2018-2019年北师大版九年级数学上册教案：1.3 正方形的性质与判定

1.3 正方形的性质与判定
第1课时正方形的性质
1．在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，并能运用正方形的性质进行证明与计算．(重难点)
2．进一步了解平行四边形、矩形、菱形及正方形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．
阅读教材P20～21，完成下列问题：
(一)知识探究
1．有________相等并且有一个角是________的__________叫做正方形．
2．正方形既是________又是________，它既具有________的性质，又有________的性质．
3．正方形的________相等，都是________，________相等．
4．正方形的对角线________________________．
(二)自学反馈
正方形的性质：
1．边：________都相等且________．
2．角：四个角都是________．
3．对角线：两条对角线互相________且________，并且每一条对角线平分________．
4．正方形既是________图形，又是________图形，正方形有________对称轴．
活动1 小组讨论
例如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？
请说明理由．
解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：
如图，延长BE交DF于点M.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边都相等，四个角都是直角)．
∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.
∴∠BCE＝∠DCF.
又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.
∴BE＝DF，
∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°.
∴∠CBE＋∠F＝90°.
∴∠BMF＝90°.
∴BE⊥DF.
本题是通过证明△BCE≌△DCF来得到BE与DF之间的关系，证明三角形全等是解决这一类型问题的常用做法．
活动2 跟踪训练
1．菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )
A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等
2．正方形面积为36，则对角线的长为( )
A．6 B．6 2 C．9 D．9 2
3．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )
A ．14
B ．15
C ．16
D ．
17
4．如图，延长正方形ABCD 的边BC 至E ，使CE ＝AC ，连接AE 交CD 于F ，则∠AFC ＝________°
.
5．如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，∠OCF ＝∠OBE.求证：OE ＝
OF.
活动3 课堂小结
正方形的性质⎩⎪⎨⎪⎧边：正方形的四条边都相等且对边平行.
角：正方形的四个角都是直角.对角线：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角.对称：既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有四条对称轴，其对角线交点为对称中心.
【预习导学】
(一)知识探究
1．一组邻边 直角 平行四边形 2.矩形 菱形 矩形 菱形
3．四个角 直角 四条边 4.相等且互相垂直平分
(二)自学反馈
1．四条边 对边平行 2.直角 3.垂直平分 相等 一组对角
4．中心对称 轴对称 四条
【合作探究】
活动2跟踪训练
1．C 2.B 3.C 4.112.5
5．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB＝OC.
∴∠AOB＝∠BOC＝90°.又∵∠OBE＝∠OCF，∴△OBE≌△OCF.∴OE＝OF.
第2课时正方形的判定
1．掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题．(重难点)
2．发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断．
阅读教材P22～24，完成下列问题：
(一)知识探究
1．对角线相等的________是正方形．
2．对角线垂直的________是正方形．
3．有一个是直角的________是正方形．
(二)自学反馈
1．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A．∠D＝90° B．AB＝CD
C．AD＝BC D．BC＝CD
2．下列命题正确的是( )
A．两条对角线相等的菱形是正方形
B．对角线与一边的夹角是45°的四边形是正方形
C ．两邻角相等，且有一角是直角的四边形是正方形
D ．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
3．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )
A ．AC ＝BD ，A
B ∥CD ，AB ＝CD
B ．AD ∥B
C ，∠A ＝∠C
C ．AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BD
D ．AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC
4．如图，将一张矩形纸片ABCD 折叠，使AB 落在AD 边上，然后打开，折痕为AE ，顶点B 的落点为F.则四边形ABEF 是________形．
活动1 小组讨论
例 如图，在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，BF ∥CE ，CF ∥BE.求证：四边形BECF 是正方形．
证明：∵BF ∥CE ，CF ∥BE ，
∴四边形BECF 是平行四边形．
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC ＝90°，∠DCB ＝90°.
又∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，
∴∠EBC ＝12∠ABC ＝45°，∠ECB ＝12
∠DCB ＝45°. ∴∠EBC ＝∠ECB.
∴EB ＝EC.
∴平行四边形BECF是菱形．
在△EBC中，
∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，
∴∠BEC＝90°.
∴菱形BECF是正方形．
掌握平行四边形、矩形、菱形成为正方形所需要的条件是解决这类问题的关键．
活动2 跟踪训练
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，求证：四边形BEDF是正方形．
2．如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CG＝DH，四边形EFGH是什么图形？证明你的结论．
3．如图所示，点E，F，G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．
活动3 课堂小结
1．对角线相等的菱形是正方形；
2．对角线垂直的矩形是正方形；
3．有一个角是直角的菱形是正方形．
【预习导学】
(一)知识探究
1．菱形 2.矩形 3.菱形
(二)自学反馈
1．D 2.A 3.C 4.正方
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．证明：∵∠ABC ＝90°，DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，∴四边形BEDF 是矩形．∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，∴DE ＝DF.∴四边形BEDF 是正方形．
2．四边形EFGH 是正方形．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA.∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴HA ＝EB ＝FC ＝GD.∵∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∴Rt △AEH ≌Rt △BFE ≌Rt △CGF ≌Rt △DHG.∴HE ＝EF ＝FG ＝GH.∴四边形EFGH 是菱形．又∠AHE ＝∠BEF ，∠AHE ＋∠AEH ＝90°，∴∠BEF ＋∠AEH ＝90°.∴∠HEF ＝90°.∴四边形EFGH 是正方形．
3．证明：连接BD.∵点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点，∴EF 是△BCD 的中位线，GH 是△ABD 的中位线．∴
EF ∥BD ，EF ＝12BD ，GH ∥BD ，GH ＝12
BD.∴EF ∥GH ，EF ＝GH.∴四边形EFGH 是平行四边形．。