概统(昆工版(教材习题第一至三章(教师用)

3 设,,B A 为二事件，化简下列事件： B B B A B BA B A B A B A =⋃=⋃⋃=⋃⋃)()())()(1( B B A B B A A A B A B A =⋃⋃⋃=⋃⋃)())()(2(
4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。

3024.010302410427210678910445==⋅=⋅⋅⋅⋅=p
5 n 张奖券中有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。

答案：.1k n k m n C C --
6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？ 解；将这五双靴子分别编号分组},,,,{};,,,,{5432154321b b b b b B a a a a a A ==，则 C 表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有.45C 不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i 只，且编号不同，其可能选法为)0,1,2,3,4(;455=--i C C i i i 41045341523251235451)(1)(C C C C C C C C C C P C P ++++-=-= 2113218177224161247720104060401011234789105453245224551=-=⋅⋅-=⋅++++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+-= 7在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过51的概率。

答案：
以构成三角形的概率。

,0,0a y a x <<<<且a y x <+<0，又 41222,,=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>+⇒⎪⎩⎪⎨⎧--<---<--->+P a y a x a y x y x a x y y x a y x y x a y x 9在区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的积小于41的概率。

4ln 4141)41(;4ln 41411)ln 41(1)411()41(141141+=<--=-=-=>⎰xy P x x dx x xy P 10设,,B A 为二事件，设).(,36.0)(,9.0)(B A P AB P A P 求== 解：).(36.0)()()()(9.0B A P B A P AB P B B PA A P +=+=⋃==故 .54.0)(=B A P 11设,,B A 为二事件，设).(,3.0)(,7.0)(B A P B A P B P ⋃==求 解： .4.0)()()(,3.0)(,7.0)(=-=⇒==B A P B P AB P B A P B P
12 设7.0)(,4.0)(=⋃=B A P A P （1）若).(,B P AB 求互不相容 若).()()(,B P A P B A P AB +=⋃则互不相容3.0)()()(=-⋃=A P B A P B P （2）若).(,B P AB 求相互独立 若A 与B 相互独立，则5.0)(),(4.04.07,0)()()()()(=+-=⋅+-⋃=B P B P B P A P A P B A P B P 13飞机投炸弹炸敌方弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01， 0．02，0.03，求飞机投一弹没有命中仓库的概率。

解 0.94 14某市有50％的住户订日报，有65％的住户订晚报，有85％的住户至少订这两种报纸中的一种，求同时定这两种报纸的住户的百分比。

解：.:,:订晚报订日报B A )(65.05.0)()()()(85.0AB P AB P B P A P B A P -+=-+=⋃=， .3.085.015.1)()()()(=-=⋃-+=B A P B P A P AB P 15一批零件共100个，次品率10％,连续两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率。

解: 第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品；等价于 第一次取出的零件为次品，求第二次取得正品；故： 0909.0999999010010≈=⋅=p 16 设随机事件,0)(2)(,0)(,,,>==C P B P AB P C B A 已知两两独立且).(,85)(B A P C B P ⋃=⋃求 解：)(21)(23)()()()()(852)(2)(B P B P C P B P C P B P C B P C P B P -=-+=⋃==,210)()()(,0)(,5.0)()()()(021)(126412)(,05)(12)(42=-+=⋃=⋅====⇒±=⇒=+-B P A P B A P A P A P B P A P AB P B P B P B P B P 17 设A 是小概率事件，即ε=)(A P 是给定的任意小的正数，试证明：当
101)1(lim 1)](1[lim 1)(lim 1=-=--=--=-∞→∞→∞→n n n n A P A P ε 18 三人独立的破译一密码，他们能单独译出的概率分别为,41,31,51求此秘密被译出的概率。

解：以C B A ,,分别表示第一，二，三人独立地译出密码，D ：表示密码被译出，则 534332541)()()(1)(1)()(=-=-=⋃⋃-=⋃⋃=C P B P A P C B A P C B A P D P 20 三台机器相互独立的运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，求这三台机器中至少有一台发生故障得概率。

解：.496.0504.017.08.09.01=-=⋅⋅-=P 21设,,B A 为二事件，设).(,4.0)(,6.0)(,7.0)(B A P A B P B P A P ⋃===求 解：,123.06.04.0)/()()(=⨯==A B P A P B A P ,48.012.06.0)()()(=-=-=B A P B P AB P ..82.048.07.06.0)()()()(=-+=-+=⋃AB P B P A P B A P 22设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为8.0，活到25年以上的概率为4.0，问现在25岁的这种动物，它能活到25年以上的概率为多少？ 解：,:表动物寿命X 5.08.04.020}P{X }2520{}20/25{==≥≥≥=≥≥X X P X X P ， 23某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80％，40年内发生特大洪水的概率为85％，求已过去了30年未发生特大洪水的地区在未来10年内发生特大洪水的概。

:X 发生特大洪水的时刻。

25.02.005.02.08.085.0}30{}4030,30{}304030{==-=≥<<≥=≥<<X P X X P X X P 24 设甲袋中有2只白球，4只红球，乙设甲袋中有3只白球，2只红球，今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球。

袋中取到白球.”; 由题设:21)/(,32)(,32)(,31)(====A B P A P A B P A P 于是: 9521323231)/()()/()()(=⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P 由贝叶斯公式有:52953231)()/()()/(=⋅==B P A B P A P B A P ; 25 一批产品共有10件正品和2件次品，任取两次，每次取一件，取后不放回，求第2次取出的是次品的概率。

解：B A ,分别表示第一次、第二次取得的是次品，则 .61122121221121210111122)/()()/()()(===⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P 26一批元件，，其中一等品占95％，二等品占4％，三等品占1％，它们能工作500h 以上的概率分别为90％，80％，70％，求任取一元件能工作500h 以上的概率。

解：321,,A A A 分别为任意抽出一元件是由一、二、三等品。

:B 抽出的一个能工作500h 以上 894.01007010011008010041009010095)/()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P 27 某厂用甲乙丙三地收购而来的药材加工生产一种中成药，三地供货量分别占40％，35％，25％，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70，和0.85， （1）求从该厂产品中任取一件是优等品的概率。

（2）若取一件是优等品的概率，求它的材料来自甲地的概率。

（1）321,,A A A 分别为任意抽出一螺钉是由甲、乙、丙车间生产的。

:B 抽出的一个是次品 035.0100210040100410035100510025)/()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P （1） 由贝叶斯公式有:362.0045.010*******)()/()()/(111≈==B P A B P A P B A P 28用某种检验方法检查癌症，根据临床记录，患癌症者施行此项检查，
解：:1A “患癌症.” :2A “未患癌症”; :B “检查结果为阳性”; :B “结果是阴性” 由题设:1.0)/(,9995.0)(,95.0)(,0005.0)(2211====A B P A P A B P A P 于是: 100425.01.09995.095.00005.0)/()()/()()(2211=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P 由贝叶斯公式有:47299.0100425.0000475.0)()/()()/(111===B P A B P A P B A P ; 29 三人同时向一敌机射击，击中的概率分别是0.4，0.6和0.7；一人击中，敌机被击落的概率为0.2；二人击中，敌机被击落的概率为0.6；三人击中，敌机必被击落；求（1）敌机被击落的概率。

（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率。

解：用,i A 表示第i 人击中，3,2,1=i ，则用,i B 表示恰有i 人击中，3,2,1,0=i ； 168.07.06.04.0)(446.0082.0112.0252.03.06.04.07.04.04.07.06.06.0)()()()(;304.0)()()(1)(,082.03.04.06.0)(3321321321232010=⋅⋅==++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++==---==⋅⋅=B P A A A P A A A P A A A P B P B P B P B P B P B P :B 表示敌机被击落，则338.04962.0168.0)/(4962.0168.02676.00608.01168.06.0446.02.0304.0)/()()(330===++=⋅+⋅+⋅==∑=B B P B B P B P B P i i i 30 某厂产品有70％不需调试即可出厂，另30％需经调试，调试后有80％，能出厂，求： （1）该厂产品能出厂的概率。

（2）任取一出厂产品未经调试的概率。

解：:1A “任取一产品，.不需调试即可出厂” :2A “任取一产品，调试后能出厂”; :1B “任取一产品，能出厂.”; :2B “任取一产品，不能出厂” 由题设:8.0)/(,3.0)(,1)(,7.0)(212111====A B P A P A B P A P 于是: 94.08.03.017.0)/()()/()()(2121111=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P
9494.0)(1111B P 31 进行一系列独立试验，假设每次试验成功的概率度、都是,p 求在试验成功2次之前已失败了3次的概率。

解：X:表示试验成功2次时的试验次数， X=5,试验成功2次之前已失败了3次的概率等价于：前面4次成功了1次且第5次必成功。

.)1(4])1([323114p p p p p C P -=-= 32 10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，求直到第n 次才取出)1(n k k ≤≤次红球的概率。

k r n k n k k n k n C C )101()109()101()109(10111111-------= 33灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，求3个使用1000小时后，最多只有一只坏了的概率。

记P=P{灯泡使用在1000小时以上完好} X: 3个使用1000小时后坏了的只数。

则X ～)8.0,3(b 104.02.01342.032.02.08.02.08.0)1(3332133003=⨯=⨯⨯+=⨯+⨯=≤C C X P 34某人有两盒火柴，每盒中各有n 根，吸烟时任取一盒，并从中任取一根，当他发现一盒已经用完时，试求另一盒还有r 根的概率。

r n n r n C --2221 注：可看作r n -2重贝努力试验，每次试验中取了第一盒（即用完的那一盒）中一根火柴的概率为21，取了第二盒中一根火柴的概率也为21，设所求事件为B ，则B 相当于“第一盒（即用完的那一盒）中取了n 根火柴，第二盒（即用完的那一盒）中取了r n -根火柴，”的事件，故r n n r n r n n n r n C C B P ----==22221)21()21()(
码，一个特别号码。

设有三个奖项：一等奖：选七个号码，中七个基本号码； 二等奖：选七个号码，中六个基本号码和一个特别号码； 三等奖：选七个号码，中六个基本号码；另一号码未中； 考虑模球问题：袋中有,,,,个白个黄个红球L M N L M N --不放回摸,球M ,,,1,0;,m i j i m =个黄球个红球个球中有求摸出的L j ,,1,0 =；的概率。

解：设;:个红个球中恰摸出的i m A i ;:个黄个球中恰摸出的j m B j 则 m N j i m L M N j L i M i m M N j i m L M N j L m N i m M N i M i j i j i C C C C C C C C C C A B P A P B A P ------------===)()()( 视七个基本号码为红球，一个特选号码为黄球，其余号码为白球，则： 一等奖：.1048795.1)(77350270177071-⨯≈==C C C C B A P P 二等奖：.10041.1)(67350271167162-⨯≈==C C C C B A P P 一等奖：.1081.2)(67351270167063-⨯≈==C C C C B A P P 习题二 38页 1在测试灯泡的寿命的试验中，试写出样本空间并在其上定义一个随机变量。

解：样本空间X t t 用},0{>=Ω表示灯泡的寿命（h ）t t X X ==)(是随机变量。

2 报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元，报馆每天给报童1000份报，并规定不得把卖不出的报纸退回，设X 为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示。

{报童赔钱}={0.15X<100}, 666151066615.0100<⇒=<X X 3 若,,1}{,1}{2112x x x X P x X P <-=≤-=<其中αβ求}{21x X x P <≤ 解：,1}{}{}{1221αβ--=≤-<=<≤x X P x X P x X x P
⎪⎩≥1,1x }21{)3(},431{)2(}21{>≤<-≤X P X P X P 43}21{1}21{)3(,;169)1()43(}431{)2(41)21(}21{)1(=≤-=>=--=≤<-==≤X P X P F F X P F X P 5 5个乒乓球中有两个是新的，3个是旧的，若果从中任取3个，其中新的乒乓球的个数是一个随机变量，求这个随机变量的概率分布律和分布函数，并画出分布函数的图形。

解：X 表示从中任取3个，其中新的乒乓球的个数；则X 的可能取值为0.1，2。

,1.01012451}0{350233==⋅===C C C X P ,6.01062456}1{351223==⋅===C C C X P ,3.01032453}2{352213==⋅===C C C X P 6某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.9，如果他命中目标就停止射击，不命中就一直射击到用完5发子弹，求所用子弹数X 的分布律。

解：}4{1}5{;4,3,2,1;9.01.0}{1≤-=====-X P X P i i X P i 即 .0001.0}5{,0009.0}4{,009.0}3{;09.0}2{,9.0}1{==========X P X P X P X P X P 7 一批零件有9件合格品与3件废品，安装机器时，从这批零件中任取一件，若每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数X 的分布律。

解：2045.0119123}1{,75.0129}0{≈⋅=====X P X P .0045.0991********}3{,0409.010*******}2{≈⋅==≈⋅⋅==X P X P 8从1到10中任取一个数字，若取到数字i,i=1,2,…,10的概率与i 成正比，即.,10,,2,1,}{k i ki i X P 求 ===
.551=k 9 已知随机变量X 服从参数为λ=1的泊松分布，试求满足条件01.0}{=>N X P 的自然数N. 解：.4)61211(1!1}1{99.0101=⇒++==-≤≥∑-=-N e k e N X P N k 10 某公路一天内发生交通事故的次数X 服从泊松分布，且一天内发生一次交通事故与发生两次交通事故的概率相等，求一周内没有发生交通事故的概率。

发生交通事故X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P ,!02}0{,2220--====e e X P λ一周内发生交通事故的次数记为Y 则Y 服从二项分布)1,7(2--e B ，故一周内没有发生交通事故的概率为 14140207)1(}0{---=-==e e e C Y P 11 一台仪器在10000工作时内平均发生10次故障，试求在100作时内故障不多于两次的概率。

001.0=p ，（每个工作时内发生故障的概率） X ：100作时内发生故障的次数，X ～)001.0,100(b 99984.0!21.0!11.0!0001.0999.0001.0999.0999.0}2{}1{}0{}2{1.021.01.01.029821009911001000100≈++≈⋅+⋅+==+=+==≤---=≈e e e C C C X P X P X P X P np λ 12设X ～],5,2[U 现对X 进行3次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率。

322535}3{=--=>X P Y 表示对X 进行3次独立观察，观察值大于3的次数，则Y ～)32,3(b ， 272027894)32(31)32(}3{}2{}2{333223=+=+==+==≥C C Y P Y P Y P 13 设某种传染病进入一羊群，已知此种传染病的发病率为,32求在50头已感染的羊群中发病头数的分布律。

14设随机变量X 的概率密度为⎩
⎨=,
0)(x f ，Y 表示对X 的三次重复观察中事件
⎭⎬
⎫⎩
⎨⎧
≤21X 出现的次数，则
64
943161343)41(}2{223=⨯===C Y P
15已知X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,
0,
0,)(2x x e ax x f x λ试求（1）未知系数
a,(2)X 的分布函数F(x);(3)X 落在区间)1
,0(λ
内取值的概率。

解：（1）x x
de x a dx e x a dx x f λλλ
-∞+-∞+∞
∞
-⎰⎰
⎰-
===20
20
)(1
)(20
2
2x d xe a e x a x x λλλ
λλ---
=-∞+∞+-⎰ .2;22)(2233030202λλ
λλλλλλ=⇒=-=--
=∞+--∞+∞+-⎰a a e a x d e a xe a
x x x （2）e x x x x e x F x 251)3(.0,
0,0),22(21)(2
2-⎪⎩⎪
⎨⎧≤>++-=-λλλ
16 设随机变量X 在[1，6]内服从均匀分布，求方程012
=++Xx x 有实根
的概率。

解
：
方
程
12=++Xx x 有实根，等价于：
,2,2042-<>⇔>-=∆X or
X X
方程012
=++Xx x 有实根的概率为.5
4=
P 17 已知随机变量X 服从正态分布b aX Y a a N +=且),,(2服从标准正态分布N （0，1），求.,b a 解：由
37
页例
3
知b
aX Y +=服从正态分布
),(),(4222a b a N a a b a a N +⇔⋅+⋅，又已知 b aX Y +=服从标准正
态分布N （0，1），故a=1,b=-1.
概率达到大，求λ X
服
从
参
数
为
λ
的
指
数
分
布
，
则
⎩⎨⎧≤>⋅=-.0,0,0,)(x x e x f x λλ⎩
⎨
⎧≤>⋅-=-.0,0,
0,1)(x x e x F x λ λλλλλ22)1()1()21{)(-----=---=<<=e e e e X P g .2ln ,0)12(2)(2=⇒=-=+-='----λλλλλλe e e e g
19设随机变量 X ～N(1,4);求).1(),6.10(<≤≤X P X P 解：由35页（5）式有：)2
1
0()216.1(
}6.10{---=≤<ϕφX P 3094.0)6915.01(6179.0)2
1
()3.0(=--=--=φφ
.5.0)0()2
1
1(}1{==-=<φφX P
20 设电源电压（单位：V ）X
服从)25,220(2N ，在
240,240200,200>≤<≤X X X 三种情况下电子元件损坏的概率
分别为0.1，0.001，0.2，求： （1）该电子元件损坏的概率α 解
：
由
35
页
（
5
）
式
有
：
2119.07881.01)8.0()25
220
200(
}200{≈-≈-=-=≤ϕφX P 5762
..017881.021)8.0(2)25
220
200()25220240(}240200{=-⋅≈-=---=≤<ϕϕφX P 2119
.05762.02119.01}240200{}200{1}240{=--≈≤<-≤-=>X P X P X P
063.02.02119.0001.05762..01.02119.0≈⨯+⨯+⨯=α
(2) 该电子元件损坏时,电压在200至240的概率β。

009.0063
.0001
.05762.0≈⨯=
β
21随机变量X 的分布律为：
得2X Y =的分布律为
22 设随机变量X 服从参数为0.7的0—1分布，求X X X 222-及的分布律。

解：2
X 参数为0.7的0—1分布。

7
.0}1{}12{,3.0}0{}02{22===-=-====-X P X X P X P X X P 23
设随机变量
X
的概率密度函数为
X Y x x f X 2,)
1(1
)(2
=+=
求π内的概率密度函数).(y f Y
解：对任意的Y.
dx x f y
X P y X P y Y P y F X y
Y )(}2
{}2{}{)(2⎰∞-=≤=≤=≤=
dx x y
)
1(122+=⎰
∞-π，所以： .)
4(2
)().(2
y y F y f Y
Y +='=π
24设随机变量X 服从U[0,2],求随机变量2
X Y =在[0，4]内的概率密度函数).(y f Y 解：当40≤≤Y 时：
dx x f
y X y P y Y P y F X
y
y Y )(}{}{)(2⎰
-=≤
≤=≤=
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤='=.,0,40,41
)().(其它y y y F y f Y
Y 25
设随机变量
X
的概率密度函数为
X x X e Y x x e x f =⎩⎨⎧<≥=-求,,
0,0,
0,)(的概率密度函数).(y f Y
解
：
当
1
<Y 时：
,0}ln {}{}{)(=≤=≤=≤=y X P y e P y Y P y F X Y
当1≥Y 时：
,0}ln {}{}{)(ln 1
1
dx e dx y X P y e P y Y P y F x y X Y -∞
-⎰
⎰
+=≤=≤=≤=
所以：
⎪⎩
⎪⎨⎧<≥='=.1,0,1,1
)().(2y y y
y F y f Y Y
补充：设X ～x e Y N =求)1(),1,0(的概率密度，（2）求122+=X Y 的概率密度，
+∞
====='==>='∞+∞-==∞=∞-∞+∞-},max{,0},min{,1
)(,
ln )()(,0)()()1(e e e e y y h y y h x x g e x g e x g Y x x βα有反函数，且）上恒有，在（故Y 的概率密度⎪⎩⎪⎨
⎧≤>=-,0,
00,21
)(2)(ln 2
y y e y y f y Y π
(2)因1122≥+=X Y 则)1(,0)(≤=y y F y ，当1>Y 时，
⎪
⎩⎪
⎨⎧≤>-===
-<<--
=<+=----
---
-
⎰⎰
1,
0,1,)1(21)(21221}21
2
1
{}12{)(410
2
10
2
2
1
2
12
222y y e
y y f dx
e
dx e
y X y P y X P y F y Y y x y y x y ππ
π
习题三
1.离散随机变量
Y
X 与相互独立同分布，
,21}1{}1{=
-==-=Y P X P .2
1
}1{}1{====Y P X P 求}{Y X P =的概率. .2
1
)(}1,1{}1,1{}{===+-=-===已知独立Y X P Y X P Y X P .
即使两个离散随机变量Y X 与相互独立同分布, Y X 与一般不会以概率1相等.
2设二维随机变量),(Y X 的概率分布如下表：
(1) 求b,(2)随机变量X,Y 是否相互独立？（3）求}1,1{≤≤Y X P 解：（1）b=0.14;(2)求的X,Y 的边缘分布如下表：
;1,0;2,1,0};{}{},{=======j i j Y P i X P j Y i X P 故X,Y 相互独
立；
（3）.7.035.014.015.006.0}1,1{=+++=≤≤Y X P
补充题：设X 和Y 是相互独立同分布的随机变量，且
,21}1{}1{====Y P X P ;2
1
}2{}2{====Y P X P 求Y X Z +=的概率分布. ,4
1}2{==+Y X P }2{}1{}3{====+Y P X P Y X P 2
1
}1,2{=
==+Y X P ,
,4
1
}4{=
=+Y X P （2）由已知易得,21}22{=
=X P ;2
1}42{==X P
⎩
⎨⎧=⎩⎨⎧=,,0,
,1,,0,,1不发生发生不发生发生B B Y A A X 求X,Y 的联合概率分布。

解：由
6
1)(,4131121)()()(,121)(,43)(,31)(,41)(======⇒==
B A P B A P AB P B P AB P A P B A P A P
32
)(31)(,924
361)
()()(=⇒====A B P A B P A P B A P A B P
.121
3141)/()(}1,1{11
======A B P A P Y X P P .61
3241)/()(}0,1{12
======A B P A P Y X P P .12
1
9243)/()(}1,0{21======A B P A P Y X P P
.12
8
1}0,0{21121122=---====p p p Y X P P
4设二维随机变量),(Y X 的概率分布如下表：
（1）求X,Y 的边缘分布律。

解：见上表。

（2）求Y=1的条件下X 的条件分布律及X=2的条件下Y 的条件分布律。

略。

5.在一只箱子中有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次， 每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样，我们定义随机变量X , Y 如下：
⎩⎨⎧=,1,0若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品，X ⎩
⎨⎧=;1,0若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品，Y
试分别就（1）、（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律．并问随机变量X
和Y 是
否相互独立？
,36}0,1{=
==Y X P ,36
}1,1{===Y X P （2）不放回抽样，,66
10
}1,0{,6645}0,0{====
==Y X P Y X P ,66
1
}1,1{,6610}0,1{====
==Y X P Y X P 放回抽样时，两次抽样相互独立；不放回抽样，不相互独立．
6.随机变量),(Y X 在矩形域d y c b x a ≤≤≤≤,上服从均匀分布，求二维联合概率密度及边缘概率密度.随机变量X 及Y 是否独立？
解 按题意),(Y X 具有联合概率密度
⎪⎩⎪
⎨⎧
≤≤≤≤--=.,
0,,,)
)((1),(否则d y c b x a d c a b y x f ⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤-=b x a
x b x a a b x f X ,0,1)(, ⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤-=d y c y d
y c d c y f Y ,0,1
)(,X 及Y 是独立
的.
事实上,若),(Y X 服从区域D 上的均匀分布，则只有当D 为矩形区域：
d y c b x a ≤≤≤≤,时，X 与Y 分别服从],[],,[d c b a 上的均匀分布，且X 与Y 独立，反之亦然.
7 随机变量),(Y X 的分布函数为
),(y x F =
)3arctan )(2arctan (1
2
y
C x B ++π.
求：（1）),(Y X 的概率密度；（2）边缘概率密度.（3）随机变量X 与Y 是否
独立？
解 由分布函数的性质有),(-∞x F =0,0),(=-∞y F ),(+∞+∞F =1 从而对任意的y x ,；有
0)2)(2arctan (1
2=-+π
πC x B ，
,0)3
arctan )(2(12
=+-
y
C B π
π 于是，有2
π
=B ，2
π
=C )9)(4(6
),(222y x y x f ++=
π)
4(2
)(2x x f X +=
π，)
9(3
)(2y y f Y +=
π 独立。

8 进行打靶试验，设弹着点A(X,Y)的坐标X 与Y 相互独立，且都服从。

N(0,1)分布，规定点A 落在区域}1),{(2
2
1≤+=y x y x D 得2分，点A 落在区域
}41),{(222≤+<=y x y x D 得
1分，点A 落在区域
}1),{(223>+=y x y x D 得0分，以Z 记打靶的得分，写出X,Y 的联合
解：,,,2),(+∞<<-∞+∞<<-∞=
y x e
y x f π
.
121),(}2{2110
2210
201
2222-
--<+-=-=
=
=
=⎰⎰⎰⎰
e e rdr e d dxdy
y x f z P r r y x θπ
π
极坐标
.),(}1{221
2
124
1222
---<+≤-=-===
=⎰⎰
e e e dxdy y x
f z P r y x
.),(}0{2224
222-∞
+-≥+=-===
=⎰⎰
e e dxdy y x
f z P r y x
9 设二维随机变量（X,Y ）的概率密度函数为
⎩
⎨
⎧>>=+-,,0,
0,0,),()43(其它y x Ae y x f y x （1）求常数A,(2)X,Y 的边缘概率密度。

（3）}20,10{≤<≤<Y X P 解：（1）由
))((12
),(10403)43(00∞+-∞
+-+-∞+∞+∞
+∞
-∞+∞-===⎰
⎰
⎰⎰
y x y x e e A dxdy e A dxdy y x f 得
12=A
（2）⎩⎨⎧>>=+-,,
0,
0,0,12),()43(其它y x e y x f y x
⎪⎩⎪⎨⎧≤>==---∞+⎰,0,00
,312)(3430
x x e dy e e x f x y x X ⎪⎩⎪⎨⎧≤>==---∞+⎰,0,
00
,412)(4430
y y e dx e e y f y y x Y （3）dy e dx e Y X P y x 42
10312}20,10{--⎰
⎰=≤<≤<
).1)(1())((832
04103--==----e e e e y x
10 设随机变量(X,Y)的概率密度函数为：
⎩⎨⎧<<<<=,,
0,
10,10,),(2其它y x cxy y x f （1）求c,(2)问X 与Y 是否相互独立？
当10≤≤x 时，.26)(20
x dy xy x f X ==⎰
故
.,,0,
10,2)(⎩⎨⎧≤≤=其它x x x f X .,,
0,10,36)(2210⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==⎰其它y y dx xy y f Y
（2）独立。

11 平面区域D 由曲线x
y 1=
及直线y=0,x=1,2
e x =所围成，二维随机变量(X,Y)在D 上服从均匀分布，求（X,Y ）关于X 的边缘密度在x=2处的值。

解：2ln 12
22
111
01====⎰
⎰⎰
e e x e D x dx x
dy dx S
.41)2(,0,
21,2121
)(10=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤==⎰X x X f x x dy x f 其它 12略
13设随机变量X,Y 相互独立，均服从同一分布，试证：.2
1
}{=≤Y X P 证：},{}{X Y P Y X P ≤=≤
1}{)}(){(}{}{=Ω=≤⋃≤=≤+≤P X Y Y X P X Y P Y X P 故
.2
1
}{=≤Y X P
14.设随机变量Y X ,相互独立同分布，都在区间[1,3]上服从均匀分布，记事件}{a X A ≤=.},{a Y B >=且,9
7
)(=
B A P 求常数a 4
)3)(1(123212321)()()()()(97--+=----+-=-+=⋃=a a a
a a a B P A P B P A P B A P
3
7350
)73)(53(,035369;92434,4341222=
==--=+--=+-⇒+-+=a or a a a a a a a a a 15（1）X 和Y 是相互独立同分布的随机变量，且,21}1{}1{====Y P X P ;2
1
}2{}2{====Y P X P 求Y X Z +=的概率分布. ,4
1
}2{=
=+Y X P }2{}1{}3{====+Y P X P Y X P 2
1
}1,2{=
==+Y X P ,
注意：由已知易得,21}22{==X P ;2
1}42{==X P
求1)X+Y 的概率分布，（2）X-Y 的概率分布。

解：略。

17 设X 和Y 是相互独立的随机变量，X ～);,(1p n B Y ～);,(2p n B 证明Z=X+Y X ～);,(21p n n B + 证明：}{}{}{0
i k Y P i X P k Z P k
i -====∑=
)()(0
0)(0212
1212
12211k n m i k n i m k
i k n n k k n n k
n n k i k n i n k
i i k n i k i k n i n i i n k
i C C C q p C q
p C C q p C q p C +-=-++-+-=-----=====∑
∑
∑
其中用到组合公式
18略
19 设随机变量1X ～N(1,2);2X ～N(0,3),3X ～N(2,1),且321,,X X X 相互独立，求
).8413.0)1((},6320{321=Φ≤-+≤已知X X X P
解：由62页32132X X X -+～N(2×1+3×0-2,4×2+9×3+1×1)即N(0,36), 故由34页有
). 20.某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(t t te t f t ，设各周的需要量是相互独立的，试求两周需要量的概率密度. i X 表第i 周的需求量，各i X 相互独立。

设两周的需求量为21X X Z +=，则 111111)()(),()(21dx x z f x f dx x z x f z f X X Z -=-=⎰⎰+∞∞-+∞∞- 要⎩⎨⎧>>⇒>-1111,0,0)()(21x z x x z f x f X X 而,)()()()(11)(11111121z x z x X X e x z x e x z e x x z f x f -----=-=- 故)0(,6)32()()(2031211110>=-=-=---⎰z e z e x z x dx e x z x z f z z z z z Z 故⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,!3)(3z z e z z f z Z 21 设随机变量(X,Y)的概率密度为： ⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-,,0,0,0,)(21),()(其它y x e y x y x f y x （1）X 与Y 是否相互独立，（2）求Z=X+Y 的概率密度。

解：（1）y x y x X de y x e dy e y x e x f -∞+--∞+-+-=+=⎰⎰)(21)(21)(00 .),()(),(),1(21)(),1(21)(2121):)((21)(21000不独立常量注x f x f y x f y e y f x e e e xe x y x d e e e y x e Y X y Y x y x x y x y x ≠+=+=-+=+++-=--∞+----∞+-∞+--⎰ （2）.2121)(21),()(,020)(0z z z x z x z Z e z dx ze dx e x z x dx x z x f z f z ---+-∞+∞-==-+=-=>⎰⎰⎰时当 22.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从)400,160(N 分布，随机的选取4只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率. 设i X 为选取的第i 只电子管的寿命，则i X ～)20,160(2N .4,3,2,1=i 令
123 设随机变量321,,X X X 相互独立，且i X 服从参数为)0(>i i λλ的指数分布，求}.},,{m in{2321X X X X P = 解：321,,X X X 的联合密度为 ⎩⎨⎧>=---,,00,,,),,(321321321332211其它x x x e x x x f x x x λλλλλλ .)(},{}},,{min{32122)(02331122023132103212232123213321122233221122λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ++====≤≤==++-∞+-∞+-∞+-∞+---∞+∞+∞+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰dx e dx e dx e dt e dx dx dx e e e X X X X P X X X X P x x x x x x x x x x x。