高中数学必修一(A)

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高中数学必修第一册(人教A版)第二章2.2基本不等式

《基本不等式》教学设计一、教学对象高一三班，班级学生基础稍微薄弱，通过本节课学生能掌握基本不等式的基本应用及其变形，锻炼学生数形结合不同角度的理解能力.二、教材分析本节选自《普通高中教科书·数学必修第一册（人教A版）》的第二章2.2基本不等式，本节课主要是先利用初中学过的完全平方得到基本不等式；并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义基础上，引导学生给出基本不等式的代数证明和几何解释；与此同时让学生学会简单应用.算术平均数与几何平均数是不等式这一章的核心，对于不等式的证明及利用基本不等式求最值等应用问题都起到工具性作用.通过本章的学习有利于学生对后面不等式的证明及函数最值、值域的进一步研究，起到铺垫的作用，因此决定了它的重要地位.三、教学目标本节课本着新高考评价体系的“立德树人、服务选才、引导教学”这一高考核心立场，提出如下教学目标：必备知识：1.知道基本不等式的几何背景，能结合具体实例解释基本不等式成立的条件，会运用所学知识证明基本不等式，并能在证明过程中分析不等式成立的条件.2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，从中领会不等式成立时的三个限制条件（一正、二定、三相等）在求解实际问题的最值中的作用.关键能力：1.用基本不等式数学模型解决实际问题的能力.2.通过适当引导，进一步提高学生独立思考、分析问题、解决问题的能力.学科素养：1.从几何和代数两角度论证基本不等式，培养学生数形结合的思想、直观想象的学科素养.2.结合具体实例，培养学生逻辑推理的数学素养.3.通过解决实际问题，培养学生数学建模和数学抽象的数学素养.核心价值:通过适当引导，加强学生社会主义核心价值体系教育，增强学生社会责任感，形成正确核心价值观.四、教学重点、难点重点：基本不等式的定义、证明方法和几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题.难点：基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题.五、教学方法与手段教学方法：诱思探究教学法.学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结.教学手段：多媒体辅助教学.六、教学过程（一）基本不等式的定义导入以线段a ,b的和为直径作圆，过点C作垂直于直径AB的弦DE，依次连接AD、BD.问题1：你能用a ,b表示我的们的半弦CD吗？如果我们连接OD,用a ,b表示半径呢？师生活动：（思考片刻）一块回答CD=ab，2ba.问题2：显然半径大于半弦，点C在直径上运动时是否始终半径大于半弦？能否相等？(几何画板展示点C运动状态下的半径与半弦)师生活动：始终半径大于等于半弦（点C与圆心重合时相等）师生一块完善基本不等式，并指出算术平均数和几何平均数，及其基本不等式的文字表述.设计意图：不等式的几何解释是教学的重、难点，直接通过几何图形，将半径和半弦放到直角三角形中，并结合几何画板动态展示，使学生通过直观感知就得到了半径是不小于半弦，从而突破难点的同时引入了我们的基本不等式.（二）基本不等式的证明问题3：我们已经从几何图形直观感知得到了基本不等式，你能从其他角度证明我们的基本不等式吗？结合我们上节课学过的比较两个代数式大小的方法.师生活动：根据提示能迅速想到作差法，并书写证明过程，师生一块补充完善.设计意图：根据不等式的性质，用作差法证明基本不等式，让学生从数形两个角度分别论证基本不等式，培养学生的数形结合思想.（三）基本不等式的应用例1 已知x , y 都是正数，求证：(1)如果和x + y 等于定值S,那么当x=y 时，x y 有最大值214S(2)如果积x y 等于定值P ,那么当x=y 时，x + y 有最小值师生活动：师生一起分析后，由学生思考并让学生在黑板上书写证明过程，师生一块补充完善.问题4：通过本题，你能说说用基本不等式能解决什么样的问题吗？师生活动：学生思考后回答，教师总结：满足“两个正数的和为定值，积有最大值”“积为定值和有最小值”并且总结应用基本不等式求最值时应满足的三个条件.设计意图：用本例示范基本不等式可以用来求最值，并且应用时要满足的条件，为后面的应用作铺垫.12x x x 例：(1)已知>0,求+的最小值.111x x x >-+(2)已知,求+的最小值.2--x x ≤≤(3)已知11,求1的最大值. 问题5：代数式是和式形式，结合例1，是否可以利用基本不等式求它的最小值？师生活动：学生思考后回答。

必修一高中数学人教版A版必修一第三单元3.1.1方程的根与函数的零点

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§3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
学习目标 1.理解函数零点的定义，会求某些函数的零点(重点).2.掌握函数零点的判定方法(重、难点).3.了解函数的零点与方程的根的联系(重点)．
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预习教材 P86－P88，完成下面问题：知识点 1 函数的零点
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课堂小结
1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．
答案 C
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题型三判断函数零点所在的区间
【例3】 (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间
是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
是 0，－12. 答案 0，－12
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题型二确定函数零点的个数
【例 2】判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－34x＋58； (2)f(x)＝ln x＋x2－3. 解 (1)由 f(x)＝0，即 x2－34x＋58＝0，得 Δ＝－342－4×58＝－3116<0，所以方程 x2－34x＋58＝0 没有实数根，即 f(x)零点的个数为 0.

人教A版高中数学必修1全册课后习题(附解析)

结合全新各地模拟考试相关题目人教A版高中数学必修1全册课后习题（附解析）第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第1课时集合的概念与几种常见的数集课后巩固1.设集合A={2,4,5},B={2,4,6},若x∈A,且x∉B,则x的值为()A.2B.4C.5D.62.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是()A.3.14B.-5C.D.是实数,但不是有理数,故选D.3.若集合A只含有元素a,则下列各式正确的是()A.0∈AB.a∉AC.a∈AD.a=AA中只有一个元素a,∴0∉A,a∈A,元素a与集合A的关系不应该用“=”,故选C.4.下列对象能构成集合的是()A.高一年级全体较胖的学生B.sin 30°,sin 45°,cos 60°,1C.全体很大的自然数D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点较胖”与“很大”的标准不明确,所以A、C不能构成集合;对于B,由于sin 30°=cos 60°=,不满足集合中元素的互异性,故B错误;对于D,平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点,可知这个点就是△ABC外接圆的圆心,满足集合的定义,故选D.5.(多选题)下列关系正确的有()A.∈RB.∉RC.|-3|∈ND.|-|∈Q中,∈R,正确;B中,∉R,错误;C中,|-3|∈N,正确;D中,|-|∈Q,错误,所以正确的个数是两个,故选A,C.6.已知集合S中的元素a,b是一个四边形的两条对角线的长,那么这个四边形一定不是()A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形,所以a≠b,即四边形对角线不相等,故选C.7.已知集合A中含有2个元素x+2和x2,若1∈A,则实数x的值为.x+2=1或x2=1,所以x=1或x=-1.当x=-1时,x+2=x2,不符合题意,所以x=-1舍去;当x=1时,x+2=3,x2=1,满足题意.故x=1.8.设P,Q为两个非空实数集合,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q中元素的个数是.a∈P,b∈Q,则a+b的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11,则组成的集合P+Q中有8个元素.9.已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.(1)若-3是集合A中的元素,试求实数a的值;(2)-5能否为集合A中的元素?若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.因为-3是集合A中的元素,所以-3=a-3或-3=2a-1.若-3=a-3,则a=0,此时集合A含有两个元素-3,-1,符合要求;若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A中含有两个元素-4,-3,符合要求.综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.(2)若-5为集合A中的元素,则a-3=-5,或2a-1=-5.当a-3=-5时,解得a=-2,此时2a-1=2×(-2)-1=-5,显然不满足集合中元素的互异性;当2a-1=-5时,解得a=-2,此时a-3=-5,显然不满足集合中元素的互异性.综上,-5不能为集合A中的元素.10.已知集合A中含有3个元素:x,,1,B中含有3个元素:x2,x+y,0,若A=B,则x2 017+y2 018=.A=B,∴解得则x2 017+y2 018=(-1)2 017+02 018=-1.11.设x,y,z是非零实数,若a=,则以a的值为元素的集合中元素的个数是.x,y,z都是正数时,a=4;当x,y,z都是负数时,a=-4;当x,y,z中有一个是正数另两个是负数或有两个是正数另一个是负数时,a=0.所以以a的值为元素的集合中有3个元素.12.设A是由一些实数构成的集合,若a∈A,则∈A,且1∉A.(1)若3∈A,求集合A;(2)证明:若a∈A,则1-∈A;(3)集合A中能否只有一个元素?若能,求出集合A;若不能,说明理由.3∈A,∴=-∈A,∴∈A,∴=3∈A,∴A=.a∈A,∴∈A,∴=1-∈A.A只有一个元素,记A={a},则a=,即a2-a+1=0有且只有一个实数解.∵Δ=(-1)2-4=-3<0,∴a2-a+1=0无实数解.这与a2-a+1=0有且只有一个实数解相矛盾,故假设不成立,即集合A中不能只有一个元素.第2课时集合的表示课后巩固1.已知集合A={x|x(x+4)=0},则下列结论正确的是()A.0∈AB.-4∉AC.4∈AD.2∈AA={x|x(x+4)=0}={0,-4},∴0∈A.2.一次函数y=x+2和y=-2x+8的交点组成的集合是()A.{2,4}B.{x=2,y=4}C.(2,4)D.{(x,y)|x=2且y=4}解得∴一次函数y=x+2与y=-2x+8的图象的交点为(2,4),∴组成的集合是{(x,y)|x=2且y=4}.3.集合用描述法可表示为()A. B.C. D.3,,即,从中发现规律,x=,n∈N*,故可用描述法表示为.4.已知集合A=m y=∈N,m∈N,用列举法表示集合A=.集合A=m y=∈N,m∈N,∴A={1,2,4}.5.(一题多空题)设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,则a=,集合A用列举法表示为.4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4,∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.6.用列举法表示下列集合:(1)方程组的解集;(2)不大于10的非负奇数集;(3)A=.由故方程组的解集为{(2,1)}.(2)不大于10,即小于或等于10,非负是大于或等于0,故不大于10的非负奇数集为{1,3,5,7,9}.(3)由式子可知4-x的值为1,2,3,6,从而可以得到x的值为3,2,1,-2,所以A={-2,1,2,3}.7.用另一种形式表示下列集合:(1){绝对值不大于3的整数};(2){所有被3整除的数};(3){x|x=|x|,x∈Z且x<5};(4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z}.绝对值不大于3的整数可以表示为{x||x|≤3,x∈Z},也可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3};(2){x|x=3n,n∈Z};(3)∵x=|x|,∴x≥0.∵x∈Z且x<5,∴{x|x=|x|,x∈Z且x<5}还可表示为{0,1,2,3,4};(4){-2}.(特别注意x∈Z这一约束条件)8.用适当的方法表示下列集合:(1)大于2且小于5的有理数组成的集合;(2)24的所有正因数组成的集合;(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合.用描述法表示为{x|2<x<5且x∈Q}.(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.(3)在平面直角坐标系内,点(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,所以该集合用描述法表示为{(x,y)||y|=|x|}.能力提升1.已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},R={x|x=4k+1,k∈Z},a∈P,b∈Q,则()A.a+b∈PB.a+b∈QC.a+b∈RD.a+b不属于P,Q,R中的任意一个a=2m(m∈Z),b=2n+1(n∈Z),则a+b=2m+2n+1=2(m+n)+1.因为m+n∈Z,与集合Q中的元素特征x=2k+1(k∈Z)相符合,所以a+b∈Q,故选B.2.已知集合A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},则B中所含元素的个数为.A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},所以B={(1,1)},只有一个元素.3.如图,用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M=.(x,y)xy≥0,-2≤x≤,-1≤y≤4.已知集合A={x|ax2-3x+2=0},其中a为常数,且a∈R.(1)若A中至少有一个元素,求a的取值范围;(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.当A中恰有一个元素时,若a=0,则方程化为-3x+2=0,此时关于x的方程ax2-3x+2=0只有一个实数根x=;若a≠0,则令Δ=9-8a=0,解得a=,此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个相等的实数根.当A中有两个元素时,则a≠0,且Δ=9-8a>0,解得a<,且a≠0,此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根.综上,a≤时,A中至少有一个元素.(2)当A中没有元素时,则a≠0,Δ=9-8a<0,解得a>,此时关于x的方程ax2-3x+2=0没有实数根.当A中恰有一个元素时,由(1)知,此时a=0或a=.综上,a=0或a≥时,A中至多有一个元素.1.2集合间的基本关系课后巩固1.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则()A.A⊆BB.C⊆BC.D⊆CD.A⊆D.2.下列集合中表示空集的是()A.{x∈R|x+5=5}B.{x∈R|x+5>5}C.{x∈R|x2=0}D.{x∈R|x2+x+1=0}分别表示的集合为{0},{x|x>0},{0},∵x2+x+1=0无解,∴{x∈R|x2+x+1=0}表示空集.3.(多选题)下列命题中,错误的是()A.空集没有子集B.任何集合至少有两个子集C.空集是任何集合的真子集D.若⌀⫋A,则A≠⌀错,空集是任何集合的子集;B错,如⌀只有一个子集;C错,空集不是空集的真子集;D正确,因为空集是任何非空集合的真子集.4.设集合A={-1,0,1},B={a,a2},则使B⊆A成立的a的值是()A.-1B.0C.1D.-1或1B⊆A,∴∴a=-1.5.满足{1}⊆A⊆{1,2,3}的集合A的个数是()A.2B.3C.4D.8满足{1}⊆A⊆{1,2,3}的集合A为:{1},{1,2},{1,3},{1,2,3},共4个.6.设集合M={y|y=x2+1},N={x|y=x2+1},能正确表示集合M与集合N的关系的Venn图是()M={y|y=x2+1}={y|y≥1},N={x|y=x2+1}=R,∴M⫋N,对应的Venn图是D.7.集合{x|1<x<6,x∈N*}的非空真子集的个数为.{x|1<x<6,x∈N*}={2,3,4,5},有4个元素,故有非空真子集24-2=14(个).8.下列各组中的两个集合相等的所有序号是.①P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z};②P={x|x=2n-1,n∈N*},Q={x|x=2n+1,n∈N*};③P={x|x2-x=0},Q=x x=,n∈Z.中对于Q,n∈Z,所以n-1∈Z,Q表示偶数集,所以P=Q;②中P是由1,3,5,…所有正奇数组成的集合,Q是由3,5,…所有大于1的正奇数组成的集合,1∉Q,所以集合P与集合Q不相等;③中P={0,1},Q中当n为奇数时,x==0;当n为偶数时,x==1,Q={0,1},所以P=Q.9.集合A={x|-1≤x≤1},B={x|a-1≤x≤2a-1},若B⊆A,则实数a的取值范围是.B=⌀,即2a-1<a-1,即a<0时,满足B⊆A.若B≠⌀,即a-1≤2a-1,即a≥0时,要使B⊆A,则满足解得0≤a≤1.综上:a≤1.≤110.已知集合A={1,3,-x3},B={x+2,1},是否存在实数x,使得B是A的子集?若存在,求出集合A,B;若不存在,请说明理由.B是A的子集,所以B中元素必是A中的元素,若x+2=3,则x=1,符合题意.若x+2=-x3,则x3+x+2=0,所以(x+1)(x2-x+2)=0.因为x2-x+2≠0,所以x+1=0,所以x=-1,此时x+2=1,集合B中的元素不满足互异性.综上所述,存在实数x=1,使得B是A的子集,此时A={1,3,-1},B={1,3}.能力提升1.M={x|6x2-5x+1=0},P={x|ax=1},若P⊆M,则a的取值集合为()A.{2}B.{3}C.{2,3}D.{0,2,3}{x|6x2-5x+1=0}=,P={x|ax=1}.∵P⊆M,∴P=⌀或P=或P=, ∴相应地,有a=0或a=3或a=2.∴a的取值集合为{0,2,3}.2.已知集合A=x x=(2k+1),k∈Z,B=x x=k±,k∈Z,则集合A,B之间的关系为.A,k=2n时,x=(4n+1)=,n∈Z,当k=2n-1时,x=(4n-2+1)=,n∈Z, 即集合A=x x=,n∈Z,由B=x x=,k∈Z,可知A=B.3.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},(1)若B⊆A,求实数m的取值范围.(2)当x∈Z时,求A的非空真子集个数.(3)当x∈R时,没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.当m+1>2m-1即m<2时,B=⌀,满足B⊆A.当m+1≤2m-1即m≥2时,要使B⊆A成立,需可得2≤m≤3.综上,m≤3时有B⊆A.(2)当x∈Z时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},所以A的非空真子集个数为:28-2=254.(3)∵x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},没有元素x使x∈A与x∈B同时成立.则①若B=⌀,即m+1>2m-1,得m<2时满足条件.②若B≠⌀,则要满足条件:解得m>4.综上,有m<2或m>4.1.3集合的基本运算第1课时并集和交集课后巩固1.设集合A={0,2,4,6,8,10},B={x|2x-3<4},则A∩B=()A.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2}D.{2,4,6}{x|x<3.5},又A={0,2,4,6,8,10},∴A∩B={0,2}.2.已知集合M={-1,0,1,2}和N={0,1,2,3}的关系的Venn图如图所示,则阴影部分所表示的集合是()A.{0}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}M∩N={0,1,2},故选C.3.设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=()A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}4.集合A={0,2,a},B={1,a2}.若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为()A.0B.1C.2D.4A={0,2,a},B={1,a2},A∪B={0,1,2,4,16},∴∴a=4.故选D.5.已知集合A={x|x<1或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则2a-b=.,可知a=1,b=6,∴2a-b=-4.6.已知关于x的方程3x2+px-7=0的解集为A,方程3x2-7x+q=0的解集为B,若A∩B=,求A∪B.A∩B=,∴-∈A且-∈B.由-∈A,设3x2+px-7=0的另一根为m.由根与系数的关系得m=-,解得m=7.∴A=,同理B=,∴A∪B=.7.已知集合A={x|-2<x<3},B={x|m<x<m+9}.(1)若A∪B=B,求实数m的取值范围;(2)若A∩B≠⌀,求实数m的取值范围.A∪B=B,∴A⊆B,∴解得-6≤m≤-2,∴实数m的取值范围是[-6,-2].(2)当A∩B=⌀时,3≤m或者m+9≤-2,解得m≥3或m≤-11,∴A∩B≠⌀时,-11<m<3,∴实数m的取值范围是(-11,3).能力提升1.设A={x|2≤x≤6},B={x|2a≤x≤a+3},若A∪B=A,则实数a的取值范围是()A.[1,3]B.[3,+∞)C.[1,+∞)D.(1,3)A∪B=A,∴B⊆A,当B=⌀时,2a>a+3,解得a>3;当B≠⌀时,且a≤3,解得1≤a≤3.综上,a≥1.∴实数a的取值范围是[1,+∞).2.(一题多空题)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|-1<x≤4},C={x|-3<x<2},且集合A∩(B∪C)={x|a≤x≤b},则a=,b=.B∪C={x|-3<x≤4},∴A⫋(B∪C).∴A∩(B∪C)=A,由题意{x|a≤x≤b}={x|-1≤x≤2}.∴a=-1,b=2.第2课时补集及其应用课后提升1.已知全集U={1,2,3,4,5},∁U A={1,3,5},则A=()A.{1,2,3,4,5}B.{1,3,5}C.{2,4}D.⌀全集U={1,2,3,4,5},∁U A={1,3,5},∴A={2,4}.2.已知集合A={x|-1<x-3≤2},B={x|3≤x<4},则∁A B=()A.(2,3)∪(4,5)B.(2,3]∪(4,5]C.(2,3)∪[4,5]D.(2,3]∪[4,5]{x|2<x≤5},因为B={x|3≤x<4},所以∁A B=(2,3)∪[4,5].3.若全集U={1,2,3,4,5},且∁U A={x∈N|1≤x≤3},则集合A的真子集共有()A.3个B.4个C.7个D.8个A={1,2,3},所以A={4,5},其真子集有22-1=3个,故选A.U4.设全集U=R,集合A={x|x≤3},B={x|x≤6},则集合(∁U A)∩B=()A.{x|3<x≤6}B.{x|3<x<6}C.{x|3≤x<6}D.{x|3≤x≤6}U=R,集合A={x|x≤3},B={x|x≤6},则集合∁U A={x|x>3},所以(∁U A)∩B={x|3<x≤6}.5.已知全集U={1,3,5,7},集合A={1,3},B={3,5},则如图所示阴影区域表示的集合为()A.{3}B.{7}C.{3,7}D.{1,3,5},知A∪B={1,3,5},如图所示阴影区域表示的集合为∁U(A∪B)={7}.6.已知集合U={2,3,a2+2a-3},A={2,3},∁U A={5},则实数a的值为.5∈U,故得a2+2a-3=5,即a2+2a-8=0,解得a=-4或a=2.当a=-4时,U={2,3,5},A={2,3},符合题意.当a=2时,U={2,3,5},A={2,3},符合题意.所以a=-4或a=2.7.(一题多空题)设集合U=-2,,2,3,A={x|2x2-5x+2=0},B=3a,,若∁U A=B,则a=,b=.A={x|2x2-5x+2=0}=,2,∁U A=B,故B={-2,3},则3a=3,=-2,所以a=1,b=-2.-28.已知全集U=R,集合A={x|-5<x<5},B={x|0≤x<7},求:(1)A∩B;(2)A∪B;(3)A∪(∁U B);(4)B∩(∁U A);(5)(∁U A)∩(∁U B).①.(1)A∩B={x|0≤x<5}.(2)A∪B={x|-5<x<7}.图①(3)如图②.图②∁U B={x|x<0,或x≥7},∴A∪(∁U B)={x|x<5,或x≥7}.(4)如图③.图③∁U A={x|x≤-5,或x≥5},B∩(∁U A)={x|5≤x<7}.(5)(方法一)∵∁U B={x|x<0,或x≥7},∁U A={x|x≤-5,或x≥5},∴如图④.图④(∁U A)∩(∁U B)={x|x≤-5,或x≥7}.(方法二)(∁U A)∩(∁U B)=∁U(A∪B)={x|x≤-5,或x≥7}.9.已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤2},若B∪(∁R A)=R,B∩(∁R A)={x|0<x<1,或2<x<3},求集合B.A={x|1≤x≤2},∴∁R A={x|x<1,或x>2}.又B∪(∁R A)=R,A∪(∁R A)=R,可得A⊆B.而B∩(∁R A)={x|0<x<1,或2<x<3},∴{x|0<x<1,或2<x<3}⊆B.借助于数轴可得B=A∪{x|0<x<1,或2<x<3}={x|0<x<3}.能力提升1.设全集U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},(∁U A)∩B={4},(∁U A)∩(∁U B)={1,5},则下列结论正确的是()A.3∉A,且3∉BB.3∉B,但3∈AC.3∉A B.3∈A,且3∈BA∩B={2},故2∈B,且2∈A,(∁U A)∩B={4},所以4∈B但4∉A,(∁U A)∩(∁U B)=∁U(A∪B)={1,5},故1∉A,1∉B且5∉A,5∉B,所以3∉B,但3∈A.2.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合∁U(A∪B)中的元素个数为()A.1B.2C.3D.4A={1,2},B={x|x=2a,a∈A}={2,4},∴A∪B={1,2,4},∴∁U(A∪B)={3,5},故选B.3.设全集U={1,2,3,4,5,6},且U的子集可表示为由0,1组成的6位字符串,如:{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1,第4个字符为1,其余字符均为0的6位字符串010100,并规定空集表示的字符串为000000.(1)若M={2,3,6},则∁U M表示的6位字符串为;(2)已知A={1,3},B⊆U,若集合A∪B表示的字符串为101001,则满足条件的集合B的个数是.由已知得,∁U M={1,4,5},则∁U M表示的6位字符串为100110.(2)由题意可知A∪B={1,3,6},而A={1,3},B⊆U,则B可能为{6},{1,6},{3,6},{1,3,6},故满足条件的集合B的个数是4.(2)44.设U=R,集合A={x|x2-x-2=0},B={x|x2+mx+m-1=0}.(1)当m=1时,求(∁R B)∩A;(2)若(∁U A)∩B=⌀,求实数m的取值.x2-x-2=0,即(x+1)(x-2)=0,解得x=-1或x=2.故A={-1,2}.(1)当m=1时,方程x2+mx+m-1=0为x2+x=0,解得x=-1或x=0.故B={-1,0},∁R B={x|x≠-1,且x≠0}.所以(∁R B)∩A={2}.(2)由(∁U A)∩B=⌀可知,B⊆A.方程x2+mx+m-1=0的判别式Δ=m2-4×1×(m-1)=(m-2)2≥0.①当Δ=0,即m=2时,方程x2+mx+m-1=0为x2+2x+1=0,解得x=-1,故B={-1}.此时满足B⊆A.②当Δ>0,即m≠2时,方程x2+mx+m-1=0有两个不同的解,故集合B中有两个元素.又因为B⊆A,且A={-1,2},所以A=B.故-1,2为方程x2+mx+m-1=0的两个解,由根与系数之间的关系可得解得m=-1.综上,m的取值为2或-1.1.4充分条件与必要条件课后巩固1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.2.设a,b∈R,则“a>b”是“a2>b2”的()A.充分必要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件a=1,b=-4,满足a>b,此时a2>b2不成立;若a2>b2,如a=-4,b=1,此时a>b不成立.3.的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件当x=1,y=7时,满足但不能满足故为必要不充分条件.4.设集合A={1,a2,-2},B={2,4},则“a=2”是“A∩B={4}”的()条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要“a=2”时,显然“A∩B={4}”;但当“A∩B={4}”时,a可以为-2,故不能推出“a=2”.5.已知p:a≠0,q:ab≠0,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件≠0,不一定有ab≠0,如b=0时;但是ab≠0则一定需a≠0.6.已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么:(1)s是q的什么条件?(2)p是q的什么条件?∵q⇒s,s⇒r⇒q,∴s是q的充分也是必要条件.(2)∵q⇒s⇒r⇒p,∴p是q的必要条件.7.设x,y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.:如果xy=0,那么,①x=0,y≠0;②x≠0,y=0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0,当x>0,y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|,当x<0,y<0时,|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|,总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|.必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,得|xy|=xy,所以xy≥0,故必要性成立.综上,原命题成立.能力提升1.已知条件p:x>1,条件q:≤1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件≤1,得-1≤0,≤0,即x≥1或x<0.所以由p能推出q,反之不成立.故p是q的充分不必要条件.2.已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.:因为a+b=1,所以a+b-1=0.所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.充分性:因为a3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,又ab≠0,所以a≠0且b≠0.因为a2-ab+b2=b2>0,所以a+b-1=0,即a+b=1.综上可得,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.1.5全称量词与存在量词课后巩固1.下列命题中全称量词命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.A.0B.1C.2D.32.命题“∃x∈R,使得x+1<0”的否定是()A.∀x∈R,均有x+1<0B.∀x∈R,均有x+1≥0C.∃x∈R,使得x+1≥0D.∃x∈R,使得x+1=03.已知命题p:某班所有的男生都爱踢足球,则命题p为()A.某班至多有一个男生爱踢足球B.某班至少有一个男生不爱踢足球C.某班所有的男生都不爱踢足球D.某班所有的女生都爱踢足球p是一个全称量词命题,它的否定是一个存在量词命题.4.下列四个命题中,既是存在量词命题又是真命题的是()A.斜三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x,使x3>0C.任一无理数的平方必是无理数D.存在一个负数x,使>2A,C中的命题是全称量词命题,选项D中的命题是存在量词命题,但是假命题.只有B既是存在量词命题又是真命题.5.已知命题p:∀x>3,x>m成立,则实数m的取值范围是()A.m≤3B.m≥3C.m<3D.m>3x>3,x>m恒成立,即大于3的数恒大于m,所以m≤3.6.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为.,所以命题可改写为“∃x<0,(1+x)(1-9x)>0”.x<0,(1+x)(1-9x)>07.已知命题p“∃x≥3,使得2x-1<m”是假命题,则实数m的最大值是.p“∃x≥3,使得2x-1<m”是假命题,所以“∀x≥3,使得2x-1≥m”是真命题,故m≤5.8.用符号“∀”(“∀”表示“任意”)或“∃”(“∃”表示“存在”)表示下面的命题,并判断真假:(1)实数的平方大于或等于0;(2)存在一对实数(x,y),使2x-y+1<0成立.这是全称量词命题,隐藏了全称量词“所有的”.改写后命题为:∀x∈R,x2≥0,它是真命题.(2)改写后命题为:∃(x,y),x∈R,y∈R,2x-y+1<0,它是真命题.如x=0,y=2时,2x-y+1=0-2+1=-1<0成立.能力提升1.“x∈R,关于x的不等式x3+1>0有解”等价于()A.∃x∈R,使得x3+1>0成立B.∃x∈R,使得x3+1≤0成立C.∀x∈R,使得x3+1>0成立D.∀x∈R,使得x3+1≤0成立x∈R,“关于x的不等式x3+1>0有解”为存在量词命题,则根据存在量词命题的定义可知命题等价为∃x∈R,使得x3+1>0成立.2.命题“∀x∈R,x2-2ax+1>0”是假命题,则实数a的取值范围是.,命题“∀x∈R,x2-2ax+1>0”是假命题,可得出二次函数与x轴有公共点, 又由二次函数的性质,可得Δ≥0,即4a2-4≥0,解得a≤-1或a≥1.-∞,-1]∪[1,+∞)3.已知命题p:∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0成立,命题q:∃x∈R,ax2-2ax-3>0不成立,若p假q真,求实数a的取值范围.p:∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0是假命题,所以命题p:∃x∈R,x2+(a-1)x+1<0是真命题,则Δ=(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4,故a-1<-2或a-1>2,即a<-1或a>3.因为命题q:∃x∈R,ax2-2ax-3>0不成立,所以命题q:∀x∈R,ax2-2ax-3≤0成立,当a=0时,-3<0成立;当a<0时,必须Δ=(-2a)2+12a≤0,即a2+3a≤0,解得-3≤a<0,故-3≤a≤0.综上所述,-3≤a<-1.所以实数a的取值范围是[-3,-1).。

人教版高一数学A必修1全册例题讲解及练习题(65页)

（i）若 a = 0 时，得 N = Æ ，此时， N Í M ；
（ii）若 a ¹ 0 时，得 N
1 ={ }.
若N
ÍM
,满足 1
= 2或 1
= -3 ，解得 a =
1 或a = - 1 .
a
a
a
2
3
故所求实数 a 的值为 0 或 1 或 - 1 . 23
点评：在考察“ A Í B ”这一关系时，不要忘记“ Æ ” ，因为 A = Æ 时存在 A Í B . 从而需要分情况讨
第 1～27 练答案 …………………………（55～65）
《新课标高中数学必修①精讲精练》——精讲
第一章集合与函数概念
第 1 讲 §1.1.1 集合的含义与表示
¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
A ¹Ì B（或 B ¹É A）.
4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作 Æ ，并规定空集是任何集合的子集. 5. 性质： A Í A ；若 A Í B ， B Í C ，则 A Í C ；
若 A I B = A ，则 A Í B ；若 A U B = A ，则 B Í A .
={x |
x
=
2n +1,n 2
Î Z} ，易知
B ¹Ì
A，故答案选
A．
{ } 【例 3】若集合 M = x | x2 + x - 6 = 0 , N = {x | ax - 1 = 0} ，且 N Í M ，求实数 a 的值.

人教高中数学A版必修一课件第3章第1课时函数的单调性

第三章函数的概念与性质
求函数的单调区间画出函数 y＝－x2＋2|x|＋3 的图象，并指出函数的单调区间．【解】 y＝－x2＋2|x|＋3＝－－（（xx－＋11））22＋＋44，，xx≥ <00. ，函数图象如图所示．
第三章函数的概念与性质
函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数．所以函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0， 1]，单调递减区间是[－1，0]和[1，＋∞)．
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，3]
解析：选 D.y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故减区间为(－∞，3]．
第三章函数的概念与性质
2．设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调增区间，且 x1∈(a，b)，x2
∈(c，d)，x1<x2，则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为( )
函数单调性的判定与证明证明函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．
【证明】 ∀x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42 ＝(x1－x2)＋4（xx21－x2x1）
第三章函数的概念与性质
＝（x1－x2）x1（x2x1x2－4）. 因为 2＜x1＜x2，所以 x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0，所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)，所以函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．
■名师点拨 (1)增减函数定义中 x1，x2 的三个特征 ①任意性：定义中符号“∀”不能去掉，应用时不能以特殊代替一般； ②有大小：一般令 x1<x2； ③同区间：x1 和 x2 属于同一个单调区间． (2)增减函数与自变量、函数值的互推关系 ①x1<x2，f(x1)<f(x2)，符号一致⇔增函数； ②x1<x2，f(x1)>f(x2)，符号相反⇔减函数．

高中必修1数学a版教案设计

高中必修1数学a版教案设计
教学内容：平面向量
教学目标：学生能够理解和掌握平面向量的概念、运算规则和性质。

教学重点：平面向量的定义、加法、减法、数量积和平行四边形法则。

教学难点：向量的线性运算和向量的性质证明。

教学方法：讲授、示范、实践。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过讲解实际生活中的例子引入平面向量的概念，让学生了解向量的作用和重要性。

二、讲解平面向量的定义和基本性质（15分钟）
教师讲解平面向量的定义、零向量和单位向量的概念，介绍向量的加法和减法规则，并讲解向量的数量积和平行四边形法则。

三、练习与巩固（20分钟）
让学生进行练习，进行向量的加法、减法和数量积计算，巩固所学内容。

四、拓展与应用（15分钟）
引入实际生活中的问题，让学生通过向量的概念和运算规则解决问题，培养学生的应用能力和创新思维。

五、总结与反思（5分钟）
让学生总结本节课所学内容，并检查自己的学习情况，有针对性地进行巩固和提高。

教学过程中，教师要注重激发学生的学习兴趣和主动性，引导学生通过思考和实践提高自己的数学能力。

同时，要根据学生的不同水平和特点，采用灵活多样的教学方式，确保每个学生都能够达到预设的教学目标。

(人教A版)高中数学必修一(全套)课时练习+单元测试卷全集

（人教A版）高中数学必修一（全册）课时练习+单元测试卷汇总第1课时集合的含义第2课时集合的表示(2)当M中只含两个元素时, 其元素只能是x和8－x,所以元素个数为2的所有的集合M为{0,8}, {1,7}, {2,6}, {3,5}．(3)满足条件的集合M是由集合{4}, {0,8}, {1,7}, {2,6}, {3,5}中的元素组成, 它包括以下情况：①{4}, {0,8}, {1,7}, {2,6}, {3,5}, 共5个；②{4,0,8}, {4,1,7}, {4,2,6}, {4,3,5}, {0,8,1,7}, {0,8,2,6}, {0,8,3,5}, {1,7,2,6}, {1,7,3,5}, {2,6,3,5}, 共10个；③{4,0,8,1,7}, {4,0,8,2,6}, {4,0,8,3,5}, {4,1,7,2,6}, {4,1,7,3,5}, {4,2,6,3,5}, {0,8,1,7,2,6}, {0,8,1,7,3,5}, {1,7,2,6,3,5}, {0,8,2,6,3,5}, 共10个；④{4,0,8,1,7,2,6}, {4,0,8,1,7,3,5}, {4,0,8,2,6,3,5}, {4,1,7,2,6,3,5}, {0,8,1,7,2,6,3,5}, 共5个；⑤{4,0,8,1,7,2,6,3,5}, 共1个．于是满足题设条件的集合M共有5＋10＋10＋5＋1＝31(个)．A BB A且空集的子集只有一个A{3,4,9},A⊆B A＝BA B A BZ), 当A B答案：D解析：因为N ＝{x |x ≤k }, 又M ＝{x |－1≤x <2}, 所以当M ⊆N 时, k ≥2.6．已知集合P ＝{x |x 2＝1}, 集合Q ＝{x |ax ＝1}, 若Q ⊆P , 则a 的值为( ) A ．1 B ．－1C ．1或－1D ．0,1或－1 答案：D解析：P ＝{－1,1}, 当a ＝0时, Q ＝∅, 当a ≠0时, Q ＝{x |x ＝1a }, ∵Q ⊆P , ∴a ＝0或a ＝±1.二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)7．用适当的符号填空． (1)0________{x |x 2＝0}；(2)∅________{x ∈R |x 2＋1＝0}； (3){0,1}________N ；(4){0}________{x |x 2＝x }；(5){2,1}________{x |x 2－3x ＋2＝0}．答案：(1)∈ (2)＝ (3) (4) (5)＝8．已知集合P ＝{x |0<x －a ≤2}, Q ＝{x |－3<x ≤4}, 若P ⊆Q , 则a 的取值范围是________．答案：{a |－3≤a ≤2}解析：依题意, 知P ＝{x |a <x ≤a ＋2}, 又Q ＝{x |－3<x ≤4}, 若P ⊆Q , 则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－3a ＋2≤4, 解得－3≤a ≤2.9．已知集合M ＝{－1,3,2m －1}, 集合N ＝{3, m 2}, 若N ⊆M , 则实数m ＝________. 答案：1解析：依题意, 知当N ⊆M 时, 只能有m 2＝2m －1, 解得m ＝1, 经检验知满足题意．三、解答题(本大题共6小题, 共45分)10．(5分)以下各组中两个对象是什么关系, 用适当的符号表示出来： (1)0与{0}； (2)0与∅； (3)∅与{0}；(4){0,1}与{(0,1)}； (5){(a , b )}与{(b , a )}．解：(1)0∈{0}； (2)0∉∅(3)∅与{0}都是集合, 两者的关系是“包含与不包含”的关系, 所以∅{0}； (4){0,1}是含两个无素0,1的集合；而{(0,1)}是以有序数对为元素的集合, 它只含一个元素．所以{0,1}⊆{(0,1)}；且{0,1}⊉{(0,1)}；(5)当a ＝b 时, {(a , b )}＝{(b , a )}；当a ≠b 时, {(a , b )} ⊆{(b , a )}, 且{(a , b )}⊉{(b , a )}． 11．(13分)设集合A ＝{x , x 2, xy }, 集合B ＝{1, x , y }, 且集合A 与集合B 相等, 求实数x 、y 的值．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝1，xy ＝y ，①或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y ，xy ＝1.②解①, 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ∈R ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0.经检验⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ∈R ，不合题意, 舍去, 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.解②, 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.经检验⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，不合题意, 舍去．∅∅12．(9分)已知M ＝{(x , y )|y ＝x 2＋2x ＋5}, N ＝{(x , y )|y ＝ax ＋1}． (1)若M ∩N 有两个元素, 求实数a 的取值范围；(2)若M ∩N 至多有一个元素, 求实数a 的取值范围．解：(1)因为M ∩N 有两个元素, 所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋2x ＋5y ＝ax ＋1有两组解,即一元二次方程x 2＋(2－a )x ＋4＝0有两个不等的实数根, 所以Δ＝(2－a )2－16＝a 2－4a －12>0,结合二次函数y ＝a 2－4a －12的图象, 可得a >6或a <－2. 所以实数a 的取值范围为{a |a >6或a <－2}．(2)因为M ∩N 至多有一个元素, 所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋2x ＋5y ＝ax ＋1无解或只有一组解,即一元二次方程x 2＋(2－a )x ＋4＝0无实数根或有两个相等的实数根, 所以Δ＝(2－a )2－16＝a 2－4a －12≤0,结合二次函数y ＝a 2－4a －12的图象, 可得－2≤a ≤6. 所以实数a 的取值范围为{a |－2≤a ≤6}．能力提升13．(5分)对于集合A , B , 我们把集合{x |x ∈A , 且x ∉B }叫做集合A 与B 的差集, 记作A －B .若A ＝{1,2,3,4}, B ＝{3,4,5,6}, 则A －B ＝________.答案：{1,2}解：A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B } ＝{1,2,3,4}－{3,4,5,6} ＝ {1,2 }．14．(13分)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}, 集合B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}, 是否存在实数a , 使得集合A , B 同时满足下列三个条件？①A ≠B ；②A ∪B ＝B ；③∅ (A ∩B )．若存在, 求出这样的实数a 的值；若不存在, 说明理由．解：由已知条件可得B ＝{2,3}, 因为A ∪B ＝B , 且A ≠B , 所以A ⊆B , 又A ≠∅, 所以A ＝{2}或A ＝{3}．当A ＝{2}时, 将2代入A 中方程, 得a 2－2a －15＝0, 所以a ＝－3或a ＝5, 但此时集合A 分别为{2, －5}和{2,3}, 与A ＝{2}矛盾．所以a ≠－3, 且a ≠5.当A ＝{3}时, 同上也能导出矛盾．综上所述, 满足题设要求的实数a 不存在．第5课时补集1．已知全集U＝{0,1,3,5,6,8}, 集合A＝{1,5,8}, B＝{2}, 则集合(∁U A)∪B＝()A．{0,2,3,6} B．{0,3,6}C．{1,2,5,8} D．∅答案：A解析：依题意, 知∁U A＝{0,3,6}, 又B＝{2}, 所以(∁U A)∪B＝{0,2,3,6}．故选A.2．设集合U＝{1,2,3,4,5}, A＝{1,3,5}, B＝{2,3,5}, 则∁U(A∩B)等于()A．{1,2,4} B．{4}C．{3,5} D．{∅}答案：A解析：易知：A∩B＝{3,5}, 则∁U(A∩B)＝{1,2,4}, 故选A.3．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}, 集合A＝{1,3,5,7}, B＝{3,5}, 则下列各式正确的是() A．U＝A∪B B．U＝(∁U A)∪BC．U＝A∪(∁U B) D．U＝(∁U A)∪(∁U B)答案：C解析：∵∁U B＝{1,2,4,6,7},∴A∪(∁U B)＝{1,2,3,4,5,6,7}＝U.故选C.4．已知M, N为集合I的非空真子集, 且M, N不相等, 若N∩(∁I M)＝∅, 则M∪N＝() A．M B．NC．I D．∅答案：A解析：由N∩(∁I M)＝∅, 可知N与∁I M没有公共元素, 则N⊆M, 又M≠N, 所以N M, 所以M∪N＝M.故选A.5．已知集合A＝{x|x<a}, B＝{x|1<x<2}, 且A∪(∁R B)＝R, 则实数a的取值范围是() A．{a|a≤1} B．{a|a<1}C．{a|a≥2} D．{a|a>2}答案：C解析：由于A∪(∁R B)＝R, 则B⊆A, 可知a≥2.故选C.6．如图所示, I是全集, M, P, S是I的3个子集, 则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩∁I S D．(M∩P)∪∁I S答案：C解析：阴影部分是M与P的公共部分, 且在S的外部, 故选C.7．设集合M ＝{3,4,7,9}, N ＝{4,5,7,8,9}, 全集U ＝M ∪N , 则集合∁U (M ∩N )中的元素共有________个．答案：3解析：因为U ＝M ∪N ＝{3,4,5,7,8,9}, M ∩N ＝{4,7,9}, 则∁U (M ∩N )＝{3,5,8}, 可知其中的元素有3个．8．已知集合A ＝{x |－2≤x <3}, B ＝{x |x <－1}, 则A ∩(∁R B )＝________. 答案：{x |－1≤x <3} 解析：因为B ＝{x |x <－1}, 则∁R B ＝{x |x ≥－1}, 所以A ∩(∁R B )＝{x |－2≤x <3}∩{x |x ≥－1}＝{x |－1≤x <3}．9．高一(1)班共有学生50人, 其中参加诗歌鉴赏兴趣小组的有30人, 参加书法练习兴趣小组的有26人, 同时参加两个兴趣小组的有15人, 则两个兴趣小组都没有参加的学生有________人．答案：9解析：设参加诗歌鉴赏兴趣小组的学生组成集合A , 参加书法练习兴趣小组的学生组成集合B , 如图所示, 依题意card(A )＝30, card(B )＝26, card(A ∩B )＝15, 则card(A ∪B )＝30＋26－15＝41.所以两个兴趣小组都没有参加的学生有50－41＝9(人)．三、解答题(本大题共4小题, 共45分)10．(12分)已知全集U ＝{3, a 2－3a －2,2}, A ＝{3, |a －1|}, ∁U A ＝{－2}, 求实数a 的值．解：因为A ∪(∁U A )＝U ,所以{3, －2, |a －1|}＝{3, a 2－3a －2,2},从而⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －2＝－2|a －1|＝2, 解得a ＝3.11．(13分)已知全集U ＝{x |x ≤4}, 集合A ＝{x |－2<x <3}, B ＝{x |－3≤x ≤2}． (1)求(∁U A )∪B ； (2)求A ∩(∁U B )．解：易知∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}, ∁U B ＝{x |x <－3或2<x ≤4}．则(1)(∁U A )∪B ＝{x |x ≤2或3≤x ≤4}． (2)A ∩(∁U B )＝{x |2<x <3}．能力提升12．(5分)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}, A ＝{1,5}, B ∁U A , 则集合B 的个数是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8B∁A．M＝N B．M⊆NC．M⊇N D．M, N无公共元素答案：D解析：因为M＝{(x, y)|(x＋3)2＋(y－1)2＝0}＝{(－3,1)}是点集, 而N＝{－3,1}是数集, 所以两个集合没有公共元素, 故选D.6．已知全集U＝R, 集合A＝{x|1<x≤3}, B＝{x|x>2}, 则A∩(∁U B)等于()A．{x|1<x≤2} B．{x|1≤x<2}C．{x|1≤x≤2} D．{x|1≤x≤3}答案：A解析：U＝R, ∴∁U B＝{x|x≤2}, A∩∁U B＝{x|1<x≤3}∩{x|x≤2}＝{x|1<x≤2}．选A.二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)7．已知集合U＝R, A＝{x|－2<x≤5}, B＝{x|4≤x<6}, 则∁U(A∪B)＝________.答案：{x|x≤－2或x≥6}解析：(A∪B)＝{x|－2<x<6}又U＝R, 所以可得∁U(A∪B)＝{x|x≤－2或x≥6}．8．如图所示, 阴影部分表示的集合为________．答案：∁U(A∪B)∪(A∩B)解析：阴影部分有两类：(1)∁U(A∪B)；(2)A∩B.9．设集合M＝{x|x>1, x∈R}, N＝{y|y＝2x2, x∈R}, P＝{(x, y)|y＝x－1, x∈R, y∈R}, 则(∁R M)∩N＝________, M∩P＝________.答案：{x|0≤x≤1}∅解析：因为M＝{x|x>1, x∈R}, 所以∁R M＝{x|x≤1, x∈R}, 又N＝{y|y＝2x2, x∈R}＝{y|y≥0}, 所以(∁R M)∩N＝{x|0≤x≤1}．因为M＝{x|x>1, x∈R}表达数集, 而P＝{(x, y)|y＝x －1, x∈R, y∈R}表示点集, 所以M∩P＝∅.三、解答题(本大题共4小题, 共45分)10．(12分)某班有50名学生, 有36名同学参加学校组织的数学竞赛, 有23名同学参加物理竞赛, 有3名学生两科竞赛均未参加, 问该班有多少同学同时参加了数学、物理两科竞赛？解：全集为U, 其中含有50名学生, 设集合A表示参加数学竞赛的学生, B表示参加物理竞赛的学生, 则U中元素个数为50, A中元素个数为36, B中元素个数为23, 全集中A、B 之外的学生有3名, 设数学、物理均参加的学生为x名, 则有(36－x)＋(23－x)＋x＋3＝50, 解得x＝12.所以, 本班有12名学生同时参加了数学、物理两科竞赛．11．(13分)已知集合A＝{x|2<x<7}, B＝{x|2<x<10}, C＝{x|5－a<x<a}．(1)求A∪B, (∁R A)∩B；(2)若C⊆B, 求实数a的取值范围．＝{x|∅满足题设条件, 易知A BA B∅第7课时函数的有关概念第9课时映射与分段函数答案：B解析：因为|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (x ≤0或x ≥2)，－x 2＋2x (0<x <2)，所以所求的图象为B 选项．5．设集合A ＝{a , b }, B ＝{0,1}, 从A 到B 的映射共有______个( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：如图：(2)y ＝x 2－2|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)，x 2＋2x －1 (x <0).图象如图所示．11．(13分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x <1x 2－2x ，x ≥1.(1)试比较f (f (－3))与f (f (3))的大小；(2)画出函数f (x )的图象； (3)若f (x )＝1, 求x 的值．解：(1)因为－3<1, 所以f (－3)＝－2×(－3)＋1＝7, 又因为7>1, 所以f (f (－3))＝f (7)＝72－2×7＝35. 因为3>1, 所以f (3)＝32－2×3＝3, 所以f (f (3))＝3. 所以f (f (－3))>f (f (3))．(2)函数图象如图实线部分所示．而f(x1)<0, f(x2)<0, ∴f(x1)f(x2)>0. ∴F(x2)－F(x1)<0, 即F(x2)<F(x1)．∴F(x)在(0, ＋∞)上为减函数．。

2020-2021学年高中数学新人教A版必修第一册 1

【思路导引】(1)依据a∈A，则 1 ∈A(a≠1)，求集合A中的元素，同时注
1 a
意集合中元素的互异性.
(2)转化为判断a= 1 是否有实数解.
1 a
【变式探究】
本例前提条件不变，求证以下两个问题：
(1)若3∈A，则A中必还有另外两个元素. (2)若a∈A，则1- 1 ∈A.
a
角度2 与集合相等有关的问题【典例】设a，b∈R，集合A中含有三个元素a， b ，1，集合B中含有三个元
类型二元素与集合的关系(逻辑推理)
【题组训练】
1.下列元素与集合的关系表示正确的是 ( )
①0∈N*.②
2
∉Z.③
3 2
∈Q.④π∈Q.
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
2.由形如x=3k+1，k∈Z的数组成集合A，则下列表示正确的是 ( )
A.-1∈A
B.-11∈A
C.15∈A
D.32∈A
2.设M是所有偶数组成的集合，则
()
A.3∈M
B.1∈M
C.2∈M
D.0∉M
【解析】选C.因为2是偶数，所以2是集合M中的元素，即2∈M.
3.英文短语“open the door to...”中的字母构成一个集合，该集合的元素
个数是 ( )
A.7
B.8
C.9
D.10
【解析】选B.根据集合中元素的互异性可知，“open the door to...”中的
3.常见的数集及表示符号
数集
非负整数集 (自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
_N_
_N_*_或__N_+
Z

人教版高中数学A版必修1课后习题及答案(全)

高中数学必修1课后习题答案第一章集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集；（5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，B A ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}A B A B =-=-．3．解：{|}AB x x =是等腰直角三角形， {|}AB x x =是等腰三角形或直角三角形． 4．解：显然{2,4,6}U B =，{1,3,6,7}U A =，则(){2,4}U A B =，()(){6}U U A B =．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．（1）237Q ∈ 237是有理数；（2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉π是个无理数，不是有理数；（42R 2是实数；（59Z 93=是个整数；（6）25)N ∈ 2(5)5=是个自然数．2．（1）5A ∈；（2）7A ∉；（3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠；（3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥． 5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； B A ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥，则{|2}A B x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}AB =，{3,4,5,6}AC =，而{1,2,3,4,5,6}BC =，{3}B C =，则(){1,2,3,4,5,6}A B C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为()A B C =∅．（1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学；（2）{|}A C x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}BC x x =是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形， {|}S A x x =是梯形．10．解：{|210}AB x x =<<，{|37}A B x x =≤<， {|3,7}R A x x x =<≥或，{|2,10}R B x x x =≤≥或，得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或， (){|3,7}R A B x x x =<≥或，(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或， (){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或．B 组1．4 集合B 满足A B A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合，即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},AB A B ==∅；当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}AB A B ==；当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},A B a A B ==∅．4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U AB =，得U B A ⊆，即()U U A B B =，而(){1,3,5,7}U A B =，得{1,3,5,7}U B =，而()U U B B =，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-，得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；（2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤． 2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．1．2．2函数的表示法练习（第23页） 1．解：显然矩形的另一边长为2250x cm -，222502500y x x x x =-=-，且050x <<，即22500(050)y x x x =-<<．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示． 3．解：4．解：因为3sin 602=，所以与A 中元素60相对应的B 中的元素是32；因为2sin 452=，所以与B 中的元素22相对应的A 中元素是45． 1．2函数及其表示习题1．2（第23页） 1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，2()f x x =都有意义，即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()()g x x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（3）对于任何实数，都有362x x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+，即(2)852f -=+；同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++，即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++，即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+，即2()(3)3516f a f a a +=-+． 5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-，即点(3,14)不在()f x 的图象上；（2）当4x =时，42(4)346f +==--，即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-，即14x =．6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根，即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=，即(1)f -的值为8．7．图象如下：8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d，即d =(0)d x =>，由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x =+>，另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得0)l d ===>，即(0)l d =>．9．解：依题意，有2()2dx vt π=，即24v x t dπ=，显然0x h ≤≤，即240v t h dπ≤≤，得204h d t v π≤≤，得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．解：（1）驾驶小船的路程为222x +，步行的路程为12x -，得2221235x xt +-=+，(012)x ≤≤，即241235x xt +-=+，(012)x ≤≤．（2）当4x =时，2441242583()3535t h +-=+=+≈．第一章集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间． 3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数． 4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->，即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数. 5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--，所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的； ()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增；（2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b =+，设12x x <，而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数. 4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5．解：对于函数21622100050x y x =-+-，当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元），即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元． 6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，函数()g x 的单调区间为[2,4]，且函数()g x 在[2,4]上为增函数；（2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ，则23033(10)22x x x S x --==-，当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ． 3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下：设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-，又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =． 2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线，集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=，得1a =-，或1a =，综上得：实数a 的值为1,0-，或1． 5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y AB x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y BC x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭；则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞．7．解：（1）因为1()1x f x x -=+，所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++，即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++，即(1)2af a a +=-+．8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x+-+-===---，即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x +=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---，即1()()f f x x=-.9．解：该二次函数的对称轴为8k x =，函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤，即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称；（3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数；（4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥． 3．解：由(){1,3}UA B =，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =，集合AB 里除去()U A B ，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=；当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++，所以1212()()()22x x f x f x f ++=；（2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+，所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >，所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-，又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >，所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =，所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章基本初等函数（I ） 2．1指数函数练习（P54）1. a 21=a ,a 43=43a ,a53-=531a,a32-=321a.2. (1)32x =x 32, (2)43)(b a +=(a +b )43, (3)32n)-(m =(m -n )32, (4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3q 25,(6)mm 3=m213-=m 25.3. (1)(4936)23=［(76)2］23=(76)3=343216;(2)23×35.1×612=2×321×(23)31×(3×22)61=231311--×3613121++=2×3=6;(3)a 21a 41a 81-=a814121-+=a 85; (4)2x 31-(21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 3221--=1-4x -1=1x4-.练习（P58）1.如图图2-1-2-142.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =32-x 的定义域为｛x |x ≥2｝;(2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(21)x 1的定义域是｛x ∣x ≠0｝.3.y =2x (x ∈N *)习题2.1 A 组（P59）1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .2解：(1)623b a ab=212162122123)(⨯⨯⨯b a a b =23232121--⨯b a =a 0b 0=1. (2)a aa2121=212121a a a⨯=2121a a ⨯=a 21.(3)415643)(mm m m m •••=4165413121mm m m m ••=4165413121+++mm=m 0=1.点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行.3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.答案：4.728 8;对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.答案：8.825 0.4.解：(1)a 31a 43a127=a 1274331++=a 35; (2)a 32a 43÷a 65=a654332-+=a 127;(3)(x 31y43-)12=12431231⨯-⨯yx =x 4y -9;(4)4a 32b 31-÷(32-a 31-b 31-)=(32-×4)31313132+-+b a =-6ab 0=-6a ;(5))2516(462rt s -23-=)23(4)23(2)23(6)23(2)23(452-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯rts=6393652----rt s =36964125s r r ; (6)(-2x 41y31-)(3x21-y 32)(-4x 41y 32)=［-2×3×(-4)］x 323231412141++-+-yx=24y ;(7)(2x 21+3y41-)(2x 21-3y41-)=(2x 21)2-(3y 41-)2=4x -9y 21-;(8)4x 41 (-3x 41y31-)÷(-6x21-y32-)=3231214141643+-++-⨯-y x =2xy 31. 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.5.（1）要使函数有意义,需3-x ∈R ,即x ∈R ,所以函数y =23-x 的定义域为R . （2）要使函数有意义,需2x +1∈R ,即x ∈R ,所以函数y =32x +1的定义域为R . (3)要使函数有意义,需5x ∈R,即x ∈R,所以函数y =(21)5x的定义域为R . (4)要使函数有意义,需x ≠0,所以函数y =0.7x1的定义域为{x |x ≠0}.点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.6.解：设经过x 年的产量为y ,一年内的产量是a (1+100p ),两年内产量是a (1+100p )2,…,x 年内的产量是a (1+100p )x ,则y =a (1+100p )x(x ∈N *,x ≤m ). 点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x 的取值范围.7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y =3x ,当x =0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y =3x 在R 上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y =0.75x ,当x =-0.1和0.1时的函数值；因为1>0.75,所以函数y =0.75x 在R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y =1.01x ,当x =2.7和3.5时的函数值；因为1.01>1,所以函数y =1.01x 在R 上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5. (4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y =0.99x ,当x =3.3和4.5时的函数值；因为0.99<1,所以函数y =0.99x 在R 上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.8.(1)2m ,2n 可以看成函数y =2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为2>1,所以函数y =2x 在R 上是增函数.因为2m <2n ,所以m <n . (2)0.2m ,0.2n 可以看成函数y =0.2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0.2<1, 所以函数y =0.2x 在R 上是减函数.因为0.2m <0.2n ,所以m >n . (3)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0<a <1, 所以函数y =a x 在R 上是减函数.因为a m <a n ,所以m >n . (4)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为a >1, 所以函数y =a x 在R 上是增函数.因为a m >a n ,所以m >n . 点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P=(21)57301.当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=(21)573057309⨯=(21)9≈0.002. 答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(21)537010000t <0.001,解得t >5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的. B 组1. 当0＜a ＜1时,a 2x -7＞a 4x -12⇒x -7＜4x －1⇒x ＞－3;当a ＞1时,a 2x -7＞a 4x -1⇒2x －7＞4x －1⇒x ＜－3. 综上,当0＜a ＜1时,不等式的解集是{x |x ＞－3}；当a ＞1时,不等式的解集是{x |x ＜－3}.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用. 解：(1)设y =x 21+x21-,那么y 2=(x 21+x21-)2=x +x -1+2.由于x +x -1=3,所以y =5.(2)设y =x 2+x -2,那么y =(x +x -1)2-2.由于x +x -1=3,所以y =7.(3)设y =x 2-x -2,那么y =(x +x -1)(x -x -1),而(x -x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以y =±35. 点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解：已知本金为a 元.1期后的本利和为y 1=a +a ×r =a (1+r ), 2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r )×r =a (1+r )2, 3期后的本利和为y 3=a (1+r )3, …x 期后的本利和为y =a (1+r )x .将a =1 000,r =0.022 5,x =5代入上式得y =a (1+r )x =1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118. 答:本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y =a (1+r )x ,5期后的本利和约为1 118元. 4.解：(1)因为y 1=y 2,所以a 3x +1=a -2x .所以3x +1=-2x .所以x =51-. (2)因为y 1>y 2,所以a 3x +1>a -2x . 所以当a >1时,3x +1>-2x .所以x >51-. 当0<a <1时,3x +1<-2x .所以x <51-.2．2对数函数练习（P64）1.（1）2log 83=；（2）2log 325=；（3）21log 12=-；（4）2711log 33=-2.（1）239=；（2）35125=；（3）2124-=；（4）41381-=3.（1）设5log 25x =，则25255x ==，所以2x =；（2）设21log 16x =，则412216x -==，所以4x =-；（3）设lg1000x =，则310100010x ==，所以3x =；（4）设lg 0.001x =，则3100.00110x -==，所以3x =-；4.（1）1；（2）0；（3）2；（4）2；（5）3；（6）5.练习（P68）1.（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；（2）222lg lg()lg lg lg lg lg 2lg lg xy xy z x y z x y z z =-=++=++；（3）33311lg()lg lg lg lg 3lg lg22xy x y z x y z =-=+-=+-；（4）2211lg()lg (lg lg )lg 2lg lg 22y z x y z x y z ==-+=--. 2.（1）223433333log (279)log 27log 9log 3log 3347⨯=+=+=+=；（2）22lg1002lg1002lg104lg104====；（3）5lg 0.00001lg105lg105-==-=-; （4）11ln 22e ==3. (1)22226log 6log 3log log 213-===; (2)lg5lg 2lg101+==; (3)555511log 3log log (3)log 1033+=⨯==;(4)13333351log 5log 15log log log 31153--====-. 4.(1)1; (2)1; (3)54练习（P73）1.函数3log y x =及13log y x =的图象如右图所示.相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0) 不同点：3log y x =的图象是上升的，13log y x =的图象是下降的关系：3log y x =和13log y x =的图象是关于x 轴对称的.2. (1)(,1)-∞； (2)(0,1)(1,)+∞; （3）1(,)3-∞；（4）[1,)+∞3. (1)1010log 6log 8< (2)0.50.5log 6log 4< (3)2233log 0.5log 0.6> (4) 1.5 1.5log 1.6log 1.4>习题2.2 A 组（P74） 1. (1)3log 1x =； (2)41log 6x =; （3）4log 2x =；（4）2log 0.5x = (5) lg 25x = (6)5log 6x =2. (1)527x = (2) 87x = (3) 43x = (4)173x= (5) 100.3x = (6) 3xe =3. (1)0; (2) 2; (3) 2-; (4)2; (5) 14-; (6) 2. 4. (1)lg 6lg 2lg3a b =+=+; (2) 3lg 42lg 22log 4lg3lg3ab===; (3) 2lg122lg 2lg3lg3log 1222lg 2lg 2lg 2b a +===+=+; (4)3lg lg3lg 22b a =-=- 5. (1)x ab =; (2) mx n=; (3) 3n x m =; (4)b x =.6. 设x 年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番，则(10.073)4x+=解得 1.073log 420x =≈. 答：设20年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番.7. (1)(0,)+∞; (2) 3(,1]4. 8. (1)m n <; (2) m n <; (3) m n >; (4)m n >.9. 若火箭的最大速度12000v =，那么62000ln 112000ln(1)61402M M M M e mm m m ⎛⎫+=⇒+=⇒+=⇒≈ ⎪⎝⎭答：当燃料质量约为火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s. 10. (1)当底数全大于1时，在1x =的右侧，底数越大的图象越在下方.所以，①对应函数lg y x =，②对应函数5log y x =，③对应函数2log y x =. (2)略. (3)与原函数关于x 轴对称. 11. (1)235lg 25lg 4lg92lg52lg 22lg3log 25log 4log 98lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯= (2)lg lg lg log log log 1lg lg lg a b c b c a b c a a b c⋅⋅=⨯⨯= 12. (1)令2700O =，则312700log 2100v =，解得 1.5v =. 答：鲑鱼的游速为1.5米/秒. (2)令0v =，则31log 02100O=，解得100O =. 答：一条鱼静止时的耗氧量为100个单位.B 组1. 由3log 41x =得：143,43xx-==，于是11044333x x -+=+= 2. ①当1a >时，3log 14a<恒成立； ②当01a <<时，由3log 1log 4a a a <=，得34a <，所以304a <<.综上所述：实数a 的取值范围是3{04a a <<或1}a >3. (1)当1I = W/m 2时，112110lg 12010L -==；(2)当1210I -= W/m 2时，121121010lg 010L --==答：常人听觉的声强级范围为0120dB .4. (1)由10x +>，10x ->得11x -<<，∴函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- (2)根据(1)知：函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-∴ 函数()()f x g x +的定义域关于原点对称又∵ ()()log (1)log (1)()()a a f x g x x x f x g x -+-=-++=+ ∴()()f x g x +是(1,1)-上的偶函数.5. (1)2log y x =，0.3log y x =； (2)3xy =，0.1x y =.习题2.3 A 组（P79） 1.函数y =21x是幂函数.2.解析:设幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为点（2,2）在图象上,所以2=2α.所以α=21,即幂函数的解析式为f （x ）=x 21,x ≥0.3.（1）因为流量速率v 与管道半径r 的四次方成正比,所以v =k ·r 4；（2）把r =3,v =400代入v =k ·r 4中,得k =43400＝81400,即v =81400r 4；（3）把r =5代入v =81400r 4,得v =81400×54≈3 086（cm 3/s ）, 即r =5 cm 时,该气体的流量速率为3 086 cm 3/s .第二章复习参考题A 组（P82）1.（1）11；（2）87；（3）10001；（4）259. 2.（1）原式=))(()()(212121212212122121b a b a b a b a -+++-=b a b b a a b b a a -++++-2121212122=ba b a -+)(2;（2）原式=))(()(1121----+-a a a a a a =aa a a 11+-=1122+-a a .3.（1）因为lg 2=a ,lg 3=b ,log 125=12lg 5lg =32lg 210lg2•=3lg 2lg 22lg 1+-,所以log 125=ba a +-21. （2）因为2log 3a =，3log 7b =37147log 27log 56log 27⨯=⨯=2log 112log 377++=7log 2log 11)7log 2(log 33333÷++÷=b ab a ÷++÷111)1(3=13++ab ab . 4.（1）（-∞,21）∪（21,+∞）;（2）［0,+∞）.5.（32,1）∪（1,+∞）;（2）（-∞,2）;（3）（-∞,1）∪（1,+∞）.6.（1）因为log 67>log 66=1,所以log 67>1.又因为log 76<log 77=1,所以log 76<1.所以log 67>log 76. （2）因为log 3π>log 33=1,所以log 3π>1.又因为log 20.8<0,所以log 3π>log 20.8.7.证明：（1）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）·f （y ）=3x ×3y =3x +y .又因为f （x +y ）=3x +y ,所以f （x ）·f （y ）=f （x +y ）.（2）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）÷f （y ）=3x ÷3y =3x -y . 又因为f （x -y ）=3x -y ,所以f （x ）÷f （y ）=f （x -y ）.8.证明:因为f （x ）=lgxx+-11,a 、b ∈（-1,1）, 所以f （a ）+f （b ）=lgbb a a +-++-11lg11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--, f （ab b a ++1）=lg （abb a ab ba +++++-1111）=lg b a ab b a ab +++--+11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--. 所以f （a ）+f （b ）=f （abba ++1）. 9.（1）设保鲜时间y 关于储藏温度x 的函数解析式为y =k ·a x （a >0,且a ≠1）.因为点（0,192）、（22,42）在函数图象上,所以022192,42,k a k a ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧≈==.93.0327,19222a k 所以y =192×0.93x ,即所求函数解析式为y =192×0.93x . （2）当x =30 ℃时,y ≈22（小时）；当x =16 ℃时,y ≈60（小时）,即温度在30 ℃和16 ℃的保鲜时间约为22小时和60小时. （3）图象如图：图2-210.解析：设所求幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为f （x ）的图象过点（2,22）, 所以22=2α,即221-=2α.所以α=21-.所以f （x ）=x 21-（x >0）.图略,f (x )为非奇非偶函数；同时它在（0,+∞）上是减函数.B 组1.A2.因为2a =5b =10,所以a =log 210,b =log 510,所以a 1+b 1=10log 12+10log 15=lg 2+lg 5=lg 10=1. 3.（1）f （x ）=a 122+-x 在x ∈（-∞,+∞）上是增函数. 证明：任取x 1,x 2∈（-∞,+∞）,且x 1<x 2.f （x 1）-f （x 2）=a 122+-x -a +1222+x =1222+x -1221+x =)12)(12()22(21221++-x x x x .因为x 1,x 2∈（-∞,+∞）,所以.012.01212>+>+x x 又因为x 1<x 2, 所以2122x x <即2122x x <<0.所以f （x 1）-f （x 2）<0,即f （x 1）<f （x 2）.所以函数f （x ）=a 122+-x 在（-∞,+∞）上是增函数. （2）假设存在实数a 使f （x ）为奇函数,则f （-x ）+f （x ）=0,即a 121+--x +a 122+-x =0⇒a =121+-x +121+x =122+x +121+x=1, 即存在实数a =1使f （x ）=121+--x 为奇函数.4.证明:（1）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以［g （x ）］2-［f （x ）］2=［g （x ）+f （x ）］［g （x ）-f （x ）］=)22)(22(xx x x x x x x e e e e e e e e -----++++ =e x ·e -x =e x -x =e 0=1, 即原式得证.（2）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以f （2x ）=222x x e e -+,2f （x ）·g （x ）=2·2x x e e --·2x x e e -+=222xx e e --.所以f （2x ）=2f （x ）·g （x ）.（3）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以g （2x ）=222x x e e -+,［g （x ）］2+［f （x ）］2=（2x x ee -+）2+（2xx e e --）2=4222222x x x x e e e e --+-+++=222xx e e -+.所以g （2x ）=［f （x ）］2+［g （x ）］2.5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当t =1时,θ=52,于是52=15+(62-15)e -k ,解得k ≈0.24,那么θ=15+47e -0.24t . 所以,当θ=42时,t ≈2.3;当θ=32时,t ≈4.2.答:开始冷却2.3和4.2小时后,物体的温度分别为42 ℃和32 ℃.物体不会冷却到12 ℃. 6.(1)由P=P 0e -k t 可知,当t =0时,P=P 0;当t =5时,P=(1-10%）P 0.于是有(1-10%)P 0=P 0e -5k ,解得k =51-ln 0.9,那么P=P 0e t )9.0ln 51(.所以,当t =10时,P=P 0e 9.01051n I ⨯⨯=P 0e ln 0.81=81%P 0.答:10小时后还剩81%的污染物. (2)当P=50%P 0时,有50%P 0=P 0et )9.0ln 51(,解得t =9.0ln 515.0ln ≈33.答:污染减少50%需要花大约33h . (3)其图象大致如下:图2-3新课程标准数学必修1第三章课后习题解答第三章函数的应用 3．1函数与方程练习（P88）1.(1)令f (x )=-x 2+3x +5,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(1))，它与x 轴有两个交点，所以方程-x 2+3x +5=0有两个不相等的实数根.(2)2x (x -2)=-3可化为2x 2-4x +3=0，令f (x )=2x 2-4x +3,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(2))，它与x 轴没有交点，所以方程2x (x -2)=-3无实数根. (3)x 2=4x -4可化为x 2-4x +4=0,令f (x )=x 2-4x +4,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(3))，它与x 轴只有一个交点(相切)，所以方程x 2=4x -4有两个相等的实数根. (4)5x 2+2x =3x 2+5可化为2x 2+2x -5=0,令f (x )=2x 2+2x -5,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(4))，它与x 轴有两个交点，所以方程5x 2+2x =3x 2+5有两个不相等的实数根.图3-1-2-72.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点. (3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=e x-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.又因为f(x)=e x-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.图3-1-2-8练习（P91）1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x0.下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点.取区间(0，1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.因为f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).同理,可得x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.687 5)，x0∈(0.656 25,0.687 5).由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1,所以原方程的近似解可取为0.656 25.2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.于是f(2)·f(3)<0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x0.下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.562 5,2.625),x0∈(2.562 5,2.593 75),x0∈(2.578 125,2.593 75),x0∈(2.585 937 5,2.59 375).由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0.01,所以原方程的近似解可取为2.593 75.习题3.1 A组（P92）1.A,C 点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)·f(0)<0,所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.取区间(-1，0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.375.因为f(-1)·f(-0.5)<0,所以x0∈(-1,-0.5).再取(-1，-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)≈1.58.因为f(-1)·f(-0.75)<0,所以x0∈(-1,-0.75).同理,可得x0∈(-1,-0.875)，x0∈(-0.937 5,-0.875).由于|(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为-0.937 5.4.原方程即0.8x-1-lnx=0,令f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)没有意义，用计算器算得f(0.5)≈0.59,f(1)=-0.2.于是f(0.5)·f(1)<0,所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.下面用二分法求方程0.8x-1=lnx在区间(0，1)内的近似解.取区间(0.5，1)的中点x1=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.13.因为f(0.75)·f(1)<0,所以x0∈(0.75,1).再取(0.75,1)的中点x2=0.875,用计算器可算得f(0.875)≈-0.04.。

人教a版高中数学必修一知识点

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高中数学(人教A版)必修一课后习题：幂函数(课后习题)【含答案及解析】

幂函数课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021山西运城高一期中)下列函数既是幂函数又是偶函数的是( )A.f (x )=3x 2B.f (x )=√xC.f (x )=1x 4 D.f (x )=x -3f (x )=3x 2,不是幂函数;函数f (x )=√x ,定义域是[0,+∞),是幂函数,但不是偶函数;函数f (x )=1x4=x -4是幂函数,也是定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数;函数f (x )=x -3是幂函数,但不是偶函数.故选C .2.(2021河北唐山高一期末)已知幂函数y=f (x )的图象过点(2,√2),则下列关于f (x )的说法正确的是( ) A.奇函数 B.偶函数C.定义域为(0,+∞)D.在(0,+∞)上单调递增f (x )=x α(α为常数),∵幂函数y=f (x )图象过点(2,√2),∴2α=√2,∴α=12,∴幂函数f (x )=x 12.∵12>0,∴幂函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以选项D 正确;∵幂函数f (x )=x 12的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,∴幂函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数,所以选项A,B,C 错误,故选D . 3.已知a=1.212,b=0.9-12,c=√1.1,则()A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b0.9-12=(910)-12=(109)12,c=√1.1=1.112,∵12>0,且1.2>109>1.1,∴1.212>(109)12>1.112,即a>b>c.4.若(a+1)13<(3-2a )13,则a 的取值范围是 .-∞,23)f (x )=x 13的定义域为R ,且为增函数,所以由不等式可得a+1<3-2a ,解得a<23.5.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=x α(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是 .y=x α(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=12,则y=x 12.由x 12=3,得x=9,即明文是9. 6.已知幂函数f (x )=(2m 2-6m+5)x m+1为偶函数. (1)求f (x )的解析式;(2)若函数y=f (x )-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a 的取值范围.由f (x )为幂函数知2m 2-6m+5=1,即m 2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f (x )=x 2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f (x )=x 3,为奇函数,不合题意,舍去.故f (x )=x 2.(2)由(1)得y=x 2-2(a-1)x+1,函数的对称轴为x=a-1,由题意知函数在区间(2,3)上为单调函数, ∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a ≤3或a ≥4. 故实数a 的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).等级考提升练7.(2021四川成都七中高一期中)若幂函数f (x )=(m 2-2m-2)·x m 在(0,+∞)上单调递减,则f (2)=( )A.8B.3C.-1D.12f (x )=(m 2-2m-2)x m 为幂函数,则m 2-2m-2=1,解得m=-1或m=3.当m=-1时,f (x )=x -1,在(0,+∞)上单调递减,满足题意,当m=3时,f (x )=x 3,在(0,+∞)上单调递增,不满足题意,所以m=-1,所以f (x )=1x ,所以f (2)=12,故选D .8.(2021吉林延边高一期末)已知幂函数f (x )=x 12,若f (a-1)<f (14-2a ),则a 的取值范围是( ) A.[-1,3) B.(-∞,5) C.[1,5) D.(5,+∞)f (x )=x 12,若f (a-1)<f (14-2a ),可得√a -1<√14-2a ,即{a -1≥0,14-2a ≥0,a -1<14-2a ,得1≤a<5.所以a 的取值范围为[1,5).9.已知幂函数g (x )=(2a-1)x a+2的图象过函数f (x )=32x+b 的图象所经过的定点,则b 的值等于( ) A.-2 B.1 C.2 D.4g (x )=(2a-1)x a+2为幂函数,则2a-1=1,∴a=1,函数的解析式为g (x )=x 3,幂函数过定点(1,1),在函数f (x )=32x+b 中,当2x+b=0时,函数过定点(-b 2,1),据此可得-b2=1,故b=-2.故选A . 10.函数f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,若a ,b ∈R ,且a+b>0,ab<0,则f (a )+f (b )的值 ( )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,可得m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f (x )=x 3,当m=-1时,f (x )=x -3,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,函数在(0,+∞)上单调递增,所以m=2,此时f (x )=x 3.又a+b>0,ab<0,可知a ,b 异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f (a )+f (b )恒大于0,故选A .11.(多选题)(2020江苏常州高级中学高一期末)下列说法正确的是( ) A.若幂函数的图象经过点(18,2),则解析式为y=x -3B.若函数f (x )=x -45,则f (x )在区间(-∞,0)上单调递减C.幂函数y=x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1)D.若函数f (x )=√x ,则对于任意的x 1,x 2∈[0,+∞)有f (x 1)+f (x 2)2≤f (x 1+x22)(18,2),则解析式为y=x-13,故A 错误;函数f (x )=x-45是偶函数且在(0,+∞)上单调递减,故在(-∞,0)上单调递增,故B 错误;幂函数y=x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1),故C 正确;任意的x 1,x 2∈[0,+∞),要证f (x 1)+f (x 2)2≤f (x 1+x 22),即√x 1+√x 22≤√x 1+x22,即x 1+x 2+2√x 1x 24≤x 1+x 22,即(√x 1−√x 2)2≥0,易知成立,故D 正确.12.(多选题)(2021广东佛山南海高一期中)已知幂函数y=x α(α∈R )的图象过点(3,27),下列说法正确的是( )A.函数y=x α的图象过原点B.函数y=x α是偶函数C.函数y=x α是减函数D.函数y=x α的值域为R(3,27),则有27=3α,所以α=3,即y=x 3.故函数是奇函数,图象过原点,函数在R 上单调递增,值域是R ,故A,D 正确,B,C 错误.故选AD . 13.(2021广东深圳宝安高一期末)幂函数f (x )=x m 2-5m+4(m ∈Z )为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减,则m= ,f 12= .或3 4y=x m2-5m+4为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,∴m 2-5m+4<0,且m 2-5m+4是偶数,由m 2-5m+4<0得1<m<4. 由题知m 是整数,故m 的值可能为2或3,验证知m=2或3时,均符合题意,故m=2或3,此时f (x )=x -2,则f 12=4. 14.已知幂函数f (x )=(m-1)2x m 2-4m+2在区间(0,+∞)上单调递增,函数g (x )=2x -k.(1)求实数m 的值;(2)当x ∈(1,2]时,记ƒ(x ),g (x )的值域分别为集合A ,B ,若A ∪B=A ,求实数k 的取值范围.依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.当m=2时,f (x )=x -2在区间(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.当m=0时,f (x )=x 2,符合题设,故m=0.(2)由(1)可知f (x )=x 2,当x ∈(1,2]时,函数f (x )和g (x )均单调递增.∴集合A=(1,4],B=(2-k ,4-k ]. ∵A ∪B=A ,∴B ⊆A.∴{2-k ≥1,4-k ≤4.∴0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0,1].新情境创新练15.(2020青海高一期末)已知函数f (x )=(m 2-2m+2)x 1-3m 是幂函数. (1)求函数f (x )的解析式;(2)判断函数f (x )的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数f (x )在区间(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论.提示:若m ∈N *,则x -m =1x m.∵函数f (x )=(m 2-2m+2)x 1-3m 是幂函数,∴m 2-2m+2=1,解得m=1, 故f (x )=x -2(x ≠0).(2)函数f (x )=x -2为偶函数.证明如下:由(1)知f (x )=x -2,其定义域为{x|x ≠0},关于原点对称,∵对于定义域内的任意x ,都有f (-x )=(-x )-2=1(-x )2=1x2=x -2=f (x ),故函数f (x )=x -2为偶函数.(3)f (x )在区间(0,+∞)上单调递减.证明如下:在区间(0,+∞)上任取x 1,x 2,不妨设0<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1-2−x 2-2=1x 12−1x 22 =x 22-x 12x 12x 22=(x 2-x 1)(x 2+x 1)x 12x 22, ∵x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2,∴x 2-x 1>0,x 2+x 1>0,x 12x 22>0,∴f (x 1)>f (x 2).∴f (x )在区间(0,+∞)上单调递减.。

高中数学(人教A版)必修一课后习题：集合的表示方法(课后习题)【含答案及解析】

集合的表示方法课后篇巩固提升合格考达标练1.用描述法表示右图所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是()A.{-2≤x≤0,且-2≤y≤0}B.{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y≤0}C.{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y<0}D.{(x,y)|-2≤x≤0,或-2≤y≤0},阴影部分的点的横坐标满足-2≤x≤0,纵坐标满足-2≤y≤0,所以所表示的集合为{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y≤0}.2.在直角坐标系中,坐标轴上的点构成的集合可表示为()A.{(x,y)|y=0,x∈R}B.{(x,y)|x2+y2=0}C.{(x,y)|xy=0}D.{(x,y)|x2+y2≠0}在x轴上的点(x,y)满足y=0,在y轴上的点(x,y)满足x=0,∴坐标轴上的点(x,y)满足xy=0, ∴坐标轴上的点构成的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.故选C.3.集合{3,52,73,94,…}用描述法可表示为()A.{x|x=2n+12n,n∈N*}B.{x|x=2n+3n,n∈N*}C.{x|x=2n-1n,n∈N*}D.{x|x=2n+1n,n∈N*}3,5 2,73,94,即31,52,73,94,从中发现规律,x=2n+1n,n∈N*,故可用描述法表示为{x|x=2n+1n,n∈N*}.4.已知集合A=m y=4m∈N,m∈N,用列举法表示集合A=.解析∵集合A=m y=4m∈N,m∈N,∴A={1,2,4}.5.已知集合A={x|-2<x<2,x∈Z},B={y|y=x2+1,x∈A},则集合B用列举法表示是.A={-1,0,1},而B={y|y=x2+1,x∈A},所以B={1,2}.6.用适当的方法表示下列集合:(1)大于2且小于5的有理数组成的集合;(2)24的所有正因数组成的集合;(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合.用描述法表示为{x|2<x<5,且x∈Q}.(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.(3)在平面直角坐标系内,点(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,所以该集合用描述法表示为{(x,y)||y|=|x|}.等级考提升练7.(2021山东临沂高一期中)已知b是正数,且集合{x|x2-ax+16=0}={b},则a-b=()A.0B.2C.4D.8x2-ax+16=0有两个相等的正实根,故Δ=a2-64=0.又方程两根之和为正数,即a>0,所以a=8,因此方程变为x2-8x+16=0,且根为4,故b=4,所以a-b=8-4=4.故选C.8.(2021江西临川一中高一月考)设集合A=2,3,a2-3a,a+2a+7,B={|a-2|,0}.已知4∈A且4∉B,则实数a的取值集合为()A.{-1,-2}B.{-1,2}C.{-2,4}D.{4}①当a2-3a=4且|a-2|≠4时,解得a=-1或4;a=-1时,集合A={2,3,4,4}不满足集合的互异性,故a≠-1;a=4时,集合A=2,3,4,232,集合B={2,0},符合题意.②当a+2a+7=4且|a-2|≠4时,解得a=-1,由①可得不符合题意.综上,实数a 的取值集合为{4}.故选D .9.(2020江西高一月考)定义集合运算:A ☆B={z|z=x 2-y 2,x ∈A ,y ∈B }.设集合A={1,√2},B={-1,0},则集合A ☆B 中的所有元素之和为( )A.2B.1C.3D.4A ☆B={0,1,2},所以A ☆B 中所有元素之和为0+1+2=3.10.(多选题)方程组{x +y =3,x -y =1的解集可表示为( ) A.{(x ,y )|{x +y =3,x -y =1} B.{(x ,y )|{x =2,y =1} C.(1,2)D.{(2,1)}{x +y =3,x -y =1只有一个解,解为{x =2,y =1, 所以方程组{x +y =3,x -y =1的解集中只有一个元素,且此元素是有序数对,所以A,B,D 都符合题意. 11.定义运算A-B={x|x ∈A ,且x ∉B },若A={-1,1,3,5,7,9},B={-1,5,7},则A-B= .定义运算A-B={x|x ∈A ,且x ∉B },A={-1,1,3,5,7,9},B={-1,5,7},∴A-B={1,3,9}.12.若集合A={a-3,2a-1,a 2-4}且-3∈A ,则实数a= .或1若a-3=-3,则a=0,此时A={-3,-1,-4},符合题意.(2)若2a-1=-3,则a=-1,此时A={-4,-3,-3},不满足元素的互异性.(3)若a 2-4=-3,则a=±1,当a=1时,A={-2,1,-3},符合题意;当a=-1时,由(2)知不合题意.综上可知,a=0或a=1.13.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为“可倒数集”.(1)判断集合A={-1,1,2}是否为可倒数集;(2)试写出一个含3个元素的可倒数集.由于2的倒数为12不在集合A 中,故集合A 不是可倒数集.(2)若a ∈A ,则必有1a ∈A ,现已知集合A 中含有3个元素,故必有一个元素有a=1a ,即a=±1,故可以取集合A=1,2,12或-1,2,12或1,3,13. 新情境创新练14.设S={x|x=m+√2n,m,n∈Z}.(1)若a∈Z,则a是否是集合S中的元素?(2)对S中的任意两个x1,x2,则x1+x2,x1x2是否属于S?∵S={x|x=m+√2n,m,n∈Z},a∈Z,∴a=a+0×√2∈S.∴a是集合S的元素.(2)不妨设x1=m+√2n,x2=p+√2q,m,n,p,q∈Z,则x1+x2=(m+√2n)+(p+√2q)=(m+p)+√2(n+q).∵m,n,p,q∈Z.∴m+p∈Z,n+q∈Z.∴x1+x2∈S.x1·x2=(m+√2n)·(p+√2q)=(mp+2nq)+√2(mq+np),m,n,p,q∈Z.故mp+2nq∈Z,mq+np∈Z.∴x1·x2∈S.综上,x1+x2,x1·x2都属于S.。

高中数学人教A版必修一第一章知识点总结及题型

高中数学人教A版必修一第一章知识点总结及题型高中数学必修一第一章知识点及题型一、第一章第一单元集合---知识点总结知识点一：集合的概念集合是研究对象的统称，用小写拉丁字母a，b，c等表示元素，一些元素的集合称为集合或集，用大写拉丁字母A，B，C等表示，不含任何元素的集合称为空集，记为∅。

知识点二：集合与元素的关系如果a是集合A的元素，就称a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就称a不属于集合A，记作a∉A。

知识点三：集合的特性及分类集合元素具有唯一性、无序性和互异性。

集合可分为有限集和无限集，有限集含有有限个元素，无限集含有无限个元素。

知识点四：集合的表示方法集合的表示方法有列举法和描述法。

列举法是把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法；描述法是用集合所含元素的特征表示集合的方法。

知识点五：集合与集合的关系集合A中的所有元素都是集合B中的元素时，称集合A是集合B的子集，记作A⊆B；如果A是B的子集，但存在元素不属于B，则称A是B的真子集，记作A⊂B。

子集的性质包括空集是任意集合的子集、任何集合都是它本身的子集、如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。

知识点六：集合的运算集合的运算包括交集和并集。

集合A与B的并集是由A 和B中所有元素组成的集合，记作A∪B；集合A与B的交集是A和B中共有的元素组成的集合，记作A∩B。

3.交集与并集的性质交集的运算性质：A∩B = B∩A （交换律）A∩A = A （恒等律）A∩∅ = ∅（零律）A⊆B ⇔ A∩B = A （吸收律）并集的运算性质：A∪B = B∪A （交换律）A∪A = A （恒等律）A∪∅ = A （零律）A⊆B ⇔ A∪B = B （吸收律）A∪B = B∪A = {x | x∈A或x∈B} （定义）符号语言、图形语言和自然语言都可以用来表示集合的交集和并集。

4.全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。

高中数学必修第一册人教版A版(2019) 知识点汇总

1.1集合的概念一、元素与集合的概念及表示1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．3、集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．二、元素的特性1、确定性给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合。

例如：著名的科学家、高个子、好人、很难的题目等2、互异性一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的。

简记为“互异性”．利用集合中元素的特异性求参数：（1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；（2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．（3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．三、元素与集合的关系1、属于与不属于概念：（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ．（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A ． 2、元素与集合关系的判断方法：（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．四、常用的数集及其记法备注: 自然数集N 含有元素0；而*N 或+N 不含有元素0；注意N 与*N 或+N 他们的区别。

五、列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．【注意】(1)元素与元素之间必须用逗号“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物．六、描述法1、定义：一般地，设A 表示一个集合，把集合A 中所有具有共同特征P (x )的元素x 所组成的集合表示为{x ∈A |P (x )}，这种表示集合的方法称为描述法．元素x 与x 的满足的条件需要用竖线隔开.2、用描述法表示集合（1）首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．（2）若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．1.2集合间的基本关系一、子集与真子集的定义与表示1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。

人教版数学必修一(A-课后习题答案

高中数学必修1课后习题答案第一章集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A ，美国_______A ，印度_______A ，英国_______A ；（2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ；（3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C ． 1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉． 2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；（4）不等式453x -<的解集．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．写出集合{,,}a b c 的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．用适当的符号填空：（1）a ______{,,}a b c ；（2）0______2{|0}x x =；（3）∅______2{|10}x R x ∈+=；（4）{0,1}______N ；（5）{0}______2{|}x x x =；（6）{2,1}______2{|320}x x x -+=． 2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集；（5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，BA ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B ．1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==， {3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}AB ==．2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,AB A B ．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}AB A B =-=-．3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ．3．解：{|}A B x x =是等腰直角三角形，{|}AB x x =是等腰三角形或直角三角形．4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==，求(),()()U U U AB A B ．4．解：显然{2,4,6}UB =，{1,3,6,7}UA =，则(){2,4}U AB =，()(){6}U U A B =．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组 1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）237_______Q ；（2）23______N ；（3）π_______Q ；（4_______R ；（5Z ；（6）2_______N ．1．（1）237Q ∈ 237是有理数；（2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉ π是个无理数，不是有理数；（4R 是实数；（5Z3=是个整数；（6）2N ∈ 25=是个自然数．2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“∉” 符号填空：（1）5_______A ；（2）7_______A ；（3）10-_______A ． 2．（1）5A ∈；（2）7A ∉；（3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-； 3．用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1且小于6的整数；（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=；（3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求． 4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（2）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合；（3）不等式342x x ≥-的解集．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠；（3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥．5．选用适当的符号填空：（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ；（2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：1_______A ； {1}-_______A ； ∅_______A ； {1,1}-_______A ；（3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形； {|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形． 5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； B A ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ；2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,AB A B ．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥，则{|2}AB x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求A B ，AC ，()A B C ，()A B C ．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}AB =，{3,4,5,6}AC =，而{1,2,3,4,5,6}B C =，{3}B C =，则(){1,2,3,4,5,6}AB C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C ．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为()A B C =∅．（1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学；（2）{|}AC x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形， {|}C x x =是矩形，求BC ，A B ，S A ．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}BC x x =是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，即{|}AB x x =是邻边不相等的平行四边形，{|}SA x x =是梯形．10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()RA B ，()R A B ，()R A B ，()R A B ．10．解：{|210}A B x x =<<，{|37}A B x x =≤<，{|3,7}RA x x x =<≥或，{|2,10}RB x x x =≤≥或，得(){|2,10}RA B x x x =≤≥或，(){|3,7}RA B x x x =<≥或，(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或，(){|2,3710}R AB x x x x =≤≤<≥或或．B 组1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}A B =，则集合B 有个．1．4 集合B 满足AB A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示什么？集合,C D 之间有什么关系？2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合，即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得DC ．3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},A B A B ==∅；当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}A B A B ==；当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}AB A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},AB a A B ==∅．4．已知全集{|010}U AB x N x ==∈≤≤，(){1,3,5,7}U A B =，试求集合B ．4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U AB =，得UB A ⊆，即()U UA B B =，而(){1,3,5,7}U A B =，得{1,3,5,7}UB =，而()UU B B =，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．求下列函数的定义域：（1）1()47f x x =+；（2）()131f x x x =-++．1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-，得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；（2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤． 2．已知函数2()32f x x x =+，（1）求(2),(2),(2)(2)f f f f -+-的值；（2）求(),(),()()f a f a f a f a -+-的值．2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-；（2）()1f x =和0()g x x =．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠． 1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm ，面积为2ycm ，把y 表示为x 的函数． 1．解：显然矩形的另一边长为2250x cm -，222502500y x x x x =-=-，且050x <<，即22500(050)y x x x =-<<．2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进． 3．画出函数|2|y x =-的图象． 3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．{|},{0,1}A x x B ==是锐角，从A 到B 的映射是“求正弦”，4．设中元素60相对应与AB 中的元素是什么？与B 中的元素22相对应的A 中元素是什的么？4．解：因为3sin 602=，所以与A 中元素60相对应的B 中的元素是32；因为2sin 452=，所以与B 中的元素22相对应的A 中元素是45． 1．2函数及其表示习题1．2（第23页）1．求下列函数的定义域：（1）3()4xf x x =-；（2）2()f x x =； O离开家的距离时间（A ） O离开家的距离时间（B ） O离开家的距离时间（C ） O离开家的距离时间（D ）（3）26()32f x x x =-+；（4）4()1x f x x -=-． 1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，2()f x x =都有意义，即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且． 2．下列哪一组中的函数()f x 与()g x 相等？（1）2()1,()1x f x x g x x=-=-；（2）24(),()()f x x g x x ==；（3）326(),()f x x g x x ==．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()()g x x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（3）对于任何实数，都有362x x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域． 3y x =；（2）8y x=；（3）45y x =-+；（4）（1）267y x x =-+．3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；定义（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．已知函数2()352f x x x =-+，求(f ，()f a -，(3)f a +，()(3)f a f +．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(3(5(28f =⨯-⨯+=+即(8f =+同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++，即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++，即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+，即2()(3)3516f a f a a +=-+．5．已知函数2()6x f x x +=-，（1）点(3,14)在()f x 的图象上吗？（2）当4x =时，求()f x 的值；（3）当()2f x =时，求x 的值．5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-，即点(3,14)不在()f x 的图象上；（2）当4x =时，42(4)346f +==--，即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-，即14x =． 6．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==，求(1)f -的值．6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根，即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=，即(1)f -的值为8．7．画出下列函数的图象：（1）0,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩；（2）()31,{1,2,3}G n n n =+∈．7．图象如下：8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d ，周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d，即d =，得(0)d x =>，由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x =+>，另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得(0)l d ===>，即(0)l d =>．9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm ，高是hcm ，现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液．求溶液内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域．9．解：依题意，有2()2dx vt π=，即24v x t d π=，显然0x h ≤≤，即240v t h d π≤≤，得204h d t v π≤≤，得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．设集合{,,},{0,1}A a b c B ==，试问：从A 到B 的映射共有几个？并将它们分别表示出来．10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．函数()r f p =的图象如图所示．（1）函数()r f p =的定义域是什么？（2）函数()r f p =的值域是什么？（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．画出定义域为{|38,5}x x x -≤≤≠且，值域为{|12,0}y y y -≤≤≠的一个函数的图象．（1）如果平面直角坐标系中点(,)P x y 的坐标满足38x -≤≤，12y -≤≤，那么其中哪些点不能在图象上？（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．当( 2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇．（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度是5/km h ，t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．请将t 表示为x 的函数．（2）如果将船停在距点P 4km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h ）？4．解：（1）驾驶小船的路程为222x +，步行的路程为12x -，得2221235x x t +-=+，(012)x ≤≤，即241235x x t +-=+，(012)x ≤≤．（2）当4x =时，2441242583()3535t h +-=+=+≈．第一章集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．整个上午(8:0012:00)天气越来越暖，中午时分(12:0013:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:0020:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．4．证明函数()21f x x =-+在R 上是减函数.4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->，即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．设()f x 是定义在区间[6,11]-上的函数.如果()f x 在区间[6,2]--上递减，在区间[2,11]-上递增，画出()f x 的一个大致的图象，从图象上可以发现(2)f -是函数()f x 的一个 .5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．判断下列函数的奇偶性：（1）42()23f x x x =+；（2）3()2f x x x =- （3）21()x f x x+=；（4）2()1f x x =+. 1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--，所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，试将下图补充完整.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间上函数()y f x =是增函数还是减函数.（1）256y x x =--；（2）29y x =-.1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增；（2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2.证明：（1）函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3.探究一次函数()y mx b x R =+∈的单调性，并证明你的结论.3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b =+，设12x x <，而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5.某汽车租赁公司的月收益y 元与每辆车的月租金x 元间的关系为21622100050x y x =-+-，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？5．解：对于函数21622100050x y x =-+-，当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元），即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.画出函数()f x的图象，并求出函数的解析式.6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1.已知函数2()2f x x x =-，2()2([2,4])g x x x x =-∈.（1）求()f x ，()g x 的单调区间；（2）求()f x ，()g x 的最小值.1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，函数()g x 的单调区间为[2,4]，且函数()g x 在[2,4]上为增函数；（2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032x m -，设矩形的面积为S ，则23033(10)22x x x S x --==-，当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下：设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-，又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．用列举法表示下列集合：（1）2{|9}A x x ==；（2）{|12}B x N x =∈≤≤；（3）2{|320}C x x x =-+=.1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？（1）{|}P PA PB =(,)A B 是两个定点；（2）{|3}P PO cm =()O 是定点.2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆．3.设平面内有ABC ∆，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是什么.3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线，集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4.已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==.若B A ⊆，求实数a 的值.4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a =，得1a =-，或1a =，综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5.已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，{(,)|30}B x y x y =+=，{(,)|23}C x y x y =-=，求A B ，A C ，()()AB BC .5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭；则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-. 6.求下列函数的定义域：（1）y =（2）||5y x =-. 6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞． 7.已知函数1()1x f x x-=+，求：（1）()1(1)f a a +≠-；（2）(1)(2)f a a +≠-.7．解：（1）因为1()1x f x x-=+，所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a-+=+=++，即2()11f a a+=+；（2）因为1()1x f x x-=+，所以1(1)(1)112a a f a a a -++==-+++，即(1)2a f a a +=-+．8.设221()1x f x x+=-，求证：（1）()()f x f x -=；（2）1()()f f x x=-. 8．证明：（1）因为221()1x f x x+=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---，即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x+=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---，即1()()f f x x=-. 9.已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围.9．解：该二次函数的对称轴为8k x =，函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k ≤，得160k ≥，或40k ≤，即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤． 10．已知函数2y x -=，（1）它是奇函数还是偶函数？（2）它的图象具有怎样的对称性？（3）它在(0,)+∞上是增函数还是减函数？（4）它在(,0)-∞上是增函数还是减函数？10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称；（3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数；（4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．2.已知非空集合2{|}A x R x a =∈=，试求实数a 的取值范围.2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥．3.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，(){1,3}U A B =，(){2,4}U A B =，求集合B . 3．解：由(){1,3}U A B =，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =，集合A B 里除去()U A B ，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =.4.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.求(1)f ，(3)f -，(1)f a +的值. 4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=；当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩． 5.证明：（1）若()f x ax b =+，则1212()()()22x x f x f x f ++=；（2）若2()g x x ax b =++，则1212()()()22x x g x g x g ++≤. 5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x a f a b x x b ++=+=++， 121212()()()222f x f x ax b ax b a x x b ++++==++，所以1212()()()22x x f x f x f ++=；（2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++ 2212121()()22x x x x a b +=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+，所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.（1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？（2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上是增函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >，所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-，又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >，所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则 0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =，所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．。

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高中数学必修一（A ）
学校姓名成绩时间120分钟，满分150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若集合{0,1,2,3},{1,2,4}A B ==，则集合A B =（）
A. {0,1,2,3,4}
B. {1,2,3,4}
C. {1,2}
D. {0}
2．已知集合x M {=｜<-2}3<x ，则下列结论正确的是（）
A ．2.5M ∈
B ．M ⊆0
C ．M ∈φ
D ．集合M 是有限集
3．函数x x f -=11
)(的值域是（）
A ．),0[+∞
B ．)1,(-∞
C ．]1,(-∞
D ． ),0(+∞
4．函数6)(2--=x x x f 的单调递增区间为（）
A ．]21
,(--∞ B ．]21
,(-∞ C ． ),21
[+∞- D ．),21
[+∞
5．下列各函数中为偶函数的是（）
A ．3+=x y
B ．x x y +=2+1
C ．x y -=
D ．11+--=x x y
6．已知2)1(x x f =-，则()f x 的表达式为（）
A ．2()21f x x x =++
B ．2()21f x x x =-+
C ．2()21f x x x =+-
D ．2()21f x x x =--
7．设集合{}21<≤-=x x A ，{}a x x B <=，若φ≠B A ，则a 的取值范围是（
）
A ．21≤<-a
B ．2>a
C ．1-≥a
D ．1->a
8．函数x x f -=11
)(的定义域是（）
A ．),1[+∞
B ．),1(+∞
C ．]1,(-∞
D ．)1,(-∞
9．下列各函数中为奇函数的是（）
A ．3+=x y
B ．x x y +=2
C ．11+--=x x y
D ．x y -=
10．函数()()26f x x x =--在(],a -∞上取得最小值4-，则实数a 的集合是（）
A ．(],4-∞
B ．44⎡⎤-⎣⎦
C ．4,4⎡+⎣
D ．[)4,+∞
11已知函数)(x f y =在R 上是增函数，且(21)(34)f m f m +>-，则m 的取值范
围是（）
A ．(-)5,∞ .(5,)
B +∞ 3.(,)5
C +∞ 3.(,)5
D -∞ 12．设函数()()1x f x x R x =-
∈+，区间[],()M a b a b =<，集合{}(),N y y f x x M ==∈，则使M ＝N 成立的实数对(,)a b 有（）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数多个
第Ⅱ卷（非选择题共64分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若函数x x x f 2)(2-=，)4,2[∈x ，则)(x f 的值域是___________
14.已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式是
15．设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则A B = ．
16．命题“20,320x x x ∀>-+<”的否定是．
三、解答题（本大题共4小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（12分）已知集合A ＝{x|2230x x --≤，x ∈R}，B ＝{x|m －2≤x≤m＋2}．
(1)若A∩B＝ [1,3]，求实数m 的值；
(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．
18．（本题满分12分）已知函数()
x≥时，
f x是定义在R上的奇函数，当0
2
=-
f x x x
()2
（1）求(1)
f-的值；
（2）当0
x<时，求()
f x的解析式；
19．（10分）设全集2
ð，
=+-=-=
{2,3,21},{|12|,2},{7}
U a a A a A
求实数a的值，并写出U的所有子集.
20．（12分）已知全集U=R ，A={x|﹣3＜x≤6，R x ∈}，B={x|x 2﹣5x ﹣6＜0，R x ∈}．求：
（1）A ∪B ；
（2）A B C U )(．
21、(本小题满分12分) 已知函数211()log 1x f x x x
+=
--,求函数的定义域，并判断它的奇偶性。

22、(本小题满分12分) 已知函数221,1x c f c X -⎧⎪⎨⎪+≤<⎩
cx+1,0<x<c （x)= ，满足29()8f c = (1)求常数c 的值；
(2)解不等式()f x >
28
＋1.
高中数学必修一（A ）参考答案
17（10分）解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．
(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎨⎧ m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3. …………….6分
(2)∁R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}．…………….8分∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1.
∴m ＞5或m ＜－3. …………………………...12分
18．解：（1）
()f x 是R 上的奇函数，(1)(1)(12)1f f ∴-=-=--= (6)
分
（2）当0,0x x <->，……………7分 22()()2()2f x x x x x ∴-=---=+，……………10分
()(),f x f x -=- 所以2()2f x x x =--，所以20,()2x f x x x <=--……………12分
19．{2}{3}{7}{23}{37}{27}{237}.∅，，，，，，，，，，，，
20．（1）{}63|<<-x x ；（2）{}13|-≤≤-x x ．
21、解：0x ≠且
101x x
+>-，11x -<<且0x ≠，即定义域为(1,0)(0,1)-；因为221111()log log ()11x x f x f x x x x x
-+-=-=-+=--+- 所以211()log 1x f x x x +=--为奇函数
22、解：(1)因为0<c<1，所以c 2<c.
由f(c 2)＝98，得c 3＋1＝98，c ＝12
. (2)由(1)得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，0<x<12，2－4x ＋1，12≤x<1，
高中数学必修一（A ）参考答案
由f(x)>28
＋1可知，当0<x<12时，12x ＋1＞28
＋1，解得24<x<12
；当12≤x<1时，2－4x ＋1＞28＋1，解得12≤x<58，所以f(x)>
28＋1的解集为{x|24<x<58}．。