大学概率论论文

微积分在概率论与数理统计中的应用
摘要： 大二概率论课程结课了，在这门课上我学到了一些关于概率论和数理统计的许多知
识。

这些知识既可以对我的专业方面有很大的指导作用、强化了我相关的数理逻辑
能力。

课后，在兴趣的激励下，我从课本、习题以及相关网络资源中找到了更多关
于概率论与数理统计的知识。

现通过这篇论文对我学习过程中的体会，并结合以往
的数学知识（重点在微积分部分）
关键词：概率论与数理统计 其他数学知识 微积分
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，已在包括控制、通信、生物、物理、力学、金融、社会科学、以及其他工程技术科学等诸多领域中获得了广泛的应用。

学习和掌握概率论与数理统计的基本理论和基本方法并将应用于科学研究的和工程实际中，是社会发展对高素质人才培养提出的必然要求。

----概率论与数理统计（前言） 一般认为, 概率论源于赌博问题, 创立于 1654年7 月29 日 。

考古证实骰子古而有之, 那么为何直到17 世纪概率论才诞生? 历史表明概率论的诞生和发展需要先进的数学技术和理性的思考。

众所周知, 概率论的大厦是建筑在微积分的地基之上的, 如在函数关系的对应下, 随机事件先是被简化为集合, 继之被简化为实数, 随着样本空间被简化为数集, 概率相应地由集函数约化为实函数. 以函数的观点衡量分布函数F(x),F(x)的性质是十分良好的: 单调有界、 可积、 几乎处处连续、 几乎处处可导. 因之, 微积分中有关函数的种种思想方法可以通畅无阻地进入概率论领域. 随机变量的数字特征、 概率密度与分布函数的关系、 连续型随机变量的计算等, 显然借鉴或搬运了微积分的现有成果. 又如概率论中运用微积分的基础 ) ) ) 极限论的地方也非常多, 诸如分布函数的性质、大数定律、 中心极限定理等. 总之, 微积分的思想方法渗透到了概率论的各个方面, 换言之, 没有微积分的推动, 就没有概率论的公理化与系统化, 概率论就难以形成一门独立的学科. 微积分与概率论的亲缘关系, 决定了概率论的确定论的特征. 但是作为微积分的一门后继课程, 概率论并非按微积分中的思维方法发展下去,而是另辟蹊径, 其发展路径与微积分大相径庭, 最终成为了随机数学的典型代表, 具备了与微积分相当的地位. 更因其非线性、 反因果的非理性特征, 显得比经典的微积分更具有时代精神. 而作为确定性数学典型代表的微积分对概率论的发展具有很大作用, 因此讨论微积分在概率论中的地位, 探究概率论与微积分的联系及方法的相互应用作用巨大。

这里以一些实例从一个侧面体现概率论与微积分的联系, 与此同时给出了求解形如dx e c bx ax k jx ix )(22)(++-+∞
∞-⎰++。

1.概率论中的微积分解题方法
1.1 微分法
某些随机事件的概率有依赖于1个变量的特点(比如依赖于时间变量等).该概率作为1个未知函数,有类比于通过微分方程确定未知函数的途径。

从局部性质(增量研究)入手,由微分的方法可求出所需的概率。

例 1某机器在△t 时间内因故障而停止的概率为a △t +o(△t)(a 为正常数).如果机器在不 重叠的时间内停止的各个事件彼此独立,如在时刻t 0机器在工作着. 试求此机器由时刻t 0到t 0+t 这段时间内不停工作的概率.
解: 在机器工作稳定的情况下,所求概率应该只与时间区间[t 0,t 0+t]的长短有关，而与起点 t 0无关。

故所求概率只是t 的函数,记为P(t).由于对P(t)的整体性状的信息认识不足,只是局部地知道机器在充分小的△t 时间内因故障停车的概率为a △t+ o(△t) ,可以先去考查P(t)在局部范围的增量变化特征。

明显地,机器在[t 0,t 0+t+△t]内不停,当且仅当在[t 0,t 0+t ] 及[t 0+t,t 0+t+△t]2段时间内都不停时才成立。

利用这2个事件的独立性可得
P(t +△t) = P(t)P(△t)=P(t)[1-a △t-o(△t)]
P(t+△t)-P(t)=-a P(t)△t-P(t)o(△t)
P(t+△t)-P(t)=-a P(t)△t -P(t)o(1)注意到P(t)的有界性,令△ty=0, 得到
dP(t)/dt=-aP(t),这就是未知概率P(t)所应满足的微分方程. 解此方P(t)=Ce -at ,其中C 为
任意常数.由假定在时刻t 0机器在工作, 此即是初始条件P(0)=1,于是可求出c = 1,故得
P(t)=e-
at 1 2 逐项微分法
根据变量数学期望与方差的定义, 利用随机变量的概率分布或分布密度的特点, 可以用逐项微分法求出随机变量的数学期望与方差. 对于概率分布或分布密度含有参数的随机变量, 也可应用逐项微分法求出其数学期望与方差.
设离散型随机变量 N 的概率分布为P(N=a i ) =Pi , i = 1, 2,…，n ,满足 0≤Pi ≤1,其中Pi 含有参数( i = 1, 2, ,, n ) ,在求数学期望E(N)时,可通过对Σpi=1两边关于参数求导以达到目的. 而在求方差 D(N)时,可对E(N)=a ( a 是上面求出之值)
两边再对参数求导得 E(N 2) , 再由 D(N)=E(N 2) -[E(N)]2得出结果.
例 2设随机变量 N~P(K),求E(N)与D(N)。

分析: 先将λλe
k k k =∑∞=0!两边对λ求导后, 再将其变形可得 λλλe k k k k =∑∞=0!
, 于是由式( 1) 便可得E(N)=λ;又对式(1)两边关于K 求导后再变形可求得E(N 2),最后由D(N)=E(N 2)-[E
(N)]2可求得D(N).( 求解过程略) .
对于连续型的情况可以类似求解.
1.3 幂级数法
例 3设随机变量 N 服从参数为(r,p)的负二项分布(r\1,0<p<1),即P{N=m}=
r m r r m r m q p C -∞=--∑11
,m=r,r+1,…，q=1-p,求E(N).
分析:其计算过程用到公式r m r m r m r x C x -∞=+∑=-1)1(1, 该公式是由∑∞==-r m m x x 11(0<x<1)连续逐项求导r 次后得到的.事实上E(N)=r/p
1.4 特殊函数法Gamma 函数与Beta 函数在概率论中有着广泛的应用,借助Gamma 函数,概
率论中有重要的Γ分布和x 2分布.
例 4设随机变量N1,N2,…,Nn 相互独立,且服从参数为K 的指数分布,N=∑=n
i N n 1
1 求证 E 1
-n n ]1[=N λ 证明: 令 y = N1+N2+…+Nn,由于Ni(i=1,2,…,n ) 服从参数为k 的指数分布, 即服从 Gamma 分布
Γ( 1, K ) , 又它们相互独立, 由Γ分布的可加性知 N1+N2+…+Nn ~ Γ( n , K ) , 所以 E[N 1]=E[Nn N N n +++...21]=E[y n ]=⎰∞---=Γ011)(λλλn n y n n
dy e y n y n 由此可见, 微积分是
学习概率论的基础, 所以, 犹如以上几例经常遇到用微积分的基本方法去解决一些概率问题. 而下面将从以下几个方面说明微积分中一些不太好解决的问题可以很方便地用概率的方法去解决.
分析表明, 数学技术是概率论发展的保证 。

概率论的发展虽源于多种因素, 但总脱离不了先进的数学技术 。

现今概率论又作为数学技术来推动其他学科的发展 。

作为科学探索的特色方法, 概率推理的显著功效已引起相关理论研究和应用研究的爆炸性增长。

概率思想是统计学的理论基础, 是物理学、遗传学和信息论的重要工具, 是金融学 、 地球科学 、 神经学、人工智能和通讯网络等学科的常用方法。

概率论愈来愈大的影响已引起科学家愈来愈高的重视, 概率思想的研究已成为数学家和数学史家关注的热点之一 。

而微积分与概率论的关系也将会越来越紧密，开发微积分在概率论与数理统计方面的应用也将越来越受到大家的重视。

参考文献
[1]杨静,徐传胜.数学技术与概率论的发展[J].太原理工大学学报(社会科学版),2008,01:49-54.
[2]王大胄.例谈概率论与微积分的联系及相互间的应用[J].沈阳工程学院学报(自然科学版),2008,03:283-286.。