轴对称图形
轴对称图形
轴对称知识点：一、什么是轴对称？什么是轴对称图形？它们之间有什么区别？轴对称：两个图形关于直线对称．这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．轴对称图形：如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合．轴对称是两个图形之间的关系，轴对称图形是一个图形具有的特征二：图形的轴对称主要有下列两条性质：（1）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．（2）轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．三：线段的垂直平分线有什么性质？线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．四：对称变换性质轴对称变换的性质：（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样。
（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点。
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．例1：如图，已知：△ABC，直线MN，求作△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于MN对称．作法：（1）作AD⊥MN于D，延长AD至A1使A1D＝AD，得点A的对称点A1（2）同法作点B、C关于MN的对称点B1、、C1（3）顺次连结A1、B1、C1∴△A1B1C1即为所求例2：如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500cm．问：（1）牧童从A处牧牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？（2）最短路程是多少？【解答】问题可转化为已知直线CD和CD同侧两点A、B，在CD上作一点M，使AM+BM最小，先作点A关于CD的对称点A1，再连结A1B，交CD于点M，则点M为所求的点．证明：（1）在CD上任取一点M1，连结A1M1、AM1、BM1、AM∵直线CD是A、A1的对称轴，M、M1在CD上∴AM＝A1M，AM1＝A1M1∴AM+BM＝AM1+BM＝A1B在△A1 M1B中∵A1 M1+BM1＞AM+BN即AM+BM最小（2）由（1）可得AM＝AM1，A1C＝AC＝BD∴△A1CM≌△BDM∴A1M＝BM，CM＝DM即M为CD中点，且A1B＝2AM∵AM＝500m∴最简路程A1B＝AM+BM＝2AM＝1000m例3：在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短．作法：如图．①作点P关于直线OA的对称点E；②作点P关于直线OB的对称点F；③连接EF分别交OA、OB于点C、D．则C、D就是所要求作的点．证明：连接PC、PD，则PC=EC，PD=FD．在OA上任取异于点C的一点H，连接HE、HP、HD，则HE=HP．∵△PHD的周长=HP+HD+PD=HE+HD+DF>ED+DF=EF而△PCD的周长=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EF∴△PCD的周长最短.1．如图，△ABC与△AED关于直线1对称，若•∠D=___度．2．已知：如图，△ABC是等边三角形，延长＝BD，连结CE、DE ．求证：CE＝DE.3．如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE•的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H，求证BG=CH．1．如图是用纸折叠成的图案，其中是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个EBEDCABHG2已知两条互不平行的线段AB和A′B′关于直线1对称，AB和A′B′所在的直线交于点P，下面四个结论：①AB=A′B′；②点P在直线1上；③若A、A′是对应点，•则直线1垂直平分线段AA′；④若B、B′是对应点，则PB=PB′，其中正确的是（）A．①③④B．③④C．①②D．①②③④3．数的运算中会有一些有趣的对称形式，仿照等式①的形式填空，并检验等式是否成立．①12×231=132×21; ②12×462=___________;③18×891=__________; ④24×231=___________.课时作业：1、轴对称图形的对称轴是一条_____________。
轴对称知识点总结
轴对称与轴对称图形一、知识点：1．什么叫轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
2．什么叫轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。
联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
4．线段的垂直平分线：Array垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
（也称线段的中垂线）5．轴对称的性质：⑴成轴对称的两个图形全等。
⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
6．怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。
二、举例：例1：判断题：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；（）②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；（）③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；（）④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。
（）例2：下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形.例3：如图，由小正方形组成的L 形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：例4：如图，已知：ΔABC 和直线l ，请作出ΔABC 关于直线l 的对称三角形。
轴对称图形有哪些
轴对称图形有哪些
轴对称图形有:正方形、长方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形.
1、正方形:是特殊的平行四边形,两组对边分别平行且相等;四条边都相等;对角线互相垂直平分;具有不稳定性(易变形);
2、长方形:有一个角是直角的平行四边形叫做长方形;两条对角线相等;对边平行且相等;具有稳定性;
3、等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;顶角是直角;底边上的高等于腰上的高;等腰三角形的性质:两条边相等的三角形是等边三角形;等腰三角形的判定:在同一个三角形中,如果有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等;
4、等边三角形:三条边都相等的三角形叫做等边三角形;
5、等腰梯形:有一个角是直角的梯形叫做等腰梯形;等腰梯形的判定:在同一个梯形中,如果有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等;
6、菱形:具有一个角为直角的平行四边形叫做菱形;
7、圆:圆是一种特殊的平行四边形,它的定义域是所有的实数;
8、扇形:由圆心角的角度和弧度决定的图形叫做扇形;
9、圆锥:由圆锥面、底面圆和母线组成的几何体叫做圆锥;10、球:在地球表面,由坚硬的岩石组成的天然形体叫做球;11、椭圆:定义:过焦点的圆叫做椭圆;12、双曲线:定义:过焦点的双曲线;13、抛物线:定义:与x 轴有两个交点的曲线叫做抛物线;14、直线:无限长的,平行于x 轴y 轴的线段叫做。
轴对称图形的性质及应用
轴对称图形的性质及应用轴对称图形是指通过对称轴将图形分为两个互补的部分，两侧部分完全对称的图形。
本文将介绍轴对称图形的特点、性质以及在日常生活中的应用。
特点：轴对称图形在对称轴两侧完全对称，也就是说，左右两侧完全相同，而相应的点到对称轴的距离也完全相等。
轴对称图形最简单的例子就是欧拉线。
性质：轴对称图形与一般图形相比，具有许多独特性质。
1.对称坐标：轴对称图形在对称轴两侧完全对称，因此可以将其坐标进行相应的简化，将对称轴视为原点，将图形分解为x轴和y轴两个部分。
这种简化的坐标系统被称为对称坐标系。
2.取消相似性：一个轴对称图形绕对称轴旋转180度后，两部分分别重叠，正反都是一样的。
这也就说明了轴对称图形并不具有缩放不变性。
与此相反，使用其他变换，如旋转和平移时，图形可能变形，但尺寸和形状不变化。
3.构造对称轴：如果给定一个轴对称图形，很容易通过观察来确定它的对称轴。
但是，如果给定一个线段，如何通过它来构造轴对称图形呢？有一种简单的方法是，将线段的中点作为对称轴，然后用半径相等的圆弧将线段两端连接起来，就可以得到一个轴对称图形。
应用：轴对称图形在各个领域都有着广泛的应用。
1.设计：在建筑设计过程中，轴对称设计可以增强结构的平衡和美感。
对称图案也常常出现在布艺和墙壁装饰品上。
2.生物学：轴对称图形在生物学中也有着广泛的应用。
例如，许多植物和动物的身体结构都具有轴对称性。
轴对称性在遗传学中也发挥着重要作用，它对生物特征的分析和研究有重要的指导作用。
3.艺术：轴对称图形是艺术中常常使用的一种形式。
例如，一些字母、标志和图形都是轴对称的，这在机器制图和商业设计中都很常见。
4.数学：轴对称图形在数学中也发挥着重要作用，特别是在几何学中。
几何转化和对称操作常常用于证明数学定理，而轴对称图形则是证明某些性质的好例子。
总结：轴对称图形是一种可以通过对称轴将图形分为两个互补的部分，两侧部分完全对称的图形。
轴对称图形具有特殊的性质，例如对称坐标，取消相似性以及构造对称轴等。
轴对称图形
经过平移，对应线段不可能在同一直 线上超过或等于两条。
平移不改变图形的形状、大小和方向 (平移前后的两个图形是全等形)。
平移前后，对应线段所在直线的夹角 相等。
平移的应用
01
02
03
图形设计
通过平移可以将不同的图 形组合在一起，形成新的 设计。
、艺术、工程等领域。
展望
进一步研究轴对称图形的性质和应用
虽然我们已经对轴对称图形有了一定的了解，但是还有很多性质和应用需要进一步研究和 探索。例如，对于更复杂的图形，如何判断它们是否为轴对称图形？对于非平面图形，如 何寻找它们的对称轴？这些问题都需要我们进行深入研究。
将轴对称图形应用到实际问题中
除了在美学和艺术中应用外，我们还可以将轴对称图形应用到实际问题中，例如在工程和 建筑设计中使用轴对称图形以提高结构的稳定性和美观度。
性质3
对称轴一侧的图形围绕对称轴旋转180度后，与另 一侧的图形重合。
对称的应用
应用1
在艺术和设计中，轴对称被广泛 使用，因为它给人一种平衡和稳
定的感觉。
应用2
在自然界中，许多物体具有轴对 称性，例如人体和许多植物。
应用3
在物理学中，轴对称也被广泛研 究，因为它与守恒定律有关。
05
轴Байду номын сангаас称图形的应用
艺术领域
图案设计
轴对称图形在艺术设计中应用广 泛，如纺织品、地毯、墙纸等， 使图案更加美观、典雅。
雕塑造型
许多雕塑利用轴对称设计，如自 由女神像、埃菲尔铁塔等，使作 品更加匀称、平衡。
绘画构图
轴对称与轴对称图形
定 义示例剖析轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.如图，等腰三角形ABC △是轴对称图形.注：在理解轴对称图形时．应注意以下几点：（1）一个图形被对称轴分成两部分，对折后能重合（即全等），这样的图形是轴对称图形．常见的有线段、角、等腰三角形、长方形、圆等．（2）轴对称图形的对称轴是一条直线．．，不是射线也不是线段，在叙述时应注意．（3）轴对称图形的对称轴条数至少有一条．否则不是轴对称图形．有的轴对称图形的对称轴条数是有限的．还有的有无限多条对称轴．知识互联网知识导航模块一 轴对称图形的认识与应用轴对称初步两个图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.如图，ABC△与'''A B C△关于直线l对称，l叫做对称轴.A和'A，B和'B，C和'C是对称点.注：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.轴对称的性质：1．关于一条直线轴对称的图形全等；2．对称点连成的线段被对称轴垂直平分．【例1】⑴在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A B C D⑵在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF．A BCA BCA BCCBA⑶正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．⑷下列图形中对称轴最多的是（）A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段⑸判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．⑹已知两条互不平行的线段AB和A′B′关于直线l对称，AB和A′B′所在的直线交于点P，下面四个结论：①AB=A′B′；②点P在直线l上；③若A、A′是对应点，则直线l垂直平分线段AA′；④若B、B′是对应点，则PB=PB′，其中正确的是（）夯实基础A ．①③④B ．③④C ．①②D ．①②③④【例2】 ⑴ 图1的长方形ABCD 中，E 点在AD 上，且∠ABE =30°．分别以BE 、CE 为折线，将A 、D 向BC 的方向折过去，图2为对折后A 、B 、C 、D 、E 五点均在同一平面上的位置图．若图2中，∠AED =15°，则∠BCE 的度数为（ ）A ．30°B ．32.5°C ．35°D ．37.5°⑵如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④⑶ 已知30AOB ∠=°，点P 在AOB ∠内部，1P 与P 关于OB 对称，2P 与P 关于OA 对称，则1P ，O ，2P 三点确定的三角形是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．腰底不等的等腰三角形D ．等边三角形定 义示例剖析线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为中垂线.EDC BA 如图，若AC BC =，AB CD ⊥，则直线DE 是线段AB 的垂直平分线.模块二 线段的垂直平分线知识导航能力提升图2图1ABCD EED④②线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.EDC BA如图，已知直线DE 是线段AB 的垂直平分线，则DA DB =.线段的垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.EDC BA如图，若DA DB =，则点D 在线段AB 的垂直平分线上.【例3】 ⑴ 如何用圆规与直尺作线段AB 的垂直平分线？⑵ 证明：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）.⑶ 证明：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定）.【例4】 ⑴ 如下图1，在△ABC 中，DE 是AC 的中垂线，AE =3cm ，△ABD 得周长为13cm ，则△ABC 的周长是 ．⑵ 如下图2，BD 垂直平分线段AC ，AE ⊥BC ，垂足为E ，交BD 于P 点，PE =3cm ，则P 点到直线AB 的距离是 ．夯实基础⑶ 如下图3，在ABC △中，90A ∠=︒，:2:3ABD DBE ∠∠=，DE BC ⊥，E 是BC 的中点，求C ∠的度数．图3图2图1ED CBAPE DCBAED CBA【例5】 ABC △的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，⑴若BC =8，求△ADE 的周长；⑵若150BAC DAE ∠+∠=︒，求BAC ∠．定 义示例剖析角平分线的性质定理：在角的内部平分线上的点到这个角的两边的距离相等．DFEO CBA如图，若射线OC 是∠AOB 的角平分线，则DE=DF ．角平分线的判定定理：在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上．DFEOCB A能力提升知识导航模块三 角平分线性质及常见辅助线模型（一）H FEDCB A如图，若DE=DF ，则OC 是∠AOB 的角平分线．角平分线的两种基本模型1． 点垂线，垂两边，对称全等要记全A BCDO12E已知：12∠=∠，CD OA ⊥，作CE OB ⊥于E ，则OCD OCE △≌△．2．角平分线+平行线，等腰三角形必呈现321OD CBA已知：12∠=∠，CD OB ∥交OA 于D ，则ODC △为等腰三角形（即OD CD =）．【教师铺垫】证明：⑴ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（角平分线的性质定理）．⑵ 在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上（角平分线的判定定理）．⑶ 三角形的三条内角平分线交于一点．（此点称之为三角形的内心）．⑷ 三角形的内心到三边的距离相等．（三角形内心性质）．夯实基础CPB ANM O CPBANMO【例6】 ⑴ 如图，已知ABC △的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC △的面积．⑵ 如图所示，2AB AC =，1∠2=∠，DA DB =. 求证：DC AC ⊥.【例7】 如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线，AD 的垂直平分线分别交AB 、BC 延长线于F 、E ，求证：⑴∠EAD =∠EDA ；⑵DF ∥AC ；⑶∠EAC =∠B ．训练1. D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F ，EG AC ⊥于G .求证：BF CG =.思维拓展训练(选讲)能力提升21ADCBA B C DE F O G ODCBAFAGEDCB训练2.已知：如图，ABC∠及两点M、N．求作：在平面内找一点P，使得PM PN=，且P点到ABC∠两边所在的直线的距离相等．NMBCA训练3.如图，在ABC△中，BD、CD分别平分ABC∠和ACB∠．DE AB FD AC∥，∥．如果6BC=，求DEF△的周长．训练4.已知：如图，在POQ∠内部有两点M、N，MOP NOQ∠=∠．⑴画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；⑵直接写出AM AN+与BM BN+的大小关系．知识模块一轴对称图形的认识与应用课后演练【演练1】⑴下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．实战演练FEDCBAMNQO④③②①答：图形__________；理由是__________．⑵ 画出下图所示的轴对称图形的对称轴：⑶ 如图是奥运会会旗上的五环图标，它有（ ）条对称轴．A ．1B ．2C ．3D ．4⑷ 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．A ．角B ．等边三角形C ．线段D ．不等边三角形⑸ 如图，它们都是对称的图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.【演练2】 如图，把ABC △纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 的外部时，则A ∠与1∠和2∠之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）． A ．12A ∠=∠-∠B ．212A ∠=∠-∠C ．3212A ∠=∠-∠D ．()3212A ∠=∠-∠知识模块二 线段的垂直平分线 课后演练【演练3】 如图，已知40AOB ∠=︒，CD 为OA 的垂直平分线，求ACB ∠的度数．21E ADCBO DC BA知识模块三角平分线性质及常见辅助线模型（一）课后演练【演练4】如图，BD CD=，90ABD ACD∠=∠=°，点E、F分别在AB、AC 上，若ED平分BEF∠．①求证：FD平分EFC∠；②求证：EF BE CF=+.【演练5】证明：三角形一个内角的平分线与另外两个外角的平分线交于一点．FEDC BA。
轴对称图形知识点归纳
轴对称知识梳理一、基本概念1.轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.2.线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线3.轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.4.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.5.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.二、主要性质1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.2.线段垂直平分钱的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）.（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）.4.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。
（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.5.等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.三、有关判定1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.3.三个角都相等的三角形是等边三角形.4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.。
轴对称图形
等边三角形有三条对称轴
等腰三角形有一条对称轴
等腰梯形只有一条对称轴
不是轴对称图形
不是轴对称图形
不是轴对称图形
猜一猜：下面的字只出现一半，猜出
它是什么字？
根据轴对称图形对折后两部分完全重合进行裁剪。
1、把长方形纸对折 2、画出要剪图形 3、沿着画的线条剪下来。 的一半。
4、小心翼翼地剪。
轴对称图形
观察上面的图案，看一看有什么特点？
以衣服领子中 间为界，中线 左右两边形状 和大小相同。 以“王”字中 的竖线为界， 中线左右两边 完全相同。 以五角星的上 顶点与下顶点 的连线为界， 中线左右两边 形状和大小相 同。 以树叶叶柄为 界，中线左右 两边形状和大 小相同。
沿着确定的中线对折图形，图案左右两边完 全重合，如图所示。
5、展开。
说一说，操作中要注意什么问题？
对折一定要对齐，描线描得像不像很重要。
像衣服、“王”字、五角星、树叶等图案，都具 有对称性，都是轴对称图案，也可以说是轴对称后， 两侧能 够完全重合，这个 图形就是轴对称图形。 折痕所在的直线叫做 对称轴。
哪些图形是轴对称图形？各有几条对称轴？
长方形有两条对称轴
正方形有四条对称轴
圆形有无数条对称轴
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结轴对称是初中数学中的重要概念，在几何图形的研究和实际生活中都有广泛的应用。
下面我们来详细总结一下轴对称的相关知识点。
一、轴对称的定义如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
例如，等腰三角形是轴对称图形，底边的高所在的直线就是它的对称轴；矩形是轴对称图形，对边中点的连线所在的直线是它的对称轴。
二、轴对称图形的性质1、对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2、对应线段相等，对应角相等。
3、成轴对称的两个图形全等。
三、轴对称与轴对称图形的区别与联系1、区别轴对称是指两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合，是两个图形的位置关系。
轴对称图形是指一个图形沿着某条直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，是一个图形自身的特性。
2、联系都有对称轴。
如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
四、作轴对称图形1、作轴对称图形的对称轴如果一个图形是轴对称图形，那么连接一对对应点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴。
对于两个成轴对称的图形，对称轴是连接对称点的线段的垂直平分线。
2、作轴对称图形几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形。
五、用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为（x，y）。
2、点（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标为（x，y）。
例如，点（2，3）关于 x 轴对称的点的坐标为（2，－3）；点（－1，4）关于 y 轴对称的点的坐标为（1，4）。
六、轴对称的实际应用轴对称在实际生活中有很多应用，比如：1、建筑设计中，许多建筑都采用了轴对称的设计，使得建筑更加美观、稳定。
2、飞机、汽车等交通工具的外形设计也常常运用轴对称，以减少空气阻力，提高性能。
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结一、轴对称1.轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．2.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形．注意：（1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段．（2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条．（3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形．3.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．4.轴对称和轴对称图形的区别与联系5.轴对称的性质：（1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．（3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等．（4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形．二、线段垂直平分线的性质和判定1.线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．如下图所示，点P在线段AB 的垂直平分线上，则P A=PB.3.线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．如上图所示，若P A=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上三、尺规作图（线段的垂直平分线）1.作图步骤：（1）以A为圆心，以大于线段AB一半的长度画弧（2）再以B为圆心，以相同长度为半径画弧，交前弧于C、D两点（3）连接CD，直线CD即为线段AB的垂直平分线四、尺规作图（轴对称）1.轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的画法，步骤如下：（1）找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；（2）连接这对对应点；（3）画出对应点所连线段的垂直平分线．这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴．注意：对于轴对称图形或两个图形成轴对称，它们的对应点有一个共同的特征——对应点所连的线段被对称轴垂直平分，这是我们画图形的对称轴的依据．2.在坐标系中画轴对称图形的方法：（1）计算——计算对称点的坐标；（2）描点——根据对称点的坐标描点；（3）连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形五、关于坐标轴对称的点的坐标1.关于坐标轴对称的点的坐标特点：（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）．2.已知两个点的坐标分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1＝x2，y1＋y2＝0，则点P1，P2关于x轴对称；若x1＋x2＝0，y1＝y2，则点P1，P2关于y轴对称．反之也成立。
图形的轴对称
图形的轴对称知识导引1、轴对称的概念：把一个图形沿一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称或轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两图形重合时互相重合的点）叫做对称点。
2、轴对称图形：把一个图形沿一条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴，一个图形的对称轴可以有1条，也可以有多条。
3、轴对称与轴对称图形的区别与联系：联系区别轴对称轴对称是指两个图形的对称关把轴对称的两个图形看成一个“整体”系（一个图形），则称为轴对称图形；把轴轴对称图形轴对称图形是指具有某种对称对称图形的互相对称的两个部分看成特性的图形“两个图形”，则它们成轴对称。
4、轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形全等；（2）对称点的，连线段被对称轴垂直平分；（3）对应线段所在的直线如果相交，则交点在对称轴上；（4）轴对称图形的重心在对称轴上。
典例精析例1：下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）A B C D例2：张晓丽从平面镜中看到一个英语单词，如图所示，这个英语单词是，它的中文意思是。
例3：现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑，如图中（1）、（2）所示，观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图案，它们具有如下特征：①都是轴对称图形；②涂黑部分都是三个小正三角形，请在图（3），图（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征。
例4：如图（1）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？‘例5：（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，试探索∠1＋∠2与∠A的关系（不必证明）。
（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1＋∠2＝130°，求∠BIC的度数。
（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF，CG交于点H，把△ABC 折叠，使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1＋∠2的关系并证明你的结论。
轴对称
一、知识整理1．轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称抽。
2．成轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.两个图形关于一条直线对称，也叫成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.3. 对称轴和对称点：轴对称图形对折重合后的折痕所在的直线是对称轴，能够互相重合的点叫做对称点.4．轴对称和轴对称图形的性质轴对称的性质：①由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同）②新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点③连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.5．线段的垂直平分线的定义、性质、尺规作法定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.6、画出已知图形关于某条直线对称的图形①对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。
这种方法我们可以称之为“以点带面”法。
②在直角坐标系中，关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的坐标的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变。
二、典例讲解例1：:下列图形中不是轴对称图形的是（）A B C D答案：C例2：在下列说法中，正确的是（ ）A ．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形B ．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形C ．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形D ．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形答案：B （点拨：全等的三角形不一定是成轴对称，而成轴对称的两个三角形一定是全等的．）例3：如图所示，∠ABC 内有一点P ，在BA 、BC 边上各取一点P 1、P 2，使△PP 1P 2的周长最小．．如图12－17，以BC 为对称轴作P 的对称点M ，以BA 为对称轴作出P 的对称点N ，连MN 交BA 、BC 于点P 1、P 2．∴ △PP 1P 2为所求作三角形．例4：如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，垂足为D.（1）请你写出图中所有的等腰三角形； （2）请你判断AD 与BE 垂直吗？并说明理由. （3）如果BC=10，求AB+AE 的长.:（A ）（B ）（C ） （D ）解：（1）△ABC ，△ABD ，△ADE ，△EDC. （2）AD 与BE 垂直.证明： 由BE 为∠ABC 的平分线，知∠ABE=∠DBE ，∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE ， ∴ △ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合. ∴ A 、D 是对称点， ∴ AD ⊥BE. （3）10.例5：如图所示，△ABC 是等边三角形，延长BC 至E ，延长BA 至F ，使AF=BE ，连结CF 、EF ，过点F 作直线FD ⊥CE 于D ，试发现∠FCE 与∠FEC 的数量关系，并说明理由．解：如图所示，延长BE 到G ，使EG=BC ，连FG ． ∵AF=BE ，△ABC 为等边三角形，∴BF ＝BG ，∠ABC ＝60°，∴△GBF 也是等边三角形．在△BCF 和△GEF 中， ∵BC=EG ，∠B=∠G=60°，BF=FG ， ∴△BCF ≌△GEF ， ∴CE=DE ，又∵FD ⊥CE ，∴∠FCE=∠FEC （等腰三角形的“三线合一”）．三、1．李芳同学球衣上的号码是253，当他把镜子放在号码的正左边时，镜子中的号码是_______．(A)(B)(C)(D)2．我国的文字非常讲究对称美，分析图中的四个图案，图案（ ）有别于其余三个图案．3．如图是我国几家银行的标志，在这几个图案中是轴对称图形的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．轴对称是指 个图形的位置关系；轴对称图形是指 个具有特殊形状的图形．5．设A 、B 两点关于直线MN 对称，则______垂直平分________．6．等腰三角形是_______对称图形，它至少有________条对称轴．7．点(1,3)P -关于x 轴的对称点的坐标为 ．8．已知点P 在线段AB 的垂直平分线上，PA=6，则PB= ．9．点M )3,5(-关于x 轴的对称点的坐标是（ ）A ． )3,5(--B ．)3,5(-C ．)3,5(D ．)3,5(-10．已知：如图，ABC △的顶点坐标分别为(43)A --，，(03)B -，，(21)C -，，如将B 点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达1B 点，若设ABC △的面积为1S ，1AB C △的面积为2S ，则12S S ，的大小关系为（ ） A ．12S S > B ．12S S =C ．12S S <D ．不能确定11.已知M （a,3）和N （4，b ）关于y 轴对称，则2008)(b a +的值为（ ） A.1 B 、－1 C.20077 D.20077-四、课后作业1．下列说法中，不正确的是（ ） A ．等边三角形是轴对称图形，它的三条高是它的对称轴;B ．等腰三角形是轴对称；C ．关于某一条直线对称的两个三角形一定全等；D ．若△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线L 对称，那么它们对应边的高、中线、对应角的平分线分别关于L 对称2．如图所示，Rt △ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于点E ． 当∠B=30°时，图中一定相等的线段有（ ） A ．AC=AE=BE B ．AD=BD C ．CD=DE D ．AC=BD3．如图，点P 在∠AOB 的内部，点M 、N 分别是点P 关于直线OA 、OB •的对称点，线段MN 交OA 、OB 于点E 、F ，若△PEF 的周长是 20cm ，则线段MN 的长是___________．4.如图是未完成的上海大众汽车汽车标志图案，该图案是以直线l为对称轴的轴对称图形，现已完成对称轴的左边的部分，请你补全标志图案，画出对称轴右边的部分.5.已知A （2m ＋n,2）、B （1,n －m ），当m ，n 分别为何值时 （1）A 、B 关于x 轴对称； （2）A 、B 关于y 轴对称；6.平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （0,4），B （2,4），C （3，－1）. （1）试在平面直角坐标系中，标出A 、B 、C 三点； （2）求△ABC 的面积.（3）若111C B A 与△ABC 关于x 轴对称，写出1A 、1B 、1C 的坐标.答案： 练习：1．A （点拨：把球衣上253的号码沿水平方向翻折180°，得到的图案即是他背对镜子时的像．）2．D （点拨：图案D 有两条对称轴，其余三个图案都只有一条对称轴．）3．C （点拨；只有中国建设银行的标志不是轴对称图形．） 4.2；1 5.MN ；AB 6. 轴；1 7. （-1，-3） 8. 6 9. C 10.B11.A课后作业：1. A2.B3.20cm4.略5.解：（1）由题意得，⎩⎨⎧=-+=+0212m n n m ，解得⎩⎨⎧-==11n m ，所以当m=1,n=－1时，点A 、B 关于x 轴对称. （2）由题意得，⎩⎨⎧=--=+212m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=11n m ，所以当m=－1,n=1时，点A 、B 关于y 轴对称.6.解：略。
轴对称图形-对称轴-对称点
(2) 如果把成轴对称的两个图形看成一个 整体，那么这个整体的图形就是轴对 称图形； 如果把一个轴对称图形沿着对称轴分 成的两部分看成两个图形，那么这两 个图形是轴对称的
1.
B册 P44
2. 一课一练 P65 一、填空题
二、选择题
练习：
一、判断 1. 轴对称图形必有对称轴
是
1条 一条底的中垂线
下列(1) (2)两个图形有什么区别？
（1）
（2）
两个图形 轴对称
一个图形 轴对称图形
二、轴对称和对称点的定义：
1. 平面上的两个图形，将其中一个图 形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够 与另一个图形重合，那么就说这两个图形
关于这条直线对称， 简称轴对称,这条直线 叫对称轴
△ABC△ A ’ B ’ C ’关于直线l对称。 点A和点A ’，点B和点B ’ ，点C ’和点C ’分别是关于直线l的对称点
区别：
“轴对称图形”是指同一个图形的两部 分 沿某直线翻折时，两部分重合的图形。
“轴对称”是指两个图形分别位于某条 直 线的两侧，且沿这条直线翻折时，两个
图形重合 。
联系：
（D）一个图形沿某直线翻折，直线两旁的部分能够 互相重合
（1）
（2）
(1)
(2)
(3)
(4)
特征： 沿某一条直线翻折后，直线两旁的两个部分能完全重
一、 轴对称图形和对称轴的定义：
1. 把一个图形沿着某一条直线翻折， 如果直线两旁的部分能够互相重合，这个
图形就是轴对称图形
2. 这条直线是这个图形的对称轴
(1) 我们学过的线段和角是不是轴对称图形？
(a)
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《美丽的轴对称图形》的教学过程
人教版二年级下册第三单元易县第一小学贾仕俊
教学目标：
1、认知目标
通过观察、动手操作认识轴对称图形和对称轴两个概念。
能辨别身边的那些图形是轴对称图形并能找出它们的对称轴。
2、能力目标
在动手操作的过程中培养学生的观察能力、动手操作能力和创新思维能力。
3、情感目标
在探究新知的过程中，培养学生的审美意识、激发学生学数学、爱数学的情感。
学习目标：
1、通过观察、操作我能找到轴对称图形的基本特征。
2、通过折—画—剪，我能做出一个轴对称图形，并能找到对称轴。
教学过程：
一、情境引出课题（时间：5分钟）
师：同学们，现在正是春暖花开的季节，老师在微信的朋友圈发现很多人周末都去郊游了，呼吸着清新的空气，看看桃花、杏花、迎春花，挖挖纯天然的野菜，放放风筝，让心也随着风筝在天空翱翔。
你们喜欢放风筝吗？
生：喜欢！
1、展示学生带来的风筝。
师：今天，咱们班就有几位同学把他们心爱的风筝带到了咱们的课堂，（登登登登）。
风筝的图案漂亮吗？
生：漂亮！
师：有的同学要问了，为什么数学课带风筝来了呢？你们猜一猜。
生：今天讲课的内容和风筝有关系。
师：（对！看来今天第一颗智慧星要奖给×××了。
）
2、观察风筝上图案的特征。
师：那我们就一起来找一找，这么漂亮的风筝图案中隐藏着什么数学知识呢？请大家认真观察风筝图案的特点，你发现了什么?
生：风筝左右两边的图案一样。
3、揭示课题“美丽的轴对称图形”
师：你们同意他的说法吗？这一颗智慧星非你莫属呀!火眼金睛太厉害了!
师：像风筝上这种左右两边一样的图案，在数学上就叫“轴对称”，我们就把这种风筝叫“轴对称图形”。
（出示幻灯片）
今天这节课，我们就一起走进《美丽的轴对称图形》的世界，去发现美、欣赏美、创造美。
二、小组合作分类（时间：10分钟）
（出示幻灯片）
师：老师发给了每一个小组10张图片，现在老师要分两点来说要求：
1、请在小组内把图片按是否对称进行分类。
2、分类时你是用什么方法判断它是对称图形的？
3、在小组内交流，准备展示。
（出示幻灯片）
三、展示汇报交流（时间：10分钟）
1、找不同分类小组汇报，其他小组认真倾听，进行点评、质疑、补充。
2、汇报总结出：一个图形沿着一条直线对折，两边完全重合，就是“轴对称图形”。
（出示幻灯片）
下面我们找小组为大家说一说，他们是如何分类的？
（评最佳倾听小组、最佳合作组、最佳质疑者、点评员等）
在刚才的汇报中，×××小组倾听最认真，是今天的最佳倾听小组，×××在补充质疑中表现出色，获最佳质疑者，同学们认同吗？
通过小组学习交流，我们对轴对称图形又有了更深的认识，也就是一个图形沿着一条直线对折，两边完全重合，这个图形就是“轴对称图形”。
这条直线就叫做这个图形的“对称轴”。
（出示幻灯片）
四、找一找剪一剪（时间：5分钟）
1、找一找身边的轴对称图形，进一步发现数学就在我们身边。
2、剪一剪做一个轴对称图形。
（1）教师先示范做“折——画——剪”，学生实践做，幻灯出示一些图例。
（2）通过动手操作，进一步明确图形的折痕就是“对称轴”。
师：现在我们学会了判断一个图形是否是轴对称图形，那在我们的身边还有没有轴对称图形呢？请擦亮你的眼睛找一找吧。
生：衣服、眼镜、人的身体等
师：看来我们的身边很多物体都是按轴对称图形的特点设计的，那我们就一起也做一个轴对称图形好吗？
请认真学，分为三步：第一步“折”。
请大家拿一张A4纸，横放对折。
第二步，“画”。
沿着折的这边跟老师学着画出这个图案，能看出是什么吗？没有关系，我要变魔术了，请看第三步，“剪”，沿着画的线剪，看是什么？（爱心）对，这是一颗爱心，并且是轴对称图形。
老师希望爱心与大家一生常伴。
好，谁来回忆一下，我们分了几步得到的轴对称图形—爱心？
生：分了三步，“折——画——剪”。
（出示幻灯片）
师：那么我们第一步对折的这条线其实就是这个图形的什么？
生：对称轴。
师：请大家用笔描一下对称轴。
五、总结欣赏创作（时间：10分钟）
同学们，你们喜欢对称图形给我们带来的知识吗，对呀，轴对称图形既带给了我们知识，又愉悦了我们的心情。
想一想今天我们都有些什么收获呢？
1、课堂总结：
（1）今天我认识了（）图形。
（2）这个图形的特征是：沿着一条直线（），左右两边（），中间的折痕就是这个图形的（）。
（3）在生活中有很多这样的图形，比如：（）、（）、（）。
（4）在今天的小组合作学习中，我表现的（），我们小组中（）表现的最出色，因为他（她）（）。
（5）通过今天的学习我们又一次知道了：数学来源于生活，并应用于生活。
2、欣赏对称美（幻灯出示图片）
现在就请同学们再次带着发现的眼睛，去欣赏对称带给大家的美吧！
3、创作对称美（生自由创作，展示到黑板上）
师：现在你自己能不能做一个简单的轴对称图形，如果你不知道要画什么，请参考大屏幕上的图案。
好，拿起我们漂亮的彩纸，行动吧！先剪好的作品拿过来展示在黑板上。