工程力学(材料力学)9 应力状态和强度理论

截面-----斜截面
2.一点的应力状态的确定方法
一点的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体） 上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。
3.主平面、主应力
y
z z
y
主平面：切应力为零的截面。
x
主应力单元体：三对相互垂直的主平面
组成的单元体。
主应力：主平面上的正应力。
x
2
主应力排列规定：按代数值大小顺序排列。
应力状态和强度理论
• 应力状态的概念; • 平面应力状态下的应力分析; • 空间应力状态简介; • 材料的破坏形式; • 强度理论的概念;
教学目的和要求
• 构件的应力应变状态及材料破坏的强度理论。 • 掌握一点应力状态的概念， • 平面应力状态下单元体任意斜截面上的应力及单
元体主应力、主方向、最大切应力。 • 任意状态下通过广义胡克定律建立应力应变关系。 • 了解材料破坏的方式，掌握四种强度理论。
1
2
(σ1
σ2)2
(σ2
σ3)2
(σ3
σ1)2
σs
考虑安全因数后，第四强度理论的强度条件为
1
2
(1
2 )2
( 2
3)2
( 3
1)2
[ ]
3.强度理论的选用
具体可以归结为如下四点：
（1）脆性材料，最小主应力大于等于零时，使用第一理论；当 最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。 （2）塑性材料，当最小主应力大于等于零时，使用第一理论； 其他应力状态时，使用第三或第四理论。 （3）简单变形时，用与其对应的强度准则。如扭转等要求
变比能Ud达到材料在单向拉伸屈服时的形状改变比能极 限值Udu，发生塑性屈服破坏。 材料屈服破坏的条件为
Ud Udjx
三向应力状态下的形状改变比能为
Ud
1
6E
[(1
2 )2
( 2
3)2
( 3
1)2 ]
而材料单向拉伸屈服时的形状改变比能极限值为 ：
Udu
1
3E
2 s
则材料屈服破坏的条件可改写为
• 4. 试件的应力达到屈服点后发生明显塑性变形，使其失去 正常的工作能力的破坏称为塑性屈服。受拉伸或扭转时在 未产生明显的塑性变形情况下就突然断裂的破坏称为脆性 断裂。
本章小结
• 5.四种常用的强度理论
（1）有关脆性断裂的强度理论
①最大拉应力理论（第一强度理论）
②最大伸长线应变理论（第二强度理论）
（2）有关塑性屈服的强度理论
①最大切应力理论（第三强度理论）
②形状改变比能理论（第四强度理论）
上述介绍的四种强度理论可写成统一形式
ri [ ]
(i 1,2,3,4)
r1 1
r2 1 ( 2 3) r3 1 3
r4
1 2
[(
1
2
)2
( 2
3 )2
(
3
1)2
]
1
1 2 3
3
主应力排列规定：
1 2 3
30MPa、0MPa、-50MPa，
1 30MPa
2 0 3 50MPa
1 2 3
4.应力状态的分类
x
x
A
（1）单向应力状态，仅一个主应力不为零的应力状态。
（2）二向应力状态，仅一个主应力为零的应力状态。
（3）三向应力状态，三个主应力都不为零的应力状态。
力及另一主应变。
解 自由面上 2 0，所以该点处为平面应力状态，线应变为
1
1 E
1
3
3
3
1 E
3
1
1
故有 1 44.3MPa； 2 0； 3 20.3MP；
2
E
3
1
34.3 10 6
第五节 强度理论的概念
1.强度理论的概念 复杂应力状态下的强度，试验测定不现实。 长期的实践和试验结果，材料强度破坏的规律，材料失效 的原因假说，称为强度理论。
教学重点
• 一点的应力状态； • 任意斜截面上的应力及应力极值； • 广义胡克定律； • 强度理论及其选用。
教学难点
• 任意斜截面上的应力及应力极值； • 空间应力状态及广义胡克定律； • 强度理论的选用。
第一节 应力状态的概念
1.一点的应力状态
一点的应力状态是指通过一点不同方位截面上的应力情 况，所有方位截面上应力的集合。 不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。
单向拉伸断裂时的最大拉应变为
jx
jx
E
材料断裂破坏的条件可改写为
1 (2 3) jx
第二强度理论的强度条件为
1 (2 3) [ ]
脆性材料双向受拉或受压的情况，理论与试验结果却完 全不符。
2）塑性屈服的强度理论
分为最大切应力理论和形状改变比能理论（畸变能密度理论）。
（1）最大切应力理论（第三强度理论）。
[ ] t max t
本章小结
• 1.从受力杆件中围绕一点取出一个边长为无限小的正六面 体，所截取出来的单元体中剪应力为零的平面称为主平面。 主平面上的正应力称为主应力。正应力以拉应力为正，压 应力为负；切应力以绕单元体顺时针转动为正，逆时针为 负。
• 2.多数构件受力时的危险点均处于二向应力状态。在进行 强度计算时，通常需要确定在危险点处的主应力。
40M Pa
20 63.40,0 31.70
20M Pa
1
得到单元体的主平面及主应力情况如右图所示。
3.广义胡克定律
（1）轴向拉压胡克定律
x E x
横向变形
y
x
x
E
（2）纯剪切胡克定律
t G
y
x x
t
广义胡克定律的一般形式
x
1 E
[
x
( y
z )]
y
1 E
[
y
( z
x )]
解 由 x 60MPa, y 40MPa,t xy 20MPa
60M Pa
y 40M Pa
max min
60
2
40
(60 40)2 2
202
72.4 27.6
故 1 72.4MPa 2 27.6MPa
tan 20
2 20 60 40
2
y
x
60M Pa 2
20M Pa 31.70
2.几种常用的强度理论
1）脆性断裂的强度理论 分为最大拉应力理论和最大伸长线应变理论。
（1）最大拉应力理论（第一强度理论）。
最大拉应力是材料断裂的主要因素。 材料最大拉应力σ1达到材料在轴向拉伸试验脆性断裂时 的强度极限σjx，发生断裂破坏。 材料断裂破坏的条件为
1 jx
相应的强度条件为 σ1 [σ]
z
1 E
[
z
( x
y )]
三向应力2 状态的广义胡克定律－叠加 2法
3
1
1
1
E
1
1 E
1
2
3
2
1 E
2
3
1
3
1 E
3
1
2
1
2
E
3
3
E
例14-3 如图所示，已知一受力构件自由表面上某一点处在
表面内的主应变分别为
1 240 106 3 160106
弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应
规定： 截面外法线同向为正； t 绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。
列平衡方程
Fn 0
dA t xy (dAcos ) sin x
x (dAcos ) cos
y
y
ttxy
n
t yx (dAsin ) cos
Ox
t
y (dAsin ) sin 0
Ft 0
t dA t xy (dAcos ) cos x (dAcos ) sin
（1）任意斜截面上的应力为
x
y
2
x
y
2
cos 2
t xy sin 2
t
x
y
2
sin 2
t xy
cos 2
本章小结
（2）极值应力为 极值正应力
max min
x
y
2
(
x
2
y
)2
t
2 xy
极值切应力
t t
max min
(
x
2
y
)2
t
2 xy
本章小结
• 3.在受力构件的空间应力状态的单元体上可以找到三对互 相垂直的平面，在这些平面上而只有正应力，没有切应力。 按这样用三对平面截取的单元成为空间应力状态的主单元 体，相应的三个正应力成为主应力。
[]为对应于脆性断裂的许用拉应力，[]＝jx/n，式中n
为安全因数。
（2）最大伸长线应变理论（第二强度理论）。
材料最大拉应变ε1达到材料在轴向拉伸试验中脆性断裂 时的极限拉应变值εjx，发生断裂破坏。 材料断裂破坏的条件为
1 jx
复杂应力状态下的最大拉应变为
ε1
1 E
[σ1
ν(σ 2
σ3 ห้องสมุดไป่ตู้]
2.极值应力
令d
d
0
x y
sin 20 2t xy cos 20
0
由此的两个驻点
01、（
01
2
）和两各极值
mm´´ainx
x
y
2
±（x
y
2
）2
t2 xy
t 0 0 极值正应力即是主应力
1 m ax ; 2 m in