第二章 线性方程组的解法
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中一种重要的数学模型，它描述了线性关系的集合。
解决线性方程组的问题在数学和应用数学中具有广泛的应用。
本文将介绍线性方程组的两种常见解法：矩阵消元法和矩阵求逆法。
一、矩阵消元法矩阵消元法是解决线性方程组的常见方法之一。
它通过对增广矩阵进行一系列的行变换来化简线性方程组，最终达到求解方程组的目的。
步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式。
2. 选取主元，即第一行第一列的元素作为主元，将主元移到对角线上。
3. 利用主元，通过一系列的行变换，将主元下方的元素化为零。
4. 对于主元右方的元素，依次选取主元，重复第2、3步，将其化为零。
5. 重复以上步骤，直到将矩阵化为上三角矩阵。
6. 反向求解未知数，得到线性方程组的解。
这种方法的优点是简单易行，适用于任意大小的线性方程组。
然而，该方法在某些情况下可能会出现无法求解的情况，例如矩阵的某一行全为零或等于其他行。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种常见的解决线性方程组的方法。
该方法利用矩阵的逆矩阵，通过左乘逆矩阵将线性方程组转化为标准形式，从而求解未知数。
步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵形式：AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。
2. 判断系数矩阵A是否可逆，若可逆，则存在逆矩阵A^-1。
3. 左乘逆矩阵A^-1，得到X = A^-1 * B。
4. 计算逆矩阵A^-1和常数向量B的乘积，得到未知数向量X，即线性方程组的解。
矩阵求逆法相较于矩阵消元法更加灵活，但对于大规模矩阵的求逆可能会涉及到较复杂的计算。
此外，在某些情况下，系数矩阵A可能不存在逆矩阵，此时该方法无法求解。
总结线性方程组是数学领域中研究的重要课题，矩阵消元法和矩阵求逆法都是常见的解决线性方程组的方法。
选择合适的解法取决于问题的具体要求和所涉及的矩阵特性。
在实际问题中，我们根据具体情况选择适当的方法，以求得线性方程组的解。
注：本文中所使用的线性方程组解法仅涵盖了部分常见方法，并不是穷尽全部解法。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
解决线性方程组可以帮助我们求解未知数的值，解释不同变量之间的关系。
本文将介绍线性方程组的解法，包括高斯消元法和矩阵法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种常见方法。
它通过逐步操作将方程组转化为一种更容易求解的形式。
下面以一个三元一次方程组为例进行说明：方程组1：2x + 3y - z = 63x + 2y + 2z = 5x - 2y + z = 0首先，将方程组写成增广矩阵的形式：[2 3 -1 | 6][3 2 2 | 5][1 -2 1 | 0]然后，通过初等行变换，将增广矩阵化简成上三角矩阵的形式。
具体步骤如下：1. 将第一行乘以3，将第二行乘以2，分别得到新的第一行和第二行。
[6 9 -3 | 18][6 4 4 | 10][1 -2 1 | 0]2. 将第二行减去第一行，将第三行减去第一行，分别得到新的第二行和第三行。
[6 9 -3 | 18][0 -5 7 | -8][1 -2 1 | 0]3. 将第二行除以-5，得到新的第二行。
[6 9 -3 | 18][0 1 -7/5 | 8/5][1 -2 1 | 0]4. 将第一行减去9倍的第二行，得到新的第一行。
[6 0 48/5 | -72/5][0 1 -7/5 | 8/5][1 -2 1 | 0]5. 将第一行除以6，得到新的第一行。
[1 0 8/5 | -12/5][0 1 -7/5 | 8/5][1 -2 1 | 0]至此，我们得到了一个上三角矩阵。
接下来，通过回代来求解变量的值。
1. 由最后一行我们可以得到 z = 0。
2. 将 z = 0 代入到第一行和第二行，可以得到：x + 8/5 = -12/5，即 x = -4；y - 7/5 = 8/5，即 y = 3。
所以，原始方程组的解为 x = -4，y = 3，z = 0。
二、矩阵法除了高斯消元法，我们还可以使用矩阵法来解决线性方程组。
线性方程组的解法
线性方程组的解法作为一个线性代数主题，线性方程组的解法是一个非常重要的领域。
在本文中，我们将介绍几种解决线性方程组问题的方法。
我们将从初等变换、高斯消元法、矩阵展开式等几个方面来深入探讨。
一、初等变换初等变换往往是解决线性方程组问题的起点。
我们可以对方程组进行一些基本的操作来得到一个简化的等价方程组，从而方便我们去寻找方程组的解，初等变换主要包括三种操作：1.交换方程组中的两个方程的位置。
2.将某个方程的倍数加到另一个方程上。
3.用一个非零常数来乘某个方程。
执行初等变换时，我们必须记住每个变换对解x的影响。
在交换方程x 和y 的位置时，它们的解不变，而在加上一只方程的某个倍数时，系数矩阵和右侧向量也会随之改变，但解不变。
用一个非零常数乘以方程只会改变右侧向量，同时系数矩阵也会改变。
二、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组问题的另一种方法。
该方法通过使用矩阵增广形式来解决线性方程组问题。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中右侧向量位于最后一列。
2. 使用初等变换来将增广矩阵化为行梯阵形式。
行梯阵是矩阵的形式，其中每一行从左侧开始的第一个非零元素称为主元（pivot），每个主元下方的元素均为零。
3. 从最后一行开始，使用回带算法来求得线性方程组的解。
高斯消元法对于小规模的线性方程组可以轻松解决。
但是，在大规模问题上，该方法可能会产生误差或需要很长时间才能找到解决方案。
三、克拉默法则克拉默法则是解决线性方程组问题的第三种方法。
该方法的关键在于将解决方案表示为每个未知数的一个比值。
这个比值是通过计算每个未知数对其余所有未知数的系数行列式比率而得到的。
这个方法的好处在于消去解方程组所需要的系数矩阵增广形式和行梯阵形式的需要。
但是，如果有许多未知数，计算每个比率可能会非常繁琐。
另外，如果有两个或更多个未知数系数具有相同的值，则克拉默法则计算行列式比率会失败。
四、矩阵展开式最后，我们来看一下使用矩阵展开式来解决线性方程组问题的方法。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题，解决线性方程组可以帮助我们求解各种实际问题。
在本文中，我们将介绍几种常见的求解线性方程组的方法。
一、高斯消元法高斯消元法是最常见、最简单的一种求解线性方程组的方法。
该方法的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组化为简化的梯形方程组，并进一步求解出方程组的解。
具体的步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式。
2. 选取矩阵中的一个元素作为主元，将主元所在的行进行换位，使主元尽可能地靠近对角线。
3. 使用消元法，通过将主元下方的所有元素消为零，将矩阵化为简化的梯形矩阵。
4. 从最后一行开始，逆推求解出每个未知数的值。
高斯消元法的优点是简单易懂，适用于一般的线性方程组。
然而，该方法在涉及大规模矩阵的情况下计算量较大，效率相对较低。
二、矩阵的逆和逆矩阵法矩阵的逆和逆矩阵法是通过求解矩阵的逆矩阵来求解线性方程组的方法。
这种方法需要先求出矩阵的逆矩阵，然后利用逆矩阵和增广矩阵相乘得到方程组的解。
具体的步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式。
2. 求解增广矩阵的逆矩阵。
3. 将逆矩阵与增广矩阵相乘，得到方程组的解。
矩阵的逆和逆矩阵法的优点是适用于包含多个方程组的情况，且相对于高斯消元法在计算大型矩阵时具有更高的效率。
然而，该方法要求矩阵可逆，且逆矩阵存在才能得到准确的解。
三、克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的方法，用于求解含有n个未知数的n个线性方程组的解。
该方法通过求解方程组的行列式来得到各个未知数的解。
具体的步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵形式，并求出系数矩阵的行列式D。
2. 分别将系数矩阵的每一列替换成常数项的列向量，分别求出替换后的矩阵的行列式D1、D2...Dn。
3. 通过D1/D、D2/D...Dn/D得到方程组的解。
克拉默法则的优点是对于小规模的线性方程组简单易懂，但对于大规模的线性方程组计算量较大，效率较低。
总结：以上介绍了几种常见的线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、矩阵的逆和逆矩阵法，以及克拉默法则。
线性方程组的解法
线性方程组的解法一、引言线性方程组是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，包括物理学、经济学、工程学等。
解决线性方程组有多种方法，本文将介绍常见的三种解法：高斯消元法、矩阵法和克拉默法。
二、高斯消元法高斯消元法是一种基于矩阵变换的解法，可以将线性方程组转化为简化行阶梯形矩阵，从而快速求解解向量。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵形式；2. 选择一个非零首元，在该列中其余元素乘以某个系数并相减，使得除首元外该列其他元素变为零；3. 重复第二步，直至将矩阵转化为简化行阶梯形矩阵；4. 从简化行阶梯形矩阵中读出解。
三、矩阵法矩阵法是一种基于矩阵运算的解法，将线性方程组转化为矩阵形式，并求解矩阵的逆矩阵，从而得到解向量。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵形式；2. 求解矩阵的逆矩阵；3. 用逆矩阵乘以等号右边的向量，得到解向量。
四、克拉默法克拉默法是一种利用行列式性质求解线性方程组的方法，适用于方程组个数与未知数个数相等的情况。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵形式；2. 计算行列式的值；3. 分别用等号右边的向量替换矩阵中对应的列，再求解行列式的值；4. 将第三步得到的值除以第二步得到的值，得到解向量。
五、比较与应用场景1. 高斯消元法在实际计算中具有高效性和稳定性，适用于任意线性方程组求解；2. 矩阵法需要先求解矩阵的逆矩阵，计算过程相对复杂，适用于方程组个数与未知数个数相等的情况；3. 克拉默法计算过程较为复杂，不适用于大规模方程组的求解，但对于小规模方程组求解比较便捷。
六、总结线性方程组的解法有多种，本文介绍了高斯消元法、矩阵法和克拉默法三种常见方法。
应根据具体情况选择合适的方法来求解线性方程组，以达到高效、准确的目的。
对于大规模方程组的计算，高斯消元法更具优势；对于方程组个数与未知数个数相等的情况，矩阵法和克拉默法更适用。
随着数学计算方法的不断发展，越来越多的解法将出现，为解决复杂的线性方程组提供更多选择。
线性方程组的解法例题线性方程组的解法
线性方程组的解法例题线性方程组的解法第二章线性方程组的解法n阶线性方程组的一般形式为:a11x1,a12x2, ,a1nxn b1 ax,ax, ,ax b 2112222nn2(2.0.1)an1x1,an2x2, ,annxn bnAx b用矩阵表示为: 其中A称为系数矩阵，x称为解向量，b称为常数向量(简称方程组自由项)，它们分别为:x1 b1 a11a12a1nx b aa2122a2n x 2 b 21，， Axn bn an1an2ann如果矩阵A非奇异，即A的行列式值det(A) 0，则根据克莱姆(Cramer)规则，方程组有唯一解:Di,i 1,2, ,n xi D其中D det(A)，Di表示D中等i列换b后所得的行列式值。
但克莱姆规则不适用于求解线性代数方程组，因为计算工作量大得难以容忍。
实际用于求解线性代数方程组的计算方法主要有两种:一是消去法，它属于直接解法;二是迭代解法。
消去法的优点是可以预先估计计算工作量，并且根据消去法的基本原理，可以得到矩阵运算(如矩阵求逆等)的求解方法。
但是，由于实际计算过程总存在有误差，由消去法得到的结果并不是绝对精确的，存在数值计算的稳定性问题。
迭代解法的优点是简单，便于编制计算机程序。
在迭代解法中，必须考虑迭收敛速度快慢的问题。
?2.1 线性方程组的直接计算求解线性代数方程组的直接解法主要是消去法(或称消元2法)。
消去法的基本思想是通过初等行变换:将一个方程乘以某个常数，以及将两个方程相加或相减，减少方程中的未知数数目，最终使每个方程中含一个未知数，从而得到所需要的解。
2.1.1 三角形方程组的计算对下三角形方程组:a11x1 b1ax,ax b 2112222(2.1.1)an1x1,an2x2, ,annxn bn可以通过前代的方法求解:先从第1个方程求出x1，代入第2个方程求出x2，依次类推，可以逐次前代求出所有xi(i 1,2, ,n)，计算公式如下:b1x1 a11i～1bi～ aij xj(2.1.2)j 13xi , i 2, 3, , n aii对上三角形方程组:a11x1,a12x2, ,a1nxn b1ax, ,ax b 2222nn2annxn bn(2.1.3)可以通过回代的方法求解:先从第n个方程求出xn，代入第n～1个方程求出xn～1，依次类推，可以逐次回代求出所有xi(i n,n～1, ,1)，计算公式如下:bnxn annnbi～ aij xj(2.1.4)j i,1xi , i n～1, n～2, , 1 aii2n 前代法和回代法的计算量都是次四则运算。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题，它可以表示为多个线性方程的组合，我们需要找到满足所有方程的解。
下面将介绍几种常用的线性方程组解法。
一、高斯消元法高斯消元法是最常用的线性方程组解法之一，它通过矩阵的初等行变换，将线性方程组转化为等价的简化行阶梯形矩阵。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式；2. 选取一个主元（通常是矩阵的第一行第一列元素）；3. 将选中的主元通过初等行变换变为1，并将该列其他元素通过初等行变换变为0；4. 重复上述步骤，直到将整个矩阵化简成行阶梯形矩阵。
通过高斯消元法得到的行阶梯形矩阵可以帮助我们找到线性方程组的解。
如果矩阵中存在形如0=1的方程，则说明该线性方程组无解。
二、克拉默法则克拉默法则是另一种解线性方程组的方法，它利用了行列式的概念。
对于一个n元线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量，如果A的行列式不为0，那么该线性方程组有唯一解，可以通过如下公式求解：xi = |Ai| / |A|, i=1,2,...,n其中|Ai|表示将A的第i列替换成向量b后的新矩阵的行列式，|A|为A的行列式。
克拉默法则的优点是直观易懂，适用于较小规模的线性方程组。
然而，它的计算过程较为繁琐，不适用于大规模线性方程组的求解。
三、矩阵求逆法对于一个n元线性方程组Ax=b，我们可以通过求解系数矩阵A的逆矩阵来得到方程组的解：x = A^(-1) * b其中A^(-1)表示A的逆矩阵，*为矩阵乘法运算。
然而，矩阵求逆法在实际应用中往往需要消耗大量的计算资源和时间，尤其是在维数较高的情况下。
因此，该方法适用于对较小规模的线性方程组求解。
四、迭代法迭代法是一种数值解法，适用于大规模稀疏线性方程组的求解。
其基本思想是通过迭代计算逼近线性方程组的解。
常用的迭代方法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法等。
雅可比迭代法的计算公式为：xi(k+1) = (bi - Σ(aij * xj(k))) / aii, i = 1, 2, ..., n其中k表示迭代的次数，xi(k)表示第k次迭代后第i个未知数的值。
线性方程组的解法线性方程组
线性方程组的解法线性方程组线性方程组是数学中常见的一种方程形式，它由多个线性方程联立而成。
解线性方程组是在给定一组方程的条件下，求出符合这些方程的未知数的取值，从而满足方程组的所有方程。
本文将介绍线性方程组的解法和应用。
一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的一种常用方法。
它通过一系列行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中未知数的系数和常数项构成矩阵的左右两部分。
2. 选取一个主元（即系数不为零的元素）作为基准行，并通过行变换使得该元素为1，同时消去其他行中该列的元素。
3. 重复上述步骤，将矩阵转化为行阶梯形式，即每一行的主元都在前一行主元的右下方。
4. 进行回代，从最后一行开始，逐步求解方程组的未知数。
高斯消元法能够解决大部分线性方程组，但对于某些特殊情况，例如存在无穷解或无解的方程组，需要进行额外的判断和处理。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种解线性方程组的方法。
它通过求解方程组的系数矩阵的逆矩阵，再与常数项的矩阵相乘，得到未知数的解向量。
具体步骤如下：1. 如果线性方程组的系数矩阵存在逆矩阵，即矩阵可逆，那么方程组有唯一解。
2. 计算系数矩阵的逆矩阵。
3. 将逆矩阵与常数项的矩阵相乘，得到未知数的解向量。
需要注意的是，矩阵求逆法只适用于方程组的系数矩阵可逆的情况，对于不可逆的方程组，则无解或者存在无穷解。
三、克拉默法则克拉默法则适用于n个未知数、n个方程的线性方程组。
它利用行列式的性质来求解未知数。
具体步骤如下：1. 构建系数矩阵和常数项的矩阵。
2. 计算系数矩阵的行列式，即主对角线上各元素的乘积减去副对角线上各元素的乘积。
3. 分别用求解一个未知数时的系数矩阵替代系数矩阵中对应列的元素，再计算新矩阵的行列式。
4. 将每个未知数的解依次计算出来。
克拉默法则的优点是理论简单，易于理解，但随着未知数和方程数的增加，计算复杂度呈指数增长，计算效率较低。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中重要的概念，它是由一系列线性方程组成的方程组。
解决线性方程组的问题在实际应用中具有重要意义，因为它们可以描述许多自然和社会现象。
本文将介绍几种常见的线性方程组的解法，包括高斯消元法、矩阵法以及向量法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的常用方法之一。
它通过对方程组进行一系列的消元操作，将方程组转化为简化的等价方程组，从而求得方程组的解。
步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，即将所有系数按照变量的次序排列，并在最后一列写上等号右边的常数。
2. 选取一个主元素，通常选择第一列第一个非零元素作为主元素。
3. 消去主元素所在的列的其他非零元素，使得主元素所在列的其他元素都变为零。
4. 选取下一个主元素，继续重复消元操作，直到将所有行都消为阶梯形。
5. 进行回代，从最后一行开始，求解每个变量的值，得到线性方程组的解。
二、矩阵法矩阵法是另一种解决线性方程组的常用方法。
它将线性方程组写成矩阵形式，通过矩阵的运算求解方程组的解。
步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵形式，即系数矩阵乘以未知数向量等于常数向量。
2. 对系数矩阵进行行变换，将系数矩阵化为行阶梯形矩阵。
3. 根据行阶梯形矩阵，得到线性方程组的解。
三、向量法向量法是解决线性方程组的一种简洁的方法。
它将线性方程组转化为向量的内积形式，通过求解向量的内积计算方程组的解。
步骤如下：1. 将线性方程组写成向量的内积形式，即一个向量乘以一个向量等于一个数。
2. 根据向量的性质，求解向量的内积，得到线性方程组的解。
以上是几种常见的线性方程组的解法。
在实际应用中，根据具体情况选择适合的解法，以高效地求解线性方程组的解。
通过掌握这些解法，可以更好地解决与线性方程组相关的问题，提高问题的解决能力。
结论线性方程组是数学中重要的概念，解决线性方程组的问题具有重要意义。
通过高斯消元法、矩阵法和向量法等解法，可以有效求解线性方程组的解。
线性方程组的解法
线性方程组的解法在数学中，线性方程组是由一系列线性方程组成的方程集合。
解决线性方程组是数学中的一个重要问题，在实际应用中也有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的线性方程组的解法，以帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种常见且经典的方法。
它通过一系列的行变换，将线性方程组化简为一个上三角矩阵，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组写成增广矩阵的形式。
步骤2：选取一个非零的系数作为主元素，并将该系数所在行作为当前行。
步骤3：将主元素所在列的其他行元素都通过初等变换变为0。
步骤4：重复步骤2和步骤3，直到将矩阵化简为上三角形式。
步骤5：回代求解，得到线性方程组的解。
高斯消元法是一种直观且容易理解的解法，但对于某些特殊的线性方程组，可能会遇到无解或者无穷多解的情况。
二、矩阵的逆乘法矩阵的逆乘法是另一种解决线性方程组的方法，它通过矩阵的逆和向量的乘法，将线性方程组表示为一个矩阵方程，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组表示为增广矩阵的形式。
步骤2：判断增广矩阵的系数矩阵是否可逆，如果可逆，则存在矩阵的逆。
步骤3：计算增广矩阵的系数矩阵的逆。
步骤4：将原始线性方程组表示为矩阵方程形式，即AX = B。
步骤5：求解矩阵方程，即X = A^(-1)B。
矩阵的逆乘法是一种简便且高效的解法，但需要注意矩阵的可逆性，在某些情况下可能不存在逆矩阵或者矩阵的逆计算比较困难。
三、克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式求解线性方程组的方法。
它通过计算方程组的系数行列式和各个未知数在方程组中的代数余子式，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组的系数和常数项构成一个矩阵。
步骤2：计算系数矩阵的行列式，即主行列式D。
步骤3：分别将主行列式D中的每一列替换为常数项列，计算得到各个未知数的代数余子式。
步骤4：根据克拉默法则的公式，未知数的值等于其对应的代数余子式除以主行列式D。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中的基础概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍线性方程组的解法，帮助读者更好地理解和解决相关问题。
Ⅰ. 一元一次方程的解法一元一次方程是线性方程组中最简单的形式，通常以“ax + b = 0”的形式表示，其中a和b为已知数，x为未知数。
解此方程的步骤如下：1. 将方程变形，将未知数项和常数项分别移至等式两边，得到“ax = -b”；2. 若a≠0，两边同时除以a，得到“x = -b/a”；3. 若a=0，若-b=0，则方程有无数解；否则，方程无解。
Ⅱ. 二元一次方程组的解法二元一次方程组包含两个未知数和两个方程，一般以如下形式表示：{a₁x + b₁y = c₁,a₂x + b₂y = c₂}常用的解法有以下三种：1. 代入法：将其中一个方程的其中一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程，解得一个未知数的值，再代入回第一个方程求得另一个未知数的值。
这种方法特别适用于其中一个方程的一个未知数的系数为1，或者已经表示为另一个未知数的函数的情况。
2. 消元法：通过消去其中一个未知数，得到一个只含一个未知数的一元一次方程，然后按照一元一次方程的解法求解。
这种方法特别适用于其中一个方程的一个未知数的系数相等，但反号的情况。
3. 克莱姆法则：通过计算系数行列式的值，可以求得二元一次方程组的解。
具体步骤是构造齐次线性方程组的系数矩阵，并计算系数矩阵的行列式值D。
然后使用未知数的系数与常数项分别替换掉系数矩阵的对应列，并计算新矩阵的行列式值Dx和Dy。
最后，解得x = Dx / D，y = Dy / D。
克莱姆法则适用于系数矩阵的行列式值不为0的情况。
Ⅲ. 三元及以上线性方程组的解法三元及以上线性方程组的解法相对复杂，但仍然可以利用与二元一次方程组相似的方法求解。
1. 高斯消元法：高斯消元法是一种基于矩阵的线性方程组求解方法。
通过初等行变换将线性方程组化为阶梯形，然后回代求解得到每个未知数的值。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题之一，其解法有多种。
本文将介绍线性方程组的两种常见解法：高斯消元法和矩阵法。
一、高斯消元法高斯消元法是一种通过行变换将线性方程组转化为最简形式的方法。
接下来，我们将通过一个具体的例子来说明高斯消元法的步骤。
假设有以下线性方程组：a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d31. 将方程组转化为增广矩阵形式将系数矩阵和常数矩阵合并成一个增广矩阵：[a1 b1 c1 | d1][a2 b2 c2 | d2][a3 b3 c3 | d3]2. 主元选取和消元选取第一列第一行的元素作为主元，通过行变换将其他行的第一列元素消为零。
具体步骤如下：a2' = a2 - a2 / a1 * a1'b2' = b2 - a2 / a1 * b1'c2' = c2 - a2 / a1 * c1'd2' = d2 - a2 / a1 * d1'a3' = a3 - a3 / a1 * a1'b3' = b3 - a3 / a1 * b1'c3' = c3 - a3 / a1 * c1'd3' = d3 - a3 / a1 * d1'其中，a1'是主元。
3. 重复第二步，将第二列的其他行元素消为零。
以此类推，将每一列的其他行元素都消为零，直到整个矩阵变为最简形式：[a1' b1' c1' | d1'][0 a2' b2' | c2'][0 0 a3' | b3']4. 回代求解从最后一行开始，按照以下步骤求解每个未知数：z = d3' / a3'y = (d2' - b2' * z) / a2'x = (d1' - b1' * y - c1' * z) / a1'这样，我们便得到了线性方程组的解。
第2章解线性方程组的直接方法5_6
~ ~ ~ = ∏ uii ⋅ ukk = det Ak −1 ⋅ u kk det Ak
i =1
k −1
~ = det Ak > 0 u kk det Ak −1
(记 det A0 = 1)
以上 k = 1 ,2 , ⋯ , n
2
因此 ~ u11 ~ U= ~ u11 =
4. 解LTx = y:
4.1 xn = yn / ann
4.2 for i=n-1,n-1,…,1 do
xi = ( yi −
k = i +1
∑a
n
ki k
x ) / aii
11
例1.
用平方根法解对称正定方程组
6 7 5 x1 9 7 13 8 x2 = 10 5 8 6 x 9 3
事实上,对称正定方程组也可以用顺序Gauss消去法求解 而不必加入选主元步骤
16
§2.6
对角占优矩阵: 对角占优矩阵
追赶法(Thomas算法 算法) 追赶法 算法 补充
i = 1 ,2 ,⋯ , n
若矩阵A = ( aij )n× n 满足
|aii |> ∑|aij |
j =1 j ≠i
n
则称A为严格对角占优矩阵. 若矩阵A = ( aij )n× n 满足
|aii | ∑|aij | ≥
j =1 j ≠i
n
i = 1 ,2 ,⋯ , n
17
则称A为弱对角占优矩阵.
有一类方程组,在今后要学习的插值问题和边值问题中 有一类方程组 在今后要学习的插值问题和边值问题中 有着重要的作用,即三对角线方程组 其形式为: 即三对角线方程组,其形式为 有着重要的作用 即三对角线方程组 其形式为
线性方程组的求解方法详解
线性方程组的求解方法详解线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数都是一次项（与其他未知数之间没有乘法关系）。
解线性方程组的目标是找到满足所有方程的未知数的值。
线性方程组的求解方法有多种，包括高斯消元法、矩阵方法、Cramer法则等。
1.高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的经典方法之一、它通过将线性方程组转化为行简化阶梯形矩阵的形式，从而求得未知数的值。
具体步骤如下：第一步，将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中增广矩阵的最后一列为方程组的常数项。
第二步，选择一行（通常选择第一行）为主元行，并将其系数设置为1第三步，对于其他行，通过消去主元的系数，并使得该列上下的其他系数为零。
这一步称为消元操作。
第四步，重复第三步，直到所有行都被消元为止。
第五步，通过回代法，将最简形的增广矩阵转化为解方程组所需的形式。
从最后一行开始，将未知数的值代入到其他行的系数中，直到所有未知数都求得其值。
2.矩阵方法矩阵方法是一种利用矩阵运算求解线性方程组的方法。
该方法可以通过矩阵的逆矩阵、伴随矩阵等来求解。
具体步骤如下：第一步，将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵写成增广矩阵的形式。
第二步，求解系数矩阵的逆矩阵。
第三步，将逆矩阵和常数矩阵相乘，得到未知数的解向量。
3. Cramer法则Cramer法则是一种基于行列式的方法，可以求解n元线性方程组。
该方法的基本思想是通过计算行列式的值来求解方程组。
具体步骤如下：第一步，计算线性方程组的系数矩阵的行列式值，如果行列式值不为零则方程组有唯一解，如果行列式值为零，则方程组无解或者有无穷多解。
第二步，将系数矩阵的每一列用常数项替换，并计算其行列式值。
第三步，将每个未知数的系数矩阵的行列式值除以原始行列式的值，得到解向量。
4.LU分解法LU分解法是一种将线性方程组的系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的方法。
该方法利用了矩阵分解的性质，通过将线性方程组转化为一个简单的形式，从而求得未知数的值。
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用线性方程组是数学中一个重要的概念，它在许多科学领域和实际应用中发挥着重要作用。
线性方程组的解法可以通过不同的方法来求解，并且其应用范围非常广泛。
一、线性方程组的定义与形式线性方程组是由线性方程组成的方程集合。
线性方程的一般形式可以表示为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b其中，a₁、a₂、...、aₙ为已知系数，x₁、x₂、...、xₙ为未知数，b为已知常数。
二、线性方程组的解法线性方程组的解法有多种方法，常见的有代入法、消元法和矩阵法。
1. 代入法代入法是一种直接求解线性方程组的方法。
这种方法将一个未知数的值代入到另一个方程中，继续求解，直至求出所有未知数的值。
2. 消元法消元法是将线性方程组进行一系列等价变换，使得方程组的形式更加简单，从而容易求解。
常用的消元法有高斯消元法和高斯-约当消元法。
3. 矩阵法矩阵法是将线性方程组用矩阵的形式表示，通过行列式的运算求解未知数的值。
矩阵法可以使用逆矩阵、伴随矩阵和克拉默法则等多种方法进行求解。
三、线性方程组的应用线性方程组的应用非常广泛，涵盖了数学、物理、经济等多个领域。
以下是几个具体的应用案例：1. 电路分析在线性电路分析中，经常需要解决电路中的电流和电压的关系。
通过建立线性方程组，可以求解电路中各个元件的电流、电压值，以及电路的稳定状态。
2. 经济模型在经济学中，经济模型通常可以表示为线性方程组。
通过建立适当的模型，可以求解经济问题中的未知数，如供求关系、生产函数等。
3. 工程优化在工程领域中，线性方程组通常应用于优化问题的求解。
通过建立适当的数学模型，可以求解出工程问题的最优解，如最小二乘法、线性规划等。
4. 数据拟合在线性回归分析中，通过建立线性方程组，可以拟合一组数据，找出数据之间的线性关系。
这一应用广泛用于数据分析、预测等领域。
总之，线性方程组的解法与应用涵盖了多个学科领域，具有重要的理论与实际价值。
数学初中教案：线性方程组的解法与应用
数学初中教案：线性方程组的解法与应用一、线性方程组的解法线性方程组是初中数学中常见的问题，它由多个线性方程共同组成。
解决线性方程组问题的方法有多种，下面我们将介绍几种常用的解法。
1. 列主元消去法列主元消去法是一种常用于解决二元和三元线性方程组的方法。
首先，我们将线性方程组写成增广矩阵形式，即将系数矩阵和常数向量合并为一个矩阵，然后通过基本行变换将其化简为最简形。
接着，利用回代或者代入的方法求得未知数的值。
2. 克莱姆法则克莱姆法则适用于规模较小（通常是二阶或三阶）的线性方程组。
该方法要求对应系数矩阵可逆。
根据克莱姆法则，只需要计算系数矩阵与相应未知数对应列向量的行列式，并除以系数矩阵行列式即可得到每个未知数的值。
3. 矩阵消元法矩阵消元法是一种高效解决大规模线性方程组问题的方法。
首先，将线性方程组写成增广矩阵形式，然后利用初等行变换将其化简为梯形矩阵。
接着，通过回代或者逆序消元法求得未知数的值。
二、线性方程组的应用线性方程组不仅在数学理论中有重要的地位，而且在实际生活中也有广泛的应用。
下面我们将介绍线性方程组的几个常见应用。
1. 电路分析在线性电路分析中，经常需要解决包含电阻、电容和电感等元件的复杂线性方程组。
通过求解这些方程组，可以确定电路中各个元件的电压和电流大小，进而进行相关计算和设计。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用于数据拟合和函数逼近问题的统计技术。
采用最小二乘法，可以通过拟合一个或多个线性方程组来找到与实际测量数据最接近的函数模型。
3. 经济学模型经济学中有许多问题可以转化为线性方程组进行求解。
例如，在供需分析中，通过建立供给曲线和需求曲线对市场平衡价格进行预测；在投资组合理论中，利用资产收益率与风险之间的线性关系对投资组合进行优化配置。
4. 工程应用线性方程组在工程领域也有广泛的应用。
例如，在结构分析中，可以通过求解线性方程组来确定建筑物或桥梁的静力平衡问题；在信号处理中，采用线性方程组可以预测和校正噪声干扰对信号质量产生的影响。
线性方程组的求解方法
线性方程组的求解方法一、线性方程组的定义线性方程组是指由若干个含有未知数的线性方程组成的方程组。
其中每个方程的左边是一个线性多项式，右边是一定的常数。
线性方程组的形式可以用矩阵运算来表示，即Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。
二、线性方程组的解线性方程组的解有三种情况：1.无解当系数矩阵与常数向量不能表示同一平面或同一直线时，该线性方程组无解。
2.唯一解当系数矩阵为非奇异矩阵时，线性方程组有且仅有唯一解。
3.多解当系数矩阵为奇异矩阵时，线性方程组存在无数个解。
三、 1.高斯消元法高斯消元法是最基本的线性方程组求解方法之一。
该方法通过对系数矩阵进行初等行变换，使得系数矩阵化为一个上三角矩阵，然后通过回带求解出未知向量的值。
该方法的优势是求解速度较快，但在矩阵规模较大时计算量会很大。
2.矩阵分解法矩阵分解法是将系数矩阵分解成多个矩阵的乘积形式，比如将系数矩阵分解为LU矩阵或者QR矩阵。
这样一来，我们就可以使用矩阵运算的方法来求解线性方程组。
该方法的优势在于计算速度较快，稳定性强，适合求解大型的线性方程组。
3.迭代法迭代法是通过不断迭代计算近似解来求解线性方程组的方法。
该方法的优势是可以在计算机上实现，便于进行矩阵运算，但需要控制迭代次数以及选择合适的迭代算法，否则可能会导致计算精度不够或者迭代次数过多。
四、线性方程组的应用线性方程组在科学计算中有着非常重要的应用。
比如在机器学习、数据挖掘、图像处理、金融工程等领域中，都需要对线性方程组进行求解。
特别是在人工智能的发展中，对大规模线性方程组的求解有着重要的作用。
五、总结线性方程组的求解方法包括高斯消元法、矩阵分解法和迭代法等多种方法。
不同的方法适用于不同的情况，需要根据具体问题的需要进行选择。
随着计算机技术的不断发展，我们预计未来将会出现更加高效、稳定、精确的线性方程组求解算法，为科学计算和人工智能的发展提供更好的支持。
第2章线性方程组的直接解法
高阶稀疏阵
small dense matrix
Gaussian elimination
large sparse matrix
Jaccobi iteration
Gauss-Sidel iteration SOR
Direct methods
列/行/完全主元素(pivoting)消去法 Gauss-Jordan elimination Square root/improved square root methods 追赶法
an 2
2
1 1 a1n x1 b1 2 2 x a2 n 2 b2 2 2 ann xn bn
A xb
(2)
(2)
Iteration methods
Gaussian elimination
--通过初等变换将原方程组化成三角方程租来求解
x1 x2 x3 6 (1) 4 x2 x3 5 (2) 2 x 2 x x 1 (3) 2 3 1 (1) x1 x2 x3 6 4 x2 x3 5 (2) 4 x2 x3 11 (3)
k 1
a11 x b11 n 1 2 x b 2 a2 n 2 2 k x k akn b k k k 1 k 1 ak 1n xk 1 bk 1 x k ann 1 n bnk 1
k k
k ij
k kj
消
元
过
完整版)线性方程组的常见解法
完整版)线性方程组的常见解法一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的常见且有效的方法。
它的基本思想是通过一系列的行变换，将线性方程组化为简单的等价形式，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：1.将方程组写成增广矩阵的形式。
2.选择一个主元，通常选择首行首列的元素作为主元。
3.对其它行进行变换，使得主元下面的元素都变为0.4.重复步骤2和步骤3，直到将增广矩阵变成上三角形矩阵。
5.从最后一行开始，逐步计算出未知数的值。
高斯消元法的优点是简单、直观，适用于任意的线性方程组。
然而，当线性方程组中出现矩阵的秩小于未知数量的情况时，可能存在无解或无穷多解的情况。
二、克拉默法则克拉默法则是另一种常见的解线性方程组的方法。
它通过分别计算每个未知数在方程组中的系数的行列式值，从而求解出未知数的值。
具体步骤如下：1.将方程组写成矩阵的形式。
2.计算系数矩阵的行列式值。
3.将未知数的系数替换为方程组中的常数，然后计算新的矩阵的行列式值。
4.重复步骤3，每次只替换一个未知数的系数。
5.将每次计算得到的行列式值除以系数矩阵的行列式值，得到各个未知数的值。
克拉默法则的优点是在某些特定情况下比高斯消元法更便捷，且不需要判断线性方程组是否有解或有无穷多解。
但是，克拉默法则的计算复杂度比较高，不适用于大规模的线性方程组。
三、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种常见且有效的解线性方程组的方法。
它通过求解矩阵的逆矩阵，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：1.将方程组写为矩阵的形式。
2.判断系数矩阵是否可逆，若可逆则继续，否则方程组无解或有无穷多解。
3.求解系数矩阵的逆矩阵。
4.将常数向量乘以逆矩阵，得到未知数向量。
矩阵求逆法的优点是计算精确，适用于任意规模的线性方程组。
然而，计算矩阵的逆矩阵需要一定的计算量，不适合处理大规模的方程组。
总结：以上是线性方程组的常见解法。
在选择解法时，可以根据方程组的特点、规模、求解的精确度要求等因素进行权衡。
我们需要明确方程组是否有解或有无穷多解，并选择适用于特定情况的求解方法。
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第二章 线性方程组的解法基本解法迭代法和直接法。
直接方法大家已学过，我们重在分析程序写法。
§1 雅可比（J a c o b i ）迭代法例： 求解线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩ 分离出1x 、2x 、3x ，构造迭代(1)()()123123(1)()()213213(1)()()3123120.10.20.720.10.20.720.10.20.830.10.20.830.20.20.840.20.20.84k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++=++=++=++⇒=++=++=++取初值(0)(0)(0)1230x x x === 得到近似解 准确解为****1231.1 1.2 1.3x x x ===思路和方程迭代解法一样(1)()0()()k k f x x x x x ϕϕ+=→=→=(1)(2)(4),x x x 极限存在 极限为根线性方程组11112211111221111()n x n n a x a x a x bx b a x a x a +=⇒=--112211()ni i in n ii i ij j j ii j ia x a x a xb x b a x a =≠+=⇒=-∑1112211()n n n nn n nn n nj j j nn a x a x a x b x b a x a -=+=⇒=-∑矩阵(,)(,)AX b A n n A i j =1122x b X x b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦当()k X 极限存在就是方程组的解，本方法也适用于非线性方程组1121111212121212(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n i n i i i n n n nn n n f x x x b x x x x f x x x b x x x x f x x x b x x x x ϕϕϕ======迭代 极限存在 极限即为解程序思想：定义数组 A （n ,n ） X 0(n ) X (n ) B (n ) 读入组数 A B X 0 (初值) D o 100 k =1,10 D o 200 i =1,n1()()(,)*0()nj j iX i B i A i j X j =≠=-∑ 三重循环200 C O N T I N U ED O 300 i =1，n300 X 0（i ）=X (i ) 100 W R I T E （*，*）X S t o p E n d 51 2 3 4 5 7 8 9 2460§2 高斯-塞德尔（G a u s s -S e i d e l ）迭代法对雅可尔迭代稍加改进 就可得到更有效的计算公式J a c o b i 迭代中，第k 次迭代时，i x 都用的是第1k -次迭代结果 例如 (1)()11()nk k iij i j ii j ixbi a x a +=≠=-∑ 在此之前(1)1k x +到(1)1k i x +-已经迭代出第k +1次结果。
我们用已有的(1)1k x +到(1)1k i x +-新值，可改造为1(1)(1)()111()i nk k k ii ij j ij j j j i ii xb a x a x a -++==+=--∑∑ 高斯-塞德尔迭代法程序更简单：定义数组 A （n ,n ） X 0(n ) X (n ) B (n ) 读入组数 A B X 0 (初值) D o 100 k =1,10 D o 200 i =1,n11()()(,)*0()nj j iX i B i A i j X j =≠=-∑1()()(,)*()nj j iX i B i A i j X j =≠=-∑ 三重循环200 C O N T I N U ED O 300 i =1，n 300 X 0（i ）=X (i ) 100 W R I TE （*，*）X S t o p E n d§3 超松驰迭代法我们要解的方程组是 矩阵形式AX b = 12112221,22,a a x b x b a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦有初值 (0)X(0)1(0)2x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(0)AX b ≠ (0)1211(0)221,222,a a x b b a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≠⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦有一残余误差(0)1111121(0)(0)2221222r b a a x r b AX r b a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(1)(0)(0)11111121(1)(0)(0)(1)(0)(0)22122222()x x b a a x X X b AX b a a x x x ωω⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪=+-=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭将b 的残余误差用来修正X ，数学家也很伟大当()k X 极限，极限即解 为什么收敛极限即解？ 迭代公式：(1)()()1()nk k j j k i i i j x x bi a x ω=+=--∑注意j i =可以，且必须含有该项或1(1)()(1)()1()i nk k k k i i ij j aj j j j ix x bi a x a x ω-++===---∑∑以上两式迭代有何异同？ 当0ii a ≠时1(1)()(1)()1()i nk k k k i i ij j ij j j j iii wx x bi a x a x a -++===---∑∑w 减少 ii a 倍 不影响思想可以证明 保证迭代收效 必须要求 02ω<< 01ω<<低松弛法 1ω< 超松弛法迭代法的收放性定理 所有迭代都可写成矩阵形式X BX f =+ 111211212222a a x b a a x b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 对任意初值问差(0)x 及任意f 121111*********()/a bx b a x a x a a =-=-- 迭代收放的充要条件是： 212222112212222()/a bx b a x a x a a =-=-- ()1B ρ<()B B i i B Max ρλλ=为方阵B 的特征值1112121222det()0n nnnb b b E B b b b b λλλλ-------=-定理（充分条件）1B < 对任意(0),X f 收敛对角元点优 1nii ij j j ia a =≠>∑对间钱上元素绝对值大于同行元素绝对值之和。
A X =b 则J a c o b i G a u s s -S e i d e l 都收敛。
§4 高斯消去法111213112122232233313233a a a x b a a a x b x b a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 111122133121122223323113223333(1)(2)(3)a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=++=++= 121(2)(1)(2)12122221111j jja ab a aa bb a a --=+=+2111(1)(2)a a -⨯+消去②中的1x 131(2)(1)(2)13133331111j jja ab a aa bb a a --=+=+3111(1)(3)a a -⨯+消去③中的1x 即消第i 行的 1x (1)(1)(1)(1)11(2)(1)(2)(1)111111j i i ij ij i i a a b a a a b b a a =-=-i=2,3,4.....n j=1,2,3....n (2)ija 经过上式得零。
或 i =2,3,4.....n j = 直接让(2)ij a为零。
经过k -1次消元111213111121222321221113...................................00.........................00 00.....n n n n kk kn kn k ik in in nk nn nn a a a a a x a a a a a x a a a x a a a a a a -----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12....................k i i n n b b b x b x b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦第k 次()()(1)()()()()(1)()()k k kj ik k k ij ij k kkk k k k k ikii k kka a a a ab a bb a ++=-=-1,2,....,1k n =- 消 k x 用第k 个方程消其下边方程中的k x 1,....,i k n =+ 消第i 个方程中的k x,....,j k n = 消第i 个方程中的k x 时第i 个方程中各项相应变化当j =k 时(1)0k ik a +=或1,....,j k n =+ 消第i 个方程中的k x 时第i 个方程中各项相应变化强行让(1)0k ika += D O 100 k =1, n -1D O 200 i =k +1, nk iki i kkb a b b a =-D O 300 j =k ,nkj ik ij ij kka a a a a =-300 C O N T I N U E 200 C O N T I N U E 100 C O N T I N U E回代过程1112121122232233330a a a x b a a x b x b a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 111,1,1,1/()/()/n n nnn n n n n n n ni i i ji iij i x b a x b a x a x b ax a -----=+===--∑程序结构：/n n nnx b a =D O I =N -1，1，-1T =0.0 D O J =I +1，N T =T + ij ia xE N D D O()/i i iiX b T a =-E N D D O列主元素消去法高斯消去法 碰到(1)()1122,,k ii a a a 为零或很小时，消去无法进行。