【中国农大CAU考研 高数】2.10 函数作图

=
-2( x (x -
- 1) 2)3 ,
f
( x)
=
4x - 2 ( x - 2)4
令 f ( x) = 0, 得 x = 1, 令 f ( x) = 0, 得 x = 1 .
(4) 列表讨论
2
x
(-, 1) 1 22
( 1 ,1) 2
1
(1, 2)
2 (2,+)
f ( x) - -
-0
+
-
f ( x) - 0 + + +
2x - 3
y
=
的性质并绘制函数图形.
( x - 2)2
解
(1) 函数的定义域为
x 2.
非奇非偶函数,且无对称性.
(2)
2x - 3
lim x2 ( x -
2)2
=
,
x = 2 为曲线的垂直渐近线.
2x - 3
lim
x
(
x
-
2)2
=
0
y = 0 为曲线的水平渐近线.
§2.10 函数作图
(3)
f
( x)
一阶导数和二阶导数为零的全部实数根，并求出所有一阶导数不存在的点和 二阶导数不存在的点；依此划分定义区间；
§2.10 函数作图
(4) 按上述结果列表，确定函数的单调性、凹 凸性、极值和拐点；
(5) 求出曲线与坐标轴的交点，并求出曲线上 若干其它点；
(6) 描点作出函数图形.
§2.10 函数作图
例3 讨论函数
1
1
lim
= lim
=
x-2 ( x + 2)( x - 3)
x3 ( x + 2)( x - 3)
垂直渐近线:
x = -2, x = 3.
§2.10 函数作图 2. 斜渐近线
如果 lim [ f ( x) - (ax + b)] = 0 x+ 或 lim [ f ( x) - (ax + b)] = 0 (a,b 为常数)(a 0) x-
f (x)
-8
9
-1
曲线 凸、降 拐 点 凹、降 极小值 凸、升
+
凹、降
(5) 令 x = 0, 得 y = - 3 ; 4
令 y = 0, 得 x = 3 .
y
2
再补充几点:
(-1, - 5), (3, 3), (5, 7 ).
9
9
(6) 描点作图.
O2
x
§2.10 函数作图
内容小结
1. 利用一阶导数、二阶导数的符号确定 函数的增减性、凹凸性、 拐点以及极值点.
那么 y = ax + b 就是 y = f ( x) 的一条斜渐近线.
斜渐近线求法:
lim f ( x) = a, lim[ f ( x) - ax] = b.
x x
x
那么 y = ax + b 就是曲线 y = f ( x) 的一条斜渐近线.
§2.10 函数作图
3. 水平渐近线
如果 lim f ( x) = b 或 lim f ( x) = b (b 为常数)
§2.10 函数作图
一、曲线的渐近线 二、函数作图
§2.10 函数作图
一、曲线的渐近线
1. 垂直渐近线
如果wk.baidu.com
lim f ( x ) = 或 lim f ( x ) =
x
x
+ 0
x
x
0
那么 x = x 就是 y = f ( x ) 的一条垂直渐近线
.
0
例如， y =
1
,
( x + 2)(x - 3)
本节内容结束
2. 综合运用函数的性态、较准确地作出函数的图形.
§2.10 函数作图
思考练习
选择题
曲线 y =
x|x|
的渐近线， 共有
( x - 1)( x - 2)
( A) 1条.
(B) 2条.
(C ) 3条. ( D) 4条.
§2.10 函数作图
思考练习
解答提示
选D. 包括2条垂直渐近线，2条水平渐近线.
例2 求 y = x2 +的2渐x近+线e.x
解 分两种情形讨论.
lim f ( x) = lim
x x+
x+
lim f ( x) = lim
x x-
x-
x2 + 2x + ex
x
= +,
x2 + 2x + ex
x
= -1,
lim ( f ( x) + x) = lim ( x2 + 2x + e x + x)
lim
= ,
x-1 x + 1
x = -1 为曲线的垂直渐近线.
又 lim f ( x) = lim x2 + 5x + 1 = 1, x x x x( x + 1)
x2 + 5x -1
lim(
x
f
(
x)
-
x)
=
lim
x
x+1
- x = 4,
y = x + 4为曲线的斜渐近线.
§2.10 函数作图
x-
x-
= lim
2x + ex
= -2.
x- x2 + 2 x + e x - x
y = - x - 2为曲线的斜渐近线.
§2.10 函数作图
二、曲线作图
函数作图的一般步骤： (1) 确定函数的定义域、值域，讨论函数的奇偶性、周期性;
(2) 求出曲线的渐近线； (3) 求出函数f (x)的一阶导数和二阶导数，求出使
x+
x-
那么 y = b 就是 y = f ( x) 的一条水平渐近线.
例如 y = arctan x,
lim arctan x =
x+
2
水平渐近线：
y = , 2
lim arctan x = -
x-
2
y = -. 2
§2.10 函数作图
例1
求 y = x2 +的5渐x近+线1.
x+1
解
x2 + 5x +1