2014年全国数学中考压轴题(2)

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2014年全国数学中考选择题压轴题(02)

2014年全国数学中考选择题压轴题（02）．．．．．．．．．，．．的圆形纸片剪去一个圆周的扇形，用剩下的扇形围成A．．．．．． D．．．．．，．．．．．．．．．．．．．．．．．cm ．．A．．2014年全国数学中考选择题压轴题（02）参考答案与试题解析一、选择题（共30小题）6152．（2014•鄂州一模）如图，AB为圆O的弦，点C在圆上，点D在AB上，且CA=CD，过点C作圆O的切线交BA的延长线于P，已知PA=2，BD=8，则AC为（）∴∴3．（2014•白云区三模）如图，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是（）．C D．4．（2014•碑林区一模）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）．C D．5．（2014•句容市一模）已知⊙O的半径为2，AB是它的一条弦，以0A，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点P在⊙O上，则弦长AB为（）．C．，AB=2AC=26．（2014•洪山区一模）如图所示，已知：点A（0，0），，C（0，1）．在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于（）．C D．的边长为同理解得边长依次为，个等边三角形的边长等于．8．（2014•南阳二模）在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，现在以AC为轴旋转一周得到一个圆锥．则该圆锥的9．（2014•广东一模）如图，△ABC是面积为18cm2的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（）∴（，），10．（2014•慈溪市模拟）如图，如果将半径为9cm的圆形纸片剪去一个圆周的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为（）C D 的圆形纸片剪去一个=．CD ．12．（2014•新泰市一模）如图，圆锥的轴截面△ABC 是一个以圆锥的底面直径为底边，圆锥的母线为腰的等腰三角形，若圆锥的底面直径BC=4cm ，母线AB=6cm ，则由点B 出发，经过圆锥的侧面到达母线AC 的最短路程是（）．cmcmD•，AD=AB=BD=AD=3313．（2013•泰安）观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…234201314．（2014•博山区模拟）如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）C D=．故选15．（2014•泰安模拟）如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（）16．（2014•汉沽区一模）下图中几何体的左视图是（）．C D．BD NP=MQ=ACMN=BDPQ=BDAC18．（2014•东昌府区模拟）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线与⊙O交于点C，若⊙O的半径为3，PA=4．弦AC的长为（）C D．，AB=19．（2014•沙湾区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=1．现将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形A′B′CD′，则AD边扫过的面积（阴影部分）为（）．ππCπD．π='=π'=20．（2014•桓台县模拟）如图，▱ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为（））DE=AD=21．（2014•安徽模拟）如图，把正△ABC的外接圆对折，使点A与劣弧BC的中点M重合，折痕分别交AB、AC 于D、E，若BC=5，则线段DE的长为（）．C D．BC=5=OB==OA=OB=×，×．22．（2014•高青县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CM切⊙O于点C，∠BCM=60°，则∠B 的正切值是（）．C D．ABC=23．（2014•昆都仑区一模）如图a，ABCD是一矩形纸片，AB=6cm，AD=8cm，E是AD上一点，且AE=6cm．操作：（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c．则△GFC的面积是（）CG24．（2014•武侯区一模）剪纸是中国的民间艺术．剪纸方法很多，如图是一种剪纸方法的图示（先将纸折叠，然后再剪，展开后即得到图案）：．C D．25．（2014•丰南区二模）如图，等腰直角△ABC的直角边长为3，P为斜边BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=45°，则CD的长为（）．C D．BC=3PC=3﹣CD=26．（2014•蓟县模拟）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）D．cm cm Ccm=120=60×，a=227．（2014•石家庄一模）如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是（）28．（2014•江阴市二模）如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了（）．cm29．（2014•宁波一模）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形ABCD，使AD落在BD 上，点A恰好与BD上的点F重合，展平后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接GF，下列结论：①AE=AG；②tan∠AGE=2；③S△DOG=S四边形EFOG；④四边形ABFG为等腰梯形；⑤BE=2OG，则其中正确的结论个数为（）BE=FDE=∠BE=x（AEG==+1+1）x∵（=x30．（2014•江汉区二模）如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C 的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（）C DDE=∴，=，=。

2014年中考数学压轴题精选(二次函数)(16题)-附详细解答和评分标准.doc

1、（08广东茂名25题）（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－32x 2+b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5．（1）求b 、c 的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）解：（08广东茂名25题解析）解：（1）解法一： ∵抛物线y =－32x 2+b x +c 经过点A （0，－4）， ∴c =－4 ……1分又由题意可知，x 1、x 2是方程－32x 2+b x +c =0的两个根， ∴x 1+x 2=23b ， x 1x 2=－23c =6 ·························································· 2分由已知得（x 2-x 1）2=25 又（x 2-x 1）2=（x 2+x 1）2－4x1x 2=49b 2－24 ∴49b 2－24=25 解得b =±314···························································································· 3分当b =314时，抛物线与x 轴的交点在x 轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b =－314． ··························································································· 4分解法二：∵x 1、x 2是方程－32x 2+b x +c=0的两个根，即方程2x 2－3b x +12=0的两个根．∴x =4969b 32-±b ， ································································· 2分（第25题图）x∴x 2－x 1=2969b 2-=5，解得 b =±314 ·················································································· 3分（以下与解法一相同．）（2）∵四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D 必在抛物线的对称轴上， ···················································································· 5分又∵y =－32x 2－314x －4=－32（x +27）2+625····························· 6分 ∴抛物线的顶点（－27，625）即为所求的点D ． ································· 7分（3）∵四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形，点B 的坐标为（－6，0），根据菱形的性质，点P 必是直线x =-3与抛物线y =－32x 2-314x -4的交点， ···················································· 8分∴当x =－3时，y =－32×（－3）2－314×（－3）－4=4，∴在抛物线上存在一点P （－3，4），使得四边形BPOH 为菱形． ··············· 9分四边形BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形BPOH 为正方形，点P 的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． ············································· 10分 2、（08广东肇庆25题）（本小题满分10分）已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线x x y 1252+=上. （1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）当a =1时，求△ABC 的面积；（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.（08广东肇庆25题解析）（本小题满分10分）解：（1）由5x x 122+=0， ··································································· （1分）得01=x ，5122-=x ． ······································································· （2分） ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（512-，0）． ································· （3分）（2）当a =1时，得A （1，17）、B （2，44）、C （3，81）， ·························· （4分）分别过点A 、B 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则有ABC S ∆=S ADFC 梯形 -ADEB S 梯形 -BEFC S 梯形 ············································· （5分）=22)8117(⨯+-21)4417(⨯+-21)8144(⨯+ ······························· （6分）=5（个单位面积） ······························································ （7分）（3）如：)(3123y y y -=． ······························································· （8分）事实上，)3(12)3(523a a y ⨯+⨯= =45a 2+36a ．3（12y y -）=3[5×（2a ）2+12×2a -（5a 2+12a ）] =45a 2+36a ． ··········· （9分） ∴)(3123y y y -=． ········································································ （10分） 3、（08辽宁沈阳26题）（本题14分）26．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =，矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（08辽宁沈阳26题解析）解：（1）点E 在y 轴上 ············································ 1分理由如下：连接AO ，如图所示，在Rt ABO △中，1AB =，BO =，2AO ∴=1sin 2AOB ∴∠=，30AOB ∴∠= 由题意可知：60AOE ∠=306090BOE AOB AOE ∴∠=∠+∠=+=点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上． ······························································· 3分（2）过点D 作DM x ⊥轴于点M1OD =，30DOM ∠=x第26题图∴在Rt DOM △中，12DM =，2OM =点D 在第一象限，∴点D 的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭， ············································································· 5分由（1）知2EO AO ==，点E 在y 轴的正半轴上∴点E 的坐标为(02)，∴点A的坐标为( ··············································································· 6分抛物线2y ax bx c =++经过点E ，2c ∴=由题意，将(A ，12D ⎫⎪⎪⎝⎭，代入22y ax bx =++中得321312422a a ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩解得89a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求抛物线表达式为：2829y x x =-+ ················································ 9分（3）存在符合条件的点P ，点Q ． ······························································ 10分理由如下：矩形ABOC 的面积3AB BO ==∴以O B P Q ，，，为顶点的平行四边形面积为由题意可知OB 为此平行四边形一边，又3OB =OB ∴边上的高为2 ···················································································· 11分依题意设点P 的坐标为(2)m ，点P在抛物线2829y x x =-+上28229m ∴--+=解得，10m =，28m =-1(02)P ∴，，228P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭以O B P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQ OB ∴∥，PQ OB == ∴当点1P 的坐标为(02)，时，点Q的坐标分别为1(2)Q，2Q ；当点2P的坐标为2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时，点Q的坐标分别为32Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，42Q ⎫⎪⎪⎝⎭． ········································ 14分4、（08辽宁12市26题）（本题14分）26．如图16，在平面直角坐标系中，直线y =与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点．（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．（08辽宁12市26题解析）解：（1）直线y =与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．(10)A ∴-，，(0C ， ············································································· 1分点A C ，都在抛物线上，03a c c⎧=++⎪∴⎨⎪=⎩3a c ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为2y x x =-················································· 3分x∴顶点13F ⎛- ⎝⎭， ·················································································· 4分（2）存在 ································································································ 5分1(0P ······························································································ 7分2(2P ····························································································· 9分（3）存在 ······························································································ 10分理由：解法一：延长BC 到点B '，使B C BC '=，连接B F '交直线AC 于点M ，则点M 就是所求的点． ········································································· 11分过点B '作B H AB '⊥于点H ．B点在抛物线2y x x =(30)B ∴，在Rt BOC △中，tan OBC ∠=，30OBC ∴∠=，BC =在Rt BB H '△中，12B H BB ''==6BH H '==，3OH ∴=，(3B '∴--， ········································ 12分设直线B F '的解析式为y kx b =+3k b k b ⎧-=-+⎪∴⎨=+⎪⎩解得2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩62y x ∴=- ·················································································· 13分62y y x ⎧=⎪∴⎨=-⎪⎩解得377x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩37M ⎛∴ ⎝⎭ ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时37M ⎛- ⎝⎭，． ·· 14分x5、（08青海西宁28题）如图14，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM 的函数解析式；（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（08青海西宁28题解析）解：（1）圆心1O 的坐标为(20)，，1O 半径为1，(10)A ∴，，(30)B ，……1分二次函数2y x bx c =-++的图象经过点A B ，，∴可得方程组10930b c b c -++=⎧⎨-++=⎩····································································· 2分解得：43b c =⎧⎨=-⎩∴二次函数解析式为243y x x =-+- ······································· 3分（2）过点M 作MF x ⊥轴，垂足为F ． ······················································ 4分OM 是1O 的切线，M 为切点，1O M OM ∴⊥（圆的切线垂直于经过切点的半径）．在1Rt OO M △中，1111sin 2O M O OM OO ∠== 1O OM ∠为锐角，130O OM ∴∠= ························ 5分1cos3022OM OO ∴==⨯=，在Rt MOF △中，3cos3032OF OM ===．1sin 3032MF OM ===． ∴点M 坐标为322⎛ ⎝⎭， ············································································· 6分图14设切线OM 的函数解析式为(0)y kx k =≠，由题意可知3322k =，33k ∴= ····· 7分 ∴切线OM 的函数解析式为33y x =··························································· 8分（3）存在． ····························································································· 9分 ①过点A 作1AP x ⊥轴，与OM 交于点1P ．可得11Rt Rt APO MO O △∽△（两角对应相等两三角形相似）113tan tan 30P A OA AOP =∠==，1313P ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭， ····································· 10分 ②过点A 作2AP OM ⊥，垂足为2P ，过2P 点作2P H OA ⊥，垂足为H ．可得21Rt Rt AP O O MO △∽△（两角对应相等两三角开相似）在2Rt OP A △中，1OA =，23cos30OP OA ∴==，在2Rt OP H △中，22333cos 224OH OP AOP =∠=⨯=， 222313sin 224P H OP AOP =∠=⨯=，23344P ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭， ································· 11分∴符合条件的P 点坐标有31⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，334⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， ·············································· 12分6、（08山东济宁26题）（12分）ABC △中，90C ∠=，60A ∠=，2AC =cm ．长为1cm 的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M N ，分别作AB 的垂线交直角边于P Q ，两点，线段MN 运动的时间为t s ．（1）若AMP △的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）；（2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由；（3）t 为何值时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似？（08山东济宁26题解析）解：（1）当点P 在AC 上时，AM t =，tg 603PM AM t ∴==．2133(01)22y tt t t ∴==≤≤． ······························································ 2分当点P 在BC 上时，3tan 30(4)3PM BM t ==-．213(4)(13)2y t t t =-=+≤≤． ··········································· 4分（2）2AC =，4AB ∴=．413BN AB AM MN t t ∴=--=--=-．3tan 30(3)3QN BN t ∴==-． ······························································ 6分由条件知，若四边形MNQP 为矩形，需PM QN =)3t =-， 34t ∴=． ∴当34t =s 时，四边形MNQP 为矩形．························································ 8分（3）由（2）知，当34t =s 时，四边形MNQP 为矩形，此时PQ AB ∥，PQC ABC ∴△∽△．··············································································· 9分除此之外，当30CPQ B ∠=∠=时，QPC ABC △∽△，此时3tan 30CQ CP ==． 1cos602AM AP ==，22AP AM t ∴==．22CP t ∴=-． ························ 10分3cos302BN BQ ==，)3BQt ∴==-．又2BC =)33CQ t ∴=-=． ·································· 11分 322t ∴=-，12t =．∴当12t =s 或34s 时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似． ··············· 12分7、（08四川巴中30题）（12分）30．已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．（1）写出直线BC 的解析式．（2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？（08四川巴中30题解析）解：（1）在2334y x =-+中，令0y = 23304x ∴-+=12x ∴=，22x =-(20)A ∴-，，(20)B ， ········································· 1分又点B 在34y x b =-+上 302b ∴=-+32b =BC ∴的解析式为3342y x =-+ ··································································· 2分（2）由23343342y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得11194x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩2220x y =⎧⎨=⎩ ············································· 4分 914C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，(20)B ，xyAB CEM D P NO。

第十八章全国通用版中考数学：《平行四边形》与坐标系结合压轴题(二)—解析版

第十八章专题：《平行四边形》与坐标系结合压轴题(二)1.如图，在平面直角坐标系中，AB //OC, A (0, 12), B (a, c) , C (b, 0),并且a, b满足b= 府市 /口' + 16. 一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点 B 运动；动点Q 从点。

出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P 运动到点B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t (秒)(1)求B、C两点的坐标；(2)当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；(3)当t为何值时，APQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标.(1) •, b= ^a-21 J^T^+16,••.a=21, b=16,故B (21, 12) C (16, 0)； (2)由题意得：AP=2t, QO=t,贝U： PB=21-2t , QC=16-t,•••当PB=QC时，四边形PQCB是平行四边形,.•.21-2t=16-t,解得：t=5,,P (10, 12) Q (5, 0);(3)当PQ=CQ 时，过Q 作QN^AB,由题意得：122+t2=(16-t) 2, 解得：t=3.5,故P (7, 12), Q (3.5, 0),当PQ=PC时，过P作PM ±x轴,由题意得：QM=t , CM=16-2t ,则t=16-2t,解得：t=16, 2t=32, 3 3故P( 32,12), Q(16,3 30).2.如图1,在平面直角坐标系中， AB ，y 轴于点A, BC ，x 轴于点B,点D 为线段BC 的中点，若AB=a , CD=b ,且J 2 a 8 v 5 +/4我 a +2屈=b .连接AD ,在线段OC 上取一点E,使/ EAD= / DAB .(1)贝U a=, b=(2)求证：AE=OE+CD ;【解答】(1) a =4 v15 , b =2 后,(2)由(1)可知 AB=4 75, CD=BD=2 V 5 , • . AB=CB ,,.AB ±y 轴于点 A, BC±x 轴于点 B,，乙 BAO= / B= / AOC=90° ,••・四边形ABCO 是矩形，••・AB=CB , ••・四边形ABCO 是正方形，延长 CO 至u M ,使得 OM=BD ,贝u ^ABD AOM , ，/4=/M, Z1 = Z2=Z3,. OA//BC, . ・/4=/2+/5=/5+/3=/EAM , . . / M= / EAM , • . AE=EM=OE+OM=OE+BD ••• BD=CD , .1. AE=OE+CD .(3)如图 2 中，设 AE=EM=x .在 RtAAOE 中，AO 2+OE 2=AE 2, - x 2= (4<5 ) 2+ (x-2 J 5 ) 2, . . x=5石, OE=3 而,•.D (4V 5, 2 45), E (3V5 , 0), •. F (0, -6V5 )风0)3.如图，在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD，其中A(0, 0), B (m, 0) , D (0, n), m是最接近质的整数，n是16的算术平方根，若将4ABC沿矩形又•角线AC所在直线翻折，点B落在点E处，AE与边CD相交于点M .(1)求AC的长；(2)求4AMC的面积；(3)求点E的坐标.【解答】(1)•' m是最接近#5的整数,• ' m=8,.「n 是16 的算术平方根，，n=4,，B (8, 0), D (0, 4),.••点C 矩形ABCD 的一个顶点，..C (8, 4),，AB=8, BC=4 ,AC=4 J5 ,(2)由折叠有，CE=AD=BC=4 , AE=AB=8 ,设DM=x 则CM=8-x ,・. /ADM= / CEM , /AMD=/CME, /.A ADM ^ACEM , • .AM=CM=8-x , ME=MD , 在RtAADM 中，AD=4 , DM=x , AM=8-x ,根据勾股定理有：AD2+DM 2=AM 2,即：16+x2= (8-x) 2, •1- x=3 , DM=3 , CM=5 , S AAMC = —Ch/|X AD=)>^M=10,2 2(3)过点E作EFXCD,如图，由(2)有，CM=5 , CE=4, ME=DM=3在Rt^CEM 中，由射影定理得，CE2=CFXCM , 16=CFX5,，CF=3.2,••・Ma CE=CMK EF (直角三角形的面积的两种计算) ，，EF=2.4,• . DF=CD -CF=4.8 , BC+EF=6.4 , . . E (4.8, 6.4)4 .已知正方形OABC 在平面直角坐标系中，点 A, C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，等腰直角三角形OEF 的直角顶点O 在原点，E, F 分别在OA, OC 上，且OA=4 , OE=2 .将AOEF 绕点O 逆时针旋转，得△OE I F I ,点E, F 旋转后的对应点为Ei, Fi.(I )①如图①，求EiFi 的长；②如图②，连接CFi, AEi,求证△OAEi^^OCFi；「(II)将AOEF 绕点O 逆时针旋转一周，当 OEi//CFi 时，求点Ei 的坐标(直接写出结果即可)姝姝CB C 石【解答】(I )①解：二.等腰直角三角形 OEF 的直角顶点O 在原点，OE=2, / EOF=90 , OF=OE=2 ,「. EF=2 血，・ ••将AOEF 绕点 O 逆时针旋转，得△OE i F i, ••.E i F i =EF=2 J 2 ； ②证明：四边形OABC 为正方形，OC=OA .・ •・将AOEF 绕点 O 逆时针旋转，得 △OE i F i,AOE i =/COF i, • △OEF 是等腰直角三角形，・•.△OEiFi 是等腰直角三角形， ••OE i =OF i.在 AOAE i 和 ^OCF i 中，OA=OC, /AOEi=/COF i, OEi=OFi% E・•.△OAE 卢^OCF i (SAS)；(n)解：••• OEXOF,卜过点F与OE平行的直线有且只有一条，并与OF垂直，当三角板OEF绕。

2014年浙江省数学中考压轴题

2014年浙江省数学中考压轴题1．（2014•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P 与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．2．（14分）（2014年浙江嘉兴）如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=x2上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED的面积为S．（1）当m=时，求S的值．（2）求S关于m（m≠2）的函数解析式．（3）①若S=时，求的值；②当m＞2时，设=k，猜想k与m的数量关系并证明．3．（12分）（2014•金华）如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x 轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．（12分）（2014•丽水）如图，二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x=﹣，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD．（1）求该二次函数的解析式；（2）求点B坐标和坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；（3）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将△BPF沿边PF 翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的？5．（14分）（2014•宁波）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．①求y关于x的函数解析式；②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．6．（14分）(2014年浙江绍兴)如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值．（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y 轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．7．（14分）（2014•温州）如图，在平面直角坐标系中国，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从B 出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标．（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形．（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N 分别在一，四象限，在运动过程中▱PCOD的面积为S．①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直接写出S 的取值范围．8.如图，直角梯形ABCO的两边OA,OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A,B,C三点.（1）求该抛物线的函数解析式.（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P.①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H,连结OP,试求△OPH的面积.②当m=-3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E,F.是否存在这样的点P,使以P,E,F为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.9．（12分）（2014年浙江舟山）如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=x2上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED的面积为S．（1）当m=时，求S的值．（2）求S关于m（m≠2）的函数解析式．（3）①若S=时，求的值；②当m＞2时，设=k，猜想k与m的数量关系并证明．1、证明：（1）如图，连接PM，PN，∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF，∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PE=PF，（2）解：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图，由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1，∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a，②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，同理可证△PMF≌△PNE，∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t，∴b+a=1+t+1﹣t=2，∴b=2﹣a，（3）如图3，（Ⅰ）当1＜t＜2时，∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1﹣t，0）∴OQ=1﹣t，由（1）得△PMF≌△PNE∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1当△OEQ∽△MPF∴=∴=，解得，t=，当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=，（Ⅱ）如图4，当t＞2时，∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1﹣t，0）∴OQ=t﹣1，由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1当△OEQ∽△MPF∴=∴=，无解，当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=2±，所以当t=，t=，t=2±时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F 为顶点的三角形相似．2、解答：解：（1）∵点A在二次函数y=x2的图象上，AE⊥y轴于点E且AE=m，∴点A的坐标为（m，m2），当m=时，点A的坐标为（，1），∵点B的坐标为（0，2），∴BE=OE=1．∵AE⊥y轴，∴AE∥x轴，∴△ABE∽△CBO，∴==，∴CO=2，∵点D和点C关于y轴对称，∴DO=CO=2，∴S=BE•DO=×1×2=；（2）（I）当0＜m＜2时（如图1），∵点D和点C关于y轴对称，∴△BOD≌△BOC，∵△BEA∽△BOC，∴△BEA∽△BOD，∴=，即BE•DO=AE•BO=2m．∴S=BE•DO=×2m=m；（II）当m＞2时（如图2），同（I）解法得：S=BE•DO=AE•OB=m，由（I）（II）得，S关于m的函数解析式为S=m（m＞0且m≠2）．（3）①如图3，连接AD，∵△BED的面积为，∴S=m=，∴点A的坐标为（，），∵===k，∴S△ADF=k•S△BDF•S△AEF=k•S△BEF，∴===k，∴k===；②k与m之间的数量关系为k=m2，如图4，连接AD，∵===k，∴S△ADF=k•S△BDF•S△AEF=k•S△BEF，∴===k，∵点A的坐标为（m，m2），S=m，∴k===m2（m＞2）．，解得均OM×﹣，②PF=PD=（FN=PN=PE|=|EF==a=PE=PE=PF=PE，即（a（EF=（＞PF=PE=4=（PF=，即（，解得，（（EF=2PF=PE=2a=•PE=PF=（﹣＞故此种情形不存在．﹣MD=MN3﹣．（与直线，）1+24、解：（1）∵y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），且对称轴是直线x=﹣，∴，解得：，∴二次函数的解析式为y=x2+3x；（2）如图1，∵点A（1，4），线段AD平行于x轴，∴D的纵坐标为4，∴4=x2+3x，∴x1=﹣4，x2=1，∴D（﹣4，4）．设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴y=2x+2；当2x+2=x2+3x时，解得：x1=﹣2，x2=1（舍去）．∴y=﹣2．∴B（﹣2，﹣2）．∴DO=4，BO=2，BD=2，OA=．∴DO2=32，BO2=8，BD2=40，∴BO2+BO2=BD2，∴△BDO为直角三角形．∵△EOD∽△AOB，∴∠EOD=∠AOB，，∴∠EOD﹣∠AOB=∠AOB﹣∠AOB，∴∠BOD=∠AOE=90°．即把△AOB绕着O点顺时针旋转90°，OB落在OD上B′，OA落在OE上A1∴A1（4，﹣1），∴E（8，﹣2）．作△AOB关于x轴的对称图形，所得点E的坐标为（2，﹣8）．∴当点E的坐标是（8，﹣2）或（2，﹣8）时，△EOD∽△AOB；（3）由（2）知DO=4，BO=2，BD=2，∠BOD=90°．若翻折后，点B落在FD的左下方，如图2．S△HFP=S△BDP=S△DPF=S△B′PF=S△DHP=S△B′HF，∴DH=HF，B′H=PH，∴在平行四边形B′FPD中，PD=B′F=BF=BD=；若翻折后，点B，D重合，S△HFP=S△BDP，不合题意，舍去．若翻折后，点B落在OD的右上方，如图3，S△HFP=S△BDP=S△BPF=S△DPF=S△B′PF=S△DHF=S△B′HP∴B′P=BP，B′F=BF．DH=HP，B′H=HF，∴四边形DFPB′是平行四边形，∴B′P=DF=BF，∴B′P=BP=B′F=BF，∴四边形B′FPD是菱形，∴FD=B′P=BP=BD=，根据勾股定理，得OP2+OB2=BP2，∴（4﹣PD）2+（2）2=（）2，PD=3，PD=5＞4（舍去），综上所述，PD=或PD=3时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的．点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，菱形的判定及性质的运用，旋转的性质的运用，分类讨论思想的运用．等底、等高的三角形的面积的运用，解答时运用三角形的面积关系求解是关键．解：（1）方案一中的最大半径为1．分析如下：因为长方形的长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．（2）如图1，方案二中连接O1，O2，过O1作O1E⊥AB于E，方案三中，过点O分别作AB，BF的垂线，交于M，N，此时M，N恰为⊙O与AB，BF的切点．方案二：设半径为r，在Rt△O1O2E中，∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO1﹣CO2=3﹣2r，∴（2r）2=22+（3﹣2r）2，解得r=．方案三：设半径为r，在△AOM和△OFN中，，∴△AOM∽△OFN，∴，∴，解得r=．比较知，方案三半径较大．（3）方案四：①∵EC=x，∴新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x．类似（1），所截出圆的直径最大为3﹣x或2+x较小的．1．当3﹣x＜2+x时，即当x＞时，r=（3﹣x）；2．当3﹣x=2+x时，即当x=时，r=（3﹣）=；3．当3﹣x＞2+x时，即当x＜时，r=（2+x）．②当x＞时，r=（3﹣x）＜（3﹣）=；当x=时，r=（3﹣）=；当x＜时，r=（2+x）＜（2+）=，∴方案四，当x=时，r最大为．∵1＜＜＜，∴方案四时可取的圆桌面积最大．解：（1）∵点P与点B重合，点B的坐标是（2，1），∴点P的坐标是（2，1）．∴PA的长为2．（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，如图1所示．∵点A的纵坐标与点B的横坐标相等，∴OA=AB．∵∠OAB=90°，∴∠AOB=∠ABO=45°．∵∠AOC=90°，∴∠POC=45°．∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=90°．∴∠NPM=90°．∵∠APC=90°．∴∠APN=90°﹣∠APM=∠CPM．在△ANP和△CMP中，∵∠APN=∠CPM，PN=PM，∠ANP=∠CMP，∴△ANP≌△CMP．∴PA=PC．∴PA：PC的值为1：1．（3）①若点P在线段OB的延长线上，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F，如图2所示．∵∠APN=∠CPM，∠ANP=∠CMP，∴△ANP∽△CMP．∴．∵∠ACE=∠AEC，∴AC=AE．∵AP⊥PC，∴EP=CP．∵PM∥y轴，∴AF=CF，OM=CM．∴FM=OA．设OA=x，∵PF∥OA，∴△PDF∽△ODA．∴∵PD=2OD，∴PF=2OA=2x，FM=x．∴PM=x．∵∠APC=90°，AF=CF，∴AC=2PF=4x．∵∠AOC=90°，∴OC=x．∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°，∴四边形PMON是矩形．∴PN=OM=x．∴PA：PC=PN：PM=x：x=．②若点P在线段OB的反向延长线上，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F，如图3所示．同理可得：PM=x，CA=2PF=4x，OC=x．∴PN=OM=OC=x．∴PA：PC=PN：PM=x：x=．综上所述：PA：PC的值为或．7解：（1）∵OB=6，C是OB的中点，∴BC=OB=3，∴2t=3即t=，∴OE=+3=，E（，0）（2）如图，连接CD交OP于点G，在▱PCOD中，CG=DG，OG=PG，∵AO=PO，∴AG=EG，∴四边形ADEC是平行四边形．（3）①（Ⅰ）当点C在BO上时，第一种情况：如图，当点M在CE边上时，∵MF∥OC，∴△EMF∽△ECO，∴=，即=，∴t=1，第二种情况：当点N在DE边∵NF∥PD，∴△EFN∽△EPD，∴==，∴t=，（Ⅱ）当点C在BO的延长线上时，第一种情况：当点M在DE边上时，∵MF∥PD，∴EMF∽△EDP，∴=即=，∴t=，第二种情况：当点N在CE边上时，∵NF∥OC，∴△EFN∽△EOC，∴=即=，∴t=5．②＜S≤或＜S≤20．当1≤t＜时，S=t（6﹣2t）=﹣2（t﹣）2+，∵t=在1≤t＜范围内，∴＜S≤，当＜t≤5时，S=t（2t﹣6）=2（t﹣）2﹣，∴＜S≤20．8、.（1）设抛物线的解析式为24y ax bx =++，由对称轴x =1，可得点B 坐标(2，4)，∴4244,16440a b a b ++=⎧⎨++=⎩ 解得1,21a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴2142y x x =-++. ……4分（2）①PH ⊥直线l ，有ON=MN=1，PM=3，由△PMH 为等腰直角三角形得HM =PH所以，1115224OPH S OH PH =⨯==△. ……4分②存在四种情况：当点P 在边OC 上时(如图2)，此时点E 与点O 重合，点F 与点G 重合,△PEF 为等腰直角三角形，EP=EF=3，∴P 1(0，3).当点P 在边, 则点P有GE=GF ,过点F 分别作FH ⊥PE 于点H ，FK ⊥x 轴于点K ,∵∠OGD =135°，∴∠EPF=45°，即△PHF 为等腰直角三角形，设GE=GF =t ，则GK=FK=EH =2t ，∴2PH HF EK EG GK t ===+=+，∴422PE PH EH t t =+=++=， ∴ 4t =,解得4t =，则37OE t =-=- ∴2(7P -.当点P 在边AB 上，分两种情形：情形1：如图4，当点E 与点G 重合时，△PEF 为等腰直角三角形，设直线AB 的解析式为y kx b =+,则有40,24k b k b +=⎧⎨+=⎩解得2,8k b =-⎧⎨=⎩∴直线AB 的解析式为28y x =-+，OE =3，图1情形2：如图5，PE=PF , 过点F 作x 轴的平行线，与过点G 作x 轴的垂线相交于点N ,与EP 的延长线相交于点M .则四边形MNGE 是矩形，△NGF 与△PMF 都是等腰直角三角形，设PE=PF =t ，则PM=MF ，NG=NF =ME t +，所以GE NF FM t =+=+∴OE=OG+GE =3t +， ∴P (3t +，t )代入28y x =-+，得2(3)8t t =-+++,解得6t =-∴31OE t =+=, ∴P 41,6-.综上所述，以点P,E,F 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P 的坐标为:0,3（）,3,2（）,(74)-,1,6-. ……4分 9\解：（1）∵点A 在二次函数y=x 2的图象上，AE ⊥y 轴于点E 且AE=m ， ∴点A 的坐标为（m ，m 2），当m=时，点A 的坐标为（，1），∵点B 的坐标为（0，2），∴BE=OE=1．∵AE ⊥y 轴，∴AE ∥x 轴，∴△ABE ∽△CBO ， ∴==，∴CO=2，∵点D 和点C 关于y 轴对称，∴DO=CO=2，∴S=BE •DO=×1×2=；（2）（I ）当0＜m ＜2时（如图1），∵点D 和点C 关于y 轴对称，∴△BOD ≌△BOC ， ∵△BEA ∽△BOC ，∴△BEA ∽△BOD ， ∴=，即BE •DO=AE •BO=2m ．∴S=BE •DO=×2m=m ；（II ）当m ＞2时（如图2），同（I ）解法得：S=BE •DO=AE •OB=m ，由（I ）（II ）得，S 关于m 的函数解析式为S=m （m ＞0且m ≠2）．（3）①如图3，连接AD ，∵△BED 的面积为，∴S=m=， ∴点A 的坐标为（，），∵===k ，∴S △ADF =k •S △BDF •S △AEF =k •S △BEF ，∴===k，∴k===；②k与m之间的数量关系为k=m2，如图4，连接AD，∵===k，∴S△ADF=k•S△BDF•S△AEF=k•S△BEF，∴===k，∵点A的坐标为（m，m2），S=m，∴k===m2（m＞2）．点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了三角形的面积、比例的性质及相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练数形结合思想及转化思想的运用，难度较大．。

2014中考数学真题解析压轴题4(含答案)

页眉内容(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编压轴题4127.（2011山东淄博24，分）抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣2），与直线y=x 交于点A（﹣2，﹣2），B（2，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，线段MN在线段AB上移动（点M与点A不重合，点N与点B不重合），且M点的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质。

专题：计算题。

分析：（1）把C的坐标代入求出c的值，把A、B的坐标代入抛物线的解析式得到方程组，求出方程组的解即可求出抛物线的解析式；（2）以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形，当M在OA上，N在OB 上时，以点P，M，Q，N为顶点的四边形为平行四边形，求出N的横坐标，求出ND、MD，根据勾股定理求出m即可．解答：（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣2），代入得：c=﹣2，∴y=ax2+bx﹣2，把A（﹣2，﹣2），B（2，2）代入得：2422 2422a ba b-=--⎧⎨=+-⎩，解得：121ab⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴y=12x2+x﹣2，答：抛物线的解析式是y=12x2+x﹣2．（2）解：以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形．理由如下：∵M、N在直线y=x上，∴OP=PM，OQ=QN，只有M在OA上，N在OB上时，ON=OM时，以点P，M，Q，N为顶点的四边形为平行四边形，过M作MC⊥y轴于C，交NQ的延长线于D ，∵M点的横坐标为m，∴N的横坐标是﹣m，MD=ND=|2m|，由勾股定理得：（2m）2+（2m）22=，∵m＜0，m=12 -．答：以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形，m的值是12 ．点评：本题主要考查对一次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，解二元一次方程组，平行四边形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能用待定系数法求二次函数的解析式和得到MD=ND=|2m|是解此题的关键．128.（2011•山西）如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A的坐标为（8，o），点B的坐标为（11.4），动点P在线段OA上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C﹣B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t ＞0）．△MPQ的面积为S．（1）点C的坐标为，直线l的解析式为．（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值．（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．考点：二次函数综合题。

2014年全国各地中考数学压轴题集锦

2014年全国各地中考数学压轴题集锦1．（北京模拟）已知抛物线y ＝－x2＋2x ＋m －2与y 轴交于点A （0，2m －7），与直线y ＝2x 交于点B 、C （B 在C 的右侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为E ，在抛物线的对称轴上是否存在一点F ，使得∠BFE ＝∠CFE ，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由；（3）动点P 、Q 同时从原点出发，分别以每秒5个单位长度、每秒25个单位长度的速度沿射线OC 运动，以PQ 为斜边在直线BC 的上方作直角三角形PMQ （直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t 秒．若△PMQ 与抛物线y ＝－x2＋2x ＋m －2有公共点，求t 的取值范围．2．（北京模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y 1＝ax2＋3x ＋c 经过原点及点A （1，2），与x 轴相交于另一点B ．（1）求抛物线y 1的解析式及B 点坐标；（2）若将抛物线y 1以x ＝3为对称轴向右翻折后，得到一条新的抛物线y 2，已知抛物线y 2与x 轴交于两点，其中右边的交点为C 点．动点P 从O 点出发，沿线段OC 向C 点运动，过P 点作x 轴的垂线，交直线OA 于D 点，以PD 为边在PD 的右侧作正方形PDEF ． ①当点E 落在抛物线y 1上时，求OP 的长；②若点P 的运动速度为每秒1个单位长度，同时线段OC 上另一点Q 从C 点出发向O 点运动，速度为每秒2个单位长度，当Q 点到达O 点时P 、Q 两点停止运动．过Q 点作x 轴的垂线，与直线AC 交于G 点，以QG 为边在QG 的左侧作正方形QGMN ．当这两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上时，求t 的值．（正方形在x 轴上的边除外）x Oy AB C P Q M x A yO B C P F E D Q GN M3．（北京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx ＋4经过A （－3，0）、B （4，0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 在x 轴的负半轴上，且BD ＝BC ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 移动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CA 以某一速度向点A 移动．（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求此时t 的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ ＋MA 的值最小？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4．（北京模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．动点P 从点A 出发，沿AC →CB →BA 边运动，点P 在AC 、CB 、BA 边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位．直线l 从与AC 重合的位置开始，以每秒43个单位的速度沿CB 方向移动，移动过程中保持l ∥AC ，且分别与CB 、AB 边交于点E 、F ．点P 与直线l 同时出发，设运动的时间为t 秒，当点P 第一次回到点A 时，点P 和直线l 同时停止运动．（1）当t ＝_________秒时，点P 与点E 重合；当t ＝_________秒时，点P 与点F 重合；（2）当点P 在AC 边上运动时，将△PEF 绕点E 逆时针旋转，使得点P 的对应点P ′ 落在EF 上，点F 的对应点为F ′ ，当EF ′⊥AB 时，求t 的值；（3）作点P 关于直线EF 的对称点Q ，在运动过程中，若形成的四边形PEQF 为菱形，求t 的值；（4）在整个运动过程中，设△PEF 的面积为S ，直接写出S 关于t 的函数关系式及S 的最大值．x A y O C B D P QB C A Pl F E B C A 备用图5．（北京模拟）在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝10，CD ＝6，AD ＝BC ＝4．点P 从点B 出发，沿线段BA 向点A 匀速运动，速度为每秒2个单位，过点P 作直线BC 的垂线PE ，垂足为E ．设点P 的运动时间为t （秒）．（1）∠A ＝___________°；（2）将△PBE 沿直线PE 翻折，得到△PB ′E ，记△PB ′E 与梯形ABCD 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）在整个运动过程中，是否存在以点D 、P 、B ′为顶点的三角形为直角三角形或等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．6．（北京模拟）已知二次函数y ＝－33mx2＋3mx －2的图象与x 轴交于点A （23，0）、点B ，与y 轴交于点C ．（1）求点B 坐标；（2）点P 从点C 出发以每秒1个单位的速度沿线段CO 向O 点运动，到达点O 后停止运动，过点P 作PQ ∥AC 交OA 于点Q ，将四边形PQAC 沿PQ 翻折，得到四边形PQA ′C ′，设点P 的运动时间为t ．①当t 为何值时，点A ′恰好落在二次函数y ＝－33mx2＋3mx －2图象的对称轴上； ②设四边形PQA ′C ′落在第一象限内的图形面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．7．（北京模拟）已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝120°，E 是AB 的中点，过E 点作射线EF ∥BC ，交CD 于点G ，AB 、AD 的长恰好是方程x2－4x ＋a2＋2a ＋5＝0的两个相等实数根，动点P 、Q 分别从点A 、E 出发，点P 以每秒1个单位长度的速度沿AB 由A 向B 运动，点Q 以每秒2个单位长度的速度沿EF由E 向F 运动，设点P 、Q 运动的时间为t （秒）．（1）求线段AB 、AD 的长；（2）当t＞1时，求△DPQ 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；（3）是否存在△DPQ 是直角三角形的情况，如果存在，求出时间t ；如果不存在，请说明理由．A CB D P EB ′A C BD 备用图A BD Q CP E FG8．（天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，直y ＝－x ＋4错误！未找到引用源。

九年级数学中考压轴题2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：13 二次函数

二次函数一、选择题1. （2014•广东，第10题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．解答：解：A、由抛物线的开口向下，可知a＜0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故本选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故本选项符合题意．故选D．点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．2. （2014•广西贺州，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx +与反比例函数y =在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．分析：先根据二次函数的图象得到a＞0，b＜0，c＜0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴一次函数y=cx +的图象过第二、三、四象限，反比例函数y =分布在第二、四象限．故选B．点评：本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数图象和反比例函数的图象．3．(2014年四川资阳，第10题3分)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A． 4个B． 3个C． 2个D． 1个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选B．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．4．(2014年天津市，第12 题3分)已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x 的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B． 1 C． 2 D． 3考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，进而判断①；先根据抛物线的开口向下可知a＜0，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系，然后根据有理数乘法法则判断②；一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则可转化为ax2+bx+c=m，即可以理解为y=ax2+bx+c 和y=m没有交点，即可求出m的取值范围，判断③即可．解答：解：①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴x=﹣＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点，由图可得，m＞2，故③正确．故选D．点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．5．（2014•新疆，第6题5分）对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）），的顶点坐标是（﹣，6．（2014•舟山，第10题3分）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）或C或或﹣或，=或﹣y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（）x＜﹣时，﹣取得最小值＜﹣时，﹣取得最大值8.（2014•孝感，第12题3分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）﹣=1﹣9．（2014·台湾，第26题3分）已知a 、h 、k 为三数，且二次函数y ＝a (x ﹣h )2＋k 在坐标平面上的图形通过(0，5)、(10，8)两点．若a ＜0，0＜h ＜10，则h 之值可能为下列何者？( )A ．1B ．3C ．5D ．7分析：先画出抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x ＝h ，由于抛物线过(0，5)、(10，8)两点．若a ＜0，0＜h ＜10，则点(0，5)到对称轴的距离大于点(10，8)到对称轴的距离，所以h ﹣0＞10﹣h ，然后解不等式后进行判断．解：∵抛物线的对称轴为直线x ＝h ，而(0，5)、(10，8)两点在抛物线上，∴h ﹣0＞10﹣h ，解得h ＞5．故选D ．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时(即ab ＞0)，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时(即ab ＜0)，对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点．抛物线与y 轴交于(0，c )；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．10．（2014·浙江金华，第9题4分）如图是二次函数2y x 2x 4=-++的图象，使y 1≤成立的x 的取值范围是【】A ．1x 3-≤≤B ．x 1≤-C ．x 1≥D ．x 1≤-或x 3≥【答案】D ．【解析】试题分析：由图象可知，当y 1≤时，x 1≤-或x 3≥. 故选D ．考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.数形结合思想的应用11．（2014•浙江宁波，第12题4分）已知点A （a ﹣2b ，2﹣4ab ）在抛物线y =x 2+4x +10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）﹣=12.（2014•菏泽第8题3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）．，13.（2014•济宁，第8题3分）“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）14．（2014年山东泰安，第17题3分）已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（）A．B C D．分析：根据二次函数图象判断出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．解：由图可知，m＜﹣1，n=1，所以，m+n＜0，所以，一次函数y=mx+n经过第二四象限，且与y轴相交于点（0，1），反比例函数y=的图象位于第二四象限，纵观各选项，只有C选项图形符合．故选C．点评：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键．15.（2014年山东泰安，第20题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B． 3个C． 2个D． 1个分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解：由图表中数据可得出：x=1时，y=5值最大，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a ＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==1.5，∴当x＞1.5时，y的值随x 值的增大而减小，故（2）错误；∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b ﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2=（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．故选B．点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．16.（2014•滨州，第9题3分）下列函数中，图象经过原点的是（）=的图象是双曲线，不经过原点；故本选项错误；二.填空题1. （2014•安徽省,第12题5分）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=a（1+x）2．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．解答：解：∵一月份新产品的研发资金为a元，2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴2月份研发资金为a×（1+x），∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．故填空答案：a（1+x）2．点评：此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．2．(2014年云南，第16题3分)抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是．考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．解答：解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．点评：此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．3．（2014•浙江湖州，第16题4分）已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c 时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是．分析：根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2，再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2，即不大于2.5，然后列出不等式求解即可．解：∵正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且a＜b＜c，∴a最小是2，∵y1＜y2＜y3，∴﹣＜2.5，解得m＞﹣．故答案为：m＞﹣．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系，判断出a最小可以取2以及对称轴的位置是解题的关键．4. （2014•株洲，第16题，3分）如果函数y=（a﹣1）x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是a＜﹣5．）②＞5. （2014年江苏南京，第16题，2分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：则当y＜5时，x的取值范围是．考点：二次函数与不等式分析：根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=4时，y=5，然后写出y＜5时，x的取值范围即可．解答：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，所以，x=4时，y=5，所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．故答案为：0＜x＜4．点评：本题考查了二次函数与不等式，观察图表得到y=5的另一个x的值是解题的关键．6. （2014•扬州，第16题，3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为0．（第3题图）7．（2014•菏泽，第12题3分）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则= _______．，，，的横坐标相同，为，3=3，=﹣．8. （2014•珠海，第9题4分）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为直线x=2．=三.解答题1. （2014•安徽省,第22题12分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．考点：二次函数的性质；二次函数的最值．专题：新定义．分析：（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．解答：解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5（x﹣1）2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小．∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5（0﹣1）2=5．②当1＜x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大．∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3﹣1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．点评：本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．2. （2014•福建泉州，第22题9分）如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？OA=，，的顶点．OAOB）（+，，二次函数＜﹣时，时，时，取得最小值时，＞﹣时，时，3. （2014•福建泉州，第25题12分）如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．①判断四边形DECF一定是什么形状？②裁剪当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；（2）折叠请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．==12h===•﹣=﹣，4. （2014•广东，第25题9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．分析：（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．解答：（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如答图1所示．又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥AB于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，解得：EF=10﹣t．S△PEF=EF•DH=（10﹣t）•2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．（3）解：存在．理由如下：①若点E为直角顶点，如答图3①所示，此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；②若点F为直角顶点，如答图3②所示，此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．∵PF∥AD，∴，即，解得t=；③若点P为直角顶点，如答图3③所示．过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）化简得：t2﹣35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．5. （2014•珠海，第22题9分）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：y=x2﹣x；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E 两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围．OF得关系式再代入，2）=2===，=1（﹣，，x xOF=（﹣，（﹣，，﹣x，x﹣＜＜①当﹣，﹣===+•••﹣﹣（x﹣）x 时，，﹣•）﹣••﹣．x，＜﹣x，解得﹣＜＜＜＜6. 2014•广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，14）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM 平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）根据题意可设函数的解析式为y=ax2，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式；（2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，结合平行线的性质，可得出结论；（3）首先可得∠FMH=30°，设点P的坐标为（x，14x2），根据PF=PM=FM，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案．解答：（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O，∴设二次函数的解析式为y=ax2，将点A（1，14）代入y=ax2得：a=14，∴二次函数的解析式为y=14x2；（2）证明：∵点P在抛物线y=14x2上，∴可设点P的坐标为（x，14x2），过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=14x2﹣1，PB=x，∴Rt△BPF中，PF==14x2+1，∵PM⊥直线y=﹣1，∴PM=14x2+1，∴PF=PM，∴∠PFM=∠PMF，又∵PM∥x轴，∴∠MFH=∠PMF，∴∠PFM=∠MFH，∴FM平分∠OFP；（3）解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，∵PF=PM=FM，∴14x2+1=4，解得：x=±2，∴14x2=14×12=3，∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、角平分线的性质及直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，将所学知识融会贯通．7. （2014•广西玉林市、防城港市，第26题12分）给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1．（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a 的值；（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点．①求此抛物线的解析式；②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点，O为原点．求证：OP=PQ．=0中，若不能使其结果为x x，+﹣，∴顶点（﹣，﹣=1﹣，﹣．==，．===0=﹣﹣，﹣x﹣==x=8．(2014年四川资阳，第22题9分)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．考点：二次函数的应用；一元一次不等式组的应用．分析：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，然后根据数量和单价列出不等式组，求解得到x的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案；（2）设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式并整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值即可．解答：解：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，由题意得，，解不等式①得，x≥11，解不等式②得，x≤15，所以，不等式组的解集是11≤x≤15，∵x为正整数，∴x可取的值为11、12、13、14、15，所以，该商家共有5种进货方案；（2）设总利润为W元，y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，=30x2﹣540x+12000，=30（x﹣9）2+9570，当x＞9时，W随x的增大而增大，∵11≤x≤15，∴当x=15时，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．点评：本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，（1）关键在于确定出两个不等关系，（2）难点在于用空调的台数表示出冰箱的台数并列出利润的表达式．9．(2014年四川资阳，第24题12分)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A （3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）分三种情况：①当MA=MB时；②当AB=AM时；③当AB=BM时；三种情况讨论可得点M的坐标．（3）平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3．易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE，直线BE 交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．分二种情况：①当0＜m≤时；②当＜m＜3时；讨论可得用m的代数式表示S．解答：解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则，解得．故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）①当MA=MB时，M（0，0）；②当AB=AM时，M（0，﹣3）；③当AB=BM时，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．（3）平移后的三角形记为△PEF．设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得．则直线AB的解析式为y=﹣x+3．△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF，易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则，解得．则直线AC的解析式为y=﹣2x+6．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．①当0＜m≤时，如图1所示．设PE交AB于K，EF交AC于M．则BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，联立，解得，即点M（3﹣m，2m）．故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM=PE2﹣PK2﹣AF•h=﹣（3﹣m）2﹣m•2m=﹣m2+3m．②当＜m＜3时，如图2所示．设PE交AB于K，交AC于H．因为BE=m，所以PK=PA=3﹣m，又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6，所以当x=m时，得y=6﹣2m，所以点H（m，6﹣2m）．故S=S△PAH﹣S△PAK=PA•PH﹣PA2=﹣（3﹣m）•（6﹣2m）﹣（3﹣m）2=m2﹣3m+．综上所述，当0＜m≤时，S=﹣m2+3m；当＜m＜3时，S=m2﹣3m+．点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称轴，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，分类思想的应用，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．10．（2014•温州，第21题10分）如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNE的面积之比．=））．11．（2014•舟山，第22题10分）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x 刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）刻画（如图所示）．（1）根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？②当x=5时，y=45，求k的值．（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．=＞12．（2014•舟山，第24题12分）如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=x2上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED 的面积为S．（1）当m=时，求S的值．（2）求S关于m（m≠2）的函数解析式．（3）①若S=时，求的值；②当m＞2时，设=k，猜想k与m的数量关系并证明．的坐标，根据== =②可得=，==，2==，即的面积为的坐标为（===========13.（2014年广东汕尾，第25题10分）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）令y=0，解方程x2﹣x﹣3=0可得到A点和D点坐标；令x=0，求出y=﹣3，可确定C点坐标；（2）根据抛物线的对称性，可知在在x轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x轴上方，存在两个点，这两个点分别到x轴的距离等于点C到x轴的距离；（3）根据梯形定义确定点P，如图所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此时P1与D点重合，即可求得点P1的坐标；②若AB∥CP2，确定梯形ABCP2．先求出直线CP2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标．解：（1）∵y=x2﹣x﹣3，∴当y=0时，x2﹣x﹣3=0，解得x1=﹣2，x2=4．当x=0，y=﹣3．∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）；（2）∵y=x2﹣x﹣3，∴对称轴为直线x==1．∵AD在x轴上，点M在抛物线上，∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称，∵C点坐标为（0，﹣3），∴M点坐标为（2，﹣3）；②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3．当y=4时，x2﹣x﹣3=3，解得x1=1+，x2=1﹣，∴M点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）．综上所述，所求M点坐标为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；（3）结论：存在．如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1．由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BC∥x轴，则P1与D点重合，∴P1（﹣2，0）．∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC，∴四边形ABCP1为梯形；②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2．∵A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，﹣3），∴直线AB的解析式为y=x﹣6，∴可设直线CP2的解析式为y=x+n，将C点坐标（0，﹣3）代入，得b=﹣3，。

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2014年全国中考数学压轴题集中呈现（十）1．（广东深圳·2）如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y 轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA，连接BD．（1）求⊙M的半径；（2）证明：BD为⊙M的切线；（3）在直线MC上找一点P，使|DP-AP|最大．2．（广东深圳）如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，-4）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．3．（江苏无锡）如图1，已知点A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分线交AB于C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q，作P、Q关于直线OC的对称点M、N．设P运动的时间为t（0＜t＜2）秒．（1）求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）；（2）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数关系式；②在图2的直角坐标系中，画出S关于t的函数图象，并回答：S是否有最大值？若有，写出S 的最大值；若没有，请说明理由．4．（四川成都·2）如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是弧AC上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G．（1）求证：△P AC∽△PDF；（2）若AB=5，，求PD的长；（3）在点P运动过程中，设xBGAG，tan∠AFD=y，求y与x之间的函数关系式．（不要求写出x的取值范围）5．（四川成都）如图，已知抛物线)4)(2(8++=x x ky （k 为常数，且k ＞0）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线b x y +-=33与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的值；（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？6．（宁夏）在Rt △ABC 中，∠C =90°，P 是BC 边上不同于B 、C 的一动点，过P 作PQ ⊥AB ，垂足为Q ，连接AP ．（1）试说明不论点P 在BC 边上何处时，都有△PBQ 与△ABC 相似；（2）若AC =3，BC =4，当BP 为何值时，△AQP 面积最大，并求出最大值；（3）在Rt △ABC 中，两条直角边BC 、AC 满足关系式BC =λAC ，是否存在一个λ的值，使Rt △AQP 既与Rt △ACP 全等，也与Rt △BQP 全等．7．（重庆A ·2）如图，抛物线y =-x 2-2x +3 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=22DQ，求点F的坐标．8．（河北省）某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图1和图2．现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为200米/分．探究：设行驶吋间为t分．（1）当0≤t≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2（米）与t（分）的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值；（2）t为何值时，1号车第三次恰好经过景点C？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数．发现：如图2，游客甲在BC上的一点K（不与点B，C重合）处候车，准备乘车到出口A，设CK=x米．情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．比较哪种情况用时较多？（含候车时间）决策：己知游客乙在DA上从D向出口A走去．步行的速度是50米/分．当行进到DA上一点P （不与点D，A重合）时，刚好与2号车迎面相遇．（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由：（2）设P A=s（0＜s＜800）米．若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中．他该如何选择？9．（山东临沂）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）证明：AM=AD+MC；（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．10．（山东临沂）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和点B（1，0），直线y=2x-1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点A到直线CD的距离；（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．11．（重庆A）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=320，AE⊥BD，垂足是E．点F 是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）求AE和BE的长；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．。

2014年全国数学中考选择题压轴题(06)

2014年全国数学中考选择题压轴题（06）．．．x﹣不等式组，）在函数A．．．．y=的A；②．．．．C．）当Ay=y=A的图象上，第二象限内的点，则．﹣2D，Ay=（向上平移（．．2014年全国数学中考选择题压轴题（06）参考答案与试题解析一、选择题（共30小题）1．（2013•荆州）将一边长为2的正方形纸片折成四部分，再沿折痕折起来，恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥，C D．．．2．（2013•包头）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②4a+2b+c＜0；③a﹣b+c＞0；④（a+c）2＜b2．其中正确的结论是（），﹣＞3．（2013•桂林）如图，已知边长为4的正方形ABCD，P是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AP，作PE⊥AP 交∠BCD的外角平分线于E．设BP=x，△PCE面积为y，则y与x的函数关系式是（）x x，得出=×∠∴，∴，y=×x4．（2013•宜宾）对于实数a、b，定义一种运算“⊗”为：a⊗b=a2+ab﹣2，有下列命题：①1⊗3=2；②方程x⊗1=0的根为：x1=﹣2，x2=1；③不等式组的解集为：﹣1＜x＜4；④点（，）在函数y=x⊗（﹣1）的图象上．进行判断；根据新定义得x=代入计算得到对应的函数值，则可对④∴时，y=﹣﹣5．（2013•达州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与一次函数y=cx+a在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）．C D．的图象在第一、三象限，6．（2013•巴中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）=17．（2013•邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）8．（2013•毕节地区）将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式2，在对10．（2013•齐齐哈尔）数形结合是数学中常用的思想方法，试运用这一思想方法确定函数y=x2+1与y=的交点的的图象，即可得解．y=212．（2013•黄冈）已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（）13．（2013•贵港）如图，点A（a，1）、B（﹣1，b）都在双曲线y=﹣上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是（）﹣）分别代入，14．（2013•宿迁）下列三个函数：①y=x+1；②；③y=x2﹣x+1．其图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的个y=的函数图象，既是轴对称图形，又是中心对称图形；15．（2013•盐城）如图，直线a∥b，∠1=120°，∠2=40°，则∠3等于（）16．（2013•日照）如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1．其中正确的有（），（舍去），17．（2013•茂名）如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1=25°，则∠2的度数是（）18．（2013•深圳）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（）．C D．倍求出AC=AC=×，=19．（2013•南京）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（）．C D．．C D．2y的部分对应值如下表：（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当时，y＜0；2所以，﹣22．（2013•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=经过平移得到抛物线y=，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）y=y==（24．（2013•齐齐哈尔）在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确结论的个数是（）25．（2013•乐山）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=的图象上，且OA⊥OB，cosA=，则k的值为（）y=BAO==，，则，：上，26．（2013•鞍山）如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．其中正确的结论有（）=1＞=127．（2013•河北）如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（）＜AD28．（2013•湖州）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（）329．（2013•南昌）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x130．（2013•南宁）如图，直线y=与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y=向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点B，若OA=3BC，则k的值为（）D．x，向上平移x+4xODy=，y=x=x（××．。

中考数学_三年经典中考压轴题专题4：代数之不等式组(组)问题

三年经典中考压轴题专题4：代数之不等式组（组）问题一、选择题1. （2014年内蒙古包头、乌兰察布3分）关于x 的一元二次方程()22x 2m 1x m 0+-+=的两个实数根分别为x 1，x 2，且x 1+x 2＞0，x 1x 2＞0，则m 的取值范围是【】 A. 1m 2≤ B. 1m 2≤且m≠0 C. m ＜1 D. m ＜1且m≠0 【答案】B ．【考点】1.一元二次方程根的判别式；2.一元二次方程根与系数的关系；3.解一元一次不等式组．2. （2014年四川德阳3分）已知方程3a 1a a 44a --=--，且关于x 的不等式组x a x b ≥⎧⎨≤⎩只有4个整数解，那么b 的取值范围是【】A ．﹣1＜b≤3B ．2＜b≤3C ．8≤b ＜9D ．3≤b ＜4【答案】D.【考点】1.解分式方程；2.一元一次不等式组的整数解．故选D.3.（2013年山东潍坊3分）对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[]12.1=，[]33=，[]35.2-=-，若x 4510+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则x 的取值可以是【】. A.40 B.45 C.51 D.564. （2012江苏常州2分）已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且a cb d<，给出下列四个不等式： ①a c a+b c+d <；②c a c+d a+b <；③d b c+d a+b <；④b d a+b c+d <。

其中不等式正确的是【】A. ①③B. ①④C. ②④D. ②③二、填空题1. （2014年江苏镇江2分）读取表格中的信息，解决问题. n=1 1a 223=+ 1b 32=+ 1c 122=+ n=2a 2=b 1+2c 1 b 2=c 1+2a 1 c 2=a 1+2b 1 n=3a 3=b 2+2c 2 b 3=c 2+2a 2 c=a 2+2b 2 …… … … 满足()n n na b c 201432132++≥⨯-++的n 可以取得的最小整数是．【答案】7．【考点】1.探索规律题（数字的变化类）；2. 二次根式化简；3.不等式的应用．2.（2013年浙江台州5分）任何实数a ，可用[]a 表示不超过a 的最大整数，如[][]13,44==，现对72进行如下操作：1727288221⎡−−−→=−−−→=−−−→=⎣第次第2次第3次，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 .3. （2013年宁夏区3分）若不等式组x a 012x x 2+≥⎧⎨--⎩＞有解，则a 的取值范围是．4.（2013年四川乐山3分）对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为<x>，即当n 为非负整数．．时，若11n x n 22<-≤+，则<x>＝n ，如<0.46>=0，<3.67>=4。

2014年全国各地中考数学压轴题集锦答案(三)

2014年全国各地中考数学压轴题集锦答案（三）41．（哈尔滨模拟）如图，直线y＝－kx＋6k（k＞0）与x轴、y轴分别相交于点A、B，且△AOB的面积是24．（1）求直线AB的解析式；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿折线OA－AB运动；同时点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，过点E作与x轴平行的直线l，与线段AB 相交于点F，当点P与点F重合时，点P、E均停止运动．连接PE、PF，设△PEF的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，过P作x轴的垂线，与直线l相交于点M，连接AM，当tan∠MAB＝12时，求t的值．解：（1）∵y＝－kx＋6k，当x＝0时，y＝6k；当y＝0时，x＝6 ∴OA＝6，OB＝6k∵S△AOB＝24，∴12×6×6k＝24，∴k＝43∴直线AB的解析式为y＝－43x＋8（2）根据题意，OE＝t，EF∥OA，∴△BEF∽△BOA∴EFOA＝BEBO，即EF6＝8－t8，∴EF＝34(8－t)①当0＜t≤3时，点P在OA上运动过点P作PH⊥EF于H，则PH＝OE＝t∴S＝12EF²PH＝12²34(8－t)²t＝－38t2＋3t②当点P在AB上运动时过点P作PG⊥OA于G，设直线PG与EF相交于点M，则MG＝OE＝t易知△APG∽△ABO，∴PGBO＝APAB∵OA＝6，OB＝8，∴AB＝62＋82＝10∴PG8＝2t－610，∴PG＝45(2t－6)当点P与点F重合时，有PG＝OE∴45(2t－6)＝t，解得t＝8，即PG＝8点P 与点F 重合前，MP ＝MG －PG ＝t －4 5 (2t －6)＝－3 5 t ＋245∴S ＝12EF ²MP ＝1 2 ²3 4 (8－t)(－3 5 t ＋ 245 )＝ 9 40 t 2－ 18 5 t ＋725综上，S ＝⎩⎨⎧－38t2＋3t （0＜t≤3）9 40 t 2－ 18 5 t ＋ 725（3＜t＜8）（3）①当点P 在OA 上，点M 在点F 左侧时作MC ⊥AB 于C ，FD ⊥OA 于D则FD ＝OE ＝t ，EM ＝OP ＝2t ，MF ＝EF －EM ＝34(8－t)－2t在Rt △CMF 中，CMCF＝tan ∠MFC ＝tan ∠BAO ＝OBOA＝43设CM ＝4k ，则CF ＝3k ，MF ＝(4k)2＋(3k)2＝5k在Rt △MAC 中，CMAC＝tan ∠MAC ＝tan ∠MAB ＝12∴AC ＝2CM ＝8k ，∴AF ＝5k ，∴MF ＝AF 在Rt △AFD 中， FDAF＝tAF＝sin ∠F AD ＝sin ∠BAO ＝4 5∴AF ＝54t ，∴3 4 (8－t)－2t ＝5 4 t ，解得t ＝32当点P 在OA 上，点M 在点F 右侧时，可求得t ＝114②当点P 在AB 上时，过点M 作MK ⊥AB 于K 在Rt △PMK 中，MKPK＝tan ∠MPK ＝tan ∠ABO ＝34设MK ＝3m ，则PK ＝4m ，MP ＝5m ，AK ＝6m∴AP ＝AK －PK ＝2m ，∴2t －6＝2m ∵MP ＝t －4 5 (2t －6)，∴t －45(2t －6)＝5m∴t －4 5 (2t －6)＝5 2 (2t －6)，解得t ＝9928综上所述，满足条件的t 值是32或 114或992842．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，△AOB 为等腰三角形，且OA ＝OB ＝10，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，直线AB 的解析式为y ＝－3x ＋30，点C 在线段BD 上，点D 关于直线OC 的对称点在腰OB 上．（1）求点B 坐标；（2）点P 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿折线BC －CO 运动；同时点Q 从点O 出发，以每秒1个单位的速度沿对角线OB 向终点B 运动，当一点停止运动时，另一点也随之停止运动．设△PQC 的面积为S ，运动时间为t ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接PQ，设PQ与OB所成的锐角为α，当α＝90°－∠AOB时，求t的值．解：（1）过点B作BF⊥OA于F，设B（a，－3a＋30）在Rt△OBF中，a2＋(－3a＋30)2＝102解得a1＝10（舍去），a2＝8当a＝8时，－3a＋30＝6∴B（8，6）（2）设点D关于直线OC的对称点为D′，连接CD′∵D′在腰OB上，∴OD＝OD′，∠DOC＝∠D′OC又OC＝OC，∴△DOC≌△D′OC∴CD′＝CD，∠CDO′＝∠CDO＝90°∴S△POQ＝12OD²BD＝12OD²CD＋12OB²CD′∴CD＝OD²BDOD＋OB＝6×86＋10＝3，∴BC＝5①当0≤t＜5时，点P在线段BC上过点Q作QE⊥BD于E，则△BQE∽△BOD∴QEOD＝BQBO，即QE6＝10－t10，∴QE＝6－35t∴S＝12PC²QE＝12(5－t)(6－35t)即S＝310t2－92t＋15②当5＜t≤10时，点P在线段CO上过点Q作QF⊥OC于F∵COQ＝∠COD，∠QFO＝∠CDO＝90°∴△QFO∽△CDO，∴QFCD＝OQOC即QF3＝t35，∴QF＝55t∴S＝12PC²QF＝12(t－5)²55t即S＝510t2－52t（3）①当0≤t＜5时 ∵α＝90°－∠AOB ＝∠BOD ，即∠PQB ＝∠DOB ∴PQ ∥DO ，∴△BPQ ∽△BDO∴BPBD＝BQBO，即 t8 ＝10－t10 ，∴t ＝409②当5＜t≤10时，过点P 作PH ⊥OB 于H∵∠PQO ＝∠BOD ，∴tan ∠PQO ＝∠BOD ＝4 3设PH ＝4k ，则QH ＝3k ，OH ＝8k ，OP ＝45k ∴OQ ＝11k ，∴11k ＝t ，∴k ＝t11∴OP ＝45k ＝4511t 又∵OP ＝35－(t －5)＝35＋5－t ∴4511t ＝35＋5－t ，∴t ＝1435－55 41∴当α＝90°－∠AOB 时，t 的值为409或 1435－554143．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A （256，0），点B （3，4），将△OAB沿直线OB 翻折，点A 落在第二象限内的点C 处．（1）求点C 的坐标；（2）动点P 从点O 出发，以每秒5个单位的速度沿OB 向终点B 运动，连接AP ，将射线AP 绕着点A 逆时针旋转与y 轴交于一点Q ，且旋转角α＝12∠OAB ．设线段OQ 的长为d ，点P 运动的时间为t 秒，求d 与t 的函数关系式（直接写出时间t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接CP ．点P 在运动的过程中，是否存在CP ∥AQ ，若存在，求此时t 的值，并辨断点B 与以点P 为圆心，OQ 长为半径的⊙P 的位置关系；若不存在，请说明理由．解：（1）过点B 作BG ⊥x 轴于G ，过点C 作CH ⊥x 轴于H ∵A （256，0），B （3，4），∴OA ＝256，OG ＝3，BG ＝4∴AG＝76，∴AB＝AG2＋BG2＝256，∴AB＝OA∵△OAB沿直线OB翻折得到△OCB∴△OAB≌△OCB，∴AB＝OA＝BC＝CO ∴四边形ABCO是菱形∴CO∥AB，∴∠COH＝∠BAG∴Rt△CHO≌Rt△BGA，∴CH＝BG＝4，OH＝AG＝7 6∴C（－76，4）（2）连接AC交BO于点E∵菱形ABCO，∴AC⊥BO，∠OAE＝12∠OAB∵α＝12∠OAB，∴∠OAP＝∠OAE，∴∠OAQ＝∠EAP∵∠AOQ＝∠AEP＝90°，∴△AOQ≌△AEP∴PEOQ＝AEAO由（1）知，CH＝4，AH＝16 3∴AC＝AH2＋CH2＝203，∴AE＝103，同理OE＝52①当0≤t＜12时∵OP＝5t，∴PE＝52－5t，∴52－5td＝103256∴d＝－254t＋258②当12＜t≤1时，同理可求d＝254t－258（3）过点P作PK⊥AB于K∵AQ∥CP，∴∠PCE＝∠QAE ∵AE＝CE，AC⊥BO，∴PC＝P A∴∠P AE＝∠PCE＝∠QAE＝12∠P AQ∴∠P AB＝∠QAE，∴∠P AE＝∠P AB，∴PE＝PK ∵菱形ABCO，∴∠PBK＝∠OBF∴sin∠PBK＝sin∠OBF＝OFOB＝PKPB＝45∵OP＝5t，OB＝5，∴PE＝5t－52，PB＝5－5t∴5t －52 5－5t＝4 5 ，解得t ＝13 18∴存在CP ∥AQ ，此时t ＝1318∵1 2＜13 18＜1，∴当t ＝13 18 时，OQ ＝d ＝ 25 4 t － 25 8 ＝25 18BP ＝OB －OP ＝5－5t ＝2518∴BP ＝OQ ，即点B 与圆心P 的距离等于⊙P 的半径，点B 在⊙P 上 ∴存在CP ∥AQ ，此时t ＝1318，且点B 在⊙P 上 44．（黑龙江大庆）已知等边△ABC 的边长为3个单位，若点P 由A 出发，以每秒1个单位的速度在三角形的边上沿A →B →C →A 方向运动，第一次回到点A 处停止运动，设AP ＝S ，用t 表示运动时间．（1）当点P 由B 到C 运动的过程中，用t 表示S ；（2）当t 取何值时，S 等于7（求出所有的t 值）；（3）根据（2）中t 的取值，直接写出在哪些时段AP ＜7？解：（1）当点P 在BC 上时，有3≤t≤6作PM ⊥AB ，垂足为M由PB ＝t －3，∠B ＝60°，得PM ＝32 (t －3 )，BM ＝ 12( t －3) ∴AM ＝3－12(t －3)于是S ＝AP ＝AM 2＋BM 2＝(t －3 )2－3( t －3 )＋9（3≤t≤6）（2）当S ＝7时（i ）当点P 在AB 上时，有t ＝7 （ii ）当点P 在CA 上时，有t ＝9－7（iii ）当点P 在BC 上时，S ＝(t －3 )2－3( t －3 )＋9＝7解得t ＝4或t ＝5综上t ＝7或t ＝9－7或t ＝4或t ＝5（3）根据（2）可知0＜t＜7，4＜t＜5，9－7＜t≤9 这三个时间段内AP ＜7 45．（黑龙江大兴安岭、鸡西、齐齐哈尔、黑河、七台河）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt △AOB 的两条直角边OA 、OB 分别在y 轴和x 轴上，并且OA 、OB 的长分别是方程x2－7x ＋12＝0的两根（OA ＜OB ），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 运动；同时，动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点AA CB运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒．（1）求A 、B 两点的坐标．（2）求当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似，并直接写出此时点Q 的坐标．（3）当t ＝2时，在坐标平面内找一点M ，使以A 、P 、Q 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求M 点的坐标；（4）在P 、Q 运动过程中，在坐标平面内是否存在点N ，使以A 、P 、Q 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出N解：（1）解方程x2－7x ＋12＝0，得x 1＝3，x 2＝4∵OA ＜OB ，∴OA ＝3，OB ＝4∴A （0，3），B （4，0）（2）由题意得，AP ＝t ，AQ ＝5－2t 可分两种情况讨论：①当∠APQ ＝∠AOB 时，△APQ ∽△AOB如图1， t3＝5－2t5，解得t ＝1511∴Q （2011，1811） ②当∠AQP ＝∠AOB 时，△APQ ∽△ABO 如图2， t5＝5－2t3，解得t ＝2513∴Q （1213，3013）（3）当t ＝2时，AP ＝2，AQ ＝5－2t ＝1 ∴PO ＝1，∴P （0，1），点Q 的横坐标为：1×cos ∠ABO ＝ 45，纵坐标为：3－1×sin ∠ABO ＝ 125∴Q （45，125）若AP 是平行四边形的边，则MQ ∥AP ，MQ ＝AP ＝2，如图3、图4 ∴点M 的横坐标为45，纵坐标为：125＋2＝225或 125－2＝25∴M 1（45，225），M 2（45，25）若AP 是平行四边形的对角线，则△AMP ≌PQA ，如图5∵点Q的横坐标为45，∴点M的横坐标为－45∵点A的纵坐标比点Q的纵坐标大3 5∴点M的纵坐标比点P的纵坐标大3 5即点M的纵坐标为：1＋35＝85∴M3（－45，85）（4）存在．N1（43，13），N2（32，5516），N3（－2017，3617）提示：有三种情况若AP＝AQ，则在坐标平面内存在点N，使四边形APNQ是菱形，如图6∴t＝5－2t，解得t＝53，∴AQ＝53∴Q（43，2），∴N1（43，13）若AP＝PQ，则在坐标平面内存在点N，使四边形APQN是菱形，如图7由题意，P（0，3－t），Q（4－85t，65t）∴PQ2＝(4－85t)2＋(3－t－65t)2∴t2＝(4－85t)2＋(3－t－65t)2，解得t＝2516或t＝52当t＝52时，点Q与点A重合，不合题意，舍去∴t＝2516，∴Q（32，158）∴N2（32，5516）若AQ＝PQ，则在坐标平面内存在点N，使四边形ANPQ是菱形，如图8连接NQ交AP于O′，则NQ⊥AP，AO′＝O′P∴AP＝2AO′，∴t＝65(5－2t)解得t＝3017，∴Q（2017，3617）∴N3（－2017，3617）46．（吉林）如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2cm ，AC ＝4cm ．动点P 从点A 出发，沿AB 方向以1cm /s 的速度向点B 运动，动点Q 从点B 同时出发，沿BA 方向以1cm /s 的速度向点A 运动．当点P 到达点B 时，P ，Q 两点同时停止运动．以AP 为一边向上作正方形APDE ，过点Q 作QF ∥BC ，交AC 于点F ．设点P 的运动时间为t s ，正方形APDE 和梯形BCFQ 重合部分的面积为S cm 2．（1）当t ＝_________s 时，点P 与点Q 重合；（2）当t ＝_________s 时，点D 在QF 上；（3）当点P 在Q ，B 两点之间（不包括Q ，B 两点）时，求S 与t 之间的函数关系式．解：（1）1 （2）45提示：点D 在QF 上时∵QF ∥BC ，∠DPQ ＝CAB ＝90° ∴△PQD ∽△ABC ，∴ PDPQ＝ACAB即t2－2t＝42，解得t ＝45B Q D PC A EF BCA （备用图）47．（吉林模拟）如图，梯形OABC中，OA在x轴上，CB∥OA，∠OAB＝90°，B（4，4），BC＝2．动点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA运动，到点A停止，过点E 作ED⊥x轴交折线O－C－B于点D，以DE为一边向右作正方形DEFG．设运动时间为t （秒），正方形DEFG与梯形OABC重叠面积为S（平方单位）．（1）求tan∠AOC的值；（2）求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；（3）连接AC，AC的中点为M，t为何值时，△DMG为等腰三角形？解：（1）过C 作CD ⊥x 轴于H∵B （4，4），BC ＝2，∴OH ＝2，CH ＝4 ∴tan ∠AOC ＝CHOH＝42＝2，（2）当点F 与点A 重合时，OE ＝t ，AE ＝DE ＝4－t∴tan ∠AOC ＝DEOE＝4－t t＝2，解得t ＝43当0＜t≤4 3时，S ＝DE 2＝( 2OE )2＝( 2t)2＝4t 2当4 3≤t ≤2时，S ＝DE ²AE ＝2t ²( 4－t)＝－2t 2＋8t 当2≤t ≤4时，S ＝4AE ＝4( 4－t)＝－4t ＋16当0＜t ≤4 3 时，t ＝ 4 3 时，S 最大＝64 9当43≤t≤2时，t ＝2时，S 最大＝8 当2≤t≤4时，t ＝2时，S 最大＝8 综上，t ＝2时，S 的最大值为8（3）t 1＝ 13－213 9 ，t 2＝ 32，t 3＝23－1提示：由题意，A （4，0），C （2，4） ∴M （3，2）当0＜t≤2时，D （t ，2t ），G （3t ，2t ）∴DM 2＝( t －3 )2＋( 2t －2)2，DG 2＝4t 2MG 2＝( 3t －3 )2＋( 2t －2)2若DG ＝MG ，则4t 2＝( 3t －3 )2＋( 2t －2)2解得t ＝ 13＋2 13 9 ＞2（舍去）或t ＝13－2139若MD ＝MG ，则( t －3 )2＋( 2t －2 )2＝( 3t －3 )2＋( 2t －2)解得t ＝0（舍去）或t ＝32若DM ＝DG ，则(t －3 )2＋( 2t －2)2＝4t2，无实数解当2＜t≤4时，D （t ，4），G （t ＋4，4）∴DM 2＝(t －3 )2＋ 2 2，DG 2＝42MG 2＝( t ＋1 )2＋ 22 若DG ＝MG ，则4 2＝( t ＋1 )2＋ 22解得t ＝23－1或t ＝－23－1（舍去）若MD ＝MG ，则( t －3 )2＋ 2 2＝( t ＋1 )2＋ 22备用图解得t＝1（舍去）若DM＝DG，则(t－3)2＋22＝42解得t＝3±23（舍去）48．（吉林长春）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm．D、E分别为边AB、BC的中点，连接DE．点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在线段AD上以5cm/s的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AQ上．设点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______________cm（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．（4）连接CD．当点N与点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M－N－M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．（1）(t－2)（2）①当点P在线段DE上时，如图①PD＝PN＝PQ＝2，∴t－2＝2∴t＝4②当点P在线段EB上时，如图②PN＝2PB∵PN＝PC＝(t－6)＋2＝t－4PB＝2－(t－6)＝8－t∴t－4＝2(8－t)，解得t＝20 3∴当点N落在AB边上时，t的值为4或20 3（3）①当2＜t＜4时，如图③S＝22－14(4－t)2即S＝－14t2＋2t②当203＜t＜8时，如图④图①图②(Q)图③S ＝(t －4)2－1 4(3t －20)2即S ＝－54t2＋22t －84 （4）t ＝143或t ＝5或6≤t≤8提示：当点H 第一次落在线段CD 上时 2.5(t －4)＋1 2 ( t －4 )＝2，解得t ＝143当点H 第二次落在线段CD 上时 2.5(t －4)－2＝ 12( t －4)，解得t ＝5当点H 第三次落在线段CD 上时 6－2.5(t －4)＝ 12( t －4)，解得t ＝6当6≤t≤8时，点H 恒在线段CD 上 49．（长春模拟）如图，在△AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝6，C 为OB 上一点，射线CD ⊥OB 交AB 于点D ，OC ＝2．点P 从点A 出发以每秒 2个单位长度的速度沿AB 方向运动，点Q 从点C 出发以每秒2个单位长度的速度沿CD 方向运动，P ，Q 两点同时出发，当点P 到达点B 时停止运动，点Q 也随之停止．过点P 作PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F ，得到矩形PEOF ，以点Q 为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN ，斜边MN ∥OB ，且MN＝QC ．设运动时间为t （秒）．（1）求t ＝1时FC 的长度．（2）求MN ＝PF 时t 的值．（3）当△QMN 和矩形PEOF 有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S 与t 的函数关系式．（4）直接写出△QMN 和矩形PEO F 的边有三个公共点时t 的值．解：（1）根据题意，△AOB 、△AEP 都是等腰直角三角形∵AP ＝2t ，∴OF ＝EP ＝t ∵OC ＝2，∴FC ＝|2－t| ∴当t ＝1时，FC ＝1（2）∵AP ＝2t ，∴AE ＝t ，PF ＝OE ＝6－t ∵MN ＝QC ＝2t ，MN ＝PF ∴2t ＝6－t ，∴t ＝2（3）当点F 在点C 左侧时，设MQ 、MN 分别与PF 交于点G 、H 当△QMN 和矩形PEOF 有重叠部分时则MH ＝GH ＝t －(2－t )＝2t －2≥0，得t≥1当点F 与点C 重合时，t ＝2当1≤t≤2时，重叠部分为△MGH ，如图①图④(Q )B图①B图③图②∵MH ＝GH ＝t －(2－t)＝2t －2∴S＝1 2(2t －2)2＝2t 2－4t ＋2当点E 落在MQ 上时，如图②∵AE ＝t ，EK ＝MK ＝t －2，AK ＝6－t ，AE ＋EK ＝AK ∴t ＋(t －2 )＝6－t ，∴t ＝83当2＜t≤83时，重叠部分为五边形IJKLP ，如图③ ∵JK ＝MK ＝t －2，AK ＝6－t ，∴AJ ＝6－t －(t －2)＝8－∴EK ＝6－t －t ＝6－2t ，EI ＝EJ ＝8－2t －t ＝8－3t∴S＝S 矩形EKLP－S △EJI ＝t (6－2t )－ 1 2 ( 8－3t )2＝－ 13 2t 2＋当MN 与EP 重合时，t ＝3 当83＜t≤3时，重叠部分为矩形EKLP ，如图④ ∴S＝t (6－2t)＝－2t 2＋6t（4）t ＝2或t ＝83提示：如图⑤、图②50．（长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，梯形ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别为A （－3，0），B （15，0），D （0，4），且CD ＝10．一条抛物线经过C 、D 两点，其顶点M 在x 轴上．点P 从点A 出发以每秒5个单位的速度沿AD 向点D 运动，到点D 后又以每秒3个单位的速度沿DC 向点C 运动，到点C 停止；同时，点E 从点B 出发以每秒5个单位的速度沿BO 运动，到点O 停止．过点E 作y 轴的平行线，交边BC 或CD 于点R ．设P 、E 两点运动的时间为t （秒）．（1）写出点M 的坐标，并求这条抛物线的解析式；（2）当点Q 和点R 之间的距离为8时，求t 的值；（3）直接写出使△MPQ 成为直角三角形时t 值的个数；（4）设P 、Q 两点直径的距离为d ，当2≤d ≤7时，求t 的取值范围．解：（1）M （5，0）设抛物线的解析式为y ＝a (x －5)2∵抛物线经过点D （0，4），∴25a ＝4，∴a ＝425∴抛物线的解析式为y ＝ 4 25 ( x －5 )2或y ＝ 4 25 x 2－ 8 5x ＋4 （2）作CN ⊥AB 于N ，则CN ＝4，BN ＝5①当0≤t ≤1时，由△BQE ∽△BCN 得： BE QE ＝ BN CN ＝54图⑤∵BE ＝5t ，∴QE ＝4t ∵RQ ＝8，∴RE ＝4t ＋8 ∴R （15－5t ，4t ＋8）∵点R 在抛物线y ＝4 25 (x －5)2上，∴4 25(15－5t －5)2＝4t ＋8解得t 1＝ 5＋ 17 2 ＞1（舍去），t 2＝5－172②当1≤t≤3时，QR ≤CN ＝4∴当t ＝ 5－172时，点Q 和点R 之间的距离为8（3）4 提示：当0≤t ≤1时，P 在线段AD 上，Q 在线段BC 上，∠PMQ ≥∠DMC＞90°当1＜t ≤ 13 3 时（P 到达C 时，t ＝1＋ 10 3＝133），P 、Q 均在CD 上若∠PMQ ＝90°，则由射影定理得：(8－3t )(10－5t )＝42解得t 1＝ 35－ 265 15 ，t 2＝35＋26515若∠PQM ＝90°，则Q 到达M 的正上方，t ＝ 105＝2若∠QPM ＝90°，则P 到达M 的正上方，t ＝1＋ 5 3＝83所以使△MPQ 成为直角三角形时的t 值有4个（4）∵当t ＝1时，P 、Q 分别到达D 、C 两点，CD ＝10 ∴当2≤d≤7时，P 、Q 均在CD 上当点P 和点Q 相遇前，d ＝PQ ＝3＋15－( 3t ＋5t)＝18－8t∴2≤18－8t ≤7，解得 118≤t≤2当点P 和点Q 相遇后，d ＝PQ ＝8t －18∴2≤8t －18≤7，解得 5 2 ≤t ≤258∵25 8 ＞3，而3t －3＝7时，t ＝10 3∴5 2 ≤t ≤10 3综上所述，当2≤d ≤7时，t 的取值范围为 11 8 ≤t ≤2或 5 2 ≤t ≤10351．（辽宁大连）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，点P 、Q 同时从点C 出发，以1cm /s 的速度分别沿CA 、CB 匀速运动，当点Q 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动．过点P 作AC 的垂线l 交AB 于点R ，连接PQ 、RQ ，并作△PQR 关于直线l 对称的图形，得到△PQ ′R ．设点Q 的运动时间为t （s ），△PQ ′R 与△P AR 重叠部分的面积为S （cm 2）．（1）t 为何值时，点Q ′ 恰好落在AB 上？（2）求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）S 能否为98cm 2？若能，求出此时的t 值，若不能，说明理由．B lACQ PRQ ′BA 备用图CBA备用图C解：（1）过点Q ′ 作Q ′H ⊥AC ，垂足为H （如图1） ∴∠Q ′HA ＝90°＝∠C ，Q ′H ∥BC ∴AQ ′H △∽△ABC ，∴Q ′HBC＝AHAC由题意知QC ＝CP ＝PH ＝Q ′H ＝t ∴ t6＝AH8 ，即AH ＝43t ∵CP ＋PH ＋HA ＝CA ，即t ＋t ＋43t ＝8∴t ＝12 5，即t 为125s 时，点Q ′ 恰好落在AB 上（2）①当0＜t≤125时（如图2）同理RPBC＝APAC，即RP6 ＝8－t8∴RP ＝34(8－t)∴S ＝S △PQ ′R＝S △PQR＝12RP ²CP ＝1 2 ×3 4 (8－t )×t ＝－ 3 8t 2＋3t ②当125＜t≤6时（如图3）设PQ ′ 与AB 相交于点M ，过点M 作MH ⊥AC ，垂足为H 设MH ＝a ，由对称性知，∠MPH ＝∠QPC ＝45°，则PH ＝MH ＝a 同理MHBC ＝AHAC，即a6 ＝AH8 ，∴AH ＝ 4 3a∵CP ＋PH ＋HA ＝CA ，即t ＋a ＋43a ＝8∴a ＝37(8－t)∴S ＝12RP ²PH ＝1 2 ×3 4 (8－t )×3 7 ( 8－t )＝ 9 56 ( 8－t )2＝－ 9 56 t 2－ 18 7 t ＋72 7综上，S ＝⎩⎨⎧－3 8t2＋3t （0＜t ≤125）－ 9 56t2－ 18 7 t ＋ 72 7 （125＜t≤6）（3）若S ＝ 98，则 ①当0＜t≤125时，－38t 2＋3t ＝98，解得t 1＝4＋13（舍去），t 2＝4－13 ②当125＜t≤6时，956(8－t)2＝98，解得t 1＝8＋7（舍去），t 2＝8－7 Bl ACQ PRQ ′图1HBl ACQ PRQ ′图2B l ACQP RQ ′图3MH即S 能为98cm 2，此时t 为(4－13 )s 或( 8－7)s 52．（辽宁葫芦岛）△ABC 中，BC ＝AC ＝5，AB ＝8，CD 为AB 边的高，如图1，A 在原点处，点B 在y 轴正半轴上，点C 在第一象限．若A 从原点出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B 随之沿y 轴下滑，并带动△ABC 在平面内滑动，如图2．设运动时间为t 秒，当B 到达原点时停止运动．（1）当t ＝0时，求点C 的坐标；（2）当t ＝4时，求OD 的长及∠BAO 的大小；（3）求从t ＝0到t ＝4这一时段点D 运动路线的长；（4）当以点C 为圆心，CA 为半径的圆与坐标轴相切时，求t 的值．解：（1）∵BC ＝AC ，CD ⊥AB∴D 为AB 的中点，∴AD ＝12AB ＝4在Rt △CAD 中，CD ＝5 2－42＝3∴点C 的坐标为（3，4）（2）如图2，当t ＝4时，AO ＝4 在Rt △ABO 中，D 为AB 的中点∴OD ＝12AB ＝4∴△AOD 为等边三角形，∴∠BAO ＝60°（3）如图3，从t ＝0到t ＝4这一时段点D 的运动路线是DD ′︵其中OD ＝OD ′＝4，又∠D ′OD ＝90°－60°＝30° ∴DD ′︵的长为 30π×4 180 ＝2π 3（4）由题意，AO ＝t当⊙C 与x 轴相切时，A 为切点，如图4 ∴CA ⊥OA ，∴CA ∥y 轴∴∠CAD ＝∠ABO ，∴Rt △CAD ∽Rt △ABO ∴ABCA＝AOCD，即85＝t3∴t ＝245当⊙C 与y 轴相切时，B 为切点，如图5图2图1 图2图3图5图4同理可得t ＝325∴t 的值为245或32553．（辽宁丹东）已知抛物线y ＝ax2－2ax ＋c 与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，点A的坐标是（－1，0），O 是坐标原点，且|OC |＝3|OA |．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直接写出直线BC 的函数表达式；（3）如图1，D 为y 轴负半轴上的一点，且OD ＝2，以OD 为边向左作正方形ODEF ．将正方形ODEF 以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方向移动，当点F 与点B 重合时停止移动．在移动过程中，设正方形O ′DEF 与△OBC 重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒． ①求S 与t 之间的函数关系式；②在运动过程中，S 是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由；（4）如图2，点P （1，k ）在直线BC 上，点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，是否存在以A 、M 、N 、P 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵A （－1，0），|OC |＝3|OA |，∴C （0，－3） ∵抛物线y ＝ax2－2ax ＋c 经过A 、C 两点∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2a ＋c ＝0c ＝－3 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3 ∴抛物线的函数表达式为y ＝x2－2x －3 （2）直线BC 的函数表达式为y ＝x －3 （3）①设D （m ，－2），则E （m －2，－2）当正方形ODEF 的顶点D 运动到直线BC 上时有－2＝m －3，∴m ＝1正方形ODEF 的边EF 运动到与OC 重合时 m ＝2当正方形ODEF 的顶点E 运动到直线BC 上时有－2＝(m －2)－3，∴m ＝3图2图1在y ＝x －3中，当y ＝0时，x ＝3，∴B （3，0）当正方形ODEF 的顶点F 运动到与点B 重合时有m ＝3＋2＝5当0＜t ≤1时，重叠部分为矩形OGDO ′ S ＝2t当1＜t≤2时，重叠部分为五边形OGHIO ′ HD ＝ID ＝t －1S ＝S 矩形OGDO ′－S △HID＝2t －1 2 (t －1)2＝－1 2 t 2当2＜t≤3时，重叠部分为五边形FEHIO ′S ＝S 正方形O ′DEF－S △HID＝22－1 2 (t －1)2＝－1 2 当3＜t≤5时，重叠部分为△FKBFB ＝FK ＝2－(t －3)＝5－tS ＝1 2 (5－t)2＝1 2 t 2－5t ＋25 2②当t ＝2秒时，S 有最大值，最大值为 72（4）存在．M 1（－2－1，0），M 2（2－1，0） M 3（3－6，0），M 4（3＋6，0）提示：如图54．（辽宁本溪）如图，已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋3经过点B （－1，0）、C （3，0），交y 轴于点A ，将线段OB 绕点O 顺时针旋转90°，点B 的对应点为点M ，过点A 的直线与x 轴交于点D （4，0）．直角梯形EFGH 的上底EF 与线段CD 重合，∠FEH ＝90°，EF ∥HG ，EF ＝EH ＝1．直角梯形EFGH 从点D 开始，沿射线DA 方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG 与直线AD 始终．．重合，设运动时间为t 秒．（1）求此抛物线的解析式；（2）当t 为何值时，以M 、O 、H 、E 为顶点的四边形是特殊的平行四边形；（3）作点A 关于抛物线对称轴的对称点A ′，直线HG 与对称轴交于点K ．当t 为何值时，以A 、A ′、G 、K 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的t 值．解：（1）∵抛物线y ＝ax2＋bx ＋3经过点B （－1，0）、C （3，0）∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋3＝09a ＋3b ＋3＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2 ∴抛物线的解析式为y ＝－x2＋2x ＋3（2）过点F ′ 作F ′N ⊥OD 轴于点N ，延长E ′H ′ 交x 轴于点P ∵点M 是点B 绕O 点顺时针旋转90°后得到的 ∴点M 的坐标为（0，1） ∵点A 是抛物线与y 轴的交点 ∴A 点坐标为（0，3），∴OA ＝3 ∵D （4，0），∴OD ＝4∴AD ＝3 2＋42＝5∵E ′H ′∥OM ，E ′H ′＝OM ＝1∴四边形MOH ′E ′ 是平行四边形（当EH 不与y 轴重合时）∵F ′N ∥OA ，∴△F ′ND ∽△AOD ，∴F ′NAO＝NDOD＝F ′DAD∵直角梯形E ′F ′G ′H ′ 是直角梯形EFGH 沿射线DA 方向平移得到的 ∴F ′D ＝t ，∴F ′N3＝ND4＝t5，∴F ′N ＝35t ，ND ＝45t ∵E ′F ′＝PN ＝1，∴OP ＝OD －ND －PN ＝4－ 45t －1＝3－45t ∵E ′P ＝F ′N ＝35t ，E ′H ′＝1，∴H ′P ＝35t －1 若平行四边形MOH ′E ′ 是矩形，则∠MOH ′＝90°此时H ′G ′ 与x 轴重合，∴F ′N ＝1 ∵35t ＝1，∴t ＝53即当t ＝53秒时平行四边形MOH ′E ′ 是矩形若平行四边形MOH ′E ′ 是菱形，则OH ′＝E ′H ′＝1 在Rt △H ′OP 中，(3－45 t)2＋(35t －1 )2＝12备用图解得t ＝3即当t ＝3秒时平行四边形MOH ′E ′ 是菱形综上：当t ＝53秒时平行四边形MOH ′E ′ 是矩形；当t ＝3秒时平行四边形MOH ′E ′ 是菱形（3）t 1＝3512 秒，t 2＝9512秒提示：∵KG ∥AA ′，∴当KG ＝AA ′＝2时，以A 、A ′、G 、K 为顶点的四边形为平行四边形当点E 与点C 重合、点F 与点D 重合时KG ＝KH ＋HG ＝KH ＋CD ＋CHtan ∠ADO＝2＋1＋43 ＝133∴移动t 秒时，KG ＝13 3－45t （直线HG 在AA ′ 下方）或KG ＝ 45t －133（直线HG 在AA ′上方）由 13 3－45 t ＝2，得t ＝3512由45t －13 3 ＝2，得t ＝951255．（辽宁模拟）将Rt △ABC 和Rt △DEF 按图1摆放（点F 与点A 重合），点A 、E 、F 、B 在同一直线上。

2014各地中考压轴题一

2014各地中考压轴题一1、（2014北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，-2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．2、（2014北京）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足-M≤y≤M，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y=x1（x > 0）和y= x + 1（-4 < x ≤ 2）是不是有界函数？若是有界函数，求边界值；（2）若函数y=-x+1（a ≤ x ≤ b ，b > a ）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围；（3）将函数2(1,0)y x x m m =-≤≤≥的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足143≤≤t ？ 3、（2014长沙）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1），（-2，-2），22（，），…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个。

（1）若点P （2，m ）是反比例函数ny x=（n 为常数，n ≠0）的图像上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数31y kx s =+-（k,s 为常数）的图像上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数21y ax bx =++（a,b 是常数，a ＞0）的图像上存在两个“梦之点”A 11(,)x x ，B 22(,)x x ,且满足-2＜1x ＜2，12x x -=2，令215748t b b =-+，试求t 的取值范围。

2014年中考数学压轴题复习⒅(含答案,共20期)

2014年中考数学压轴题复习⒅341．（山东省淄博市）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过D 点作EF ∥BC 交AB 的延长线于点E ，交AC 的延长线于点F ．（1）求证：EF 为⊙O 的切线；（2）若sin ∠ABC ＝54，CF ＝1，求⊙O 的半径及EF 的长．342．（山东省淄博市）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC ）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD ）的斜边恰好重合．已知AB ＝32，P 是AC 上的一个动点．（1）当点P 运动到∠ABC 的平分线上时，连接DP ，求DP 的长；（2）当点P 在运动过程中出现PD ＝BC 时，求此时∠PDA 的度数；（3）当点P 运动到什么位置时，以D ，P ，B ，Q 为顶点的平行四边形的顶点Q 恰好在边BC 上？求出此时□DPBQ 的面积．343．（山东省淄博市）已知直角坐标系中有一点A （－4，3），点B 在x 轴上，△AOB 是等腰三角形．（1）求满足条件的所有点B 的坐标；（2）求过O ，A ，B 三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；（3）在（2）中求出的抛物线上存在点P ，使得以O ，A ，B ，P 四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P 的坐标及相应梯形的面积．344．（山东省潍坊市）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，且AC ＝CD ．（1）求证：OC ∥BD ；（2）若BC 将四边形OBDC 分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC 的形状．345．（山东省潍坊市）如图，已知正方形OABC 在直角坐标系xO y 中，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点O 在坐标原点．等腰直角三角板OEF 的直角顶点O 在原点，E 、F 分别在OA 、OC 上，且OA ＝4，OE ＝2．将三角板OEF 绕O 点逆时针旋转至OE 1F 1的位置，连结CF 1、AE 1．（1）求证：△OAE 1≌△OCF 1；A B C DA B OC D（2）若三角板OEF 绕O 点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE ∥CF ，若存在，请求出此时E346．（山东省潍坊市）如图所示，抛物线与x 轴交于点A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3）．以AB为直径作⊙M ，过抛物线上一点P 作⊙M 的切线PD ，切点为D ，并与⊙M 的切线AE 相交于点E ，连结DM 并延长交⊙M 于点N ，连结AN 、AD ．（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；（2）若四边形EAMD 的面积为34，求直线PD 的函数关系式；（3）抛物线上是否存在点P ，使得四边形EAMD 的面积等于△DAN 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．347．（山东省东营市）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ，DE ⊥BC 于E ，F 为AB 上一点，且AF ＝EC ，M 是FC 中点，连结FD 、ME ，设FC 与DE 相交于点N ．（1）求证：∠FDB ＝∠FCB ；△DFN ∽△CBD ；ME 垂直平分BD ；（2）若ME ＝2，求BF 的长．348．（山东省东营市）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，直角边BC 与x 轴重合，其内切圆的圆心坐标为I（0，1），抛物线y ＝ax2＋2ax ＋1的顶点为A ．（1）判断抛物线的开口方向并说明理由；（2）求点B 的坐标（用含a 的代数式表示）；（3）当a 为何值时，∠ABC ＝30°？349．（山东省东营市）如图，在锐角三角形ABC 中，BC ＝12，△ABC 的面积为48，D ，E 分别是边AB ，AC 上的两个动点（D 不与A ，B 重合），且保持DE ∥BC ，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG ．（1）当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，求正方形DEFG 的边长；（2）设DE ＝x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，写出x 的取值范围，并求出y 的最大值．350．（山东省日照市）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30°，O 、A 两点相距38米．（1）求出点A 的坐标及直线OA 的解析式；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点．351．（山东省日照市）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于E ，交BC 于D ．求证：（1）D 是BC 的中点；（2）△BEC ∽△ADC ；（3）BC 2＝2AB ²CE ．352．（山东省日照市）如图，对称轴为直线x ＝21的抛物线交x 轴于A （－2，0）、B 两点，交y 轴负半轴于点C ，且S △ABC＝215．（1）求抛物线的解析式；（2）若平行于x 轴的直线y ＝k （k ＜0）交该抛物线于M 、N 两点，交y 轴于点D ，且以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点，求k 的值；（3）在（2）的条件下，连结AD ，将△AOD 绕坐标平面内的某一点旋转180°后，A 、D 的对应点A ′、D ′能否同时落在抛物线上？若能，求出A ′、D ′和旋转中心的坐标；若不能，请说明理由．A B C D E F G A B C 备用图（1） AB C 备用图（2）353．（山东省菏泽市）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，D 是AB 中点，E 是BC 上动点（不与C 重合），⊙O 是过C 、D 、E 三点的圆．（1）求证：∠DFE ＝∠B ，并求EF 的最小值．（2）设BE ＝x ，CF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．（3）求CF 的取值范围．354．（山东省菏泽市）如图1，梯形OABC 中，OA ∥BC ，∠C ＝90°，以AB 为直径作⊙M ，交OC 于点D 、E ，连结AD 、BD 、BE ．（1）求证：△ADB ∽△ECB ．（2）如图2，以梯形OABC 的顶点O 为坐标原点，顶点C 在y 轴正半轴上建立直角坐标系，抛物线y ＝ax2－2ax －3a 经过A 、D 两点，且顶点为B ，求抛物线的解析式．（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上是否存在这样的点P ：过点P 做PQ ⊥x 轴于Q ，使得以P 、A 、Q 为顶点的三角形与△ADB 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．355．（山东省菏泽市）如图所示，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 经过原点O ，与x 轴交于另一点N ，直线y ＝kx ＋4与两坐标轴分别交于A 、D 两点，与抛物线交于点B (1，m )、C (2，2)两点．（1）求直线与抛物线的解析式．（2）若抛物线在x 轴上方的部分有一动点P (x ，y )，设∠PON ＝α，求当△PON 的面积最大时tan α的值．图1（3）若动点P 保持（2）中的运动路线，问是否存在点P ，使得△POA 的面积等于△PON 面积的 815？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．356．（山东省莱芜市）在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D .（1）求线段AD 的长度；（2）点E 是线段AC 上的一点，试问当点E 在什么位置时，直线ED 与⊙O 相切？请说明理由.357．（山东省莱芜市）在□ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，过点O 作直线EF 、GH ，分别交平行四边形的四条边于E 、G 、F 、H 四点，连结EG 、GF 、FH 、HE ．（1）如图①，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF ⊥GH 时，四边形EGFH 的形状是_______________；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC ＝BD ，四边形EGFH 的形状是_______________；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC ⊥BD ，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由.358．（山东省莱芜市）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 交x 轴于A （2，0），B （6，0）两点，交y 轴于点C （0，32）．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线y ＝2x 交于点D ，作⊙D 与x 轴相切，⊙D 交y 轴于E 、F 两点，求劣弧EF︵的长；（3）P 为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG 垂直于x 轴，垂足为点G ，试确定P 点的位置，使得△PGA 的面积被直线AC 分成1 :2两部分．B H G F E O DC B A 图① H G E OD C B A 图② A B C DO E F G H 图③ A B C DO E F G H 图④F359．（山东省泰安市）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点，且满足AD ＝AB ，∠ADE ＝∠C ．（1）求证：∠AED ＝∠ADC ，∠DEC ＝∠B ；（2）求证：AB 2＝AE ²AC ．360．（山东省泰安市）如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90°，点P 、Q 分别是AB 、AC 上的动点，且满足BP ＝AQ ，D 是BC 的中点．（1）求证：△PDQ 是等腰直角三角形；（2）当点P 运动到什么位置时，四边形APDQ 是正方形，并说明理由．AEC AQ P答案341．（1）证明：连结OD∵AD 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2 ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠3 ∴∠2＝∠3，∴OD ∥AC ∵AB 为⊙O 的直径，∴AC ⊥BC ∴OD ⊥BC∵EF ∥BC ，∴OD ⊥EF ∵OD 为⊙O 的半径∴EF 为⊙O 的切线 ·················································································· 3分（2）解：设OD 与BC 相交于点M ，⊙O 的半径为r ，则OB ＝OD ＝r在Rt △BOM 中，OM ＝OB ²sin ∠ABC ＝54r又∵OM ＝OD －MD ＝OD －CF ＝r －1r －1＝54r ，∴r ＝5即⊙O 的半径为5 ····················································································· 6分 ∴AB ＝10，AC ＝AB ²sin ∠ABC ＝8，BC ＝22AC AB－＝6AF ＝AC ＋CF ＝9∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ∴BC EF ＝AC AF ，即5EF ＝89∴EF ＝845································································································· 8分342．解：（1）如图（1），作DF ⊥AC 于F在Rt △ABC 中，∵AB ＝32，∠BAC ＝30°，∴BC ＝3，AC ＝3 在Rt △ACD 中，∵AD ＝CD ，∴DF ＝AF ＝CF ＝23∵BP 平分∠ABC ，∴∠PBC ＝30° ∴CP ＝BC ²tan30°＝1，∴PF ＝21 ∴DP ＝22PF DF＋＝210 ······································································· 3分（2）（1）（2）当P 点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF ＝23，∠ADF ＝45° 又PD ＝BC ＝3，∴cos ∠PDF ＝PDDF ＝23，∴∠PDF ＝30°∴∠PDA ＝∠ADF －∠PDF ＝15° ································································· 5分当P 点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF ＝30°∴∠PDA ＝∠ADF ＋∠PDF ＝75° ································································· 7分（3）当CP ＝23时，以D ，P ，B ，Q 为顶点的平行四边形的顶点Q 恰好在边BC 上理由如下：如图（4），在□DPBQ 中，∵BC ∥DP ，∠ACB ＝90°，∴DP ⊥AC 根据（1）中结论可知，DP ＝CP ＝23························································· 8分 ∴S □DPBQ＝DP ²CP ＝49 ············································································· 10分 343．解：（1）过A 作AC ⊥x 轴，由已知得OC ＝4，AC ＝3∴OA ＝22AC OC＋＝5①当OB ＝OA ＝5时若点B 在x 轴的负半轴上，如图（1），点B 的坐标为（－5，0） ·········· 0.5分若点B 在x 轴的正半轴上，如图（2），点B 的坐标为（5，0） ················· 1分②当AB ＝OA ＝5时，点B 只能在x 轴的负半轴上，如图（3）此时BC ＝OC ，则OB ＝8，点B 的坐标为（－8，0） ····························· 1.5分 ③当AB ＝OB ＝5时，点B 只能在x 轴的负半轴上，如图（4）在x 轴上取点D ，使AD ＝OA ，则OD ＝8（3）（4）（2）（1）由∠AOB ＝∠OAB ＝∠ODA ，可知△AOB ∽△ODA 则OA OB ＝OD OA ，即5OB ＝85解得OB ＝825，点B 的坐标为（－825，0） ················································ 2分（2）当AB ＝OA 时，抛物线过O（0，0），A （－4，3），B （－8，0）三点设抛物线的函数表达式为y ＝ax2＋bx则⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＝364a －8b ＝0 解得a ＝－163，b ＝－23∴y ＝－163x2－23x ························································································ 3分当OA ＝OB 时，同理可得y ＝－43x2－415x ················································ 4分（3）当OA ＝AB 时①若BP ∥OA ，如图（5）分别过A 、P 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、E 则∠PBE ＝∠AOC ，∠PEB ＝∠ACO ＝90° ∴△PBE ∽△AOC ，∴BE PE ＝OCAC ＝43设BE ＝4m ，则PE ＝3m∴点P 的坐标为（4m －8，－3m ），代入y ＝－163x2－23x ，解得m ＝3 ∴P （4，－9） ································································································ 5分 S 梯形ABPO＝S △ABO＋S △BPO＝21×OB ×(AC ＋PE )＝21×8×(3＋9)＝48 ···· 5.5分 ②若OP ∥AB ，根据抛物线的对称性可得点P 的坐标为（－12，－9） ······ 6分 S 梯形AOPB＝S △ABO＋S △BPO＝48 ··································································· 6.5分当OA ＝OB 时，若BP ∥OA ，如图（6），作PF ⊥x 轴则∠PBF ＝∠AOC ，∠PFB ＝∠ACO ＝90° ∴△PBF ∽△AOC ，∴BF PF ＝OCAC ＝43设BF ＝4m ，则PF ＝3m（3）（4）∴点P 的坐标为（4m －5，－3m ），代入y ＝－43x2－415x ，解得m ＝3∴P （1，－29） ······························································ 7分 S 梯形ABPO＝S △ABO＋S △BPO＝475 ····································· 8分若OP ∥AB （图略），作PF ⊥x 轴则∠POF ＝∠ABC ，∠PFO ＝∠ACB ＝90° ∴△POF ∽△ABC ，∴OF PF ＝BCAC＝3 设点P 的坐标为（－n ，－3n ），代入y ＝－43x2－415x ，解得n ＝9∴P （－9，－27） ·························································································· 9分 S 梯形AOPB＝S △ABO＋S △BPO＝75 ····································································· 10分344．（1）证明：∵AC ＝CD ，∴AC ︵＝CD ︵，∴∠ABC ＝∠CBD又∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠OCB ＝∠CBD ∴OC ∥BD ···························································4分（2）解：∵OC ∥BD ，不妨设平行线OC 与BD 间的距离为h又S △OBC＝21OC ²h ，S △DBC＝21BD ²h 因为BC 将四边形OBDC 分成面积相等的两个三角形，即S △OBC＝S △DBC ∴OC ＝BD ································································································· 7分 ∴四边形OBDC 为平行四边形. 又∵OC ＝BD ，∴四边形OBDC 为菱形345．（1）证明：∵四边形OABC 为正方形，∴OA ＝OC∵三角板OEF 是等腰直角三角形，∴OE 1＝OF 1又三角板OEF 绕O 点逆时针旋转至OE 1F 1的位置时，∠AOE 1＝∠COF 1 ∴△OAE 1≌△OCF 1 ·················································································· 3分（2）存在 ··········································································································· 4分∵OE ⊥OF∴过点F 与OE 平行的直线有且只有一条，并与OF 垂直，又当三角板OEF 绕O 点逆时针旋转一周时，点F 在以O 为圆心，OF 为半径的圆上······································································································· 5分∴过点F 与OF 垂直的直线必是⊙O 的切线，又点C 是圆⊙O 外一点，过点C 与⊙O 相切的直线有且只有2条，不妨设为CF 1和CF 2此时，E 点分别在E 1点和E 2点，满足CF 1∥OE 1，CF 2∥OE 2 ·············· 7分ABOC D当切点F 1在第二象限时，点E 1在第一象限，在直角三角形CF 1O 中，OC ＝4，OF 1＝2 cos ∠COF 1＝OC OF 1＝21∴∠COF 1＝60°，∴∠AOE 1＝60° ∴点E 1的横坐标为：x E 1＝2cos60°＝1 点E 1的纵坐标为：y E 1＝2sin60°＝3∴点E 1的坐标为（1，3） ··························· 9分当切点F 2在第一象限时，点E 2在第四象限同理可求：点E 2的坐标为（1，－3）················································· 10分综上所述，三角板OEF 绕O 点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得OE ∥CF ，此时点E 的坐标为E 1（1，3）或E 2（1，－3） ············································ 11分346．解：（1）因为抛物线与x 轴交于点A （－1，0）、B （3，0）两点设抛物线的函数关系式为：y ＝a (x ＋1)(x －3) ∵抛物线与y 轴交于点C （0，－3） ∴－3＝a (0＋1)(0－3)，∴a ＝1所以，抛物线的函数关系式为：y ＝(x ＋1)(x －3)即y ＝x2－2x －3 ····························································································· 2分∵y ＝x2－2x －3＝(x －1)2－4因此，抛物线的顶点坐标为（1，－4） ························································ 3分（2）连结EM ，∵EA 、ED 是⊙M 的两条切线∴EA ＝ED ，EA ⊥AM ，ED ⊥MD ，∴△EAM ≌△EDM 又四边形EAMD 的面积为34，∴S △EAM＝32，∴21AM ²AE ＝32 又AM ＝2，∴AE ＝32因此，点E 的坐标为E 1（－1，32）或E 2（－1，－32） ···················· 5分当E 点在第二象限时，切点D 在第一象限在Rt △EAM 中，tan ∠EMA ＝AMEA＝232＝3∴∠EMA ＝60°，∴∠DMB ＝60° 过切点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ∴MF ＝1，DF ＝3因此，切点D 的坐标为（2，3） ······························································ 6分设直线PD 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，将E （－1，32），D （2，3）的坐标代入得⎩⎨⎧3＝2k ＋b 32＝－k ＋b解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－33b ＝335 所以，直线PD 的函数关系式为y ＝－33x ＋335 ···································· 7分当E 点在第三象限时，切点D 在第四象限同理可求：切点D 的坐标为（2，－3），直线PD 的函数关系式为y ＝33x －335 因此，直线PD 的函数关系式为：y ＝－33x ＋335或y ＝33x －335 ··························································· 8分（3）若四边形EAMD 的面积等于△DAN 的面积又S 四边形EAMD＝2S △EAM，S △DAN＝2S △AMD∴S △AMD＝S △EAM∴E 、D 两点到x 轴的距离相等∵PD 与⊙M 相切，∴点D 与点E 在x 轴同侧 ∴切线PD 与x 轴平行此时切线PD 的函数关系式为y ＝2或y ＝－2 ···················· 9分当y ＝2时，由y ＝x2－2x －3得，x ＝1±6当y ＝－2时，由y ＝x2－2x －3得，x ＝1±2 ········································· 11分故满足条件的点P 的位置有4个，分别是：P 1（1＋6，2）、P 2（1－6，2）、 P 3（1＋2，－2）、P 4（1－2，－2） ····················································· 12分347．（1）证明：∵∠ABC ＝90°，∴AB ⊥BC又AD ∥BC ，DE ⊥BC ，∴DE ＝AB ＝AD ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，∴∠A ＝90° ∴四边形ABED 是正方形又AF ＝EC ，∴△ADF ≌△EDC ∴DF ＝DC ，∠ADF ＝∠EDC又∠ADF ＋∠FDE ＝90°，∴∠EDC ＋∠FDE ＝90° ∴∠FDC ＝90°，∴△DFC 是等腰直角三角形设FC 与BD 相交于点G ，则∠DFG ＝∠DCF ＝45° ∵∠CBG ＝45°，∴∠DFG ＝∠CBG 又∠FGD ＝∠BGC ，∴△FDG ∽△BCG∴∠FDB ＝∠FCB ····················································································· 3分 ∵∠FDN ＝45°＋∠FDB ，∠BCD ＝45°＋∠FCB ，∴∠FDN ＝∠BCD又∠DFN ＝∠CBD ＝45°∴△DFN ∽△CBD ···················································································· 5分连结DM ，则DM ⊥FC ，∠FDM ＝∠CDM ＝45° 又∠FDB ＝45°－∠ADF ，∠MDE ＝45°－∠EDC ∴∠FDB ＝∠MDE 又DM DF ＝DEDB＝2，∴△DFB ∽△DME ∴∠MED ＝∠FBD ＝45°∴ME 是正方形ABED 的对角线，∴ME 垂直平分BD ··························· 8分（2）解：由△DFB ∽△DME 可知，∴FB ＝2ME ＝2 ········································ 10分348．解：（1）∵y ＝ax2＋2ax ＋1，∴抛物线的对称轴为x ＝－1∵抛物线的顶点为A ，∴直角边AC 所在直线为对称轴由题意，得顶点A 的坐标为（－1，1－a ） ∵y ＝ax2＋2ax ＋1，当x ＝0时，y ＝1∴抛物线过I （0，1） ∴1－a ＞1，∴a ＜0∴抛物线开口向下 ············································ 12分（2）如图，AC ＝1－a ，BC ＝OC ＋OB ＝1＋OBAB ＝AD ＋BD ＝AE ＋OB ＝AC －EC ＋OB ＝(1－a )－1＋OB ＝OB －a 在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC 2＋BC 2＝AB 2∴(1－a ) 2＋(1＋OB ) 2＝(OB －a ) 2，解得OB ＝11+-a a ∴点B 的坐标为（11+-a a ，0） ······································································· 6分（3）∵∠ABC ＝30°，∴tan ∠ABC ＝33 又tan ∠ABC ＝BCAC＝1111+-+-a a a ＝a a 212-，∴a a 212-＝33∴3a2＋32a －3＝0∴a 1＝－3，a 2＝33 又∵a ＜0，∴a ＝－3即当a ＝－3时，∠ABC ＝30°································································· 10分349．解：（1）当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，如图（1）过点A 作BC 边上的高AM ，交DE 于N ，垂足为MADEN∵S △ABC＝48，BC ＝12，∴AM ＝8∵DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ·············································· 1分 ∴BC DE ＝AMAN，而AN ＝AM －MN ＝AM －DE ∴12DE ＝88DE- ································································· 2分解得 DE ＝524 ∴当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，正方形DEFG 的边长为524 ······ 3分（2）分两种情况：①当正方形DEFG 在△ABC 的内部时，如图（2）△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为正方形DEFG 的面积 ∵DE ＝x ，∴y ＝x2（0＜x ≤524） ···································· 4分②当正方形DEFG 的一部分在△ABC 的外部时，如图（3）设EF 与BC 交于点P ，DG 与BC 交于点Q ，△ABC 的高AM 交DE 于N ∵DE ＝x ，DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ························ 5分 ∴BC DE ＝AMAN，而AN ＝AM －MN ＝AM －EP ∴12x ＝88EP -，解得EP ＝8－32x ···································· 6分所以y ＝x (8－32x )，即y ＝－32x2＋8x （524＜x ＜12） ····· 7分因此△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x2 （0＜x ≤524）－32x2＋8x （524＜x ＜12） ····································· 8分当0＜x ≤524时，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为(524)2＝25576当524＜x ＜12时，∵y ＝－32x2＋8x ＝－32(x －6)2＋24∴当x ＝6时，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为24∵24＞25576所以△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为24 ··················· 10分350．解：（1）在Rt △AOC 中∵∠AOC ＝30 °，OA ＝38∴AC ＝OA ²sin30o ＝38×21＝34OC ＝OA ²cos30o ＝38×23＝12 A BCD E FG图（2）AB C图（3） DEF G M NQ P。

2014年中考数学压轴题精编--河北篇(试题及答案)

2014年中考数学压轴题精编—河北篇1．（河北省）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．过点D （0，3）和E （6，0）的直线分别与AB ，BC 交于点M ，N ．（1）求直线DE 的解析式和点M 的坐标；（2）若反比例函数y ＝xm（x ＞0N 是否在该函数的图象上；（3）若反比例函数y ＝xm（x ＞01．解：（1）设直线DE 的解析式为y ＝kx ＋b∵点D ，E 的坐标为（0，3）、（6，0），∴⎩⎨⎧b k b＋＝＝ 603 解得⎪⎩⎪⎨⎧321 ＝＝b k －∴直线DE 的解析式为y ＝－21x ＋3 ············································································· 1分 ∵点M 在AB 边上，B （4，2），而四边形OABC 是矩形，∴点M 的纵坐标为2又∵点M 在直线y ＝－21x ＋3上，∴2＝－21x ＋3，∴x ＝2 ∴M （2，2） ················································································································· 3分（2）∵y ＝xm （x ＞0）经过点M （2，2），∴m ＝4，∴y ＝x 4·································· 4分又∵点N 在BC 边上，B （4，2），∴点N 的横坐标为4∵点N 在直线y ＝－21x ＋3上，∴y ＝1 ∴ N （4，1） ················································································································ 5分 ∵当x ＝4时，y ＝x 4＝1，∴点N 在函数y ＝x4的图象上··········································· 6分（3）4≤m ≤8 ················································································································ 9分2．（河北省）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝6，BC ＝8，AB ＝33，点M 是BC 的中点．点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点P ，Q 的运动过程中，以PQ 为边作等边三角形EPQ ，使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧．点P ，Q 同时出发，当点P 返回到点M 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P ，Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）设PQ 的长为y ，在点P 从点M 向点B 运动的过程中，写出y 与t 之间的函数关系式（不必写t 的取值范围）；（2）当BP ＝1时，求△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积．（3）随着时间t 的变化，线段AD 会有一部分被△EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接．．写出t 的取值范围；若不能，请说明理由． 2．解：（1）y ＝2t ；···················································································································· 2分（2）当BP ＝1时，有两种情形：①如图1，若点P 从点M 向点B 运动，有MB ＝21BC ＝4，MP ＝MQ ＝3， ∴PQ ＝6．连接EM ，∵△EPQ 是等边三角形，∴EM ⊥PQ ，∴EM ＝33 ∵AB ＝33，∴点E 在AD 上∴△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分为△EPQ ，其面积为： S △EPQ＝21PQ ·EM ＝21×6×33＝39 ····································· 4分 ②若点P 从点B 向点M 运动，由题意得t ＝5 PQ ＝BM ＋MQ －BP ＝8，PC ＝7设PE 与AD 交于点F ，Q E 与AD 或AD 的延长线交于点G 过点P 作PH ⊥AD 于点H ，则HP ＝33，AH ＝1 在Rt △HPF 中，∵∠HPF ＝30°，∴HF ＝3，PF ＝6 ∴FG ＝FE ＝2又∵FD ＝2，∴点G 与点D 重合，如图2此时△EPQ 与梯形ABCD 的重叠部分为梯形FPCG ，其面积为：图1图2Q （备用图）S 四边形FPCG＝21(FG ＋PC )·HP ＝21(2＋7)×33＝3227 ········································· 7分（3）能．4≤t ≤5． ···································································································· 12分3．（河北省）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y ＝－1001x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润＝销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳1001x2元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润＝销售额－成本－附加费）．（1）当x ＝1000时，y ＝___________元/件，w 内＝___________元；（2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：抛物线y ＝ax2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标是(－ab 2，a b ac 442－)．3．解：（1）140 57500； ································································································· 2分（2）w 内＝x ( y －20)－62500＝－1001x2＋130x －62500 w 外＝－1001x2＋(150－a )x ···························································································· 6分（3）当x ＝－)(10012130-⨯＝6500时，w 内最大； ························································· 7分由题意得：)()(1001415002-⨯--a ＝)()()(1001413062500100142-⨯--⨯-⨯解得a 1＝30，a 2＝270（不合题意，舍去）所以a ＝30 ····················································································································· 8分（4）当x ＝5000时，w 内＝337500，w 外＝－5000a ＋500000 若w 内＜w 外，则a ＜32.5；若w内＝w外，则a＝32.5；若w内＞w外，则a＞32.5．所以，当10≤a＜32.5时，选择在国外销售；当a＝32.5时，在国外和国内销售都一样；当32.5＜a≤40时，选择在国内销售．·····································································12分。

2014年中考数学压轴题精编--直辖市篇(试题及答案)

2014中考数学压轴题精编----直辖市篇1．（北京市）在平面直角坐标系xO y 中，抛物线y ＝－41-m x2＋45mx ＋m2－3m ＋2与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B （2，n ）在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动）．过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当Q 点运动时，M 点、N 点也随之运动）．若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．1．解：（1）∵抛物线y ＝－41-m x2＋45mx ＋m2－3m ＋2经过原点∴m2－3m ＋2＝0，解得m 1＝1，m 2＝2 由题意知m 1≠1，∴m ＝2 ∴抛物线的解析式为y ＝－41x2＋25x ∵点B （2，n ）在抛物线y ＝－41x2＋25x 上，∴n ＝4 ∴点B 的坐标为（2，4） ·················································· 2分（2）①设直线OB 的解析式为y ＝k 1x 求得直线OB 的解析式为y ＝2x∵A 点是抛物线与x 轴的一个交点，可求得A 点的坐标为（10，0）设P 点的坐标为（a ，0），则E 点的坐标为（a ，2a ）根据题意作等腰直角三角形PCD ，如图1 可求得点C 的坐标为（3a ，2a ）由C 点在抛物线上，得2a ＝－41×(3a )2＋25×3a 图1即49a2－211a ＝0，解得a 1＝922，a 2＝0（舍去） ∴OP ＝922·········································································· 4分 ②依题意作等腰直角三角形QMN 设直线AB 的解析式为y ＝k 2x ＋b由点A （10，0），点B （2，4），求得直线AB 的解析式为y ＝－21x ＋5 当P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上，如图2所示可证△DPQ 为等腰直角三角形此时OP 、DP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、2t 个单位 ∴PQ ＝DP ＝4t ，∴t ＋4t ＋2t ＝10 ∴t ＝710第二种情况：PC 与MN 在同一条直线上，如图3所示可证△PQM 为等腰直角三角形此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位 ∴OQ ＝10－2t∵F 点在直线AB 上，∴FQ ＝t ，∴MQ ＝2t ∴PQ ＝MQ ＝CQ ＝2t ，∴t ＋2t ＋2t ＝10 ∴t ＝2第三种情况：点P 、Q 重合时，PD 与QM 在同一条直线上，如图4所示此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位 ∴t ＋2t ＝10 ∴t ＝310 综上，符合题意的t 值分别为710，2，310···································································· 8分2．（天津市）在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半图3图4轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点．（Ⅰ）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；（Ⅱ）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标． 2．解：（Ⅰ）如图1，作点D 关于x 轴的对称点D ′，连接CD ′与x 轴交于点E ，连接DE若在边OA 上任取点E ′（与点E 不重合），连接CE ′、DE ′、D ′E ′ 由DE ′＋CE ′＝D ′E ′＋CE ′＞CD ′＝D ′E ＋CE ＝DE ＋CE 可知△CDE 的周长最小∵在矩形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点 ∴BC ＝3，D ′O ＝DO ＝2，D ′B ＝6 ∵OE ∥BC ，∴Rt △D ′OE ∽Rt △D ′BC ，∴BC OE ＝BD OD '' ∴OE ＝BD O D ''²BC ＝62×3＝1 ∴点E 的坐标为（1，0） ······································································ 6分（Ⅱ）如图2，作点D 关于x 轴的对称点D ′，在CB 边上截取CG ＝2，连接D ′G 与x 轴交于点E ，在EA 上截取EF ＝2，则四边形GEFC 为平行四边形，得GE ＝CF又DC 、EF 的长为定值，∴此时得到的点E 、F 使四边形CDEF 的周长最小 ∵OE ∥BC ，∴Rt △D ′OE ∽Rt △D ′BG ，∴BG OE ＝B D O D '' ∴OE ＝BD OD ''²BG ＝BD OD ''²(BC －CG )＝62×1＝31∴OF ＝OE ＋EF ＝31＋2＝37∴点E 的坐标为（31，0），点F 的坐标为（37，0） ························· 10分3．（天津市）在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为E ．（Ⅰ）若b ＝2，c ＝3，求此时抛物线顶点E 的坐标；（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE＝S △ABC，求此时直线BC 的解析式；（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE＝2S △AOC，且顶点E 恰好落在直线y ＝－4x ＋3上，求此时抛物线的解析式．3．解：（Ⅰ）当b ＝2，c ＝3时，抛物线的解析式为y ＝－x2＋2x ＋3，即y ＝－(x －1)2＋4∴抛物线顶点E 的坐标为（1，4） ·············································································· 2分（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点E 在对称轴x ＝1上，又b ＝2 ∴抛物线的解析式为y ＝－x2＋2x ＋c （a ＞0）∴此时抛物线与y 轴的交点为C （0，c ），顶点为E （1，1＋c ） ∵方程－x2＋2x ＋c ＝0的两个根为x 1＝1－c +1，x 2＝1＋c +1∴此时抛物线与x 轴的交点为A （1－c +1，0），B （1＋c +1，0）如图，过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F ，连接CF ，则S △BCE＝S △BCF∵S △BCE＝S △ABC，∴S △BCF＝S △ABC∴BF ＝AB ＝2c +1设对称轴x ＝1与x 轴交于点D ，则DF ＝21AB ＋BF ＝3c +1 由EF ∥CB 得∠EFD ＝∠CBO ∴Rt △EDF ∽Rt △COB ，∴DF ED ＝OBCO即cc ++131＝cc++11，结合题意，解得c ＝45 ∴点C （0，45），B （25，0）设直线BC 的解析式为y ＝mx ＋n ，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧n m n ＋＝＝ 25045 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-4521 ＝＝n m ∴直线BC 的解析式为y ＝－21x ＋45··········································································· 6分（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为E （h ，k ），（h ＞0，k ＞0）则抛物线的解析式为y ＝－(x －h )2＋k 此时抛物线与y 轴的交点为C （0，－h2＋k ），与x 轴的交点为A （h －k ，0），B （h ＋k ，0）．（k ＞h ＞0）过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F ，连接CF ，则S △BCE＝S △BCF∵S △BCE＝2S △AOC，∴S △BCF＝2S △AOC∴BF ＝2AO ＝2(k －h )设该抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，则DF ＝21AB ＋BF ＝3k －2h由Rt △EDF ∽Rt △COB ，得DF ED ＝OBCO即hk k 23-＝kh k h ++-2，即2h2－5k h ＋2k ＝0结合题意，解得h ＝2k① ∵点E （h ，k ）在直线y ＝－4x ＋3上， ∴k ＝－4h ＋3 ② 由①②，并结合题意，解得k ＝1 ∴k ＝1，h ＝21 ∴抛物线的解析式为y ＝－x2＋x ＋43 ········································································· 10分 4．（上海市）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，连结DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P ．（1）当∠B ＝30°时，连结AP ，若△AEP 与△BDP 相似，求CE 的长；（2）若CE ＝2，BD ＝BC ，求∠BPD 的正切值；（3）若tan ∠BPD ＝31，设CE ＝x ，△ABC 的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式．4．解：（1）∵∠B ＝30°，∠ACB ＝90°，∴∠BAC ＝60°∵AD ＝AE ，∴∠AED ＝60°＝∠CEP∴∠EPC ＝30° ··············································································································· 1分 ∴△BDP 为等腰三角形∵△AEP ∽△BDP ，∴∠EAP ＝∠EPA ＝∠DBP ＝∠DPB ＝30° ································· 2分 ∴AE ＝EP ＝1 ··················································································································· 3分 ∴在RT △ECP 中，EC ＝21EP ＝21················································································ 4分（2）如图2，过点D 作DQ ⊥AC 于点Q ，且设AQ ＝a ，BD ＝x ∵AE ＝1，EC ＝2，∴QC ＝3－a ∵∠ACB ＝90°，∴△ADQ ∽△ABCAE C B P D 图2（备用） B PE C D A 图3（备用）A B C P E D 图1∴AB AD ＝ACAQ ，即1x 1+＝3a，∴a ＝1x 3+ ∵在RT △ADQ 中，DQ ＝22AQ AD－＝21x 31)(+－＝1x 8x 2x 2+-+ ∵BC DQ ＝ABAD，∴x 1x 8x 2x 2+-+＝1x 1+ ······································································ 5分解得x ＝4，即BD ＝4 ······································································································ 6分过点C 作CF//DP ，则△ADE ∽△AFC ∴AC AE ＝AFAD，∴AF ＝AC ，即DF ＝EC ＝2 ∴BF ＝DF ＝2 ························································· 7分 ∵△BFC ∽△BDP ，∴BD BF ＝BPBC ＝42＝21即BC ＝CP ＝4 ······················································· 8分 ∴tan ∠BPD ＝CP EC ＝42＝21································· 9分（3）如图3，过D 点作DQ ⊥AC 于点Q ，则△DQE ∽△PCE 设AQ ＝a ，则QE ＝1－a ∴EC QE ＝CP DQ 且ta n ∠BPD ＝31，∴DQ ＝3(1－a ) 在Rt △ADQ 中，由勾股定理得：AD2＝AQ2＋DQ2即12＝a2＋[3(1－a )]2，解得a ＝1（舍去）或a ＝54，∴DQ ＝53 ····························· 10分∵△ADQ ∽△ABC ，∴AB AD ＝BC DQ ＝AC AQ ＝x 154+＝x554+ ∴AB ＝4x 55+，BC ＝4x33+ ······················································································· 12分 ∴三角形ABC 的周长y ＝AB ＋BC ＋AC ＝4x 55+＋4x33+＋1＋x ＝3＋3x 即y ＝3＋3（x ＞0） ······································································································ 14分5．（重庆市）已知：如图①，在平面直角坐标系xO y 中，边长为2的等边△OAB 的顶点B 在第一象限，顶点A 在x 轴的正半轴上．另一等腰△OCA 的顶点C 在第四象限，OC ＝AC ，∠C ＝120°．现有两动点P ，Q 分别从A ，O 两点同时出发，点Q 以每秒1个单位的速度沿OC 向点C 运动，点P 以每秒3个单位的速度沿A →O →B 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止. （1）求在运动过程中形成的△OPQ 的面积S 与运动的时间t 之间的函数关系，并写出自变量t 的取值范围；（2）在等边△OAB 的边上（点A 除外）存在点D ，使得△OCD 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标；（3）如图②，现有∠MCN ＝60°，其两边分别与OB ，AB 交于点M ，N ，连接MN ．将∠MCN 绕着C 点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M ，N 始终在边OB 和边AB 上．试判断在这一过程中，△BMN 的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． B PEC DA 图3Q A E CBPD图2QF5．解：（1）如图①，过点C 作CD ⊥OA 于点D∵OC ＝AC ，∠ACO ＝120°，∴∠AOC ＝∠OAC ＝30° ∵OC ＝AC ，CD ⊥OA ，∴OD ＝DA ＝1 在Rt △ODC 中，OC ＝AOC ODcos ＝30cos 1＝332 ··············1分（ⅰ）当0＜t＜32时，OQ ＝t ，AP ＝3t ，OP ＝2－3t 过点Q 作QE ⊥OA 于点E ，则EQ ＝21t∴S △OPQ＝21OP ²EQ ＝21(2－3t )²21t ＝－43t2＋21t即S＝－43t2＋21t ·································································· 3分（ⅱ）当32＜t≤332时，如图②，OQ ＝t ，OP ＝3t －2∵∠BOA ＝60°，∠AOC ＝30°，∴∠POQ ＝90° ∴S △OPQ＝21OQ ²OP ＝21t ²(3t －2)＝23t2－t即S＝23t 2－t 故当0＜t＜32时，S＝－43t2＋21t ，当32＜t≤332时，S＝23t2－t ··························· 5分（2）D （33，1）或（332，0）或（32，0）或（34，332） ······························ 9分（3）BMN 的周长不发生变化如图③，延长BA 至点F ，使AF ＝OM ，连结CF ∵∠MOC ＝∠F AC ＝90°，OC ＝AC ，∴△MOC ≌△F AC ∴MC ＝CF ，∠MCO ＝∠FCA ············································ 10分 ∴FCN ＝∠FCA ＋∠NCA ＝∠MCO ＋∠NCA＝∠OCA －∠MCN ＝60° ∴FCN ＝∠MCN又∵MC ＝CF ，CN ＝CN ，∴△MCN ≌△FCN∴MN ＝NF ····················································································································· 11分 ∴BM ＋MN ＋BN ＝BM ＋NF ＋BN ＝BO －OM ＋BA ＋AF ＝BA ＋BO ＝4∴BMN 的周长不变，其周长为4 ·················································································· 12分图①图②图③6．（重庆市綦江县）已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ＞0）的图象经过点B （12，0）和C （0，－6），对称轴为x ＝2．（1）求该抛物线的解析式：（2）点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x ＝1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6．解：（1）方法一：∵抛物线过C （0，－6），∴c ＝－6，即y ＝由⎪⎩⎪⎨⎧061214422 ＝＋＝－－b a a b解得a ＝161，b ＝－41∴该抛物线的解析式为y ＝161x2－41x －6………….3分方法二：∵A 、B 关于x ＝2对称，∴A （－8，0）设y ＝a (x ＋8)(x －12)，∵C （0，－6）在抛物线上 ∴－6＝a (0＋8)(0－12)，∴a ＝161∴该抛物线的解析式为y ＝161(x ＋8)(x －12) 即y ＝161x2－41x －6 ··········································· 3分（2）存在，设直线CD 垂直平分PQ 在Rt △AOC 中，AC ＝2268＋＝10＝AD∴点D 在对称轴上，连结DQ ，显然∠PDC ＝∠QDC ·················································· 4分由已知∠PDC ＝∠ACD∴∠QDC ＝∠ACD ，∴DQ ∥AC ····················································································· 5分 DB ＝AB －AD ＝20－10＝10 ∴DQ 为△ABC 的中位线，∴DQ ＝21AC ＝5 ································································· 6分 AP ＝AD －PD ＝AD －DQ ＝10－5＝5，∴t ＝5÷1＝5（秒）∴存在t ＝5秒时，线段PQ 被直线CD 垂直平分 ························································· 7分在Rt △BOC 中，BC ＝22612＋＝56，∴CQ ＝53∴点Q 的运动速度为每秒553单位长度 ······································································ 8分（3）存在过点Q 作QH ⊥x 轴于H ，则QH ＝3，PH ＝9在Rt △PQH 中，PQ ＝2239＋＝103········································································ 9分①当MP ＝MQ ，即M 为顶点时设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋m （k ≠0）则： ⎩⎨⎧m k m ＋＝＝－206 解得⎩⎨⎧63－＝＝m k ∴y ＝3x －6 当x ＝1时，y ＝－3，∴M 1（1，－3）··········································································· 10分 ②当PQ 为等腰△MPQ 的腰且P 为顶点时设直线x ＝1上存在点M （1，y ），由勾股定理得： 42＋y2＝(103)2，∴y ＝±74∴M 2（1，74），M 3（1，－74） ············································································· 11分 ③当PQ 为等腰△MPQ 的腰且Q 为顶点时过点Q 作QE ⊥y 轴于E ，交直线x ＝1于F ，则F （1，－3）设直线x ＝1上存在点M （1，y ），由勾股定理得： 52＋( y ＋3)2＝(103)2，∴y ＝－3±65∴M 4（1，－3＋65），M 5（1，－3－65） ······························································· 12分综上所述，存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形，点M 的坐标为：M 1（1，－3），M 2（1，74），M 3（1，－74），M 4（1，－3＋65），M 5（1，－3－65）7．（重庆市江津区）如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋1与x 轴交于两点A （－1，0），B （1，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7．解：（1）把A （－1，0），B （1，0）代入y ＝ax2＋bx ＋1得：⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1＝0a ＋b ＋1＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0 ∴抛物线的解析式为y ＝－x2＋1 ······································································· 3分（2）令x ＝0，得y ＝1，∴C （0，1） ······································································ 4分∴OA ＝OB ＝OC ＝1，∴∠BAC ＝∠ACO ＝∠BCO ＝∠ABC ＝45° ∵BD ∥CA ，∴∠ABD ＝∠BAC ＝45°如图1，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，则△EDB 为等腰直角三角形设EO ＝x ，则ED ＝x ＋1，∴D （－x ，－x －1） ∵点D 在抛物线y ＝－x2＋1上，∴－x －1＝－(－x)2＋1解得x 1＝2，x 2＝－1（不合题意，舍去）∴ED ＝3·············································································································· 6分（说明：先求出直线BD 的解析式，再用两个解析式联立求解得到点D 的坐标也可） ∴S 四边形ACBD ＝21AB ²OC ＋21AB ²ED ＝21×2×1＋21×2×3 ＝4 ·································································································· 7分（说明：也可直接求直角梯形ACBD 的面积为4）（3）存在 ···················································································································· 8分∵∠ABC ＝∠ABD ＝45°，∴∠DBC ＝90° ∵MN ⊥x 轴，∴∠MNA ＝∠DBC ＝90°BC ＝22OC OB ＋＝2，BD ＝22EB ED ＋＝23 设M 点的横坐标为m ，则M （m ，－m2＋1）①当点M 在y 轴左侧时，如图2，则m ＜－1 ⅰ)若△NMA ∽△BCD ，则NA MN ＝BDBC即1 12－－－m m ＝232，整理得3m2＋m －2＝0 解得m 1＝－1（舍去），m 2＝32（舍去）···························································· 9分----11 ⅱ)若△NAM ∽△BCD ，则NA MN ＝BCBD即1 12－－－m m ＝223，整理得m2＋3m ＋2＝0 解得m 1＝－1（舍去），m 2＝－2 ∴－m2＋1＝－(－2)2＋1＝－3∴M 1（－2，－3）………………………………………….10分 ②当点M 在y 轴右侧时，如图2，则m ＞1 ⅰ)若△NMA ∽△BCD ，则AN MN ＝BDBC即1 1 2＋－m m ＝232，整理得3m2－m －4＝0 解得m 1＝－1（舍去），m 2＝34∴－m2＋1＝－(34)2＋1＝－97 ∴M 2（34，－97） ·············································· 11分 ⅱ)若NAM ∽△BCD ，则AN MN ＝BCBD即∴1 1 2＋－m m ＝223，整理得m2－3m －4＝0 解得m 1＝－1（舍去），m 2＝4 ∴－m2＋1＝－42＋1＝－15∴M 3（4，－15）∴存在点M ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似，M 点的坐标分别为： M 1（－2，－3），M 2（34，－97），M 3（4，－15） ··········································· 12分8．（重庆市潼南县）如图，已知抛物线y ＝21x2＋bx ＋c 与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，－1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由．图2。

2014年全国数学中考选择题压轴题(10)

2014年全国数学中考选择题压轴题（10）AC=．．6．．．．．，．．．．πcm．．．．的长度是（．．的长为．．．．MN AA2．．为圆心，大于A．．2014年全国数学中考选择题压轴题（10）参考答案与试题解析一、选择题（共30小题）1．（2013•绥化）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A 落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（）C D．，﹣，﹣，AB=，﹣﹣FD=×BC AD××﹣+（（2．（2013•包头）已知下列命题：①若a＞b，则c﹣a＜c﹣b；②若a＞0，则=a；③对角线互相平分且相等的四边形是菱形；④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等．，则；逆命题：若4．（2013•锦州）有如下四个命题：（1）三角形有且只有一个内切圆；（2）四边形的内角和与外角和相等；（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形；（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．5．（2013•昭通）如图所示是某公园为迎接“中国﹣﹣南亚博览会”设置的一休闲区．∠AOB=90°，弧AB的半径OA 长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）πOA=3OC=OA=3CD==3DOC==﹣=66．（2013•娄底）如图，⊙O1，⊙O2、相交于A、B两点，两圆半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线O1O2的长为10cm，则弦AB的长为（）AC=AC=AB8．（2013•宁夏）如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）．C D．AB=2==π9．（2013•恩施州）如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为（）．C．+2a=+10．（2013•贵阳）在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，有一个半径为1的硬币与边AB、AD相切，硬币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边AB、BC、CD、DA滚动到开始的位置为止，硬币自身滚动的圈数大约是（）11．（2013•苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（）．C D，AB=，××AM=，×=3AN=AD=，由勾股定理得：，﹣=1=，12．（2013•遵义）如图，将边长为1cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动（不滑动），点B 从开始到结束，所经过路径的长度为（）．cm π cm D ×π．CD ．14．（2013•厦门）在平面直角坐标系中，将线段OA向左平移2个单位，平移后，点O、A的对应点分别为点O1、15．（2013•武汉）如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点．若∠CDE=x°，∠ECD=y°，⊙B的半径为R，则的长度是（）．C D．∴的长度是：．16．（2013•襄阳）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E 是半圆弧的三等分点，弧BE的长为π，则图中阴影部分的面积为（）．C D．的长为∴π，BC=AB=AC=×××﹣﹣17．（2013•晋江市）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是（）18．（2013•常德）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为（）．．AC==5x=19．（2013•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）20．（2013•凉山州）如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（）21．（2013•绍兴）小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：（1）作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；（2）以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图2．若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是（）=OM=AM=OA=，BM==DM=，OM===OD，所以23．（2013•大连）P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1、OP2，则下列结24．（2013•贵港）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（）26．（2013•台州）如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE 的最小值为（）B=27．（2013•黄石）把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长为（）．．AO=CO=AB=×=28．（2013•曲靖）如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD．则下列说法错误的是（）29．（2013•郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）30．（2013•自贡）如图，将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为（）．D．=，的长方形，面积为3。

2014年全国中考数学压轴题60例(学生版)

2014年全国中考数学压轴题60例1．（2014•重庆）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）求AE和BE的长；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．2．（2014•重庆）如图1，在▱ABCD中，AH⊥DC，垂足为H，AB=4，AD=7，AH=．现有两个动点E，F同时从点A出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动，在点E，F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG与△ABC在射线AC 的同侧，当点E运动到点C时，E，F两点同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）求线段AC的长；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；（3）当等边△EFG的顶点E到达点C时，如图2，将△EFG绕着点C旋转一个角度α（0°＜α＜360°），在旋转过程中，点E与点C重合，F的对应点为F′，G的对应点为G′，设直线F′G′与射线DC、射线AC分别相交于M，N两点．试问：是否存在点M，N，使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形？若存在，请求出CM的长度；若不存在，请说明理由．3．（2014•长春）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A 出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．（1）求点N落在BD上时t的值；（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．4．（2014•达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标．（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．5．（2014•云南）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A （3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．6．（2014•十堰）已知抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值；（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．7．（2014•湘西州）如图，抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，点B（2，﹣）和点C（﹣3，﹣3）两点均在抛物线上，点F（0，﹣）在y轴上，过点（0，）作直线l与x轴平行．（1）求抛物线的解析式和线段BC的解析式．（2）设点D（x，y）是线段BC上的一个动点（点D不与B，C重合），过点D作x轴的垂线，与抛物线交于点G．设线段GD的长度为h，求h与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少？（3）若点P（m，n）是抛物线上位于第三象限的一个动点，连接PF并延长，交抛物线于另一点Q，过点Q作QS⊥l，垂足为点S，过点P作PN⊥l，垂足为点N，试判断△FNS的形状，并说明理由；（4）若点A（﹣2，t）在线段BC上，点M为抛物线上的一个动点，连接AF，当点M在何位置时，MF+MA的值最小，请直接写出此时点M的坐标与MF+MA的最小值．8．（2014•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t，0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D依次向x 轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y=ax2+bx+c．（1）填空：△AOB≌△_________≌△BMC（不需证明）；用含t的代数式表示A点纵坐标：A （0，_________）；（2）求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；（3）当t=1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；（4）当抛物线开口向上，对称轴是直线x=2﹣，顶点随着t的增大向上移动时，求t的取值范围．9．（2014•盐城）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC 中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C 作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE=DE•BC，AB=2dm，AD=3dm，BD=dm．M、N 分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．10．（2014•仙桃）已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P 的运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）当BQ=AP时，求t的值；（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t 的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2014•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2014•成都）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？13．（2014•徐州）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．14．（2014•泸州）如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）．（1）求二次函数的最大值；（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程=0的根，求a的值；（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．15．（2014•宿迁）如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN 为等腰直角三角形；（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．16．（2014•山西）综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；（2）将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N时抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2014•咸宁）如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t （s）．（1）∠PBD的度数为_________，点D的坐标为_________（用t表示）；（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．18．（2014•莆田）如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．（1）如图1，若m=．①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．19．（2014•南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．20．（2014•天水）如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．21．（2014•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣4，0），B （﹣1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．②如图（2），直线y=x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2014•本溪）如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由．23．（2014•荆州）如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=，以O为圆心，OA 长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．（1）求证：四边形ABHP是菱形；（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；（3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．24．（2014•苏州）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O 的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为_________°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．25．（2014•深圳）如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．26．（2014•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B 在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值．（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．27．（2014•义乌市）如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．28．（2014•陕西）问题探究（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC 的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；问题解决（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．29．（2014•泉州）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P （2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．30．（2014•临沂）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y=2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点A到直线CD的距离；（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．31．（2014•攀枝花）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM 交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG 的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．32．（2014•内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x 轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．33．（2014•宁波）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．①求y关于x的函数解析式；②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．34．（2014•南充）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．（1）求抛物线的解析式；（2）当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD；（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．35．（2014•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，直线CD 与x轴、y轴分别交于点C，D，AB与CD相交于点E，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=．（1）求点A，C的坐标；（2）若反比例函数y=的图象经过点E，求k的值；（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．36．（2014•牡丹江）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？37．（2014•株洲）已知抛物线y=x2﹣（k+2）x+和直线y=（k+1）x+（k+1）2．（1）求证：无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；（2）抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，求x1•x2•x3的最大值；（3）如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA•GE=CG•AB，求抛物线的解析式．38．（2014•铜仁）已知：直线y=ax+b与抛物线y=ax2﹣bx+c的一个交点为A（0，2），同时这条直线与x轴相交于点B，且相交所成的角β为45°．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线y=ax2﹣bx+c的解析式；（3）判断抛物线y=ax2﹣bx+c与x轴是否有交点，并说明理由．若有交点设为M，N（点M在点N左边），将此抛物线关于y轴作轴反射得到M的对应点为E，轴反射后的像与原像相交于点F，连接NF，EF得△NEF，在原像上是否存在点P，使得△NEP的面积与△NEF的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2014•攀枝花）如图，抛物线y=ax2﹣8ax+12a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D的坐标为（﹣6，0），且∠ACD=90°．（1）请直接写出A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；（4）平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止．设直线m与折线DCA 的交点为G，与x轴的交点为H（t，0）．记△ACD在直线m左侧部分的面积为s，求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围．40．（2014•龙东地区）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）．（1）求点D的坐标．（2）求直线BC的解析式．（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．41．（2014•汕尾）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．42．（2014•连云港）某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．43．（2014•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．44．（2014•济宁）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．45．（2014•吉林）如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l 叫做P的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为_________；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为_________．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．46．（2014•淮安）如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P 从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．（1）当t=_________时，△PQR的边QR经过点B；（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）如图2，过定点E（5，0）作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，求t的值．47．（2014•怀化）如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC 以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的抛物线的解析式；（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在△POB的面积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．48．（2014•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x 轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）．（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．。

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2014年全国数学中考压轴题（2）x以每秒y=y=x与反比例函数）直接写出不等式x+1 x y=x+1（（仪征市一模）解不等式组）求不等式南安市质检）如图，直线1=﹣x+bx+bOA=OB= AD=2014年全国数学中考压轴题（2）参考答案与试题解析一、解答题（共30小题）（选答题，不自动判卷）1．（2014•路北区二模）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．∴2．（2014•东城区二模）甲、乙两公司各为“希望工程”捐款20000元．已知乙公司比甲公司人均多捐20元，且乙公司的人数比甲公司的人数少20%．问甲、乙两公司人均捐款各为多少元？（3．（2014•如东县模拟）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=﹣x2+bx+c 经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，点F在直线AD上且横坐标为6．（1）求该抛物线解析式并判断F点是否在该抛物线上；（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP+PH+HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．﹣x，xx+6××∴∴∴=，AE=2∴=MN=MN=PHMN=t=MN=，t| t，t=，，4．（2014•琼海二模）如图所示，在平面直角坐标中，抛物线经过原点O与点M（﹣4，0），顶点N的纵坐标为4，以线段OM上的一个动点C为一个顶点，构造矩形ABCD，使边CD在线段OM上，点D在点C的左侧，点A、B 在抛物线上（1）连接MN、ON，求△MON的面积；（2）求抛物线的解析式；（3）探究：当拖动点C时，矩形ABCD的形状会发生变化①当矩形ABCD为正方形时，求出点A的坐标；②设矩形ABCD的周长为l，请问l是否存在一个最大值？如果存在，求出这个最大值；如果不存在，请说明理由．NE=，2+2﹣）5．（2014•无锡新区二模）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为M，对称轴是直线x=1，与x轴的交点为A（﹣3，0）和B．将抛物线y=x2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1，A1为点M，A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．（1）写出点B的坐标及求抛物线y=x2+bx+c的解析式；（2）求证：A，M，A1三点在同一直线上；（3）设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM1MD的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积；如果不存在，请说明理由．=10=n n）m）（+ y=y=﹣﹣y=﹣﹣，，y=，n﹣），x﹣，﹣）m﹣m+）m（，，时，m=，）的坐标为（的面积为24+，，﹣的面积最大，面积最大值为．6．（2014•安徽模拟）如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数的图象相交于A，B两点，且与坐标轴的交点为（﹣6，0），（0，6），点B的横坐标为﹣4．（1）试确定反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出不等式的解．∴∴反比例函数关系式为：；，）观察图象，易知7．（2014•日照二模）已知：如图，一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在点P使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动的时间t的值，若不存在，请说明理由．（4）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，求a的值，若不存在，说明理由．y=y=x﹣，可知S=AE AD×；∴时，；时，a=a=8．（2014•灌南县模拟）已知：抛物线m：y=a（x﹣2）2+b（ab＜0）的顶点为P，与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．（1）当a=﹣1，b=4，直接写出与抛物线m有关的三条正确结论；（2）若抛物线m经过原点，且△ABP为直角三角形．求a，b的值；（3）若将抛物线m沿x轴翻折180°得抛物线n，抛物线n的顶点为Q，则以A，P，B，Q为顶点的四边形能否为正方形？若能，请求出a，b满足的关系式；若不能，说明理由．，此时，，此时，∴，=2∴9．（2014•江西模拟）已知，如图二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1．直线AD交抛物线于点D（2，m），（1）求二次函数的解析式并写出D点坐标；（2）点Q是线段AB上的一动点，过点Q作QE∥AD交BD于E，连结DQ，当△DQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标．，由于=2+2时直线）由题意有：﹣x×，即﹣∴，即，EG=×，）﹣t t+（，．，10．（2014•江宁区一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．（1）求k的值．（2）若将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y=（x＞0）的图象上，求菱形ABCD平移的距离．y=3=，=﹣，平移的距离为：．11．（2014•河西区模拟）已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且S△ABM=3，求点M的坐标；（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PD⊥x轴于点D．将抛物线y=x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与x轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由．，可得，即可），可设平移后的抛物线解析式为）依题意，∴∴．，可得．∴．抛物线，，（（的解析式为是抛物线与直线．，，可设平移后的抛物线解析式为，得，即12．（2014•永州模拟）列方程（组）解应用题：小明乘坐火车从某地到上海去参观世博园，已知此次行程为2160千米，城际直达动车组的平均时速是特快列车的1.6倍．小明购买火车票时发现，乘坐动车组比乘坐特快列车少用6小时，求小明乘坐动车组到上海需要的时间．依题意，得13．（2014•东台市二模）A、B两城间的公路长为450千米，甲、乙两车同时从A城出发沿这一公路驶向B城，甲车到达B城1小时后沿原路返回．如图是它们离A城的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．（1）求甲车返回过程中y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）乙车行驶6小时与返回的甲车相遇，求乙车的行驶速度．∴，，14．（2014•昌宁县二模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．（1）求抛物线的解析式．（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．抛物线的对称轴是；）①15．（2014•高港区一模）为了迎接市中学生田径运动会，计划由某校八年级（1）班的3个小组制作240面彩旗，后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务．这样，这两个小组的每个同学就要比原计划多做4面彩旗．如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有多少名学生？16．（2014•淮北模拟）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出300+100×只粽子，利润为（1﹣m）（300+100×）元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？××）×）17．（2014•安徽模拟）为了实施教育均衡化，成都市决定采用市、区两级财政部门补贴相结合的方式为各级中小学添置多媒体教学设备，针对各个学校添置多媒体所需费用的多少市财政部门实施分类补贴措施如下表，其余费用由20至40之间（20≤m≤40）．试解决下列问题：（1）若某学校的多媒体教学设备费用为18万元，求市、区两级财政部门应各自补贴多少；（2）若某学校的多媒体教学设备费用为x万元，市财政部门补贴y万元，试分类列出y关于x的函数式；（3）若某学校的多媒体教学设备费用为30万元，市财政部门补贴y万元的取值范围为12≤y≤24，试求m的取值范围．18．（2014•仪征市一模）解不等式组，并写出不等式组的整数解．19．（2014•天水模拟）如图，已知A （﹣4，n），B （2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点；（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；（3）求不等式的解集（请直接写出答案）．y=的图象在一次函数﹣﹣∴×2+）不等式20．（2014•丰台区一模）已知二次函数L1：y=﹣2x2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点；二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）的顶点为P．（1）请直接写出：b=8，c=﹣6；（2）当∠APB=90°，求实数k的值；（3）若直线y=15k与抛物线L2交于E，F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不发生变化，请求出EF的长度；如果发生变化，请说明理由．AB∴；AB=）联立消掉21．（2014•南安市质检）如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，以OB为直径作⊙M，⊙M与直线AB的另一个交点为D．（1）求∠BAO的大小；（2）求点D的坐标；（3）过O、D、A三点作抛物线，点Q是抛物线的对称轴l上的动点，探求：|QO﹣QD|的最大值．﹣时，﹣x+4=0；4OA=4，BAO==，OD=OA=×=2DOE=2×=DOE=2×=3=OD=222．（2014•房山区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x的二次函数y=x2﹣3x+k﹣1的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于y轴左侧的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G．当直线y=5x+b与图象G有3个公共点时，请你直接写出b的取值范围．，，23．（2014•丰台区二模）如图，二次函数y=x2+bx+c经过点（﹣1，0）和点（0，﹣3）．（1）求二次函数的表达式；（2）如果一次函数y=4x+m的图象与二次函数的图象有且只有一个公共点，求m的值和该公共点的坐标；（3）将二次函数图象y轴左侧部分沿y轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余部分组成一个新的图象，该图象记为G，如果直线y=4x+n与图象G有3个公共点，求n的值．中，得，）由题意得：=3，24．（2014•新余模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴相交于A，B两点，OA、OB的长分别是方程x2﹣14x+48=0的两根，且OA＜OB．（1）求点A，B的坐标．（2）过点A作直线AC交y轴于点C，∠1是直线AC与x轴相交所成的锐角，sin∠1=，求直线AC的解析式．（3）若点M（m，m﹣5）在△AOC的内部，求m的取值范围．，∠，×，）y=﹣∴25．（2014•南长区二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0）、（12，6），直线y=﹣x+b与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E．（1）若直线y=﹣x+b平分矩形OABC的面积，求b的值；（2）在（1）的条件下，当直线y=﹣x+b绕点P顺时针旋转时，与直线BC和x轴分别交于点N、M，问：是否存在ON平分∠CNM的情况？若存在，求线段DM的长；若不存在，请说明理由；（3）在（1）的条件下，将矩形OABC沿DE折叠，若点O落在边BC上，求出该点坐标；若不在边BC上，求将（1）中的直线沿y轴怎样平移，使矩形OABC沿平移后的直线折叠，点O恰好落在边BC上．﹣x+a﹣×时，由﹣x+12=0﹣DM=8+O=∴，即，，﹣x+12轴向下平移个单位得直线x+x+折26．（2014•东城区一模）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+3m+3=0 （m＞1）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y=x1﹣3x2，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围．x=两根分别为=1+＜＜=1+1+，（﹣﹣，﹣﹣﹣＜﹣27．（2014•武义县模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长是4，点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，动点P从点A开始，以每秒2个单位长度的速度在线段AB上来回运动．动点Q从点B开始沿B→C→O 的方向，以每秒1个单位长度的速度向点O运动．P，Q两点同时出发，当点Q到达点O时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．（I）当t=1时，求PQ所在直线的解析式．（2）当点Q在BC上运动时，若以P，B，Q为顶点的三角形与△OAP相似，求t的值．（3）在P，Q两点运动的过程中，若△OPQ的面积为6，请直接写出所有符合条件的P点坐标．﹣∴，=﹣==∴，===；﹣×，=2+）2﹣×，=4+﹣=2，×228．（2014•江阴市二模）如图，A、B两点分别在x轴和y轴上，且OA=OB=，动点P、Q分别在AB、OB上运动，运动时，始终保持∠OPQ=45°不变，设PA=x，OQ=y．（1）求y与x的函数关系式．（2）已知点M在坐标平面内，是否存在以P、Q、O、M为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．（3）已知点D在AB上，且AD=，试探究：当点P从点A出发第一次运动到点D时，点Q运动的路径长为多少？OA=OB=，BQ=∴，即y=的坐标为（的坐标为（）BP=OA==﹣，）或（）或（﹣，==时，==29．（2014•句容市一模）如图，直角坐标系中，以点A（1，0）为圆心画圆，点M（4，4）在⊙A上，直线y=﹣x+b过点M，分别交x轴、y轴于B、C两点．（1）求⊙A的半径和b的值；（2）判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由；（3）若点P在⊙A上，点Q是y轴上C点下方的一点，当△PQM为等腰直角三角形时，请直接写出满足条件的点Q 坐标．。