6 线性方程组解的结构
线性方程组解的结构
线性方程组解的结构
线性方程组的解的结构是线性空间。
线性方程组是数学中一个很重要
的概念，它是由多个线性方程组成的方程组。
线性方程组是指所有未知量
的各个线性方程组成的一个方程组。
线性方程组的解的结构本质上是线性
空间的结构。
线性空间是指一个能进行线性运算的集合。
线性空间具有加法运算和
数乘运算，而且满足线性运算的性质。
线性方程组的解符合线性空间的定义，因此可以将线性方程组的解看作是线性空间中的向量。
首先，线性方程组的解是一个向量空间。
向量空间是线性空间的一种
特殊情况，它是一个向量的集合，可以进行线性运算。
在线性方程组中，
解是通过求解方程组得到的向量。
其次，线性方程组的解是一个子空间。
子空间是线性空间的一个子集，同时也是一个线性空间。
线性方程组的解是通过线性运算得到的，所以它
也是线性空间中的子空间。
1.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
唯一解。
2.如果矩阵的秩小于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
无穷多解。
3.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，但是矩阵的秩小于
矩阵的列数，那么线性方程组有无解。
总之，线性方程组的解的结构是线性空间，它满足线性空间的定义和
性质。
线性方程组的解是线性空间中的向量，该向量可以通过矩阵运算来
求解。
线性方程组的解的结构与矩阵的秩有密切的关系，矩阵的秩决定了线性方程组的解的结构。
线性方程组的解的结构是线性空间及其应用的一个重要领域，它在数学和工程中都有广泛的应用。
§6线性方程组解的结构
§6 线性方程组解的结构在解决线性方程组有解的判别条件之后，进一步来讨论线性方程组解的结构.所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题.一、齐次线性方程组的解的结构设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1) 是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质：1. 两个解的和还是方程组的解.2. 一个解的倍数还是方程组的解.从几何上看，这两个性质是清楚的.在3=n 时，每个齐次方程表示一个过得点的平面.于是方程组的解，也就是这些平面的交点，如果不只是原点的话，就是一条过原点的直线或一个过原点的平面.以原点为起点，而端点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述的性质.对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解.这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解.基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出？定义17 齐次线性方程组(1)的一组解t ηηη,,,21 称为(1)的一个基础解系，如果1）(1)的任一个解都能表成t ηηη,,,21 的线性组合；2）t ηηη,,,21 线性无关.应该注意，定义中的条件2)是为了保证基础解系中没有多余的解.定理8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于r n -，这里r 表示系数矩阵的秩(以下将看到，r n -也就是自由未知量的个数).定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法.由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系.二、一般线性方程组的解的结构如果把一般线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,, (9) 的常数项换成0，就得到齐次线性方程组(1). 齐次线性方程组(1)称为方程组(9)的导出组.方程组(9)的解与它的导出组(1)的之间有密切的关系：1. 线性方程组(9)的两个解的差是它的导出组(1)的解.2. 线性方程组(9)的一个解与它的导出组(1)的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.定理9 如果0γ是线性方程组(9)的一个特解，那么线性方程组(9)的任一个解γ都可以表成ηγγ+=0其中η是导出组(1)的一个解.因此，对于线性方程组(9)的任一个特解0γ，当η取遍它的导出组的全部解时，(10)就给出(9)的全部解.定理9说明了，为了找出一线性方程组的全部解，只要找出它的一个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了.导出组是一个齐次线性方程组，在上面已经看到，一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表示.因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般线性方程组的一般解；如果0γ是线性方程组(9)的一个特解，r n -ηηη,,,21 是其导出组的一个基础解系，那么(9)的任一个解γ都可以表成r n r n k k k --++++=ηηηγγ 22110推论 在线性方程组(9)有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出组(1)只有零解.线性方程组的理论与解析几何中关于平面与直线的讨论有密切的关系.来看线性方程组⎩⎨⎧=++=++.,23232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a (11) (11)中每一个方程表示一个平面，线性方程组(11)有没有解的问题就相当于这两个平面有没有交点的问题.我们知道，两个平面只有在平行而不重合的情形没有交点.(11)的系数矩阵与增广矩阵分别是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=232221131211a a a a a a A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22322211131211b a a a b a a a A , 它们的秩可能是1或者2.有三个可能的情形：1. 秩A =秩A =1.这就是的两行成比例，因而这两个平面平行.又因为A 的两行也成比例，所以这两个平面重合.方程组有解.2. 秩A =1，秩A =2.这就是说，这两个平面平行而不重合. 方程组无解.3. 秩A =2.这时A 的秩一定也是 2.在几何上就是这两个平面不平行，因而一定相交. 方程组有解.下面再来看看线性方程组的解的几何意义.设矩阵A 的秩为2，这时一般解中有一个自由未知量，譬如说是3x ，一般解的形式为⎩⎨⎧+=+=.,32223111x c d x x c d x (12) 从几何上看，两个不平行的平面相交在一条直线.把(12)改写一下就是直线的点向式方程3222111x c d x c d x =-=-. 如果引入参数t ，令t x =3，(12)就成为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=.,,3222111t x t c d x t c d x (13)这就是直线的参数方程.(11)的导出方程组是⎩⎨⎧=++=++.0,0323222121313212111x a x a x a x a x a x a (14) 从几何上看，这是两个分别与(11)中平面平行的且过原点的平面，因而它们的交线过原点且与直线(12)平行.既然与直线(12)平行，也就是有相同的方向，所以这条直线的参数方程就是⎪⎩⎪⎨⎧===.,,32211t x t c x t c x (15)(13)与(15)正说明了线性方程组(11)与它的导出组(14)的解之间的关系. 例1 求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧0793,083,032,054321432143214321=+-+=++-=+-+=-+-x x x x x x x x x x x x x x x x的一个基础解系.例2 设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.2193164,432,14523,42354321543215432154321-=-+++-=+----=--++-=-+-+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x用它的导出齐次方程组的基础解系表示它的全部解.。
3.6 线性方程组解的结构A (1)
x
r
2
xn
0
0
1
0
0
1
这是方程组的通解.
v求基础解系的方法 ——也可以由基础解系求通解
方程组Ax0等价于
x1 x2
b11 b21
xr1 xr1
b12 xr2
b22 xr2
b1,nr xn b2,nr xn
xr br1 xr1 br2 xr2 br,nr xn
v非齐次线性方程组解的结构
定理6.2 若*是方程组Axb的某个解 1 2 nr是方程组Ax0的基础解系
则方程组Axb的通解为
xk11k22 knr nr* (k1 knr R).
Ax b的通解= Ax b的特解+ Ax 0的通解.
例6. 3 求解方程组
法一: 令x2 c1 x4 c2
v齐次线性方程组解的性质
v性质6.1
若x1 x2为Ax0的解 则x12也是Ax0的解.
v性质6.2
若x1为Ax0的解 k为实数 则xk1也是Ax0的解.
思考 假如Ax0有无穷多解，如何把这些解表示出来？ 设S是Ax0的解的集合
S0 1 2 t是S的一个极大无关组
那么 一方面 Ax0的任一解都可由S0线性表示 另一方面 S0的任何线性组合
c1
1 1 0 0
c2
1 0 2 1
1 2
102,(c1,c2
0
R).
于是对应齐次方程组的基础解
系为
1(1 1 0 0)T 2(1 0 2 1)T.
非齐次方程的一个解(特解)为
xx13
x2 x4 1/ 2x4 1/ 2
2
.
*(1/2 0 1/2 0)T.
线性方程组解的结构(重要知识)
3x5
令自由变量为任意实数
x1 2k1 k2 3k3
x2 x3
k1 4k2 5k3
x2 k1, x4 k2 , x5 k3
x4
k2
x5
k3
2
1
3
说明:
1
0ห้องสมุดไป่ตู้
0
1.基础解系不惟一
x
k1
0 0
k2
4 1
k3
-5 0
2.但所含向量的 个数唯一且等于n-R(A)
1
2
3
2
3 2
,2,
5 2
,3
T
0
通解为：X 2,3,4,5T k3,4,5,6T ,k R
-13-
例6
x
1
x1
x2 x2
x3 x3
x4 0, 3 x4 1,
x1 x2 2 x3 3 x4 1 2.
解
A~
1 1
1 1
1 1
1 3
0 1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 2 1 2,
2.如果当非齐次线性方程组Ax 有无穷多解时,
其通解的结构如何?如何写出其向量形式的通解?
-2-
§4.1 线性方程组解的存在性定理
非齐次方程组解的判别定理
对于非齐次方程组 Amn x b(b 0)
(1) 有解 r( A) r( A~) 无解 r( A) r( A~)
(2) 有惟一解 r( A) r( A~) n (3) 有无限多解 r( A) r( A~) n 齐次方程组解的判别定理
（A）AX 0仅有零解，则AX b有唯一解
（B）AX 0有非零解，则AX b有无穷多解 （C）AX b有无穷多解,则AX 0仅有零解
线性方程组解的结构
性质2 若 X v 为AX o 的解，c为实数，则
X cv 也是 AX o 的解．
证 因
Av o
A(cv ) cAv c o o
结论：若 v1 , v2 ,, vs 是齐次线性方程组
AX=o的解，则 v1 , v2 ,, vs 的线性组合
c1v1 c2v2 cs vs
r2 r1 r3 r1
1 1 1 1 0 0 2 4 0 0 1 2
1 r2 2 r3 r2
1 1 1 1 1 1 0 1 r1 r2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
现对 xr 1 , , xn 取下列 n r 组数：
1 x r 1 xr 2 0 , 0 x n
0 1 , 0
0 0 , . 1
1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 r2 2 r1 r2 0 0 1 2 1 0 0 1 2 r3 r2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 可见r ( A) r ( A, b) 2, 故方程组有解, 并有
证
于是
Au1 b, Av1 o
A(u1 v1 ) Au1 Av1 b o b
所以, X u1 v1 是方程组 AX b的解.
定理2 若 v1 , v2 ,, vn r 为导出组AX=o的一个 基础解系， u1 为非齐次线性方程组AX=b X
的任意一个解，则A c1v1 c2v2 cn r v n r , (c1 , c2 , , cn r )
线性代数课件：3.6 线性方程组解的结构
下面证明1 ,2 ,,nr 是齐次线性方程组解空 间的一个基．
(1)证明1,2 ,,n 线性无关.
1 0
0
由于 n r个 n r 维向量
0 ,
1
,
,
0
0 0
1
线性无关， 所以 n r 个 n 维向量 1 ,2 ,,nr 亦
线性无关(定理5).
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(2)证明解空间的任一解都可由 1,2 ,,nr
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
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（2）若 x 1 为 Ax 0的解， k 为实数，则 x k1也是 Ax 0 的解．
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线
性方程组 Ax 0 的解空间,记作 S.
2
3
1
6
故通解为
x3
k1
1
k2
0
(k1, k2 R).
x4 x5
0 0
1 3
1
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事实上，为了避免分数运算，也可以把系数矩阵化为 行阶梯形矩阵,便得到基础解系.
1 2 1 3 0 1 2 1 3 0
A
0
2
1
1
0
0
2
1
1
0
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注: 1.解空间的基不是唯一的; 2. n元齐次线性方程组Amnx 0的全体解所构 成的集合S是一个向量空间,当R( Amn) r时, 解空间S的维数为n r.
当R( A) n时,方程组只有零解,故没有基础解 系(此时解空间只含一个零向量,为0维向量空间).
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线性方程组的解的结构与性质
线性方程组的解的结构与性质线性方程组是数学中常见的问题，它在各个领域都有广泛的应用。
解决线性方程组问题需要了解其解的结构与性质，这将有助于我们更好地理解和应用线性方程组。
一、线性方程组的定义与基本性质线性方程组由一组线性方程组成，每个方程都是关于未知数的一次多项式，并且未知数的次数都为1。
线性方程组的一般形式可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为系数，x₁、x₂、...、xₙ为未知数，b₁、b₂、...、bₙ为常数。
线性方程组的基本性质包括：1. 线性方程组可以有唯一解、无解或无穷多解。
2. 若线性方程组有解，则其解可以表示为一个向量。
3. 若线性方程组有解，则其解的个数与未知数的个数之间存在关系。
二、线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构与其系数矩阵的秩有关。
系数矩阵是指将线性方程组的系数按顺序排列形成的矩阵。
1. 若系数矩阵的秩等于未知数的个数，即rank(A) = n，则线性方程组有唯一解。
解向量可以通过高斯消元法或矩阵求逆的方法求得。
2. 若系数矩阵的秩小于未知数的个数，即rank(A) < n，则线性方程组有无穷多解。
此时，解向量可以表示为特解加上齐次方程的解的线性组合。
特解可以通过高斯消元法或矩阵求逆的方法求得。
3. 若系数矩阵的秩小于未知数的个数，并且存在某个未知数的系数全为0，则线性方程组无解。
三、线性方程组的解的性质线性方程组的解具有以下性质：1. 若线性方程组有唯一解，则解向量是唯一确定的。
不同的线性方程组可能具有相同的解向量。
2. 若线性方程组有无穷多解，则解向量可以表示为特解加上齐次方程的解的线性组合。
特解可以通过高斯消元法或矩阵求逆的方法求得。
3. 若线性方程组有无穷多解，则解向量的个数与未知数的个数之间存在关系。
1.6 线性方程组解的结构
6
回顾齐次方程组的列向量表示
a11 x1 + a12 x2 +… + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 +… + a2n xn = 0 ……………….. am1 x1 + am2 x2 +… + amn xn = 0
1=
a11 a21 am1
15
从而得到原方程组的n-r个解
-b11 -b21
-b12 -b22
…
-b1n -b2n
…
由定理 1.5知: 无关
1= -br1
1 0 0
…
…
2= -br2 … n-r= -brn
0 1 0
…
0 0
1
…
无 关
16
考虑向量 r 11 r 22 nnr
一个基础解系
1 1 0 0 0
x1 x 2 x5 x3 x5 x 0 4
2
0 1 0 1
20
例1.20 求下列齐次线性方程组的通解 x1 2 x 2 2 x 3 x 4 0 2 x1 x 2 2 x 3 2 x 4 0 x x 4 x 3x 0 2 3 4 1 解 m 3 < n = 4，方程组必有非零解.
5 x1 2 x3 3 x 4 x 2 x 4 x 3 4 2 3 x3 的值分别为 1 , 0 ,可得通解： 取 x 0 1 4
5 2 34 3 2 k11 k 2 2 k1 k 2 1 0 0 1
线性方程组解的结构
线性方程组解的结构线性方程组是线性代数的基本内容，在数学的其他分支、自然科学、工程技术以及生产实际中都经常用到，是一个非常重要的理论基础和数学工具。
本课题主要利用向量知识和矩阵的初等变换以及矩阵的秩的相关知识，对线性方程组的解法以及线性方程组解的性质、结构进行较为全面的总结，以便更系统的理解线性方程组及其应用，从而更好地利用线性方程组解决实际问题。
一、基本概念（1） 齐次线性方程组：，形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++00221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1）的方程组称为数域上的n 元齐次线性方程组，它的系数矩阵是n m ij a A ⨯=)(，未知量可以表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 21，则0X A = (1)称为齐次线性方程组的矩阵形式。
（2）非齐次线性方程组：形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.22112222212*********,,m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 的方程组成为数域上的n 元非齐次线性方程组，它的系数矩阵为mn ij a A )(=,增广矩阵为),,,,(),(~21βαααβn A A ==，未知量可以表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 21，则X=βA (2)称为齐次线性方程组的矩阵形式。
称齐次线性方程组0X A =是线性方程组的导出组。
二、 线性方程组有解的判定定理我们将线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.22112222212*********,,m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （2.1）写成向量形式：1122.n n x x x αααβ++⋅⋅⋅+= （2.2）其中()j 1,2,,j n α=⋅⋅⋅是系数矩阵A 的第j 个列向量，β是常数向量。
线性方程组的解结构
通过迭代更新雅可比矩阵和常数项，逐步逼近方程的解。
03
线性方程组的解的结构
解的唯一性
唯一性定理
对于给定的线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不为零，则该 方程组有唯一解。
唯一性条件
线性方程组有唯一解的充分必要条件是其系数矩阵的秩等于增广 矩阵的秩。
唯一性判定
可以通过计算系数矩阵的行列式值或比较系数矩阵与增广矩阵的 秩来判断线性方程组是否有唯一解。
03
其中 (a_1, a_2, ..., a_n) 是已知数，(x_1, x_2, ..., x_n) 是未知 数，b是常数项。
线性方程组解的存在性
无解
01
当方程组的系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩时，方程组无解。
有唯一解
02
当方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，方程组有唯一
解。
有无穷多解
03
当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，方程组有无数多个解。
VS
在物理学中，线性方程组还可以用来 描述波动现象、热传导、量子力学等 领域的问题。通过建立物理模型，将 实际问题转化为线性方程组，可以更 好地理解和解决物理问题。
在经济中的应用
在经济学中，线性方程组也被广泛应用，用 于描述各种经济现象和问题。例如，在微观 经济学中，线性方程组可以用来描述消费者 行为和生产者行为；在宏观经济学中，线性 方程组可以用来描述国民收入、货币供应量 等经济指标的变化规律。
在经济分析中，线性方程组还可以用来解决 最优决策、最优化资源配置等问题。通过建 立经济模型，将实际问题转化为线性方程组
，可以更好地理解和解决经济问题。
05
线性方程组解的数值稳定 性
解的误差分析
舍入误差
问题：什么是线性方程组的解的结构？
基础解系的概念
定义：齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：ξ1, ξ2, ..., ξr 如果满足 ① ξ1，ξ2，...，ξr 线性无关； ②方程组中任意一个解都可以表示ξ1, ξ2, ..., ξr 的线性组合， 那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．
设 R(A) = r ，为叙述方便， 不妨设 A 行最简形矩阵为
称为方程组的解向量．
ξ11 ξ 21 ξ= M ξ n1
齐次线性方程组的解的性质
性质1：若 x = ξ1， x = ξ2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = ξ1 + ξ2 还是 Ax = 0 的解． 证明： A(ξ1 + ξ2 ) = Aξ1+ Aξ2 = 0 + 0 = 0 ． 性质2：若 x = ξ 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数， 则 x = kξ 还是 Ax = 0 的解． 证明： A( kξ ) = k ( Aξ ) = k 0 = 0 ．
令
− b11 − b12 − b1,n− r M M M − br 1 − br 2 − br ,n − r ξ1 = 1 , ξ 2 = 1 ,L , ξ n − r = 0 0 0 0 M M M 0 0 1
齐次线性方 程组的通解
令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ，则
− b11 − b12 − b1,n − r x1 − b11c1 − L − b1,n− r cn − r M M M M M − br 1 − br 2 − br ,n − r xr − br 1c1 − L − br ,n− r cn − r = = c1 1 + c1 1 + L + cn − r 0 xr +1 c1 0 0 0 M O M M M x c n− r n 0 0 1
线性方程组解的结构
如果为齐次线性方程组=若，为（）的解，则也是（只要验证满足方程（.即也是方程组若为（）的解，为实数，则也是（.即若为（对于的任意一组常数组合也是（证 ==即线性组合也是方程组对于元齐次线性方程组,若,有个自由未知量这时无穷多解的一般表达式中含有个任意常数它也可以表示为个线性无关的解向量与个任意常数的线性组合我们提到了一个概念“向量组的线性无关”性，可以理解为，对于方程组的求解方对于,与含有个任意常数相乘的向量就是线性无关的解向量组系数矩阵的秩,而未知量的个数,个数为,个任意常数,=, ,,如果在解向量的一般表达式中令和可得解向量,则是线性无关的解向量组已知齐次线性方程组有无穷多解并且含有个自由未知量(为任意常数则称向量为齐次线性方程组的一个基础解系元齐次线性方程组,若系数矩阵的秩则齐次线性方程组的基础解系含有个线性无关的解向量,全部解可以表示为个基础解系和个任意常数的线性组合那么齐次线性方程组的求解问题转化为求方程组的基础解系问题解向量为所给方程组的一个基础解系解向量与为所给方程组的一个基础解系对增广矩阵作初等行变换(为自由未知量则上式可表示为(其中为任意常数若令,则为原方程组的一个基础解系原方程组的通解可表示为.通常把上式右端换成零向量所得到的齐次线性方程组设及都是方程组（）的解，则为对应齐次方程即是方程组（设是方程组（）的解，是方程组（则仍是方程组（是方程组（设是非齐次线性方程组的一个解, 是相应齐次线性方程组的基础解系则方程组一般解为其中为任意常数易知，是方程组为证它是的一般解只要证方程的任意一解都可以表示成的形式即可设是的任意一解已知也是的一个解4, 是的又是齐次线性方程组的基础解系故存在一组常数, =对增广矩阵作初等行变换可见，故方程组有无穷多解，原方程组的同解方程组为(为自由未知量令则方程组的解表示为向量形式(其中为任意常数令,则为与原方程组相应的齐次线性方程组的一个基础解系,则为原方程组的一个特解为把解表示得更清楚些，可把它写成.对增广矩阵作初等行变换可见，故方程组无解对增广矩阵作初等行变换由于,亦即（为任意实数）或令，上式简化为，（）令则为对应的齐次方程组的一个基础解系为非齐次方程组的一个特解。
线性方程组的解的结构
3）矩阵A的列向量组的秩称为矩阵A的列秩.
定理3.11 A为m n矩阵，r(A) r
A的列（行）秩为r。
推论 矩阵A的行秩等于矩阵 A的列秩，
即为矩阵 A的秩。
向量组的秩及极大无关组的求法： 将向量组合成矩阵，进行初等行
变换得到阶梯阵，非零行的行数为向 量组的秩，主元所对应的列向量组为 极大线性无关组。
下面证明 X1, X 2 ,, X nr 构成齐次线性方
程组AX=0的一个基础解系.
以 X1, X 2 ,, X nr 为列向量组构成一个矩阵C
c11 c12 c1,nr
c21
c22
c2,nr
C X1,
X2,
,
X nr
定理4.2.3 设A是m×n矩阵，如果 r(A)=r<n,则齐次线性方程组 AX=0的基础解系存在，且每个 基础解系中含n-r个解向量.
证：对A施行初等行变换，将A化为行最 简形阶梯矩阵。不妨设
1 0 0 c11 c1,nr
0
1
0
c21
c2,nr
它的解有如下性质：
1）如果X
1
,
X
是线性
2
方
程
组的两个解，
则X 1
X
也
2
是
它的解。
2)如
果X
是线
1
性
方
程组的解，则k
X1也
是它的解, k R。
3)如果X
1
,,
X
都是线性
s
方
程
线性代数PPT课件第四章第四节 线性方程组解的结构.ppt
0 1 0
1 0 1
1 1 1
1
0 1
行
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1
0 0
得 x1 1 0
x2 x3 x4
x
3
1
1 0
x
4
1 0 1
.
基础解系为
1 0
1 0
1
,
1 0 1
.
令 x3c1,x4c2,(c1,c2为任意常数),
得一般解为
c1r 1
c1r 2
c1n
c2r1
c2r2
c2n
1
crr 1 1
, 2
crr 2 0
, , nr
crn
0
.
0 1
0
0
0
1
1,2,,nr 为 AX0的基础解系.
任意两个基础解系等价, 故有相同个数解向量, 为 nr个.
第四章
第四节 线性方程组解的结构
问题: 当解有无穷多时, 全部解是否可由有 限多解表示出来 ?
一. 齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn 0
a2 1x1
a22x2 a2nxn
0
(1)
am1x1 am2x2 amnxn 0
(1) 可用矩阵表示 AX0
a11 Aa21
的通解 (用基础解系与特解表示) 解
A ~1 3
1 1
2 2
1 7
1 2 3 2
1 5 103 1 6
1 0
0 1
0 2
2 1
1 0
1 1
0 0 0 0 0 0
同解方程组为
xx12
线性方程组解的结构及其判定
ξ = (5,3,1)T 所以 基础解系为
+ kξ
将其写成矩阵 方程形式为
x1 = 5c 3 x = 3c + 2 2 x3 = c
x1 5 3 x2 = 3 c + 2 x 1 0 3
~
A = (α1 , α 2 , , α n , β )称为方程组(1)的增广矩阵.
非齐次线性方程组的解法 1.非齐次线性方程组解的性质
性质1:非齐次方程组(1)的两个解的差是它的导出组的解.
Aη1 = B, Aη 2 = B A(η1 η 2 ) = O
性质2:非齐次方程组(1)的一个解与其导出组的一个解的和是 非齐次方程组(1)的解.
系数矩阵
(1)
a1n x1 b1 a2n x2 b2 X = B= x b a mn n m
方程组的 矩阵形式
AX = B
AX = O
非齐次 方程组的 导出组
引 a11 a12 进 a 21 a 22 向 α1 = α 2 = 量 a a
例1:求解方程组
1 1 0 → 0 2 0 1 0 5 3 1 → 0 1 3 2 → 0 0 0 0 0 0
同解方程组为
1 2 1 A = 2 3 1 4 7 1
x1 + 2 x2 x3 = 1 2 x1 + 3x2 + x3 = 0 4 x + 7 x x = 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = 1 1 1 3 → 0 0 2 4→ 0 1 1 2 3 0 0 1 2 0
x1 x2 x3 + x4 = 0 x1 x2 + x3 3x4 = 0 x x 2 x + 3x = 0 2 3 4 1
线性方程组解结构
0
1
依据以上的讨论,还可推得
定7理 设 m n 矩A 的 阵R 秩 (A )r,则
n 元 齐 次A 线 x0 的 性解 方 S 的集 R 程 秩 n组 r. S
注 :由最大无关 知组 方的 (程 1的 )性 组 任 n质 r何 个 可线性无关
解都可构成 系 .从 它而 的齐 基次 础线 解 基性 础方 解程 系 , 组 不
1 0
0 1
2 3
x 1
7
7
并由此写出通 xx2 解 c175c274,(c1,c2 R)
3
x 4
10
10
例 1设 3 A B 0 证 , R ( A ) 明 R ( B ) n . m nn l
x1
1
1
1 2
2 0
于是所求通 xx2解 为 c110c20201,(c1,c2 R)
3 x4
0
1
02
b r1 1
c 2
b r2 0
c nr
b r ,nr
0
x
r2
x n
0
0
1
0
0
1
把上式记x作c c c ,
1
0
b 11
b 1 ,n r
0 1 b b
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§6 线性方程组解的结构
在解决线性方程组有解的判别条件之后，进一步来讨论线性方程组解的结构.所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题.
一、齐次线性方程组的解的结构
设
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0
,0,0221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1) 是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质：
1. 两个解的和还是方程组的解.
2. 一个解的倍数还是方程组的解.
从几何上看，这两个性质是清楚的.在3=n 时，每个齐次方程表示一个过得点的平面.于是方程组的解，也就是这些平面的交点，如果不只是原点的话，就是一条过原点的直线或一个过原点的平面.以原点为起点，而端点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述的性质.
对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解.这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解.基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出？
定义17 齐次线性方程组(1)的一组解t ηηη,,,21 称为(1)的一个基础解系，如果
1）(1)的任一个解都能表成t ηηη,,,21 的线性组合；
2）t ηηη,,,21 线性无关.
应该注意，定义中的条件2)是为了保证基础解系中没有多余的解.
定理8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于r n -，这里r 表示系数矩阵的秩(以下将看到，r n -也就是自由未知量的个数).
定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法.
由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系.
二、一般线性方程组的解的结构
如果把一般线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++s
n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,, (9) 的常数项换成0，就得到齐次线性方程组(1). 齐次线性方程组(1)称为方程组(9)的导出组.方程组(9)的解与它的导出组(1)的之间有密切的关系：
1. 线性方程组(9)的两个解的差是它的导出组(1)的解.
2. 线性方程组(9)的一个解与它的导出组(1)的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.
定理9 如果0γ是线性方程组(9)的一个特解，那么线性方程组(9)的任一个解γ都可以表成
ηγγ+=0
其中η是导出组(1)的一个解.因此，对于线性方程组(9)的任一个特解0γ，当η取遍它的导出组的全部解时，(10)就给出(9)的全部解.
定理9说明了，为了找出一线性方程组的全部解，只要找出它的一个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了.导出组是一个齐次线性方程组，在上面已经看到，一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表示.因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般线性方程组的一般解；如果0γ是线性方程组(9)的一个特解，r n -ηηη,,,21 是其导出组的一个基础解系，那么(9)的任一个解γ都可以表成
r n r n k k k --++++=ηηηγγ 22110
推论 在线性方程组(9)有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出组(1)只有零解.
线性方程组的理论与解析几何中关于平面与直线的讨论有密切的关系.来看线性方程组
⎩⎨⎧=++=++.
,23232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a (11) (11)中每一个方程表示一个平面，线性方程组(11)有没有解的问题就相当于这两个平面有没有交点的问题.我们知道，两个平面只有在平行而不重合的情形没有交点.(11)的系数矩阵与增广矩阵分别是
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=232221131211a a a a a a A 与⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=22322211131211b a a a b a a a A , 它们的秩可能是1或者2.有三个可能的情形：
1. 秩A =秩A =1.这就是的两行成比例，因而这两个平面平行.又因为A 的两行也成比例，所以这两个平面重合.方程组有解.
2.秩A =2秩A =1，.这就是说，这两个平面平行而不重合. 方程组无解.
3. 秩A =2.这时A 的秩一定也是 2.在几何上就是这两个平面不平行，因而一定相交. 方程组有解.
下面再来看看线性方程组的解的几何意义.设矩阵A 的秩为2，这时一般解中有一个自由未知量，譬如说是3x ，一般解的形式为
⎩⎨⎧+=+=.
,32223111x c d x x c d x (12) 从几何上看，两个不平行的平面相交在一条直线.把(12)改写一下就是直线的点向式方程
32
22111x c d x c d x =-=-. 如果引入参数t ，令t x =3，(12)就成为
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=.,,3
222111t x t c d x t c d x (13)
这就是直线的参数方程.
(11)的导出方程组是
⎩⎨⎧=++=++.
0,0323222121313212111x a x a x a x a x a x a (14) 从几何上看，这是两个分别与(11)中平面平行的且过原点的平面，因而它们的交线过原点且与直线(12)平行.既然与直线(12)平行，也就是有相同的方向，所以这条直线的参数方程就是
⎪⎩⎪⎨⎧===.
,,
32211t x t c x
t c x (15)
(13)与(15)正说明了线性方程组(11)与它的导出组(14)的解之间的关系. 例1 求线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧0
793,
083,
032,
054321432143214321=+-+=++-=+-+=-+-x x x x x x x x x x x x x x x x
的一个基础解系.
例2 设线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.
2193164,
432,
14523,
42354321543215432154321-=-+++-=+----=--++-=-+-+x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x
用它的导出齐次方程组的基础解系表示它的全部解.。