浙七下第一章《三角形的初步知识》综合指导

第一章《三角形的初步知识》综合指导
一、复习目标
1．掌握三角形三边的关系，会根据三角形的三边关系判断所给的三条线段能否构成三角形，确定与边有关的字母的取值范围．
2．掌握三角形内角与外角的关系，能根据三角形内角与外角的关系进行有关角的计算，能根据角度将三角形分类．
3．了解三角形的角平分线、高、中线的概念及特征，能在具体的三角形中作出它们．4．理解全等图形的概念和性质，并能根据全等三角形的性质解决有关的计算问题．5．掌握三角形全等的判定方法，能根据三角形全等的条件进行有条理的思考并进行简单的推理．
6．能利用尺规根据所给的条件作三角形．
7．能利用三角形全等的知识解决有关的实际问题．
二、基础知识回顾
1．三角形的三边关系
三角形任意两边之和大于第三边;三角形任意两边之差小于第三边．
2．三角形的内角与外角的关系
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
3．三角形的分类
(1)按边分类:①不等边三角形;②等腰三角形（包括等边三角形）．
(2)按角分类:①锐角三角形;②直角三角形;③钝角三角形．
4．三角形的“三线”
(1)三角形的角平分线:三角形的角平分线是线段，三条角平分线交于三角形内一点．
(2)三角形的中线:三角形的中线是线段，三条中线交于三角形内一点．
(3)三角形的高:三角形的高是线段，钝角三角形有两条高在三角形外部，直角三角形有两条高是两条直角边，三角形的三条高所在的直线交于一点．
5．全等图形
(1)能够完全重合的两个图形叫做全等图形．
(2)全等三角形的对应边相等，对应角相等．
6．全等三角形的判定方法
(1)一般三角形全等的判定方法
①SSS:三条边分别对应相等的两个三角形全等;
②S A S:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等;
③A S A:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等;
④AA S:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．
(2)直角三角形全等的判定方法
①利用SSS或SAS或ASA或AAS;
②HL:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
7．尺规作图
(1)已知三边作三角形;
(2)已知两边和这两边的夹角作三角形;
(3)作直角三角形等．
三、注意点及思想方法
1．注意点
（1）书写全等三角形时一般把对应顶点的字母放在对应的位置．
（2）三角形全等的判定方法中不存在“ASS”、“AAA”的形式，判定三角形全等的条件中至少应有一条边．
（3）寻找三角形全等的条件时，要结合图形，挖掘图中的隐含条件：如公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线、高线等所得到的相等关系．
（4）求作三角形时应注意分析条件特征，对于稍复杂些的求作三角形问题可先画草图．（5）运用三角形全等测距离时，应注意分析已知条件，探索三角形全等的条件，理清要测定的距离，画出符合的图形，根据三角形全等说明测量理由．
（6）注意只有说明两个直角三角形全等时，才能使用“HL”，说明一般的三角形全等不能使用“HL”．
2．思想方法
（1）转化思想：如将实际问题转化为数学问题来解决等．
（2）方程思想：如通过设未知数，根据三角形内角和之间的关系构造方程解决角度问题．
（3）分类讨论思想：如求解等腰三角形的有关问题时，往往用到分类讨论思想．四、典型例题分析
1．三角形的三边关系
例1 下列每组数分别表示三根小木棒的长度（单位：cm），将它们首尾相接后能摆成三角形的是（）．
（Ａ）1，2，3 （Ｂ）5，7，12 （Ｃ）6，6，13 （Ｄ）6，8，10
析解：要判断所给的哪三根小木棒可首尾相接后摆成三角形，则需要看较短的两根木棒的长度的和是否大于第三根木棒的长，如果大于，则可以构成三角形，否则，不能构成三角形．
观察选项（A）、（B）、（C）中木棒的长度，它们都不满足两较短木棒的长度和大于第三根木棒的长度，而（D）中的木棒长度满足：6+8>10，故选（D）．
【评注】和三角形三边关系有关的题目，主要涉及根据三角形的三边关系确定所给的线段能否构成三角形，解决问题时应注意三角形三边关系的灵活运用．
2．三角形的内角与外角
例2 如图1，将一副三角板按图示的方法叠在一起，则图中∠α等于_____．
分析：因为∠A=30°，∠DFE=45°，所以要求∠α的度数，可以利用三角形的一个外
角等于和它不相邻的两个内角的和来求解．
解：因为∠A=30°，∠DFE=45°，
所以∠α=∠DFE-∠A=45°-30°=15°．
所以填15°．
【评注】本题主要利用同学们比较熟悉的三角板构成图形，并利用三角形的内角与外角的关系进行角度的计算．
3．全等三角形的判定
例3 如图2，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．
请说明EF∥CD的理由．
分析：要说明EF//CD，观察图形可知，只要说明∠EF A=∠CDB即可，说明∠EF A=∠CDB的关键是说明△AEF≌△BCD，根据已知条件AD=BF，可以得到AF=BD，根据AE//BC 可得∠A=∠B，再由已知条件AE=BC，可根据“S A S”说明两个三角形全等．解：因为AE∥BC，所以∠A=∠B．
又因为AD=BF，所以AD+DF=BF+FD，即AF=BD，
在△AEF和△BCD中，
因为AF=BD，∠A=∠B，AE=BC，
所以△AEF≌△BCD（SAS）．
所以∠EF A=∠CDB，所以EF∥CD．
【评注】当已知条件不能直接说明两个三角形全等时，首先要根据已知条件寻找三角形全等所具备的条件，然后再列出条件说明三角形全等．
4．三角形全等的实际应用
例4 如图3，有一池塘，要测量A、B两端的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA．连结BC，并延长到E，使CE=CB．连结DE，那么量出DE的长，就是A、B两点间的距离．请说明理由．
分析：根据测量方法可知△ACB和△DCE满足AC=DC，BC=EC，根据图形中的隐含条件∠ACB和∠DCE是对顶角，可知∠ACB=∠DCE．此时可根据“SAS“说明两个三角形全等．
解：在△ACB和△DCE中，
因为AC=DC，∠ACB=∠DCE，BC=EC，
所以△ACB≌△DCE，
所以DE=AB，
因此测量DE的长就是点A、B间的距离．
【评注】根据三角形全等测量距离，方法比较多，说理时，要根据测量方法所涉及到的相等条件，结合全等三角形的判定方法进行说明．
5．综合应用
例5 如图4，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：
①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④BD=CE．
请你以其中三个等式作为条件，余下的作为结论，
编一道数学问题，并写出解答过程．
分析：从四个论断中选择三个作为条件，另一个作为结论，写出一个正确的题目，其关键是根据图形，利用三角形全等的判定方法进行条件选择．从四个论断选择其中的三个，其方法有：①②③；①②④；①③④；②③④四种，其中可以得到三角形全等的有：①②③；
①②④．从中选择一种说明理由即可．
解：已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，BD=CE．说明∠1=∠2的理由．理由:在△ABD和△ACE中，因为AB=AC，AD=AE，BD=CE，
所以△ABD≌△ACE（SSS），所以∠BAD=∠CAE，
所以∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD，
所以∠1=∠2．
【评注】编题型问题也是中考中的一个热点，在解决问题时，还应注意隐含条件的利用．。