勾股定理的有关证明
勾股定理16种经典证明方法
ab c ab b a 214214222⨯+=⨯++【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴ ()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2.D G B a b c a b c a bc a b cb a b a b ab ac b a c b a c b a c ba cb ac b a b acGD AFE Ha bab c c CD P H G FE C a bc a b cab c a b∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+.【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ， ∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a . ∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+c c c b a c b a A B E F P Q M N abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P . 过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点 F 作FN ⊥PQ ，垂足为N .∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ，∴ ∠MPC = 90º，∵ BM ⊥PQ ，∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ，∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA . 同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点 L .∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于221a，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积∴ 222b ac += ，即 222c b a =+.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB . AD ∶AC = AC ∶AB ，即 AB AD AC •=2.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC •=2.ADC a cb c bacb a ABC E GHM∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+，即 222c b a =+. 【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC . 又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c ， ∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b .由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a . ∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA .∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+=812SS b -- . ② 把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++==922S S b ++ = 22a b +. ∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE .又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º， BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a .∴ GH = GT ―HT = b ―a .又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC .987654321P Q R H G D a b c a c c c M T G F E DC B A c b a 87654321∵ DB = EB ―ED = b ―a ， ∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27SS =. 过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58SS =. 由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=， 又∵27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ，即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AD AE AC •=2=()()BD AB BE AB -+=()()a c a c -+ = 22a c -，即222a c b -=，∴ 222c b a =+.【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB •+•=•，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b a c +=，∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+a b aaBAC Dcbacab cA CB D= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2.∴ ()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵ab S ABC 21=∆， ∴ABC S ab ∆=42， 又∵AOC BOCAOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = br ar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+.【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+• 可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º. 这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）AC a cbab 21ab 21ab 21ab 212c 2b 2a A D Daba b ccccb aab ab b a b a设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ， ∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ，∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC .∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中，∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=，732S S a +=，76451S S S S S +===，∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++ =5432S S S S +++=2c∴ 222c b a =+.B DF G Ha bca b cac a bc 1234567。
勾股定理500种证明方法
勾股定理500种证明方法勾股定理是数学中的一条重要定理，它是说对于任意直角三角形，斜边的平方等于两个直角边的平方之和。
具体表达式如下：\[a^2+b^2=c^2\]这里，a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。
欧几里得给出了最早的证明方法，他使用了几何构造和演绎的方法来证明这个定理。
1.欧氏证明方法：欧几里得通过将两个直角边的平方进行拼贴，得到一个正方形，并证明这个正方形的面积等于斜边的平方。
2.平行线切割法：通过平行线的切割，将直角三角形分割为几个图形，然后利用这些图形的面积关系证明勾股定理。
3.三角形面积法：通过计算直角三角形各个边上的高，然后将两个直角边的长度和其对应的高代入三角形面积公式，证明勾股定理。
4.变形推导法：将勾股定理移项变形，推导出其他几何定理，再反推回来证明勾股定理。
5.相似三角形法：利用两个直角三角形的相似性质，建立它们之间的边长比例，然后通过约分和乘法证明勾股定理。
6.余弦定理法：利用三角形的余弦定理，将三角形的边长和夹角之间的关系表达式代入勾股定理，然后进行化简证明。
7.对角线法：通过划分直角三角形的对角线，构造与角度相关的图形，然后运用几何性质证明勾股定理。
......（继续列举）这些只是勾股定理证明的几种常见方法，还有很多其他方法，涉及不同的数学分支和概念。
基于这三个基本量的几何关系，有许多方法可以推导出这个定理，每种证明方法都有其独特之处，展示了数学的丰富性和多样性。
通过探究不同的证明方法，我们可以增加对数学的理解和思维能力。
勾股定理是一个基本而重要的定理，它在数学和物理等领域中都有广泛的应用，所以了解多种证明方法可以帮助我们更好地理解和应用这个定理。
勾股定理五种证明方法
勾股定理五种证明方法
1. 代数证明：假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜
边为c。
根据勾股定理，我们有a^2 + b^2 = c^2。
将三条边的
长度代入该等式，进行计算验证即可证明。
2. 几何证明：通过绘制直角三角形，并利用几何原理证明。
例如，可以画一个正方形，然后在其两条相对边上各画一个相等的直角三角形，再使用平行四边形的性质可以得出a^2 + b^2
= c^2。
3. 相似三角形证明：假设两个直角三角形，已知其斜边比例为m:n，利用相似三角形的性质可以得出直角边的比例也是m:n，进而得到a^2 + b^2 = c^2。
4. 平行四边形法证明：利用平行四边形的性质，可通过画出一个具有相等对边的平行四边形来证明勾股定理。
通过平行四边形的性质可以得出a^2 + b^2 = c^2。
5. 微积分证明：利用微积分的知识可以证明勾股定理。
通过对直角三角形边长进行微分，并进行适当的运算，可以得到a^2 + b^2 = c^2。
这种证明方法比较复杂，需要较高的数学知识和
技巧。
勾股定理16种经典证明方法
勾股定理16种经典证明方法本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.Marchabc ab b a 214214222⨯+=⨯++【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴ ()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE,∴∠HDA = ∠EAB.∵∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+.【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则,21222ab S b a ⨯+=+ abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N .∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ，∴ ∠MPC = 90º，∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF .从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L . ∵ AF = AC ，AB = AD ，∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， ∵ ΔFAB 的面积等于221a， ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积∴ 222b a c += ，即 222c b a =+.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB ，即 AB AD AC •=2.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC •=2.∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+，即 222c b a =+. 【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC . 又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a . ∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+=812SS b -- . ② 把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++== 922S S b ++ = 22a b +.∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE .又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE .∴ HT = AE = a .∴ GH = GT ―HT = b ―a . 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º， ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠∴ ∠GHF = ∠DBC . ∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ， ∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ，即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AD AE AC •=2=()()BD AB BE AB -+=()()a c a c -+ = 22a c -，即222a c b -=，∴ 222c b a =+.【证法12在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB •+•=•，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b a c +=，∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+ = CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2. ∴ ()()222c r b a +=+， 即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵ab S ABC 21=∆，∴ ABC S ab ∆=42，又∵ AOC BOCAOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = br ar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+. 【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ， ∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中，∵∠B = ∠B，∴若BD：BC≠BC：AB，则∠CDB≠∠ACB.又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立. ∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ， ∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC . ∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a .D D∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中， ∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=，76451S S S S S +===，∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+.。
十种方法证明勾股定理
十种方法证明勾股定理勾股定理是中学数学中最基本的定理之一，解决了数学中的许多问题。
它是一个既基础且实用的定理，有许多方法可以证明它，下面介绍十种方法：1.欧拉定理证明法：构造出一个直角三角形，把它的两条直角边对应的两个正方形放在直角三角形外面，另一条边对应的正方形放在直角三角形内部，再利用欧拉定理计算出三个正方形的面积，可以证明勾股定理。
2.代数证明法：利用代数的平方公式，把直角三角形的两条直角边平方相加，再把斜边平方，然后再将两者相减，得到一个等式，即可证明勾股定理。
3.数学归纳法证明：用数学归纳法证明勾股定理，证明当n为正整数时，定理成立。
4.相似三角形证明法：构造出相似的三角形，利用相似三角形的性质，可以推导出勾股定理。
5.向量证明法：用向量的几何意义证明勾股定理，首先利用向量的长度和夹角的公式计算出向量的长度和夹角，再利用向量的点积公式计算出勾股定理中的各个变量，最后推导出勾股定理。
6.割圆术证明法：利用割圆术将直角三角形对角线作为半径画圆，利用圆上弧角定理，可以得到勾股定理。
7.平面几何证明法：用平面几何证明勾股定理，利用平面几何图形的形状和大小关系，推导出勾股定理。
8.解析几何证明法：用解析几何证明勾股定理，利用平面直角坐标系，将三角形的三个点用坐标表示出来，推导出勾股定理。
9.三角函数证明法：用三角函数证明勾股定理，利用三角函数的性质，将三角形分离出直角三角形和非直角三角形，再用三角函数计算出各个变量，推导出勾股定理。
10.古希腊证明法：古希腊人对勾股定理有自己的证明方法，即利用几何图形的形状和大小，通过构造几何图形推导出勾股定理。
这些证明方法都可以证明勾股定理的正确性，它们有不同的适用范围和难度级别，可以根据自己的水平和兴趣选择合适的证明方法。
关于“勾股定理”的60种证法
关于“勾股定理”的60种证法1.（面积法证明）1 证法1.1：证明：在直角三角形ABC 中，分别作以AB 、AC 、BC 为边的正方形ABED,正方形ACJI 和正方形BCHG ，连接线段IB 、CD 、AG 、CE 。
过点C 作DE 的垂线CK ，交DE 于点K ，交AB 于点L 。
90,,CAI BAD CAB CADCAB CAD AC AI AD AB ACD AIB∠=∠=∴∠=∠∠=∠==∴∆≅∆线段AI 平行于线段BJ ∴AIB ∆的面积等于AIC ∆ACD AIB ∆≅∆AIC ∴∆的面积等于ACD ∆ 线段AD 平行于线段CK∴矩形ADKL 的面积等于ACD ∆面积的两倍正方形ACJI 的面积等于AIC ∆的两倍，AIC ∆的面积等于ACD ∆ ∴矩形ADKL 的面积等于正方形ACJI 的面积同理，有：矩形BEKL 的面积等于正方形BCHG 的面积。
正方形ABED 的面积等于矩形ADKL 的面积加上矩形BEKL 的面积∴正方形ABED 的面积等于正方形ACJI 的面积与正方形BCHG 的面积之和即222AC BC AB +=.Remark ：此为欧几里得（Euclid,约公元前330年-公元前275年）在几何原本中的证明方法。
2 证法1.2:证明：在上图中，整个正方形的面积为2()a b +，又等于四个直角三角形的面积加上里面的小正方形的面积，等于22ab c +。
因此，22()2a b ab c +=+，此即：222a b c +=。
Remark :此证法据Bretschneider 和Hankel 的推测，为毕达哥拉斯（Pythagoras ，约公元前580～约前500）的证法。
3 证法1.3（总统证明法）如图，三角形ABC 与三角形BDE 完全相等，易证三角形ABE 为等腰直角三角形。
整个直角梯形ACDE 的面积为21()2a b +，又等于两个直角三角形的面积加上等腰直角三角形ABE 的面积，等于212ab c +，故2211()22a b ab c +=+。
勾股定理9种证明(有图)
勾股定理的9种证明（有图）【证法1】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形， 则每个直角三角形的面积 等于2ab .把这四个直角三角形拼成如图所示形状， 使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、 C 三点在一条直线上，C G D 三点在一条直线上.v Rt △ HAE 坐 Rt △ EBF, ••• / AHE = / BEF.v / AEH + / AHE = 90o, • / AEH + / BEF = 90o.• / HEF = 180o — 90o= 90o.•四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形.它的面积等于c 2.v Rt △ GDH 坐 Rt △ HAE, • / HGD = / EHA. v / HGD + / GHD = 90o,• / EHA + / GHD = 90o. 又v / GHE = 90o, • / DHA = 90o+ 90o= 180o.2• ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于（a + b ）.21 2a b 4 ab c222•2. • a b = c .【证法2】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b ，斜边长为c.把它 们拼成如图那样的一个多边形，使 D E 、F 在一条直线上.过C 作AC 的延长线交DF 于/ EGF + / GEF = 90°, / BED + / GEF = 90 ° , / BEG =18(b — 90o= 90 o. 又 v AB = BE = EG = GA = c• / ABC + / CBE = 90o.v Rt △ ABC 坐 Rt △ EBD, • / ABC = / EBD.• / EBD + / CBE = 90o. 即 / CBD= 9Gb. 又 v / BDE = 90o ,Z BCP = 90o ,D 、E 、F 在一条直线上，且Rt △ GEF 幻Rt △ EBD, ABEG 是一个边长为c 的正方形.a b HH匕DA FbaP bCBC = BD = a.••• BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCB 的面积为S,则21 b S2 ab, 2 1=S 2 ab2 ,a 2 +b 2 =c 2【证法3】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b （b>a ）c.再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使 直线上. 过点Q 作QP// BC 交AC 于点P. 过点B 作BML PQ 垂足为M ；再过点 F 作FNL PQ 垂足为N.v / BCA = 90o , QP// BC • / MPC = 90o , v BM 丄 PQ• / BMP = 90o ,• BCPM 是一个矩形，即/ MBC = 90o.v / QBM + / MBA = / QBA = 90o , / ABC + / MBA = / MBC = 90o , • / QBM = / ABC又 v / BMP = 90o ,/ BCA = 90o , BQ = BA = c , • Rt △ BMQ 坐 Rt △ BCA.同理可证Rt △ QNF 幻Rt △ AEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 在一条直线上，连结BF CD.过 C 作 CL L DE 交AB 于点M 交DE 于点L.v AF = AC , AB = AD,/ FAB = / GAD• △ FAB 坐△ GADE 、A ，斜边长为C 三点在一条 H 、C B 三点 v △ FAB 的面积等于K△ GAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，二矩形ADLM 的面积二 同理可证，矩形 MLEE 的面积 v 正方形ADEB 勺面积 =矩形ADLM!勺面积+ /. c 2 a 2 b 2，即 a 2 -【证法5】(杨作玫证明) 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b (b>a ),斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A 作AF 丄AC AF 交GT 于F , AF 交DT 于 R.过B 作BP 丄AF,垂足为 E , DE 交 AF 于 H. v / BAD = 90o ,Z PAC = 90o , ••• / DAH = / BAC. 又 v / DHA = 90o ,Z BCA = 90o , AD = AB = c ,• Rt △ DHA 坐 Rt △ BCA. • DH = BC = a , AH = AC = b. 由作法可知，PBCA 是一个矩形， 所以 Rt △ APB 坐 Rt △ BCA.即 PB = CA = b , AP= a ,从v Rt △ DGT 坐 RtRt △ DHA 坐 Rt• Rt △ DGT 坐 Rt • DH = DG = a , 又 v / DGT = 90o ,2 a . =b 2 矩形MLEB 勺面积 b 2 =c 2. PH = b — a. △ BCA , △ BCA. △ DHA . / GDT = / HDA . / DHF = 90o ,P.过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为 / GDH = / GDT + / TDH = / HDA+Z TDH = 90o ,• DGFH 是一个边长为a 的正方形.• GF = FH = a . TF 丄AF , TF = GT — GF = b — a .• TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=b-a ,下底BP= b ,高FP=a + (b —a ).用数字表示面积的编号(如图)，则以c 为边长的正方形的面积为 c 2 = Si S 2 S 3 S 4 S 51S 8 +S 3 +S 4 =- b + (b - a )】• a + (b -a /v2S5 - S 8' S 9丄21 .S 3S 4-b 2 ab・・ 2把②代入①，得c^S iS 2b 2 -S^S 8S 8S 9①b 2 -1 ab2 ,2=bS2S 9 = b 2 川 a 2【证法6】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a 、b （b>a ）,斜边的长为c.做三个边长分别为a 、 b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A 、E 、G 三点在一条直线上.用数字表示 面积的编号（如图）.v / TBE = / ABH = 900, ••• / TBH = / ABE. 又 v / BTH = / BEA = 900,BT = BE = b , • Rt △ HBT 坐 Rt △ ABE. • HT = AE = a. • GH = GT — HT = b — a. 又 v / GHF + / BHT = 900,/ DBC + / BHT = / TBH + • / GHF = / DBC.v DB = EB — ED = b — a , / HGF = / BDC = 90o , • Rt △ HGF 坐 Rt △ BDC.即 S ^ S 2.过 Q 作 QM L AG 垂足是 M.由/ BAQ = / BEA = 90o ,可知 / ABE =/ QAM 而 AB = AQ = c ，所以 Rt △ ABE 幻 Rt △ QAM .又 Rt △ HBT 幻Rt △ ABE.所以 Rt △ HBT 幻 Rt △ QAM .即 S 8 二 S 5.由 Rt △ ABE 坐 Rt △ QAM 又得 QM = AE = a ，/ AQM = / BAE.v / AQM + / FQM = 90o ,Z BAE + / CAR = 90o ,Z AQM = / BAE • / FQM = / CAR.【证法7】（利用多列米定理证明）• Rt △ QMF 坐 Rt △ ARC.即 S 4 =S6.• • c 2 =S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 a 2 S 6又v S 7 二 S 2 S g 二 S 5 S 4 二 S 6> > >• a 2 b 2 = S ! S 6 S 3 S 7 S 8=S iS 4 S 3 S 2 S 52=c ,即a 2 + b 2 =c 2.又 v / QMF = / ARC = 90o , QM = AR = a , b^ S 3 S 7 S 8R a A在Rt △ ABC 中，设直角边 BC= a , AC= b ,斜边AB = c (如图).过点A 作AD// CB, 过点B 作BD//CA 则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接 四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有AB ・DC 二 AD ・BC AC *BD ,AB = DC = c , AD = BC = a , AC = BD = b ,AB 2 =BC 2 +AC 2，即 c 2 =a 2 +b 2 a 2 +b 2 =c 2【证法8】（利用反证法证明） 如图，在Rt △ ABC 中，设直角边 AG点C 作CDL AB 垂足是D.假设a 2 b 2=c 2，即假设AC 2 BC —AB 2，则由AB^AB *AB =AB AD BD =AB ・AD AB * BD可知 AC 2 式 AB ・AD ，或者 BC 2 式 AB ・BD .即 AD : AO AG AB 或者 BD : BO BC AB. 在厶ADC 和△ ACB 中, v / A = / A,.若 AD : AW AC AB 」 / AD 字/ ACB.在厶CDB 和△ ACB 中, v / B = / B ,.若 BD BW BC AB,贝S / CDB^Z ACB. 又v / ACB = 90o ,. / AD& 90o ,Z CD 字 90o. 这与作法CDLAB 矛盾.所以，/. a 2 b 2 = c 2.【证法9］（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a 、b,斜边的长为c.作边长是a+b 的正方形ABCD. 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 (a +bf =a +b +2ab ；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形 ABCD 勺21 2,.十.(a +b 『=4 乂一ab+c 2面积为 2= 2ab c .2 2 2.. a b 2ab 二 2ab c ,BC 的长度分别为a 、b ,斜边AB 的长为c ,过 AC 2 • BC 2 = AB 2的假设不能成立..a2+b2=c2.。
勾股定理9种证明(有图)
勾股定理的9种证明（有图）【证法1】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法2】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P.∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ， ∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a.∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+ abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法3】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA = 90º，QP∥BC，∴∠MPC = 90º，∵ BM⊥PQ，∴∠BMP = 90º，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，∴∠QBM = ∠ABC，又∵∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，Array交AB于点M，交DE于点L.∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ΔFAB ≌ΔGAD，∵ ΔFAB 的面积等于221a ，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a . 同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积∴ 222b a c += ，即 222c b a =+.【证法5】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R. 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P. 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H.∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴ ∠DAH = ∠BAC.又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c ， ∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA. ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA. 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a.∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA.∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+= 812S S b -- . ②把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++== 922S S b ++ = 22a b +.∴ 222c b a =+.【证法6】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c. 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE.又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ， ∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT ―HT = b ―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC. ∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC. 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE. 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE. ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR.又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ， ∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC. 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++ =2c ，即 222c b a =+.【证法7】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB •+•=•，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b a c +=，∴ 222c b a =+.【证法8】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D.假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB.在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB. 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB.又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法9】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c. 作边长是a+b 的正方形ABCD. 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++, ∴ 222c b a =+.。
勾股定理的500种证明方法
勾股定理的500种证明方法1.几何推导：这是最著名的证明方法。
它通过将直角三角形切割、旋转、重新拼合，利用几何图形的性质，推导出勾股定理。
2. 代数证明：假设直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c。
则根据勾股定理，我们有c² = a² + b²。
我们可以将这个等式写成(a + b)² = c² + 2ab。
将c² = a² + b²代入，得到(a + b)² = a² + b² + 2ab。
再进一步化简，得到a² + 2ab + b² = a² + b² +2ab。
最后，化简为a² + b² = a² + b²。
我们可以发现，等式两边完全相等，从而验证了勾股定理。
3.数学归纳法证明：我们首先证明直角三角形边长为3,4,5时，满足勾股定理。
然后，假设对于边长小于n的所有直角三角形，都满足勾股定理。
接下来，我们考虑直角三角形边长为n的情况。
我们可以将这个三角形切割成由三个直角子三角形组成的形状。
根据归纳假设，这三个子三角形满足勾股定理。
我们可以对这些子三角形应用基本的代数运算和性质，进一步证明整个直角三角形也满足勾股定理。
4.平行四边形法证明：将一个直角三角形内切于正方形中，然后根据正方形的性质和等式关系，利用平行四边形的性质推导出勾股定理。
5.反证法证明：假设存在一个直角三角形，它的三条边无法满足勾股定理。
然后，通过对无法满足定理的条件进行分析，得出矛盾，从而证明了勾股定理的正确性。
6.数学几何方法：通过利用数学几何的原理和定理，如相似三角形、垂直直角等，推导出勾股定理的等式。
7.三角函数法证明：将三角函数引入到勾股定理的等式中，然后根据三角函数的性质，推导出等式成立。
以上仅为部分常见的证明勾股定理的方法，实际上有无数种证明方法可供选择。
10种勾股定理的证明方法
10种勾股定理的证明方法1什么是勾股定理勾股定理，又称勾股论，是基督教神学家和物理学家第乌里希（Pythagoras）在公元前6世纪提出的一个名言：在给定一个直角三角形中，直角两边的平法相加，等于直角边的平方。
也就是说，在一个直角三角形中，腰边的平方等于两个斜边的平方和。
2勾股定理的表示形式勾股定理可以用一下式子表示：a²+b²=c²，其中a和b是直角三角形的两个斜边，c是这个直角三角形的直角腰边。
3关于勾股定理的10种证明方法1.构造法：构造带有两个相等斜边a和b的两个直角三角形，以证明a²+b²=c²。
2.投影定理：利用投影定理将这些斜边投影，使两个三角形等同，从而证明勾股定理。
3.物理四边形法：采用正方形，梯形和菱形将这三角形组合成一个完整的四边形，证明了勾股定理。
4.三角不等式：根据直角三角形的三角不等式来证明a²+b²>c²。
5.毕达哥拉斯定理：该定理指出，在给定一个直角三角形时，斜边的平方和等于两个斜边相乘再乘以直角边的任何一个数字。
6.幂法：将a²+b²和c²都改写成几次幂的形式，然后将两个完整的当作可以对等的数字比较，从而证明勾股定理。
7.等差数列法：分别建立一个等差数列和一个等比数列，将它们相加，可以得到勾股定理的完整证明。
8.泰勒公式：根据勾股定理，a²+b²=c²,用泰勒公式解析勾股定理，就能得出正确的结论。
9.三角函数法：将勾股定理表示为正弦、余弦和正切的函数关系，根据不同的三角函数的关系证明勾股定理。
10.几何图表法：将斜边a、b、c绘制成一个两个直角三角形的示意图，并且两个三角形的直角边的和是刚好相等的，可以读出完整的证明。
4结论勾股定理是一个经典的定理，已被证明是绝对正确的，而证明它的方法也分多种。
从上面这10种证明方法中，我们可以看出，勾股定理可以通过计算、构造、投影和其它几何变换理论来证明。
勾股定理五种证明方法
勾股定理五种证明方法1. 几何证明法勾股定理是数学中的基本定理之一，用于描述直角三角形的边长关系。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。
几何证明法是最直观的证明方法之一。
我们可以通过绘制一个正方形来证明勾股定理。
假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。
我们可以将这个三角形绘制在一个边长为a+b的正方形内。
将正方形分成四个小正方形，其中三个小正方形的边长分别为a，b和c。
通过计算小正方形的面积，我们可以得出结论：c^2 = a^2 + b^2。
2. 代数证明法代数证明法是另一种常用的证明勾股定理的方法。
这种方法使用代数运算和方程的性质来证明定理。
假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。
我们可以通过使用平方的性质来证明勾股定理。
根据勾股定理，我们有：c^2 = a^2 + b^2。
我们可以将c^2展开为(a + b)2，即：c2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
通过对比等式两边的表达式，我们可以得出结论：2ab = 0。
由于直角三角形的边长必须为正数，因此我们可以得出结论：ab = 0。
这意味着a或b至少有一个为0。
如果a为0，那么直角三角形就变成了一个直角边长为b的直角三角形，此时勾股定理显然成立。
同样地，如果b为0，那么直角三角形就变成了一个直角边长为a的直角三角形，此时勾股定理也成立。
综上所述，勾股定理成立。
3. 数学归纳法证明数学归纳法是一种常用的证明数学命题的方法，它通常用于证明自然数的性质。
虽然勾股定理是针对直角三角形的，但我们可以通过数学归纳法证明勾股定理对于所有正整数的直角三角形都成立。
首先，我们证明当直角三角形的直角边长度为1时，勾股定理成立。
这是显而易见的，因为直角三角形的斜边长度必然大于1，所以直角边长度为1的直角三角形一定满足勾股定理。
然后，我们假设当直角三角形的直角边长度为k时，勾股定理成立。
即假设a^2 + b^2 = c^2，其中a和b分别为直角三角形的直角边，c为斜边。
勾股定理9种证明
勾股定理的 9 种证明（有图）【证法 1】（邹元治证明）以a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如下图形状，使 A、E、B三点在一条直线上， B、F、C三点在一条直线上， C、 G、D三点在一条直线上 .∵Rt HAE ≌ Rt EBF,∴∠AHE = ∠BEF.∵∠AEH + ∠AHE = 90o,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90 o.∴ ∠HEF = 180o― 90o= 90 o.∴四边形 EFGH是一个边长为 c 的正方形 . 它的面积等于 c2.∵Rt GDH≌ Rt HAE,∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o.又∵∠GHE = 90o,∴ ∠DHA = 90o+ 90 o= 180 o.∴ABCD是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于 .∴.∴ .【证法 2】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为 c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F 在一条直线上 .过C作AC的延伸线交DF于点 P.∵ D、E、F 在一条直线上 , 且 Rt GEF ≌ Rt EBD, ∴∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180o―90o= 90 o.又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ABEG是一个边长为 c 的正方形 .∴∠ABC + ∠CBE = 90o.∵Rt ABC ≌ Rt EBD, ∴∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o.即∠CBD= 90o.又∵∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，BC = BD = a.∴BDPC是一个边长为 a 的正方形 .同理， HPFG是一个边长为 b 的正方形 .设多边形 GHCBE的面积为 S，则,∴.【证法 3】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为 c 的正方形 . 把它们拼成如下图的多边形，使 E、A、C三点在一条直线上 .过点 Q作 QP∥BC，交 AC于点 P.过点 B作 BM⊥PQ，垂足为 M；再过点F 作 FN⊥ PQ，垂足为 N.∵∠BCA = 90o，QP∥ BC，∴ ∠MPC = 90o，∵BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90o，∴BCPM是一个矩形，即∠ MBC = 90o.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，∠ABC + ∠ MBA = ∠MBC = 90o，∴∠QBM = ∠ABC，又∵∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c ，∴Rt BMQ≌ Rt BCA.同理可证 Rt QNF ≌ Rt AEF.进而将问题转变为【证法 4】（梅文鼎证明） .【证法 4】（欧几里得证明）H、C、 B 三点做三个边长分别为a、 b、c 的正方形，把它们拼成如下图形状，使在一条直线上，连接BF、CD. 过 C作 CL⊥DE，交 AB于点 M，交 DE于点L.∵ AF = AC ，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴FAB ≌GAD，∵FAB的面积等于，GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形 ADLM的面积 =.同理可证，矩形MLEB的面积 =.∵正方形 ADEB的面积=矩形 ADLM的面积 + 矩形 MLEB的面积∴，即 .【证法 5】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为再做一个边长为 c 的正方形 . 把它们拼成如下图的多边形 .于F，AF 交 DT于 R. 过 B 作 BP⊥AF，垂足为 P. 过 D作 DE与E，DE交 AF于 H.∵∠BAD = 90o，∠PAC = 90o，∴ ∠DAH = ∠BAC.又∵∠DHA = 90o，∠BCA = 90o，AD = AB = c ，∴Rt DHA ≌ Rt BCA.∴DH = BC = a ，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形，因此 Rt APB ≌ Rt BCA. 即 PB = CA =b ，AP= a，进而 PH = b ―a.a、b（b>a），斜边长为 c.过A 作 AF⊥AC，AF 交 GT CB的延伸线垂直，垂足为∵Rt DGT ≌Rt BCA , RtDHA ≌ Rt BCA.∴Rt DGT ≌ Rt DHA .∴DH = DG = a ，∠ GDT = ∠HDA .又∵∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，∠G DH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o，∴DGFH是一个边长为 a 的正方形 .∴GF = FH = a . TF ⊥AF， TF = GT―GF = b ―a .∴TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=b―a，下底 BP= b，高 FP=a +（b―a）.用数字表示面积的编号（如图），则以 c 为边长的正方形的面积为①∵= ，，∴ = .②把②代入①，得= = .∴.【证法 6】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为 c.做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们拼成如下图形状，使A、E、 G三点在一条直线上 .用数字表示面积的编号（如图） .∵ ∠TBE = ∠ABH = 90o，∴ ∠TBH = ∠ABE.又∵∠BTH = ∠BEA = 90o，BT = BE = b ，∴ Rt HBT ≌ Rt ABE.∴HT = AE = a.∴GH = GT―HT = b ― a.又∵∠GHF + ∠BHT = 90o，∠DBC + ∠ BHT = ∠TBH + ∠ BHT = 90o，∴∠GHF = ∠DBC.∵DB = EB ―ED = b ― a，过Q作 QM⊥AG，垂足是 M. 由∠ BAQ = ∠BEA = 90o，可知∠ABE= ∠QAM，而 AB = AQ = c ，因此 Rt ABE ≌ Rt QAM . 又 Rt HBT ≌ RtABE. 因此 Rt HBT ≌ Rt QAM . 即 .由 Rt ABE ≌ Rt QAM，又得 QM = AE = a ，∠ AQM = ∠BAE.∵ ∠AQM + ∠FQM = 90o，∠ BAE + ∠CAR = 90o，∠ AQM = ∠ BAE，∴ ∠FQM = ∠CAR.又∵∠QMF = ∠ARC = 90o，QM = AR = a ，∴ Rt QMF≌ Rt ARC. 即.∵ ，，，又∵ ，，，∴==，即.【证法 7】（利用多列米定理证明）在 Rt ABC中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c（如图） . 过点 A 作 AD∥CB，过点 B 作 BD∥CA，则 ACBD为矩形，矩形 ACBD内接于一个圆 . 依据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有，∵A B = DC = c ，AD = BC = a ，AC = BD = b ，∴ ，即，∴.【证法 8】（利用反证法证明）如图，在 Rt ABC中，设直角边AC、BC的长度分别为 a、b，斜边 AB的长为 c，过点C 作 CD⊥AB，垂足是 D.假定，即假定，则由==可知，或许 .即AD：AC≠AC：AB，或许BD：BC≠ BC：AB.在ADC和ACB中，∵ ∠A = ∠A，∴若 AD：AC≠AC：AB，则∠A DC≠∠ ACB.在CDB和 ACB中，∵ ∠B = ∠B，∴若 BD： BC≠BC：AB，则∠C DB≠∠ ACB.又∵∠ACB = 90o，∴ ∠ADC≠90o，∠ CDB≠ 90o.这与作法 CD⊥AB矛盾 .因此，的假定不可以建立.∴.【证法 9】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b，斜边的长为 c. 作边长是 a+b的正方形 ABCD. 把正方形 ABCD区分红上方左图所示的几个部分，则正方形 ABCD的面积为；把正方形 ABCD 区分红上方右图所示的几个部分，则正方形 ABCD的面积为 =.∴,∴.。
勾股定理的十六种证明方法
勾股定理的十六种证明方法
1.几何法：构造一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边长。
2. 代数法：将直角三角形三边的长度带入勾股定理的公式中，证明等式成立。
3. 数学归纳法：证明当斜边长为n时，勾股定理成立，再证明当斜边长为n+1时，勾股定理仍然成立。
4. 三角函数法：利用正弦、余弦、正切等三角函数的定义，证明勾股定理。
5. 相似三角形法：利用相似三角形的性质，证明勾股定理。
6. 矩形法：将一个直角三角形内切于一矩形中，从而证明勾股定理。
7. 差积公式法：利用差积公式(a+b)(a-b)=a-b，证明勾股定理。
8. 面积法：利用直角三角形的两条直角边构成一个矩形，证明勾股定理。
9. 旋转法：将一个直角三角形绕其斜边旋转，证明勾股定理。
10. 图像法：将勾股定理表示为x+y=z的图像，证明勾股定理。
11. 平行四边形法：将直角三角形内切于一个平行四边形中，从而证明勾股定理。
12. 三角形面积法：利用直角三角形的面积公式1/2ab，证明勾股定理。
13. 坐标法：将直角三角形的三个顶点的坐标表示出来，利用距离公式证明勾股定理。
14. 行列式法：利用行列式公式证明勾股定理。
15. 夹角法：通过两向量的夹角关系推导出勾股定理。
16. 对数法：利用对数函数的性质，证明勾股定理。
勾股定理16种证明方法
【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即a²+b²+4x1/2ab=c²+4x1/2ab，整理得a²+b²=c²。
1. 2【证法2】（邹元治证明）以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab2形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵RtΔHAE ≌RtΔEBF, ∴∠AHE = ∠BEF.∵∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴∠HEF = 180o―90o= 90o.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o,∴∠EHA + ∠GHD = 90o.又∵∠GHE = 90o,∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o.∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)².∴(a+b)²=4x1/2ab+c²∴ a²+b²=c²。
2. 3【证法3】（赵爽证明）以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角 1ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴∠HDA = ∠EAB.∵∠HAD + ∠HAD = 90o，∴∠EAB + ∠HAD = 90o， 2∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o.∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于(b-a)².∴(b-a)²=4x1/2ab+c²∴ a²+b²=c²。
勾股定理16种证明途径
勾股定理16种证明途径勾股定理是数学中一条重要的几何定理，它指出在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
本文将介绍勾股定理的16种证明途径。
1. 几何证明通过构造几何图形，利用平行线、相似三角形等几何性质来证明勾股定理。
2. 代数证明通过代数运算和方程的求解，将勾股定理转化为数学问题并证明。
3. 向量证明利用向量运算和向量的性质来证明勾股定理成立。
4. 科学计算证明利用计算机科学的方法，通过数值计算和模拟实验来论证勾股定理的正确性。
5. 几何相似证明通过几何相似的定义及相关性质，推导出勾股定理。
6. 枚举证明通过穷举直角三角形的边长组合，证明勾股定理在所有情况下都成立。
7. 数学归纳法证明通过归纳论证，证明勾股定理在特定情况下成立后，再扩展到所有情况。
8. 黎曼积分证明通过计算勾股定理中的三角函数的积分，证明定理的正确性。
9. 复数证明利用复数的性质和运算，推导出勾股定理成立。
10. 微积分证明通过对直角三角形某一边长的导数和其他边长的关系进行求导证明。
11. 数学逻辑证明通过数学逻辑推理，推导出勾股定理的正确性。
12. 平行四边形证明通过利用平行四边形的性质，将勾股定理转化为平行四边形的关系来证明。
13. 矩阵证明利用矩阵的乘法和特性，将勾股定理转化为矩阵运算的问题来证明。
14. 动态几何证明通过动态几何软件进行几何运算和构造，反复演示直角三角形的变化来证明定理。
15. 平面拓扑证明通过平面拓扑的理论，引入拓扑性质讨论直角三角形构造和斜边的关系。
16. 微分几何证明通过微分几何的定理和公式，推导出勾股定理的正确性。
以上是勾股定理的16种证明途径，每种途径都有其独特的证明思路和方法。
通过了解不同的证明方式，可以更好地理解和应用勾股定理。
勾股定理9种证明(有图)
勾股定理的9种证明（有图）【证法1】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴ ()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法2】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF于点P.∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ ∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a.∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+ abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法3】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P. 过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点 F 作FN ⊥PQ ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ，∴ ∠MPC = 90º，∵ BM ⊥PQ ，∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA.同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD. 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点 L.∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于221a ，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积∴ 222b ac += ，即 222c b a =+. 【证法5】（杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R. 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P. 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H.∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴ ∠DAH = ∠BAC.又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c ， ∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA. ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA. 即PB =CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a. ∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA. ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++=①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+= 812S S b -- . ②把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++==922S S b ++= 22a b +.∴ 222c b a =+.【证法6】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c. 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE. 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º， BT = BE = b ， ∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT ―HT = b ―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º， ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC.∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC. 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE. 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE.∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ，∴ ∠FQM = ∠CAR.又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ， ∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC. 即64S S =. ∵543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴ 8736122S S S S S b a ++++=+=52341S S S S S ++++ =2c ，即 222c b a =+.【证法7】（利用多列米定理证明） 在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB •+•=•，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b a c +=，∴ 222c b a =+.【证法8】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D.假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB.在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则∠ADC ≠∠ACB.在ΔCDB 和ΔACB 中，∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB. 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+. 【证法9】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c. 作边长是a+b 的正方形ABCD. 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.。
勾股定理的九种证明方法
勾股定理的证明方法一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。
右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。
因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。
二、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。
因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，∴ ∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90°，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA =90 °，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2六、欧几里德射影定理证法：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD是斜边BC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下：1）（BD）^2;=AD·DC，（2）（AB）^2;=AD·AC ，（3）（BC）^2;=CD·AC 。
由公式（2）+（3）得：（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2;，即（AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2七、杨作玫证法：做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.∵∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴∠DAH = ∠BAC.又∵∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c，∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =CA = b，AP= a，从而PH = b―a.∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .又∵∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º，∴ DGFH是一个边长为a的正方形.∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为①∵ = ，，∴ = .②把②代入①，得= = .∴.八、陈杰证法：设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，则 AD = c.∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，∴ DM = EM―ED = ―a = b.又∵∠CMD = 90º，CM = a，∠AED = 90º， AE = b，∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.∴∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.∵∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，∴∠ADC = 90º.∴作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.∵∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º，∴∠BAF=∠DAE.连结FB，在ΔABF和ΔADE中，∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，∴ΔABF ≌ΔADE.∴∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a.∴点B、F、G、H在一条直线上.在RtΔABF和RtΔBCG中，∵ AB = BC = c，BF = CG = a，∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.∵，，，，∴===∴.九、辛卜松证法：设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 =.∴ ,∴.。
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勾股定理: 勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
a2+b2=c2
b2 a2
1
1
美丽的勾股树
2002年 2002年，在北京举行的国际 数学家大会会标
早在公元3世纪， 早在公元 世纪，我国 世纪 数学家赵爽就用左边的图 形验证了“勾股定理” 形验证了“勾股定理” 思考:你能验证吗？ 思考 你能验证吗？ 你能验证吗
青 入
青方
青 出
朱入 朱入
朱 朱 出 朱方 出
华罗庚
青入
青出
证明十 证明十
II I III 注意： 面积 I :面积II :面积III = a2 : b2 : c2
证明十 证明十
I II III 注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十 证明十
I III II 注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
例题分析
Rt△ABC中 =90° 例 .在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°. 已知：a=6，ｂ=8， ，ｂ=8 (1) 已知：a=6，ｂ=8，求c； 已知：a=40，c=41， (2) 已知：a=40，c=41，求b； (3) 已知：c=13，b=5，求a； 已知：c=13，b=5，
方法 小结
已知: c=15,求 (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
a
b c c
a b (a+b )2
1 = c + 4 × ab 2
2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
c c b a b a
可得: 可得 a2 + b2 = c2
大正方形的面积该怎样表示? 大正方形的面积该怎样表示
证明三
c2
a2
b2
对比两个图形, 对比两个图形,你能直接观察验 证出勾股定理吗？ 证出勾股定理吗？
a2
a2 c2 b2 ∴ a 2 + b 2 = c2
证明六 印度婆什迦羅的 證明
c b a
∴ c2 = b2 + a2
证明七 “总统”证法 总统”
a b ½(a + b)(b + a) = ½c2 + 2×½ab a2 + 2ab + b2 = c2 +2 ab a c b ∴ a2 + b2 = c2 c
证明八
证明八
证明八
证明八
证明八
证明九 证明九
a2
b2
证明九
证明九 证明九
证明九 证明九
证明九 证明九
∴ a2 + b2 = c2 c2
证明九
证明九
证明九 拼 图 游 戏
拼图游戏
无字证明
青出
青 入
青方
青 出
朱入
朱 朱方 出
青入
青出
④
⑤ ①
b
c
a
③
②
无字证明
青朱出入图
青出
证明十 证明十
注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十 证明十
注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十 证明十
注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十 证明十
(1)在直角三角形中 已知两边 可求第三边 在直角三角形中,已知两边 可求第三边; 在直角三角形中 已知两边,可求第三边 (2)可用勾股定理建立方程 可用勾股定理建立方程. 可用勾股定理建立方程
试一试:
３、一个直角三角形的三边长为三个连续 偶数,则它的三边长分别为 偶数 则它的三边长分别为 ( B ) A 2、4、6 、 、 Ｃ 4、6、8 、 、 Ｂ 6、8、10 、 、 Ｄ 8、10、12 、 、
注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2 由此得，面积 I + 面积 II = 面积 III 因此，a2 + b2 = c2 。
在从“面积到乘法公式” 在从“面积到乘法公式” 一章的学习中， 一章的学习中，我们把几个图形拼 成一个新的图形， 成一个新的图形，通过图形面积的 计算得到了许多有用的式子。 计算得到了许多有用的式子。这节 课同样地我们用多种方法拼图验证 了勾股定理，你有什么感受？ 了勾股定理，你有什么感受？ຫໍສະໝຸດ 赵爽的“弦图” 赵爽的“弦图”
C b
(1)
想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？ 想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？
c c
a
(2)
证 明 一
c
(a-b)2 (3) (2) c
(3)
(a-b)2
(4)
=
C2
4
1 ab 2
a2+b2 2ab = c2 2ab 可得：a2 + b2 = c2
证 明 二