同济大学高等数学第六版第一册第四章第三节分部积分法

分部积分法
前面我们在复合函数微分法的基 础上，得到了换元积分法。换元积分 法是积分的一种基本方法。本节我们 将介绍另一种基本积分方法——分部 积分法，它是两个函数乘积的微分法 则的逆转。
一、基本内容
问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xe
x
dx ?
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则.
设函数u u( x ) 和v v ( x )具有连续导数, v uv , uv uv , uv u uv
解三 彻底换元
令 t arctan e x 则 x ln tan t
1 dx sec2 tdt tan t arctan e x t 1 dx sec 2 tdt ex tan t tan t
1 t 2 dt td cot tdt sin t
x2
C,
两边同时对 x求导, 得
x2
,
xf ( x )dx xf ( x ) f ( x )dx
2 x e e
2 x2
x2
C.
二、小结
合理选择 分公式
u, v ，正确使用分部积
uvdx uv uvdx
思考题
在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？
x arctan x dx 2 1 x
1 x 2 arctan x ln( x 1 x 2 ) C .
例12
ex cos xdx
解
e cos xdx
x
1
1 x x e cos x e sin xdx
e cos x 2 sin xdex
1 1 sec xdx sec x tan x ln(sec x tan x ) C 2 2
3
例8
sinn xdx ( n N )
解
sin n xdx sin n1 xd cos x sin n1 x cos x cos 2 x ( n 1) sin n 2 xdx sin n1 x cos x ( n 1) sin n 2 xdx ( n 1) sin n xdx
uvdx uv uvdx, udv uv vdu.
分部积分公式
注 分部积分公式的特点：等式两边 u,v 互换位置
分部积分公式的作用：当左边的积分
udv
容易求得
不易求得，而右边的积分
vdu
利用分部积分公式——化难为易 例1 求积分 x cos xdx .
1 2 解（一） 令 u cos x , xdx dx dv 2 2 2 x x x cos xdx 2 cos x 2 sin xdx u 显然， , v 选择不当，积分更难进行.
思考题解答
注意前后几次所选的 u 应为同类型函数.
例
e x cos xdx
第一次时若选 u1 cos x
e x cos xdx e x cos x e x sin xdx
第二次时仍应选 u2 sin x
x[sin(ln x ) cos(ln x )] sin(ln x )dx x sin(ln x)dx [sin(ln x ) cos(ln x )] C . 2 注：本题也可令 t ln x
分部积分过程中出现循环，实质上是得到待求积分 的代数方程，移项即可求得所求积分。注意最后一 定要加上积分常数C
1 e arctan e 2 x dx 1 e 1 对 dx 分子分母同乘以 e x 1 e2 x x 1 dx x e 2 x dx 令 u ex 1 e2 x e (1 e )
x x
1 1 ln u ln(1 u 2 ) 2 du 2 u(1 u )
[分析] 需要将 xe x 作为整体来考虑
解
分子分母同乘以 e x
x 1 ( x 1)e x x(1 xe x )dx xe x (1 xe x )dx
令 t xe x
1 dt ln t ln(1 t ) C t (1 t )
x ln x ln(1 xe x ) C
1 n 1 n1 sin xdx sin x cos x sinn 2 xdx n n 若设 I n sin n xdx 则上述计算公式可表为
n

1 n 1 n1 I n sin x cos x I n 2 n n
——递推公式
反复使用递推公式，最后归结为求 sin x
1
x
cos xdex
x e cos x 2 e sin x 2 ex cos xdx
1
x
2
e e cos xdx 2 2 [ cos x sin x ] C
x
x
类似地有
e x x e sin xdx 2 2 [ sin x cos x ] C
1 1 x arctan x 1 x dx 2 1 x 1 2 1 x arctan x dx 2 1 x 令 x tan t 1 1 dx sec 2 tdt sec tdt 1 x2 1 tan 2 t
2 2
ln(sec t tan t ) C ln( x 1 x 2 ) C
1 1 u arctan u [ 2 ]du u u 1 u 1 1 arctan u ln u ln(1 u2 ) C u 2 1 x x e arctan e x ln(1 e 2 x ) C 2
解二
直接分部积分
x
arctan e arctan e x de x e x dx ex x x x e arctan e e 2 x dx 1 e
或
分子分母同乘以 e 2 x 1 e2 x 1 e 2 x dx e 2 x (1 e 2 x ) dx
1 1 2x 2x 令 t e2 x 2 x d (e ) 2 e (1 e ) 1 1 1 1 1 ]dt dt [ 2 t 1 t 2 t (1 t ) 1 [ln t ln(1 t )] 2

例4
求积分 x ln xdx .
x4 3 解 u ln x , x dx d dv , 4 1 4 1 3 3 x ln xdx 4 x ln x 4 x dx 1 4 1 4 x ln x x C . 4 16
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 数或反三角函数为 u.这样使用一次分部积分 公式就可使被积函数降次、简化、代数化、 有理化。目的、宗旨只有一个：容易积分。
例 13 已 知 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 是 e
x2
, 求
xf ( x )dx .
解

f ( x)dx f ( x), f ( x )dx e

f ( x ) 2 xe
xf ( x )dx xdf ( x ) xf ( x ) f ( x )dx ,
e x sin xdx . 例6 求积分
e x sin xdx sin xde x 解 e x sin x e x d (sin x ) e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x e x sin x (e x cos x e x d cos x ) e (sin x cos x ) e sin xdx 注意循环形式
例3
求积分 x arctan xdx .
x2 解 令 u arctan x , xdx d dv 22 2 x x x arctan xdx 2 arctan x 2 d (arctan x ) x2 x2 1 arctan x dx 2 2 2 1 x x2 1 1 arctan x (1 )dx 2 2 2 1 x x2 1 arctan x ( x arctan x ) C . 2 2

解（二） 令 u x , cos xdx d sin x dv
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C .
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v 一般来说， u,v 选取的原则是： （1）积分容易者选为v （2）求导简单者选为u 分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分 之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。
t cot t cot tdt
t cot t ln sin t C
ex e x arctan e x ln C 2x 1 e 1 x x e arctan e x ln(1 e 2 x ) C 2 x 1 例10 x dx x(1 xe )
x arctan x 例11 求积分 1 x 2 dx. x 2 解 1 x , 2 1 x


x arctan x 2 dx arctan xd 1 x 2 1 x
1 x 2 arctan x 1 x 2 d (arctan x )

3
例5 解
求积分 sin(ln x )dx .

sin(ln x)dx x sin(ln x ) xd[sin(ln x )]
1 x sin(ln x ) x cos(ln x ) dx x x sin(ln x ) x cos(ln x ) xd[cos(ln x )]