第八讲 向量坐标表示共线
向量共线坐标表示
坐标是������
������1+������2 2
,
������1+������2 2
.
2.若 P1(x1,y1),P2(x2,y2),且������1������ = ������������������2(������≠-1),则������
������1+������������2 1+������
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练2】 (1)若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A,B,C三点共线,则
x=
.
(2)已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),求证:A,B,C三点共线.
题型一 题型二 题型三 题型四
(1)解析:∵A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),
b 共线;反之,若 a 与 b 共线,则它们的坐标满足 x1y2-x2y1=0.
(2)在讨论向量共线时,规定零向量可以与任一向量共线,故在
x2y2≠0
的条件下,a
与
b
共线的条件可化为
������1 ������2
=
������1 ������2
,
即两个向量共线的条件为相应坐标成比例.
2.三点共线问题 剖析:(1)若 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则 A,B,C 三点共线的条件为 (x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0. (2)若已知三点的坐标,判断其是否共线可采用以下两种方法:
【变式训练1】 已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b,则
k=
.
解析:a-c=(3,1)-(k,7)=(3-k,-6).
8.第八讲：平面向量的坐标表示与线性运算
第八讲 平面向量的坐标表示与线性运算一、引言本节主要内容：平面向量的基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示等内容．通过本节学习，进一步加深对平面向量的认识，掌握通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决的方法，领悟数学知识间的内在联系和数形结合的重要数学思想．本节学习要求：了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加法、减法、数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件，灵活运用平面向量的基本定理和平面向量的坐标表示解决相关问题，发展运算能力和数形结合解决问题的能力．本节高考的热点是向量的概念、加法、减法，平面向量的坐标运算，两个非零向量平行的充要条件；试题多以选择题、填空题为主，考查基本概念、基本运算．在解答题中，一般是将某些基本概念、公式作为中间步骤来考查，难度适中．在高考试题中，对平面向量的考查主要有：1．主要考查平面向量的概念、性质和运算法则，理解和运用其直观的几何意义；2．考查向量坐标表示，向量的线性运算；3．和其他知识结合在一起，在知识的交汇点设计试题，考查向量与学科知识间综合运用能力；4．考查以向量为工具，即构造向量解决有关数量问题，侧重体现向量的工具性作用．二、考点梳理1．平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使2211e e λλ+=． 我们把不共线向量1e 、2e 做表示这一平面内所有向量的一组基底．注意：（1）基底不惟一，关键是不共线；（2）由定理可将平面内的任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；（3）基底给定时，分解形式惟一，1λ、2λ是被a ，1e ，2e 唯一确定的数．2．两个向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA a =，OB b =，则AOB θ∠=叫做向量a 和b 的夹角． 说明：（1）向量a 和b 的夹角的范围是0180θ≤≤︒．当0θ=︒时，a 和b 同向；当180θ=︒时，a 和b 反向；（2）当90θ=︒时，我们说向量a 和b 垂直，记作a b ⊥．3．平面向量的正交分解和坐标表示（1）平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．正交分解是向量分解中常见的一种情形．（2）在直角坐标系内，如图，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi y j =+，这样，平面内的任一向量a 都可以由x 、y 唯一确定，我们把有序数对),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作：(,)a x y =．其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，(,)a x y =叫做向量的坐标表示．与a 相等的向量的坐标也为),(y x ．特别地，(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)=．如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA a =，则点A 的位置由a 唯一确定． 设OA xi yj =+，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一有序实数对唯一表示．4．平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则1122()()a b x i y j x i y j +=+++，由向量线性运算的结合律和分配律，可得：11221212()()()()a b x i y j x i y j x x i y y j +=+++=+++，即1212(,)a b x x y y +=++，同理可得b a -),(2121y y x x --=．即两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．a λ11()x i y j λ=+11x i y j λλ=+，即11(,)a x y λλλ=即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则①()22112121(,)(,),AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--．即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标．②若P 是线段AB 的中点，则由向量的线性运算可知：12121()(,)222x x y y OP A OB ++=+=，即点P 的坐标为1212(,)22x x y y ++． 5．平面向量共线的坐标表示设11(,)a x y =，22(,)b x y =，其中0b ≠．我们知道，a 、b 共线当且仅当存在实数λ，使a b λ=．如果用坐标表示，可以写为1122(,)(,)x y x y λ=，即1212,.x x y y λλ=⎧⎨=⎩ 消去λ后得12210x y x y -=．这就是说，当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、(0)b b ≠共线．注意：（1）消去λ时不能两式相除，因为1y ，2y 有可能为0．∵0b ≠，∴2x ，2y 中至少有一个不为0；（2）充要条件不能写成2211x y x y =，因为1x ，2x 有可能为0； 三、典型例题选讲例1 已知a 是以点(3,1)A -为起点，且与向量(3,4)b =-平行的单位向量，则向量a 的终点坐标是 ．解：方法一：设向量a 的终点坐标是(,)x y ，则(3,1)a x y =-+，则题意可知224(3)3(1)0311x y x y -++=⎧⎨+=⎩（－）（＋），解得：12,515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 或18,595x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故填121,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或189,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 方法二：与向量(3,4)b =-平行的单位向量是1(3,4)5±-，故可得34,55a ⎛⎫=±- ⎪⎝⎭，从而向量a 的终点坐标是(,)(3,1)x y a =+-，便可得结果．归纳小结：①向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念；②与a 平行的单位向量||a e a =． 例2 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a =b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a =b ，b =c ，则a =c ；④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a //b ；⑤若a //b ，b //c ，则a //c ，其中正确的序号是 ．解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB DC =，∴||||AB DC =且//AB DC ，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则，//AB DC 且||||AB DC =，因此，AB DC =． ③正确．∵a =b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ．④不正确．当a //b 且方向相反时，即使|a |=|b |，也不能得到a =b ，故|a |=|b |且a //b 不是a =b 的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b =0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③．归纳小结：本例主要复习向量的基本概念，向量的基本概念较多，因而容易遗忘，为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联系，帮助理解，加深记忆．例3（08海南宁夏卷）平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ）A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．R λ∃∈， b a λ=D ．存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+= 解析：若,a b 均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数12,,λλ使120a b λ+λ=；若0a ≠，则由两向量共线知，存在0λ≠，使得b a =λ，即0a b λ-=，符合题意，故选Ｄ．归纳小结：概念定理性的问题往往是看似简单，实则处处陷阱，所以应加强对基础概念、定理的深入理解，明确问题关键之处，体会本质．例4 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足OC OA OB αβ=+，其中α，R β∈且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为（ ）A ．32110x y +-=B ．22(1)(2)5x y -+-=C ．20x y -=D ．250x y +-=解析：解法1：设(,)C x y ，则(,)(3,)(,3)(3,3)x y ααββαβαβ=+-=-+. ∴3,3.x y αβαβ=-⎧⎨=+⎩ 又1αβ+=．∴41x α=-，23y α=-+．消去参数α，得点C 的轨迹方程为250x y +-=．解法2：利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A ，B ，C 三点共线，故点C 的轨迹方程即为直线AB 的方程250x y +-=，故本题应选D ．归纳小结：本题主要考查向量的运算（几何形式或坐标形式）及直线的方程，把向量联系起来，使问题立意更新，情景更好，内容更丰富．例5 如图，在ABC △中，C 、D 是AB 的三等分点，1OA e =，2OB e =，则OC = ，OD = ．分析：以OA ，OB 为基底，借助C 、D 是AB 的三等分点，由平面向量的基本定理可以将OC 、OD 线性表出．解：因为C 、D 是AB 的三等分点，所以13AC AB =，13BD AB =-． 12112121()333333OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB e e =+=+=+-=+=+． 12111212()333333OD OB BD OB AB OB OB OA OA OB e e =+=-=--=+=+． 归纳小结：若C 是AB 的中点，则121122OC e e =+的结论是显然的，这里给出了AB 的三等分点C 、D ，向量OC 、OD 与OA 、OB 的关系，从中我们不难猜想AB 的四等分点、五等分点，……时的情况，这些规律可以作为结论记下来．例6（2009北京卷理）已知向量a 、b 不共线，()c ka b k R =+∈，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向解析：解法一：取(1,0)a =，(0,1)b =．若1k =，则(1,1)c a b =+=，(1,1)d a b =-=-，显然，c 与d 不平行，排除A 、B ．若1k =-，则(1,1)c a b =-+=-，(1,1)d a b =-=-，即c d ∥且c 与d 反向，排除C ，故选D ．解法二：若c d ∥，则存在R λ∈，使得c d λ=，即ka b a b λλ+=-，从而有()(1)0k a b λλ-++=，因为向量a 、b 不共线，由平面向量基本定理可得，0k λ-=，10λ+=，即1k λ==-，且c 与d 反向．故选D ．归纳小结：本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法属于基础知识、平面向量基本定理等基础知识，侧重基本方法、基本运算的考查．例7 已知平面上三点(2,1)A -、(1,3)B -、(3,4)C ，求点D 的坐标，使得这四点能够成平行四边形的四个顶点．分析：本题没有指明所构成的平行四边形的顶点顺序，故应分三种情况分别求解．解：（1）当平行四边形为ABCD 时，因为AD BC =，所以(4,1)(2,1)x y =+-．所以2,2x y ==，即(2,2)D ；（2）当平行四边形为ACDB 时，因为BA DC =，所以(1,2)(3,4)x y --=--．所以4,6x y ==，即(4,6)D ；（3）当平行四边形为DACB 时，因为DA BC =，所以(4,1)(2,1)x y =---．所以6,0x y =-=，即(6,0)D -．归纳小结：没有指明平行四边形顶点顺序时，要分情况讨论．例8 设G 、H 分别为非等边三角形ABC 的重心与外心，(0,2)A ，(0,2)B -且()GH AB R λλ=∈．（1）求点(,)C x y 的轨迹E 的方程；（2）过点(2,0)作直线l 与曲线E 交于点M 、N 两点，设OP OM ON =+，是否存在这样的直线l ，使四边形OMPN 是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由．分析：（1）通过向量的共线关系得到坐标的等量关系；（2）根据矩形应该具备的充要条件，得到向量垂直关系，结合韦达定理，求得k 的值．解：（１）由已知得(,)33x y G ,又GH AB λ=，∴(,0)3xH ．∵CH HA =，∴222()()433x x x y -+=+，即221(124x y x +=≠±． （2）设l 方程为(2)y k x =-，代入曲线E 得：2222(31)1212(1)0k x k x k +-+-=. 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则x 1+x 2=221231k k +，x 1x 2=2212(1)31k k -+． ∵OP ON OM =+，∴四边形OMPN 是平行四边形．若四边形OMPN 是矩形，则ON OM ⊥．∴12120x x y y +=，∴222222212(1)12(1)24(4)0313131k k k k k k k --+-+=+++，得k =∴直线l 为：2)y x =-．归纳小结：这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题，注重数学知识之间联系的考查，解题时应充分考虑基础知识的结合点，灵活应用基本方法解决问题．四、本专题总结向量有了运算，变得威力无限．今后高考的考查会逐渐加大，综合性会更强．向量具有数形兼备的特点，成为了作为联系众多知识的桥梁．因此，向量与三角、解析几何、立体几何的交汇是当今高考命题的必然趋势，以后必须非常重视对向量的复习与演练，直至达到深刻理解、运用熟练的程度．。
平面向量平面向量共线的坐标表示
03
CATALOGUE
平面向量共线的坐标变换
坐标轴的旋转
绕原点逆时针旋转角度θ
将坐标轴上的点$M(x,y)$变为$M'(x',y')$，其中$x' = x\cos\theta - y\sin\theta$，$y' = x\sin\theta + y\cos\theta$。
绕原点顺时针旋转角度θ
将坐标轴上的点$M(x,y)$变为$M'(x',y')$，其中$x' = x\cos\theta + y\sin\theta$，$y' = -x\sin\theta + y\cos\theta$。
平面向量平面向量 共线的坐标表示
目 录
• 平面向量共线的坐标表示 • 平面向量共线的坐标运算 • 平面向量共线的坐标变换 • 平面向量共线的坐标应用
01
CATALOGUE
平面向量共线的坐标表示
定义及坐标表示
平面向量共线定义
若存在实数λ，使得向量a=λb，则向量a与向量b共线。
平面向量的坐标表示
详细描述
设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则向量a+b=(x1+x2,y1+y2)。向量坐标的加法 运算满足平行四边形法则，即对角线上的两个向量之和等于0。
坐标的数乘运算
总结词
数乘向量坐标运算满足分配律和结合律，即k(a+b)=ka+kb ，(k+l)a=ka+la。
详细描述
设向量a=(x,y)，k为实数，则向量ka=kx,ly)。数乘向量坐标 运算满足分配律和结合律，即k(a+b)=ka+kb， (k+l)a=ka+la。
平面向量共线的坐标表示
向量$\overset{\longrightarrow}{AB}$的坐标是$(x_2 - x_1,y_2 - y_1)$，其中 $(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$分别是点A和点B的坐标。
坐标表示法的应用
向量加法
向量数乘
对于两个向量 $\overset{\longrightarrow}{AB}$和 $\overset{\longrightarrow}{CD}$
向量$\overset{\longrightarrow}{AB}$的长度称为向量的模，用符号 $|\overset{\longrightarrow}{AB}|$表示，其大小是线段$MN$的长度。
向量的方向
向量$\overset{\longrightarrow}{AB}$的方向是从点A指向点B，与线段AB的方向一致。
详细描述
设$\overset{\longrightarrow}{a} = (x_1, y_1)$和 $\overset{\longrightarrow}{b} = (x_2, y_2)$是同一 直线上的两个向量。$t$为任意实数
向量的分解与合成
总结词
平面向量的分解与合成是指将一个向量分解为若干个 向量的和，或将若干个向量的和合成一个向量。
03
向量共线定理的证明
向量共线的定义
两个向量共线
两个向量共线是指它们的方向相同或相反，即它们的角度为0 度或180度。
坐标表示
平面向量的坐标表示是利用两个实数来表示向量的起点和终 点，即$(x_{1}, y_{1})$和$(x_{2}, y_{2})$。
向量共线定理的证明方法
方法一
利用向量的坐标表示证明
对于一个实数$\lambda$和一个向量 $\overset{\longrightarrow}{AB}$
向量的坐标运算和共线
AB (1, 2)，
DC (3 x, 4 y)，
A
B4
3 2 1
C
D
1 2 3 4
由AB DC得（ 1， 2）（ 3-x, 4
1 3 x ， x 2 2 4 y ， y 2
-2 -1 -1 y)， O -2 -3 -4
x1＝x2， a＝ b⇔ y1 ＝ y2 .
注意： 相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终 点的坐标却可以不同 .
平面向量的坐标运算 a b ( x1 x2，y1 y2 ) a b ( x1 x2，y1 y2 ) a (x , y )
思考
1. 两个向量共线的条件是什么? 2. 如何用坐标表示两个共线向量?
推导过程：
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 其中b 0.
推导过程：
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 其中b 0. 由a b 得：( x1 , y1 ) ( x2 , y2 )
A
y
D2 C D1
x
B３
2 1
-３ -2 -1 O １２３
-1 -2 -3
已知A(-3,-2),B(3,4),则线段AB的三等分 点M,N的坐标是 M(-1,0),N(1,2) .
式叫做向量的坐标表示． 3． 向量 i， j， 0 的坐标表示 i＝ (1,0) ， j＝ (0,1) ， 0＝ (0,0) ．
[化解疑难]
辨析点的坐标与向量的坐标 (1)当且仅当向量的起点在原点时，向量终点的坐标等于向量本身 的坐标． (2)书写不同，如： a＝(1,2)， A(1,2)． (3)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一对实数，由于向量 可以平移，故以这对实数为坐标的向量有无穷多个． (4)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同． 即：若 a＝ (x1， y1)， b＝(x2， y2)，则
高中数学用平面向量坐标表示向量共线条件
教学目标：
理解用坐标表示的平面向量共线的条件
教学重点：理解用坐标表示的平面向量共线的条件
教学过程
一、复习引入：
1、平面向量基本定理
2、平面向量的坐标
3、向量共线
二、讲解新课：
1、 设 ， ，那么 ∥ 的充要条件是 。
证明：由基本定理可知， ∥ 的充要条件是存在一实数 ，使
∴ ，即
消去 后得
故知命题成立。
2、[定理] ∥ 的充要条件是 。
3、两向量平行的条件是：对应坐标成比例
4、例子
例1已知 ， ，且 ∥ ，求
例2已知 ， ， ，求证 、 、 三点共线
小结：平面向量的坐标运算
课堂练习：第111页练习A、B
课后业：第112页B 3、4、5
高一数学人必修课件向量共线的条件与轴上向量坐标运算
计算分子间的相互作用力
03
利用向量的点积等运算，可以计算分子间的相互作用力，如范
德华力、氢键等。
向量在经济学中应用
描述经济变量的变化趋势
向量可以表示经济变量的变化趋势，如价格、产量等的变化方向 和幅度。
进行经济预测和决策分析
利用向量的运算和分析方法，可以对经济变量进行预测和决策分析 ，如回归分析、时间序列分析等。
轴的正方向。
03
标记坐标
空间中的任意一点P可以用一个有序实数组(x, y, z)来表示，其中x、y、
z分别称为点P的横坐标、纵坐标和竖坐标。
空间向量在坐标系中表示方法
确定向量的起点和终点
在空间直角坐标系中，向量可以用起点和终点两个点来确定。起点为向量的始点 ，终点为向量的终点。
向量的表示方法
向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向 表示向量的方向。同时，向量也可以用坐标形式来表示，即向量的坐标等于终点 坐标减去起点坐标。
案例二
已知向量a=(2, 1, -1)和向量b=(1, -2, 3)，求向量a与向量b的和。根据空间向量的加法运算规则，可 得a+b=(2+1, 1+(-2), (-1)+3)=(3, -1, 2)。
04
向量共线与坐标运算综合 应用
平面向量与空间向量关系
平面向量是二维空间中的向量，可以 用有序数对表示，而空间向量是三维 空间中的向量，可以用有序三元组表 示。
高一数学人必修课件
向量共线的条件与轴
上向量坐标运算 汇报人：XX
20XX-01-21
目录
• 向量共线条件及性质 • 轴上向量坐标运算方法 • 空间向量在坐标系中表示方法 • 向量共线与坐标运算综合应用
8.第八讲：平面向量的坐标表示与线性运算
二．考点梳理 1．平面向量基本定理：如果 e 1 、e 2 是同一 平面内的两个不共线向量，那么对这一平
面内的任一向量 a ，有且只有一对实
数 1 、 2 ，使 a1e12e2 ．我们把不
共线向量 e 1 、e 2 叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底．
注意:
（1）基底不唯一，关键是不共线；
， O，D OD
OO
==
．．
A A C CD D B B
分析：以 OA ，OB 为基底，借助 C 、D 是 AB
的三等分点，由平面向量的基本定理可以将 OC 、 OD 线性表出．
解：因为 C 、 D 是 AB 的三等分点，所以
AC 1 AB ， BD 1 AB ,
3
3
OC OA AC OA 1 AB OA 1 (OB OA)
② 若 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则 AB DC 是四边形 ABCD为平行四边形的充要条件； ③ 若 a b ， b = c ，则 a = c ；
④ a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b ；
⑤ 若 a // b ， b // c ，则 a // c ，其中正确的序 号是
4．平面向量的坐标运算 （1）若 a(x1,y1)，b(x2,y2) ， 则 a b ( x 1 i y 1 j ) ( x 2 i y 2 j ) ，由向量线性 运算的结合律和分配律，可得
a b ( x 1 i y 1 j ) ( x 2 i y 2 j ) ( x 1 x 2 ) i ( y 1 y 2 ) j
这样，平面内的任一向量 a 都可以由 x 、y
唯一确定，我们把有序数对( x , y ) 叫做向量
a 的（直角）坐标，记作：a(x,y).
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示_知识点总结
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示_知识点总结
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示向量共线的充要条件：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得。
向量共线的几何表示：
设，其中，当且仅当时，向量共线。
向量共线（平行）基本定理的理解：
(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知,学习规律，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.。
向量的坐标运算和共线
向量的数乘运算
总结词
数乘运算是指用一个实数乘以一个向量，得到一个新的向量。
详细描述
数乘运算可以通过向量坐标的对应分量乘以一个实数来实现。假设有一个向量 $overset{longrightarrow}{A} = (a_1, a_2, a_3)$和一个实数$k$，则数乘后的向量 $koverset{longrightarrow}{A} = (ka_1, ka_2, ka_3)$。
02
CHAPTER
向量的坐标运算
向量的加法运算
总结词
向量的加法运算是指将两个向量首尾相接，形成一个 新的向量。
详细描述
向量的加法运算可以通过向量坐标的对应分量相加来实 现。假设有两个向量$overset{longrightarrow}{A} = (a_1, a_2, a_3)$和$overset{longrightarrow}{B} = (b_1, b_2, b_3)$，则它们的和向量 $overset{longrightarrow}{C} = overset{longrightarrow}{A} + overset{longrightarrow}{B} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$。
向量内积判定法
如果向量a和向量b的内积为0，并且其中一个向量的模长为0，则向量a和向量b 共线。
共线的性质
共线向量的模长比例
共线向量的线性组合
如果向量a和向量b共线，那么它们的 模长之比为λ，其中λ为非零实数。
如果向量a和向量b共线，那么它们的 线性组合也是唯一的。
共线向量的方向
共线的两个向量具有相同的方向或相 反的方向。
向量的点乘运算
向量共线条件的坐标表示教案
向量共线条件的坐标表示教案一、教学目标1. 让学生理解向量共线的概念。
2. 让学生掌握向量共线的坐标表示方法。
3. 培养学生运用向量共线条件解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 向量共线的定义2. 向量共线的坐标表示方法3. 向量共线条件的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：向量共线的概念，向量共线的坐标表示方法。
2. 教学难点：向量共线条件的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解向量共线的概念和坐标表示方法。
2. 采用案例分析法，让学生通过具体例子掌握向量共线条件的应用。
3. 采用互动提问法，激发学生的思考，提高课堂参与度。
五、教学过程1. 导入：简要介绍向量共线的概念，引导学生思考如何用坐标表示向量共线。
2. 新课讲解：a) 讲解向量共线的定义，让学生理解什么是向量共线。
b) 引入向量共线的坐标表示方法，引导学生掌握如何用坐标判断向量共线。
3. 案例分析：a) 给出具体例子，让学生运用向量共线条件解决问题。
b) 分析例子，引导学生总结向量共线条件的应用。
4. 课堂练习：a) 布置练习题，让学生巩固向量共线条件的坐标表示方法。
b) 引导学生互相讨论，共同解决问题。
5. 总结与拓展：a) 总结本节课的主要内容和知识点。
b) 提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置相关作业，让学生进一步巩固向量共线条件的坐标表示方法。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问，了解学生对向量共线条件的理解和掌握程度。
2. 练习题解答：检查学生对向量共线条件坐标表示方法的掌握情况。
3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的巩固程度。
七、教学反思1. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。
2. 反思教学内容：根据学生的掌握程度，调整教学内容，确保学生扎实掌握向量共线条件。
八、教学拓展1. 向量共线与线性方程组：引导学生探讨向量共线与线性方程组之间的关系。
2. 向量共线在几何中的应用：讲解向量共线在几何领域中的应用，如线段平分、角度平分等。
平面向量共线的坐标表示 课件
∴(x－3，y＋2)＝12(－8，1)＝－4，21.
解得P－1，－32. 答案：－1，－32
点评：把求点的坐标转化为向量共线问题．
共线向量的综合应用
如果向量 AB＝i－2j，BC ＝i＋mj，其中i、j 分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的 值使A、B、C三点共线．
二、两个向量平行(共线)的坐标表示 设非零a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b等价于 ________． 练习2：向量a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线且方向 相同，则x＝________.
二、x1y2－x2y1＝0
练习2： 2
2．设非零a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a∥b ⇔ xx12＝yy12 要满足什么条件？
∴A→B＝23A→C. ∵A→B，A→C有公共点A， ∴A、B、C三点共线．
点评： 通过证有公共点的两向量共线，从而 证得三点共线．
用共线向量的性质求坐标
若M(3，－2)，N(－5，－1)， 且 M→P＝12M→N，
则P点的坐标是________．
解析：设P(x，y)，则M→N＝(－8，1)，M→P＝(x－3，y＋2).
x＝－4
，解得y＝32
.
点评：记住已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a∥b⇔x1y2－x2y(1,3)，C(2,5)，求证
A、B、C三点共线． 分析：证向量A→B与A→C共线． 证明：∵ A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，
∴A→B＝(2，4)，A→C＝(3，6).
解析：a∥b⇔
x1＝y1 x2 y2
的适用范围是x2≠0，
y2≠0，这与要求b是非零向量是等价的．
课件8：2.3.4 平面向量共线的坐标表示
又∵θ 为锐角，∴sinθ＝ 22，θ＝45°，故选 A.
2.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3，1)，B(－1，3)，若点 C
满足O→C＝αO→A＋βO→B，其中 α、β∈R，且 α＋β＝1，则点 C 的轨迹形状
是________．
解析：∵α＋β＝1，∴β＝1－α.∴O→C＝αO→A＋(1－α)O→B. ∴O→C－O→B＝α(O→A－O→B)．∴B→C＝αB→A.
的意义不同，前者不允许
x2
和
y2
为零，
而后者允许，所以当向量 a、b 之一为零向量或向量 a、b 与坐标轴平行时，该
方法便行不通了．
题型探究
题型一 向量共线的判断 例1 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？ 平行时，它们是同向还是反向？
【解】 由已知得，ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)， ∵ka＋b 与 a－3b 平行，∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，
λ＝－71， y＝37.源自随堂练习1.已知 a＝(－2，1－cosθ)，b＝1＋cosθ，－41，且 a∥b，则锐角 θ 等于( )
A．45°
B．30°
C．60°
D．15°
解析：选 A.由 a∥b 得(－2)×－14－(1－cosθ)(1＋cosθ)＝0
即12＝1－cos2θ＝sin2θ，∴sinθ＝± 22，
代入方程(x－3)2＋(y－3)2＝4，整理得 x2＋y2＝1. ∴所求的轨迹方程为 x2＋y2＝1.
课堂小结
1.用向量的坐标判定两向量的共线，当坐标不为0时，看其坐标是否成比例． 2.三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反， 两个向量共线与两个向量平行是一致的．
向量的共线公式
向量的共线公式向量的共线公式指的是两个向量在同一直线上的条件。
当两个向量在同一直线上时，它们被称为共线向量。
共线公式是判断两个向量是否共线的一种数学公式。
在本文中，将会介绍以下内容：什么是向量，向量的性质，向量的共线性，共线公式的推导方法和应用实例。
什么是向量？向量是数学中一个重要的概念，它是两个点之间的有向线段。
向量通常表示为箭头，箭头指向的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
在直角坐标系中，一个向量可以由它的坐标表示。
向量的性质向量有以下的性质：1. 方向性：向量有明确的方向，可以用箭头来表示。
2. 数量性：向量有大小，可以用长度来表示。
3. 合成性：两个向量可以相加，合成成一个新向量。
合成向量的方向是两个原向量的方向之和，大小是两个原向量的长度之和。
4. 平移不变性：向量可以沿着直线平移而不改变它的性质。
5. 旋转不变性：向量可以绕着一个点旋转而不改变它的性质。
向量的共线性共线向量有以下的性质：1. 共线向量在同一直线上，方向相同或相反。
2. 共线向量的长度可以不同，但是它们的方向必须一致或相反。
3. 零向量与任何向量都是共线的。
4. 如果两个向量共线，那么其中一个向量可以表示为另一个向量的倍数。
也就是说，如果两个向量A和B共线，那么A=kB，其中k是一个实数。
共线公式的推导方法我们假设有两个向量A和B。
如果A和B共线，那么它们的方向相同或相反。
我们可以用向量的数量积(cosθ)来判断这两个向量的方向是否一致或相反。
向量的数量积定义为AB的模长|A|和B的模长|B|以及夹角θ的余弦值cosθ的乘积，即ABcosθ。
当A和B的方向一致时，θ=0度，如果两个向量A和B的数量积等于A的模长|A|乘以B的模长|B|，即ABcos0=|A||B|，那么这两个向量共线。
当A和B的方向相反时，θ=180度，如果两个向量A 和B的数量积等于-A的模长|A|乘以B的模长|B|，即ABcos180=-|A||B|，那么这两个向量共线。
高中数学-平面向量共线的坐标表示
例 设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2 的坐标 分别是(x1,y1),(x2,y2).
(1)当点 P是线段P1P2 的中点时,求点P的坐标;
解：由向量的线性运算可知
OP 1 2
OP1 OP2
x1 x2 , y1 y2
2
2
P1
y
P2 l
P
所以，点 P的坐标是 x1 x2 , y1 y2
∴ y=3
例 已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，判断 A、B、C三点的位置关系。
解: 在直角坐标系中作出A,B,C三点
猜想A,B,C三点共线
AB 1－－1,3－－1 2,4
AC 2－－1,5－－1 3,6
又 26 3 4 0,
AB// AC
y
C
B
1
x
A
∵ 直线AB、直线AC有公共点A
OP2 OP1
1
P1
1OP1 1OP2
y P P2 l
x1 x2 1
,
y1 y2 1
O
x
堂上练习
1.若三点P(1,1)，A(2,－4)，B(x,－9)共线,则 [ B ]
A. x 1 C. x 9
2
B. x 3 D. x 51
堂上练习
2.与向量a＝(12，5)平行的单位向量是[ C ]
A．x1y2－x2y1＝0 B．x1y3－x3y1＝0 C．(x2－x1)(y3－y1)＝(x3－x1)(y2－y1) D．(x2－x1)(x3－x1)＝(y2－y1)(y3－y1)
堂上练习
6.已知向量OA=(2,3),OB=(6,-3),点P是线段AB的 三等分点,求点P的坐标.
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第八讲 用平面向量坐标表示向量共线条件[学习目标]1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法． [知识链接]1．平行向量基本定理的内容是什么？答 如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .2．如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们是同向还是反向吗？ 答 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3，6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等． [预习导引]1．两向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． (1)当a ∥b 时，有x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)当a ∥b 且x 2y 2≠0时，有x 1x 2＝y 1y 2.即两向量的相应坐标成比例． 2．若P 1P →＝λPP 2→，则P 与P 1、P 2三点共线．当λ∈(0，＋∞)时，P 位于线段P 1P 2的内部，特别地λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点；当λ∈(－∞，－1)时，P 位于线段P 1P 2的延长线上； 当λ∈(－1,0)时，P 位于线段P 1P 2的反向延长线上. 典型例题要点一 向量共线的判定例1 已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB →与CD →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解 AB →＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)． CD →＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．方法一 ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0， ∴AB →与CD →共线且方向相反．方法二 ∵CD →＝－2AB →，∴AB →与CD →共线且方向相反．规律方法 此类题目应充分利用平行向量基本定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 跟踪演练1 已知A 、B 、C 三点坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →. 证明 设点E 、F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．依题意有，AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)．∵AE →＝13AC →，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)，∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23.同理点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0. ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又83×(－1)－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，∴EF →∥AB →. 要点二 利用向量共线求参数例2 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 方法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． 当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一的实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )，即(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，∴⎩⎨⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13(a －3b )＝－13a ＋b .∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．方法二 由方法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)． ∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0， 解得k ＝－13.此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．规律方法 由向量共线求参数的值的方法跟踪演练2 设向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？解 方法一 若A ，B ，C 三点共线，则AB →，AC →共线， 则存在实数λ，使得AB →＝λAC →. ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， ∴(4－k ，－7)＝λ(10－k ，k －12)，∴⎩⎨⎧4－k ＝λ10－k－7＝λk －12解得k ＝－2，或k ＝11.方法二 若A ，B ，C 三点共线，则AB →，AC →共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， ∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， ∴k 2－9k －22＝0，解得k ＝－2，或k ＝11. 要点三 向量共线的综合应用例3 如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 和OB 交点P 的坐标． 解 方法一 设OP →＝tOB →＝t (4,4)＝(4t,4t )， 则AP →＝OP →－OA →＝(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )， AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP →，AC →共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0， 解得t ＝34.∴OP →＝(4t,4t )＝(3,3)．∴P 点坐标为(3,3)．方法二 设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)． ∵OP →，OB →共线，∴4x －4y ＝0.① 又CP →＝(x －2，y －6)，CA →＝(2，－6)， 且向量CP →、CA →共线， ∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，∴点P 的坐标为(3,3)．规律方法 求解直线或线段的交点问题，常规方法为写出直线或线段对应的直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快． 跟踪演练3如图，在▱OABP 中，过点P 的直线与线段OA 、OB 分别相交于点M 、N ，若OM →＝xOA →，ON →＝yOB→(0＜x ＜1)． (1)求y ＝f (x )的解析式； (2)令F (x )＝1f x＋x ，判断F (x )的单调性，并给出你的证明． 解 (1)OP →＝AB →＝OB →－OA →， 则NM →＝OM →－ON →＝xOA →－yOB →， MP →＝OP →－OM →＝(OB →－OA →)－xOA → ＝－(1＋x )OA →＋OB →，又NM →∥MP →，有x －y (1＋x )＝0， 即f (x )＝x x ＋1(0＜x ＜1)．(2)由(1)得F (x )＝x ＋1x ＋x ＝x ＋1x＋1(0＜x ＜1)， 设0＜x 1＜x 2＜1，则F (x 1)－F (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＋1＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－1x 1x 2，由0＜x 1＜x 2＜1，得x 1－x 2＜0，x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0，得F(x1)－F(x2)＞0，即F(x1)＞F(x2)．∴F(x)在(0,1)上为减函数.1．下列各组的两个向量共线的是( ) A．a1＝(－2,3)，b1＝(4,6)B．a2＝(1，－2)，b2＝(7,14)C．a3＝(2,3)，b3＝(3,2)D．a4＝(－3,2)，b4＝(6，－4)答案 D解析∵－36＝2－4，∴a4∥b4，故选D.2．已知a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是( )A．1 B．－1 C．4 D．－4答案 D解析∵a∥b，∴(－1)×y－2×2＝0，∴y＝－4.3．若点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)三点共线，则使AB→＝λBC→成立的实数λ的值为( )A．－2 B．0 C．1 D．2答案 D解析AB→＝(2,4)，BC→＝(x－1,2)，∵A，B，C三点共线，∴AB→与BC→共线，∴2×2－4(x－1)＝0，∴x＝2，∴BC→＝(1,2)．∴AB→＝2BC→，∴λ＝2.故选D.4．给定两个向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若a＋2b与2a－2b共线，求λ的值．解∵a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，又a＋2b与2a－2b共线，∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，∴λ＝1 2 .1.两个向量共线条件的表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)当b≠0时，a＝λb.(2)x1y2－x2y1＝0.(3)当x2y2≠0时，x1x2＝y1y2，即两向量的相应坐标成比例．2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．。