自校八年级 第一讲无理数与平方根
无理数及用计算器求平方根(课件ppt）
3 2．用计算器计算 196，在计算器上依次输入'_' ___'_' __''1_9__6_''__'_'＝__'，' 显示结果为____1_4______，所以 196 ＝___1_4_____.
课堂练习
3. 19 的整数部分为___4____，小数部分为__1_9____4__.
无理数及用计算器求平方根
数学湘教版 八年级上
新知导入
1、什么是平方根？算术平方根？
如果有一个数r，使得r 2=a，那么我们把r叫做a的一个平方 根,也叫做二次方根.我们把正数a的正平方根叫作a的算术平方根. 2、非负数a的平方根和算术平方根应如何表示呢？
a的平方根表示为： a a的算术平方根表示为： a
新知导入
3、说一说平方根的性质. （1）正数有两个平方根,它们互为相反数; （2） 0的平方根是0； （3）负数没有平方根.
4、 ( a )2与 a2 的结果是多少呢？
(1) ( a )2 a(a 0)
(2)
a2
| a |
a(a 0) a(a 0)
新知讲解
做一做：如图所示，将一个长为4cm，宽为2cm的长方形纸 片剪拼成一个正方形.最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它 的边长是整数吗？
展开铺平
新知讲解
做一做：如图所示，将一个长为4cm，宽为2cm的长方形纸 片剪拼成一个正方形.最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它 的边长是整数吗？
剪开拼图
新知讲解
这个正方形的
边长是多少呢？ 做一做：如图所示，将一个长为4cm，宽为2cm的长方形纸
无理数、平方根与立方根讲义
一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ,那么这个数x 就叫做a 的立方根（cube root, 也叫做三次方根）．如：2是8的立方根，的立方根是－－273，0是0的立方根。
注：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
二、同步题型分析1、说说谁“有理”，谁“无理” 以下各数：－1,23,3.14,－π,3.⋅3,0,2,27,24,－0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1)其中，是有理数的是_____________，是无理数的是_______________. 在上面的有理数中，分数有______________，整数有______________. 答案：有理数：－1，23，3.14,3.3,0,2,27,24. 无理数：－π,－0.2020020002…… 分数：23，3.3,27整数：－1，0，2，242、在“()05，3.14 ，-π，()23，0.123334， 0.212212221…”这6个数中，无理数的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3、下列语句正确的是（ ） A.3.78788788878888是无理数B.无理数分正无理数、零、负无理数C.无限小数不能化成分数D.无限不循环小数是无理数4、在直角△ABC 中，△C =90°，AC =23，BC =2，则AB 为（ ）A.整数B.分数C.无理数D.不能确定答案：B5、面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”) 答案：不是，是）解：解：()28=±64±=即()2711=±）解：解：解：利用平方根来解下列方程．（2x-1）2-169=0变式训练：、下列计算正确的是（=±2 B ()0.02±0.0004±即()225=±11的平方根是（2）∵（x ﹣1）3=8， ∴x ﹣1=2， ∴x=3． 点评： 本题考查了学生开平方、立方的能力，也考查了解方程的方法，比较容易解答．变式训练1．求下列各式中的x ：（1）4x 2=9； （2）1﹣（x+1）3=1001． 解答：解：（1）∵x 2=， ∴；（2）∵1﹣（x+1）3=1001，∴（x+1）3=﹣1000，∴x+1=﹣10，∴=﹣11．1、判断题(1)－0.01是0.1的平方根.………………………………………………………… …( )(2)－52的平方根为－5.……………………………………………………………… （ ） (3)0和负数没有平方根.……………………………………………………………… （ ）（4）因为161的平方根是±41,所以161=±41.……………………………………… （ ）（5）正数的平方根有两个，它们是互为相反数.…………………………………… （ ） 2、选择题（1）下列各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3B.3－3C.aD.－（a 2+1）(2)2a 等于（ ）A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对（3）如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m2C.a =±mD.±a =±m(4)若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a3、填空题(1)若9x 2－49=0,则x =________.(2)若12 x 有意义，则x 范围是________.(3)已知｜x －4｜+y x +2=0,那么x =________,y =________.(4)如果a ＜0,那么2a =________,(a -)2=________.4、已知一个正方形ABCD 的面积是4a 2 cm 2,点E 、F 、G 、H 分别为正方形ABCD 各边的中点，依次连结E 、F 、G 、H 得一个正方形.(1)求这个正方形的边长.(2)求当a =2 cm 时，正方形EFGH 的边长大约是多少厘米？（精确到0.1cm ）图1参考答案1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2.(1)D (2)D (3)D (4)B3.(1)±37 (2)x ≥－21(3)x =4,y =－8 (4)－a ,－a 4.(1)2a cm (2)2.8 cm【巩固练习】1、算术平方根等于它本身的数是（ ）A 、 1和0B 、0C 、1D 、 1±和0 2、2)6(-的平方根是（ ）A 、－6B 、36C 、±6D 、±6 3、满足53<<-x 的整数x 是（ ） A 、3,2,1,0,1,2-- B 、3,2,1,0,1- C 、3,2,1,0,1,2-- D 、2,1,0,1-4、下列说法错误的是（ ）A. 1的平方根是1B. –1的立方根是－1C.2是2的平方根 D. –3是2)3(-的平方根5、已知x ，y 是实数，且34x ++（y-3）2=0，则xy 的值是（ ） A ．4 B ．-4 C ．94 D ．-946、下列说法中正确的是（ ）A ．9的平方根是3B ．16的算术平方根是±2 C. 16的算术平方根是4 D. 16的平方根是±27、下列说法中，正确的是（ ）[来源:学&科&网Z&X&X&K]A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数C.负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，18、已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长. 答案：7cm。
2.1认识无理数与算术平方根
2.1认识无理数与算术平方根班级 姓名__________【新知探究】一、认识无理数1、（1）有理数：有理数总可以用 或 表示。
反过来，任何 或 也都是有理数。
（2）无理数： 叫做无理数。
2、常见的无理数有以下几种类型:第一类：一般的无限不循环小数，如：___________________第二类: 看似循环而实质不循环的小数,如:______________________第三类: π及与π有关的代数式.如：______________________第四类:开方开不尽的数.如5,23、下列数中,哪些是有理数,哪些是无理数?0011010001000.0,75.0,34,14.3..-…(相邻两个1之间的0的个数逐次加2), 0.458, .7.3, -π, 71- ,18 解:无理数有: 有理数有:二、算术平方根1、根据勾股定理，结合图形完成填空：x 2= ，y 2= ， z 2= ，w 2= ． 以上问题的x 、y 、z 、w 中哪些是有理数？哪些是无理数？2、算术平方根的概念：一般地，如果一个正数．．x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数．．x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”．即正数x = 。
特别地，我们规定0的算术平方根是0，即 ．思考：怎样的数有算术平方根？一个数的算术平方根是什么数？ 答：a 中的a 是 ,且a 是 .【例题精讲】例1、求下列各数的算术平方根：36，144121， 17， 0.81， 610． 解:D E例2、自由下落物体的高度h （米）与下落时间t （秒）的关系为h =4.9t 2．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？解:【实战演练】1、下列说法正确的是( )A.无限循环小数是无理数B.无理数都是正数C.有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示D.无理数只有π2、填空(1)若一个数的算术平方根是0，那么这个数是 ；若一个数的算术平方根是11，那么这个数是 ； 若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ； (2)9的算术平方根是 ； 2)32(的算术平方根是 ； （-13）2 的算术平方根是 ；225196的算术平方根是 ；2-4的算术平方根是 2516-=________；________)16(2=-；________)5(2=- 2、小明爸爸今年36岁，小明的岁数是爸爸岁数的算数平方根，那么小明的岁数是_______3、如图，从帐篷支撑竿AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若绳子的长度为8米，地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是6.4米，则帐篷支撑竿的高是多少米？4、若162=x ，则x -5的算术平方根是________5、若,3=m 则m= ，若2y =5，则y= ；若22=+m ，则2)2(+m =6、若｜x ｜= 16,则x=。
八年级上册数学平方根的知识点归纳
八年级上册数学平方根的知识点归纳八年级上册数学平方根的知识点归纳学习是一个循序渐进的过程,也是一个不断积累不断创新的过程。
下面店铺为大家整理了八年级上册数学平方根的知识点归纳,快来看看吧。
【八年级上册数学平方根的知识点归纳】平方根表示法：一个非负数a的平方根记作，读作正负根号a。
a叫被开方数。
中被开方数的取值范围：被开方数a≥0平方根性质：①一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
②0的平方根是它本身0。
③负数没有平方根开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
平方根与算术平方根区别：1、定义不同。
2表示方法不同。
3、个数不同。
4、取值范围不同。
联系1、二者之间存在着从属关系。
2、存在条件相同。
3、0的算术平方根与平方根都是0含根号式子的意义：表示a的平方根，表示a的算术平方根，表示a的负的平方根。
求正数a的算术平方根的方法：完全平方数类型①想谁的平方是数a。
②所以a的平方根是多少。
③用式子表示。
求正数a的算术平方根，只需找出平方后等于a的正数。
三个重要的非负数：求正数a的平方根的方法;完全平方数类型①想谁的平方是数a。
②所以a的平方根是多少。
③用式子表示=。
公式：(a≥0)∣a∣=平方根的知识点一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。
显然，如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
0的平方根是0。
负数在实数范围内不能开平方，只有在正数范围内，才可以开平方根。
例如：-1的平方根为i，-9的平方根为3i。
平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一种。
平方根和算术平方根都只有非负数才有。
被开方数是乘方运算里的'幂。
求平方根可通过逆运算平方来求。
开平方：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。
总结：一个正数有两个平方根;0只有一个平方根，就是0本身;负数没有平方根。
八年级上册平方根知识点
八年级上册平方根知识点在八年级的数学学习中，平方根是一个非常重要的知识点。
平方根是指一个数的平方等于原数的数值，可以用符号√表示，例如√9=3，√16=4。
在本文中，我将详细介绍八年级上册平方根的相关知识点。
一、平方根的符号及表示方法平方根用符号√来表示，如√9表示9的平方根，读作“根号9”或“9的根号”。
平方根还可以用字母表示，例如a的平方根可以表示为√a。
当a为正整数完全平方数时，√a是有理数，否则是无理数。
例如√4=2，√9=3，但√2是无理数，不是有理数。
二、简化√n的步骤当n是一个正整数时，n的因数中，相同的因子成对出现，例如16的因数为1、2、4、8、16。
而且它们都是成对出现的，其中2与8、4与4配对，所以可以得到以下简化√n的步骤：1.将n进行质因数分解，使因数中每个质数的指数都为2的倍数。
2.把每个根号内部成对的质因数提取出来，得到这个数的基本根式。
例如：√36=√(2²×3²)=√2²×√3²=2√3。
三、平方根的运算法则1.平方根的分配律：对于任意正实数a和b，有√(a×b)=√a×√b。
例如：√20=√(4×5)=√4×√5=2√5。
2.平方根的合并同类项：对于任意正实数a和b，有√a±√b=√(a±b)。
例如：√7+√5=√(7+5)=√12。
3.平方根的乘法公式：对于任意非负实数a和b，有√a×√b=√(ab)。
例如：√7×√5=√(7×5)=√35。
4.平方根的倒数法则：对于任意正实数a，有1/√a=√a/√(a×a)=√a/a。
例如：1/√5=√5/√25=√5/5。
四、平方根的应用平方根除了在数学中的运算中有着广泛的应用外，在我们的日常生活中也经常会遇到。
例如：1.计算三角形的斜边长度。
设三角形两个直角边分别为a和b，则三角形的斜边长度为√(a²+b²)。
初二上册数学第二章实数无理数、平方根和算术平方根讲义
无理数概念与平方根知识点1 算术平方根概念及性质22=x ,32=y ,42=z ,52=w ,已知幂和指数,怎么求求底数呢？我们知道：19614,16913,14412,121112222==== 那么请按照要求填写下表 1．已知边长求面积正方形边长 正方形面积 2.已知面积求边长正方形边长 正方形面积 11 121 13 169 0.3 0.09 12一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根,记为“a ”,读作“根号a ”．特别地,我们规定0的算术平方根是0,即00=．由算术平方根的定义我们可知：a 的算术平方根a 是一个非负数;我们知道0²=0,正数x =a ＞0,所以a ≥0.即算术平方根定义中：a 中的a 是一个非负数,a 的算术平方根a 也是一个非负数,负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．例1.求下列各数的算术平方根：(1) 900; (2) 1; (3) 6449; (4) 14．例2.自由下落物体的高度h (米)与下落时间t (秒)的关系为29.4t h =．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落,到达地面需要多长时间？例3. 01)22=++++y x y （则xy =知识点2 平方根的概念及性质平方根的概念我们知道1²=（-1）²=1, 2²=（-2）²=4, 3²=（-3）²=9,……,a ²=（-a ）²=a ², 如果一个数x 的平方等于a ,即x ²=a .那么x 就叫做a 的平方根.正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示,其中a 表示a 的正的平方根（又叫算术平方根）,读作“根号a ”; －a 表示a 的负的平方根,读作“负根号a ”. ①一个正数a 的平方根有两个,记为a ± ,它们互为相反数.②0的平方根是0. ③负数没有平方根.知识点3 开平方求一个数a 的平方根的运算叫做开平方,a 叫做被开方数.（开平方与平方互为逆运算）平方和开平方是互逆运算：2()a a (0)a ≥；2(0)(0)a a a aa a例1.如果x ²=a ,那么下列说法错误是（ ）A ．若x 确定,则a 的值是唯一的B ．若a 确定,则x 的值是唯一的C ．a 是x 的平方D ．x 是a 的平方根例2. a ±的意义是（ ）A ．a 的平方根B ．a 的算术平方根C ．当a ≥0时,a ±是a 的平方根 D ．以上都不正确例3.若1-x +（y +2）²=0,则2018)(y x +等于（ ）A ．﹣1B ．1C ．20183D ．20183-例4.一个正数的平方根是2a ﹣3与a ﹣12,则这个正数为（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．49例5.已知2-x 的平方根是2±,72++y x 的平方根是±3,求22y x +的平方根例6.已知2m +3和4m +9是一个正数的两个不同的平方根,求m 的值和这个正数的平方根.练习题：1.16的平方根是（ ）A ．±4B ．4C ．±2D ．22．4的平方根是 ;3的平方根是 16的平方根是 , 25）（-的平方根是________．3.下列运算正确的是（ ）A ．﹣213）（- =13 B ．26）（- =﹣6 C ．﹣25 =﹣5 D ．9 =±34.若正方形的边长为a ,面积为s ,则（ ）A ．s 的平方根是aB ．a 是s 的算术平方根C ．a =±D .s =5.如果将一个长方形ABCD 折叠，得到一个面积为144cm2的正方形ABFE ，已知正方形ABFE 的面积等于长方形CDEF 面积的2倍，求长方形ABCD 的长和宽．6.若（a －1）²＋|b －9|＝0,则a b 的平方根是 ．7..求下列各式的值：（1）44.1; （2）649; （3）25241 ． 8．在，3.1415926535，三个实数中，无理数的个数有（ ）A ．3B ．2C ．1D ．09．下列各数中，无理数是（ ） A ．2 B ．﹣C ．20%D ．π10．下列各数，3.14159265，，﹣8，，，中，无理数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．下列各数：﹣1，，0，，3.14，4.121121112……，其中无理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．下列一组数：﹣8，2.6，﹣|﹣3|，﹣π，，0.1010010001…，（每两个1之间依次多一个0）中，无理数有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个13．在，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．在实数﹣，0.21，，，，0.20202中，无理数的个数为（）A．1B．2C．3D．415．下列各数，，π，0.2020020002…，，，中，无理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个16．下列各数中一定有平方根的是（）A．m2﹣1B．﹣m C．m+1D．m2+117．一个正数的两个平方根分别是2a﹣5和﹣a+1，则这个正数为（）A．4B．16C．3D．918．一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（）A．25B．49C．64D．8119．16的平方根是（）A．16B．﹣4C．±4D．没有平方根20．若a，b（a≠b）是64的平方根，则+的值为（）A．8B．﹣8C．4D．021．若一个数的平方等于81，则这个数是（）A．9B．﹣9C．±9D．±8122．下列计算不正确的是（）A．B．2ab+3ba＝5abC．3x﹣2x＝1D．|﹣3|＝323．一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a，则这个正数为（）A．7B．10C．﹣10D．10024．有理数a2＝（﹣5）2，则a等于（）A．﹣5B．5C．25D．±525．求下列各式中的x：（）（1）9x2﹣25＝0；（2）4（2x﹣1）2＝36．A．x＝和x＝2B．x＝﹣和x＝2或x＝﹣1 C．x＝±和x＝﹣1D．x＝±和x＝2或x＝﹣1 26．平方根等于它自己的数是（）A．0B．1C．﹣1D．4 27．36的平方根是（）A．18B．6C．±6D．±18 28．下列说法正确的是（）A．0的平方根是0B．1的平方根是1C．1的平方根是﹣1D．﹣1的平方根是﹣129．如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（）A．±（m+1）B．（m2+1）C．D．30．2a﹣1和a﹣5是某个正数的两个不等的平方根，则实数a的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣2 31．一个正数的平方根是2m+3和m+1，则这个数为（）A．﹣B．C．D．1或32．一个正数m的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4，则m的值是（）A．2B．2或﹣2C．4D．4或36 33．（﹣10）2的平方根是（）A．﹣10B．10C．±10D．100 34．已知（x+1）2＝4，则x值为（）A．1B．±1C．1或﹣3D．3或﹣1 35．一个正数x的两个平方根分别是a﹣7和2a+1，则这个正数x＝（）A．2B．5C．16D．2536．下列说法：①0的平方根是0；②﹣1的平方根是﹣1；③（﹣4）2的平方根是﹣4；④0.01是0.1的平方根；正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个37．已知一个正数的两个平方根分别为x+2和2x﹣5，则这个正数是（）A．1B．7C．9D．8138．若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的平方根，则m为（）A．﹣3B．1C．﹣1D．﹣3或139．下列叙述中，不正确的是（）A．0的平方根是0B．﹣22的平方根是±2C．正数的平方根是互为相反数D．是一个无理数40．下面说法中错误的是（）A．6是36的平方根B．﹣6是36的平方根C．36的平方根是±6D．36的平方根是641．在（﹣）2，0.9，﹣23（﹣a2+2），0，17六个数中，一定有平方根的个数是（）A．2B．4C．3D．542．2.89的正的平方根是（）A．1.7B．﹣1.7C．±1.7D．±1743．a是有理数，在a2+2，3|a|+5，|a|﹣4，5a2+2a2中一定有平方根的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个44．下列各数中，没有平方根的数是（）A．﹣（﹣2）3B．﹣（﹣47）C．1﹣（﹣2）D．﹣|﹣3|45．下列说法正确的是（）A．9是3的算术平方根B．5是25的算术平方根C．0.1的平方根是0.01D．是的算术平方根46．﹣可以表示（）A．0.2的平方根B．﹣0.2的算术平方根C．0.2的负的平方根D．﹣0.2的平方根47．81的平方根是（）A．B．﹣9C．9D．±948．下列说法正确的是（）A．﹣7是49的算术平方根B．7是（﹣7）2的算术平方根C．±7是49的平方根，即＝±7D．7是49的平方根，即±＝749．根据以下程序，当输入时，输出结果为（）A．B．2C．6D．50．下列计算正确的是（）A．＝±3B．|﹣3|＝﹣3C．＝2D．﹣32＝9 51．实数9的算术平方根是（）A．3B．±3C．﹣3D．±952．下列说法错误的是（）A．4是16的算术平方根B．2是4的一个平方根C．0的平方根与算术平方根都是0D．（﹣3）2的平方根是﹣353．下列计算正确的是（）A．B．C．D．54．下列运算正确的是（）A．﹣2×（﹣3）＝﹣6B．（﹣4）2＝8C．﹣10﹣8＝﹣18D．＝±255．下列各式中，正确的个数是（）①＝4 ②＝③﹣32的平方根是﹣3 ④的算术平方根是﹣5 ⑤是的平方根A．1个B．2个C．3个D．4个56．＝（）A．﹣3B．3C．D．57．已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（）A．﹣485.8B．﹣48.58C．﹣153.6D．﹣1536 58．下列叙述中正确的是（）A．﹣2是4的平方根B．4的平方根是﹣2C．﹣2是（﹣2）2的算术平方根D．±2是（﹣2）2的算术平方根59．的平方根是（）A．9B．9或﹣9C．3D．3或﹣3 60．的平方根是（）A．16B．±16C．4D．±461．在1，，0，﹣四个实数中，最小数的是（）A．1B．C．0D．﹣62．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为16时，输出的y是（）A．B．C．4D．863．＝3，则a的值为（）A．±9B．9C．3D．。
北师大版八年级上册第二章实数第二节认识无理数 第一课时算术-平方根教案
第二章第一节认识无理数第一课时算术- 平方根教案一、教学目标1. 掌握平方根的概念，理解无理数的含义。
2. 能够正确地计算平方根，掌握平方根的运算法则。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。
二、教学重点和难点教学重点：1. 平方根的概念和运算法则。
2. 无理数的理解和计算。
教学难点：1. 如何理解平方根的概念。
2. 如何正确进行无理数的计算。
三、教学过程1. 复习导入：回顾已学的平方运算和开方运算，引出新的概念。
2. 概念讲解：详细讲解平方根的概念，让学生理解平方根的含义和特点。
3. 运算讲解：选取具有代表性的例题，引导学生掌握平方根的运算法则，让学生能够进行平方根的计算。
4. 探究与发现：引导学生探究无理数的特点，理解无理数的概念，并能够进行无理数的计算。
5. 巩固提高：通过提问、小组讨论等方式，让学生回顾所学知识，巩固记忆。
6. 课堂小结：总结本节课所学的知识点和重点，帮助学生形成清晰的知识框架。
四、教学方法和手段1. 讲解与演示：教师通过讲解和演示，让学生理解平方根的概念和运算法则。
2. 练习与讨论：学生进行课堂练习和小组讨论，加深对平方根和无理数的理解和掌握。
3. 多媒体辅助：使用多媒体设备展示平方根和无理数的图形关系，帮助学生更好地理解概念。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 课堂练习：选取适当的练习题，让学生在课堂上进行平方根的计算和无理数的运算，检验学习效果。
2. 课后作业：布置适量的作业题，让学生在家中继续巩固平方根和无理数的知识和技能。
3. 互动评价：学生之间互相评价课堂练习和作业，互相学习和帮助，共同提高。
六、辅助教学资源与工具1. PPT讲解：提供详细的PPT讲解，帮助学生更好地理解平方根和无理数的概念和性质。
2. 数学软件：使用数学软件展示平方根和无理数的图形关系，帮助学生更好地理解概念。
3. 参考资料：提供相关的数学参考资料，供学生自主学习和研究。
七、结论本节课介绍了平方根的概念和运算法则，以及无理数的特点和计算方法。
平方根(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题2.1 平方根（知识讲解）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】【知识点一】算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根”，叫做被开方数.特别说明：0，≥0. 【知识点二】平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.【知识点三】平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.【知识点四】平方根的性质【知识点五】平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者x a 2x a =x a a a a a a 2x a =x a a a a 0)a ≥a 0||000aa a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aa =≥向左移动1位..【典型例题】类型一、求一个数的平方根1．求下列各数的算术平方根． (1)169； (2)481； (3)0.09； (4)(﹣3)2． 【答案】(1)13； (2)29； (3)0.3； (4)3 【分析】根据算术平方根的定义解答 解：(1)∵132＝169，∵169的算术平方根是13， 13； (2)∵（29）2＝481， ∵481的算术平方根是29，29； (3)∵0.32＝0.09，∵0.09的算术平方根是0.3， ＝0.3； (4)∵32＝9＝（﹣3）2，∵（﹣3）2的算术平方根是3， 3．【点拨】此题考查了求一个数的算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键． 【变式】 求下列各数的算术平方根： (1) 0.64 (2) 4981【答案】(1) 0.8； (2)79【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 解：（1）因为0．82=0.64，所以0.64的算术平方根是0.8． （2）因为2749()981=，250=25= 2.5=0.25=所以4981的算术平方根是7979． 【点拨】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键， 正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．类型二、利用算术平方根非负性求解2．已知223y x x =-+--，求(x +y )2022的值 【答案】1【分析】根据二次根式的性质得到2x =，计算出1x y +=-，从而计算出最终的答案．解：∵3y =∵2020x x -≥⎧⎨-≥⎩得22x x ≥⎧⎨≤⎩∵2x =∵33y ==- ∵202220222022()(23)(1)1x y +=-=-= ∵2022()1x y +=．【点拨】本题考查二次根式、幂运算的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式、幂运算的相关知识．举一反三：【变式】 已知实数a 、b 、c |1|a +=(1) 求证：b c =；(2) 求a b c -++的平方根． 【答案】(1)见分析 (2)3±【分析】根据算术平方根的非负性，即可得证；（2）根据（1）的结论，以及非负数之和为0，求得,,a b c 的值，进而求得a b c -++的平方根．(1)证明：0≥0，0,0b c c b -≥-≥，b c ∴=；(2)解：|1|a +=b c =，10a -=，1,4a b ∴=-=， 4c b ∴==，1449a b c ∴-++=++=，9的平方根是3±．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为0，掌握非负数的性质以及算术平方根的非负性是解题的关键．类型三、求算术平方根的整数部分和分数部分3．已知21a-＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是113的整数部分，求a+b+2c 的平方根．【答案】±5【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解．解：＝3，∵2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵3a﹣b+1的平方根是±4，∵15﹣b+1＝16，解得：b＝0，∵1011，∵c＝10，∵a+b+2c＝5+0+2×10＝25，∵a+b+2c的平方根为±5．【点拨】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键．举一反三：【变式】已知a b－1是400【答案】6a的值，进而利用算术平方根的定义得出b 的值，即可得出答案．解：∵a∵a＝15，∵b－1是400的算术平方根，∵b－1＝20，解得：b＝21，6．【点拨】此题主要考查了估计无理数大小以及算术平方根，得出a 的值是解题关键．类型四、算术平方根相关规律问题4.先填写表，通过观察后再回答问题：(1)表格中x ＝ ，y ＝ ；(2)从表格中探究a∵ ；∵8.973＝89.73，用含m 的代数式表示b ，则b ＝ ；(3)a 的大小．【答案】(1)0.1，10(2)∵31.6；∵100b m =(3)当0a =a =；当1a =a =；当01a <<a ；当1a >a 【分析】（1）根据算术平方根的性质，即可求解；（2）根据题意可得当a 扩大10010倍，∵≈3.16，即可求解；∵8.973＝89.73，即可求解；（3）分四种情况：当0a =时，当1a =时，当01a <<时，当1a >时，即可求解．(1)解：根据题意得：0.1,10x y ====；(2)解：根据题意得：当a 扩大10010倍，，31.6；8.973＝89.73， ∵100b m =；(3)当0a =0=a =；当1a =1=a =；当01a <<时，根据a a >；当1a >时，根据a a ；综上所述，当0a =a =；当1a =a ；当01a <<a >；当1a >时，a <．【点拨】本题主要考查了算术平方根，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 举一反三：【变式】 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：221+=； 221+=；221+=；⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1）请用含n （n 为正整数）的等式表示上述交化规律：______；（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；（3的长度；（4）若S 表示三角形面积，121OP P S S =△，232OP P S S =△，343OP P S S =△⋅⋅⋅，计算出222212310S S S S +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（1）221+=；（2）直角边的平方和等于斜边的平方；（3）见分析；（4）554． 【分析】（1）观察已知各式，归纳总结规律即可得； （2）根据等式和图形即可得；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，可得6OP 出点7P ，连接7OP 即为所求；（4）先分别求出123,,S S S 的值，再归纳总结出一般规律得出n S 的值，从而可得10S 的值，然后代入求和即可．解：（1）观察已知各式可得，各式的变化规律为221+=故答案为：221+=；（2）结合等式和图形可得，直角三角形两条直角边与斜边的关系为：直角边的平方和等于斜边的平方故答案为：直角边的平方和等于斜边的平方；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，即可得6OP 作点7P ，连接7OP ，则7OP 即为所求，如图所示：（4）121111122OP P S S==⨯⨯==2321122OP P S S ==⨯343112OP P S S==⨯归纳类推得：1112n n n OP P S S +==⨯当10n =时，101110112OP P S S==⨯=则222222221231010()2S S S S +++⋅⋅⋅+=++++ 123104444=++++123104++++=554=． 【点拨】本题考查了算术平方根、勾股定理等知识点，读懂题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．类型五、算术平方根的实际应用5.如图，用两个边长为18cm 的小方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为230cm 请说明理由．【答案】不能，理由见分析【分析】根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为2：1，计算长方形的长与宽进行验证即可．解：不能，∵2+2=36（cm 2）， ∵大正方形的边长为6cm ，设截出的长方形的长为2b cm ，宽为b cm ， ∵2b 2=30，∵b∵2b =6=，∵不能截得长宽之比为2：1，且面积为30cm 2的长方形纸片．【点拨】本题考查了算术平方根的应用，理解算术平方根的意义是正确解答的关键． 举一反三：【变式】 小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为1S 、2S ）．(1)如图1，121,1S S ==，拼成的大正方形1111D C B A 边长为___________； 如图2，121,4S S ==，拼成的大正方形2222A B C D 边长为___________； 如图3，121,16S S ==，拼成的大正方形3323A B C D 边长为___________．(2)若将（1）中的图3沿正方形3333A B C D 边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∵3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由；【答案】(2)不能用正方形3333A B C D 纸片裁出符合要求的长方形纸片，理由见分析 【分析】（1）求出所拼成的正方形的面积，再根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可．(1)解：如图1，当S 1=1，S 2=1，拼成的大正方形A 1B 1C 1D 1的面积为1+1=2，因此其边如图2，当S 1=1，S 2=4，拼成的大正方形A 2B 2C 2D 2的面积为1+4=5如图3，当S 1=1，S 2=16，拼成的大正方形A 3B 3C 3D 3的面积为1+16=17，(2)解：不能，理由如下：设长方形的长为4x ，宽为3x ，则有4x •3x =14.52， 所以x 2=1.21， 即x =1.1（x ＞0），因此长方形的长为4x =4.4，宽为3x =3.3， 因为（4.4）2=19.36＞17，所以不能用正方形A 3B 3C 3D 3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形． 【点拨】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．类型六、平方根概念的理解6.已知10﹣3a 的平方根是±1，a ﹣b +2的算术平方根是2，求3a +b 的值． 【答案】10【分析】利用平方根和算术平方根的定义求得a 与b 的值，然后代入3a +b 即可． 解：∵10﹣3a 的平方根是±1，∵()21031a -=±， 解得，a ＝3，∵a ﹣b +2的算术平方根是 2， ∵222a b -+=， 解得，b ＝1，∵333110a b +=⨯+=．【点拨】本题考查了平方根和算术平方根的概念，理解掌握概念是解题的关键． 举一反三：【变式】 已知一个正数的两个不相等的平方根是6a +与29a -． （1）求a 的值及这个正数；（2）求关于x 的方程()2280ax --=的解． 【答案】（1）a =1，这个正数是49；（2）8x =± 【分析】（1）由正数的两个平方根互为相反数得到6a ++29a -=0，求解即可得到答案；（2）将a =1代入方程，根据平方根的意义得到答案即可． 解：（1）由题意得6a ++29a -=0，解得a =1，∵这个正数是2(6)49a +=；（2）将a =1代入方程()2280ax --=，得2x -64=0， 解得8x =±．【点拨】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的性质是解题的关键．类型七、求一个数的平方根7.先用平方根符号表示下列各数，再求值： (1)9(2)1625【答案】(1)记为3±(2)±记为45± 【分析】（1）根据平方根的概念与性质，计算即可； （2）根据平方根的概念与性质，计算即可．(1)解：原式=3=±(2)解：原式45=±【点拨】本题考查平方根的概念与性质，一个数a 的正的平方根，用符号表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，a 的负平方根用“表示，根指数是2时，通常略去不写．如“根号a ”，“正、负根号a ”，掌握平方根的概念与性质是解题的关键．举一反三：【变式】 求下列各数的平方根： (1)100； (2)64； (3)4964；(4)1.21．【答案】(1)±10(2)±8(3)78±(4)±1.1【分析】（1）根据2100±=（10）计算即可． （2）根据264±=（8）计算即可．（3）根据2749864±=（）计算即可． （4）根据2 1.21±=（ 1.1）计算即可．解：(1)∵2100±=（10），∵100的平方根是±10．(2)∵264±=（8），∵64的平方根是±8． (3)∵2749864±=（） ∵4964的平方根是78±． (4)∵2 1.21±=（ 1.1），∵1．21的平方根是±1．1．【点拨】本题考查了平方根即如果2x a =（a 是非负数），则称x 是a 的平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．类型八、求代数式的平方根8.若2x +的算术平方根是3，求34+x 的平方根．【答案】5±【分析】根据2x +的算术平方根是3，求出x 的值后，代入34+x 中，再求34+x 的平方根．解：∵2x +的算术平方根是3，∵29x +=，∵7x =，∵3425x +=，∵34+x 的平方根为5±．【点拨】本题考查了算数平方根和平方根的应用，解题的关键是：理解算数平方根和平方根的定义，易错点是容易把负的平方根丢掉．举一反三：【变式】k 是64的平方根，求m -n+k 的平方根．【答案】【分析】由互为相反数的两个数的和等于0可得：m+1=0，2-n -0，解得m=-1，n=2；由k 是64的方根，得出k=±8，再代入m 、n 、k 的值求得m -n+k 的值，求其平方根即可．解：0，又，∵m+1=0，2-n-0，∵m=-1，n=2，∵k是64的平方根，∵k=±8；当k=8时，m-n+k＝－1－2+8＝5，由m-n+k的平方根为当k=-8时，m-n+k＝－1－2－8＝－11，没有平方根；综合上述可得：m-n+k的平方根为【点拨】考查了非负数的性质和平方根的定义，解题关键掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0．类型九、已知一个数的平方根，求这个数9.一个正数x的两个平方根是3a﹣2与4﹣a，则x是多少？【答案】25【分析】直接利用平方根的性质求解．解：依题意得，3a﹣2+4﹣a＝0，∵a＝﹣1，∵3a﹣2＝﹣5，∵x＝25．【点拨】本题考查了平方根的性质，熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】一个正数x的两个不同的平方根分别是4a﹣1和4﹣a，求a和x的值．【答案】a和x的值分别为﹣1，25【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到4a﹣1+（4﹣a）＝0，求出a＝﹣1，再根据x＝（4a﹣1）2求出x即可．解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，∵4a﹣1+（4﹣a）＝0，解得a＝﹣1，∵x＝（4a﹣1）2＝（﹣5）2＝25．答：a和x的值分别为﹣1，25．【点拨】此题考查了已知一个数的平方根求参数，正确掌握一个正数的两个平方根是一对相反数的性质是解题的关键．类型十、利用平方根解方程10.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．解方程：（x－1）2＝4解：∵（x－1）2＝4（1）∵x－1＝2（2）∵x＝3（3）上述过程中有没有错误？若有，错在步骤__________（填序号）原因是____________________________________.请写出正确的解答过程.【答案】（2），正数的平方根有两个，它们互为相反数，见分析【分析】根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，即可求解．解：上述过程中有错误，错在步骤（2），原因是：正数的平方根有两个，它们互为相反数，正确的解答过程为：解：∵（x－1）2＝4∵x－1＝±2∵x＝3或x＝－1故答案为：（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数，【点拨】本题考查了根据平方根解方程，掌握正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】求下列式子中的x：(1)25(x﹣35)2＝49；(2)12(x+1)2＝32．【答案】(1)x1＝2，x2＝45(2)x1＝7，x2＝﹣9【分析】（1）两边同时除以25，再开平方解一元一次方程即可；（2）方程两边同时乘以2，再开平方解一元一次方程即可．(1)解：25（x﹣35）2＝49，（x﹣35）2＝4925，x﹣35＝±75，x ﹣35＝75或x ﹣35＝﹣75， 解得：x 1＝2，x 2＝45-； (2)12（x +1）2＝32，（x +1）2＝32×2，（x +1）2＝64，x +1＝±8，x +1＝8或x +1＝﹣8，解得：x 1＝7，x 2＝﹣9．【点拨】此题考查了利用平方根定义解方程，正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键． 类型十一、平方根的应用11.如图∵所示是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图∵的方式拼成一个正方形．(1)图∵中阴影部分的正方形的边长等于______________(2)请用两种不同的方法列代数式表示图∵中阴影部分的面积：方法一：________________________________________________方法二：________________________________________________(3)根据（2）直接写出22(),(),m n m n mn -+这三个代数式之间的等量关系．(4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：对于任意的有理数x 和y ，若9,18x y xy +==，求x y -的值．【答案】(1)m n -(2)2()m n -，2()4m n mn +-(3)22()()4m n m n mn -=+-(4)3±【分析】（1）利用小长方形的长减去宽即可得；（2）方法一：根据（1）的结论，直接利用正方形的面积公式即可得；方法二：利用大长方形的面积减去四个小长方形的面积即可得；（3）根据（2）中方法一与方法二求出的面积相等即可得；（4）先利用（3）中的等式求出2()x y -的值，再根据平方根的性质即可得．(1)解：由题意得：小长方形的长为m ，宽为n ，则图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，故答案为：m n -．(2)解：方法一：图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，则其面积为2()m n -；方法二：图∵中大正方形的边长为m n +，四个小长方形的长均为m ，宽均为n ，则图∵中阴影部分的面积为2()4m n mn +-，故答案为：2()m n -，2()4m n mn +-．(3)解：因为（2）中方法一与方法二求出的面积相等，所以22()()4m n m n mn -=+-．(4)解：9,18x y xy +==，222()()494189x y x y xy ∴-=+-=-⨯=，3x y ∴-=±．【点拨】本题考查了完全平方公式与图形面积、平方根的应用，结合图形，正确发现图∵中阴影面积的两种求解方法是解题关键．举一反三：【变式】 已知|2020|a a -=，求22020a -的值．【答案】2022【分析】根据算术平方根的非负性确定a 的范围，进而化简绝对值，在根据平方根的定义求得代数式的值．解：∵20220a -≥，∵2022a ≥．∵20200a -<，∵原式化简为2020a a -+=，2020=，∵220222020a -=，故220202022a -=．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，平方根的定义，根据算术平方根的非负性确定a 的范围化简绝对值是解题的关键．。
平方根第一课时教学设计
13.1 平方根（第一课时算术平方根）山阳县户垣中学韩友斌教案依据本节是人教版义务教育课程标准实验教材数学八年级上册第十三章《实数》第一节《平方根》第一课时：算术平方根。
本课教材所处位置是本章的第一节，算术平方根的教育价值不仅因为它初中数学的一个重要概念，也是学习二次根式及一元二次方程的基础，因为有些正有理数的算术平方根不能用有理数来表示，很自然地要推动数的范围扩张——引进新数。
由于对于以2为代表的这类数求近似值的探讨，既能够让学生了解到这类数的本质特征是无限不循环小数，同时也能够通过求其近似值的过程，让学生体验到一种重要的数学思想——“逼近法”思想。
由此看来，学生正确合理地建构算术平方根的意义，不仅影响到以后数学知识的学习，也影响到以后在数学思想方法及情感体验方面的发展。
教学课题算数平方根设计思想1、学情分析：学生已掌握一些平方数，能说出一些平方数是哪些有理数的平方，同时对乘方运算也有一定的认识。
2. 相应的教法：从一些完全平方数入手，引入概念，设置疑问，动手操作，再根据实践需要，教师从方法上指导师生合作探究、小组合作学习。
3. 具体措施：精讲多练，教师担任设计活动、调节气氛、整理归纳的导演作用，学生是表现者、活动者、实践者。
运用多媒体提高课堂容量，增加形象感与趣味性。
通过声像并茂、动静皆宜的表现形式，生动、形象地展示教学内容，扩大学生视野，有效促进课堂教学的大容量、多信息和高效率，有利于学生开发智能、培养能力和提高素质，将教学引入了一个新的境界。
教学方法教学方法动手实践、自主探索与合作交流是学习的重要方式，在教学中我采用先学后教，当堂训练，引导学生思考，探究，交流，学生在这样的学习过程中对知识进行认识、体会和内化。
教学任务分析教学流程安排填表1 9 16 方形积教学反思1、在教学设计及实施中，力求为学生创造一种宽松、和谐、适合学生发展的学习环境，创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围。
要让学生当前所学内容与学生头脑中原有认知结构的哪些部分建立实质性的联系是至关重要的，否则就难以引发学习思考，同化新知。
无理数和平方根
平方根和立方根一、必备知识点1、平方根A、定义：x²=a，x叫做a的平方根，也叫作二次方根；表示方法：a(a≥0)的平方根记作±a；性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0只有一个平方根，它是0本身；③负数没有平方根；注意：平方根是它本身的数只有0。
B、开平方定义：求一个数a的平方根的运算叫做开平方；a叫做被开方数；常用性质：2、立方根定义：当x³=a时，我们把x叫做a的立方根，也叫三次方根，记作3a，读作三次根号a ※这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略，而平方根的中的指数2一般省略不写；立方根的性质：a、正数的立方根是正数；b、负数的立方根是负数；c、0的立方根是0.※立方根等于它本身的数只有-1、0、1；注意：（1）判断一个数x是不是某数a的立方根，就是看x³是不是等于a。
（2）一个数的立方根是唯一的。
一、必备知识点1.平方根： （1）若x 2=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ， 我们把 称为算术平方根,记为 。
规定，0的算术平方根为 。
（2）一个 的平方根有2个，它们互为 ；只有1个平方根，它是0本身; 没有平方根。
（3）两个公式：（a ）2＝ （ ）； =2a2.立方根：1）若x 3=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ，记为 ；2）一个正数 的立方根有 个，0的个立方根为 ，负数有 个立方根。
3）立方根的性质：（1）33a ＝ ，（233a ＝ . 二、典型习题一、填空题1．如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________；2．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________；3．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________．4. 3,x x x ==则 ，若2,x x x =-=则 。
5．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，210-的算术平方根是 ；6．当______m 时，m -3有意义；当______m 时，33-m 有意义；7．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ；8．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________．9.若0|2|1=-++y x ，则x+y=；10．若642=x ，则3x ＝＿＿＿＿.11．立方根是－8的数是＿＿＿，64的立方根是＿＿＿＿。
初二数学无理数与平方根讲义
学科教师辅导讲义体系搭建一、知识梳理1、无理数的概念有理数：整数和分数统称为有理数；无理数：无限不循环小数称为无理数。
不能写成分数形式。
2、算术平方根的概念=，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记一般地，如果一个正数x的平方根等于a，即2x a做a，读作“根号a”。
=。
注意：（1）特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00（2）负数没有算术平方根，也就是说，当式子a有意义时，a一定表示一个非负数。
（3）a （0a ≥ ）是一个非负数。
3、平方根的概念（1）一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即2x a = ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）。
（2）一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
（3）开平方的概念：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。
4、2a 与()2a ()0a ≥ 的性质（1）2a a = ，即当0a ≥时，2a a =；当0a < 时，2a a =-。
（2）()2(0)a a a =≥。
考点一：无理数例1、下列实数中的无理数是（ ）A ．0.7B ．C ．πD ．﹣8例2、下列实数中，是无理数的为（ ）A ．﹣4B ．0.101001C ．D ．例3、把下列各数分别填在相应的集合中：﹣，，﹣，0，﹣，、，0.，3.14例4、判断下列说法是否正确，如果正确请在括号内打“√”，错误请在括号内打“×”，并各举一例说明理由．（1）有理数与无理数的积一定是无理数．（2）若a+1是负数，则a必小于它的倒数．．考点二：平方根例1、4的平方根是（）A．±2 B．﹣2 C．2 D．例2、（﹣2）2的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．例3、用代数式表示实数a（a＞0）的平方根：．例4、已知一个正数的平方根是2x和x﹣6，这个数是．例5、若=2，则2x+5的平方根是．例6、一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，求a和x的值．考点三：算术平方根例1、=（）A．2 B．3C．4 D．5例2、计算（﹣）0﹣=（）A．﹣1 B．﹣C．﹣2 D．﹣例3、下列等式正确的是（）A． B．C．D．例4、已知：与互为相反数，求（x+y）2016的平方根．例5、已知a，b满足+|b﹣2|=0，解关于x的方程（a+2）x+4b=2﹣a．实战演练➢课堂狙击1.在下列实数中：0，，﹣3.1415，，，0.343343334…无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.下列四个数中，是无理数的是（）A． B．C．D．（）23.±3是9的（）A．平方根 B．相反数C．绝对值 D．算术平方根4.如果一个正数的平方根为2a+1和3a﹣11，则a=（）A．±1 B．1 C．2 D．95.的平方根是（）A．81 B．±3 C．﹣3 D．36．化简的值为（）A．4 B．﹣4C．±4 D．27.在：，，0，3.14，﹣，﹣，7.151551…（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中，整数集合{ …}，分数集合{ …}，无理数集合{ …}．8.已知一个正数的两个平方根是x﹣7和3x﹣1，则x的值是．9.若正数m的两个平方根分别是a+2与3a﹣6，则m的值为．10.如果的平方根等于±2，那么a= ．11.已知+|2x﹣3|=0．（1）求x，y的值；（2）求x+y的平方根．12.已知a，b为实数，且﹣（b﹣1）=0，求a2015﹣b2016的值．13.若5a+1和a﹣19是数m的平方根，求m的值．➢课后反击1.下列各数是无理数的是（）A．0 B．﹣1 C．D．2.64的平方根为（）A．8 B．±8 C．﹣8 D．±43.若=2﹣a，则a的取值范围是（）A．a=2 B．a＞ 2 C．a≥2 D．a≤24.的值等于（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．5.下列计算正确的是（）A．（）﹣2=9 B．=﹣2 C．（﹣2）0=﹣1 D．|﹣5﹣3|=2 6.把下列各数填入相应的集合内：，π，，1.14141，﹣，|﹣7|，，，7．（﹣0.7）2的平方根是．8．已知一个正数的两个平方根分别为3a﹣4和12﹣5a，则a= ．9．一个实数的两个平方根分别是m﹣5和3m+9，则这个实数是．10．已知（2x+y）2+=0，求x﹣2y的平方根．11．若|x ﹣1|+（y+3）2+=0，求4x ﹣2y+3z 的平方根．12．求下列式子中的x28x 2﹣63=0．1．【2016•马山】若△ABC 的三边a 、b 、c 满足|a ﹣15|+（b ﹣8）2+=0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．2．【2016•会宁】已知a 、b 、c 满足2|a ﹣1|++c 2﹣c+=0．求a+b+c 的值．1、无理数的概念有理数：整数和分数统称为有理数； 无理数：无限不循环小数称为无理数。
八年级无理数知识点
八年级无理数知识点无理数是指不能写成两个整数之比的实数，例如开不尽的根号2、根号3、根号5等。
在高中数学中，无理数是一种很重要的数，而在初中阶段，学习无理数的目的是为了让学生更好地认识实数的概念。
八年级学生在学习无理数的时候需要掌握以下的知识点：一、无理数的概念在八年级数学教学中，教师应该先通过一些形象的事例或图形来引出无理数的定义，并让学生了解无理数和有理数的区别，通常可采用以下方式：（1）利用整数轴上任意两个不相等的整数来表示整数和分数，探究实数的完备性；（2）画图表示根号2这类无理数，让学生了解无理数的概念。
二、无理数的表示方法无理数的表示方法主要有算术形式和代数形式两种。
1. 算术形式无理数的算术形式可以用无限小数来表示，例如根号2可以表示为1.41421356…。
2. 代数形式无理数的代数形式是指用字母表示无理数的形式，例如a√n≠b√n（其中a和b是有理数，n是自然数，且根号n不是完全平方数）。
三、无理数的基本运算与有理数的运算不同，无理数运算涉及到实部、虚部以及实数和虚数之间的加减乘除。
1. 加减运算（1）如根号2 + 根号3，要化简为一个无理根，即调整其分母。
（2）如根号5 - 2根号3，化简复杂，可以先把根号5拆开为根号3 + 2根号2，然后根据合并同类项的原则，将根号3合并。
2. 乘法运算（1）根号2 ×根号3等于根号(2×3)=根号6。
（2）(2+根号3) × (2-根号3)等于4-3=1。
3. 除法运算一般的无理数除法都是倍数分离法，先将分数化为最简式，再将有理数分数与无理数分数分别求倒数，合并术后得到最终结果。
四、无理数的应用无理数在数学中有着广泛的应用，例如轴线图、三角函数、傅里叶级数等等，因此，掌握无理数的知识对于学生未来的学习将会大有裨益。
结语八年级学生除了掌握上述有关无理数的知识点外，还需要在练习中注意自己的理解和应用能力，加强应用题的解题能力。
无理数的概念与平方根
无理数的概念与平方根一根本概念1.无理数的概念；2.无理数与有理数的主要区别⑴有理数是有限小数或无限循环小数，（2）任何有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能3平方根与算术平方根的概念；4平方根与算术平方根的区别与联系二典例分析3・・ 2 %+]1在数——，一1.42,π,3.1416,一，0,4%(一1)~"(〃为整数)，一1.424224222…中 4 3v7(1)写出所有有理数； (2)写出所有无理数；(3)把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接.2.求以下各式中的X 值(1)9X 2=16；(2)X 2=50(x>O )；(3)>∕Λ=；(4)9(x 2+1)=10(x<0)；(5)3(x+l)2=27； (6)25(x+2)2-36=0；(7)J(X-I)?=5；(8)12x T=(Ja-3-2-2α+α-2)3如果一个正数的两个平方根为α+l 和2。
-7,请你求出这个正数:4(1)假设y]a-5+2>JlO-2a=b+2,求a 、b 的值；(2)假设x 2+4y 2+2x-4y+2=0,求y ∣5x 2÷16y 2的值5化简(1)J(x+1)~+J(x-2)2(其中一1VXv2)；(2)(J-a)~+J ，(4≠0)；(3)Ja 2+b 2+∖-a ∖(其中α=5,b=一依)；(4)√484-√2().25+√l -().75：7（中招展示）（1）（2010上海）以下实数中，是无理数的为（）A.3.14B.∣C.√3 ⑵(2012宁波)实数x,y 满足正E+(y+l)W),那么χ-y 等于()A.3B.-3C.1D.-1⑶（2012江苏盐城）4的平方根是（）A.2B.16C.±2D.±16⑷（2012广州市，6,3分），∣α-l ∣+j7+b=0那么a+b=（ ）A.-8B.-6C.6D.8（5）（2012温州）给出四个数，一1,0,05近其中为无理数的是（）A,-1B.0C.0.5D.√7(6) （2012贵州毕节）以下四个数中，无理数是（）A.JZB.-.C.0D.π3(7) （2012黔西南州）√Γ石在实数范围内有意义,那么a 的取值范围是（）.A.a23B.a≤3C.a≥-3D.a≤-3(3)假设JX-4+∣y + l ∣=0,求:r''的值：(4)巫五匚色血二0,求府的值, m+ 46 （1）对于代数式2α+4,当。
2022年八年级数学：认识无理数与平方根
认识无理数与平方根【学习目标】1. 了解无理数的意义；2．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．3．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根。
【基础知识】一．无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等．（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．二．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．三．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．四．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．【考点剖析】一．无理数（共3小题）1．（2022春•光泽县月考）下列各数：1.414，π，﹣，0，其中是无理数的为（）A．1.414B．πC．﹣D．02．（2021秋•婺城区期末）请写一个小于零的无理数（写出一个即可）．3．（2021秋•高邮市期末）在下列各数中：2022，，，3.1010010001…（每两个1之间的0依次加1），无理数有个．二．平方根（共4小题）4．（2022春•丰台区校级期中）求等式中x的值：25x2＝4．5．（2022春•赵县月考）求下列各数的平方根：（1）100；（2）64；（3）；（4）1.21．6．（2021秋•德江县期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是4a﹣1和4﹣a，求a和x 的值．7．（2021春•利辛县月考）一个正数x的两个平方根是3a﹣2与4﹣a，则x是多少？三．算术平方根（共3小题）8．（2022春•工业园区校级月考）求下列各数的算术平方根．（1）169；（2）；（3）0.09；（4）（﹣3）2．9．（2022春•汉阴县月考）已知a﹣3是16的算术平方根，求a的值．10．（2022春•青羊区校级月考）求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．四．非负数的性质：算术平方根（共3小题）11．（2022春•涧西区期中）已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|+＝0．（1）求实数a，b，c的值；（2）求的平方根．12．（2022春•越秀区期中）已知：|a﹣﹣2|+＝0，求a2﹣2ab+b2的值．13．（2022春•岷县月考）已知与互为相反数，求（xy）2019的值．【过关检测】一．选择题（共5小题）1．（2022•岳麓区校级开学）下列实数是无理数的是（）A．﹣1B．0C．D．2．（2022春•光泽县月考）下列各数：1.414，π，﹣，0，其中是无理数的为（）A．1.414B．πC．﹣D．0 3．（2022春•海淀区校级期中）下列各数中，一定没有平方根的是（）A．﹣a B．﹣a2+1C．﹣a2D．﹣a2﹣1 4．（2022春•朝阳区校级期中）实数4的算术平方根是（）A．16B．2C．2D．5．（2022春•夏邑县期中）（﹣9）2的算术平方根是（）A．9B．3C．﹣9D．±9二．填空题（共10小题）6．（2022•门头沟区二模）如果|x+2|+＝0，那么xy的值为．7．（2022春•江城区期中）若一个正数的两个平方根分别是2﹣x和2x﹣9，则x的值是．8．（2022春•昭阳区校级月考）4的平方根是，（﹣5）2的平方根是．9．（2022春•海淀区校级期中）若实数a，满足+|b﹣1|＝0，那么a+b的值是．10．（2022春•青山区校级月考）若关于m的代数式m﹣2和2m﹣1是某个正数的平方根，则这个正数是．11．（2022•兰溪市模拟）当a＝3时，代数式的值为．12．（2022春•河东区期中）的平方根是．13．（2022春•朝阳区校级期中）若x2＝81，那么x＝．14．（2022春•黄石期中）的值是．15．（2022春•杨浦区校级期中）已知＝2.493，＝7.882，则﹣＝，6.213×104的平方根是．三．解答题（共5小题）16．（2022•成武县开学）求下列各数的平方根：（1）121；（2）；（3）（﹣13）2；（4）﹣（﹣4）3．17．（2021秋•新城区校级期中）求下列式子中的x：（1）25（x﹣）2＝49；（2）（x+1）2＝32．18．（2022春•瑶海区期中）已知（x﹣2）2+＝0，求（x+y）2022的值．19．（2021春•新罗区期中）已知10﹣3a的平方根是±1，a﹣b+2的算术平方根是2，求3a+b 的值．20．（2022春•枞阳县校级月考）若m，n满足等式（m﹣2）2+＝0．（1）求m，n的值；（2）求4m﹣3n的平方根．。
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第一讲 无理数与平方根
一、【基础知识精讲】
1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数。
2. 平方根: 如果x 2＝a （a≥0），那么x 叫做a 的平方根.
3. 平方根的表示方法: ① 当a>0时，a 的平方根记为±a ；。
② 当a ＝0时，a 的平方根是a ，即0＝0；
③ 当a<0时，a 没有平方根.
4. 平方根的性质: ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
②0有一个平方根，它就是0本身；
③负数没有平方根.
5. 算术平方根: ①正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ，
②0的算术平方根是0.
6. 算术平方根的性质: 非负数的算术平方根是非负数，即当a ≥0时，a ≥0.
7. 开平方: ①求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫被开方数。
②开平方是一种运算方法，与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种
运算。
③平方与开平方互为逆运算.
8. (1) (a )2＝a ，(a≥0) (2)
.........(0)0.........(0)......(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩
二、【例题精讲】
例1：判断下列说法是否正确：
① ±6的平方根是36；( )
② 1的平方根是1；( )
③ －9的平方根是±3；( )
④ 19361±=； ( )
⑤ 9是2)9(-的算术平方根；( )
⑥ |－16|的平方根是±4；( )
例2：求下列各数的平方根和算术平方根：
（1）169； （2）2
2514； （3）10－2；
例3：填空题
(1)
121
4的平方根是_________； (2) (－41)2的算术平方根是_________；
(3) 9-2的平方根是_________； (4) 若｜x －4｜+y x 2=0, 那么x=__, y=__.
例4：求下列各式中的x:
（1）92x ＝34； （2）（3x －1）2＝25
三、【同步练习】 基础训练
1．填空题
（1）0.16的平方根是__________，0.16的平方是_________.
(2）若17是m 的一个平方根，则m 的另一个平方根是_____.
（3）9的平方根是_____，81的算术平方根是_____.
2．求下列各式中的x:
（1）49（x 2＋1）＝50； （2）（3x －1）2＝（－5）2．
3．求下列各式的值：
（1）225)12(+-； （2）2)7(-；
能力提高
一.填空题
1. 若22(5),5a b =-=-，则a b +的所有可能值为 ________.
2. 10b +=，则______________.a b +=
3. 下列说法：
（1）任何数都有算术平方根；
（2）一个数的算术平方根一定是正数；
（3）2a 的算术平方根是a ，
（4）2(4)π-的算术平方根是4π-， （5）算术平方根不可能是负数，
正确的个数有____________个。
4.设x 是16的算术平方根，2(2)y =-，
则x 与y 的关系是 _________________. 二．解答题
1．已知29160y -=，且y 是负数，求3y+5的算术平方根。
2.若实数a 、b 、c 满足23(5)0a b -+++，求代数式a b c
+的值。
当 堂 检 测
1、在实数 -2，0...31，3π，17
，0.80108中，无理数的个数为（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
2、下列语句不正确的是（ ）
A 、0的平方根是零
B 、非负数的平方根互为相反数
C 、-22 的平方根是±2
D 、一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
3 ）
A 、±9
B 、±3
C 、9
D 、3
4、下列计算正确的是（ ）
A =±5
B 3=-
C 、± 6 D
5、0=，则a+b-5= .
6、20x y -=，那么x+y 的值为 。
7、一个自然数的算术平方根是a 则下一个自然数的算术平方根是（ ）
A B 1 C 、21a + D 、1a +
8=m 为任意一个数，则m 等于（ ）
A 、1
B 、-5
C 、5
D 、1或-5
9、当-1<x<2
10、n =，求m+n 的值。