备考高考数学模拟题

俯视图侧视图正视图334高考数学模拟题（6）一、选择题： 1．设集合33{|0},{|||},""""122x P x Q x x m P m Q x =≤=-≤∈∈-那么是的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.公差不为0的等差数列{}n a 中,2200520072009330a a a -+=,数列{}n b 是等比数列，且20072007b a =,则20062008b b =（ ）A ．4B ．8C ．16D ．363. 若纯虚数z 满足2(2i)4(1i)z b -=-+（其中i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ）A ．2-B ．2C ．-4D ．44．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A. 123B. 363C. 273 D. 65．已知直线0=++C By Ax （其中0,222≠=+C C B A ）与圆422=+y x 交于N M ,，O 是坐标原点，则OM ·ON =（ ） A ．- 1 B ．- 1 C ． - 2 D ．2 6．设0(sin cos )a x x dx π=+⎰，则二项式61()a x x-，展开式中含2x 项的系数是（ ） A. 192- B. 192 C. -6 D. 6 7．已知对数函数()log a f x x =是增函数,则函数(||1)f x +的图象大致是（ ）8．关于x 的方程2(1)10(0,)x a x a b a a b +++++=≠∈R 、的两实根为12,x x ，若12012x x <<<<，则b a的取值范围是（ ） A ．4(2,)5-- B ．34(,)25--C ．52(,)43--D ．51(,)42--二、填空题：9. 右图是2008年北京奥运会上，七位评委为某奥运项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为 ；方差为 . 10.已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4()3f 的值为_______．11. 在如下程序框图中，已知：0()x f x xe =，则输出的是_________ _.A B C D否是开始 输入f 0 (x ) 0=i )()(1'x f x f i i -= 结束1+=i i i =2009输出 f i (x )12. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且120PF PF ⋅=，123tan 3PF F ∠=，则该椭圆的离心率为 ． 13. 已知3(,0),sin ,25παα∈-=-，则cos()πα-＝______________。

14. 在极坐标系中，从极点O 作直线与另一直线:cos 4l ρθ=相交于点M ，在OM 上取一点P ，使12OM OP ⋅=.设R 为l 上任意一点，则RP 的最小值 ． 15.如图，⊙O 1与⊙O 2交于M 、N 两点，直线AE 与这两个圆及MN 依次交于A、B 、C 、D 、E ．且AD ＝19，BE ＝16，BC ＝4，则AE ＝ ． 三、解答题：16.已知在ABC V 中，A B C ∠∠∠﹑﹑所对的边分别为a ﹑b﹑c ，若cos cos A bB a= 且sin cos C A =(Ⅰ)求角A 、B 、C 的大小；(Ⅱ)设函数()()sin cos 222C f x x x A ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，求函数()f x 的单调递增．．区间，并指出它相邻两对称轴间的距离.17. 在2008年北京奥运会某项目的选拔比赛中, A 、B 两个代表队进行对抗赛, 每队三名队员, A 队队员是123,A A A 、、B 队队员是123,B B B 、、按以往多次比赛的统计, 对阵队员之间胜负概率如下表, 现按表中对阵方式出场进行三场比赛, 每场胜队得1分, 负队得0分, 设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ、η, 且3ξη+=.（Ⅰ）求A 队得分为1分的概率；（Ⅱ）求ξ的分布列;并用统计学的知识说明哪个队实力较强.对阵队员 A 队队员胜 A 队队员负 1A 对1B 23 132A 对2B 2535 3A 对3B 37 3518. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左右顶点分别为A C 、，上顶点为B ，过C B F ,,三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为()n m ,.(Ⅰ)当0m n +≤时，椭圆的离心率的取值范围. (Ⅱ)直线AB 能否和圆P 相切？证明你的结论.19. 在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2（如图1）.将△AEF 沿EF 折起到EF A 1∆的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2）（Ⅰ）求证：A 1E ⊥平面BEP ；（Ⅱ）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小； （III ）求二面角B －A 1P －F 的余弦值.20. 已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{}()n f a 是首项为4， 公差为2的等差数列.(Ⅰ)求证：数列{}n a 是等比数列； (Ⅱ) 若()n n n b a f a =⋅，当2k =时，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（III ）若lg n n n c a a =，问是否存在实数k ，使得{}n c 中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．21. 已知函数F (x )=|2x －t |－x 3+x +1（x ∈R ，t 为常数，t ∈R ）.(Ⅰ)写出此函数F (x )在R 上的单调区间；(Ⅱ)若方程F (x )－k =0恰有两解，求实数k 的值．【答案及详细解析】一、选择题：本大题理科共8小题，每小题5分，共40分. 文科共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.【解析】A.0(1)0(1)011x x x x x x ≤⇔-≤≠⇔≤<-;33333||0322222x x x -≤⇔-≤-≤⇔≤≤, P Q ⊂.选A.【链接高考】本题主要考查集合的有关知识,解不等式,以及充要条件等知识.集合是学习其它知识的基础，在高考中时有出现，通常与函数、不等式的知识综合考查，难度不大，基本是送分题.2.【解析】D.解: 2200520072009330a a a -+=,即22007200760a a -=,20072007(6)0a a -=,由200720070a b =≠知,200720076b a ==.20072220062008636b b b ===.【链接高考】 本题主要考查了等差数列和等比数列的基本性质. 纵观近几年的高考，基本上是考查两个基本数列的通项公式和前n 项和公式的简单运用.这种趋势近几年还会保持. 两类基本数列问题,是高考的热点. 3．【解析】C ．设(0)z ai a =≠,则有(2i)42i ai b -⋅=-,即242i a ai b +=-,即4,22a a b ==-,解得4b =-.【链接高考】有关复数的考查，最近五年只是一道选择题，主要考查复数的基本概念和复数的简单运算.4．【解析】B .棱柱的高是4，底面正三角形的高是33，设底面边长为a ，则3332a =， 6a ∴=，故三棱柱体积2136436322V =⋅⋅⋅=. 【链接高考】三视图是高考的新增考点,不时出现在高考试题中,应予以重视． 5．【解析】C .圆心O 到直线0=++C By Ax 的距离221C d A B ==+，所以23AOB π∠=,，所以OM ·ON =（·cos OA OB 222cos23AOB π∠==-，故选C . 【链接高考】本题是考察平面几何、向量、解析几何有关知识，预测也是今年是高考考热点，要注意.6．【解析】A . 00(sin cos )(cos sin )2a x x dx x x ππ=+=-+=⎰，二项式61(2)x x-的通项公式为6631661(2)()(1)2r r rr r r r r T C x C x x---+=-=-，令32r -=，得1r =，故展开式中含2x 项的系数是11616(1)2192C --=-.【链接高考】本小题设计巧妙，综合考查定积分和二项式定理，是一道以小见大的中档题，不可小视. 7．【解析】B. log (1),0(||1)log (||1)log [(1)],0.a a ax x f x x x x +≥⎧+=+=⎨--<⎩由函数()log a f x x =是增函数知, 1a >.故选B.【链接高考】本小题主要考查了对数函数的图象与性质，以及分析问题和解决问题的能力.这类试题经常出现,要高度重视.8．【解析】D.设2()(1)1f x x a x a b =+++++，则方程()0f x =的两实根12,x x 满足12012x x <<<<的充要条件是(0)10(1)230(2)370f a b f a b f a b =++>⎧⎪=++<⎨⎪=++>⎩，作出点(,)a b 满足的可行域为ΔABC 的内部，其中点(2,1)A -、(3,2)B -、(4,5)C -，b a 的几何意义是ΔABC 内部任一点(,)a b 与原点O 连线的斜率，而12OA k =-，23OB k =-，54OCk =-作图，易知51(,)42b a ∈--.【链接高考】本小题是一道以二次方程的根的分布为载体的线性规划问题，考查化归转化和数形结合的思想，能力要求较高.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9—12题）9.【解析】85；85. 由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据84，84，86，84，87的平均数为8484868487855++++=；方差为2222218[(8485)(8485)(8685)(8485)(8785)]55-+-+-+-+-=. 【链接高考】茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识，也是高考的新增内容，考生应引起足够的重视，确保稳拿这部分的分数. 10.【解析】32.当0x >时, ()(1)1f x f x =-+,故441()(1)1()1333f f f =-+=+ 1(1)113f =-++2()23f =-+213cos()22322π=-+=-+=.【链接高考】本题主要考查分段函数,函数的周期性,三角函数的求值等.有关函数方程问题时常出现在高考试题中,考生应该进行专题研究.11. 由1212009()()',()'()2,()2009x x x x x x x f x xe e xe f x f x e xe f x e xe ==+==+=+.【链接高考】读懂流程图是高考对这部分内容的最基本的要求，也是最高考常见的题型.本题是把导数的运算与流程图结合在一起的综合题. 12.【解析】31-.由120PF PF ⋅=知,12PF PF ⊥.由123tan 3PF F ∠=知, 1230PF F ∠=.则122||||||(s30sin30)(31)2PF PF FF co c a +=+=+=,即23131c e a ===-+. 【链接高考】本题是有关椭圆的焦点三角形问题,却披上了平面向量的外衣,实质是解三角形知识的运用.（二）选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13.（坐标系与参数方程选做题）【解析】1.设(),P ρθ，4cos OM θ=，3cos ρθ=.故P 在圆: 2223x y +=上,而R 为直线l : 4x =.由图象知,min 1RP =.【链接高考】本小题主要考查直线与圆的极坐标方程的有关知识,以及转化与化归的思想方法.解决本题的关键是将它们转化为直角坐标系下的直线与圆的位置关系问题来处理.14. （不等式选讲选做题）【解析】(,1]-∞.因为1(1)1x x x x +-≥--=，所以若不等 式1x x a +-<的解集为∅，则a 的取值范围是1a ≤.【链接高考】本小题主要考查含绝对值三角不等式的性质，这类问题是高考选做题中的常规题，解题方法要熟练掌握.15. （几何证明选讲选做题）【解析】28．因为A ，M ，D ，N 四点共圆，所以AC CD MC CN ⋅=⋅．同理，有BC CE MC CN ⋅=⋅．所以AC CD BC CE ⋅=⋅，即()()A B B C C D B C C D C E +⋅=⋅+，所以 AB ·CD ＝BC ·DE ．设CD ＝x,则AB ＝AD- BC-CD ＝19-4-x=15-x, DE ＝BE- BC-CD ＝16-4-x=12-x,则(15)4(12)x x x -=-，即219480x x -+=，解得3x =或16x =（舍）.AE ＝AB+ DE- BD ＝19+16-7=28.【链接高考】本小题主要考查两圆的位置关系,以及相交弦定理的有关知识,分析问题和解决问题的能力,以及转化与化归的思想方法.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.【解析】(Ⅰ)由题设及正弦定理知:cos sin cos sin A BB A=,得sin 2sin 2A B = ∴22A B =或22A B π+= ,即A B =或2A B π+=当A B =时,有sin(2)cos A A π-=, 即1sin 2A =,得6A B π==,23C π=; 当2A B π+=时,有sin()cos 2A ππ-=,即cos 1A = 不符题设∴6A B π==,23C π=…………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)及题设知:()sin(2)cos(2)2sin(2)636f x x x x πππ=++-=+ 当2[2,2]()622x k k k Z πππππ+∈-+∈时, ()2sin(2)6f x x π=+为增函数即()2sin(2)6f x x π=+的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈. ………11分它的相邻两对称轴间的距离为2π. ………12分 【链接高考】 解决本题的关键是,利用正弦定理把三角形边角问题转化为三角函数问题是解题的关键，三角形与三角函数、向量与三角函数高考考察的热点.17.【解析】（Ⅰ）设A 队得分为1分的事件为0A ,∴023*********()357357357105P A =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. ………… 4分 （Ⅱ）ξ的可能取值为3 , 2 , 1 , 0 ;022312(3)()357105P P A ξ===⨯⨯=,22412323340(2)357357357105P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=23412413341(1)357357357105P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,13412(0)357105P ξ==⨯⨯=,∴ξ的分布列为:………… 10分 于是 124140121570123105105105105105E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=, ……………… 11分 ξ 0 1 2 3 P 12105 41105 40105 12105∵ 3ξη+=,∴ 1583105E E ηξ=-+=. ……………………… 12分 由于E E ηξ>, 故B 队比A 队实力较强. ……………………… 13分【链接高考】本题主要考查的是随机变量的分布列和数学期望问题.这是概率与统计大题考查的主阵地,预计还有可能与函数、导数、方程、数列以及不等式等知识综合考查.18. 【解析】(Ⅰ)由题意BC FC ,的中垂线方程分别为,222a c b a a x y x b -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 于是圆心坐标为2,22a c b ac b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………………………………4分n m +=2022a c b acb--+≤，即 20ab bc b ac -+-≤, 即()()0a b b c +-≤,所以b c ≤，于是22b c ≤＞2c 即222a c ≤，所以212e ≥,即 0＜e ＜212e ≤<. ………………7分 （Ⅱ）假设相切， 则1-=∙PB AB k k ， ………………………………………9分2222,,1()()02PB AB PB AB b ac b b ac b b ac b k k k k a c b c a a a c a --++===∴==-----，……11分2222,2,0,2a c ac a ac c ac c c a ∴-+=-=>∴=即这与0c a <<矛盾.故直线AB 不能与圆P 相切. ………………………………………………13分【链接高考】 本题主要考查直线与圆、椭圆的位置关系以及分析问题与解决问题的能力.圆锥曲线与圆的综合题经常出现在高考试题中，要引起足够的重视.19. 【解析】不妨设正三角形ABC 的边长为 3 .（解法一）(I)在图1中，取BE 的中点D ，连结DF ．∵AE :EB=CF :FA=1:2，∴AF=AD=2，而∠A=600,∴△ADF 是正三角形， 又AE=DE=1，∴EF ⊥AD ．…………2分在图2中，A 1E ⊥EF ，BE ⊥EF ，∴∠A 1EB 为二面角A 1-EF-B 的平面角． 由题设条件知此二面角为直二面角，∴A 1E ⊥BE ．又BE∩EF=E ，∴A 1E ⊥平面BEF ，即A 1E ⊥平面BEP ．……….4分 (II)在图2中，∵A 1E 不垂直于A 1B ，∴A 1E 是平面A 1BP 的斜线． 又A 1E ⊥平面BEP, ∴A 1E ⊥BP,从而BP 垂直于A 1E 在平面A1BP 内的射影（三垂线定理的逆定理）． 设A 1E 在平面A 1BP 内的射影为A 1Q ，且A 1Q 交BP 于点Q ，则 ∠EA 1Q 就是A 1E 与平面A 1BP 所成的角，…………………6分 且BP ⊥A 1Q ．在△EBP 中，∵BE=BP=2，∠EBP=600， ∴△EBP 是等边三角形，∴BE=EP ．又A 1E ⊥平面BEP ，∴A 1B=A 1P ，∴Q 为BP 的中点，且EQ=3， 又A 1E=1,在Rt △A 1EQ ,tan ∠EA 1Q=31=EA EQ,∴∠EA 1Q=600． 所以直线A 1E 与平面A 1BP 所成的角为600．…………………8分 (III)在图3中，过F 作FM ⊥A 1P 于M ，连结QM ，QF ． ∵CF=CP=1, ∠C=600. ∴△FCP 是正三角形，∴PF=1． 又PQ=21BP=1，∴PF=PQ ． ① ∵A 1E ⊥平面BEP ，EQ=EF=3， ∴A 1F=A 1Q ，∴△A 1FP ≌△A 1QP, 从而∠A 1PF=∠A 1PQ. ② 由①②及MP 为公共边知,△FMP ≌△QMP ， ∴∠QMP=∠FMP=900，且MF=MQ ，从而∠FMQ 为二面角B-A 1P-F 的平面角.……………10分 在Rt △A 1QP 中，A 1Q=A 1F=2，PQ=1，∴A 1P=5. ∵MQ ⊥A 1P, ∴MQ=55211=⋅P A PQ Q A ,∴MF=552. 在△FCQ 中，FC=1，QC=2，∠C=600，由余弦定理得QF=3.在△FMQ 中，cos ∠FMQ=872222-=⋅-+MQ MF QF MQ MF . 所以二面角B-A 1P-F 的余弦值是78-．.……………..13分 （解法二）(I)同解法一．(II)建立分别以ED 、EF 、EA 为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，则E(0,0,0),A(0,0,1), B(2,0,0),F(0,3,0), P (1, 3,0),则(0,0,1)AE =-,(2,0,1),(1,3,0)AB BP =-=-．设平面ABP 的法向量为1111(,,)n x y z =， 由1n ⊥平面ABP 知，11,n AB n BP ⊥⊥，即111120,30.x z x y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令13x =，得111,23y z ==，1(3,1,23)n =． 112222221301023(1)3cos ,2||||(3)1(23)00(1)AE n AE n AE n ⋅⨯+⨯+⨯-<>===-⋅++⋅++-,1,120AE n <>=,所以直线A 1E 与平面A 1BP 所成的角为600．(II) (0,3,1),(1,0,0)AF PF =-=-，设平面AFP 的法向量为2222(,,)n x y z =． 由2n ⊥平面AFP 知，22,n AF n PF ⊥⊥，即22220,30.x y z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩令21y =，得220,3x z ==，2(0,1,3)n =． 12112222221230112337cos ,8||||(3)1(23)01(3)n n n n n n ⋅⨯+⨯+⨯<>===⋅++⋅++,所以二面角B-A 1P-F 的余弦值是78-．.……………..13分 【链接高考】本题主要考查四棱锥的有关知识,直线与平面垂直,直线于平面所成的角,二面角的问题,以及分析问题与解决问题的能力.简单几何体是立体几何解答题的主要载体,特别是棱柱和棱锥. 20.【解析】(Ⅰ) 证：由题意()4(1)222n f a n n =+-⨯=+，即log 22k n a n =+， ……1分 ∴22n n a k+=∴2(1)22122n n n n a k k a k++++==. ……2分∵常数0k >且1k ≠，∴2k 为非零常数，∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列. ……3分 (II) 解：由(1)知，22()(22)n n n n b a f a kn +==⋅+，当2k =时，12(22)2(1)2n n n b n n ++=+⋅=+⋅. …………4分∴25432)1(242322+⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n S ， ①2n S = 452322322(1)2n n n n ++⋅+⋅++⋅++⋅. ② ……5分②－①，得3452322222(1)2n n n S n ++=-⋅----++⋅3345232(2222)(1)2n n n ++=--++++++⋅∴3332(12)2(1)212n n n S n +-=--++⋅- 32n n +=⋅ . ……8分 (III) 解：由(1)知，22lg (22)lg n n n n c a a n kk +==+⋅，要使1n n c c +<对一切*n ∈N 成立， 即2(1)lg (2)lg n k n k k +<+⋅⋅对一切*n ∈N 成立. ……9分① 当1k >时，lg 0k >，21(2)n n k +<+对一切*n ∈N 恒成立；……10分② 当01k <<时，lg 0k <，21(2)n n k +>+对一切*n ∈N 恒成立，只需2min12n k n +⎛⎫<⎪+⎝⎭，……11分∵11122n n n +=-++单调递增，∴当1n =时，min 1223n n +⎛⎫= ⎪+⎝⎭. ……12分 ∴223k <，且01k <<， ∴603k <<. ……13分综上所述，存在实数6(0,)(1,)3k ∈+∞满足条件. ……14分 【链接高考】本题综合考查数列的基本知识、方法和运算能力，以及分类讨论和化归、转化的思想方法. 错位相减法是数列求和的一种重要方法，备考复习中要引起重视.21.【解析】(Ⅰ)⎪⎩⎪⎨⎧<++--≥-++-=++--=212,131|2|)(333tx t x x t x t x x x x t x x F∴ ⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-=2,132,33)('22tx x t x x x F .……………..4分 由－3x 2+3=0 得x 1=－1，x 2=1，而－3x 2－1<0恒成立，∴ i) 当2t<－1时，F (x )在区间(－∞，－1)上是减函数，在区间(－1，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数．ii) 当1>2t ≥－1时，F (x )在区间(－∞，2t)上是减函数，在区间(2t，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数．iii) 当2t≥1时，F (x )在(－∞，+∞)上是减函数． .……………..8分(II)由1）可知i) 当2t<－1时，F(x)在x=－1处取得极小值－1－t ，在x =1处取得极大值3－t ，若方程F (x )－m =0恰有两解， 此时m =－1－t 或m =3－t ．ii) 当－1≤2t <1，F (x )在x =2t 处取值为1283++-tt ，在x =1处取得极大值3－t ，若方程F (x )－m =0恰有两解，此时m =1283++-tt 或m =3－t ．iii) 当2t≥1时，不存在这样的实数m ，使得F (x )－m =0恰有两解． (14)【链接高考】本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题，需要对参数进行分类讨论. 在新高考中每年有一道导数综合题,同学们应高度重视.。