04-2-第2章-电势-电磁学-大学物理-海南大学

r Q
R r
0
Q E外 4 0 r 2
1
三、电势叠加原理 由电势定义可得
rR


r
E外 dl
rR
Q 1 Q dr 2 r 4 r 4 0 r 球 内 为 等 势 0 E dl 区，球面为 r 等势面。 R E内 dl E外 dl
rb 时， b 0,
r rb 时， b 0,
通常
电势
a

ra
E dl
二、电势差和电势 电势


r
E dl
上式表明，电场中某点的电势，等于把单位正 电荷从该点经任意路径移到无限远处电场力所作 的功。 电 势 单 位 ： 焦 尔 / 库 仑 ， 称 为 伏 特 ， 简 称 伏 (V)。量纲L2MT-3I-1
qi i 4 0 ri
1
三、电势叠加原理
3.任意带电体电场中的电势
任意带电体可以看作由无穷多个电荷元组成， 每个电荷元可以看成点电荷，则
dq d 4 0 r
1
电荷线分布 电荷面分布 电荷体分布
1 4 0 1 4 0 1 4 0
二、电势差和电势
3.单个点电荷在空间的电势
点电荷在空间任意一点的电势 E dl
r
q
r
p


r
q dr 2 4 0 r
1
E
q 4 0 r
1
q e 2 r 4 0 r
1
积分路径沿位矢方向
二、电势差和电势
q 4 0 r
1
在正电荷的电场中，各点的电势均为正 值，离电荷越远的点，电势越低； 在负电荷的电场中，各点的电势均为负 值，离电荷越远的点，电势越高。
五、电势能 （4）当
W Wb Wa 0 时，试验电荷从 a 运
动到 b 过程中，电势能减少，电场力作正功； （5）当 W Wb Wa 0 时，电势能增加，电 场力作负功。
例题 P.77
六、静电场的能量
以后再讲
r R
1
Q 1 Q 0 dr 2 R 4 r 4 0 R 0

1
三、电势叠加原理
E

O
R
r
O
R
r
E r 关系曲线
r 关系曲线
三、电势叠加原理 [ 例 2] 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电势。已 知盘半径为 R，电荷面密度σ。 dr r
x2 r 2
O
R
x
P
三、电势叠加原理 dr r
四、电势梯度
点电荷电场及等势面
均匀电场及等势面 等量异号电 荷电场及等 势面
四、电势梯度
2. 等势面与电力线的关系
（1）等势面与电力线处处正交。 （2）电力线方向，指向电势降落的方向。 （3）等势面在电力线密集处场强大，稀疏处 场强小。



b
a
E dl En

a b E
d grad n dn
电势梯度的大小等于 电势在该点的最大空 间变化率；方向沿等 势面法向，指向电势 增加的方向。
c
n
Δn θ Δl a
E
b l

四、电势梯度
4.电场强度与电势的关系
d 由于 E dn d n dn
E
P P P i

P0
P
1 2 i
在由多个点电荷产生的电场中，任意一点的电 势等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电势 的代数和。这个结论称为电势的叠加原理。
三、电势叠加原理
2.多个点电荷电场中的电势
单个点电荷的电势
q 4 0 r
1
多个点电荷的总电势
E n
Δn
四、电势梯度
3.电势梯度
n 为等势面的法线方向，指向电势升高的方 向，与 E 反向。对任意方向 l ,有 ( ) E Δl n c E Δl E l l b l Δ n θ El E l E cos Δl l a l 0 d E E l lim ( ) l 0 dl l

dl
r
L
dq 4 0 r
1

dS
r
S

dV
r
V
三、电势叠加原理
4.例题
[例 1] 求均匀带电球面内外的电势。已知球半径 为 R，带电荷为 Q。 解：先用高斯定理求出球 面内外的电场分布。 在球面内外做与带电 球面同心的高斯球面 S r Q r R
三、电势叠加原理
rR 时 2 E S E 4 r 0 d 内 内 E内 0 rR 时 Q 2 E 外 dS E外 4r
二、电势差和电势
3.电场力作功
点电荷经任意路径移动电场力所作的功 rb A q0 E dl
q0 ( a b ) q0 ( b a )
ra
b
rb A a b E dl ra q0
电场力作正功， 电场的电势降低。
此时圆盘相当于一个点电荷。
三、电势叠加原理 讨论
( 2) x 0时
R 2 2 ( x R x) 2 0 2 0
它表明把单位正电荷从无穷远处沿任意路径移到 盘中心所需做的功。
三、电势叠加原理 例题 P.69
四、电势梯度
1.等势面
在电场中电势相等的点所连成的曲面称为等势面 。 规定，相邻等势面之间电势差相等。 等势面用来形象表示电场中电势的分布。 等势面密的地方场强大，等势面稀疏的地方场 强小。
第 2 章
电势
一、静电场环路定理 二、电势差和电势 三、电势叠加原理 四、电势梯度 五、电势能 六、静电场的能量
一、静电场环路定理
1.静电场力所作的功
与引力场相类似，静电场也是保守场，静电力 是保守力，即静电力作功与具体路径无关。 点电荷电场： dA q0 E dl q0 E cos1 dl q b E e 2 r 4 0 r q0 Edr
3.静电场的环路定理
任意带电体可以看作是由无穷多个点电荷组成的 ，由场强叠加原理 E Ei
i
A
L
q0 E dl q0 E i dl q0 E i dl
L i i L
q0
L
E 1 dl q 0 E 2 dl
四、电势梯度
d E l E cos dl 电场中给定点的场强在任一方向的分量，等于
电势沿该方向的变化率的负值。负号表示场强指 向电势降低的方向。 n c b l 电场强度 Δ n d θ E Δl dl max a
d E dn
E
四、电势梯度 定义电势梯度(gradient)矢量：
L
一、静电场环路定理 上式中每一项均与路径无关，其和也必与路径 无关，故对任意闭合回路 E dl 0
L
即：在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积 分等于零。 上式称Байду номын сангаас静电场的环路定理。
二、电势差和电势
1.电势差
A
rb ra
rb q0 E dl q0 E dl q0
x2 r2
O
R
x
P


dS
4 0 x 2 r 2
S
dS 2rdr R 2 rdr ( x2 R2 x) 0 4 0 x 2 r 2 2 0
三、电势叠加原理 讨论 (1) x R时
2 1 2 R R 1 ) ( x 2 R ) x (1 2 ) 2 x(1 2 x 2 x 2 R x 2x 2 2 R Q R (x x) 2 0 2x 4 0 x 4 0 x 1 2 2
二、电势差和电势
4.求空间的电势分布
明确电势零点， 求出电场分布， 选一条积分路径积分。 例题 P.66
三、电势叠加原理
1.多个电荷的电场在空间中的电势
E Ei
P0 P0 P0 E dl E i dl E1 dl E 2 dl
rb
ra
E dl
q0 ( b a )
五、电势能 定义电势能
W q0
即：一个电荷在电场中某点的电势能等于它的电 量与电场中该点电势的乘积。 一般取 r→∞ 时为势能零点，则空间任一点的 电势能为
W q0

r
E dl
五、电势能
2.注意
（1）电势能是属于系统的，为场源电荷和电荷 所共有，它是验电荷与电场之间的相互作用能。 （2）电势能的量值只有相对意义，它与电势能 零点的选择有关。 （3）电势能的单位（ SI）：焦耳（J）；电子伏 特（eV）：1eV＝1.6×10-19J
A dA q0 Edr
L ra rb
q0 q 1 1 ( ) 4 0 ra rb
一、静电场环路定理
2.静电场的保守性
在点电荷电场中，电场力对试验电荷所作的 功，只取决于试验电荷 q0 及其始末位置，与连 接始末位置的具体路径无关。这个性质称为静电 场的保守性。
一、静电场环路定理
ra
静电力作功与具体路径无关，只取决于试验电 荷的始末位置。 定义 电势差
rb A a b E dl ra q0
二、电势差和电势
2.电势