【中国农大CAU考研 高数】2.10 函数作图
最新(考研高数)基本初等函数图像与性质
（高数）基本初等函数图像与性质1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性3.每个函数的图像很重要一、幂函数 a x =y (a 为常数）最常见的几个幂函数的定义域及图形1.当a 为正整数时，函数的定义域为区间(,)x ∈-∞+∞，他们的图形都经过原点，并当a>1时在原点处与x 轴相切。
且a 为奇数时，图形关于原点对称；a 为偶数时图形关于y 轴对称；2.当a 为负整数时。
函数的定义域为除去x =0的所有实数。
3.当a 为正有理数m n时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。
函数的图形均经过原点和(1,1)；如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m，n均为奇数时,跟原点对称。
4.当a为负有理数时,n为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数；n为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数。
二、指数函数xay=(a是常数且01a a>≠，)，),(+∞-∞∈x图形过（0，1）点，a>1时，单调增加；0<a<1时，单调减少。
今后用的较多。
三、对数函数xyalog=(a是常数且01a a>≠，)，(0,)x∈+∞；四、三角函数正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，正切函数 x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ，余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；五、反三角函数反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ， 反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，反正切函数xy arctan=，),(+∞-∞∈x，)2,2(ππ-∈y，反余切函数xy cotarc=，),(+∞-∞∈x，),0(π∈y．Αα：阿尔法 Alpha Ββ：贝塔 BetaΓγ：伽玛 Gamma Δδ：德尔塔 DelteΕε：艾普西龙 Epsilon ζ ：捷塔Zeta Ζη：依塔 Eta Θθ：西塔 Theta Ιι：艾欧塔 IotaΚκ：喀帕 Kappa ∧λ：拉姆达 LambdaΜμ：缪 Mu Νν：拗 NuΞξ：克西 Xi Οο：欧麦克轮 Omicron∏π：派 Pi Ρρ：柔 Rho∑σ：西格玛 Sigma Ττ：套 TauΥυ：宇普西龙 Upsilon Φφ：fai PhiΧχ：器 Chi Ψψ：普赛 PsiΩω：欧米伽 Omega七年级下册道德与法治第一次月考试卷班级姓名一．单选题（共18小题，每小题2分，共36分）1．欣赏漫画《宅童》，你最想对“宅童”说的是（）①封闭自己，脱离现实世界，会使自己陷入孤立②这种把自己“宅”起来的做法，会使自己的人际关系萎缩③应该保持积极开放的态度，接触更多的人④在虚拟世界中获得成就感也能形成良好的性格，人生才更精彩。
考研高数基本初等函数图像与性质
（高数）基本初等函数图像与性质1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性3.每个函数的图像很重要一、幂函数a x =y (a 为常数）最常见的几个幂函数的定义域及图形1.当a 为正整数时，函数的定义域为区间(,)x ∈-∞+∞，他们的图形都经过原点，并当a>1时在原点处与x 轴相切。
且a 为奇数时，图形关于原点对称；a 为偶数时图形关于y 轴对称；2.当a 为负整数时。
函数的定义域为除去x =0的所有实数。
3.当a 为正有理数m n时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。
函数的图形均经过原点和(1,1)； 如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m ，n 均为奇数时,跟原点对称。
4.当a 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时,定义域为去除x =0以外的一切实数。
二、指数函数x a y =(a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x图形过（0，1）点，a>1时，单调增加；0<a<1时，单调减少。
今后用的较多。
三、对数函数x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞；四、三角函数正弦函数x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，余弦函数x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，正切函数x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ，余切函数x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；五、反三角函数反正弦函数x y arcsin =，]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ，反余弦函数x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，反正切函数x y arctan =，),(+∞-∞∈x ，)2,2(ππ-∈y ，反余切函数x y cot arc =，),(+∞-∞∈x ，),0(π∈y ．Αα：阿尔法Alpha Ββ：贝塔BetaΓγ：伽玛Gamma Δδ：德尔塔DelteΕε：艾普西龙Epsilon ζ：捷塔Zeta Ζη：依塔Eta Θθ：西塔Theta Ιι：艾欧塔Iota Κκ：喀帕Kappa ∧λ：拉姆达Lambda Μμ：缪Mu Νν：拗NuΞξ：克西Xi Οο：欧麦克轮Omicron ∏π：派Pi Ρρ：柔Rho∑σ：西格玛Sigma Ττ：套TauΥυ：宇普西龙Upsilon Φφ：faiPhiΧχ：器Chi Ψψ：普赛PsiΩω：欧米伽Omega。
(完整)(考研高数)基本初等函数图像与性质
（高数）基本初等函数图像与性质1•函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则2•函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性3•每个函数的图像很重要a、幕函数y X （a为常数）最常见的几个幕函数的定义域及图形y = y = y=卡, y = y= x~]IS 1-181•当a为正整数时，函数的定义域为区间x （,），他们的图形都经过原点，并当a>1时在原点处与x轴相切。
且a为奇数时，图形关于原点对称；a为偶数时图形关于y轴对称；2•当a为负整数时。
函数的定义域为除去x =0的所有实数。
3•当a为正有理数m时，n为偶数时函数的定义域为（0, ），n为奇数时函数的定义n域为（，）。
函数的图形均经过原点和（1,1）；如果m n图形于x轴相切，如果m n，图形于y轴相切，且m为偶数时，还跟y轴对称;m , n均为奇数时，跟原点对称。
4•当a为负有理数时,n为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数; 域为去除x=0以外的一切实数。
x / \、指数函数y a（a是常数且a 0, a 1），x（，）三、对数函数y loga x（a是常数且a 0, a 1），x （0，）；图1-18n为奇数时，定义四、三角函数 正弦函数 y sinx , x ( , ) , y [ 1,1], 余弦函数y cosx , x ( ， ) , y [ 11],五、反三角函数 y [——] 反正弦函数 y arcsinx , X [ 1,1] ,2’ 2 , 反余弦函数 y arccosx , x [ 1,1] , y [0,],k x k Z y 2 正切函数 k ky y 余切函数 x H b2U(n)tan x cotx 圈］-由闿 L-21BB 贝塔Beta AS 德尔塔 Delte Z ：捷塔 Zeta Z n :依塔 Eta 11艾欧塔Iota A k 拉姆达 Lambda Nv 拗 Nu O o 欧麦克轮 Omicron Pp 柔 Rho T T 套 Tau ①申fai Phi 屮也普赛Psi 反正切函数y arctanx , X ( 反余切函数y arccotx , x ()y (o,) A a 阿尔法 Alpha r Y 伽玛 GammaE :艾普西龙 Epsilon OQ 西塔 Theta K K 喀帕 Kappa M& 缪 MuEE 克西Xi nn 派 Pi E cr 西格玛 SigmaYu 宇普西龙 Upsilon X x 器 ChiQw:欧米伽 Omega。
考研高等数学常用公式以及函数图像
正切 , , , 余切 ， ， ，
-----------------------------------(5)反三角函数----------------------------------
反正弦
,
,
反正切 , , 反余切 , ,
考研高等数学常用公式及函数图象
导数公式：
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
一些初等函数： 两个重要极限：
三角函数公式：
·诱导公式：
函数
角A
sin
cos
tg
ctg
-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
90°-α
cosα
sinα
ctgα
tgα
90°+α
cosα
-sinα
-ctgα
-tgα
180°-α
sinα
( 是常数且 )， ；
-----------------------------------(3)对数函数----------------------------------
( 是常数且 )， ；
-----------------------------------(4) 三角函数----------------------------------
(*)式的通解
两个不相等实根
两个相等实根
一对共轭复根
二阶常系数非齐次线性微分方程
五类基本初等函数及图形
-----------------------------------(1)幂函数----------------------------------
， 是常数；
考研高数基本初等函数图像与性质
（高数）基本初等函数图像与性质1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性3.每个函数的图像很重要一、幂函数 a x =y (a 为常数）最常见的几个幂函数的定义域及图形1.当a 为正整数时，函数的定义域为区间(,)x ∈-∞+∞，他们的图形都经过原点，并当a>1时在原点处与x 轴相切。
且a 为奇数时，图形关于原点对称；a 为偶数时图形关于y 轴对称；2.当a 为负整数时。
函数的定义域为除去x =0的所有实数。
3.当a 为正有理数m n时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。
函数的图形均经过原点和(1,1)；如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m ，n 均为奇数时,跟原点对称。
4.当a 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时,定义域为去除x =0以外的一切实数。
二、指数函数 x a y =(a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x图形过（0，1）点，a>1时，单调增加；0<a<1时，单调减少。
今后用的较多。
三、对数函数x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； 四、三角函数正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，正切函数 x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ，余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；五、反三角函数反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ， 反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，反正切函数 x y arctan =，),(+∞-∞∈x ，)2,2(ππ-∈y ，反余切函数xy cotarc=，),(+∞-∞∈x，),0(π∈y．Αα：阿尔法Alpha Ββ：贝塔BetaΓγ：伽玛Gamma Δδ：德尔塔DelteΕε：艾普西龙Epsilon ζ ：捷塔Zeta Ζη：依塔Eta Θθ：西塔Theta Ιι：艾欧塔IotaΚκ：喀帕Kappa ∧λ：拉姆达LambdaΜμ：缪Mu Νν：拗NuΞξ：克西Xi Οο：欧麦克轮Omicron∏π：派Pi Ρρ：柔Rho∑σ：西格玛Sigma Ττ：套TauΥυ：宇普西龙Upsilon Φφ：fai PhiΧχ：器Chi Ψψ：普赛PsiΩω：欧米伽Omega。
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函数图形基本初等函数 幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（1）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3)y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1)y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数 y = |x|符号函数 y = sgnx取整函数 y= [x]极限的几何解释(1)极限的几何解释(2)极限的几何解释(3)极限的性质 (1) (局部保号性)极限的性质 (2) (局部保号性)极限的性质 (3) (不等式性质)极限的性质 (4) (局部有界性)极限的性质 (5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x 的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)等价无穷小(x->0)sinx 等价于xarcsinx 等价于xtanx 等价于xarctanx 等价于x 1-cosx 等价于x^2/2sinx等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞)夹逼定理(1) 夹逼定理(2)数列的夹逼性(1) 数列的夹逼性(2)。
考研高数基本初等函数图像与性质
（高数）基本初等函数图像与性质1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性3.每个函数的图像很重要一、幂函数 a x =y (a 为常数）最常见的几个幂函数的定义域及图形1.当a 为正整数时，函数的定义域为区间(,)x ∈-∞+∞，他们的图形都经过原点，并当a>1时在原点处与x 轴相切。
且a 为奇数时，图形关于原点对称；a 为偶数时图形关于y 轴对称；2.当a 为负整数时。
函数的定义域为除去x =0的所有实数。
3.当a 为正有理数m n时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。
函数的图形均经过原点和(1,1)；如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m ，n 均为奇数时,跟原点对称。
4.当a 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时,定义域为去除x =0以外的一切实数。
二、指数函数 x a y =(a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x图形过（0，1）点，a>1时，单调增加；0<a<1时，单调减少。
今后用的较多。
三、对数函数x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； 四、三角函数正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，正切函数 x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ，余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；五、反三角函数反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ，反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，反正切函数 x y arctan =，),(+∞-∞∈x ，)2,2(ππ-∈y ， 反余切函数x y cot arc =，),(+∞-∞∈x ，),0(π∈y ． Αα：阿尔法 AlphaΒβ：贝塔 Beta Γγ：伽玛 GammaΔδ：德尔塔 Delte Εε：艾普西龙 Epsilonζ ：捷塔 Zeta Ζ η：依塔 Eta Θθ：西塔 ThetaΙι：艾欧塔 Iota Κκ：喀帕 Kappa∧λ：拉姆达 Lambda Μμ：缪 MuΝν：拗 Nu Ξξ：克西 XiΟο：欧麦克轮 Omicron ∏π：派 PiΡρ：柔 Rho ∑σ：西格玛 SigmaΤτ：套 Tau Υυ：宇普西龙 UpsilonΦφ：fai Phi Χχ：器 ChiΨψ：普赛 Psi Ωω：欧米伽 Omega。
(考研高数)基本初等函数图像与性质
（高数）基本初等函数图像与性质1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性3.每个函数的图像很重要一、幂函数yx a(a为常数）最常见的几个幂函数的定义域及图形1.当 a 为正整数时，函数的定义域为区间x ( , ) ，他们的图形都经过原点， 并当a>1 时在原点处与 x 轴相切。
且 a 为奇数时，图形关于原点对称； a 为偶数时图形关于y 轴对称；2.当 a 为负整数时。
函数的定义域为除去 x =0 的所有实数。
3.当 a 为正有理数m时， n 为偶数时函数的定义域为(0,) ， n 为奇数时函数的定义n域为 ( , ) 。
函数的图形均经过原点和(1,1)；如果 m n 图形于 x 轴相切 ,如果 m n ,图形于 y 轴相切 ,且 m 为偶数时 ,还跟 y 轴对称; m，n均为奇数时,跟原点对称。
4.当域为去除a 为负有理数时 , n为偶数时x =0以外的一切实数。
,函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时,定义二、指数函数y a x(a是常数且 a 0， a 1)，x ( , )图形过（ 0， 1）点， a>1 时，单调增加；0<a<1 时，单调减少。
今后用的较多。
三、对数函数y logax(a是常数且 a 0，a 1)，x (0, )；四、三角函数正弦函数 y sin x ， x ( , ) ， y [ 1,1] ， 余弦函数ycos x ， x(, ) ， y [ 1,1] ，y tan x xkZ ， y( , ) ， 正切函数 ，2 ， k余切函数ycot x， x k ， k Z， y (, ) ；五、反三角函数y arcsin x ， x[ 1,1] y [, ]反正弦函数 ， 2 2 ，反余弦函数y arccosx ， x[ 1,1] ， y[ 0, ] ，y arctan x ，x (, )y (,)反正切函数，2 2 ，反余切函数y arc cot x ，x( , ) ， y (0,) ．Αα：阿尔法AlphaΓγ：伽玛Gamma Εε：艾普西龙Epsilon Θθ：西塔ThetaΚκ：喀帕KappaΜμ：缪 MuΞξ：克西Xi∏π：派Pi∑σ：西格玛SigmaΥυ：宇普西龙Upsilon Χχ：器 ChiΩω：欧米伽OmegaΒβ：贝塔 BetaΔδ：德尔塔Delteζ：捷塔ZetaΖη：依塔Eta Ιι：艾欧塔Iota∧λ：拉姆达LambdaΝν：拗N uΟο：欧麦克轮OmicronΡρ：柔RhoΤτ：套TauΦφ： fai PhiΨψ：普赛 Psi。
考研高等数学常用公式以及函数图像
考研高等数学常用公式及函数图象导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：函数 角A sincos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinαctgαtgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α si nα-cosα -tgα-ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
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（高数）基本初等函数图像与性质1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性3.每个函数的图像很重要一、幂函数 a x =y (a 为常数）最常见的几个幂函数的定义域及图形1.当a 为正整数时，函数的定义域为区间(,)x ∈-∞+∞，他们的图形都经过原点，并当a>1时在原点处与x 轴相切。
且a 为奇数时，图形关于原点对称；a 为偶数时图形关于y 轴对称；2.当a 为负整数时。
函数的定义域为除去x =0的所有实数。
3.当a 为正有理数m n 时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。
函数的图形均经过原点和(1,1)；如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m，n均为奇数时,跟原点对称。
4.当a为负有理数时,n为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数；n为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数。
二、指数函数xay=(a是常数且01a a>≠，)，),(+∞-∞∈x图形过（0，1）点，a>1时，单调增加；0<a<1时，单调减少。
今后用的较多。
三、对数函数xyalog=(a是常数且01a a>≠，)，(0,)x∈+∞；四、三角函数正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，正切函数 x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ，余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；五、反三角函数 反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ， 反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，反正切函数xy arctan=，),(+∞-∞∈x，)2,2(ππ-∈y，反余切函数xy cotarc=，),(+∞-∞∈x，),0(π∈y．Αα：阿尔法Alpha Ββ：贝塔BetaΓγ：伽玛Gamma Δδ：德尔塔DelteΕε：艾普西龙Epsilon ζ ：捷塔Zeta Ζη：依塔Eta Θθ：西塔Theta Ιι：艾欧塔IotaΚκ：喀帕Kappa ∧λ：拉姆达LambdaΜμ：缪Mu Νν：拗NuΞξ：克西Xi Οο：欧麦克轮Omicron∏π：派Pi Ρρ：柔Rho∑σ：西格玛Sigma Ττ：套TauΥυ：宇普西龙Upsilon Φφ：fai PhiΧχ：器Chi Ψψ：普赛PsiΩω：欧米伽Omega。
考研高等数学常用公式以及函数图像
考研高等数学常用公式及函数图象导数公式： 基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
(考研高数)基本初等函数图像与性质
（高数）基本初等函数图像与性质1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性3.每个函数的图像很重要一、幂函数 a x =y (a 为常数）最常见的几个幂函数的定义域及图形1.当a 为正整数时，函数的定义域为区间(,)x ∈-∞+∞，他们的图形都经过原点，并当a>1时在原点处与x 轴相切。
且a 为奇数时，图形关于原点对称；a 为偶数时图形关于y 轴对称；2.当a 为负整数时。
函数的定义域为除去x =0的所有实数。
3.当a 为正有理数m n 时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。
函数的图形均经过原点和(1,1)；如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m ，n 均为奇数时,跟原点对称。
4.当a 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时,定义域为去除x =0以外的一切实数。
二、指数函数xay=(a是常数且01a a>≠，)，),(+∞-∞∈x图形过（0，1）点，a>1时，单调增加；0<a<1时，单调减少。
今后用的较多。
三、对数函数xyalog=(a是常数且01a a>≠，)，(0,)x∈+∞；四、三角函数正弦函数xy sin=，),(+∞-∞∈x，]1,1[-∈y，余弦函数xy cos=，),(+∞-∞∈x，]1,1[-∈y，正切函数 x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ，余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；五、反三角函数 反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ， 反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，反正切函数x y arctan =，),(+∞-∞∈x ，)2,2(ππ-∈y ，反余切函数x y cot arc =，),(+∞-∞∈x ，),0(π∈y ．Αα：阿尔法Alpha Ββ：贝塔BetaΓγ：伽玛Gamma Δδ：德尔塔DelteΕε：艾普西龙Epsilon ζ ：捷塔Zeta Ζη：依塔Eta Θθ：西塔Theta Ιι：艾欧塔IotaΚκ：喀帕Kappa ∧λ：拉姆达LambdaΜμ：缪Mu Νν：拗NuΞξ：克西Xi Οο：欧麦克轮Omicron∏π：派Pi Ρρ：柔Rho∑σ：西格玛Sigma Ττ：套TauΥυ：宇普西龙Upsilon Φφ：fai PhiΧχ：器Chi Ψψ：普赛PsiΩω：欧米伽Omega。
【中国农大CAU考研数学】第三章
定义 设(X，Y)的分布函数为 F(x,y), 如果存在非负函数f(x,y)使 得对 x,y R
xy
F(x, y) P{X x,Y y} f (u,v)dudv
则称（X，Y）为连续型的二维随 机变量；称f(x,y)为（X，Y）的概 率密度(或简称联合概率密度)。
概率密度f(x,y)具有性质
P{x1≤X≤x2 , y1≤Y≤y2}
=F(x2,y2) －F(x2,y1)+F(x1,y1)
－F(x1,y2) (x1, y2)
(x2, y2)
Y
(x1, y1)
0
(x2, y1)
X
分布函数F(x,y)的基本性质 1°F(x,y)是变量x和y的不减函 数；
2°0≤F(x,y) ≤1, 且 对于任意的y, F(-∞ ,y)=0, 对于任意的x, F(x, -∞ )=0, F(-∞ , -∞ )=0, F(+∞ , +∞ )=1；
(1). 均匀分布： 定义 设D为闭区域面积为A，若随机变量 (X,Y) 的(联合)密度为：
1/ A
f (x, y)
0
(x, y) D 其它
则称:(X, Y)服从D上的均匀分布。
向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落 在G内任一小区域B的概率仅与小区域的面积成 正比，而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标 ( X,Y)在G上服从均匀分布.
飞机的重心在空中的状态 是由三个坐标、机头仰角、机 翼测角五个r.v 来确定的等等.
n个随机变量所构成的整体, 叫n维随机 向量或n维随机变量
§1 二维随机变量
设E是一个随机试验，其 样本空间为S，设X，Y是 定义在S上的随机变量，
由它们构成的一个向量 （X，Y）叫做二维随机向 量或二维随机变量。
考研高等数学常用公式以及函数图像
考研高等数学常用公式及函数图象导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：函数 角A sin cos tg ctg -α -sin α cos α -tg α -ctg α 90°-α cos α sin α ctg α tgα 90°+αcos α-sin α -ctg α -tg α 180°-α sinα -cos α -tg α-ctg α180°+α -sinα -cos α tgα ctgα 270°-α -cosα -sin α ctg α tgα 270°+α -cosα sin α -ctg α -tg α 360°-α -sinα cos α -tg α-ctg α360°+α sinαcos αtgα ctgα·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβα-+-+=--+=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±=±±=±1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
考研高数基本初等函数图像与性质
（高数）基本初等函数图像与性质1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性3.每个函数的图像很重要一、幂函数a x =y (a 为常数）最常见的几个幂函数的定义域及图形1.当a 为正整数时，函数的定义域为区间(,)x ∈-∞+∞，他们的图形都经过原点，并当a>1时在原点处与x 轴相切。
且a 为奇数时，图形关于原点对称；a 为偶数时图形关于y 轴对称；2.当a 为负整数时。
函数的定义域为除去x =0的所有实数。
3.当a 为正有理数m n时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。
函数的图形均经过原点和(1,1)；如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m ，n 均为奇数时,跟原点对称。
4.当a 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时,定义域为去除x =0以外的一切实数。
二、指数函数x a y =(a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x图形过（0，1）点，a>1时，单调增加；0<a<1时，单调减少。
今后用的较多。
三、对数函数x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞；四、三角函数正弦函数x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，余弦函数x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，正切函数x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ，余切函数x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；五、反三角函数反正弦函数x y arcsin =，]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ，反余弦函数x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，反正切函数x y arctan =，),(+∞-∞∈x ，)2,2(ππ-∈y ，反余切函数x y cot arc =，),(+∞-∞∈x ，),0(π∈y ．Αα：阿尔法Alpha Ββ：贝塔BetaΓγ：伽玛Gamma Δδ：德尔塔DelteΕε：艾普西龙Epsilon ζ：捷塔Zeta Ζη：依塔Eta Θθ：西塔Theta Ιι：艾欧塔Iota Κκ：喀帕Kappa ∧λ：拉姆达Lambda Μμ：缪Mu Νν：拗NuΞξ：克西Xi Οο：欧麦克轮Omicron ∏π：派Pi Ρρ：柔Rho∑σ：西格玛Sigma Ττ：套TauΥυ：宇普西龙Upsilon Φφ：faiPhiΧχ：器Chi Ψψ：普赛PsiΩω：欧米伽Omega。
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斜渐近线求法:
lim f ( x) = a, lim[ f ( x) - ax] = b.
x x
x
那么 y = ax + b 就是曲线 y = f ( x) 的一条斜渐近线.
§2.10 函数作图
3. 水平渐近线
如果 lim f ( x) = b 或 lim f ( x) = b (b 为常数)
2x - 3
y
=
的性质并绘制函数图形.
( x - 2)2
解
(1) 函数的定义域为
x 2.
非奇非偶函数,且无对称性.
(2)
2x - 3
lim x2 ( x -
2)2
=
,
x = 2 为曲线的垂直渐近线.
2x - 3
lim
x
(
x
-
2)2
=
0
y = 0 为曲线的水平渐近线.
§2.10 函数作图
(3)
f
( x)
例2 求 y = x2 +的2渐x近+线e.x
解 分两种情形讨论.
lim f ( x) = lim
x x+
x+
lim f ( x) = lim
x x-
x-
x2 + 2x + ex
x
= +,
x2 + 2x + ex
x
= -1,
lim ( f ( x) + x) = lim ( x2 + 2x + e x + x)
f (x)
-8
9
-1
曲线 凸、降 拐 点 凹、降 极小值 凸、升
+
凹、降
(5) 令 x = 0, 得 y = - 3 ; 4
令 y = 0, 得 x = 3 .
y
2
再补充几点:
(-1, - 5), (3, 3), (5, 7 ).
9
9
(6) 描点作图.
O2
x
§2.10 函数作图
内容小结
1. 利用一阶导数、二阶导数的符号确定 函数的增减性、凹凸性、 拐点以及极值点.
=
-2( x (x -
- 1) 2)3 ,
f
( x)
=
4x - 2 ( x - 2)4
令 f ( x) = 0, 得 x = 1, 令 f ( x) = 0, 得 x = 1 .
(4) 列表讨论
2
x
(-, 1) 1 22
( 1 ,1) 2
1
(1, 2)
2 (2,+)
f ( x) - -
-0
+
-
f ( x) - 0 + + +
§2.10 函数作图
一、曲线的渐近线 二、函数作图
§2.10 函数作图
一、曲线的渐近线
1. 垂直渐近线
如果
lim f ( x ) = 或 lim f ( x ) =
x
x
+ 0
x
x
0
那么 x = x 就是 y = f ( x ) 的一条垂直渐近线
.
0
例如， y =
1
,
( x + 2)(x - 3)
一阶导数和二阶导数为零的全部实数根，并求出所有一阶导数不存在的点和 二阶导数不存在的点；依此划分定义区间；
§2.10 函数作图
(4) 按上述结果列表，确定函数的单调性、凹 凸性、极值和拐点；
(5) 求出曲线与坐标轴的交点，并求出曲线上 若干其它点；
(6) 描点作出函数图形.
§2.10 函数作图
例3 讨论函数
2. 综合运用函数的性态、较准确地作出函数的图形.
§2.10 函数作图
思考练习
选择题
曲线 y =
x|x|
的渐近线， 共有
( x - 1)( x - 2)
( A) 1条.
(B) 2条.
(C ) 3条. ( D) 4条.
§2.10 函数作图
思考练习
解答提示
选D. 包括2条垂直渐近线，2条水平渐近线.
lim
= ,
x-1 x + 1
x = -1 为曲线的垂直渐近线.
又 lim f ( x) = lim x2 + 5x + 1 = 1, x x x x( x + 1)
x2 + 5x -1
lim(
x
f
(
x)
-
x)
=
lim
x
x+1
- x = 4,
y = x + 4为曲线的斜渐近线.
§2.10 函数作图
x+
x-
那么 y = b 就是 y = f ( x) 的一条水平渐近线.
例如 y = arctan x,
lim arctan x =
x+
2
水平渐近线：
y = , 2
lim arctan x = -
x-
2
y = -. 2
§2.10 函数作图
例1
求 y = x2 +的5渐x近+线1.
x+1
解
x2 + 5xபைடு நூலகம்+1
本节内容结束
x-
x-
= lim
2x + ex
= -2.
x- x2 + 2 x + e x - x
y = - x - 2为曲线的斜渐近线.
§2.10 函数作图
二、曲线作图
函数作图的一般步骤： (1) 确定函数的定义域、值域，讨论函数的奇偶性、周期性;
(2) 求出曲线的渐近线； (3) 求出函数f (x)的一阶导数和二阶导数，求出使
1
1
lim
= lim
=
x-2 ( x + 2)( x - 3)
x3 ( x + 2)( x - 3)
垂直渐近线:
x = -2, x = 3.
§2.10 函数作图 2. 斜渐近线
如果 lim [ f ( x) - (ax + b)] = 0 x+ 或 lim [ f ( x) - (ax + b)] = 0 (a,b 为常数)(a 0) x-