北师大版九年级数学上册知识点总结
北师大版九年级数学上册知识点总结
九（上）数学知识点第一章证明（一）1、你能证明它吗？（1）三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、（2）等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
或者三个角都相等的三角形是等边三角形。
（4）含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。
（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）3、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
4、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
新北师大版初中数学九年级上册第1章 特殊平行四边形《第3课 正方形的性质与判定》
请证明你的结论，并与同伴交流．
正方形的判定（ 随堂练习1）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
B
C
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
CG=DG=
1
2 CD，DH=AH=
1
AC
2
∴AE=BE2=BF=CF=CG=DG2=HG=AH
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG
A
E
B
13 2
H
F
D
G
C
∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形
∵∠1=∠2=45°∴∠3=90 °
∴四边形EFGH是正方形
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什 么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边 的中点为顶点呢？
例1.如图 1-18，在正方形 ABCD
中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF．BE
M
与 DF 之间有怎样的关系？请说明
理由．
解：BE = DF，且 BE⊥DF． 理由如下：
（2）延长 BE 交 DF 于点 M． ∵ △BCE ≌ △DCF，∴ ∠ CBE = ∠ CDF． ∵ ∠ DCF = 90°，∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°． ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°． ∴ ∠ BMF = 90°．∴ BE⊥DF．
北师大版九年级数学(上)
第一章 特殊平行四边形
北师大版初中数学各册章节知识点总结
北师大版初中数学各册章节知识点总结第一册：《初二上册》1.直角三角形：直角三角形的定义、直角三角形的性质、勾股定理。
2.平面图形的表示：点、线、线段、射线、角度、平行线、垂直线、相交线等基本概念。
3.二次根式：二次根式的定义、运算法则。
4.初中平面几何基本定理：垂线定理、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、角平分线定理等。
5.多边形：多边形的定义、正多边形、变位积分、多边形的内角和、多边形的外角和。
6.梅涅劳斯定理：梅涅劳斯定理的概念、定理的应用。
第二册：《初二下册》1.线性方程：线性方程的定义、解线性方程的常用方法。
2.三角函数的定义和初步认识：三角函数的定义、正弦函数、余弦函数、正切函数等。
3.平行线与相交线：平行线的性质、平行线之间的角对、相交线之间的角对等。
4.二次函数：二次函数的基本性质、二次函数图像的性质与应用。
5.海伦公式：海伦公式的概念、海伦公式的应用。
第三册：《初三上册》1.集合：集合的概念、集合的运算、集合的表示等。
2.图形的相似：图形相似的概念、相似比、相似三角形的性质等。
3.三角形的性质：三角形的角与边的关系、角边关系等。
4.空间几何基本概念：欧几里得空间几何学的基本概念、空间图形与平面图形的关系等。
5.高中数学预修知识：比例与相似、复数等。
第四册：《初三下册》1.数系的扩充：有理数和无理数的概念、实数的分类等。
2.几何体的计算：几何体的表面积、几何体的体积等。
3.空间几何基本定理：角的平分线、角的辅助线等。
4.三角恒等式：三角函数的反函数、三角函数的周期等。
第五册：《九年级上册》1.一次函数：一次函数的定义、一次函数图像的性质、线性规律等。
2.向量几何：向量的定义、向量的运算、向量的平行和垂直等。
3.数的四则运算：整数、有理数、无理数的四则运算等。
4.二次方程与不等式：二次方程的定义、解二次方程的方法等。
5.三角形的面积：三角形的名字、面积的计算公式等。
第六册：《九年级下册》1.指数与对数：指数、对数和底数的概念、指数与对数的性质等。
导图系列(5)：九年级上册数学(北师大版)各章知识点思维导图集合
中心对称 两组对角分别相等的四边形
面积 底×高
对角线互相平分的四边形
对角相等， 邻角互补
四边相等的四边形
互相垂直平分； 中心对称
每一条对角线
+
有一组邻边相等的平行四边形
平分一组对角 轴对称 对角线互相垂直的平行四边形
底×高； 对角线乘积
的一半
四个角 都是直角
相等且 互相平分
有三个角是直角的四边形
第五章 投影与视图
第六章 反比例函数
九年级上册数学（北师大版） 思维导图集合
第一章 特殊的平行四边形
图形 边
平行 对边平行 四边形 且相等
菱形
对边平行， 四条边相等
矩形
对边平行 且相等
对边平行， 正方形
四条边相等
第一章 特殊的平行四边形
性质 角
ห้องสมุดไป่ตู้
对角线
对角相等， 邻角互补
互相平分
对称性
判定
两组对边分别相等的四边形 两组对边分别平行的四边形 一组对边平行且相等的四边形
中心对称
+
有一个角是直角的平行四边形
轴对称 对角线相等的平行四边形
长×宽
四个角 都是直角
有一个角是直角的菱形
相等且
中心对称 对角线相等的菱形
互相垂直平分；
+
每一条对角线
轴对称 有一组邻边相等的矩形
平分一组对角
对角线互相垂直的矩形
边长×边长
第二章 一元二次方程
第三章 概率的进一步认识
第四章 图形的相似
第二章+一元二次方程+知识点总结及小测2024-2025学年北师大版数学九年级上册
第二章一元二次方程知识点总结：①配方法和十字叉乘法求解一元二次方程{二次项系数为±1二次项系数不是±1配方法：(a±b)2=a2+b2±2ab十字叉乘法：化简成(x±a)(x±b)=0的形式，解得x=∓a或∓b②公式法求解一元二次方程公式法：x=−b±√b2−4ac2a③因式分解法求解一元二次方程因式分解法：{(a±b)2=a2+b2±2ab a2−b2=(a−b)(a+b)④一元二次方程的根与系数的关系关系：x1+x2=−ba ；x1∙x2=ca⑤应用一元一次方程应用题第二章一元二次方程测试1（拔高题）1、下列方程为一元二次方程，求a的取值范围或者具体值：①2ax2−2bx+a=4x2②(a−1)x|a|+1−2x−7=0③ax2+6x+1=0没有实数根2、已知一元二次方程x2+k+3=0有一个根为1，则k的值为.3、已知一元二次方程为5x2+x=0，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为，x1x2=，x1+x2=.x2+3x−2=0 的两根，则(x1−x2)2的值4、设x1与x2为一元二次方程−12为.5、关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−k+1=0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．实数根的个数由k的值确定6、已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m=0的两实数根为x1，x2，且满足x1x2=2，则x1+x2的值为（）A．4B．−4C．4或−2D．−4或27、配方法解方程x2+6x+9=23x2−2=5x8、公式法解方程(x−2)(3x−5)=19x2+6x+1=49、直接开平方法解方程2(x−1)2 −18=010、因式分解法解方程3x (x −1)=3(x +2)(1−x ) 3(4−x )2=x 2−16(1−2x )(x −8)=8x −411、如图，在矩形ABCD 中，AB =10 cm ，AD =8 cm ，点P 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 以1cm /s 的速度向点C 运动，点P 到达终点后，P ，Q 两点同时停止运动。
九年级上册数学知识点归纳总结北师大版
九年级上册数学知识点归纳总结北师大版3.九班级上册数学学问点归纳总结北师大版篇三1.直线与圆有公共点时，叫做直线与圆相切。
2.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心。
3.弦切角等于所夹的弧所对的圆心角。
4.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心。
5.垂直于半径的直线必为圆的切线。
6.过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线。
7.垂直于半径的直线是圆的切线。
8.圆的切线垂直于过切点的半径。
4.九班级上册数学学问点归纳总结北师大版篇四单项式与多项式仅含有一些数和字母的乘法包括乘方运算的式子叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式或字母因数的数字系数，简称系数。
当一个单项式的系数是1或—1时，“1”通常省略不写。
一个单项式中，全部字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
假如在几个单项式中，不管它们的系数是不是相同，只要他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么，这几个单项式就叫做同类单项式，简称同类项全部的常数都是同类项。
1、多项式有有限个单项式的代数和组成的式子，叫做多项式。
多项式里每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项，叫做常数项。
单项式可以看作是多项式的特例把同类单项式的系数相加或相减，而单项式中的字母的乘方指数不变。
在多项式中，所含的不同未知数的个数，称做这个多项式的元数经过合并同类项后，多项式所含单项式的个数，称为这个多项式的项数所含个单项式中次项的次数，就称为这个多项式的次数。
2、多项式的值任何一个多项式，就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起来的式子。
3、多项式的恒等对于两个一元多项式fx、gx来说，当未知数x同取任一个数值a 时，假如它们所得的值都是相等的，即fa=ga，那么，这两个多项式就称为是恒等的记为fx==gx，或简记为fx=gx。
性质1假如fx==gx，那么，对于任一个数值a，都有fa=ga。
性质2假如fx==gx，那么，这两个多项式的个同类项系数就肯定对应相等。
北师大版数学九年级上册知识点总结
北师大版数学九年级上册知识点总结第一章 证明二一、公理1三边对应相等的两个三角形全等可简写成“边边边”或“SSS ”; 2两边及其夹角对应相等的两个三角形全等可简写成“边角边”或“SAS ”; 3两角及其夹边对应相等的两个三角形全等可简写成“角边角”或“ASA ”; 4全等三角形的对应边相等、对应角相等;推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等可简写成“角角边”或“AAS ”;二、等腰三角形1、等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等简称：等边对等角2等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合三线合一; 等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角或直角,但顶角可为钝角或直角; ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,则2b <a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A,底角为∠B 、∠C,则∠A=180°—2∠B,∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定1如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等简称：等角对等边; 2有两条边相等的三角形是等腰三角形.三、等边三角形性质：1等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°;2三线合一判定：1三条边都相等的三角形是等边三角形2三个角都相等的三角形是等边三角形3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;四、直角三角形一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半;3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：直角三角形两直角边a,b 的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+ 其它性质：1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似;2、常用关系式：由三角形面积公式可得：两直角边的积=斜边与斜边上的高的积二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形;2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形;3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a,b,c 有关系222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形; 三直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL 定理斜边、直角边定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可简写成“斜边、直角边”或“HL ”五、角的平分线及其性质与判定1、角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线;2、角的平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;定理：三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等;3、角的平分线的判定定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上;六、线段垂直平分线的性质与判定1、线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线;线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等; 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等; 线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上;七、反证法八、互逆命题、互逆定理1、在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题;2、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理;第二章 一元二次方程一、一元二次方程一、一元二次方程定义含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程;二、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数；c 叫做常数项;二、一元二次方程的解法1、直接开平方法直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程;当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=；当b<0时,方程没有实数根;2、配方法一般步骤：（1） 方程)0(02≠=++a c bx ax 两边同时除以a,将二次项系数化为1.（2） 将所得方程的常数项移到方程的右边;（3） 所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方（4） 配方,化成b a x =+2)(5开方;当0≥b 时,b a x ±-=；当b<0时,方程没有实数根;3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法; 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b aac b b x 4、因式分解法一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法;补充：一元二次方程根的判别式根的判别式1、定义：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式;2、性质：当ac b 42-＞0时,方程有两个不相等的实数根；当ac b 42-＝0时,方程有两个相等的实数根；当ac b 42-＜0时,方程没有实数根;补充：一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，,那么a b x x -=+21,ac x x =21;第三章证明三一、平行四边形1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形;2、平行四边形的性质1平行四边形的对边平行且相等;2平行四边形相邻的角互补,对角相等3平行四边形的对角线互相平分;4平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点;常用点：1若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点,并且这条直线二等分此平行四边形的面积;2推论：夹在两条平行线间的平行线段相等;3、平行四边形的判定1定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形2定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形3定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形4定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形5定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、平行四边形的面积S平行四边形=底边长×高=ah二、矩形1、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;2、矩形的性质1矩形的对边平行且相等2矩形的四个角都是直角3矩形的对角线相等且互相平分4矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点对称中心到矩形四个顶点的距离相等；对称轴有两条,是对边中点连线所在的直线;3、矩形的判定1定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形2定理1：有三个角是直角的四边形是矩形3定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积S矩形=长×宽=ab三、菱形1、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质1菱形的四条边相等,对边平行2菱形的相邻的角互补,对角相等3菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角4菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点对称中心到菱形四条边的距离相等；对称轴有两条,是对角线所在的直线;3、菱形的判定1定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形2定理1：四边都相等的四边形是菱形3定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S 菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半四、正方形 3~10分1、正方形的定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形;2、正方形的性质1正方形四条边都相等,对边平行2正方形的四个角都是直角3正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角4正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条,是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线;3、正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种：先证它是矩形,再证它是菱形;先证它是菱形,再证它是矩形;4、正方形的面积设正方形边长为a,对角线长为bS 正方形=222b a 五、等腰梯形1、等腰梯形的定义两腰相等的梯形叫做等腰梯形;2、等腰梯形的性质1等腰梯形的两腰相等,两底平行;2等腰梯形同一底上的两个角相等,同一腰上的两个角互补;3等腰梯形的对角线相等;4等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴,即两底的垂直平分线;3、等腰梯形的判定1定义：两腰相等的梯形是等腰梯形2定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形3对角线相等的梯形是等腰梯形;选择题和填空题可直接用六、三角形中的中位线1、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线;2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半;3、常用结论：任一个三角形都有三条中位线,由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半;结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形;结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形;结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分;结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等;七、有关四边形四边中点问题的知识点：1顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；2顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；3顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；4顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形；5顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形；6顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形；7顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形；第四章 视图与投影1、投影投影：物体在光线的照射下,在地面上或墙壁上留下它的影子,这就是投影现象; 平行投影：太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影; 中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的,像这样的光线所形成的投影称为中心投影;2、视点、视线、盲区第五章 反比例函数1、反比例函数的概念一般地如果两个变量x,y 之间的关系可以表示为xk y =k 是常数,k ≠0的形式,那么称y 是x 的反比例函数;反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式;自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数;2、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称;由于反比例函数中自变量x ≠0,函数y ≠0,所以,它的图象与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴;3、反比例函数的性质4、反比例函数解析式的确定确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法;由于在反比例函数xk y =中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k 的值,从而确定其解析式;5、反比例函数中反比例系数的几何意义 过反比例函数)0(≠=k xk y 图像上任一点Px,y 作x 轴、y 轴的垂线PM,PN,垂足分别是M 、N,则所得的矩形PMON 的面积S=PM •PN=xy x y =•;k S k xy xk y ==∴=,, ; 第六章 频率与概率概率的求法：1一般地,如果在一次试验中,有n 种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A 包含其中的m 个结果,那么事件A 发生的概率为PA=nm 2、列表法用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法;3树状图法通过列树状图列出某事件的所有可能的结果,求出其概率的方法叫做树状图法;当一次试验要设计三个或更多的因素时,用列表法就不方便了,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树状图法求概率;。
九年级数学上册第三章知识点总结(北师大版)
九年级数学上册第三章知识点总结（北师大版）一、有理数的概念与性质1. 有理数的定义有理数是整数和分数的统称，包括正整数、负整数、零和所有的正负分数。
2. 有理数的比较有理数的比较可以利用数轴进行，较大的数在数轴上对应的点靠右，较小的数在数轴上对应的点靠左。
3. 有理数的运算性质有理数的加法、减法、乘法、除法满足封闭性、结合律、交换律、分配律。
4. 有理数的约分与化简将有理数的分子和分母同时除以它们的最大公约数，可以得到最简形式的有理数。
二、实数的表示1. 实数的性质实数包括有理数和无理数，实数的运算满足封闭性、传递性、对称性等性质。
2. 实数的表示方法实数可以用有理数表示，也可以用无理数表示。
（1）有理数的表示有理数可以用分数的形式表示，也可以用小数表示。
（2）无理数的表示无理数无法用两个整数的比值表示，可以用无限不循环小数或根式表示。
3. 无理数的性质无理数包括无限不循环小数和无限循环小数两种。
4. 实数的区间表示法实数可以用区间表示法表示在数轴上的连续的一段。
三、实数的运算1. 实数的加法与减法实数的加法满足交换律、结合律、存在单位元、存在逆元等性质。
实数的减法即加法的逆运算。
2. 实数的乘法与除法实数的乘法满足交换律、结合律、存在单位元、存在逆元等性质。
实数的除法即乘法的逆运算。
3. 乘方运算实数的乘方运算即将一个实数连乘若干次。
4. 实数的分配律实数的乘法对于加法满足分配律。
四、实数的应用实数广泛应用于各个领域，包括自然科学、社会科学和工程技术等。
1. 数学建模实数在数学建模中起到了重要作用，通过实数的运算可以描述和解决实际问题。
2. 统计学与概率论实数在统计学和概率论中被广泛应用，例如描述数据的均值、方差以及概率的计算等。
3. 物理学与工程学实数在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如描述物体的位置、速度、加速度等物理量。
4. 经济学与金融学实数在经济学和金融学中也有重要作用，例如描述价格、收益率、利率等。
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北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册)班级姓名第一章证明(二)1、三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、2、等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3、等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
或者三个角都相等的三角形是等边三角形。
含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
4、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。
（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）5、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
6、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
（2）三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
（3）如何用尺规作图法作出角平分线第二章 一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为 常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。
※把02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。
※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2=+m x 的形式>※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成0)(2=+m x 的形式；⑥两边开方求其根。
②公式法 aac b b x 242-±-= （注意在找abc 时须先把方程化为一般形式） ③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）※根的判别式：当b 2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b 2-4ac<0时，方程无实数根。
※根与系数的关系：如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根分别为x 1、x 2，则有：ac x x a b x x =⋅-=+2121。
※一元二次方程的根与系数的关系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x 1、x 2的对称式的值，特别注意以下公式： ①2122122212)(x x x x x x -+=+ ②21212111x x x x x x +=+ ③212212214)()(x x x x x x -+=- ④21221214)(||x x x x x x -+=- ⑤||22)(|)||(|2121221221x x x x x x x x +-+=+⑥)(3)(21213213231x x x x x x x x +-+=+ ⑦其他能用21x x +或21x x 表达的代数式。
（3）已知方程的两根x 1、x 2，可以构造一元二次方程：0)(21221=++-x x x x x x（4）已知两数x 1、x 2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程0)(21221=++-x x x x x x 的根※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x ；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。
※处理问题的过程可以进一步概括为： 解答检验求解方程抽象分析问题→→ 第三章 证明（三）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．。
※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。
这个距离称为平行线之间的距离。
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
图3左视图：基本可认为从物体左面视得的图象※视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面(平面或曲面)，而相连的两个闭合线框一定不在一个平面上。
※在一个外形线框内所包括的各个小线框，一定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各个小的平面体（或曲面体）。
※在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线。
物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影．．。
太阳光线可以看成平行的光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．．．．。
探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影．．．．。
※区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子。
眼睛的位置称为视点．．；由视点发出的线称为视线．．；眼睛看不到的地方称为盲区．．。
※从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影。
①点在一个平面上的投影仍是一个点；②线段在一个面上的投影可分为三种情况：线段垂直于投影面时，投影为一点；线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度；线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。
③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状；平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段；平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状。
第五章 反比例函数 ※反比例函数的概念：一般地，xk y =（k 为常数，k ≠0）叫做反比例函数，即y 是x 的反比例函数。
（x 为自变量，y 为因变量，其中x 不能为零）※反比例函数的等价形式：y 是x 的反比例函数 ←→ )0(≠=k xk y ←→ )0(1≠=-k kx y ←→ )0(≠=k k xy ←→ 变量y 与x 成反比例，比例系数为k.※判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值<即k xy =>。
※反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线※反比例函数的画法的注意事项②选取的点越多画的图越准确； ③画图注意其美观性（对称性、延伸特征）。
※反比例函数性质：①当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小；②当k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大；③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x 轴和y 轴），但不会与坐标轴相交。
※反比例函数图象的几何特征:(如图4所示)点P(x,y)在双曲线上都有||21||21||||k xy S k xy S AOB OAPB ====∆矩形 第六章 频率与概率※在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数．．； 每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率．．； 即：实验次数频数数据总数频数频率== 在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1。
因此，各个小长方形的面积的和等于1。
※频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式，前者准确，后者直观。
用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率。
可用列表的方法求出概率，但此方法不太适用较复杂情况。
※假设布袋内有m 个黑球，通过多次试验，我们可以估计出布袋内随机摸出一球，它为白球的概率；※要估算池塘里有多少条鱼，我们可先从池塘里捉上100条鱼做记号，再放回池塘，之后再从池塘中捉上200条鱼，如果其中有10条鱼是有标记的，再设池塘共有x 条鱼，则可依照20010100=x 估算出鱼的条数。