第八章 图与网络分析

Ｖ4
16
赋权图 网络
赋权图：设图G＝(V,E）,对G的每一条边(vi,vj)相应赋 予数量指标 wij ， wij 称为边 (vi,vj) 的权 , 赋予权的图 G 称 为赋权图。赋权图中的权可以代表距离、费用、通 过能力(容量)等等。 网络：若G＝(V,E）为一赋权图,并在其顶点集合V中 指定了起点和终点，其余的点为中间点，这样的赋 权图称为网络图（简称网络）。
v2 9 v1 20
10
v3
15 7 v4 14 6 19 25
v5
v6
子图，支撑子图
图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}，如果有
V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。
若有 V1＝V2，E1 E2 ，则称G1是G2的一个 支撑子图。 v2
v1 e4 e3 v3 e6 e8 e6 e2
第8章 图与网络优化
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 图的基本概念 树 最短路问题 网络最大流 最小费用最大流问题 中国邮递员问题
图论起源——哥尼斯堡七桥问题
A C B
问题：一个散步者能否从任一 块陆地出发，走过七座桥，且 每座桥只走过一次，最后回到 出发点？
A
D
C
B 欧拉证明了上述图形一笔画 是不可能的，因为图中每一个 点都只和奇数条线相关联． 他的结论是：图形能一笔画 的充要条件是图形的奇顶点 （连接奇数条线的顶点）的个 数为零
图的基本性质：
定理1 图G=（V,E），顶点次数之和等于所有边数的2 倍。
证明：由于每条边必与两个顶点关联，在计算点的次时，每 条边均被计算了两次，所以顶点次数的总和等于边数的2倍。
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
证明：设V1和V2分别为图G中奇点与偶点的集合。由定理1可 得：
vV1
e1 v1 e4 e5 e3 v3 e8
e4 v2 e5 e6 e8 v3 v2
e2
e7
v4
v5
（G图）
e7
v4 v5
v4
v5
(a)
(b)
图的矩阵描述： 1. 邻接矩阵
对于图G=(V,E),| V |=n, | E |=m,有nn阶方矩阵 A=(aij) nn，其中
1 当且仅当vi与v j之间有关联边时 aij 0 其它
v i 到v之间的距离，则可构造距离矩阵 A= a ij ， j nn
其中
w ij a ij = 0 或
Ｖ5
[vi ,v j ] E 其他
如：以下图中的权表示点与点之间距离
7
Ｖ1
4 2
6
Ｖ4 4
v1 v1 0 v 2 9 A= v3 2 v4 4 v5 7
e3 v3 e8
e7
v5
图的次: 一个图的次等于各点的次之和。
出次与入次
有向图中，以vi为始点的边数称为点 vi的出 次，用d+(vi)表示；以vi为终点的边数称为点vi 的入次，用表示d-(vi) ；vi 点的出次和入次之 和就是该点的次。 有向图中，所有顶点的入次之和等于所有顶 点的出次之和。
v8 v7 v6 v5
v3 v4
8.1 图的基本概念
图是由点和线构成的。 图的基本概念： 边：图中不带箭头的连线叫做边(edge)，边的集合记为E ， 一条边可以用两点[ vi,vj ]表示,ej= [ vi,vj ]. 弧：图中带箭头的连线叫做弧 (arc) ，弧的集合记为 A，一 条弧也是用两点表示，ak= (vi,vj )，弧有方向：vi为始点，vj为 终点。 图的分类：无向图，有向图 无向图：由点和边所组成的图。表示为G=(V,E)，其中V和 E是点集合和边集合。 有向图：由点和弧所组成的图。表示为D=(V,A)，其中V和 A是点集合和弧集合。
Ｖ1
e4
Ｖ4
e5 e1
Ｖ2
e3 e2
Ｖ3
Ｖ5
e6 e9 e8
v1 ,v2 ,v3 ,v4 ,v5 ,v3 ,v6 ,v7
v1 ,v2 ,v3 ,v6 ,v7
Ｖ7
e7
是简单链
Ｖ6
是初等链
v1 ,v2 ,v3 ,v4 ,v1
v4 ,v1,v2 ,v3 ,v5 ,v7 ,v6 ,v3 ,v4
能否从某 一点出发， 一笔画出 这个图形， 最后回到 D出 发 点 而 不重复？ 即一笔画 问题。
铁路交通图
此图是我国北京，上海等十 个城市间的交通图，反映了 这十个城市间的铁路分布情 况。 点表示城市,点间的连线表示 两个城市间的铁路线。 诸如此类问题还有电话线分 布图或煤气管道分布图等。
北京天津济南Fra bibliotek青岛郑州
徐州
连云港
南京 上海
武汉
球队比赛图
五个球队比赛，比过的两个队之间用连 线相连，还没有比赛的队之间没有连线
v5
v1
v4
v2
v3
例3 某单位储存8种化学药品，其中某些药品是不能存放在 同一个库房里的。为了反映这个情况，可以用v1,v2...,v8分别 代表这8种药品，若药品vi和药品vj是不能存放在同一库房的 ，则在vi和vj之间有连一条线，如图所示。从这个图中可以看 到，至少要有 4个库房的，因为 v 1,v 2,v 5,v 8必须存放在不同的 库房里。 v1 {v1}，{v2,v4,v7}，{v3,v5}，{v6,v8} v2
d (v) d (v) d (v) 2q
vV2 vV
vV2
2q为偶数，且偶点的次之和 d (v也为偶数，所以 ) d (v ) 必 为偶数，即奇数点的个数必为偶数。
vV1
链：点边交替序列称为链； 圈：首尾相连的链称为圈； 初等链：链中各点均不同的链； 初等圈：圈中各点均不同的圈； 简单链：链中边均不同的链； 简单圈：圈中边均不同的圈。 连通图：任意两点之间至少有一条链的图。 连通分图：对不连通的图，每一连通的部分称为一个连通 分图。 支撑子图：对G=(V,E)，若G’=(V’,E’)，使V’＝V， E’包含于E ，则G’是G的一个支撑子图。 赋权图：在图中，如果每一条边（弧）都被赋予一个权值 wij，则称图G为赋权图。 路：在有向图中，如果链上每条弧的箭线方向与链行进方 向相同，则称之为路。 回路：首尾相接的路称回路
Ｖ2
v1 v 2 v3 v 4 v5
Ｖ3
Ｖ1
Ｖ4 Ｖ5
v1 0 v 2 1 A= v3 0 v 4 0 v5 0
1 0 0 0 1
0 1 0 0 1
1 1 0 0 0
0 0 0 1 0
2. 距离矩阵：
w ij 为边 [v ,v ] 设图 G= V,E， i j 上的权，表示点
v2 9 0 3 4 +
v3 2 3 0 8 5
v4 4 4 8 0 6
v5 7 + 5 6 0
20
9 5
Ｖ2
8
3
Ｖ3
8.2 树
8.2.1树及其性质
树的定义：设 G= V,E ，若G连通，并且没有圈，则称G为树， 记作 T= V,E 。 · 比如有六个顶点的树有6种，
如无向图： G= V,E
e1
Ｖ1 Ｖ2
V= v1 ,v2 ,v3 ,v4
e2 e5
Ｖ4
E= e1,e2 ,e3 ,e4 ,e5 ,e6 ,e7
e3
e6
e1 = v1 ,v2 ,e2 = v1 ,v2 ,e3 = v 2 ,v3 , e4 = v3 ,v4 ,e5 = v1 ,v 4 ,e6 = v1 ,v3 ,e7 = v 4 ,v 4
是简单圈
15
是初等圈
连通图：在一个图G 中，若任意两点之间至少存在一条链，
则称该图G为连通图，否则称之为不连通图。 如：
Ｖ1 a3 Ｖ3 Ｖ5
a1 a2
a4
Ｖ4
a5
Ｖ2
Ｖ6
左图为不连通图。 因为在顶点v1， v2，v3，v4和 v5，v6之间不存在任何一条链 将它们相连接。
Ｖ2 Ｖ1 Ｖ5
Ｖ3
右图为有向连通图
求支撑树的方法： 破圈法：即任取一个圈，从圈中去掉 一条边，对余下的图重复这个步骤，直 至图中不含圈为止。 避圈法：在图中每次任取一条边，与 已经取得的任何一些边不够成圈，重复 这个过程，直到不能进行为止。 由定理 4 和 5 知，再破圈法中去掉的边数 必是q(G)-p(G) +1条,在避圈法中取出的边 数必定是p(G) +1条
e7
e4
Ｖ3
7
如有向图：D= V,A
V=v1,v2 ,v3 ,v4 ,v5 ,v6 ,v7
Ｖ3 a2 a8 Ｖ5 a10 Ｖ7
A= a1 ,a 2 ,a 3 ,,a11
a11 Ｖ6
Ｖ1
a1
a3
a6
a4
a9 a7
a1 = v1 ,v2 ,a 2 = v1 ,v3 ,a 3 = v3 ,v2 , a 4 = v3 ,v4 ,a 5 = v2 ,v4 ,a 6 = v4 ,v5 , a 7 = v4 ,v6 ,a 8 = v5 ,v3 , a 9 = v5 ,v4 , a10 = v5 ,v6 a11 = v6 ,v7
如下图中，（b）图是(a) 图的支撑树
V3 V1 V5 V6 V3 V5 V6
V2 （ a）
V4
V2 （b）
V4
24
定理7：图G有支撑树的充要条件是图G是连通的。 证明：必然性是显然的。 充分性 设图G是连通图，如果G不含圈，那么G本身 是一个树，从而G是它自身的一个支撑树。现设G含 圈，任取一个圈，从圈中任意地去掉一条边，得到 图G的一个支撑子图 G1。如果G1不含圈，那么G1是G 的一个支撑树，如此重复，最终可以得到G的一个支 撑子图Gk，它不含圈，于是Gk是G的一个支撑树。 定理7充分性证明，提供了一个寻求连通图的支撑树 的方法。这就是任取一个圈，从圈中去掉一条边， 对余下的图重复这个步骤，直到不含圈时为止，即 得到一个支撑树 ，称这种方法为“破圈法”。