10月1日数学答案

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上海市南洋模范中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题(含答案)

2024~2025学年上海市南洋模范中学九年级上学期9月月考试卷数学试卷（考试时间100分钟满分150分）考生注意：1.带2B 铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具2.不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊。

与考试无关的所有物品放置在考场外。

3.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分。

4.答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂。

若因填涂模糊导致无法识别的后果自负。

一.选择题（共6题，每题4分，满分24分）-2.计算：（3x 2）2的结果为（）A .4x 2B .6x 4C .9x 2D .9x 43.用6,7,8,9制作四道算式，积最小的是（）A ．9×678B ．7×689C ．6×789D ．8×7964.四边形ABCD 为矩形，A,C 作对角线BD 的垂线，过B,D 作对角线AC 的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形5.有下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心；③连接多边形的两个顶点的线段叫做多边形的对角线；④三角形的三条高相交于一点；⑤各边都相等的多边形为正多边形；⑥所有的等边三角形全等，其中正确的个数有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．46.平面上的一组3条平行线与另一组5条平行线相交，可构成平行四边形的个数为（）A ．24B ．28C ．30D ．32二.填空题（共12题，每题4分，满分48分）7.0的相反数是________8.使用卡西欧计算器，依次按键，显示结果为．借助显示结果，可以将一元二次方程x 2+x-1=0的正数解近似表示为___________9.在实数范围内因式分解：2x 2-1=____________10.计算：AB ―AC +BC =_________11.某人手机的密码是四位数字，如果陌生人想打开该手机，那么他一次就能手机电脑的概率是________12.已知A （2,3） B （2,1），则将点A 向上平移______个单位可得到点B13.如图所示的图形是中心对称图形，O 是它的对称中心，E ，F 是两个对称点，则点E ，F 到点O 的距离OE ，OF 的大小关系是：OE ____OF （填“＜”，“＝”或“＞”）．14.小雨一家自驾游到北京游玩，总路程600千米．前半程按计划速度行驶，为提前到达目的地，后半程将车速提高了20%，因遇到高速拥堵，耽搁40分钟，最终恰好在计划时间到达．设原计划速度为x 千米每小时，则根据题意可列方程________15.已知△ABC ∽△DEF ∽△MNQ ，若△ABC 与△DEF 相似比为15，△ABC 与△MNQ 相似比为23，则△ABC 与△MNQ 相似比为________16.“元旦节 ”前夕，某超市分别以每袋 30元、20 元、10 元的价格购进腊排骨、腊香肠、腊肉各若干，由于该食品均是真空包装，只能成袋出售，每袋的售价分别为 50 元、40 元、20 元，元旦节当天卖出三种年货若干袋，元月2日腊排骨卖出的数量是第一天腊排骨卖出数量的 3 倍，腊香肠卖出的数量是第一天腊香肠卖出数量的 2 倍，腊肉卖出的数量是第一天腊肉卖出数量的4倍；元月3日卖出的腊排骨的数量是这三天卖出腊排骨的总数量的20%，卖出腊香肠的数量是前两天卖出腊香肠数量和的43，卖出腊肉的数量是第二天卖出腊肉数量的一半．若第三天三种年货的销售总额比第一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元，则这三天销售的腊排骨和腊肉两种年货的利润之比为________17.在平面直角坐标系中，已知A （m-3，n ），B （m+5，n ）,C （m,n+3）若线段AC 的垂直平分线与线段AB 交于点P ，线段BC 的垂直平分线与线段AB 交于点Q ，∠CAB 的外角平分线与∠CBA 的外角平分线所在直线交于点M ，连接CP,CQ ，请写出∠PCQ 与∠M 的数量关系：________18.对于一个二次函数y=a(x-m)2+k （a≠0）中存在一点P （x,y ），使得x-m=y-k≠0，则称2|x-m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y=―12x 2+13x +3 “开口大小”为_________三.解答题（满分78分）x=320.如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE ∥（2）联结BE ，设AB =a ，BC =b ，试用向量a 、b 表示向量BE步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D 处，塔尖点A 和标杆顶端C 确定的直23.如图，△ABC 中，D 、E 分别为AB,AC 上两点，满足∠A+∠ABD+∠ACE=90°，P 为BE 的中点，且OP ⊥AC ，延长PO 交AC 于点H（1）求证：AE·AB=AD·AC ；（2）当△ADE 和△BCD 相似时，求证：BC=CE24.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为（2,5），（-1,1），（4,2）（1）求：过点A,B,C的抛物线及其对称轴（2）新定义：如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点”P到x轴的距离与C 点到x轴的距离相同，求：P点的坐标（3）我们称横坐标和纵坐标为整数的点为格电，求：△ABC的面积，并直接写出该值与其内部格点数量a和边上格点数量b的等式25.如备用图，已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=8（1）若延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N，求：线段MN的长（2）将矩形绕点A旋转，得到四边形AB1C1D1，使点D落在直线B1C1上，求：线段BB1的长（3）若把矩形纸片沿着直线EF翻折，点A,B的对应点分别为A’,B’，交射线AD于点G，EB’交AD于点P，当CE=EF参考答案及部分评分标准选择题（1~6题）DDCAAC填空题（7~18题）7．08．一9．（2x +1）（2x ―1）10．011．11000012．-213．=14．600x=300x +3001.2x +406015．10316. 151417．4∠M+∠PCQ=180°18．4解答题（19~25题）19．1―x x +1= ―2+3（10分）20．（1）35（5分）（2）―2a 3b21．（1）AB=47m （10分）22．（1）―364x 2+11（5分）（2）32h （5分）23．（1）提示：证明△ABD ∽△ACE （6分）（2）提示：等角对等边（6分）24．（1）y=-17―30x 2+1910x +5215 对称轴为5734（4分）（2）P （2,2）或P （23，―2）（4分）（3）S=152=2a +b ―22（皮克定理）（4分）25. （1）MN=45（4分）（2）26―22或26+22（4分）（3）1或3（6分）。

湖北省荆州市沙市2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题含答案

2024—2025学年度上学期2024级10月月考数学试卷（答案在最后）命题人：考试时间：2024年10月10日一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集{|18},(){1,3,5,7}U U A B x x A B =⋃=∈≤≤⋂=N ð，则集合B =（）A.{2,6,8}B.{4,6,8}C.{2,4,6,8}D.{1,2,4,6}【答案】C 【解析】【分析】利用Venn 图数形结合求解集合.【详解】由(){1357}U A B ⋂=,,,ð，如下图示，且{}{|18}1,2,3,4,5,6,7,8U A B x x =⋃=∈≤≤=N ，则(){}()2,4,6,8U UB A B =⋂=痧.故选：C.2.不等式()2102x x x -≤+的解集为（）A.{|20x x -<<或}01x <≤B.{}|21x x -≤≤C.{|20x x -≤<或}01x <≤ D.{}|21x x -<≤【答案】D 【解析】【分析】先分0x =和0x ≠两种情况讨论，当0x =时不等式显然成立，当0x ≠时转化为102x x -≤+，根据分式不等式的求解方法求解，最终得到结果.【详解】由()2102x x x -≤+，当0x =时，不等式显然成立；当0x ≠时，20x >，()()()211201002220x x x x x x x x -⎧-+≤-≤⇔≤⇔⎨+++≠⎩，解得：21x -<≤且0x ≠.综上，不等式()2102x x x -≤+的解集为{}|21x x -<≤.故选：D.3.由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（）个元素A.15B.16C.17D.18【答案】A 【解析】【分析】根据取出的数字个数进行分类，每一类中一一列举出来计数即可.【详解】只取一个元素组成的没有重复数字的自然数：共3个；只取两个元素组成的没有重复数字的自然数：有12，21，13，31，23，32共6个；取三个元素组成的没有重复数字的自然数：有123，132，213，231，312，321共6个；共有36615++=种方法，即由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有15个元素，故选：A.4.命题：0,x ∃>使2111x x -≥+的否定为（）A.0,x ∀≤不等式2111x x -<+恒成立B.0,x ∃≤不等式2111x x -<+成立C.0,x ">2111x x -<+恒成立或1x =-D.0,x ">不等式2111x x -<+恒成立【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词的命题的否定方法可得结论.【详解】命题：0,x ∃>使2111x x -≥+的否定为0,x ">2111x x -<+恒成立或1x =-.故选：C.5.设,,a b c ∈R ，则a b c ==是222a b c ab bc ac ++≥++的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A 【解析】【分析】由推出关系即可判断充分不必要条件.【详解】若a b c ==，则22223a b c a ++=，23ab bc ac a ++=，则222a b c ab bc ca ++=++，所以222a b c ab bc ac ++≥++成立.即222a b c a b c ab bc ca ==⇒++≥++；若222a b c ab bc ca ++≥++，当1,2,3a b c ===时，22214914,26311a b c ab bc ca ++=++=++=++=，也满足222a b c ab bc ca ++≥++，但,,a b c 并不相等.故222a b c ab bc ca ++≥++推不出a b c ==.则a b c ==是222a b c ab bc ac ++≥++的充分不必要条件.故选：A.6.已知2(1)g x x =-，1[()]x f g x x -=，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.15B.1C.3D.30【答案】C 【解析】【分析】令()12g x =，求x ，代入1[()]x f g x x -=可得结论.【详解】令()12g x =，可得1122x -=，所以14x =，故1142g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，将14x =，代入1[()]x f g x x -=，得11143144f g -⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.7.记不等式220x x +->､210(0)x ax a -+≤>解集分别为A 、B ，A B ⋂中有且只有两个正整数解，则a 的取值范围为（）A.1017,34⎛⎫⎪⎝⎭ B.1017,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.517,24⎛⎫⎪⎝⎭ D.517,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】求出集合A ，由分析知B ≠∅，求出集合B ，进而得出A B ⋂中有且只有两个正整数解的等价条件，列不等式组即可求解.【详解】由220x x +->可得：1x >或2x <-，所以{|2A x x =<-或>1，因为A B ⋂中有且只有两个正整数解，所以A B ≠∅ ，对于方程210(0)x ax a -+=>，判别式24a ∆=-，所以方程的两根分别为：12a x -=，22a x +=，所以|22a a B x x ⎧+⎪=≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若A B ⋂中有且只有两个正整数解，则12342a a ⎧-≤⎪⎪⎨+⎪≤<⎪⎩即268a a a ⎧-≤⎪⎨-≤<-⎪⎩，可得2103174a a a ⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎪⎪<⎪⎩，所以101734a ≤<，当112a x -=>时，解得02a <<，此时240a ∆=-<，B =∅不符合题意，综上所述：a 的取值范围为1017,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B.8.若存在11x -≤≤，使242(2)310x m x m --++>，则m 的取值集合是（）A.{|9}m m >- B.{|1}m m ≤C.{|91}m m -<<D.{|9}m m ≤-【答案】A 【解析】【分析】先求出命题的否定为真时，m 的范围，再求其补集即可.【详解】命题存在11x -≤≤，使242(2)310x m x m --++>的否定为11x ∀-≤≤，使242(2)310x m x m --++≤，若11x ∀-≤≤，使242(2)310x m x m --++≤为真，则()()422310422310m m m m ⎧+-++≤⎪⎨--++≤⎪⎩，所以9m ≤-，故若存在11x -≤≤，使242(2)310x m x m --++>则9m >-，所以m 的取值集合是{|9}m m >-.故选：A.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知集合2{1,2,}A a =，{1,2}B a =+，若A B A = ，则a 的取值可以是（）A.1-B.0C.2D.2-【答案】BC 【解析】【分析】由A B A = 可得B A ⊆，结合条件列方程求a ，结合元素互异性检验所得结果.【详解】因为A B A = ，所以B A ⊆，又2{1,2,}A a =，{1,2}B a =+，所以22a +=或22a a +=，解得0a =或2a =或1a =-，当0a =时，{1,2,0}A =，{1,2}B =，满足要求，当2a =时，{1,2,4}A =，{1,4}B =，满足要求，当1a =-时，212a a ==+，与元素互异性矛盾，故选：BC.10.已知关于x 的不等式(1)(3)20a x x -++>的解集是()12,x x ，其中12x x <，则下列结论中正确的是（）A.1220x x ++=B.1231x x -<<<C.124x x ->D.1230x x +<【答案】ACD 【解析】【分析】由一元二次不等式的解集可得12122230x x x x a +=-⎧⎪⎨=-<⎪⎩判断A 、D ，再将题设转化为()(1)(3)2f x a x x =-+>-，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B 、C.【详解】由题设，2(1)(3)22320a x x ax ax a -++=+-+>的解集为()12,x x ，∴0a <，则12122230x x x x a +=-⎧⎪⎨=-<⎪⎩，∴1220x x ++=，12230x x a+=<，则A 、D 正确；原不等式可化为()(1)(3)2f x a x x =-+>-的解集为()12,x x ，而()f x 的零点分别为3,1-且开口向下，又12x x <，如下图示，∴由图知：1231x x <-<<，124x x ->，故B 错误，C 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得12122230x x x x a +=-⎧⎪⎨=-<⎪⎩，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误.11.已知a b >，且220ax x b -+≥恒成立，又存在实数x ，使220ax x b ++=，则22a ba b+-的取值可能为（）A.3B.2C. D.1【答案】AC 【解析】【分析】根据二次函数的性质、一元二次方程的判别式，结合基本不等式进行求解即可.【详解】解：∵a b >，不等式220ax x b -+≥对于一切实数x 恒成立，∴>04−4a ≤0，即0a >，1≥ab ；①又存在R x ∈，使220ax x b ++=成立，则0∆≥，即440ab -≥，得1ab ≤，②由①②得1ab =，即1b a =；∵a b >，∴1a >，∴10a a->，∴222211211a a b a a a b a a a a a++⎛⎫==-+≥ ⎪-⎝⎭--，当且仅当212a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2a =时取等号．∴22a ba b+-的最小值为AC 正确，故选:AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{ |A x y ==，2{ |, }B y y x x A ==∈，则A B = _____【答案】{ |0 }x x ≥【解析】【分析】化简集合A ，B ，结合交集运算法则求结论.【详解】由y =有意义可得0x ≥，所以{ |0 }A x x =≥，当0x ≥时，20y x =≥，所以{ |0 }B y y =≥，所以{ |0 }x B x A =≥ .故答案为：{ |0 }x x ≥.13.已知关于x 的不等式2051x px ≤++≤恰有一个实数解，则p 的取值集合为_____【答案】{}4,4-【解析】【分析】结合二次函数图象可知与直线1y =有且仅有一个交点，利用方程240x px ++=判别式等于0可求.【详解】设2()5f x x px =++，则()f x 的图象开口向上，如图，要使关于x 的不等式2051x px ≤++≤恰有一个实数解，则函数2()5f x x px =++与直线1y =相切，即方程251x px ++=即240x px ++=有两个相等的实数根，则2160p ∆=-=，解得4p =±.则p 的取值集合为{}4,4-.故答案为：{}4,4-.14.已知,,R ,8a b c a b c +∈++=+的最小值为_______【答案】10【解析】的几何意义（代表直角三角形斜边），即可求解.可以理解为以,1a 为直角三角形的可以理解为以,2b 为直角三角形的斜边，可以理解为以,3c 为直角三角形的斜边，如图所示BD ≤,当三斜边与对角线BD 重合时，取到最小值.又,,R ,8a b c a b c +∈++=,所以10BD ==.故答案为：10四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.已知01,01a b <<<<，4443a b ab +=+.（1）求ab 的取值范围；（2）求2+a b 的最大值.【答案】（1）10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）3.【解析】【分析】（1）利用基本不等式得到“和”与“积”的不等关系，求解关于“积”的不等式可得；（2）凑积为定值(1)(1)1a b --=的形式，将1,1a b --看成整体表示所求式，再利用基本不等式求最值可得；【小问1详解】因为01,01a b <<<<，所以4443a b ab +=+≥，当且仅当44a b =即12a b ==时等号成立.,01t t =<<，则24830t t -+≥，解得32t ≥（舍去）或12t ≤.所以102<≤，则104ab <≤.故ab 的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦.【小问2详解】由4443a b ab +=+，得444410ab a b --+-=，所以4(1)1ab a b --+=，即()11(1)4a b --=，其中10,10a b ->->，则[]2(1)2(1)3(1)2(1)3a b a b a b +=----+=--+-+33≤-=-.当且仅当12(1)a b -=-，即1214a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时等号成立.所以2+a b的最大值为3.16.根据气象部门的预报，在距离某码头O 处南偏东45︒方向60公里A 处的热带暴雨中心正以20公里每小时的速度向正北方向移动，若距暴雨中心45公里以内的地区都将受到影响，根据以上预报，从现在起多长时间后，该码头将会受到热带暴雨的影响？且影响的时间大约有多长？（精确到0.1）【答案】1.4h ，1.5h 【解析】【分析】设t 小时后热带暴雨中心移动到点B ,在AOB V 中，利用余弦定理得到t 的不等式，解不等式得到结果.【详解】如图，设t 小时后热带暴雨中心移动到点B ,则在AOB V 中，60OA =，20AB t =，45OAB ∠=︒，根据余弦定理，得()222602026020cos 4545t t +-⋅⋅⋅︒≤，整理得216630t -+≤，解得：3344t ≤≤，且()623 1.4h 4-≈，()623623 1.544h +-=.答：从现在起1.4h 后，该码头将会受到热带暴雨的影响.影响1.5h.17.已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}2|,C z z x x A ==∈，且C B ⊆,求a 的取值范围.【答案】()1,2,32⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】先分类讨论A 是否是空集，再当A 不是空集时，分-2≤a ＜0，0≤a≤2，a ＞2三种情况分析a 的取值范围，综合讨论结果，即可得到a 的取值范围【详解】若A=∅，则a ＜-2，故B=C=∅，满足C ⊆B ；若A ≠∅，即a ≥-2，由23y x =+在[]2,a -上是增函数，得123y a -≤≤+，即{}123B y y a =-≤≤+①当20a -≤≤时，函数2z x =在[]2,a -上单调递减，则24a z ≤≤，即{}24C z a z =≤≤，要使C B ⊆,必须且只需234a +≥，解得12a ≥，这与20a -≤<矛盾；②当02a ≤≤时，函数2z x =在[]2,0-上单调递减，在[]0,a 上单调递增，则04z ≤≤，即{}04C z z =≤≤，要使C B ⊆,必须且只需23402a a +≥⎧⎨≤≤⎩，解得122a ≤≤；③当2a >时，函数2z x =在[]2,0-上单调递减，在[]0,a 上单调递增，则20z a ≤≤，即{}20C z z a=≤≤，要使C B ⊆,必须且只需2232a a a ⎧≤+⎨>⎩，解得23a <≤；综上所述，a 的取值范围是()1,2,32⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了通过集合之间的关系求参数问题，考查了分类讨论的数学思想，要明确集合中的元素，对集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．18.已知函数()f x 的定义域为D ，若存在常数(0)k k >，12x x D ∀≠∈，都有1212|()()|||f x f x k x x -≤-，则称()f x 为D 上的“k -利普希茨”函数.（1）请写出一个“k -利普希茨”函数，并给出它的定义域D 和k 值（2）若()4)f x x =≤≤为“k -利普希茨”函数，试求常数k 的取值范围【答案】（1）()f x x =，定义域[]1,2D =，3k =等（答案不唯一）（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据“k -利普希兹条件函数”的定义求解；（2）根据“k -利普希兹条件函数”的定义，设12x x >，将问题转化为12k ≥=立求解；【小问1详解】()f x x =，定义域[]1,2D =，3k =等（答案不唯一）【小问2详解】若函数()(14)f x x =≤≤是“k -利普希兹条件函数”，则对于定义域[]1,4内的任意()1212,x x x x ≠，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，不妨设12x x >，则12k ≥=因为14x ≤≤，所以1142<<，所以12k ≥，所以k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；19.已知2(1)(1)y mx x nx =-+-（1）当0m =时，不等式0y ≥的解为122x -≤≤，试求n （2）若0m >，当0x >时，有0y ≥恒成立，试求2n m+的最小值（3）设m n =，当1132x ≤≤时，0y ≥恒成立，试求m 的取值范围【答案】（1）32n =（2）10x m <<时，2n m +无最小值；1x m >时，2n m+最小值为2，（3）[)3,3,2m ⎛⎤∈-∞+∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）由题设2(1)0y x nx =-+-≥的解集为122x -≤≤，列方程组求参数即可；（2）讨论1mx -与零的大小，结合不等式恒成立，分别得到R n ∈、1n x x ≥-在1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上恒成立、1n x x ≤-在10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，进而分别求出在对应情况下的最小值；（3）讨论m 与零的大小，问题转化为一元二次不等式恒成立，再分别求出对应的参数范围即可；【小问1详解】当0m =时，2(1)0y x nx =-+-≥的解集为122x -≤≤，所以()2421011110242y n y n ⎧-=-++=⎪⎨⎛⎫=--+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得32n =，【小问2详解】由0x >时，有0y ≥恒成立，且0m >，当10mx -=，则0y =恒成立，满足题意，此时R n ∈，2n m+无最小值；当10mx ->，即1x m>时，210x nx +-≥恒成立，即1n x x ≥-恒成立，又1y x x =-在1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上递减，则11y x m x m =-<-，故1n m m ≥-，所以，只需212n m m m +≥+≥=，当且仅当1,0==m n 时等号成立，此时2n m+的最小值为2；当10mx -<，即10x m<<时，210x nx +-≤恒成立，即1n x x ≤-恒成立，又1y x x =-在10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递减，则11y x m x m =->-，故1n m m ≤-，所以，只需21n m m m +≤+，同上分析可知，[)12,m m +∈+∞，故2n m+无最小值，综上，10x m <<时，2n m +无最小值；1x m >时，2n m+最小值为2.【小问3详解】由题设，2(1)(1)y mx x mx =-+-，当0m =时，21y x =-，对任意1132x ≤≤，304y ≥≥恒成立；当0m <时，对任意1132x ≤≤，10mx -<，即210x mx +-≤恒成立，所以111042111093m m ⎧+-≤⎪⎪⎨⎪+-≤⎪⎩，解得32m ≤，故0m <；当0m >时，若3m ≥，则11,32x ⎡⎤∈⎢⎣⎦∀，10mx -≥，则210x mx +-≥，即max 1m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥，因为1y x x =-在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以83m ≥，又3m ≥，所以3m ≥；若02m <≤，则11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀，10mx -≤，则210x mx +-≤，即min1m x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，因为1y x x =-在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以32m ≤，又02m <≤，所以302m <≤；若23m <<，则1x m =时，10mx -=，即1x m =时210x mx +-=，即210m=，无解；综上[)3,3,2m ⎛⎤∈-∞+∞ ⎥⎝⎦.。

四川省成都2024-2025学年高二上学期10月月考试题数学含答案

成都2024—2025学年度高二上期10月月考数学试卷（答案在最后）注意事项：1．本试卷分第I 卷和第II 卷两部分；2．本堂考试120分钟，满分150分；3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号正确填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂；4．考试结束后，将答题卡交回．第I 卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．1．现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（）A ．①随机数法，②抽签法B ．①随机数法，②分层抽样C ．①抽签法，②分层抽样D ．①抽签法，②随机数法2．已知向量()1,2,1a =- ，()3,,b x y = ，且//a b r r，那么实数x y +等于（）A ．3B ．-3C ．9D ．-93．若,l n 是两条不相同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A ．若l n ⊥，n β⊥，则l //βB ．若αβ⊥，l α⊥，则l //βC ．若//αβ，l α⊂，则l //βD ．若//l α，//αβ，则l //β4．如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 为BC 中点，点N 在侧棱OA上，且2ON NA =，则MN =（）A ．121232a b c--+B ．211322a b c-++C ．211322a b c-- D ．111222a b c+-5．为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）A ．58或64B ．59或64C ．58D ．596．已知点D 在ABC V 确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，正数,x y 满足23DO xOA yOB OC =+- ，则yx 21+的最小值为（）A ．25B ．29C ．1D ．27．现有一段底面周长为12π厘米和高为12厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行π厘米后再向下爬行3厘米到达P 点，另一只从B 沿下底部圆弧逆时针方向爬行π厘米后再向上爬行3厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（）A ．B ．C ．6D ．128．如图，四边形,4,ABCD AB BD DA BC CD =====ABD △沿BD 折起，当二面角A BD C --的大小在[,63ππ时，直线AB 和CD 所成角为α，则cos α的最大值为（）A ．16B C ．16D ．8二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题中，正确的是（）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()2,0,1a =-，()4,0,2b =- ，则12//l l B ．直线l 的方向向量()1,1,2c =-，平面α的法向量是()6,4,1m =- ，则l α⊥C ．两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =-，()3,4,2v =- ，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,1,1d = ，平面α的法向量()1,0,1n =，则直线l 与平面α所成角的大小为π310．小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（）A ．娱乐开支比通信开支多5元B ．日常开支比食品中的肉类开支多100元C ．娱乐开支金额为100元D ．肉类开支占储蓄开支的1311．已知四面体OABC 的所有棱长都为1,,D E 分别是,OA BC 的中点.N M ,是该四面体内切球球面上的两点，P 是该四面体表面上的动点.则下列选项中正确的是（）A.DE 的长为44B.D 到平面ABC 的距离为66C.当线段MN 最长时，PN PM ⋅的最大值为31D.直线OE 与直线AB 所成角的余弦值为33第II 卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某校高一年级共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，则应从高一2班抽取的人数是．13．已知(2,1,3),(1,4,2)a b =-=-- ，c (4,5,)λ=，若,,a b c 三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数λ的值为.14．在正方体ABCD A B C D -''''中，点P 是AA '上的动点，Q 是平面BB C C ''内的一点，且满足A D BQ '⊥，则平面BDP 与平面BDQ 所成角余弦值的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（满分13分）15．已知向量()6a m = ,，()1,0,2=b ，()()2R c m =∈ (1)求()a b c ⋅-的值；(2)求cos b c ,；(3)求a b - 的最小值.（满分15分）16．成都市政府委托市电视台进行“创建文明城市”知识问答活动，市电视台随机对该市1565～岁的人群抽取了n人，绘制出如图所示的频率分布直方图，回答问题的统计结果如表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第一组[15，25)500.5第二组[25，35)180a第三组[35，45)x0.9第四组[45，55)90b第五组[55，65)y0.6a b x y的值；（1）分别求出,,,（2）从第二、三、四、五组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取7人，则从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应各抽取多少人.-中，ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥（满分15分）17．如图，在四棱锥P ABCDPC=.平面ABCD，直线PA与平面PBC所成的角为45︒，2（1）若E，F分别为BC，CD的中点，求证：直线AC⊥平面PEF；（2）求二面角D PA B--的正弦值.（满分17分）18．随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准.根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是20%至25%，男性的正常范围是15%至18%.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图,如图.(1)求a ；(2)如果女性体脂率为25%至30%属“偏胖”，体脂率超过30%属“过胖”，那么全市女性“偏胖”，“过胖”各约有多少人？(3)小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？（精确到小数点后2位）（满分17分）19．如图，四面体ABCD 中，2,AB BC BD AC AD DC ======(1)求证：平面ADC ⊥平面ABC ；(2)若(01)DP DB λλ=<<，①若直线AD 与平面APC 所成角为30°，求λ的值；②若PH ⊥平面,ABC H 为垂足，直线DH 与平面APC 的交点为G ．当三棱锥CHP A -体积最大时，求DGGH的值．高二上10月月考数学答案一、单选题：C D C C A B A B二、多选题：AC;BCD;BC3三、填空题：10；5；318:（1）由频率直方图可得，（2）由频率分布直方图可得样本中女性⨯=，所以全市女性50.020.1⨯=，10000000.1100000。

广西南宁市2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题含解析

南宁市2023-2024（上）学期10月月考试题高二数学（答案在最后）考试时间120分钟，满分150分注意事项；1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级填写在答题卡上，贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，请将答题卡交回.一､单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若A ，B ，C ，D 为空间任意四个点，则AB D A D C +-=（）A.CBB.BCC.BDD.AC【答案】A 【解析】【分析】由已知结合向量的加减运算法则即可直接求解.【详解】解：AB D A D C AB C A C B +-=+=.故选：A.2.已知直线l ：x yC A B+=，则以下四个情况中，可以使l 的图象如下图所示的为（）A.0A >，0B <，0C >B.0A <，0B <，0C >C.0A <，0B <，0C <D.0A >，0B <，0C <【答案】D 【解析】【分析】由直线方程求出直线在坐标轴上的截距，再根据图象列不等式可求得结果.【详解】由x yC A B+=，当=0x 时，y BC =，当=0y 时，x AC =，由图可知>0<0BC AC ⎧⎨⎩，所以当0C <时，0,0A B ><，当0C >时，0,0A B <>，所以ABC 错误，D 正确，故选：D3.()1,2,3a =-- ，()2,,6b x = ，若a //b，则x =（）A.0B.4- C.4D.2【答案】B 【解析】【分析】根据向量共线的条件进行求解【详解】由a //b ，则R λ∃∈，使得b a λ= ，即2263x λλλ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得2,4x λ=-=-.故选：B4.如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，1120BAD BAA∠=∠=︒，若线段1AC =，则1∠=DAA （）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量模公式，结合空间向量数量积的定义进行求解即可.【详解】∵11AC AB AD AA =++ ，∴22221111222=+++⋅+⋅+⋅ AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA 111111*********cos 222⎛⎫⎛⎫=+++⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯∠= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DAA ，∴11cos 2∠=DAA ，160DAA ∠=︒，故选：C.5.直线cos 40x y α++=的倾斜角的取值范围（）A.[)0,π B.ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭C.π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D.π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】根据直线方程求出该直线的斜率，结合直线倾斜角与斜率的关系、余弦函数的性质进行求解即可.【详解】由cos 40cos 4x y y x αα++=⇒=--，所以该直线的斜率为cos k α=-，因为1cos 1α-≤≤，所以11k -≤≤，设该直线的倾斜角为β，于是有π1tan 104ββ-≤≤⇒≤≤，或3ππ4β≤<，故选：C6.已知向量()2a =，向量1,0,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，则向量a 在向量b 上的投影向量为（）A.)B.()C.(D.1,0,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的公式求解即可【详解】a 在b上投影向量)21,0,212a b a b b b⎫⋅=⋅=⋅==⎪⎪⎭r rr r r r 故选：A7.从P 点发出的光线l 经过直线20x y --=反射，若反射光线恰好通过点(5,1)Q ，且点P 的坐标为(3,2)-，则光线l 所在的直线方程是()A.3x =B.1y =C.270x y --= D.210x y ++=【答案】A 【解析】【分析】先利用点(5,1)Q 关于直线20x y --=的对称点M 在入射光线上，再由P 、Q 两点的坐标，结合直线方程的两点式写出入射光线所在的直线方程，即为直线l 的方程．【详解】解：点(5,1)Q 关于直线20x y --=的对称点为(,)M a b 则115512022b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩，解得33a b =⎧⎨=⎩，所以M (3,3)可得直线PM 方程为：3x =.故选：A ．8.如图，四边形ABCD 和ABEF 都是正方形，G 为CD 的中点，60DAF ∠= ，则直线BG 与平面AGE 所成角的余弦值是（）A.25B.5C.5D.5【答案】C 【解析】【分析】以A 为原点，以AD 、AB的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，利用空间向量法可求得直线BG 与平面AGE 所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】以A 为原点，以AD 、AB的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．设2AB =，得()0,0,0A 、()2,1,0G 、()0,2,0B、(1,E ，则()2,1,0AG =，(1,AE = ，()2,1,0BG =-，设平面AGE 的法向量为(),,n x y z =，则2020n AG x y n AE x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，取1x =，则=2y -，z =，所以，平面AGE的一个法向量为(1,n =-，从而cos ,5n BG n BG n BG ⋅<>==⋅，故直线BG 与平面AGE5=.故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知直线l 1：3x +y ﹣3＝0，直线l 2：6x +my +1＝0，则下列表述正确的有（）A.直线l 2的斜率为6m-B.若直线l 1垂直于直线l 2，则实数m ＝﹣18C.直线l 1倾斜角的正切值为3D.若直线l 1平行于直线l 2，则实数m ＝2【答案】BD 【解析】【分析】利用直线l 1的方程，考虑斜率不存在的情况可判断选项A ，利用两条直线垂直的充要条件可判断选项B ，利用倾斜角与斜率的关系可判断选项C ，利用两条直线平行的充要条件可判断选项D ．【详解】解：直线l 1：3x +y ﹣3＝0，直线l 2：6x +my +1＝0，当m ＝0时，直线l 2的斜率不存在，故选项A 错误；当直线l 1垂直于直线l 2，则有3×6+1×m ＝0，解得m ＝﹣18，故选项B 正确；直线l 1的斜率为﹣3，故倾斜角的正切值为﹣3，故选项C 错误；当直线l 1平行于直线l 2，则3601130m m -=⎧⎨⨯+≠⎩，解得m ＝2，故选项D 正确．故选：BD ．10.已知直线1l ：()10mx y m -+=∈R ，2l ：230x y -+=，则下列结论正确的是（）A.直线1l 过定点()0,1B.当12l l ⊥时，12m =-C.当12l l ∥时，2m =-D.当12l l ∥时，两直线1l ，2l 【答案】AB 【解析】【分析】不管m 为何值，当0x =时，1y =，即可判断A ；根据两直线垂直的判定即可求得m 的值，从而可判断B ；根据两直线平行的判定即可求得m 的值，从而可判断C ；结合C 选项可得两直线的方程，再根据两直线平行的距离公式即可判断D ．【详解】不管m 为何值，当0x =时，1y =，所以直线1l 过定点()0,1，故A 正确；当12l l ⊥时，有()()2110m ⨯+-⨯-=，得12m =-，故B 正确；当12l l ∥时，有11213m -=≠-，得2m =，故C 错误；结合C 选项知当12l l ∥时，2m =，所以直线1l ：210x y -+=，2l ：230x y -+=，所以两平行线间的距离为255d =，故D 错误．故选：AB ．11.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在棱DC 上运动（不与顶点重合），则点B 到平面1AD P 的距离可以是（）A.1B.C.2D.3【答案】BC 【解析】【分析】利用坐标法，设()(0,,0)03P t t <<，可得平面1AD P 的法向量(,3,)n t t =，进而即得.【详解】以D 为原点，1,,DA DCDD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(3,0,0),(3,3,0),(0,0,3)D A B D ，设()(0,,0)03P t t <<，所以()()13,,0,3,0,3AP t AD =-=- ，(0,3,0)AB =，设(),,n x y z =为平面1AD P 的法向量，则有：130330n AP x ty n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令3y =，可得(,3,)n t t = ，则点B 到平面1AD P的距离为AB nd n⋅==，因为03t <<，所以()2299,27t +∈，所以d ∈.故选：BC12.下列结论正确的是（）A.若直线10ax y ++=与直线420x ay ++=B.点()5,0关于直线2y x =的对称点的坐标为(3,4)-C.原点到直线(21)310kx k y k ++--=D.直线122x y m m +=+与坐标轴围成的三角形的面积为2m m +【答案】BC 【解析】【分析】由题意利用两条直线平行的性质求得a 的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果判断A ；利用对称知识求出对称点判断选项B ；求出直线系经过的定点，利用两点间距离公式求解最大值即可判断C ；求解三角形的面积判断D ．【详解】对于A ，直线10ax y ++=与直线420x ay ++=平行，显然0a ≠，所以4a a -=-，且21a-≠-，解得2a =-，故两条平行直线即为直线210x y --=与直线210x y -+=，255=，所以A 不正确；对于B ，假设点()5,0关于直线2y x =的对称点的坐标为(),a b ，则015205222b a b a -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=⨯⎪⎩，解得3a =-，4b =，即点()5,0关于直线2y x =的对称点的坐标为(3,4)-，故B 正确；对于C ，由(21)310kx k y k ++--=，得(23)10k x y y +-+-=，由2301x y y +-=⎧⎨=⎩，得1x y ==，故直线(21)310kx k y k ++--=过定点(1,1)，所以原点到直线(21)310kx k y k ++--==C 正确；对于D ，令0x =，得22y m =+，令0y =，得x m =，所以直线122x y m m +=+与坐标轴围成的三角形的面积为21|22|||||2m m m m +⋅=+，故D 不正确.故选：BC ．三､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）.13.直线l 的斜率k ＝x 2+1（x ∈R ），则直线l 的倾斜角α的范围为___．【答案】,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【解析】【分析】通过直线的斜率的范围，得到倾斜角的正切函数的范围，然后求解倾斜角的范围．【详解】解：因为直线l 的斜率k ＝x 2+1（x ∈R ），所以k ≥1，即tan 1α≥，又α∈[0，π），所以直线l 的倾斜角α的范围为,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故答案为：,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．14.若(1,,2)λ= a ，(2,1,2)b =- ，()1,4,4c =，且,,a b c 共面，则λ=_______.【答案】1【解析】【分析】根据向量共面定理，可得到存在不同时为零的实数,m n ，使得c ma nb =+，列出方程组，解得答案.【详解】由于,,a b c共面，故存在不同时为零的实数,m n ，使得c ma nb =+，即124422m nm n m n λ=+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩，解得1λ=，故答案为：115.已知直线3x+4y﹣3=0与6x+my+14=0相互平行，则它们之间的距离是_____．【答案】2【解析】【分析】由两直线平行，可先求出参数m 的值，再由两平行线间距离公式即可求出结果.【详解】因为直线3430x y +-=，6140x my ++=平行，所以3460m -⨯=，解得8m =，所以6140x my ++=即是3470x y ++=，由两条平行线间的距离公式可得d 2==.故答案为2【点睛】本题主要考查两条平行线间的距离，熟记公式即可求解，属于基础题型.16.唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，怎样走才能使总路程最短？在平面角坐标系中，设军营所在位置为()2,3-，若将军从()0,3处出发，河岸线所在直线方程为10x y -+=．则“将军饮马”的最短总路程为________．【答案】【解析】【分析】求出点P 关于直线的对称点的坐标，设直线上任一点N ，当且仅当Q ，N ，P '三点共线时取最小值，可得最短距离．【详解】解：设()0,3P 点关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),P a b '则3102231a b b a+⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩解得：2,1a b ==，所以()2,1P '，设()2,3Q -，设直线10x y -+=上的点N ，则PN PN ='则QN PN QN P N QP ''+=+≥当且仅当Q ，N ，P '三点共线时取等号，而QP '==，所以最短结论为QP '=，故答案为：四､解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.已知直线l 的方程为210x y +-=，点P 的坐标为()1,2-.（1）求过P 点且与直线l 平行的直线方程；（2）求过P 点且与直线l 垂直的直线方程.【答案】（1）230x y ++=（2）240x y --=【解析】【分析】（1）根据直线平行斜率相同设直线方程，再根据直线过P 点则可求出；（2）根据直线垂直斜率相乘为-1的关系设直线方程，再根据直线过P 点则可求出.【小问1详解】与直线l 平行的直线斜率与l 相同，方程设为20x y C ++=，因为过P 点，将P 点坐标代入，则()1220C +⨯-+=，解得C =3.∴过P 点且与直线l 平行的直线方程为230x y ++=.【小问2详解】根据直线与坐标轴不垂直的情况下，两垂直直线斜率相乘为-1，则与直线l 垂直的直线斜率为1212k -==-，设该直线方程为20x y b -+=，因为过P 点，将P 点坐标代入，则21(2)0b ⨯--+=，解得4b =-.∴过P 点且与直线l 垂直的直线方程为240x y --=.18.已知坐标平面内三点A (-1，1)，B (1，1)，()21C +．（1）求直线BC ，AC 的斜率和倾斜角；（2）若D 为ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率和倾斜角α的取值范围．【答案】（1）直线BC π3；直线AC 的斜率3，倾斜角为π6（2）ππ63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可；（2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可．【小问1详解】由斜率公式得：1121BC k +-==-31132(1)3BC k +-==--因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是[)0,π，∴直线BC 的倾斜角为π3，直线AC 的倾斜角为π6；【小问2详解】如图，当直线CD 由CA 逆时针旋转到CB 时，直线CD 与线段AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由AC k 增大到BC k ，∴k 的取值范围为3⎢⎣⎦，倾斜角α的取值范围为ππ63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．19.已知空间三点(1,0,0)A ，(1,1,1)B ，(3,1,)C a -，求：（1）若AB BC ⊥ ，求实数a ；（2）若5a =，△ABC 的面积.【答案】（1）1a =；（2）.【解析】【分析】（1）应用空间向量垂直的坐标表示列方程求参数a ；（2）应用空间向量夹角坐标表示求(4,1,5)AC =- 、(0,1,1)AB = 夹角余弦值，进而求正弦值，坐标公式求模长，应用三角形面积公式求面积即可.【小问1详解】由题设(0,1,1)AB = ，(4,0,1)BC a =-- ，又AB BC ⊥ ，所以10AB BC a ⋅=-= ，可得1a =.【小问2详解】由题意(3,1,5)C -，故(4,1,5)AC =- ，而(0,1,1)AB = ，所以|cos ,|||7||||AB AC AB AC AB AC ⋅<>== ，故27sin ,7AB AC <>= ，而||AC =||AB =127ABC S == .20.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是11,,DD BD BB 的中点.（1）求EF 与CG 所成角的余弦值；（2）求点G 到平面CEF 的距离.【答案】（1）1515（2）63【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，分别求得向量,EF CG 的坐标，由cos ,EF CG EF CG EF CG⋅=⋅ 求解；（2）求得平面CEF 的一个法向量(),,n x y z = ，由CG n d n ⋅=求解,【小问1详解】建立如图所示空间直角坐标系：则()11110,0,,,,0,0,1,0,1,1,2222E F C G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1111,,,1,0,2222EF CG ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以14cos ,EF CG EF CG EF CG ⋅==⋅ ，所以EF 与CG所成角的余弦值是15；【小问2详解】1110,1,,222CE CF ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面CEF 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00CE n CF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即10211022y z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令1x =，则()1,1,2n = ，所以3CG n d n⋅== 21.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）若2PA =，4=AD ，求直线CE 与平面ABCD 所成的角正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）510【解析】【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，即转化为证明//EO PB ；（2）首先建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式求出正弦值，再求正切值即可【详解】（1）连结BD ，交AC 于点O ，连结OE ，,E O 分别是,PD BD 的中点，//EO PB ∴，PB ⊄ 平面AEC ，EO ⊂平面AEC ，//PB ∴平面AEC ；（2）如图，以点A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，()002P ,,，()0,4,0D ()4,4,0C ，()0,2,1E ，()0,0,2AP = ，()4,2,1CE =-- ，易知()0,0,2AP = 为平面ABCD 的一个法向量，设直线CE 与平面ABCD 所成的角θ，则()()04022121sin cos ,21221AP CE AP CE AP CEθ⋅⨯-+⨯-+⨯=<>==⨯ ，22105cos 1sin 21θθ=-=，sin 215tan cos 21102105θθθ==所以直线CE 与平面ABCD 所成的角正切值51022.请从①cos 2cos 0C C +=；②222sin sin sin sin sin 0A B C A B +--=；③()cos 2cos 0c B b a C +-=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）.（1）求角C 的大小；（2）若1c =，D 为ABC 的外接圆上的点，2BA BD BA ⋅= ，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】（1）π3C =（2）326【解析】【分析】（1）选①，通过二倍角公式的化简求解；选②，通过余弦定理求解即可；选③，通过边角互化求解即可；（2）将条件2BA BD BA ⋅= 转化为π2BAD ∠=，然后结合基本不等式求取四边形面积的最大值；【小问1详解】选①：cos 2cos 0C C +=，根据二倍角公式化简得：22cos cos 10C C +-=，即()()2cos 1cos 10C C -+=，因为()0,π,C ∈解得：1cos 2C =或cos 1C =-（舍去），所以π3C =；选②222sin sin sin sin sin 0A B C A B +--=，根据正弦定理得：2220,a b c ab +--=根据余弦定理得：2221cos ,222a b c ab C ab ab +-===又因为()0,πC ∈，所以π3C =；选③()cos 2cos 0c B b a C +-=，根据正弦定理得：()()sin cos sin 2sin cos sin 2sin cos 0,C B B A C B C A C +-=+-=因为()()0,π,0,πC A ∈∈，sin 0A ≠，解得：1cos 2C =，所以π3C =；【小问2详解】2BA BD BA ⋅= ，根据数量积定义可知：cos BA BD BAD BA BA ⋅∠=⋅uu r uu u r uu r uu r ，所以cos BD BAD BA ∠=uu u r uu r ，则有：π2BAD ∠=，如图所示：1122ABCD S AB AD BC CD =⋅+⋅,根据正弦定理得：12πsin 3sin 3c R C ===111112222ABCD S AB AD BC CD BC CD =⋅+⋅=⨯+⋅，因为2224,3BC CD BD +==根据基本不等式解得：22423BC CD BC CD +=≥⋅，当且仅当63BC CD ==时，等号成立，即23BC CD ⋅≤，代入111112222ABCD S AB AD BC CD BC CD =⋅+⋅=+⋅，解得：26 ABCDS≤，。

贵州省贵阳市清华中学2024-2025学年高二上学期10月阶段考试数学试卷(含答案)

贵阳市清华中学2024—2025学年度第一学期10月阶段考试试卷高二数学（考试时间：120分钟；试卷满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系Oxy 中，直线的倾斜角等于（）A．B ．C ．D ．2．在空间直角坐标系Oxyz 中，点关于Oyz 坐标平面的对称点的坐标是（）A ．B ．C ．D ．3．王伟在“国庆”节七天假期中每天的运动时长（单位：分钟）统计数据如下表，则（）日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日运动时长589210070804560A ．王伟这七天每天运动时长的平均数是73B ．王伟这七天每天运动时长的中位数是75C ．王伟这七天每天运动时长的第80百分位数是92D ．王伟这七天每天运动时长的极差是454．下列三角函数式的值不等于的是（）A ． B ．C ．D ．5．下列函数中，其图象不关于原点对称的是（）A ．B ．C ．D ．10x -=6π3π23π56π(1,2,3)P -'P (1,2,3)--(1,2,3)--(1,2,3)--(1,2,3)-12cos 75cos15sin 75sin15︒︒-︒︒2sin 75cos 75︒︒22cos 301︒-2tan 22.51tan 22.5︒-︒13()f x x =3()sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2x xe ef x --=1()ln1x f x x -=+6．如图，在棱长为1的正方体中，E ，F 分别是，的中点，则直线EF 到平面的距离为（）ABCD7．已知，，，则实数a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．B ．C ．D ．8．口袋中有2个红球和2个白球（形状和大小完全相同），从中随机不放回地依次摸出2个球，设事件“第1次摸出的是红球”，“第2次摸出的是红球”，“摸出的两个球均为红球”，“摸出的两个球颜色不同”。

湖北省武汉市武汉外国语学校2024-2025学年高三上学期10月考试数学(含答案)

武汉外国语学校2024—2025学年度上学期10月月考高三数学试卷命题教师：审题教师：考试时间：2024年10月9日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A ．B ．C ．D ．2．复数的共轭复数是（）A ．B ．C ．D ．3，且，则与的夹角为（）A ．B ．C ．D ．4. 已知，则下列不等关系中不恒成立的是（）A ．B ．C ．D ．5. 将体积为1的正四面体放置于一个正方体中，则此正方体棱长的最小值为（）A ．3B ．C ．D ．6. 武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（）种A ．114B. 120C ．126D ．1327．已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．8. 已知函数，，函数，若为偶函数，则的值为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（）A ．数据，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1B ．已知随机变量，若，，则C ．若一组样本数据（，2，…，n ）的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为D ．若事件M ，N 的概率满足，且，则M 与N 相互独立10. 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（）A ．平行四边形B ．梯形C ．有三条边相等的四边形D ．有一组对角相等的四边形11. 设函数，则（）A ．当时，直线是曲线的切线B ．若有三个不同的零点，则C ．存在a ，b ，使得为曲线的对称轴D ．当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知是等差数列的前n 项和，若，，则．13. 已知函数，写出函数的单调递减区间．14. 掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，（1）恰好得3分的概率为；（2）恰好得n 分的概率为．（用与n 有关的式子作答）{}2|230A x x x =+-≥{}|22B x x =-≤<A B = []2,1--[)1,2-[]1,1-[)1,2ii 212+-3i5-3i 5i -ib a -=c a c ⊥a b 6π3π23π56π(0,),(0,)22ππαβ∈∈()sin sin sin αβαβ+<+()sin cos cos αβαβ+<+()cos sin sin αβαβ+<+()cos cos cos αβαβ+<+33333a R ∈222,1()ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩x ()0f x …R a[]0,1[]0,e []0,2[]1,e ()()f x f x x R =-∈，()15.5=f ()()()1g x x f x =-⋅()1+x g ()0.5-g 32.521.51-(),X B n p :()40E X =()30D X =160n =(),i i x y 1i =132y x =-+12-()()0,1P M ∈()()0,1P N ∈()()1P N M P N +=32()231f x x ax =-+0a =1y =()y f x =()f x 123,,x x x 12312x x x ⋅⋅=-x b =()y f x =02ax ≠()f x 0x x =()y f x =n S {}n a 320S =990S =6S =()()π2,0,cos 2sin ∈+=x xxx f ()x f四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （本题满分13分）已知的面积为，且满足,设和的夹角为，（1）求的取值范围；（2）求函数16.（本题满分15分）如图，已知四棱锥，，侧面为正三角形，底面是边长为4的菱形，侧面与底面所成的二面角为120°．（1）求四棱锥的体积；（2）求二面角的正弦值．17.（本题满分15分）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若不等式恒成立，求的取值范围．18.（本题满分17分）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点A （1）求椭圆E 的方程；（2）求的角平分线所在直线的方程；（3）在椭圆E 上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．19.（本题满分17分）设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质．（1）设函数，其中为实数① 求证：函数具有性质；② 讨论函数的单调性；（2）已知函数具有性质，给定，，且，若，求的取值范围．ABC ∆3360≤⋅≤AC AB AB ACθθ()2cos sin 3f πθθθθ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭ABCD P -AD PB ⊥PAD ABCD PAD ABCD ABCD P -A PB C --()2()e ln0x af x a a x-=+>a e =()y f x =()()1,1f ()2f x ≥a 2222:1(0)x y E a b a b +=>>12,F F 2352,3⎛⎫ ⎪⎝⎭21AF F ∠l l )(x f ),1(+∞)('x f a )(x h )(x h ),1(+∞∈x )(x h )1)(()('2+-=ax x x h x f )(x f )(a P )(x f 2ln (1)1b x x x +=+>+b )(x f )(b P )(x f )(x g )2(P 为正实数，设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α21)1(mx x m +-=β1,1>>βα12()()()()g g g x g x αβ-<-m2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案DDBCCABDABDBCDABD二、填空题12.13. 14. （1）；（2）三、解答题15、解：（1）由题，可得，又，所以，得到或因为，所以6分（2），化简得进一步计算得，因为，故故可得13分16、解：（1）过点作垂直于平面，垂足为，连接交于，连接，则有，又，所以，因为，所以，又，所以为得中点依题侧面与底面所成的二面角为120°，即有，所以，因为侧面为正三角形，502433ππ⎛⎫⎪⎝⎭，132713425153n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭3sin 21==∆θbc S ABC θsin 6=bc 36cos 0≤=⋅≤θbc AC AB 36sin cos 60≤≤θθ33tan≥θ2πθ=()πθ,0∈,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2cos sin 3f πθθθθ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭()21sin 24f θθθ=()1sin 223f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦22033ππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()102f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，P PO ABCD O BO AD E PE AD PB AD PO ⊥⊥,P PB PO =⋂POB AD 平面⊥POB PE 平面⊂PE AD ⊥PD PA =E AD PAD ABCD 32π=∠PEB 3π=∠PEO PAD所以，则，所以7分（2）如图，在平面内过点作得垂线，依题可得两两垂直，以为建立空间直角坐标系可得，，，取得中点为，则因为，所以，由（1)，，知所以，可得所成角即为二面角的平面角，求得，，则则15分17、解：（1）当时，，，所求切线方程为：，即5分（2）转化为，可得构造函数，易得在单调递增所以有，由在单调递增,故可得，即有在恒成立令，，得到，可得时，；时，，所以在时取最大值所以，得到15分323sin4=⋅=πPE 323323sin=⋅=⋅=πPE PO 38323443131=⋅⋅⋅⋅==-PO S V ABCD ABCD P ABCD O OB Ox Ox OB OP ,,Ox OB OP ,,轴轴，轴，x y z ()0,3,2A ()0,0,0P ()0,33,0B PB N ⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,233,0N AB AP =PB AN ⊥POB AD 平面⊥AD BC //POB BC 平面⊥PB BC ⊥NA BC ,A PB C --⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=23,23,2AN ()0,0,2=BC 72724-=-BC NA sin A PB C --=a e =1()e lnx e f x x -=+0(1)e ln 2f e =+=11()e ,(1)0x f x f x-''=-=)1(02-=-x y 2y =()2≥x f ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥ln 2e ln +2ln 0a x a x x x x +-+-≥+>，()e x g x x =+()g x R ()(ln 2)ln g a x g x +-≥()g x R ln 2ln a x x +-≥ln ln 2a x x ≥-+()∞+，0()2ln +-=x x x h ()011=-='xx h 1=x ()10，∈x ()0>'x h ()∞+∈，1x ()0<'x h ()x h 1=x ()ln 11a h ≥=ea ≥18、解：（1）∵椭圆E 经过点A ，∴，解得E ：；4分（2）由（1）可知，，思路一：由题意，，设角平分线上任意一点为，则得或∵斜率为正，∴的角平分线所在直线为思路二：椭圆在点A 处的切线方程为，根据椭圆的光学性质，的角平分线所在直线的斜率为，∴，的角平分线所在直线即10分（3）思路一：假设存在关于直线对称的相异两点，设，∴∴线段中点为在的角平分线上，即得∴与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线对称的相异两点，线段中点，52,3⎛⎫⎪⎝⎭23e =222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨=+⎪⎪==⎪⎩32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22195x y +=1(2,0)F -2(2,0)F 1:512100AF l x y -+=2:2AF l x =(),P x y 51210213x y x -+=-9680x y --=2390x y +-=21AF F ∠9680x y --=52,3⎛⎫⎪⎝⎭2319x y +=23k =-切21AF F ∠l 32l k =21AF F ∠34:23l y x =-9680x y --=l ()()1122,,,B x y C x y 2:3BC l y x m =-+2222195912945023x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎪⎩BC 25,39m mM ⎛⎫⎪⎝⎭21AF F ∠106803m m --=3m =52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭l ()()1122,,,B x y C x y BC ()00,M x y由点差法，，∴，∴，与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．17分19、解：（1）① ，∵，恒成立，∴函数具有性质；3分② 设，(i) 当即时，，，故此时在区间上递增；(ii) 当时当即时，，，故此时在区间上递增；当即时，，∴时，，，此时在上递减；时，，，此时在上递增.综上所述，当时，在上递增；当时，在上递减，在上递增.9分()()()222121()111b f x x bx x x x x +=-=-+'++1x >()()2101h x x x =>+()f x ()P b ()0f x '>()f x ()1,+∞()0f x '>()f x ()1,+∞x ⎛∈ ⎝()0f x '<()fx ⎛ ⎝()fx ∞⎫+⎪⎪⎭2b ≤()f x ()1,+∞2b >()fx ⎛ ⎝∞⎫+⎪⎪⎭2211222212122222195095195x y x x y y x y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪--⎩0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+0065OM y k x ==:968052,63:5AM OM l x y M l y x --=⎧⎪⎛⎫⇒⎨⎪=⎝⎭⎪⎩()()211u x x bx x =-+>0b -≥0b ≤()0u x >0b >240b ∆=-≤02b <≤()0u x >240b ∆=->2b>1211x x ==<=>，()0u x<x ∞⎫∈+⎪⎪⎭()0u x >()0f x '<（2）由题意，，又对任意的都有，所以对任意的都有，在上递增.10分∵，，∴①先考虑的情况即，得，此时，∴∴满足题意13分②当时，，，∴∴，∴，不满足题意，舍去16分综上所述，17分()()22()()21()1g x h x x x h x x =-+=-'()h x ()1,x ∈+∞()0h x >()1,x ∈+∞()0g x '>()g x ()1,+∞12(1)mx m x α=+-12(1)m x mx β=-+()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--12x x αβ-<-()()121221m x x x x --<-01m <<1122(1)x mx m x x α<=+-<1122(1)x m x mx x β<=-+<1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<12()()()()g g g x g x αβ-<-1m ≥11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+12x x αβ≤<≤12()()()()g g x g x g αβ≤<≤12()()()()g g g x g x αβ-≥-01m <<。

数学丨黑龙江省哈尔滨市第三中学2025届高三10月月考数学试卷及答案

哈三中2024—2025学年度上学期高三学年十月月考数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.323.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.44.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.57.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A.B. C.D.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A.B.0C.1D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成的角为D.三棱锥外接球的表面积为11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合，，再根据交集的定义求.【详解】对集合：因为，所以，即；对集合：因为恒成立，所以.所以.故选：B2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算可得.【详解】因为是关于的方程的一个根，所以方程的另一个虚根为，所以，解得，所以.故选：D.3.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.4【答案】D【解析】【分析】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：D.4.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合递推关系利用分组求和法求.【详解】因为，，所以，，，，，又，，，所以.故选：C.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】选择为平面向量的一组基底，表示出，再根据表示的唯一性，可求的值.【详解】选择为平面向量的一组基底.因为为中点，所以；又.由.故选：C6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论.【详解】依题意，作出图形如图所示设为的中点，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，连接，又因为平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又，所以，所以，所以.故选：B.7.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数在区间上的零点的集合等于函数和函数在区间内的交点横坐标的集合，分析函数的图象特征，作出两函数的图象，观察图象可得结论.【详解】因为函数，的零点的集合与方程在区间上的解集相等，又方程可化为，所以函数，的零点的集合与函数和函数在区间内的交点横坐标的集合相等，因为函数为定义域为的偶函数，所以，函数的图象关于轴对称，因为，取可得，，所以函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，又当时，，作出函数，的区间上的图象如下：观察图象可得函数，的图象在区间上有个交点，将这个交点的横坐标按从小到大依次记为，则，，，，所以函数在区间上所有零点的和为.故选：A.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】可设，，，由得到满足的关系，再求的最小值.【详解】可设，，，则.可设：，则.故选：B【点睛】方法点睛：由题意可知：，都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定，，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数的最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象【答案】ACD【解析】【分析】先利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，把函数化成的形式，再对函数的性质进行分析，判断各选项是否正确.【详解】因为.所以，故A正确；函数对称中心的纵坐标必为，故B错误；由，得函数的对称轴方程为：，.令，得是函数的一条对称轴.故C正确；将函数的图象向右平移个单位，得，即将函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象.故D正确.故选：ACD10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成角为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】AC【解析】【分析】对于A，的最小值为可判断A；对于B，过作于，求得，可求三棱锥的体积判断B；对于C；取的中点，则，取的中点，连接，求得，由余弦定理可求异面直线、所成的角判断C；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，求得外接球的半径，进而可求表面积判断D.【详解】对于A，将沿直线翻折至，可得的最小值为，故A正确；对于B，过作于，因为二面角为直二面角，所以平面平面，又平面平面，所以平面，由题意可得，由勾股定理可得，由，即，解得，因为为线段的中点，所以到平面的距离为，又，所以，故B错误；对于C，取的中点，则，且，，所以，因为，所以是异面直线、所成的角，取的中点，连接，可得，所以，在中，可得，由余弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以异面直线、所成的角为，故C正确；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，易得是的垂直平分线，所以是的外心，又平面平面，又平面平面，所以平面，又因为直角三角形的外心，所以是三棱锥的外球的球心，又，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点【答案】BCD【解析】【分析】分和两种情况探讨的符号，判断A的真假；转化为研究函数的最小值问题，判断B的真假；把方程有两个不等实根，为有两个根的问题，构造函数，分析函数的图象和性质，可得的取值范围，判断C的真假；直线与函数图象有两个交点转化为有两解，分析函数的零点个数，可判断D的真假.【详解】对A：当时，；当时，；时，，所以函数只有1个零点.A错误；对B：欲证，须证在上恒成立.设，则，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为，因为，所以.故B正确；对C：.设，则，.由；由.所以在上单调递增，在单调递减.所以的最大值为：，又当时，.如图所示：所以有两个解时，.故C正确；对D：问题转化为方程：有两解，即有两解.设，，所以.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以的最大值为.因为，，所以所以.且当且时，；时，.所以函数的图象如下：所以有两解成立，所以D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.【答案】【解析】【分析】设数列的公差为，将条件关系转化为的方程，解方程求，由此可求结论.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，，所以，，所以，故答案为：.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式，余弦定理列方程求，再由三角形面积公式求结论.【详解】因为，为的平分线，所以，又，所以，由余弦定理可得，又，所以所以，所以的面积.故答案为：.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据已知可得的中点外接球的球心，求得外接球的半径与内切球的半径，进而求得两球心之间的距离，可求得线段的长度的最小值.【详解】因为平面，所以是直角三角形，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以是直角三角形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，结合已知可得平面，所以是直角三角形，从而可得的中点外接球的球心，故外接球的半径为，设内切球的球心为，半径为，由，根据已知可得，所以，所以，解得，内切球在平面的投影为内切球的截面大圆，且此圆与的两边相切（记与的切点为），球心在平面的投影为在的角平分线上，所以，由上易知，所以，过作于，，从而，所以，所以两球心之间的距离，因为、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，所以线段的长度的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：首先确定内外切球球心位置，进而求两球半径和球心距离，再利用空间想象判断两球心与位置关系求最小值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，利用勾股定理的逆定理可得，可证结论；（2）以为坐标原点，所在直线为，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】连接，因为，为中点，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面；【小问2详解】以为坐标原点，所在直线为，过作平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，又，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）的取值范围为.【解析】【分析】（1）求函数的定义域及导函数，分别在，，，条件下研究导数的取值情况，判断函数的单调性；（2）由条件可得，设，利用导数求其最小值，由此可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，导函数，当时，，函数在上单调递增，当且时，即时，，函数在上单调递增，当时，，当且仅当时，函数在上单调递增，当时，方程有两个不等实数根，设其根为，，则，，由，知，，，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，函数在上单调递增，【小问2详解】因为，，所以，不等式可化为，因为在恒成立，所以设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取最小值，最小值为，故，所以的取值范围为.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，可求，进而得到角.（2）利用向量表示，借助向量的数量积求边.（3）利用与正弦定理表示出，借助三角函数求的取值范围.【小问1详解】因为，根据正弦定理，得，所以，因为，所以，所以.【小问2详解】因为为中点，所以，所以，所以，解得或（舍去），故.【小问3详解】由正弦定理：，所以，，因为，所以，所以，，设内切圆半径为，则.因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，即，即内切圆半径的取值范围是：.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.【答案】（1），175（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）根据频率之和为1可求的值，再根据百分位数的概念求第60百分位数.（2）根据条件概率计算，求的分布列和期望.（3）根据二面角大于，求出可对应的情况，再求中奖的概率.【小问1详解】由.因为：，，所以每日汽车销售量的第60百分位数在，且为.【小问2详解】因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.所以：在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.由题意，的值可以为：0，1，2，3.且，，，.所以的分布列为：0123所以.【小问3详解】如图：取中点，链接，，，，.因为，都是边长为2的等边三角形，所以，，，平面，所以平面.平面，所以.所以为二面角DE平面角.在中，，所以.若，在中，由正弦定理：.此时：，.所以，要想中奖，须有.由是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，所以基本事件有个，满足的基本事件有：，，，，，，，，共9个，所以中奖的概率为：.【点睛】关键点点睛：在第（2）问中，首先要根据条件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率”.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积的最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥的外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）设，用表示四棱锥体积，分析函数的单调性，可求四棱锥体积的最大值.（2）①建立空间直角坐标系，设点坐标，用空间向量求二面角的余弦，结合二次函数的值域，可得二面角余弦的取值范围.②先确定球心，求出球心到截面的距离，利用勾股定理可求截面圆的半径，进而得截面圆的面积.【小问1详解】设则，所以四棱锥体积，.所以：.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以四棱锥体积的最大值为.【小问2详解】①以为原点，建立如图空间直角坐标系.则，，，所以，，.设平面的法向量为，则.令，则.取平面的法向量.因为平面与平面所成的二面角为锐角，设为.所以.因为，，所以.②易得，则，此时平面的法向量，所以点到平面的距离为：，设四棱锥的外接球半径为，则,所以平面截球所得的截面圆半径.所以平面截球所得的截面面积为：.【点睛】关键点点睛：平面截球的截面面积问题，要搞清球心的位置，球的半径，球心到截面的距离，再利用勾股定理，求出截面圆的半径.。

辽宁省大连市甘井子区育文中学2024-2025学年七年级上学期10月月考数学试卷(含答案)

2024-2025学年度第一学期阶段性随堂练习七年级数学（本试卷共23道题满分120分考试时间共90分钟）注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效第一部分选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果80m 表示向右走80m ，那么m 表示（）A ．向上走60mB ．向下走60mC ．向左走60mD ．向南走60m2．0的发现被称为人类伟大的发现之一.0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（）A ．0℃是一个确定的温度B ．海拔0m 表示没有海拔C ．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻D ．在二进制中，0是基本的数字表示3．我区某天的温差是11℃，最高气温是9℃，则最低气温是（）A ．℃B ．2℃C ．20℃D ．℃4．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（）A ．B ．C ．D ．5．下列各式结果为负数的是（）A ．B．C ．D ．6．下列比较两个数的大小，正确的是（）A ．B ．C ．D ．7．任何一个数加上一个正数，和与原来的数的大小关系是（）A ．一定比原数大B ．一定比原数小C ．可能等于原数D ．无法确定8．设，是正有理数，下列判断错误的是（）A ．B ．C ．D ．9．若有理数小于，在数轴上表示数及其相反数，正确的是（）A ．B ．C ．D ．60-2-20-()1--1--()()11-⨯-()()11---31->-21->1123->-2334->-a b ()()()a b a b +⨯-=-⨯()()()a b a b -⨯-=-⨯()()()a b a b ++-=--()()()a b a b -+-=-+m 1-m m -10．一架直升机从高度为450m 的位置开始，先以5m/s 的速度竖直上升60s ，然后以4m/s 的速度竖直下降120s ，这时直升机所在的高度是（）A ．90mB ．270mC ．630mD ．810m第二部分非选择题（共90分）二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．2024的相反数是___________.12．若，则___________.13．写出一个绝对值小于5的负数___________.（写出一个即可）14．如图所示的图案是我国古代窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸，则第6个图中所贴剪纸“”的个数为___________.15．对于任意有理数，通常用表示不超过的最大整数，如.在数学史上，这一数学符号的首次出现，是在数学家高斯（C.F.Gauss.）的著作《算术研究》中.依据上述对的定义，计算的结果是___________.三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．（本题满分10分）计算（1）；（2）.17．（本题满分10分）计算（1）；（2）.18．（本题满分10分）计算（1）；（2）.19．（本题满分8分）有8筐白菜，以每筐25kg 为质量标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称后的记录（单位：kg ）如下：1.5，，2，，1，，，2a =a =O O x []x x []2.92=[]x []x [][]3.1 3.9+-()()832---+-28635⎛⎫⨯-÷ ⎪⎝⎭8513794⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()512656÷-7377184812⎛⎫⎛⎫-÷-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21211332334----⨯----3-0.5-2-2- 2.5-这8筐白菜一共多少千克？20．（本题满分9分）解答下列问题：（1）当时，的值是___________，当时，的值是___________.（2）若有理数不等于零，求的值.（3）若有理数，均不等于零，的值是___________.21．（本题满分9分）红、黄、蓝三支足球队进行单循环比赛，比赛结果是：红队胜黄队，比分4：2；黄队胜蓝队，比分为3：1；红队负蓝队，比分为2：3.如果胜一场积3分，负一场积0分.（1）求三个队的积分各是多少？（2）当球队积分相同时，净胜球总数多的队排名靠前.如果进球数记为+，失球数记为，净胜球数等于进球数与失球数的和.请通过计算各队的净胜球数，判断哪个队获得第一名.22．（本题满分7分）综合与实践【问题的发现与提出】巴黎时间2024年8月4日晚上，在巴黎奥运会男子4×100米混合泳接力决赛中，中国队夺得金牌，打破美国长达四十年的垄断.小明是在北京时间8月5日凌晨观看的现场直播，他知道两地存在时间上的差异，即时差.为了解时差的奥秘，小明查阅并整理了相关资料.【资料的查询与整理】时差产生的原因：地球可以看成一个球体，太阳光线不能同时照到地球的每一个角落.随着地球自西向东的自转，不同经度上的地方就会在不同的时间接收到太阳光，这就导致了各地时间的差异.显然，地球上相对东面的位置比西面的位置更早接收到太阳光，时间自然比西面要早.时区制度的设立：国际上规定，以英国格林尼治天文台所在的经线为零度经线，根据地球自转的方向，将地球表面按从东到西，每隔15°划分为1个区域，可以得到24个区域，即24个时区，并规定零度经线所在的时区（西经7.5°一东经7.5°的区域）称为中时区（零时区），中时区以东有12个时区，依次记为东一区至东十二区，以西也有十二个时区，依次记为西一区至西十二区，由于地球形状的影响，最终东十二区和西十二区合为一个时区.在同一时区内各地的时间相同，不同时区内各地有各自的时间，每相邻时区的时差为1小时.这样，当一个时区是中午12点时，相邻的时区可能是下午1点或早上11点.时区设立的意义：时区制度的设立是为了适应人类社会发展的需要，提供一个全球统一的时间框架，以便于跨地域的交流和活动.【问题的理解与应用】由于中时区又称为零时区，好比数轴上的原点，东区好比正半轴，西区好比负半轴.所有时区与中时区的时差都等于和中时区相比的那个时区的时区数.比如东八区就与中时区相差8小时，时区数是八.又由于所有相邻的时区时刻都相差1小时，这样东一区与西一区之间的中时区，就好比数轴上与之间的0一样.将数轴上的数与时区对应的点、经度对应起来，可以用下图来表示：5a =a a2a =-aa a a aa b ba a b+-O 1-1+其中7.5°E 表示东经7.5°，对应点；7.5°W 表示西经7.5°，对应点；15°E 表示东经15°，对应点；数字1表示东一区（从东经7.5°到东经22.5°之间的区域）；0°对应点.法国巴黎和中国北京分别采用东经15°（东一区）和东经120°（东八区）的时间，因此北京时间比巴黎时间要早7个小时.例如，巴黎时间8月4日19：00，就是北京时间8月5日凌晨2：00.【问题的解决与实践】（1），，三地分别采用经度是东经15°，东经120°和西经120°的时间，将三地用背景材料中数轴上的数简明地表示，分别是____________；（2）下一届奥运会将于2028年在美国洛杉矶举行，洛杉矶采用西八区的时间.①若北京时间是2024年10月10日13：00，洛杉矶时间是____________；②若2028年洛杉矶奥运会的某一项游泳比赛于当地时间7月20日19：00进行，请你推算此时的北京时间.23．（本题满分12分）【阅读中思考】设是不为0和1的有理数，我们把1与的倒数的差，即称为的倒数差，如：2的倒数差是，的倒数差是.【探索中理解】若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推.（1）先写出计算，，的算式，在求出它们的值.（2）求的值为____________.（直接写出答案）【应用拓展】设，，都是不为0和1的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组，第2次变换后得数组，…，第次变换后得到数组.（3）若数组确定为.则的值为_____________.（直接写出答案）M N P O A B C a a 11a-a 11122-=1-()1121-=-3a =1a a 2a 1a 3a 2a 1a 2a 3a 456a a a ++a b c (),,a b c ()111,,a b c ()222,,a b c n (),,n n n a b c (),,a b c 11,,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭111222999a b c a b c a b c +++++++++2024-2025学年第一学期阶段性随堂练习七年级数学（参考答案及评分标准仅供本次练习使用）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A 8．C 9．D 10．B 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．12．13．等14．2015．14.2015.-1三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．（每题5分，共10分）（1）原式 2分（2）原式 3分 3分4分5分5分17．（每题5分，共10分）（1）原式2分4分5分（2）原式 1分2分4分5分18．（每题5分，共10分）（1）因为2024-2±1-1-832=-+-25638=-⨯⨯52=--548=-⨯7=-52=-5813974⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭5237=-⨯1021=-5112665⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭51125165⎛⎫=-++⨯ ⎪⎝⎭112556⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭112530=-3777148128⎛⎫⎛⎫--÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1分2分3分所以 5分（2）.4分 5分19．（本题满分8分）根据题意得2分3分4分5分（kg ）7分答：8筐白菜一共194.5千克. 8分20．（本题满分9分）（1） 1 ，_______；2分（2）若，，4分若，，6分所以的值为1或.（3）2或0或. 9分21．（本题满分9分）（1）红队胜一场，负一场，得3分；黄队胜一场，负一场，得3分；蓝队胜一场，负一场，得3分；777848127⎛⎫⎛⎫=--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2213=-++13=-73771384812⎛⎫⎛⎫-÷--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21211332334----⨯----21133312=---+11112=()()()()()1.5320.5122 2.5+-++-++-+-+-()()()()()()1.52130.522 2.5=+++-+-+-+-+-⎡⎤⎣⎦()4.510=+-5.5=-258 5.5194.5⨯-=1-0a >a a =1a aa a==0a <a a =-1a a a a==--aa1-2-三个队各得3分. 3分（2）红队进球6个，失球5个，净胜球数，黄队进球5个，失球5个，净胜球数，蓝队进球4个，失球5个，净胜球数， 6分因为 7分所以红队获得第一名. 9分22．（本题满分7分）（1）1，8，3分（2）①2024年10月9日21：00； 5分②2028年7月21日11：00 7分23．（本题12分）（1）；；.6分（2）；8分（3）.12分()651=+-=()550=+-=()451=+-=-101>>-8-11121133a a =-=-=2111111223a a =-=-=-321111312a a =-=-=-196194。

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨三中高三(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A ={y|y =24−x 2}，B ={x|y =ln(x 2+2x +3)}，则A ∩B =( )A. (0,4]B. [1,4]C. [1,+∞)D. (0,+∞)2.已知3+i 是关于x 的方程2x 2−mx +n =0(m,n ∈R)的一个根，则m +n =( )A. 20B. 22C. 30D. 323.已知x >0，y >0，lg 2x +lg 4y =lg2，则1x +12y 的最小值为( )A. 2B. 22C. 23D. 44.数列{a n }中，若a 1=2，a 2=4，a n +a n +1+a n +2=2，则数列{a n }的前2024项和S 2024=( )A. 1348B. 1350C. 1354D. 26985.在△ABC 中，D 为BC 中点，CP =λCB ，AQ =23AB +13AC ，若AD =25AP +35AQ ，则λ=( )A. 12B. 13C. 14D. 156.在三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，点D 在棱BB 1上，且BB 1=4BD ，点M 为A 1C 1的中点，点N 在棱BB 1上，若MN//平面ADC 1，则NBNB 1=( )A. 2B. 3C. 4D. 57.已知偶函数f(x)定义域为R ，且f(3x)=f(2−3x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=x 2，则函数g(x)=|cos (πx)|−f(x)在区间[−52,12]上所有零点的和为( )A. −7B. −6C. −3D. −28.已知平面向量a ，b ，c ，满足|a |=|b |=1，且cos 〈a ,b〉=−12，|c−a +b |=1，则b ⋅(a−c )的最小值为( )A. −1B. 0C. 1D. 2二、多选题：本题共3小题，共18分。

2024-2025学年广西南宁市南宁二中高一(上)第一次月考数学试卷(10月份)(含答案)

2024-2025学年广西南宁二中高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A={1,2,4}，B={1,3,4}，C={1,4,6}，则(A∩B)∪C=( )A. {1,2,3}B. {1,2,6}C. {1,3,6}D. {1,4,6}2.已知命题p：“∀x≥0，x2−x+1≥0”，则它的否定为( )A. ∀x<0，x2−x+1<0B. ∃x<0，x2−x+1<0C. ∀x≥0，x2−x+1<0D. ∃x≥0，x2−x+1<03.如图，三个圆的内部区域分别代表集合A，B，C，全集为I，则图中阴影部分的区域表示( )A. A∩B∩CB. A∩C∩(∁I B)C. A∩B∩(∁I C)D. B∩C∩(∁I A)4.设x∈R，则“1x<1”是“x2>1”成立的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.设集合A={x∈Z|62+x∈N}，则集合A的真子集个数为( )A. 7个B. 8个C. 16个D. 15个6.不等式2x2−5x−3<0的一个必要不充分条件是( )A. −3<x<12B. −1<x<6 C. −12<x<0 D. −12<x<37.已知实数m，n，p满足m2+n+4=4m+p，且m+n2+1=0，则下列说法正确的是( )A. n≥p>mB. p≥n>mC. n>p>mD. p>n>m8.已知正数x，y满足x2+2xy−1=0，则3x2+4y2的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列选项正确的是( )A. 若a >b >0，则ac 2>bc 2B. 若a <b <0，则a 2>ab >b 2C. 若a >b 且1a >1b ，则ab <0D. 若a >b >c >0，则a b <a +cb +c 10.已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|x <−2或x >3}，则下列说法正确的是( )A. a >0B. 关于x 的不等式bx +c >0的解集是{x|x <−6}C. a +b +c >0D. 关于x 的不等式cx 2−bx +a <0的解集为{x|x <−13或x >12}11.已知正数a ，b 满足4a +b +ab =12，则下列结论正确的是( )A. ab 的最大值为4B. 4a +b 的最小值为8C. a +b 的最小值为3D. 1a +1+1b 的最小值34三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

三年级数学下册第6单元年月日重难点真题检测卷人教版(含答案)

三年级下册第6单元年月日重难点真题检测卷-人教版一．选择题（共8小题）1．（•和平区期末）中华人民共和国成立是（）年10月1日。

A．1921 B．1997 C．19492．（•淮安月考）我们常用的计时单位有（）。

A．时、分、秒B．米、厘米、分米C．个、十、百3．（•竞秀区期末）三名同学赛跑,王明用时102秒,小丽用时1分15秒,小军用时98秒,（）跑的最快。

A．王明B．小军C．小丽D．无法判断4．（•盘州市期末）在教育部提出的“五项管理”中,明确了小学生每天睡眠时间应达到10（）A．分B．小时C．秒5．（•泾阳县月考）2022年2月4日北京冬奥会开幕,这一年的一二、三月一共有（）天。

A．89 B．90 C．91 D．926．（•沂水县期末）秒针走2圈,分针走（）A．1小格B．2大格C．2小格7．（•南安市期末）2021年6月17日,“神舟十二号”载人航天飞船成功发射升空,三位宇航员乘坐这班飞船飞往中国空间站。

下列月份与6月天数相同的是（）A．12月B．11月C．7月D．2月8．（•辛集市期末）下面事件中,用1分钟可以完成的是（）A．看一场电影B．计算10道口算题C．步行2千米D．做一次眼保健操二．填空题（共8小题）9．（•台山市期末）①5吨＝千克；②7千米﹣3千米＝米；③60分米＝米；④3时＝分。

10．（•淮安月考）在横线上填上合适的时间单位。

（1）小红等红灯用了20 （2）看一场电影用了2（3）做一套广播操用了5 （4）小明跑50米用了8（5）一节课的时间是40 （6）小学生一天的在校时间是6 11．（•淮安月考）钟面上的短针是针,最长最细的针是针。

时针走一大格是小时,分针走一大格是分。

时针走一大格,分针走圈。

12．（•淮安月考）小华绕操场跑一圈用58秒,小文跑一圈用1分。

跑得快,快秒。

13．（•库车市校级期末）一天中的上午,有8时、10时、10时30分、6时、9时、9时10分,按时间的先后顺序,把这些时间排列起来。

2024-2025学年江苏省南京市赣榆高级中学、南京市第五中学高一上学期10月月考数学试卷(含答案)

2024-2025学年江苏省赣榆高级中学、南京市第五中学高一上学期10月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A={0,1,2,3,4,5}，集合B={2,3,4}，则∁A B=( )A. {0,1}B. {1,5}C. {0,1,5}D. {0,1,2,3,4,5}2.不等式−x2+2x−4>0的解集为( )A. RB. ⌀C. {x|x>0,x∈R}D. {x|x<0,x∈R}3.若命题“∀x∈R,x2+1>m”是真命题，则实数m的取值范围是( )A. (−∞,1]B. (−∞,1)C. [1,+∞)D. (1,+∞)4.若y1=3x2−x+1，y2=2x2+x−1，则y1与y2的大小关系是( )A. y1<y2B. y1=y2C. y1>y2D. 随x值变化而变化5.若直角三角形的面积为50，则两条直角边的和的最小值是( )A. 52B. 102C. 10D. 206.使“x≤−12或x≥3”成立的一个充分不必要条件是( )A. x<0B. x≥0C. x∈{−1,3,5}D. x≤−12或x≥37.下列命题中正确的是( )A. 若ab>0，a>b，则1a <1bB. 若a<b，则ac2<bc2C. 若a>b，c>d，则a−c>b−dD. 若a>b，c<d，则ac >bd8.下列说法正确的是( )A. 函数y=4x2+9x2的最小值是6B. 正数x，y满足2x +8y=1，则xy的最大值是64C. 函数y=2−3x−4x(x>0)的最小值是2−43D. 若x>−1，则函数y=x+1x+1取到最小值时x=0二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.命题p:∃x∈R,x2+bx+1≤0的否定是真命题，则实数b的值可能是( )A. −74B. −32C. 2D. 5210.设正实数a ，b 满足a +b =1，则( )A. 1a +1b 有最小值4B. ab 有最小值12C. a + b 有最大值 7D. a 2+b 2有最小值1211.关于x 的不等式ax 2+bx +c ≥0的解集为{x|x ≤−1或x ≥4}，下列说法正确的是( )A. a >0B. 不等式cx 2−bx +a <0的解集为{x|−14<x <1}C. 3b +c 的最大值为−4D. 关于x 的不等式x 2+bx +c <0解集中仅有两个整数，则a 的取值范围是(17,25]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2021-2022年高三上学期10月月考数学试卷含答案

2021年高三上学期10月月考数学试卷含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1、已知函数，则该函数的定义域为__________．2、不等式的解集是．3、若，则的取值范围是 _________．4、函数在区间[，]上的最小值为m ，最大值为M ，则M+m 的值为___6_______．5、函数)(1)(3R x x x x f ∈++=，若，则__0____．6、已知集合只含有一个元素，则 0 或1 ．7、展开式中的系数为_____28_____．8、计算：_______3_2222210n n n n n n n C C C C =++++ ． 9、在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是．（结果用分数表示）10、若圆锥的侧面积为，且母线与底面所成的角为，则此圆锥的体积为________．（答案保留）11、若是R 上的减函数, 且的图象过点A(0,3), B(3,－1)，则不等式的解集是___________．12、已知函数242(1)()log (1)ax ax x f x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩，在区间上是减函数，则的取值范围为______________.13、由函数、的图象及直线、所围成的封闭图形的面积是 10 ．14、设定义域为的函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=--11121x ax x f x ，若关于的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解，则满足题意的的取值范围是___________．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸上的相应位置，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15、下列函数中，与函数相同的函数是（ C ）（A ）．（B ）．（C ）．（D ）．16、已知平面和直线、，且，则“”是“”的（ A ）(A)充分不必要条件．(B)必要不充分条件． (C)充要条件． (D)既不充分也不必要条件．17、设M 、P 是两个非空集合，定义M 与P 的“差集”为{}P x M x x P M ∉∈=-且|，则等于（ B ）（A ）P ．（B ）．（C ）．（D ）M ．18、气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续天的日平均温度均不低于”．现有甲、乙、丙三地连续天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：①甲地：个数据的中位数为，众数为；②乙地：个数据的中位数为，总体均值为；③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为，则肯定进入夏季的地区有（ C ）(A)个． (B)个． (C)个． (D)个．三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．19、(本题满分14分) 本题共有2个小题。

五年级数学拓展题(10月汇总)

题后反思：第三单元小数除法（二）日期：10月1日题目：用简便方法计算：14÷2.5÷32÷0.125日期：10月2日题目：简便计算：1.7÷1.25日期：10月3日题目：甲数的小数点向右移动两位正好是乙数，两数相差2.97。

乙两数各是多少？日期：10月4日题目：计算 0.1÷（0.2÷ 0.3）÷（0.3÷0.4）÷（0.4÷0.5）÷（0.5÷0.6）÷…÷（1.9÷2）日期：10月5日题目：如果△÷0.7＝○，○是一个两位小数，保留一位小数是1.3。

△最大是多少？最小呢？日期：10月6日题目：一个林场用喷雾器给树喷农药，4台喷雾器2.5个小时喷了250棵。

照这样子计算。

3台喷雾器5.4个小时喷多少棵？日期：10月7日题目：某商店委托搬运公司运送10000个瓷碗，每个瓷碗运费是0.18元，如果每破损一个不但不给运费反而倒扣2.22元.最后结账，搬运公司共得运费1761.6元.问搬运中破损了几个瓷碗？日期：10月8日题目：某班的数学竞赛，平均成绩是91.3分。

复查时发现把小华的89分误看作97分计算，经重新计算，该班平均成绩是91.1分。

问全班有多少同学？第三单元小数除法（二）参考答案10月1日答案：14÷2.5÷32÷0.125=14÷（2.5×32×0.125）=14÷（2.5×4×8×0.125）=14÷[（2.5×4)×(8×0.125）]=14÷（10×1）=14÷10=1.4 解题思路：该题主要考查利用运算定律进行小数的简便运算。

解题时首先要利用除法性质，把连续除以几个数转化成除以这几个除数的积，即将原式变为“14÷（2.5×32×0.125）”。

2023-2024学年浙江省舟山市中学高二上学期10月月考试题数学及答案

舟山中学高二第一学期第一次数学素养测评（分数：150分时间：120分钟）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若13210,124a ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭,,,, ，则方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示的圆的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知方程22121x y m m +=-+表示的曲线是椭圆,则实数m 的取值范围是A. (1,2)- B. 11(1,)(,2)22-⋃ C. 1(1,2- D. 1(,2)23. 点()00M x y ，是圆222(0)x y a a +=>内不为圆心的一点，则直线200x x y y a +=与该圆的位置关系是（）A. 相切B. 相交C. 相离D. 相切或相交4. 若圆22:4480C x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线l ：0x y c -+=的距离为2，则c 的取值范围是（）A. ⎡⎣-B. (-C. []22-，D. (2,2)-5. 已知圆()22:22C x y -+=,直线:2l y kx =-,若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线12,l l ,使得12l l ⊥,则实数k 的取值范围是A.()0,22⎡-+∞⎣ B.[2,2]C. (),0∞- D. [0∞+，）6. 已知原点到直线l 的距离为1，圆22(2)(4x y -+=与直线l 相切，则满足条件的直线l 有A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条7. 椭圆C ： ()222210x y a b a b+=>>的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P 为椭圆C 上的任意一点，且P 在第一象限，O 为坐标原点，()3,0F 为椭圆C 的右焦点，则⋅OP PF 的取值范围为（）A.(16,10)-- B. 3910,4⎛⎤--⎥⎝⎦C. 3916,4⎛⎤--⎥⎝⎦D. 39,4∞⎛⎤--⎥⎝⎦8. 如图，已知1F ，2F 分别是椭圆左、右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点M ，N ．若过点1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为（）A.1-B. 2C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点（异于左，右顶点），且12PF F △的周长为6，则下列结论正确的是（）A. 椭圆C 的焦距为1B. 椭圆C的短轴长为C. 12PF F △D. 椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=10. 圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A. 公共弦AB 所在直线的方程为0x y -= B. 公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C. 公共弦ABD. P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大1+11. “脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C ．半圆1C 的方程为()2290x y y +=≥，半椭圆2C 的方程为221(0)916x y y +=≤．则下列说法正确的是（）的A. 点A 在半圆1C 上，点B 在半椭圆2C 上，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，则△OAB 面积的最大值为6B. 曲线C 上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7C.若((0,,A B ，P 是半椭圆2C 上的一个动点，则cos ∠APB 的最小值为19D. 画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆2C 扩充为整个椭圆C '：()22144916x y y +=-≤≤后，椭圆C '的蒙日圆方程为2225x y +=12. 已知F 为椭圆22:142x y C +=左焦点，直线():0l y kx k =≠与椭圆C 交于A 、B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（）A.14AF BF+的最小值为2 B. ABE 的面积的最大值为C. 直线BE 的斜率为2kD.∠PAB 为直角三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知直线:1l mx y -=，若直线l 与直线10x my --=平行，则实数m 的值为______，动直线l 被圆22:2240C x y x ++-=截得弦长的最小值为______．14. 若过点()0,0作圆2222210x y kx ky k k +++++-=的切线有两条，则实数k 的取值范围是_________．15. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 在x，过1F 作直线l 交C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为__________．16. 已知F 1，F 2是离心率为13的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，M 是椭圆上第一象限的点，若I 是12MF F 的内心，G 是12MF F 的重心，记12IF F 与1GF M 的面积分别为S 1，S 2，则12S S =___________.的四、解答题（本大题共6小题，共73.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知动圆M 过定点()30A -,，并且在定圆B ：()22364x y -+=的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,3)A ，直线 : 24l y x =-设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点()2,3B 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使得||2||MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.19. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，椭圆C 上点M 满足124MF MF +=．（1）求椭圆C 标准方程：（2）若过坐标原点(0,0)O 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，求线段PQ时直线l 的方程．20. 已知椭圆22:41C x y +=及直线:l y x m =+，m R ∈.（1）当m 为何值时，直线l 与椭圆C 有公共点；（2）若直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，O 为坐标原点，求直线l 的方程.21. 已知椭圆C ：2222x y a b +=1(a >b >0)的一个顶点坐标为A (0，﹣1)（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y =k (x ﹣1)(k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，线段PQ 的中点为M ，点B (1，0)，求证：点M 不在以AB 为直径的圆上.22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，124F F =，且a =．（1）求C 方程．（2）若A ，B 为C 上两个动点，过2F 且垂直x 轴的直线平分2AF B ∠，证明：直线AB 过定点．的的的舟山中学高二第一学期第一次数学素养测评（分数：150分时间：120分钟）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若13210,124a ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭,,,, ，则方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示的圆的个数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】【分析】由圆的一般方程表示圆的条件计算即可.【详解】由题意可知：()()()()2222242134403220a a a a a a a a +-+-=--+>⇒-+<，解之得223a -<<，又13210,124a ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭,,,,，所以11,0,2a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭.故选：C2. 已知方程22121x y m m +=-+表示的曲线是椭圆,则实数m 的取值范围是A. (1,2)-B. 11(1,)(,2)22-⋃ C. 1(1,2- D. 1(,2)2【答案】B 【解析】【详解】因为方程22121x ym m +=-+表示的曲线是椭圆，所以201021m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解得12m -<<且12m ≠，即实数m 的取值范围是111,,222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.3. 点()00M x y ，是圆222(0)x y a a +=>内不为圆心的一点，则直线200x x y y a +=与该圆的位置关系是（）A. 相切 B. 相交C. 相离D. 相切或相交【答案】C 【解析】【分析】先根据点在圆内，得到222000x y a <+<，再计算圆心到直线200x x y y a +=的距离为d ，并与半径作比较，即可得到答案．【详解】M 在圆内，且不为圆心，则222000x y a <+<，则圆心到直线200x x y y a +=的距离为d a =>=，所以相离．故选：C ．4. 若圆22:4480C x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线l ：0x y c -+=的距离为2，则c 的取值范围是（）A. ⎡⎣-B. (-C. []22-，D. (2,2)-【答案】A 【解析】【分析】利用直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式数形结合计算即可.【详解】由()()22222:4480224C x y x y x y +---=⇒-+-=，所以()2,2C ，半径4r =，过圆心C 作直线0x y c -+=的垂线交圆分别于A 、B 两点，易知4BC AC ==，当圆心C 到0x y c -+=的距离2d时可得c =±此时圆上恰有三个不同的点到直线l ：0x y c -+=的距离为2，满足题意，如图所示，可知C 到l的距离为：2d c ⎡⇒∈-⎣.故选：A5. 已知圆()22:22C x y -+=,直线:2l y kx =-,若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线12,l l ,使得12l l ⊥,则实数k 的取值范围是A. ()0,22⎡-+∞⎣ B. [2,2]C. (),0∞-D. [0∞+，）【答案】D 【解析】【分析】由题意结合几何性质可知点P 的轨迹方程为22(2)4x y -+=，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k 的不等式即可求得实数k 的取值范围.【详解】圆C （2,0），半径r ，设P （x ，y ），因为两切线12l l ⊥，如下图，PA ⊥PB ，由切线性质定理，知：PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，PA ＝PB ，所以，四边形PACB 为正方形，所以，｜PC ｜＝2，则：22(2)4x y -+=，即点P 的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线:2l y kx =-过定点（0，－2），直线方程即20kx y --=，只要直线与P 点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：2d =≤，解得：0k ≥，即实数k 的取值范围是[0∞+，）.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 已知原点到直线l 的距离为1，圆22(2)(4x y -+=与直线l 相切，则满足条件的直线l 有A. 1条 B. 2条C. 3条D. 4条【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由已知，直线l 满足到原点的距离为1，到点(2的距离为2，满足条件的直线l 即为圆221x y +=和圆22(2)(4x y -+=的公切线，因为这两个圆有两条外公切线和一条内公切线. 故选C.考点：相离两圆的公切线7. 椭圆C ： ()222210x y a b a b+=>>的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P 为椭圆C 上的任意一点，且P 在第一象限，O 为坐标原点，()3,0F 为椭圆C 的右焦点，则⋅OP PF 的取值范围为（）A.(16,10)-- B. 3910,4⎛⎤--⎥⎝⎦C. 3916,4⎛⎤--⎥⎝⎦D. 39,4∞⎛⎤--⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的定义及椭圆的定义先计算a b c 、、，利用三角换元设点P 坐标，结合二次函数的单调性计算范围即可.详解】由题意可知2259422322a a b b a b =⎧-=⎧⇒⎨⎨=+⨯=⨯⎩⎩，即2212516x y +=，结合题意不妨设()π5cos ,4sin 02P θθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，【则()()5cos ,4sin ,35cos ,4sin OP PF θθθθ==--，所以22215cos 25cos 16sin 9cos 15cos 16OP PF θθθθθ⋅=--=-+-，由题意得()cos 0,1θ∈，令cos t θ=，则2253991516964OP PF t t t ⎛⎫⋅=-+-=---⎪⎝⎭由二次函数的单调性知当5cos 6t θ==时，上式取得最大值394-，当cos 0t θ==时，225399151691664t t t ⎛⎫-+-=---=- ⎪⎝⎭，故3916,4OP PF ⎛⎤⋅∈-- ⎥⎝⎦ .故选：C8. 如图，已知1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点M ，N ．若过点1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为（）A.1-B. 2C.D.【答案】A 【解析】【分析】由切线的性质，可得2MF c =，1MF =，再结合椭圆定义122+=MF MF a ，即得解【详解】因为过点1F 的直线1MF 圆2F 的切线，2MF c =，122F F c =，所以1MF =．由椭圆定义可得122MF MF c a +=+=，可得椭圆的离心率1c e a ===-．故选：A二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点（异于左，右顶点），且12PF F △的周长为6，则下列结论正确的是（）A. 椭圆C 的焦距为1B. 椭圆C 的短轴长为C. 12PF F △D. 椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=【答案】BC 【解析】【分析】根据12e =，226a c +=解得,,a b c 可判断AB ；设()00,P x y ，由1212012PF F S F F y =V 知当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C ；假设椭圆C 上存在点P ，设12,PF m PF n ==，求出m n +、mn ，,m n 可看作方程2460x x -+=，求出判别式∆可判断D.【详解】由已知得12c e a ==，226a c +=，解得2,1a c ==，2223b a c =-=，对于A ，椭圆C 的焦距为22c =，故A 错误；对于B ，椭圆C 的短轴长为2b =B 正确；对于C ，设()00,Px y ，12120012== PF F S F F y c y ，当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时0==y b 12PF F △，故C 正确；对于D ，假设椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=，设12,PF m PF n ==，所以24m n a +==，22216244m n mn c +=-==，6mn =，所以,m n 是方程2460x x -+=，其判别式16240∆=-<，所以方程无解，故假设不成立，故D 错误.故选：BC.10. 圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A. 公共弦AB 所在直线的方程为0x y -= B. 公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C. 公共弦ABD. P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大1+【答案】AD【解析】【分析】根据公共弦方程的求法计算即可判定A 、B 选项，利用圆的弦长公式计算可判定C 选项，利用圆的性质及点到直线的距离公式可判定D 项.【详解】由两圆的方程作差可知公共弦AB 方程为：()22222244400x y x x y x y x y x y +--++-=-+=⇒-=，故A 正确，B 错误；由()22221:2011O x y x x y +-=⇒-+=，易知()11,0O ，半径1r =，则点()11,0O 到0x y -=的距离为d ==故弦长AB ==C 错误；当1PO AB ⊥，并在如下图所示位置时，P到直线AB 的距离的最大，为1d r +=+，故D 正确；故选：AD11. “脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C ．半圆1C 的方程为()2290x yy +=≥，半椭圆2C 的方程为221(0)916x y y +=≤．则下列说法正确的是（）A. 点A 在半圆1C 上，点B 在半椭圆2C 上，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，则△OAB 面积的最大值为6B. 曲线C 上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7C. 若((0,,A B ，P 是半椭圆2C 上的一个动点，则cos ∠APB 的最小值为19D. 画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆2C 扩充为整个椭圆C '：()22144916x y y +=-≤≤后，椭圆C '的蒙日圆方程为2225x y +=【答案】ABD 【解析】【分析】选项A ，易得3OA =，4OB ≤，从而判断；选项B 根据椭圆的性质解决椭圆中两点间距离问题；选项C 由椭圆定义可得到|PA |、|PB |之和为定值，由基本不等式可以得到PA 、|PB |乘积的最大值，结合余弦定理即可求出cos ∠APB 的最小值；选项D 中分析蒙日圆的关键信息，圆心是原点，找两条特殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程．【详解】解：对于A ，因为点A 在半圆1C 上，点B 在半椭圆2C 上，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，则3OA =，4OB ≤，则13622AOB S OA OB OB ==≤ ，当B 位于椭圆的下顶点时取等号，所以△OAB 面积的最大值为6，故A 正确；对于B ，半圆1C 上的点到O 点的距离都是3，半椭圆2C 上的点到O 点的距离的最小值为3，最大值为4，所以曲线C 上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7，故B 正确；对于C，((0,,A B 是椭圆221916x y +=的两个焦点，在△PAB中，AB =，由余弦定理知：22222||||()2cos 22PA PB AB PA PB AB PA PBAPB PA PBPA PB+-+--⋅∠==⋅⋅()2282821818111284PA PBPA PBPA PB PA PB --⋅==-≥-=⋅⋅+，当且仅当PA PB =时取等号，所以cos ∠APB 的最小值为18，故C 错误；对于D ，由题意知：蒙日圆的圆心O 坐标为原点(0，0)，在椭圆C '：221(44)916x y y +=-≤≤中取两条切线：3x =和4y =，它们交点为()3,4，5=此时蒙日圆方程为：2225x y +=，故D 正确．故选：ABD ．12. 已知F 为椭圆22:142x y C +=的左焦点，直线():0l y kx k =≠与椭圆C 交于A 、B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（）A. 14AF BF+的最小值为2 B. ABE 的面积的最大值为C. 直线BE 的斜率为2kD.∠PAB 为直角【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件设出点A 、P 坐标，结合椭圆定义、均值不等式、斜率坐标公式逐项分析计算作答.【详解】设椭圆C 的右焦点F '，由椭圆对称性知线段AB ，FF '互相平分于点O ，则四边形AFBF '为平行四边形，如图，则||||||||4AF BF AF AF '+=+=，有14114(||||)()4AF BF AF BF AF BF+=++1||4||19(5)(5444BF AF AF BF =++≥+=，当且仅当||4||BF AF AF BF =，即8||2||3BF AF ==时取“=”，A 不正确；设00(,)A x y ，000x y ≠，则2200142x y =+≥=，当且仅当220042x y =，即00||||x y ==“=”，即00||||x y ⋅≤，因AE x ⊥轴，垂足为E，则002||||ABE AOE S S x y ==⋅≤ ，B 正确；因00(,)A x y ，有y k x =，由椭圆对称性可得00(,)B x y --，而00(,)E x ，则直线BE 的斜率00122BE y k k x ==，C 正确；设(,)P m n ，由2200142x y +=及22142m n +=得， 222200042m x n y --+=，即22022012n y m x -=--，直线PA ，PB 的斜率,PA PB k k 有22000220001·2PA PBn y n y n y k k m x m x m x -+-=⋅==--+-，而12PB BE k k k ==，于是得1PA k k =-，有1·1AB PA k k k k ⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭，所以∠PAB 为直角，D 正确.故选：BCD【点睛】结论点睛：过椭圆中心的弦(除椭圆长轴外)与椭圆二焦点围成平行四边形.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知直线:1l mx y -=，若直线l 与直线10x my --=平行，则实数m 的值为______，动直线l被圆22:2240C x y x ++-=截得弦长的最小值为______．【答案】 ①. 1-②. 【解析】【分析】根据两直线的一般方程，利用直线平行的公式，代入即可求解m ；首先判断直线l 过定点()0,1-，利用直线与圆的位置关系，判断当过点P ()0,1-且与PC 垂直的弦的弦长最短.【详解】由题意得()()110m m ⨯---⨯=，所以1m =±．当1m =时，两直线重合，舍去，故1m =-．因为圆C 的方程222240x y x ++-=可化为()22125x y ++=，即圆心为()1,0C -，半径为5．由于直线:10l mx y --=过定点()0,1P -，所以过点P 且与PC 垂直的弦的弦长最短，且最短弦长为2=．故答案为：1-；14. 若过点()0,0作圆2222210x y kx ky k k +++++-=的切线有两条，则实数k 的取值范围是_________．【答案】()122,1,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】先将圆转化成标准方程，得到圆心和半径，通过半径的平方大于0可得到223k -<<，再通过点()0,0能作两条圆的切线，可得到点()0,0在圆外，能得到12k >或1k <-，即可得到答案【详解】圆的标准方程为2223()124k x y k k k ⎛⎫+++=--+ ⎪⎝⎭，圆心为,2k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径的平方为23104k k --+>，即223k -<<，因为过点()0,0作圆的切线有两条，所以点()0,0在圆外，故点()0,0到圆心的距离大于圆的半径，即22230(0)124k k k k ⎛⎫+++>--+ ⎪⎝⎭，解得12k >或1k <-，综上所述，k 的取值范围是()122,1,23⎛⎫--⎪⎝⎭，故答案为：()122,1,23⎛⎫--⎪⎝⎭．15. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 在x，过1F 作直线l 交C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为__________．【答案】221168x y +=【解析】【详解】试题分析：依题意：4a ＝16，即a ＝4，又e ＝c a，∴c＝，∴b 2＝8.∴椭圆C 的方程为221168x y +=考点：椭圆的定义及几何性质16. 已知F 1，F 2是离心率为13的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，M 是椭圆上第一象限的点，若I 是12MF F 的内心，G 是12MF F 的重心，记12IF F 与1GF M 的面积分别为S 1，S 2，则12S S =___________.【答案】34【解析】【分析】先根据离心率确定3a c =，再根据条件用c 表示12MF F △的面积，然后寻找1S 及2S 与12MF F △的面积的关系即可得出结果.【详解】由于椭圆的离心率为13，所以13c a =，即3a c =，设12MF F △的面积为S ，内切圆的半径为r ，则()121211(22)422S MF MF F F r a c r cr =++=+=，所以4S r c=，所以1121122244S S S F F r c c ==⋅⋅=，因为G 是12MF F △的重心，所以11222213323MOF MF F S S S S ==⨯= ，所以1234S S =.故答案为：34.【点睛】关键点睛：本题的关键是1S 及2S 和12MF F △的面积建立联系.四、解答题（本大题共6小题，共73.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知动圆M 过定点()30A -,，并且在定圆B ：()22364x y -+=的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．【答案】221167x y +=【解析】【分析】根据椭圆的定义结合圆内切的性质求解即可.【详解】设动圆M 和定圆B 内切于点C ，由MA MC =得8+=+==MA MB MC MB BC ，即动圆圆心M 到两定点()30A -,，()3,0B 的距离之和等于定圆的半径，∴动圆圆心M 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆，且28,26==a c ，则4,3a c ==，2227b a c =-=.∴M 的轨迹方程是221167xy +=．18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,3)A ，直线 : 24l y x =-设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点()2,3B 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使得||2||MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.【答案】（1）所求切线方程为2x =或3y =；（2）120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先求得圆心()3,2C ，再根据半径为1，可得圆的方程.分类讨论斜率不存在和存在时的情况，由圆心到切线的距离等于半径求得切线方程；（2）可设圆心 (,24)C a a -，设点(,)M x y ，则由||2||MA MO =可得22(1)4x y ++=，设此圆为圆D ，由题意可得，圆C 和圆D 有交点，故两圆相交，由此有|21|||21CD -+……，解之可得a 的取值范围.【详解】（1）由题设，知圆心C 是直线24y x =-和1y x =-的交点，所以点C 的坐标为(3,2)，圆C 的方程为22(3)(2)1x y -+-=，当过点()2,3B 的切线的斜率不存在时，切线方程为2x =，满足条件；当过点()2,3B 的切线的斜率存在时，设切线方程为3(2)y k x -=-，1=，解得0k =，所以切线方程为3y =.故所求切线方程为2x =或3y =.（2）因为圆心C 在直线24y x =-上，所以设点C 的坐标为(,24)a a -，圆C 的方程为22()[2(2)]1x a y a -+--=，设点(,)M x y ，因为||2||MA MO =，=化简得22230x y y ++-=，即22(1)4x y ++=，所以点M 在以点(0,1)D -为圆心，2为半径的圆上.由题意，点(,)M x y 在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|21|||21CD -+……，即13…，解得1205a …….所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆相切的等价条件和圆与圆相交的等价条件是解题的关键，此题属综合性较强的中档题.19. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，椭圆C 上点M 满足124MF MF +=．（1）求椭圆C 的标准方程：（2）若过坐标原点(0,0)O 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，求线段PQ时直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）y x =【解析】【分析】（1）依题意可得2221224c e a a c a b ⎧==⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，即可求出a 、b ，即可求出椭圆方程；（2）首先求出直线斜率不存在时弦PQ 显然可得直线的斜率存在，设直线方程为y kx =、()11,P x y 、()22,Q x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再根据弦长公式得到方程，求出k ，即可得解；【小问1详解】解：依题意2221224c e a a c a b ⎧==⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩22143x y +=；【小问2详解】解：当直线的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，此时PQ =在，设直线方程为y kx =，则22143x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消元整理得()2234120k x +-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则120x x +=，1221234x x k-=+，所以PQ ==，即=k =，所以直线l 的方程为y x =；20. 已知椭圆22:41C x y +=及直线:l y x m =+，m R ∈.（1）当m 为何值时，直线l 与椭圆C 有公共点；（2）若直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，O 为坐标原点，求直线l 的方程.【答案】（1）⎡⎢⎣；（2）y x =【解析】分析】（1）将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，利用0∆≥可求得实数m 的取值范围；（2）设点()11,P x y 、()22,Q x y ，列出韦达定理，由OP OQ ⊥，可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算，并代入韦达定理，进而可计算得出m 的值，由此可求得直线l 的方程.【详解】（1）联立直线l 的方程与椭圆C 的方程2241y x mx y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得225210x mx m ++-=，由于直线l 与椭圆C 有公共点，则()222420120160m m m ∆=--=-≥，解得m ≤≤，因此，实数m的取值范围是⎡⎢⎣；.【（2）设点()11,P x y 、()22,Q x y ，由韦达定理可得1225m x x +=-，21215m x x -=，OP OQ ⊥ ，所以，()()()21212121212122OP OQ x x y y x x x m x m x x m x x m ⋅=+=+++=+++ ()2222212520555m m m m --=-+==，解得m =.因此，直线l的方程为y x =±【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.21. 已知椭圆C ：2222x y a b +=1(a >b >0)的一个顶点坐标为A (0，﹣1)（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y =k (x ﹣1)(k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，线段PQ 的中点为M ，点B (1，0)，求证：点M 不在以AB 为直径的圆上.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据条件求出,a b ，即可写出椭圆方程；（2）设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，联立直线与椭圆，写出韦达定理，将AM BM ⋅ 用k 表示出来，证明0AM BM ≠⋅即可.【详解】（1）解：由题意可知2221b c a c a b ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，由()22141x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，得()2222418440k x k x k +-+-=，所以()()()22222Δ8441444816k k k k =--+-=+.所以当k 为任何实数时，都有0∆>.所以2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+.因为线段PQ 的中点为M ，所以212024241x x k x k +==+，()002141k y k x k -=-=+，因为B (1，0)，所以()001AM x y =+ ，，()001BM x y =- ，.所以()()220000000011AM BM x x y y x x y y ⋅=-++=-++ 2222222244()()41414141k k k k k k k k --=-++++++()232222243143(41)(41)k k k k k k k k -++---==++222374816(41)k k k ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+.又因为k ≠0，2374()0816k ++>，所以0AM BM ≠⋅ ，所以点M 不在以AB 为直径的圆上.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，属于较难题.22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，124F F =，且a =．（1）求C 的方程．的（2）若A ，B 为C 上两个动点，过2F 且垂直x 轴的直线平分2AF B ∠，证明：直线AB 过定点．【答案】（1）22184x y +=；（2）证明见解析．【解析】【分析】(1)由条件124F F =，可得c的值，再由条件a =结合222a b c =+，可得答案.（2）由条件先得出220F A F B k k +=，设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立得出韦达定理，代入结论220F A F B k k +=中可求解.【详解】（1）解：因为1242F F c ==，所以2c =，所以224a b -=，又0a =>，所以28a =，24b =，故C 的方程为22184x y +=．（2）证明：由题意可知直线AB 的斜率存在，()22,0F ，设直线AB 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222124280k x kmx m +++-=，则()()2222221641228648320k m k m k m ∆=-+-=-+>，122412km x x k +=-+，21222812m x x k-=+．设直线2F A ，2F B 的倾斜角分别为α，β，则παβ=-，221212022F A F B y y k k x x +=+=--，所以()()1221220y x y x -+-=，即()()()()1221220kx m x kx m x +-++-=，所以()()12122240kx x m k x x m +-+-=，的所以()22228422401212m km k k m m k k-⨯+-⨯-=++，化简可得4m k =-，所以直线AB 的方程为()44y kx k k x =-=-，故直线AB 过定点()4,0．【点睛】本题考查求椭圆的方程和直线过定点问题，解答本题的关键是根据条件得出220F A F B k k +=，设出直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立由韦达定理代入解决，属于中档题.。

安徽省多校联盟2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题(含答案)

安徽省多校联盟2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题2024~2025学年高一第一学期10月联考数学试题考生注意：1.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：人教版必修第一册第二章结束.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列不正确的是（）A B. C. D.2. 已知命题，，则命题p 的否定为（）A. ， B. ，C ， D. ，3. 已知集合，，则（）A. B. C. D.4. 已知，，则p 是q 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 满足的集合M 的个数是（）A 6B. 7C. 8D. 156. 设，，且，则xy 的最大值是（）A.B.C.D. 100...N ⊇∅{}∅=∅1R 2-∈πQ∉:R p x ∃∈29304x x -+≤R x ∃∈29304x x -+>R x ∃∈29304x x -+<R x ∀∈29304x x -+≤R x ∀∈29304x x -+>{}2,1,0,1,2A =--{}12B x x =-≤A B = {}1,2{}0,1,2{}1,0,1-{}1,0,1,2-:10p x -<<:2q <{}0,1,2M ⊆n {}0,1,2,3,4,50x >0y >430x y +=225412544527. 已知集合，若，则，则称为集合“亮点”，若，则集合的所有“亮点”之和为（）A. B. C. D. 8. 关于x 的不等式恰有3个整数解，则实数a 的取值范围是（）A. 或B. 或C. 或D. 或二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象开口向上且零点为和，则（）A. 且B. C. 不等式的解集为D. 不等式的解集为11. 若a ，b 均为正实数，且满足，则（）A. 最大值为B. 的最小值为4C.的最小值为4 D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.的的M a M ∈11a M a +∈-a M 6Z16M x x ⎧⎫=∈≥⎨⎬-⎩⎭M 3456()2214ax x -<7934a a ⎧-≤<-⎨⎩9743a ⎫<≤⎬⎭7934a a ⎧-≤≤-⎨⎩9743a ⎫≤≤⎬⎭7934a a ⎧-<≤-⎨⎩9743a ⎫≤<⎬⎭7934a a ⎧-<<-⎨⎩9743a ⎫<<⎬⎭{}2,1,0,1,2,3,4U =--{}2Z 6A x x x =∈-<{}2,0,1,3B =-{}1,2-()A B B⋃ð()U A B⋂ð()()U U A B⋂ðð2y ax bx c =++2-30b >0c <24b a c=+20bx c +<{}3x x >-20cx bx a -+>1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭21a b +=ab 1811416a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1aa b+1421a b ++9212. 在中，“”是“为锐角三角形”的______条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）13. 已知，，设，则的取值范围是______.14. 二次函数的最大值记为，最小值记为，其中常数.若实数满足，则______，的最小值为__________四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15. 设集合，.（1）若，命题：，命题，若命题都为真命题，求实数的取值范围；（2）若，求的取值范围.16. （1）若关于x 的方程的两个根为，，且，求实数m的取值范围；（2）若关于x 的不等式在R 上恒成立，求实数b 的取值范围.17. （1）设，，比较与的大小；（2）求关于的不等式的解集.18. 2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.（1）分别写出与时，年利润y （万元）与年产量x （百件）的关系式（利润=销售收入-成本）；（2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？19. 对于正整数集合，如果对于M 中的任意两个元素x ，y ，都有，则称M 为“好集合”.ABC V 90A B ∠+∠>︒ABC V 23x y -<-<34x y <+<23t x y =-t 24(4814)y x x k x =--+≤≤A a 0k <T {}{}(1)(7)11(9)1k k a A k T a A --<-⊆⋅-<+A a -=T {}43A x x =-≤≤{}312B x m x m =-<<+1m =:p x A ∈:q x B ∈,p q x A B A = m ()210x m x m +-+=1x 2x 12402x x -<<<<()()2212110b x b x ----≤22p m m =-+212q m m =++p 4q x ()22120ax a x +-->*(N )x x ∈()W x 045x <<()23260W x x x =+45x ≥4900()501495020W x x x =+-+045x ≤<45x ≥*12{,,,}(N ,2)n M a a a n n =∈≥ 2x y ->（1）试判断集合和是否为“好集合”？并说明理由；（2）若集合，证明：C 不可能是“好集合”；（3）若，D 是S 的子集，且D 是“好集合”，求D 所含元素个数的最大值.{}5,7,9,13A ={}2,5,8,11B ={}{}1212,,,1,2,,18C a a a =⊆ }1,2,3,2{,026S =⋯2024~2025学年高一第一学期10月联考数学试题考生注意：1.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：人教版必修第一册第二章结束.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ABC【10题答案】【答案】BC 【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】必要不充分【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】①.②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.【15题答案】【答案】（1）（2）或【16题答案】【答案】（1）；（2）【17题答案】【答案】（1）；（2）答案见解析【18题答案】【答案】（1）答案见解析；（2）年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元【19题答案】【答案】（1）集合A 不是“好集合”，集合B 是“好集合”，理由见解析（2）证明见解析（3）{}|76t t -<<46-23x <<{11m m -≤≤32m ⎫≥⎬⎭203-<<m {}01b b ≤≤4p q ≥676。

广东省深圳市福田区红岭中学石厦初中部2023-2024学年第一学期九年级10月月考数学试卷(有答案)

红岭中学石厦初中部2023-2024学年第一学期九年级10月月考数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1．下列各组线段的长度成比例的是（）A．1，2，3，4B．2，3，4，6C．3，4，5，6D．5，10，15，202．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣1且k≠0B．k≥﹣1C．k＞﹣1D．k＞﹣1且k≠03．若a，b是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则a2+3a+b的值是（）A．2021B．2022C．2023D．20244．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（）A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．甲、乙和丙5．如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，需添加一个条件，下列添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C．＝D．＝6．下列说法正确的是（）A．四边相等的四边形是正方形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形7．四张背面完全相同的卡片上分别写有1、2、3、4四个数字，把卡片背面朝上洗匀后，王明从这四张卡片中随机选两张，则王明选中的卡片中有偶数的概率是（）A．B．C．D．8．某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房10.82亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（）A．3（1+x）＝10.82B．3（1+x）2＝10.82C．3（1+x）+3（1+x）2＝10.82D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10.829．如图，△ABC中，DE∥BC，AD：BD＝1：3，则OE：OB＝（）A．1：3B．1：4C．1：5D．1：610．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCO，B（4，3），点D为x轴上的一个动点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接OE，则OE的最小值为（）A．1B．1.5C．2D．2.4二．填空题（每题3分，共15分）11．已知＝，那么＝．12．一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，九年二班数学兴趣小组进行了如下试验：从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有个．13．已知一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长．14．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，已知点C（，1），则点A的坐标是．15．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC（AB＞AE）．设＝k，当k ＝，则△AEF∽△BCF．三．解答题（共55分）16．（9分）解下列方程：（1）（x﹣1）2﹣25＝0；（2）（5x﹣1）2＝3（5x﹣1）；（3）x2﹣4x﹣3＝0．17．（6分）为贯彻《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》精神，某校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）获奖总人数为人，m＝，A所对的圆心角度数是 °．（2）请将条形统计图补充完整；（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．18．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线．BE∥DC，BE＝DC，连接CE．（1）求证：四边形BDCE为菱形；（2）连接DE，若∠ACB＝60°，BC＝4，求DE的长．19．（8分）某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价下降1元，每月能售出个台灯，若售价下降x元（x＞0），每月能售出　个台灯．（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．20．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝∠B．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若AB＝5，BC＝6，BD＝2，求点E到BC的距离．21．（9分）如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n＝0（n≠0）的两个根是x1＝1，x2＝2，那么m＝，n＝；（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，求的值；（3）已知a、b、c满足a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．22．（8分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为BC上一点，连结AD，E为AD上一点，连结CE，若∠BAD＝∠ACE，CD ＝CE，求证：△ABD∽△CAE．【尝试应用】（2）如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OC上一点，连结BE，∠CBE＝∠DCO，BE＝DO，若BD＝12，OE＝5，求AC的长．【拓展提升】（3）如图3，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BC中点，F为DC上一点，连结OE、AF，∠AEO＝∠CAF，若，AC＝6，求菱形ABCD的边长．红岭中学石厦初中部10月月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列各组线段的长度成比例的是（）A．1，2，3，4B．2，3，4，6C．3，4，5，6D．5，10，15，20【解答】解：A、∵1×4≠2×3，故此选项不符合题意；B、∵2×6＝3×4，故此选项符合题意；C、∵3×6≠4×5，故此选项不符合题意；D、∵5×20≠10×15，故此选项不符合题意．故选：B．2．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣1且k≠0B．k≥﹣1C．k＞﹣1D．k＞﹣1且k≠0【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣1且k≠0．故选：A．3．若a，b是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则a2+3a+b的值是（）A．2021B．2022C．2023D．2024【解答】解：∵a，b是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，∴a2+2a＝2024，a+b＝﹣2，∴a2+3a+b＝（a2+2a）+a+b＝2024+（﹣2）＝2022，故选：B．4．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（）A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．甲、乙和丙【解答】解：甲：邻边的比为3：2，乙：邻边的比为2.5：1.5＝5：3，丙：邻边的比为1.5：1＝3：2，所以，是相似图形的是甲和丙．故选：B．5．如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，需添加一个条件，下列添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C．＝D．＝【解答】解：若∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故选项A不合题意；若∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故选项B不合题意；若，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故选项D不合题意；故选：C．6．下列说法正确的是（）A．四边相等的四边形是正方形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形【解答】解：A、四边相等的四边形是菱形，故A不符合题意；B、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故B不符合题意；C、对角线相等的四边形不一定是矩形，故C不符合题意；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，故D符合题意．故选：D．7．四张背面完全相同的卡片上分别写有1、2、3、4四个数字，把卡片背面朝上洗匀后，王明从这四张卡片中随机选两张，则王明选中的卡片中有偶数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：树状图如图所示，一共有12种等可能性，其中王明选中的卡片中有偶数的可能性有10种可能性，故王明选中的卡片中有偶数的概率为：＝，故选：A．8．某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房10.82亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（）A．3（1+x）＝10.82B．3（1+x）2＝10.82C．3（1+x）+3（1+x）2＝10.82D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10.82【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，则根据题意可列方程为3+3（1+x）+3（1+x）2＝10.82，故选：D．9．如图，△ABC中，DE∥BC，AD：BD＝1：3，则OE：OB＝（）A．1：3B．1：4C．1：5D．1：6【解答】解：∵DE∥BC，AD：BD＝1：3，∴，∴，故选：B．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCO，B（4，3），点D为x轴上的一个动点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接OE，则OE的最小值为（）A．1B．1.5C．2D．2.4【解答】解：如图，以OA为边在OA右侧作等边三角形AGO，∴∠OAG＝60°，连接EG并延长交y轴于点M，过点O作OH⊥GM于点H，在矩形ABCO中，∵B（4，3），∴OA＝BC＝3，AB＝OC＝4，∴OA＝OG＝AG＝3，∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴∠OAG＝∠DAE＝60°，∵∠OAD＝∠OAG﹣∠DAG，∠GAE＝∠DAE﹣∠DAG，∴∠OAD＝∠GAE，在△ADO和△AEG中，，∴△ADO≌△AEG（SAS），∴∠AOD＝∠AGE＝90°，∴∠AGM＝90°，∴点E在过定点G且与AG垂直的直线上运动，即点E在直线MG上运动，∵△OAG是等边三角形，∴∠AGO＝60°，∴∠OGH＝30°，∵OH⊥GM，∴OH＝OG＝，当点E与H不重合时，OE＞OH，当点E与H重合时，OE＝OH，综上所述：OE≥OH，∴OE的最小值为，故选：B．二．填空题11．已知＝，那么＝．【解答】解：∵＝，∴n＝m，∴＝＝；故答案为：．12．一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，九年二班数学兴趣小组进行了如下试验：从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有　15　个．【解答】解：设红球有x个，根据题意得，10：（10+x）＝0.4，解得x＝15．故答案为：15．13．已知一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长　20　．【解答】解：令菱形的对角线分别为：x1，x2，∵一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根是菱形的两条对角线长，∴x1+x2＝14，x1x2＝48，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴菱形的边长为：＝＝＝＝＝5，则菱形的周长为：4×5＝20．故答案为：20．14．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，已知点C（，1），则点A的坐标是　（﹣1，）　．【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，∵C点坐标为（，1），∴OE＝，CE＝1，∵四边形ABCO是正方形，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∵∠AOD+∠COE＝90°∠AOD+∠DAO＝90°，∴∠DAO＝∠COE，在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS），∴OD＝CE＝1，AD＝OE＝，∴点A（﹣1，）；故答案为：（﹣1，）．15．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC（AB＞AE）．设＝k，当k ＝，则△AEF∽△BCF．设AD＝2x，AB＝b，DG＝AF＝a，则FB＝b﹣a，∵∠GEC＝90°，ED⊥CD，∴ED2＝GD•CD∴x2＝ab，假定△AEF与△BFC相似，则有两种情况：当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况是不成立的；当∠AFE＝∠BFC，∵△AEF∽△BCF，∴＝，即＝，整理得：b＝3a，∴x2＝ab＝3a2，即x＝a，则k＝＝＝＝．故答案为：．三．解答题16．解下列方程：（1）（x ﹣1）2﹣25＝0；（2）（5x ﹣1）2＝3（5x ﹣1）；（3）x 2﹣4x ﹣3＝0．【解答】（1）解：x 1＝6，x 2＝﹣4；（2）因式分解，得（5x ﹣1﹣3）（5x ﹣1）＝0于是，得5x ﹣1＝0或5x ﹣4＝0，x 1＝，x 2＝（3）x 1＝1，x 2＝1．17．为贯彻《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》精神，某校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A 表示“一等奖”，B 表示“二等奖”，C 表示“三等奖”，D 表示“优秀奖”）．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）获奖总人数为 40　人，m ＝　30　，A 所对的圆心角度数是 36　°．（2）请将条形统计图补充完整；（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．【解答】解：（1）获奖总人数为 8÷20%＝40（人），C 组的人数为40﹣4﹣8﹣16＝12（人），所以m %＝×100%＝30%，所以m ＝30；A 所对的圆心角度数是360°×＝36°，故答案为：40，30，36；（2）补全条形统计图为：（4）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中1男1女的结果数为6，所以抽取的同学恰好是1男1女的概率为＝．18．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线．BE∥DC，BE＝DC，连接CE．（1）求证：四边形BDCE为菱形；（2）连接DE，若∠ACB＝60°，BC＝4，求DE的长．【解答】（1）证明：∵BE∥AC，BE＝DC，∴四边形BDCE为平行四边形，∵∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，∴，∴四边形BDCE为菱形；（2）解：连接DE交BC于O点，如图，∵四边形BDCE为菱形，BC＝4，∴，∴∠ACB＝60°，∴∠EDC＝90°﹣∠ACB＝30°，∴DC＝2OC＝4，DO＝OC＝2，∴．19．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价下降1元，每月能售出　800　个台灯，若售价下降x元（x＞0），每月能售出　（600+200x）　个台灯．（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．（3）月获利能否达到9600元，说明理由．【解答】解：（1）若售价下降1元，每月能售出：600+200＝800（个），若售价下降x元（x＞0），每月能售出（600+200x）个．故答案为800，（600+200x）（2）（40﹣30﹣x）（600+200x）＝8400整理，得x2﹣7x+12＝0解得x1＝3，x2＝4，因为库存1210个，降价3元或4元获利恰好为8400元，但是实际销量要够卖，需小于等于1210个，当x＝4时，1400＞1210（舍去）当x＝3时，1200＜1210，可取，所以售价为37元答：每个台灯的售价为37元．（3）月获利不能达到9600元，理由如下：（40﹣30﹣x）（600+200x）＝9600整理，得x2﹣7x+18＝0∵Δ＝49﹣72＝﹣23＜0方程无实数根．答：月获利不能达到9600元．20．如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝∠B．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若AB＝5，BC＝6，BD＝2，求点E到BC的距离．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE；（2）如图，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EM⊥BC于M，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝3，∴AH＝＝＝4，∵BD＝2，BC＝6，∴DC＝4，S△ABD＝×BD•AH＝4，∵△ABD∽△DCE，∴＝（）2＝，∴S△CDE＝，∴×4×EM＝，∴EM＝，∴点E到BC的距离为．21．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n＝0（n≠0）的两个根是x1＝1，x2＝2，那么m＝，n＝；（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，求的值；（3）已知a、b、c满足a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．【解答】解：（1）x1+x2＝2，x1•x2＝2，那么m＝﹣2，n＝2；（2）∵a、b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，∴a，b是x2﹣15x﹣5＝0的解，当a≠b时，a+b＝15，ab＝﹣5，＝＝＝＝﹣47．当a＝b时，原式＝2；（3）∵a+b+c＝0，abc＝16，∴a+b＝﹣c，ab＝，∴a、b是方程x2+cx+＝0的解，∴c2﹣4•≥0，c2﹣≥0，∵c是正数，∴c3﹣43≥0，c3≥43，c≥4，∴正数c的最小值是4．22．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为BC上一点，连结AD，E为AD上一点，连结CE，若∠BAD＝∠ACE，CD ＝CE，求证：△ABD∽△CAE．【尝试应用】（2）如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OC上一点，连结BE，∠CBE＝∠DCO，BE＝DO，若BD＝12，OE＝5，求AC的长．【拓展提升】（3）如图3，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BC中点，F为DC上一点，连结OE、AF，∠AEO＝∠CAF，若，AC＝6，求菱形ABCD的边长．【解答】（1）证明：∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∴180°﹣∠CDE＝180°﹣∠CED，∴∠ADB＝∠CEA，∵∠BAD＝∠ACE，∴△ABD∽△CAE．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴BE＝DO＝BO＝6．∴∠BEO＝∠BOE，∴180°﹣∠BEO＝180°﹣∠BOE，∴∠BEC＝∠COD．∵∠CBE＝∠DCO，∴△BEC∽△COD，∴，设OC＝x，则CE＝OC﹣OE＝x﹣5，∴，∴x1＝9，x2＝﹣4（舍去），∴OC＝9，∴AC＝2OC＝18；（3）解：如图，延长AG，BC，交于点G．∵，∴设DF＝5t，FC＝3t，则CD＝8t，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝8t，AD∥BC，，AC⊥BD，∴△CGF∽△DAF，∴，即，∴．在Rt△BOC中，∵E为BC的中点，∴OE＝CE＝BC＝4t．∴∠COE＝∠ACE，∴∠AOE＝∠ACG，∵∠AEO＝∠CAF，∴△AOE∽△GCA，∴，即，∴t1＝，t2＝﹣（舍去），∴，即菱形ABCD的边长为．。

2023届黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校高三上学期10月月考数学试题(解析版)

2023届黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}21B y y x ==-，则A B =（）A ．[2,2]-B ．[1,2]-C ．{2,1,0,1,2}--D ．{1,0,1,2}-【答案】B【分析】先分别计算化简两个集合，再进行交集运算.【详解】{{}22A x y x x ===-≤≤,{}{}211B y y x y y ==-=-≤,则A B =[1,2]-, 故选：B.2．已知30.2a =，0.23b =，0.2log 3c =，则a b c 、、的大小关系是（） A ．a c b << B ．a b c << C ．c<a<b D ．b<c<a【答案】C【分析】根据指数函数和对数函数的性质比较大小即可【详解】因为0.2x y =在R 上为减函数，且30>，所以3000.20.21<<=，即01a <<，因为3x y =在R 上为增函数，且0.20>，所以0.20331>=，即1b >，因为0.2log y x =在(0,)+∞上为减函数，且31>，所以0.20.2log 3log 10<=，即0c <，所以c<a<b ，故选：C3．给出如下几个结论:①命题“R,cos sin 2x x x ∃∈+=”的否定是“R,cos sin 2x x x ∃∈+≠”; ②命题“1R,cos 2sin x x x ∃∈+≥”的否定是“1R,cos 2sin x x x∀∈+<”;③对于π10,,tan 22tan x x x⎛⎫∀∈+≥ ⎪⎝⎭; ④R x ∃∈，使sin cos 2x x +=. 其中正确的是（） A ．③ B ．③④ C ．②③④ D ．①②③④【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题可判断①，②；利用基本不等式判断③;结合三角函数恒等变换以及性质判断④,可得答案.【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，知①不正确，命题“1R,cos 2sin x x x ∃∈+≥”的否定是“1R,cos 2sin x x x∀∈+<或sin 0x = ”,故②不正确；因为π110,,tan 2tan 22tan tan x x x x x⎛⎫∀∈+≥⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当1tan tan x x=即π0,2π4x ⎛=∈⎫ ⎪⎝⎭ 时取等号，③正确；由πsin cos 2sin [2,2]4x x x ⎛⎫+=+∈- ⎪⎝⎭，比如π4x =时,π2sin 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,故R x ∃∈，使sin cos 2x x +=，④正确，故选：B4．函数()()1ln f x x x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用排除法，代入特殊点计算判断. 【详解】当1x >时，10x ->，ln 0x >，所以()()1ln 0=->f x x x ，排除C ，D ，当01x <<时，10x -<，ln 0x <，所以()()1ln 0=->f x x x ，排除B. 故选：A5．如图，角,αβ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 分别交于A ，B 两点，则OA OB ⋅=（）A ．cos()αβ-B ．cos()αβ+C ．sin()αβ-D ．sin()αβ+【答案】A【解析】利用任意角的三角函数定义写出,A B 两点的坐标，再求向量数量积即可【详解】由图可知(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B ββ 所以cos cos sin sin cos()OA OB αβαβαβ⋅=+=-，故选：A.6．核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA 的数量X 与扩增次数n 满足()0lg lg 1lg n X n p X =++，其中0X 为DNA 的初始数量，p 为扩增效率．已知某被测标本DNA 扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p 约为（）（参考数据：0.2510 1.778≈，0.25100.562-≈）A ．22.2%B ．43.8%C ．56.02%D ．77.8%【答案】D【分析】根据()0lg lg 1lg n X n p X =++列方程，结合指数、对数运算求得正确答案. 【详解】依题意()120lg 12lg 1lg X p X =⋅++，()()00lg 100012lg 1lg X p X =⋅++， ()00lg1000lg 12lg 1lg X p X +=⋅++，()()312lg 1,lg 10.25p p =⋅++=，0.250.25110,1010.77877.8%p p +==-≈=.故选：D7．已知2()ln(1)f x x =+，1()2xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，命题p ：若对任意[]10,3x ∈，都存在[]22,1x ∈--，使得12()()f x g x ≥，则命题p 的一个必要不充分条件是（）A ．m ≥4B ．m ≥3C ．m ≥2D ．m ≥1【答案】D【分析】将问题转化为min min ()()f x g x ≥，利用单调性求最小值，再根据充分性和必要性的判断即可得出结论.【详解】若对任意[]10,3x ∈，都存在[]22,1x ∈--，使得12()()f x g x ≥，等价于min min ()()f x g x ≥，易知2()ln(1)f x x =+在[]0,3上单调递增，min ()(0)0f x f ∴==，1()2xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]2,1--上单调递减，min ()(1)2g x g m ∴=-=-，即有02m ≥-，解得：2m ≥.易知：m 1≥是2m ≥的必要不充分条件，故选：D8．如图，在ΔABC 中，∠BAC =3π，3AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若△ABCAP 的最小值为（）A ．3B 3C 6D ．6【答案】B【分析】由题可知1223AP mAC AB mAC AD =+=+，根据,,C P D 三点共线即可求出13m =，所以1132AP AC AB =+，即 22222111111934964APAC AB AC AB AC AB AC AB ，又△ABC 33133sin 23ABCS AB AC π==6AB AC =，再根据基本不等式，即可求出AP 的最小值．【详解】因为3AD DB =，所以1223AP mAC AB mAC AD =+=+，由,,C P D 三点共线可得， 213m +=，即13m =，所以1132AP AC AB =+，由向量的模的公式可得，22222111111934964APAC AB AC AB AC AB AC AB ，而133sin 23ABCSAB AC π==6AB AC =，根据基本不等式， 2221111123964366APAC AB AC AB AB AC AB AC ，所以AP 的最小值为3 故选：B ．【点睛】本题主要考查向量共线定理推论、向量的模的计算公式以及基本不等式的应用，意在考查学生综合运用知识的能力，属于难题．二、多选题9．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π||2ϕ<），其图像相邻对称中心间的距离为π3，直线π12x =-是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（） A ．函数()f x 的最小正周期为4π3B ．函数()f x 在区间ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图像的一个对称中心D ．将函数()f x 图像上所有点横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图像向右平移π4个单位长度，可得到正弦函数()sin g x x =的图像【答案】BC【分析】由周期求出ω，由图像的对称性求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再利用正弦函数的图像和性质，得出结论.【详解】已知函数()2sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π||2ϕ<），其图像相邻对称中心间的距离为π3，故最小正周期2π3T =,2π2π3ω=,3ω=，直线π12x =-是其中一条对称轴, 有ππ3+=+π122k ϕ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，3π=+π4k ϕ,Z k ∈，由π||2ϕ<，∴π=4ϕ-，可以求得π()2sin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.最小正周期2π3T =，选项A 错误；ππ,64x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，πππ3,442x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦是正弦曲线的单调递增区间，故选项B 正确；由于5π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图像的一个对称中心，选项C 正确；将函数()f x 图像上所有点横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图像向右平移π4个单位长度，可得到π()sin cos 2g x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，选项D 错误.故选：BC10．中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“帅”“炮”“马”“兵”分别位于,,,A B C D 四点，“马”每步只能走“日”字，图中的“马”走动一步到达点1C ，则1AD BC ⋅的值可能为（）A ．10-B ．12-C ．11-D ．14-【答案】ACD【分析】建立平面直角坐标系，写出各点坐标，“马”走一步可能到达E ，F ，G 三点中的一点，利用平面向量运算法则计算出结果.【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示，则A （0，-2），B （-3，0），C （3，-2），D （-2，1），“马”走一步可能到达E ，F ，G 三点中的一点，因为E （1，-1），F （2，0），G （4，0），所以BE =（4，-1），BF =（5，0），BG =（7，0）.又AD =（-2，3），所以AD ·BE =-11，AD ·BF =-10，AD ·BG =-14.故选：ACD 11．对于函数()()R 1xf x x x=∈+，下列判断正确的是（） A ．()()0f x f x -+=B ．当()0,1m ∈时，方程()f x m =总有实数解C ．图数()f x 的值域为[]1,1-D ．函数()f x 的单调增区间为(),0∞- 【答案】AB【分析】对于A ，根据解析式直接计算即可，对于BC ，由x x x -≤≤，从而可求得11111x x xx x x-<-≤≤<+++，从而可求出函数的值域，进而可判断BC ，对于D ，利用导数和函数的奇偶性的性质判断.【详解】对于A ，因为()()R 1xf x x x=∈+，所以()()011x x f x f x x x --+=+=+-+（x ∈R ），所以A 正确，对于BC ，因为x x x -≤≤，所以11111x x xx x x-<-≤≤<+++，所以()f x 的值域为(1,1)-，所以当()0,1m ∈时，方程()f x m =总有实数解，所以B 正确，C 错误，对于D ，(),011,01xx x x f x xx x x⎧≥⎪⎪+==⎨+⎪<⎪-⎩，当0x ≥时，21()0(1)f x x '=>+，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，由选项A 可知()f x 为奇函数，所以()f x 在(),0∞-上单调递增，且在0x =处连续，所以()f x 在R 上单调递增，所以D 错误，故选：AB12．下列选项中正确的是（）A ．若平面向量a 、b 满足22b a ==，则2a b -的最大值是5B ．在ABC 中，3AC =，1AB =，O 是ABC 的外心，则BC AO ⋅的值为4 C ．函数()πtan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的对称中心坐标为()ππ,062k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ZD ．已知向量(6,2)a =与()3,b k =-的夹角是钝角，则k 的取值范围是9k < 【答案】AB【分析】利用向量模长的三角不等式可判断A 选项；利用平面向量数量积的几何意义可判断B 选项；利用正切型函数的对称性可判断C 选项；由已知可得出0a b ⋅<且a 、b 不共线，求出k 的取值范围，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为1a =，2b =，则225a b a b -≤+=，当且仅当a 、b 方向相反时，等号成立，故2a b -的最大值是5，A 对；对于B 选项，如下图所示，取线段AB 的中点D ，连接OD ，由圆的几何性质可知OD AB ⊥，则()21122AO AB AD DO AB AD AB AB ⋅=+⋅=⋅==，同理可知21922AO AC AC ⋅==，因此，()2211422AO BC AO AC AB AC AB ⋅=⋅-=-=，B 对；对于C 选项，由()ππ232k x k -=∈Z 可得()ππ64k x k =+∈Z ，所以，函数()πtan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的对称中心坐标为()ππ,064k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，C 错；对于D 选项，若向量(6,2)a =与()3,b k =-的夹角是钝角，则218066a b k k ⎧⋅=-<⎪⎨≠-⎪⎩，解得9k <且1k ≠-，D 错. 故选：AB.三、填空题13．若()2,x ∈-+∞，则42x x ++的最小值为______．【答案】2 【分析】将42x x ++配凑成基本不等式形式，然后利用基本不等式，求出其最小值，得到答案. 【详解】因为()2,x ∈+∞，所以()20,x +∈+∞ 所以442222x x x x +=++-++ ()422222x x ⎛⎫≥+=⎪+⎝⎭.当且仅当422x x +=+时，即0x =时，等号成立. 所以答案为2【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，属于简单题. 14．计算：1sin10=︒__________. 【答案】4【详解】()2sin 3010141sin10sin202︒-︒==︒︒ 15．已知函数()212xx xf x =-+，则()()3221f x f x -≥-的解集为______．【答案】3,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求解函数()f x 的奇偶性及单调性，根据奇偶性和单调性求解不等式即可. 【详解】解：由题可得，函数()f x 的定义域为R ，()12122112xx x x f x x ⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭，令11()212x g x =-+，则()()f x xg x =，又112111()()212212221x xx x g x g x --=-=-=-=-+++，()()f x f x -=，所以函数()g x 为奇函数，函数()f x 为偶函数，当()0,x ∈+∞时，，设120x x <<，则121212111111()()2122122121x x x x g x g x -=--+=-++++，因为120x x <<，则2122x x >，所以12()()0g x g x ->，所以函数()g x 在区间()0,∞+单调递减，所以21()()(0)0g x g x g <<=，因为函数()g x 为奇函数，所以120()()g x g x <-<-，又()()f x xg x =，120x x <<，所以12()()f x f x -<-，则12()()f x f x >，所以函数()f x 在区间()0,∞+单调递减，在区间(),0∞-上单调递增，因为()()3221f x f x -≥-，所以()()3221f x f x -≥-，即3221x x -≤-，故()()223221x x -≤-，解得315x ≤≤.故答案为：3,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16．已知函数()f x 是定义在R 的偶函数，且当0x >时，223log ,02,()815, 2.x x f x x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩若函数()y f x a=-有8个零点，分别记为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x ，8x ，则12345678x x x x x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅的取值范围是______. 【答案】(144,225)【分析】由偶函数的对称性，将12345678x x x x x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅转化为()57268x x x x ⋅⋅⋅，再根据二次函数的对称性及对数函数的性质可进一步转化为()()2278778x x x x =⋅-⎡⎤⎣⎦⋅，结合723x <<利用二次函数的性质即可求解.【详解】解：因为函数()y f x a =-有8个零点，所以直线y a =与函数()y f x =图像的交点有8个，如图所示：设12345678x x x x x x x x <<<<<<<，因为函数()f x 是定义在R 的偶函数，所以函数()f x 的图像关于y 轴对称，所以18273645,,,x x x x x x x x =-=-=-=-，且由二次函数对称性有788x x +=，由25263log 3log x x =有561x x ⋅=，所以 ()()()12345678567878272728x x x x x x x x x x x x x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==⋅-⎡⎤⎣⎦⋅()22778x x =-+又723x <<，所以27712815x x <-+<，所以()22771448225x x <-+<，故答案为：(144,225).四、解答题17．已知 a b c ，，为ABC 的内角A B C ，，所对的边，向量(sin sin ,sin sin )m B A C A =--,(,)n a c b =+,且//m n .(1)求角 C ;(2)若 4b ABC =，的面积为D 为BC 中点，求线段AD 的长. 【答案】(1)3π【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可求解；（2）由面积公式及余弦定理可求解【详解】（1）因为//m n ，所以(sin sin )(sin sin )()B A b C A a c -⨯=-⨯+，由正弦定理得b a b ac c a -⨯=+-()()()，即 222a b c ab +-=，由余弦定理得 2221cos 22a b c C ab +-==. 因为 0C π<<，所以 3C π=.（2）11sin 422ABCSab C a ==⨯= 解得 6a =. 因为 D 为BC 中点，所以3CD =.在 CAD 中，2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅，即 21169243132AD =+-⨯⨯⨯=，所以 AD =18．已知向量24sin 1,cos ,(1,2)23xm x n π⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求函数()f x m n =⋅的最小正周期和对称轴；(2)已知13265f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求44cos sin αα+的值．【答案】(1)2πT =；2ππ,Z 3x k k =+∈ (2)1725【分析】（1）利用数量积的坐标运算以及三角公式将函数()f x 变形为()sin A x B ωϕ++的形式，进而利用正弦函数的性质求出周期和对称轴；（2）将26πα+代入()f x 可得sin 2α，再利用()2224224cos sin cos sin cos sin 2αααααα+-=+计算即可.【详解】（1）由已知2()4sin12cos 23x f x m n x π⎛⎫=⋅=-+- ⎪⎝⎭1cos 13412cos sin 222x x x ⎛⎫-=⨯-++ ⎪ ⎪⎝⎭3sin cos 1x x =-+π2sin 16x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭即函数π()2sin 16f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其最小正周期2πT =，令πππ,Z 62x k k -=+∈，得2ππ,Z 3x k k =+∈，即函数()f x 的对称轴为2ππ,Z 3x k k =+∈；（2）由（1）得π1322sin 216665ππf αα⎛⎫⎛⎫+=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4sin 25α∴=， ()442222221cos sin cos sin cos sin 1sin 222ααααααα=--+=+，2441417cos sin 12525αα⎛⎫∴+=-⨯= ⎪⎝⎭.19．如图，三棱柱111ABC A B C 的侧棱与底面垂直，12,23,4,2AC BC AB AA ====，点D 是AB 的中点.(1)求证：1AC B C ⊥；(2)求11A B 与平面1CDB 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明出AC ⊥平面11BCC B ，进而可得1AC B C ⊥；（2）以1,,CA CB CC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角公式代入计算可得答案．【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1CC AC ⊥，又因为2AC =，BC =4AB =，则222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，又1CC BC C ⋂=，1CC ⊂平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以AC ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AC B C ⊥.（2）以1,,CA CB CC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则11(0,0,0),(1(2,0,2)C D B A ，故11(2,B A =-，1(1,3,0),(0,2CD CB ==，设平面1CDB 的法向量(,,)n x y z =，则1·2320·0n CB z n CD x ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩，令1y =，则(3,1,n =-，设11A B与平面1CDB 所成角为θ，则111143sin 74B A n θB An===⨯ 即11A B 与平面1CDB .【点睛】20．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：[)40,50、[)50,60、[)60,70、…、[]90,100，统计结果如图所示：(1)试估计这100名学生得分的平均数；(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在[]90,100的人数为ξ，试求ξ的分布列和数学期望；(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数，2σ近似为样本方差2s ，经计算242.25s =.所有参加知识竞赛的2000名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=. 【答案】(1)70.5 (2)分布列见解析，()611E ξ= (3)317【详解】（1）解：由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数()450.01550.015650.02750.03850.015950.011070.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.(2)解：参加座谈的11人中，得分在[90,100]的有0.011120.030.0150.01⨯=++人，所以ξ的可能取值为0，1，2，所以()393115C C 2805P ξ===，()219231124155C C C P ξ===，()12923113255C C C P ξ===.所以ξ的分布列为ξ0 12 P28552455355∴()28243601255555511E ξ=⨯+⨯+⨯=. （3）解：由（1）知，()2~70.5,6.5X N ，所以()()10.6827770.158652P X P X μσ->=>+==. ()20000.15865317E X ∴=⨯≈得分高于77分的人数最有可能是317.21．某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径4AB =千米，点O 是半圆的圆心，在圆弧上取点C 、D ，使得BC DC =，把四边形ABCD 建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段AB ，BC ，CD 和DA 组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设COB θ∠=，且62ππθ≤<；(1)当6πθ=时，求四边形ABCD 的面积；(2)求塑胶跑道的总长l 关于θ的函数关系式；(3)当θ为何值时，塑胶跑道的总长l 最短，并求出l 的最小值．（答案保留2位小数）【答案】(1)23 (2)48sin4cos 2l θθ=++(3)6πθ=时，塑胶跑道的总长l 最短，最小值9.53千米．【分析】（1）6COD πθ∠==，23DOA π∠=，由三角形面积公式求得三个三角形面积后可得四边形面积；（2）COD θ∠=，2DOA πθ∠=-，利用等腰三角形的性质求得底边长，从而得l 的表达式；（3）利用二倍角公式化简函数式为关于sin 2θ的二次函数，结合二次函数性质、正弦函数性质得最小值．【详解】（1）连接OD ，因为6πθ=，又BC CD =，则6COD πθ∠==，所以23DOA π∠=， 212sin 126BOCCODSSπ==⨯⨯=，2122sin 323AODS π=⨯⨯=，所以11323ABCD BOCCODDCAS SSS=++=++=+（平方千米）；（2）由（1）知2sin 4sin22BC CD OB θθ===，2AOD πθ∠=-，2sin4sin()4cos 22AOD AD OA πθθ∠==-=，所以48sin 4cos ,622l AB BC CD DA θππθθ=+++≤+<=+（千米）．（3）2248sin4cos 48sin4(12sin )8sin 8sin 822222l θθθθθθ=++=++-=-++218(sin )1022θ=--+， 62ππθ≤<，1224πθπ≤<，所以1sin22θ=，即3πθ=时，max 10l =． 6πθ=时，62sinsin()sin cos cos sin 12343434πππππππ-=-=-=26218()109.532l -=-⨯-+≈， 2πθ=时，2218()109.662l =-⨯+≈，所以6πθ=时，l 取得最小值9.53千米．22．已知函数e ()ln() 1.(0)xf x ax a a a=--+>(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； (2)若()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()22e 1e 30x y ---+=(2)20e a <<【分析】（1）当1a =时，对()f x 求导，求出()()222e 1,2e 1f f '=+=-，由点斜式方程即可得出答案；（2）要使()0f x >恒成立，即min ()0f x >，对()f x 求导，讨论()f x 的单调性，即可求出min ()f x .【详解】（1）当1a =时，()e ln(1)1x f x x =--+，则1()e 1xf x x '=--，因为()()222e 1,2e 1f f '=+=-，所以曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为：()()()22e 1e 12y x -+=--，化简为：()22e 1e 30x y ---+=.（2）要证()0f x >恒成立，即min ()0f x >()f x 的定义域为()1,+∞，e e 1()1x x a f x a ax a a x =-=-'--，令()e 11x g x a x =--，()()2e 101x g x a x =+>-'，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，当x 趋近于正无穷，exa趋近于正无穷，11x -趋近于0，所以()g x 趋近于正无穷，当x 趋近于1，exa趋近于e a，11x -趋近于正无穷，所以()g x 趋近于负无穷，所以()01,x ∞∃∈+，使得()00g x =，即()00000e 1e 1011x x g x a x a x =-=⇒=--，001=ex ax - 所以()01,x x ∈时，()()0,0g x f x '<<，()f x 在()01,x 上单调递减，()0,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '>>，()f x 在()0,x +∞上单调递增，所以()0min 0000e 1()ln()1=ln()11x f x f x ax a ax a a x ==--+--+-0020000111=ln()1=ln ln e 112ln 21e 11x x a a a x a x x x -⋅+-++=+--+---2ln 2=42ln 0a a ≥+->，解得：20e a <<.。

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