2017版高考数学一轮复习练习13.2综合法、分析法、反证法.doc

基础巩固题组
(建议用时：35分钟)
一、选择题
1.用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A.方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根
B.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根
C.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根
D.方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根
解析 因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”.
答案 A
2.若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( )
A.lg(1＋a 2)>0
B.a 2＋b 2≥2(a －b －1)
C.a 2＋3ab >2b 2
D.a b <a ＋1b ＋1
解析 在B 中，∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立.
答案 B
3.已知m >1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是( )
A.a >b
B.a <b
C.a ＝b
D.a ，b 大小不定 解析 ∵a ＝m ＋1－m ＝
1m ＋1＋m ， b ＝m －m －1＝1m ＋m －1
. 而m ＋1＋m >m ＋m －1＞0(m ＞1)， ∴1m ＋1＋m <1m ＋m －1
， 即a <b .
答案 B
4.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac ＜
3a ”索的因应是( )
A.a －b ＞0
B.a －c ＞0
C.(a －b )(a －c )＞0
D.(a －b )(a －c )＜0
解析 由题意知b 2－ac ＜3a ⇐b 2－ac ＜3a 2
⇐(a ＋c )2－ac ＜3a 2
⇐a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2＜0
⇐－2a 2＋ac ＋c 2＜0
⇐2a 2－ac －c 2＞0
⇐(a －c )(2a ＋c )＞0⇐(a －c )(a －b )＞0.
答案 C
5.①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下正确的是( )
A.①与②的假设都错误
B.①与②的假设都正确
C.①的假设正确；②的假设错误
D.①的假设错误；②的假设正确
解析 反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q ＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确.
答案 D
二、填空题 6.6＋7与22＋5的大小关系为________.
解析 要比较6＋7与22＋5的大小，
只需比较(6＋7)2与(22＋5)2的大小，
只需比较6＋7＋242与8＋5＋410的大小， 只需比较42与210的大小，只需比较42与40的大小，∵42>40，∴6＋7>22＋ 5. 答案 6＋7>22＋ 5
7.下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b
≥2成立的条件的序号是________.
解析 要使b a ＋a b ≥2，只需b a >0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④能使b a ＋a b
≥2成立.
答案 ①③④
8.设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞2；②a 2＋b 2＞2.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件的是________(填序号).
答案 ①
三、解答题
9.(1)设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab
≥8. (2)已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c
＞3. 证明 (1)∵a ＋b ＝1，
∴1a ＋1b ＋1ab ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＋a ＋b ab
＝1＋b a ＋1＋a b ＋a ＋b ab ≥2＋2b a ·a b ＋a ＋b ⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ＝2＋2＋4＝8，当且仅当a ＝b ＝12
时，等号成立. (2)∵a ，b ，c 全不相等，且都大于0. ∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与b c
全不相等， ∴b a ＋a b ＞2，c a ＋a c ＞2，c b ＋b c ＞2， 三式相加得b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c
＞6， ∴⎝⎛⎭⎫b a ＋c a －1＋⎝⎛⎭⎫c b ＋a b －1＋⎝⎛⎭⎫a c ＋b c －1＞3， 即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c
＞3. 10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列.
(1)解 当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1.
又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2，
两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12
n －1. (2)证明 反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，
a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N *)，
则2·12q ＝12p ＋12
r ， 所以2·2r －q ＝2r －
p ＋1.① 又因为p <q <r ，所以r －q ，r －p ∈N *.
所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立.
所以假设不成立，原命题得证.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭
⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )
A.A ≤B ≤C
B.A ≤C ≤B
C.B ≤C ≤A
D.C ≤B ≤A 解析 ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b
，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是减函数，∴f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b . 答案 A
12.设a ，b ，c 均为正实数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a
( ) A.都大于2 B.都小于2
C.至少有一个不大于2
D.至少有一个不小于2 解析 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，
∴⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭
⎫b ＋1b ＋ ⎝⎛⎭
⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.
答案 D
13.凸函数的性质定理：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，
x n ，有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x n n
)，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________.
解析 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π).
∴f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f ⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝⎛⎭⎫π3，
即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332
， 所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332
. 答案 332
14.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c
时，f (x )>0.
(1)证明：1a
是函数f (x )的一个零点； (2)试用反证法证明1a
>c . 证明 (1)∵f (x )图像与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，
∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，
又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1a
≠c )， ∴1a 是f (x )＝0的一个根.即1a
是函数f (x )的一个零点. (2)假设1a <c ，又1a
>0，由0<x <c 时，f (x )>0， 知f ⎝⎛⎭⎫1a >0与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾，∴1a
≥c ， 又∵1a ≠c ，∴1a
>c .。