是指对废旧物品进行回收、处 理和再利用的物流活动，需要考虑废旧 物品的回收、分类、处理和再利用等环 节。
的情况。如果存在这些问题，就需要进行调整，直到找到最优解为止。
运筹学3.运输问题
二、初始基可行解的确定
1.最小元素法(就近供应) 就进供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定供销 关系，然后次小，一直到求出初始基可行解为止。
例3 销地
产地
B1
B2
B3
B4
ai
3
11
3
10
A1
④③
7
1
A2 ③
9
2
①
84
7
4
10
5
A3
⑥
③
9
Hale Waihona Puke bj365
6 20
Z 31 64 12 43 310 35 86
24
2.伏格尔法（Vogel）
例4
销地 产地
B1
B2
B3
B4 ai
3
A1
②
11
3
⑤
10 7 0 0 0 0
A2
19
①
28
③
4 1111
A3
74
⑥
10 5
③
9 12 - -
bj
36
5
6 20
25 1
3
2 - 1 3 Z 2311 64 53
2
-
1
2
2
-
1
-
3 8 3 5 85
25
在以上两种方法中，有几点需要注意： • 这两种方法得出的解均为初始可行解。 • 一般由伏格尔法得出的解比最小元素法得出的解 更接近最优解。 • 在以上方法过程中，不可同时划去行和列。
26
三、求检验数并进行最优解的判定
1.闭回路法 例5
销地 产地
B1
3 A1
1
运输问题的数学模型详细讲解,有案例+多种方法
m ( 3 1) x ij b j j 1,2, , n i 1 n s .t . x ij a i i 1,2, , m j 1 x 0 ij m n 其中，ai和bj满足： ai b j 称为产销平衡条件。
2、流向图
流向图:
在交通图上表示物资流向的图被称为流向 图。在图中每个发点吨数全部运完，每个 收点所需吨数均已满足。
2、流向图
发点A到收点B的 运输量，用括号 括起。
2、流向图
关于流向图的一些规定 箭头必须表示物资运输的方向 流量写在箭头的旁边，加小括号。 流向不能直接跨越路线上的收点、发点、 交叉点 任何一段弧上最多只能显示一条流向！即 同一段弧上的多条流向必须合并。 除端点外，任何点都可以流进和流出
2 4 6 4 B4
（2）
B5
4 2
8 B3
（8）
4
B2
（8） （1）
4 6 7 A1
3
5 8 A2
图 4-10
第三步：补上丢掉的边，检查有无迂回。 圈 B5B4B3A2 的 圈 长 =4+4+5+8=21, 内 圈长= 4+4+5=13>21/2，有迂回，所 以流向图不是最优流向图。需要调整。
约束方程式中共mn个变量，m+n个约束。
上述模型是一个线性规划问题。但是其结构很特殊， 特点如下： 1.变量多（mn个），但结构简单。
x11 x12 x1n x 21 x 22 x 2 n x m 1 x m 2 x mn 1 1 1 1 1 1 技术系数矩阵 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m行 n行
运筹学运输问题的方法
运筹学运输问题的方法
运筹学中的运输问题可以通过以下方法进行解决：
1. 确定初始方案：最小元素法、付格尔法和西北角法等，其中最小元素法是先找出运费最小的，然后优先满足。
付格尔法是算出行差额和列差额，依次对差额最大的行或列中运费较小的先分配。
西北角法也是一种求初始可行解的方法。
2. 判定最优解：可以采用闭回路法或者位势法求检验数。
闭回路法是对所选回路上进行“奇+偶-”的操作，而位势法则是直接用公式：检验数=cij-ui-vj。
3. 调整优化解：以检验数＜0且最小的数开始入基，对偶数点选择最小的xij出基。
接着为满足表格平衡，使奇数点加上xij，偶数点减xij，记住出基的点为空格点了，这样才能保证有数点一直是m+n-1个。
对于产销不平衡的问题，则考虑增设一个仓库存放多出来的部分，或者增设一个产地弥补不足的部分，这些运费均为0，后做法同上。
4. 重复上述步骤：如果还未得到最优解，则重复步骤2和3，直到求得最优解。
总的来说，运筹学的运输问题需要综合运用多种方法进行求解，通过不断调整和优化解，最终得到最优解。
管理运筹学04运输问题
例4-1的最小元素法
运价表 1 产
地
B1
A1
3
A2
1
A3
7
销量
3
销 B2
11
9 4 6
地
产
B3
B4
量
3
10
7
2
84
10
59
5
6 20
方案表 1
产
地
B1
A1
A2
3
A3
销量
3
销 B2
6
地
产
B3
B4
量
7
4
9
5
6 20
2024/3/29
例4-1的最小元素法
运价表 2
产
销
地
地
B1
A1
B2
7
•- •+
A2 3
1
4
•-
•+
A3 + (10) 6
•-
3
9
销量 3
65
6
20
2024/3/29
闭合回路法求检验数
产
销地
产
地
B1
B2
B3
B4
量
A1 (1)
(2)
4
3
7
A2
3 (1)
1 (-1)
4
A3 (10)
6 (12)
3
9
销量
3
6
5
6 20
2024/3/29
例4-1(伏格尔法)
产
销
地
产
地 B1
(6)
销量
3
6
第六章2-运输初始解的求法
请大家分别计算一下用以上三种方法求得的可行解对应的目标函
第二节 运输问题初始基本可行解的求法
请大家分别计算一下用以上三种方法求得的可行解对 应的目标函数值，看看那个值更小一些。 应的目标函数值，看看那个值更小一些。 由以上可见； 由以上可见；伏格尔格法同最小元素法除在确定供 求关系的原则上不同外，其余步骤相同， 求关系的原则上不同外，其余步骤相同，伏格尔法求 得的初始解比用最小元素法给出的初始解更接近最优 解。 上面只说求得的解是可行解， 上面只说求得的解是可行解，那么它是不是基本可 行解呢，下面的定理将给出结论。 行解呢，下面的定理将给出结论。 定理：西北角法、最小元素法、差值法得到的x 定理：西北角法、最小元素法、差值法得到的 ij的值 是一组基本可行解，没有画“ 是一组基本可行解，没有画“×”的地方对应的变量 的地方对应的变量 正好是基变量。 正好是基变量。
第二节 运输问题初始基本可行解的求法
列变
列不变
列变
列变
x i1 j1 ,
行不变
x i1 j 2 ,
行变
x i2 j2 ,
行不变
x i 2 j3 , … , x i s j s ,
x i s j1
最终变到同一列（或同一行） 最终变到同一列（或同一行） 其中i表示行标 表示列标 表示行标， 也各不相同。 其中 表示行标，j表示列标 各不相同 ； 也各不相同。
第二节 运输问题初始基本可行解的求法
二．求初始基本可行解的方法 西北角法（参考课本例题） 西北角法（参考课本例题） 西北角法的一般步骤； 西北角法的一般步骤； 先决定左上角变量的值， 先决定左上角变量的值 ， 令这个变量取尽 可能大的值， 可能大的值 ， 并将这个数字标在对应运费 的右上角。 的右上角。 在填数的格子所在的行或列的应该为0的格 在填数的格子所在的行或列的应该为 的格 子上打“ 若行或列都应该取0， 子上打 “ ×”若行或列都应该取 ， 则在行 若行或列都应该取 上打“ 上打 “ ×”后， 就不能在列上打 “ ×”；反 后 就不能在列上打“ ； 在列上“ 后就不能在行上打“ 之 ， 在列上 “ ×”后就不能在行上打“ ×”。 后就不能在行上打 。
第七章-运输问题
运产们费地单办得价到运新销 输的地量 综合表B1格：
B2
B3
产 量 (件)
A1
6
4 x11
6 x12
x13
200
A2 销 量 (件)
6
5 x21
5 x22
x23
300
150
150
200
500 500
•
min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23
s. t.
x11+ x12 + x13 = 200
法
销地
产地
B1
A1
3
A2
1
3
A3
7
销量
30
4 0，
x21
6 =x11200，
x22
=x013，x23
200 = 200。
A2
6
5 x21
5 x22
x23
300
销 量 (件)
150
150
200
500 500
•
§7.1 运输问题的模型
1.一般运输问题的线性规划模型
假设 A1，A2，… ，Am 表示某物资的 m 个产地； B1，B2，… ，Bn 表示某物资的 n 个销地；
•
例.喜庆食品公司有三个生产面包的分厂A1，A2，A3，
有§四个7.销2售运公司输B问1，题B的2，表B3上，B作4，业其法各分厂每日的产
量、各销售公司每日的销量以及各分厂到各销售公司的 单位运价如表所示，在表中产量与销量的单位为吨，运 价的单位为百元/吨。问该公司应如何调运产品在满足各 销点的需求量的前提下总运费最少？
运输问题—数学模型及其解法
余保留在新的基础解中 退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为 0 的基变量在
转移。此时，一要耐心，二要正确选择出变量
踏石法迭代中需注意的问题：
1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中 2、不能正确画闭合回路 3、初始解退化，未能补足基变量的个数。因此在位势法中 多次令某个 ui 或 vj 为 0； 4、在位势法中只能令一个 ui 或 vj 为 0；若不能求出全部 ui 和 vj ，说明基变量未选够数或未选对
3.3.3 关于退化问题
1、初始解退化。即所求初始基变量的个数少于 m+n1。必须
补足基变量的个数，否则不能正常解出 m+n个 ui 和 vj
所补基变量的值为 0 ，补充的原则：(1)尽量先选运费小的实变量；
(2)补充后不能有某个基变量独占一行一列
12
3.3.3 关于退化问题
2、迭代过程中出现退化
❖ 共有m+n1个基变量xij ，因此可得m+n1个等式 ui+vj=wij ❖ m+n1个等式只能解出 m+n1个 ui 和 vj ，而一共有m+n
个 ui 和 vj ，但可令任一个ui 或 vj =0，从而解出其它 m+n1个的值；这就是位势法 ❖ 令 zij= ui + vj ，其相当原问题xij的机会费用 ❖ 若对所有非基变量有 zij wij 0，即 ui + vj wij，表明当 前ui 和 vj 是对偶问题的可行解，由互补松弛定理可知当前 m+n1个基变量xij 是最优解，否则 ❖ 从 zij wij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量
运筹学运输问题应用实例
运筹学运输问题应用实例运筹学是一门研究企业决策问题的学科，包括线性规划、整数规划、网络优化、排队论、决策理论等多个分支。
运筹学可以应用于许多领域，其中之一就是运输问题。
运输问题是指在给定的供应和需求条件下，如何合理地安排物资或者人员的调度和运输，使得运输成本最小、效率最高。
以下是几个运输问题的实例，展示了运筹学在现实生活中的应用：1.货物运输问题：某物流公司需要将若干货物从不同的供应地点运送到不同的需求地点，运输成本根据不同的供应-需求对有所差异。
如何设计最优的运输方案，使得总运输成本最小？解决方法：可以使用线性规划模型来描述这个问题。
将各个供需点之间的距离、运输成本等作为变量，建立一个目标函数和一系列约束条件，并通过求解线性规划问题来得到最优的运输方案。
2.配送车辆路径问题：某公司有若干辆配送车辆，需要将货物按照一定的规则分配到不同的配送点，并且保证每个配送点都能得到及时的配送。
如何合理地安排车辆的路径，使得配送成本最小、效率最高？解决方法：可以使用网络优化模型来描述这个问题。
将配送点、车辆、交通网络等抽象成一个图，其中每个节点表示一个配送点或者车辆，边表示两个节点之间的路径。
然后通过求解网络优化问题，找到最优的车辆路径。
3.乘客调度问题：某出租车公司需要根据乘客的叫车需求，合理地调度出租车，以提高乘客的满意度，并最大化车辆的利用率。
如何在不同的时间和地点调度出租车，使得乘客的等待时间最小、出租车的行驶里程最小？解决方法：可以使用排队论模型来描述这个问题。
根据乘客到达的服从分布，建立一个排队论模型，模拟乘客叫车的过程。
然后根据这个模型，确定最佳的出租车调度策略。
4.航班调度问题：某航空公司需要合理地调度飞机的起飞和降落时间，以提高航班的准点率和乘客的满意度。
如何在不同的起降时间和航线之间进行合理的安排，并考虑飞机的机场停靠时间和维修等因素？解决方法：可以使用决策理论和整数规划模型来描述这个问题。
运输问题
3 6
1 3
A3
初始方案运费 Z0=3×1+6×4+4×3+1×2+3×10&#回路法:计算空格的检验数） ①找出任意空格的闭回路—除此空格外，其余顶点均 为有数格。如可找（ A1 B1 ）→ （ A1 B3 ） → （ A2 B3 ） →
（ A2 B1 ）；
②计算出空格的检验数—等于闭回路上由此空格起奇 数顶点运价与偶数顶点运价的代数和。如σ11＝c11c13+c13-c21=3-3+2-1 ③计算出此空格的检验数σij,若σij ≥０，则该方案为最 优方案，否则转３；
对(d )加松弛变量 ij , 则ui +v j + ij cij (*)
问题：σij与原问题有什么关系？ 1 C C B A(自证) 由对偶性质，σij是原问题结构变量xij 的检验数 B 当xij是基时， σij=0，此时有 ui v j cij由此求ui 和 vj，再代回（*）式求非基变量的σij（空格检验数）
约束方程式中共mn个变量，m+n个约束。
上述模型是一个线性规划问题。但是 其结构很特殊，特点如下：
1.变量多（mn
1 1 个），但结构 1 1 简单。 技术系数矩阵 A= 1 1 1 1 1 1 1 1
2.m+n个约束中有一个是多余的（因为其间含
表上作业法，实质上还是单纯形法。其步 骤如下：
1.确定一个初始可行调运方案。可以通过 最小元素法、西北角法、Vogel 法来完 成； 2.检验当前可行方案是否最优，常用的方 法有闭回路法和位势法，用这两种方法 计算出检验数，从而判别方案是否最优； 3.方案调整，从当前方案出发寻找更好方 案，常采用闭回路法。
运筹学运输与派送问题
运筹学运输与派送问题运筹学中的运输与派送问题是一类常见的优化问题，通常涉及将货物或资源从起始地点运输到目的地，并尽量优化运输成本或效率。
以下是一些常见的运输与派送问题的类型和解决方法：1. 车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, VRP）：给定一组客户和车辆，目标是确定每辆车的行驶路径，使得所有客户的需求得到满足，且总的运输成本最小。
可以使用启发式算法、元启发式算法、精确算法等求解。
2. 车辆装载问题（Vehicle Loading Problem, VLP）：目标是最大限度地减少车辆的数量，或者在给定数量的车辆中装载更多的货物，使得总运输成本最小。
可以使用整数规划、分支定界法等求解。
3. 装箱问题（Bin Packing Problem, BPP）：给定一组物品，每个物品都有自己的重量和体积，目标是使用最少的箱子数将所有物品装入箱子中，每个箱子的容量有限制。
可以使用贪婪算法、元启发式算法等求解。
4. 派送问题（Delivery Problem）：给定一组客户和一组车辆，目标是确定每辆车的派送路线，使得所有客户的需求得到满足，且总的运输成本最小。
与VRP类似，可以使用启发式算法、元启发式算法、精确算法等求解。
5. 配载与调度问题（Scheduling and Routing Problem）：涉及多个任务或工作需要完成，目标是确定任务的完成顺序、使用哪些资源、何时开始和结束等，以最小化总成本或最大化总效益。
可以使用线性规划、整数规划、动态规划等求解。
在解决运输与派送问题时，通常需要考虑各种因素，如车辆数量、运输距离、运输时间、运输成本、客户需求等。
根据问题的具体情况，可以选择合适的算法或模型进行求解。
运输问题的解决方法
运输问题的解决方法一、问题背景：这类问题的典型提法是，为了把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，已知每个产地的供应量和每个销地的需求量，如何在许多可行的调运方案中，确定一个总运输费或总运输量最少的方案。
有以下输问题题、制，比例。
现有四类货物供该货机本次飞行装运，其有关信息如表2-2，最后一列指装运后所获得的利润。
表2-2四类装运货物的信息模型假设：1)2)3)后仓.1)x41+x42+x43?12(5)2)三个货舱的重量限制，即x11+x21+x31+x41?10(6)x12+x22+x32+x42?16(7)x13+x23+x33+x43?8(8)3)三个货舱的空间限制，即480x11+650x21+580x31+390x41?6800(9)480x12+650x22+580x32+390x42?8700(10)480x13+650x23+580x33+390x43?5300(11)4)三个货舱装入重量的平衡约束，即5)x11…x43这12个变量都为非负数才有实际意义，即代替，如A=[111000000000;??000111000000;??000000111000;??000000000111;100100100100;010*********;001001001001;48000650005800039000; 04800065000580003900; 00480006500058000390];b=[1815231210168680087005300];lb=zeros(12,1);[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)3.3运行结果：-1.2152e+005exitflag=1output=iterations:8algorithm:'large-scale:interiorpoint'cgiterations:0message:'Optimizationterminated.'lambda=ineqlin:[10x1double]eqlin:[2x1double]upper:[12x1double]lower:[12x1double]实际上，不妨将所得最优解作四舍五入，结果为货物2装入前仓9吨、装入后仓6吨；货物3元.。
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CB B
[u1 , u 2 , , u m ; v1 , v , , v n ]
2
而每一个决策变量Xij的系数向量 P ，所以 ij ei em j
c ij (ui v j ) 0
(i, j B)
由单纯形法可知，所有基变量的检验数等于0，即
ij cij CB B 1 Pij c ij (ui v j )
（二）最优解的判别 计算非基变量（空格）的检验数,当所有 的检验数 cij CB B 1 Pij 0 时，为最优解。 求空格检验数的方法有：
闭回路法
以某一空格为起点找一条闭回路，用水 平或垂直线向前划，每碰到一数字格转900后， 继续前进，直到回到起始空格为止。
闭回路如图5.3.1的（a）、（b）、（c） 等所示。从每一个空格出发一定存在并且可以 找到唯一的闭回路。因为，m+n-1个数字格 （基变量）对应的系数向量是一个基，任一空 格（非基变量）对应的系数向量是这个基的线 性组合。
第1步，从表5.3.4中找出最小运价为1，表示 应先将A2 的产品供应 B1 。在表5.3.3中（ A2 B1 ） 的交叉格处填上3，得表5.3.4。将表5.3.4中的B1 列运价划去，得表5.3.5。
表5.3.4 销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1
B2 5 6
表5.3.5 销地 产地 B1 B2 B3 B4
P ik , P lk , P ls , P us , P uj B
而这些向量构成了闭回路见图
位势法
一种较为简便的求检验数的方法。
设 u1, , u2 ,, um ; v1 , v2 ,, vn 是对应运输问题的m+n 个约束条件的对偶变量。B是含有一个人工变量Xa的初始 基矩阵。 Xa在目标函数中的系数Ca ，由线性规划的对 偶理论可知
A1 A2 A3
11 9 4
3 2 10
10 8 5
第 2 步，在表 5.3.5 未划去的元素中再找出 最小运价为2，确定A2多余的1 t物资供应B3 。 得表5.3.6。将表5.3.5的行运价划去，得表5.3.7。
表5.3.6
销地
产地
A1 A2 A3 销量 销地
B1
B2
B3
B4
产量 7 4 9
3
（1）确定初始调运方案，即找出初始 基可行解 , 在产销平衡表上给出 m+n-1 个数 字格。
（2）求非基变量的检验数，即在表上计算 空格的检验数，判别是否达到最优解：是否存 在负的检验数？如果存在负的检验数，则初始 调运方案不是最优方案；如果所有检验数都非 负，则初始调运方案已经是最优方案了。如果 已经得到最优调运方案，则停止计算，否则转 入下一步。
3
1
3
6
5
6
⑵伏格尔法的步骤是： 第1步：在表 5.3.2中分别计算出各行、 各列的最小运费和次最小运费的差额，并填 入该表的最右列和最下行，见表5.3.9。
表5.3.9
销地 产地 A1 A2 A3 B1 B2 B3 B4 行差额
3 1 7 2
表5.3.2 销地 产地 A1 A2 A3 B1 3 1 7 B2 11 9 4 B3 3 2 10 B4 10 8 5
解：首先列出这一问题的产销平衡表，见表5.3.3。
表5.3.3 某物资运输的产销平衡表
销地
产地 A1 A2 A3 销量
B1
B2
B3
B4
产量 7 4 9
3
6
5
6
⑴用最小元素法求解：
下面用具体例子说明表上作业法的计算步骤。
例1：假设某种物资共有3个产地，其日产量分别是： A1为7 t， A2为4 t， A3为9 t；该种物资的4个销售地， 其日销量分别： B1为3 t， B2为6 t， B3为5 t， B4为6 t； 各产地到销售地的单位物资的运价如表 5.3.2所示。在 满足各销售点需要量的前提下，如何调运该种物资， 才能使总运费达到最小？
表5.3.1
销地 产地
产销平衡表与单位运价表
1 2 n
产量
1 2 m
销量
c11 c12 c1n c21 c22 c2 n cm1 cm 2 cmn
a1 a2 am
二、表上作业法
运输这一类特殊问题可用更加简便的 求解方法 ——— 表上作业法求解，实质仍 是单纯形法，步骤如下：
一、产销平衡表与单位运价表
运输问题还可用产销平衡表与单位运价表 进行描述。 假设某种物资有m个生产地点Ai（i=1， 2，…，m），其产量（供应量）分别为ai（i=1， 2，…，m），有n个销地Bj（j=1，2，…，n）， 其销量（需求量）分别为bj（j=1，2，…，n）。 从Ai到Bj运输单位物资的运价（单价）为Cij。将 这些数据汇总可以得到产销平衡表和单位运价 表5.3.1。
3 6 表5.3.7
1
5 6
产地
A1 A2 A3
B1
B2
11 9 4
B3
3 2 10
B4
10 8 5
第3步 ，按照上述方法直到单位运价表 上的所有元素被划去为止。最后在产销平衡 表上得到一个调运方案，即初始基可行解， 见表5.3.8。
表5.3.8
销地
产地 A1 A2 A3 销量
B1
B2
B3
B4
产量 7 4 9
（3）确定换入变量和换出变量，找出新的 调运方案（新的基可行解），即在表上用闭回 路法进行调整。
(4）重复（1）～（2），直到求出最优解 为止。
（一）确定初始可行基的方法
最小元素法
从单位运价表中最小的运价开始确定供销关 系，然后考虑运价次小的，一直到给出初始基可 行解为止。
伏格尔法
采用最小元素法可能造成其他处的更多浪费， 伏格尔法考虑最小运费与次小运费之间的差额， 差额越大，就按次小运费调运。
图5.3.1 闭回路示意图
Pij (i, j N ) 可表示为 举例说明： Pij ei em j
ei em k emk el el em s em s eu eu em j (ei em k ) (el em k ) (el em s ) (eu em s ) (eu em j ) Pik Plk Pls Pus Puj