拉格朗日插值公式的证明及其应用
拉格朗日插值法在数值分析中的应用研究
拉格朗日插值法在数值分析中的应用研究拉格朗日插值法是一种常用的数值分析方法，广泛应用于函数逼近、数据拟合、信号处理等领域。
本文将探讨拉格朗日插值法的原理、优缺点以及其在数值分析中的具体应用。
一、拉格朗日插值法原理拉格朗日插值法基于一个简单的思想：通过已知的离散数据点，构建一个多项式函数，该函数能够在给定的区间内，以已知数据点为插值节点，对未知数据进行逼近。
插值的多项式函数称为拉格朗日插值多项式。
设已知的离散数据为{(x₀, y₀), (x₁, y₁), ..., (xₙ, yₙ)}，其中xi为已知的节点，yi为相应数据点的函数值。
拉格朗日插值多项式L(x)可以表示为：L(x) = Σ(yᵢ * Li(x))其中Li(x)称为基函数，满足条件：Li(xi) = 1，Li(xj) = 0 (i ≠ j)。
二、拉格朗日插值法的优缺点拉格朗日插值法具有以下几个优点：1. 简单易懂：拉格朗日插值法的原理简单明了，易于理解和实现。
2. 精度较高：在节点较密集的情况下，拉格朗日插值多项式可以准确地逼近原始函数。
3. 适用范围广：拉格朗日插值法适用于各种类型的数据，包括等间隔数据和非等间隔数据。
然而，拉格朗日插值法也存在一些缺点：1. 多项式次数过高时，可能出现龙格现象：在某些情况下，拉格朗日插值多项式次数过高会引起振荡，降低插值的准确性。
2. 对于大规模数据的计算量较大：当节点数量较多时，计算拉格朗日插值多项式的复杂度较高。
三、拉格朗日插值法的应用拉格朗日插值法在数值分析中有着广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 数据拟合：给定一组离散数据点，我们可以使用拉格朗日插值法拟合出一个多项式函数，从而对未知的数据点进行估计。
这在科学实验中常用于实验数据处理和结果预测。
2. 函数逼近：对于已知的函数，我们可以通过设定一组插值节点，使用拉格朗日插值法将这个函数逼近为一个多项式函数。
这在数学建模和函数分析中非常有用。
计算方法拉格朗日插值
计算方法拉格朗日插值拉格朗日插值是一种用于在给定数据点间进行插值的方法，它基于拉格朗日多项式的性质来进行计算。
拉格朗日插值可以用于任何数量的数据点，无论是线性插值还是高阶插值。
拉格朗日插值的基本思想是，使用多个插值点的拉格朗日多项式来逼近给定数据点。
具体而言，对于给定的插值点(x0, y0)，(x1, y1)，...，(xn, yn)，我们需要找到一个多项式P(x)来满足以下条件：P(xi) = yi，其中 i = 0, 1, ..., n。
假设我们要计算的插值点为x，那么根据拉格朗日插值的公式，多项式P(x)可以写为：P(x) = Σyi * Li(x)，其中 i = 0, 1, ..., n。
在上述公式中，Li(x)是拉格朗日基函数，可以用以下公式表示：Li(x) = Π(x - xj) / Π(xi - xj)，其中j ≠ i，i, j = 0,1, ..., n。
现在我们可以根据上述公式进行计算，以下是拉格朗日插值的详细步骤：1. 输入数据点的坐标 (x0, y0)，(x1, y1)，...，(xn, yn) 和待插值点的坐标 x。
2. 对于每个插值点(xi, yi)，计算拉格朗日基函数Li(x)。
3. 对于每个插值点(xi, yi)，计算插值多项式中对应的项 yi *Li(x)。
4.将所有项相加，得到插值多项式P(x)。
5.根据插值多项式P(x)，计算插值点x的函数值，即P(x)=y。
拉格朗日插值的优点是简单易懂，计算过程相对简单，但它也存在一些缺点。
拉格朗日插值的计算复杂度为O(n^2)，这意味着当数据点的数量较多时，计算会变得非常耗时。
此外，拉格朗日插值在边界点附近的插值结果可能会出现较大的误差。
为了减小计算量和提高插值的准确性，还有其他更高效的插值方法，如牛顿插值和样条插值。
这些方法在实际应用中经常被使用，具有更好的性能和更准确的插值结果。
拉格朗日插值定理
拉格朗日插值定理
拉格朗日插值定理是数学中一个重要的插值方法，它可以用来求解给定数据点的函数值。
该定理的核心思想是利用已知数据点构建一个多项式，并通过多项式来预测未知数据点的函数值。
具体来说，拉格朗日插值定理假设已知数据点为(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，并认为这些数据点可以被无限延伸，即可以得到一个n次多项式，即拉格朗日插值多项式。
拉格朗日插值多项式的表达式为：
L(x)=∑i=1n(yi∏j≠i(xxj)/xixj)
其中，∏表示连乘符号，xi表示第i个数据点的横坐标，yi表示第i个数据点的纵坐标。
通过该多项式，我们可以求解未知数据点的函数值。
需要注意的是，拉格朗日插值定理的应用范围受到数据点数量的限制。
当数据点数量很少时，利用该方法可以得到较为准确的预测值，但当数据点数量增加时，多项式的阶数也会增加，从而导致过拟合等问题。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法。
- 1 -。
拉格朗日(Lagrange)插值
Rn ( x ) = K ( Rn(x) 至少有 n+1 个根 ( x ) 充分光滑，x( x 0 )(= ( x)1 ) = 0 ，则 充分光滑， ) Π x xi Rolle’s Theorem: 若 i =0 ) 存在 ξ ∈ (x 0≠, x 1 )(i使得 ′(ξ), = 0 。 ( t ) = R ( t ) K ( x ) n ( t x ) …, n 任意固定 x xi = 0, 求导 考察 注意这里是对 t Π n i = ξ 0 ∈ ( x0 , x1 ), ξ1 ∈i ( 0 1 , x2 ) x 推广： 推广：若 ( x0 ) = ( x1 ) = ( x2 ) = 0 1) (x)有 n+2 个不同的根ξx0) …0xn x ξ ∈ (ξ , ( n)+使得 = ′′(,ξ )ξ= 0 ( a , b ) 有 使得 ′(ξ ) = ′( = (ξ x ) 0 x ∈ 0 ξ1 0 1
外插 的实际误差 ≈ 0.01001 利用 x1 = π , x2 = π 4 3 内插 的实际误差 ≈ 0.00596
~ 0.00538 < R1 5π < 0.00660 sin 50° ≈ 0.76008, ° 18
n=2
( x π )( x π ) 1 ( x π )( x π ) 1 ( x π )( x π ) 4 6 6 L2 ( x ) = π π π π3 × + π π π π3 × + π π π π4 × 3 ( 6 4 )( 6 3 ) 2 ( 4 6 )( 4 3 ) 2 ( 3 6 )( 3 4 ) 2
n 求 n 次多项式 Pn ( x ) = a0 + a1 x + L + a n x 使得
拉格朗日插值实验报告
拉格朗日插值实验报告一、实验目的本实验旨在通过实际实验，深入理解拉格朗日插值法的原理和应用，掌握其计算过程和相关技巧。
二、实验原理Pn(x) = ∑ [yi * li(x)]其中，li(x)称为拉格朗日基函数，具体的计算公式如下：li(x) = ∏ [(x-xj)/(xi-xj)] (i≠j)利用拉格朗日插值法可以对数据进行插值计算，从而得到原函数未知的点的函数值。
三、实验步骤1.根据实验要求，选择一组离散的数据点，确保它们在横坐标轴上不共线。
2. 使用拉格朗日插值法计算插值多项式的各个基函数li(x)。
3.对插值多项式进行求和，得到最终的插值多项式Pn(x)。
4.在给定的范围内选择一些未知数据点，利用插值多项式Pn(x)计算其函数值。
5.将实际计算的函数值与原函数值进行对比，评估插值方法的准确性和精确度。
四、实验结果以实验要求给定的数据点为例，具体数据如下：x:1,2,3,4,5,6y:5,19,43,79,127,187根据拉格朗日插值法的计算公式，可以得到以下结果：l0(x)=(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)/(-120)l1(x)=(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)/120l2(x)=(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)(x-6)/(-48)l3(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)(x-6)/48l4(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)/(-20)l5(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)/20插值多项式Pn(x)=5*l0(x)+19*l1(x)+43*l2(x)+79*l3(x)+127*l4(x)+187*l5(x)综合以上计算结果，可以对给定范围内的未知数据点进行插值计算，从而得到相应的函数值。
五、实验分析与结论在实际实验中，我们可以利用拉格朗日插值法对任意给定的函数进行逼近计算，从而得到函数在离散数据点之间的近似值。
拉格朗日插值公式的证明及其应用
拉格朗日插值公式的证明及其应用$$P(x) = \sum_{i=0}^{n}f(x_i) \cdot \prod_{j=0 \atop j\neqi}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$其中，$P(x)$是通过已知点$(x_i,f(x_i))$来近似估计函数的多项式，$n$是已知点的数量。
一.证明拉格朗日插值公式：我们首先定义一个函数：$$L_i(x) = \prod_{j=0 \atop j\neq i}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$其中，$L_i(x)$称为拉格朗日基函数。
注意到当$x=x_i$时，除了$L_i(x_i)$外，其他$L_j(x_i)$都等于零。
我们假设存在一个函数$P(x)$满足以下条件：$$P(x) = \sum_{i=0}^{n}f(x_i)L_i(x) \quad \quad (1)$$我们知道$P(x)$为$n$次多项式，同时对所有已知点$(x_i,f(x_i))$有$P(x_i)=f(x_i)$。
现在我们来证明公式(1)中$P(x)$满足以上条件：当$x=x_i$时，我们有：$$P(x_i) = \sum_{i=0}^{n}f(x_i)L_i(x_i) = f(x_i)\cdot 1 \cdot\prod_{j=0 \atop j\neq i}^{n}\frac{x_i-x_i}{x_i-x_j} = f(x_i) $$所以对于已知点$(x_i,f(x_i))$，公式(1)满足条件$P(x_i)=f(x_i)$。
接下来我们证明公式(1)为$n$次多项式。
我们可以注意到，每个$L_i(x)$至多是$n$次多项式，而$f(x_i)$是一个常数。
因此，公式(1)中每一项乘积的次数至多是$n$次。
那么$P(x)$的次数至多也是$n$次。
所以公式(1)中的$P(x)$是一个$n$次多项式。
综上所述，公式(1)满足条件$P(x_i)=f(x_i)$，且$P(x)$为$n$次多项式，所以它是一个满足要求的函数。
拉格朗日插值法 牛顿插值法
拉格朗日插值法牛顿插值法
摘要：
1.插值法的概念和作用
2.拉格朗日插值法原理和应用
3.牛顿插值法原理和应用
4.两种插值法的优缺点比较
正文：
一、插值法的概念和作用
插值法是一种数学方法，通过已知的数据点来预测未知数据点的一种技术。
在科学计算和工程应用中，常常需要根据有限个已知数据点，来估计某个函数在其他点上的值。
插值法正是为了解决这个问题而诞生的。
二、拉格朗日插值法原理和应用
拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日基函数的插值方法。
它的基本原理是：在给定的区间[a, b] 上，选取一个基函数，然后通过求解一组线性方程，得到基函数在各数据点上的值，最后用这些值来近似函数在待求点上的值。
拉格朗日插值法广泛应用于数值分析、工程计算等领域。
三、牛顿插值法原理和应用
牛顿插值法，又称为牛顿前向差分法，是一种基于差分的插值方法。
它的基本原理是：通过对已知数据点的函数值进行差分，然后使用牛顿迭代公式来求解差分后的函数在待求点上的值。
牛顿插值法具有较高的精度，适用于各种函数，特别是对于单调函数和多项式函数，效果尤为显著。
四、两种插值法的优缺点比较
拉格朗日插值法和牛顿插值法各有优缺点。
拉格朗日插值法的优点是适用范围广，可以插值任意类型的函数，但计算过程较为复杂；牛顿插值法的优点是计算简便，精度高，但对于非线性函数或多峰函数，效果可能不佳。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法。
拉格朗日插值公式和牛顿插值公式
拉格朗日插值公式和牛顿插值公式拉格朗日插值公式和牛顿插值公式是数值分析中常用的插值方法，用于通过已知数据点推导出未知数据点的近似值。
本文将分别介绍这两个插值方法的原理和应用，并比较它们的特点和优劣。
一、拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式是由法国数学家拉格朗日于18世纪提出的，它通过构造一个多项式来逼近给定的数据点集合。
具体而言，拉格朗日插值多项式的形式为：P(x) = Σ(yi * Li(x))其中，P(x)表示待求的多项式，yi表示已知数据点的函数值，Li(x)称为拉格朗日基函数，它代表了每个数据点的贡献度。
拉格朗日插值公式的优点在于其简单易懂，计算过程相对简单快速。
但是，该方法的缺点是对于较大规模的数据集合，计算量会变得很大，同时当数据点之间的间距不均匀时，插值结果可能出现较大误差。
二、牛顿插值公式牛顿插值公式是由英国数学家牛顿于17世纪提出的，它采用了多项式的差商形式进行插值。
具体而言，牛顿插值多项式的形式为：P(x) = f[x0] + (x - x0)f[x0, x1] + (x - x0)(x - x1)f[x0, x1,x2] + ...其中，f[x0]表示已知数据点的函数值，f[x0, x1]表示x0和x1两个点之间的差商，以此类推。
牛顿插值公式的优点在于可以通过递推的方式计算差商，避免了重复计算，因此对于较大规模的数据集合，计算效率较高。
此外，牛顿插值公式对于不均匀间距的数据点也能够较好地逼近。
然而，牛顿插值公式的缺点在于其计算过程较为繁琐，需要额外计算差商。
三、比较与应用拉格朗日插值公式和牛顿插值公式都是常见的插值方法，它们在实际应用中各有优劣。
下面将对它们进行比较和应用分析。
1. 计算复杂度从计算复杂度的角度来看，牛顿插值公式在计算差商时需要递推计算，每次计算需要O(n)的复杂度，因此总的计算复杂度为O(n^2)。
而拉格朗日插值公式直接计算每个基函数，每次计算都需要O(n)的复杂度，因此总的计算复杂度也为O(n^2)。
拉格朗日插值公式的证明及其应用
拉格朗日插值公式的证明及其应用一、拉格朗日插值公式的证明：假设给定n+1个不同的数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中xi不等于xj，i≠j。
我们要找到一个满足这些数据点的多项式函数P(x)，使得P(xi) = yi，i = 0, 1, ..., n。
设P(x)的表达式为P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anxn，其中a0, a1, ..., an是待确定的系数。
由于希望P(x)满足P(xi) = yi，可以得到以下等式：a0 + a1x0 + a2x0^2 + ... + anx0^n = y0a0 + a1x1 + a2x1^2 + ... + anx1^n = y1...a0 + a1xn + a2xn^2 + ... + anx0n = yn将这些等式进行展开，可以得到如下的一个线性方程组：a0 + a1x0 + a2x0^2 + ... + anx0^n = y0a0 + a1x1 + a2x1^2 + ... + anx1^n = y1...a0 + a1xn + a2xn^2 + ... + anx0n = yn我们令Li(x)表示一个满足Li(xi) = 1，Li(xj) = 0 (j≠i)的多项式函数。
将P(x)的表达式代入上述的线性方程组，我们可以得到以下等式：y0Li(x) + y1Li(x) + ... + ynLi(x) = P(x)将P(x)表示成等于数据点的线性组合的形式，即拉格朗日插值公式的形式。
二、拉格朗日插值公式的应用：1.数据拟合：拉格朗日插值公式可以通过已知的数据点，得到一个满足数据点的多项式函数。
通过拟合已有数据，可以进行数据的预测和预估。
2.函数逼近：对于已知的函数，可以通过拉格朗日插值公式插值得到一系列的数据点。
这样可以将原函数进行逼近，并在所插入的数据点上进行具体的计算。
3.误差估计：通过拉格朗日插值公式得到的多项式函数可以作为原函数的近似函数。
拉格朗日插值法的生活应用
拉格朗日插值法的生活应用拉格朗日插值法的生活应用拉格朗日插值法是数值分析中的一种方法，适用于一些复杂函数的逼近和数据的外推。
它在实际生活中有着广泛的应用，可以分为以下几个类别。
一、经济领域在经济领域中，拉格朗日插值法可以用来分析和预测市场趋势和物价变化。
例如，我们可以通过拉格朗日插值法来估算未来几个月或几年内某种商品的价格走势，从而帮助企业和投资者做出更准确的决策。
二、物理领域在物理学领域，拉格朗日插值法可以用来描述和预测物理现象。
例如，在物理实验中，我们通常会通过测量一些关键数据来得到物理系统的特性，而拉格朗日插值法可以应用在这些数据的处理和分析中，从而帮助我们更好地理解物理现象。
三、交通领域在交通领域，拉格朗日插值法可以用来预测交通流量和路况。
例如，城市交通管理部门可以通过拉格朗日插值法来分析历史数据和当前条件，从而预测未来交通流量和路况，从而制定更有效的交通调度方案。
四、医疗领域在医疗领域，拉格朗日插值法可以用来分析和预测疾病的发展和治疗效果。
例如，医生可以通过拉格朗日插值法来分析病人的历史病史和诊断结果，从而预测疾病的发展趋势和治疗效果，从而选择更合适的治疗方案。
五、金融领域在金融领域，拉格朗日插值法可以用来建立金融模型，从而预测市场趋势和投资风险。
例如，投资银行可以通过拉格朗日插值法来分析历史市场数据和当前条件，从而预测未来市场趋势和投资风险，从而帮助投资者做出更加准确和有效的决策。
总之，拉格朗日插值法在实际生活中有着广泛的应用，涵盖了经济、物理、交通、医疗、金融等不同领域。
尽管这种方法在某些情况下存在一定的局限性，但在合适的场景下，它可以帮助我们更好地理解这些领域中的各种问题，从而制定更适合实际情况的应对策略。
拉格朗日插值公式和牛顿插值公式
拉格朗日插值公式和牛顿插值公式拉格朗日插值公式和牛顿插值公式是数值分析中常用的插值方法，用于根据给定的一些数据点，推断出未知点的近似值。
本文将分别介绍这两个插值方法的原理和应用。
一、拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的一种插值方法。
它的基本思想是通过一个多项式函数来拟合已知的数据点，从而推断出未知点的值。
具体来说，假设有n+1个数据点(x0, y0),(x1, y1),...,(xn, yn)，其中x0,x1,...,xn是互不相同的实数，y0,y1,...,yn是对应的函数值。
拉格朗日插值公式的表达式如下：P(x) = ∑[i=0 to n] yi * Li(x)其中，P(x)表示通过插值得到的多项式函数，Li(x)是拉格朗日基函数，定义为：Li(x) = ∏[j=0 to n, j≠i] (x-xj) / (xi-xj)拉格朗日插值公式的优点是简单易懂，计算方便。
但是随着数据点的增多，计算量也会增大，且插值函数的阶数较高时容易产生龙格现象，导致插值结果不稳定。
二、牛顿插值公式牛顿插值公式是由英国数学家牛顿在17世纪提出的一种插值方法。
它的基本思想是通过差商的形式来表示插值多项式，从而推断出未知点的值。
具体来说，假设有n+1个数据点(x0, y0),(x1, y1),...,(xn, yn)，其中x0,x1,...,xn是互不相同的实数，y0,y1,...,yn是对应的函数值。
牛顿插值公式的表达式如下：P(x) = ∑[i=0 to n] fi(x) * wi(x)其中，P(x)表示通过插值得到的多项式函数，fi(x)是牛顿插值基函数，定义为：fi(x) = ∏[j=0 to i-1] (x-xj)wi(x)是差商，定义为：wi(x) = ∏[j=0 to i-1] (x-xj) / (xi-xj)牛顿插值公式的优点是计算效率高，且插值函数的阶数较高时也能保持较好的精度。
拉格朗日插值法
01
收敛性分析是研究拉格朗日插值法的一个重要方面，它涉及到该方法在何种条 件下能够准确地逼近未知函数。
02
在理论上，如果已知数据点足够多且分布均匀，那么拉格朗日插值多项式就能 够很好地逼近未知函数。
03
然而，在实际应用中，由于计算复杂度和数据可获取性的限制，我们通常只能 使用有限数量的数据点进行插值。因此，收敛性分析对于确定拉格朗日插值法 的精度和适用范围具有重要意义。
拉格朗日插值法的几何意义
从几何意义上讲，拉格朗日插值 法是通过在已知数据点上放置一 个多项式曲线，使得该曲线尽可
能接近原始数据点。
这意味着，拉格朗日插值多项式 在每个已知数据点上取值为零， 而在其他点上取值与原函数相近。
这种几何意义有助于我们更好地 理解拉格朗日插值法的原理和应
用。
拉格朗日插值法的收敛性分析
在实际应用方面，可以考虑如何 优化拉格朗日插值法的计算效率 和存储需求，以适应大规模数据 处理的需要。此外，可以探索拉 格朗日插值法在其他领域的应用， 例如金融、生物信息学和环境科 学等。
另外，随着人工智能和机器学习 技术的不断发展，可以考虑如何 利用这些技术来改进拉格朗日插 值法，例如通过神经网络或其他 机器学习方法来自动选择合适的 插值模型和参数。这将有助于提 高插值精度和泛化能力，并减少 人工干预和主观判断的误差。
03
拉格朗日插值法还有一些局限性，例如对于非线性数据的 插值效果较差，且容易受到数据异常值的影响。为了解决 这些问题，研究者们提出了许多改进的方法，如样条插值 、克里格插值和局部加权散点平滑插值等。
对未来研究的建议和展望
未来研究可以进一步探讨拉格朗 日插值法的理论性质，例如其收 敛性和稳定性等。此外，可以研 究如何将拉格朗日插值法与其他 数学方法或机器学习方法相结合， 以提高其预测精度和泛化能力。
拉格朗日插值公式的证明及其应用讲解
拉格朗日插值公式的证明及其应用摘要: 拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一,在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了Lagrange 插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式等.然后将线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写.插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中"线性化" (即表示为求和和数乘的形式) 这一基本思路, 大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理，化学等领域的应用.通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高,方法快捷. 关键词： 拉格朗日插值公式 唯一性 证明 解题应用 资产评估曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数据点()nk k k f x 0,=是准确的，这些数据点所表现的准确函数关系()x f 是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线()x P 且点点通过这些点，插值问题不仅要讨论这种近似曲线()x P 的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线()x P 是否稳定地收敛于未知函数()x f ，我们先研究一种简单常用的插值——拉格朗日插值. 一.定义，推导及其在解题中的应用 １.线性插值１.１. 线性插值的定义假定已知区间[]1,+k k x x 的端点处的函数值()k k x f y =,()11++=k k x f y ,要求线性插值多项式()x L 1使它满足()k k y x L =1, ()111++=k k y x L ．()x L y 1=的几何意义:通过两点()k k y x ,和()11,++k k y x 的直线，如图１所示，()x L 1的表达式由几何意义直接给出，即()()k kk kk k x x x x y y y x L ---+=++111 (点斜式)， 图１()11111++++--+--=k kk kk k k k y x x x x y x x x x x L (两点式)．y=L 1x ()y=f x ()y k+1y kx k+1x k o yx2 由两点式方程看出，()x L 1由两个线性函数()11++--=k k k k x x x x x l ,()kk kk x x x x x l --=++11的线性组合得到,其系数分别为k y 及1+k y ,即()()()x l y x l y x L k k k k 111+++=． 显然,()x l k 及()x l k 1+也是插值多项式,在节点k x 及1+k x 上满足条件()1=k k x l ， ()01=+k k x l ， ()0=k k x l ， ()111=++k k x l ．称函数,()x l k （图２）及()x l k 1+（图３）为一次插值基函数或线性插值基函数. 图象为：图2 图3１.２. 线性插值例题例1. 已知,352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===用线性插值计算.解：由题意取000.320.314567x y =⎧⎨=⎩，⎩⎨⎧==333487.034.011y x ，⎩⎨⎧==352274.036.022y x ．若取34.0,32.010==x x 为节点，则线性插值为：()()00101013367.03367.03367.0sin x x x y y y L ---+=≈330365.00167.002.001892.0314567.0=⨯+=.若取36.0,34.021==x x 为节点，则线性插值为：()()11212113367.03367.03367.0sin x x x y y y L ---+=≈()330387.00033.002.0018787.0333487.0=-⨯+=.l k+1x ()xy1x k+1x k ol k+1x ()xy1x k+1x k o3２.二次插值２.１. 二次插值的定义若2=n 时,假定插值节点为11,,+-k k k x x x 要求二次插值多项式()x L 2,使它满足()j j y x L =2 (1,,1+-=k k k j )()x L y 2=的几何意义:通过三点的()11,--k k y x ,()k k y x , , ()11,++k k y x 的抛物线.例如()x l k 1-，因为它有两个零点1,+k k x x ，故可表示为：()()()11+---=k k k x x x x A x l . 由()111=--k k x l 得()()11+--=k k x x x x A .所以， ()()()()()11111+--+-----=k k k k k k k x x x x x x x x x l .同理()()()()()1111+-+-----=k k k k k k k x x x x x x x x x l ， ()()()()()k k k k k k k x x x x x x x x x l ----=+-+-+11111.函数()x l k 1-, ()x l k ,()x l k 1+称为二次插值基函数或抛物插值基函数. 在区间[]11,+-k k x x 上的图形分别为:利用二次插值基函数()x l k 1-, ()x l k , ()x l k 1+,立即可得到二次插值多项式()()()()x l y x l y x l y x L k k k k k k 11112++--++=()()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-===+-===+===+++---.,1 0,1,1,10,1,1, 0,1111111k k j x l x l k k j x l x l k k j x l x l j k k k j k k k j k k ko1x k+1x kx k-1l k-1x ()yxx k-1o1x k+1x k l k+1x ()yxx k-1o1x k+1x k l k x ()yx4显然,它满足条件()j j y x L =2 ()1,,1+-=k k k j . 即()=x L 21-k y ()()()()1111+--+----k k k k k k x x x x x x x x + k y ()()()()1111+-+-----k k k k k k x x x x x x x x + 1+k y()()()()k k k k k k x x x x x x x x ----+-+-1111２.２. 拉格朗日公式（二次插值）在解题中的应用例2. 已知函数()c ax x f -=2（c a ,为实数 ）。
拉格朗日四点插值公式
拉格朗日四点插值公式拉格朗日四点插值公式是数学中一个相当有趣且实用的工具。
它就像是一把神奇的钥匙，可以帮助我们在数学的世界里打开一些神秘的大门。
先来说说什么是插值。
想象一下，你有几个离散的点，就好像是地图上几个孤立的坐标点，而插值就是要通过这些点画出一条连续的曲线，或者找到一个合适的函数来描述它们之间的关系。
拉格朗日四点插值公式就是针对四个点的情况。
比如说，有四个点分别是(1, 2)，(2, 5)，(3, 7)，(4, 10)，我们想找到一个函数，能让这四个点都在这个函数上。
那拉格朗日四点插值公式到底长啥样呢？它看起来有点复杂，但别怕，咱们一点点来。
假设这四个点是$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$(x_3,y_3)$，$(x_4,y_4)$，拉格朗日四点插值公式就是：\[P(x) = y_1 \frac{(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)}{(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_1 - x_4)} + y_2 \frac{(x - x_1)(x - x_3)(x - x_4)}{(x_2 - x_1)(x_2 - x_3)(x_2 - x_4)} + y_3 \frac{(x - x_1)(x - x_2)(x - x_4)}{(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)(x_3 - x_4)} + y_4 \frac{(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)}{(x_4 - x_1)(x_4 - x_2)(x_4 - x_3)}\]是不是看着有点晕？其实啊，咱们可以把它拆分开来理解。
就拿前面提到的那四个点(1, 2)，(2, 5)，(3, 7)，(4, 10)来实际算一算。
先算第一项：\[y_1 \frac{(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)}{(x_1 - x_2)(x_1 -x_3)(x_1 - x_4)} = 2 \frac{(x - 2)(x - 3)(x - 4)}{(1 - 2)(1 - 3)(1 - 4)}\]这一项计算起来可能有点繁琐，但耐心点，一步一步来。
拉格朗日插值法原理
拉格朗日插值法原理：
拉格朗日插值法是一种多项式插值方法。
拉格朗日插值法是离散数学中进行曲线拟合的基本方法（即在工程实际中，我们所得到的结果往往是离散的点，而若想把这些离散的结果作为先验条件得到其他点就需要进行多项式拟合）。
其主要思想如下：
能找到一条曲线记为f，使其能穿过其中一个离散点(f(xa)=ya)并在其他离散点上的值为0（f(xb)=0）,则我们如果能找到每一点对应的曲线f,将其相加就可以得到一个能经过所有离散点的曲线F，我们认为F则为这些离散点的拟合多项式。
运用拉格朗日插值法需要注意：
1.拉格朗日插值法其找到的曲线是经过所有离散点的，因此对于偏离值无法进行剔除，很容易出现过拟合的现象，因此在实际工程应用中需要剔除偏移量。
2.拉格朗日插值法拟合n阶多项式至少需要n+1个点（公式推一下就可以知道，这里不在详述）
3.随阶数的增大拉普拉斯拟合法的时间复杂度成指数递增，我们不是数学家，不需要对原理进行优化，我的建议是试试异构（GPU+CPU混合编程会简单很多）。
拉格朗日插值公式的证明及其应用讲解
拉格朗日插值公式的证明及其应用讲解假设我们有一组已知的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，我们要找到一个n次多项式L(x)来逼近函数。
首先，我们假设L(x)的形式为：L(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) + ... + an(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)我们的目标是通过选择合适的系数a0, a1, ..., an来满足插值条件，即对于所有的k∈[0, n]，有L(xk) = yk。
为了得到这n+1个插值条件，我们考虑在L(xk)中将x替换为xk。
我们得到以下等式：L(xk) = a0 + a1(xk-x0) + a2(xk-x0)(xk-x1) + ... + an(xk-x0)(xk-x1)...(xk-xn-1) = yk为了解决这个等式，我们需要寻找一个方法将所有的a0, a1,...,an都表示出来。
我们可以使用拉格朗日插值基函数来实现这一点。
Lk(x) = (x-x0)(x-x1)...(x-xk-1)(x-xk+1)...(x-xn) / (xk-x0)(xk-x1)...(xk-xk-1)(xk-xk+1)...(xk-xn)其中k∈[0,n]，这个基函数表示在第k个点上的函数值为1，而在其他点上值为0。
我们可以看到，通过这样的基函数组合，我们可以得到n+1个不同的基函数L0(x),L1(x),...,Ln(x)。
现在我们可以使用这些基函数来构建多项式L(x)：L(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + ... + ynLn(x)将基函数代入多项式中，然后整理可得：L(x) = ∑[yk∏(x-xj) / ∏(xk-xj)], 其中j≠k这就是拉格朗日插值多项式的具体形式。
通过给定的n+1个点，我们可以得到一个n次多项式来逼近函数。
1.数据插值：当我们只有一些离散的数据点时，我们可以使用拉格朗日插值来估计在数据点之间的数值。
中国剩余定理和拉格朗日插值公式
我国剩余定理和拉格朗日插值公式是数学中重要的概念和定理。
它们在代数、数论、离散数学等领域都有重要应用。
本文将对这两个概念和定理进行介绍和讨论，以期帮助读者更深入地了解它们的原理和应用。
一、我国剩余定理我国剩余定理是我国古代数学的一个重要成果，其核心思想是：如果我们知道一个数除以几个数的余数，那么根据这些余数我们就可以推断出这个数模某个数的值。
这个定理在密码学、编码理论、计算机科学等领域有着广泛的应用。
我国剩余定理的具体表述如下：设m1,m2,...,mk是两两互质的正整数，即对任意i≠j，都有gcd(mi,mj)=1。
那么对于任意给定的整数a1,a2,...,ak和模数m1,m2,...,mk，我国剩余定理保证了下面这个方程组：x≡a1(modm1)x≡a2(modm2)...x≡ak(modmk)有唯一解。
这个定理在数论中有着重要的应用，比如在寻找解模的整数时，我国剩余定理能够更加高效地解决问题。
二、拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式是代数学中非常重要的一个公式，它的作用是通过已知的n个数据点，构造一个n-1次多项式，使得这个多项式在这n 个点上与已知的数据完全一致。
拉格朗日插值公式在数值计算、信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用。
拉格朗日插值公式的具体表述如下：设(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)是n 个不同的数对。
那么存在一个n-1次多项式P(x)，使得对于任意i，P(xi)=yi。
具体构造方法是通过拉格朗日基本多项式：Lk(x)=∏i≠k(x-xi)/(xk-xi)这样，我们就可以得到n个不同的拉格朗日基本多项式，它们的线性组合：P(x)=∑ykLk(x)就是我们所需要的插值多项式。
这个插值多项式能够在给定的n个数据点上完全地还原原始的函数值，从而能够方便地进行数据的插值和拟合。
我国剩余定理和拉格朗日插值公式是数学中非常重要的概念和定理，它们在代数、数论、离散数学等领域有着广泛的应用。
拉格朗日多项式插值公式
拉格朗日多项式插值公式拉格朗日多项式插值公式，这可是数学里一个相当有趣的家伙！咱先来说说啥是拉格朗日多项式插值公式。
简单来讲，它就是在一堆给定的点之间，找到一个能把这些点都串起来的多项式函数。
就好像你有几个好朋友，他们的身高体重是已知的，然后通过这个公式就能找出一个规律，来预测没测量过的人的身高体重大概是多少。
比如说，有这么一组数据：（1，2），（2，4），（3，6）。
那拉格朗日多项式插值公式就能帮咱们找到一个函数，比如说 f(x) = 2x ，这个函数就能很好地通过这几个点。
那这公式咋来的呢？这可费了数学家们不少脑筋。
它可不是凭空就冒出来的，而是经过了无数次的思考和推导。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这玩意儿到底有啥用啊？”我当时就笑了，跟他们说：“同学们，假设你们去买水果，苹果的价格每天都不一样，咱们知道了前几天的价格，用这个公式就能大概算出明天的价格，是不是很神奇？”这时候，孩子们才似懂非懂地点点头。
在实际应用中，拉格朗日多项式插值公式用处可大了。
比如在工程领域，测量数据不连续的时候，就靠它来帮忙拟合出一个比较准确的函数；在经济学里，分析一些数据的趋势也能派上用场。
不过，学习这个公式可不是一件轻松的事儿。
它需要咱们对代数运算很熟练，还得有一定的逻辑思维能力。
有的同学一开始可能会觉得有点晕乎，但别着急，多做几道题，多琢磨琢磨，慢慢就能掌握其中的窍门。
就像我之前教过的一个学生，刚开始怎么都搞不明白，作业错得一塌糊涂。
我就专门给他开小灶，一点点地讲解，带着他一步步推导。
后来啊，他终于开窍了，在考试中遇到相关的题目都能做对，那高兴劲儿，别提了！总之，拉格朗日多项式插值公式虽然有点复杂，但只要咱们用心去学，就能发现它的魅力所在。
说不定在未来的某一天，当你解决一个难题或者完成一个项目的时候，它就会成为你的得力助手呢！所以，同学们，加油吧，和这个有趣的公式交个朋友！。
拉格朗日插值的应用
拉格朗⽇插值的应⽤引⾔：什么是拉格朗⽇插值？假设我们现在有三个点 (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，现在我们要找⼀条唯⼀的⼆次曲线刚好经过这三个点。
拉格朗⽇给出了⼀个绝妙的⽅法，他把我们要求的曲线的表达式等同于三个函数的累加。
具体是这么操作的：第⼀个函数保证f1(x1)=1,f1(x2)=f1(x3)=0第⼆个函数保证f2(x2)=1,f2(x1)=f2(x3)=0第三个函数保证f3(x3)=1,f3(x1)=f3(x2)=0那么我们所要求的函数即为:f(x)=y1f1(x)+y2f2(x)+y3f3(x)可以保证的是这个函数同时经过(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)并且是唯⼀的满⾜条件的⼆次函数。
公式：如果上⾯的部分你看懂了，那么你已经掌握了拉格朗⽇插值的⽤法和思想。
接下来我们要做的就是寻找⼀个公式使得利⽤现在已有的n个点，来推导出n−1次的函数。
那么这个函数为:f(x)=∑n i=1y i∏nj=1,j≠i x−x j x i−x j实现：⼀般情况下拉格朗⽇插值的复杂度是O(n2)，即：#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1e6+100;typedef long long ll;const ll mod = 998244353;struct point{ll x,y;}p[N];int n,k;ll qpow(ll a,ll b,ll mod){ll ans=1;while(b){if(b&1){ans=(ans%mod*a%mod)%mod;}a=(a%mod*a%mod)%mod;b>>=1;}return ans%mod;}ll Lagrange(int k){ll ans=0;for(int j=1;j<=n;j++){//ll base1=1;ll base2=1;for(int i=1;i<=n;i++){//lj(k)基函数if(j==i) continue;base1=(base1%mod*((k-p[i].x)%mod+mod)%mod)%mod;base2=(base2%mod*((p[j].x-p[i].x)%mod+mod)%mod)%mod;}ans=(ans%mod+(p[j].y%mod*base1%mod*qpow(base2,mod-2,mod)%mod)%mod)%mod; }return ans;}int main(){cin>>n>>k;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i].x>>p[i].y;cout<<Lagrange(k)<<endl;return 0;}如果已知的坐标是连续的话，那么我们可以通过预处理使得复杂度变为O(n),代码以为例。
拉格朗日插值法在中学数学中的应用
拉格朗日插值法在中学数学中的应用在中学数学的学习过程中，拉格朗日插值法是一种十分重要的数学方法。
拉格朗日插值法是指利用已知数据点值，构造一个满足插值条件的多项式函数，从而得到数据点之间的近似值的方法。
下面简单介绍拉格朗日插值法在中学数学中的应用。
一、函数的近似值的计算在数学学习中，对于一些函数，我们需要求出一些数据点的函数近似值。
例如，对于一个函数f(x)，求出它在若干个点x1、x2、x3、…、xn处的函数值，这就是一个典型的插值问题。
拉格朗日插值法可以通过构造一个多项式函数，来近似地求解这个问题。
二、数据的平滑化在实际数据处理中，经常会出现一些不规则的数据点，这会导致数据分析的不准确性。
而拉格朗日插值法可以通过构造一个满足插值条件的多项式函数，使得数据点之间的函数值变得平滑，从而解决数据分析的不准确性问题。
三、函数的还原在实际应用中，我们有时候需要通过一些离散的数据点来还原一个函数。
这就是一个逆插值问题。
拉格朗日插值法可以通过构造逆插值多项式函数来还原一个函数。
四、数据的预测在实际应用中，我们有时候需要通过已知数据点来预测未来数据点的取值。
比如，我们可以通过过去几年的气温数据来预测未来一年的气温变化趋势。
拉格朗日插值法可以通过构造一个插值多项式函数来进行数据预测。
总之，在中学数学中，拉格朗日插值法是一个非常重要的数学工具。
它在函数的近似值的计算、数据的平滑化、函数的还原和数据的预测等方面发挥着重要的作用。
通过深入学习拉格朗日插值法，我们能够更好地应用数学工具解决实际问题，提高数学分析的准确性。
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拉格朗日插值公式的证明及其应用摘要: 拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一,在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了Lagrange 插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式等.然后将线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写.插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中"线性化" (即表示为求和和数乘的形式) 这一基本思路, 大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理，化学等领域的应用.通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高,方法快捷. 关键词： 拉格朗日插值公式 唯一性 证明 解题应用 资产评估曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数据点()nk k k f x 0,=是准确的，这些数据点所表现的准确函数关系()x f 是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线()x P 且点点通过这些点，插值问题不仅要讨论这种近似曲线()x P 的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线()x P 是否稳定地收敛于未知函数()x f ，我们先研究一种简单常用的插值——拉格朗日插值. 一.定义，推导及其在解题中的应用 １.线性插值１.１. 线性插值的定义假定已知区间[]1,+k k x x 的端点处的函数值()k k x f y =,()11++=k k x f y ,要求线性插值多项式()x L 1使它满足()k k y x L =1, ()111++=k k y x L ．()x L y 1=的几何意义:通过两点()k k y x ,和()11,++k k y x 的直线，如图１所示，()x L 1的表达式由几何意义直接给出，即()()k kk kk k x x x x y y y x L ---+=++111 (点斜式)， 图１()11111++++--+--=k kk kk k k k y x x x x y x x x x x L (两点式)．y k+1k y2 由两点式方程看出，()x L 1由两个线性函数()11++--=k k k k x x x x x l ,()kk kk x x x x x l --=++11的线性组合得到,其系数分别为k y 及1+k y ,即()()()x l y x l y x L k k k k 111+++=． 显然,()x l k 及()x l k 1+也是插值多项式,在节点k x 及1+k x 上满足条件()1=k k x l ， ()01=+k k x l ， ()0=k k x l ， ()111=++k k x l ．称函数,()x l k （图２）及()x l k 1+（图３）为一次插值基函数或线性插值基函数. 图象为：图2 图3１.２. 线性插值例题例1. 已知,352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===用线性插值计算.解：由题意取000.320.314567x y =⎧⎨=⎩，⎩⎨⎧==333487.034.011y x ，⎩⎨⎧==352274.036.022y x ．若取34.0,32.010==x x 为节点，则线性插值为：()()00101013367.03367.03367.0sin x x x y y y L ---+=≈330365.00167.002.001892.0314567.0=⨯+=.若取36.0,34.021==x x 为节点，则线性插值为：()()11212113367.03367.03367.0sin x x x y y y L ---+=≈()330387.00033.002.0018787.0333487.0=-⨯+=.xk+1kxyk+1k3２.二次插值２.１. 二次插值的定义若2=n 时,假定插值节点为11,,+-k k k x x x 要求二次插值多项式()x L 2,使它满足()j j y x L =2 (1,,1+-=k k k j )()x L y 2=的几何意义:通过三点的()11,--k k y x ,()k k y x , , ()11,++k k y x 的抛物线.例如()x l k 1-，因为它有两个零点1,+k k x x ，故可表示为：()()()11+---=k k k x x x x A x l . 由()111=--k k x l 得()()11+--=k k x x x x A .所以， ()()()()()11111+--+-----=k k k k k k k x x x x x x x x x l .同理()()()()()1111+-+-----=k k k k k k k x x x x x x x x x l ， ()()()()()k k k k k k k x x x x x x x x x l ----=+-+-+11111.函数()x l k 1-, ()x l k ,()x l k 1+称为二次插值基函数或抛物插值基函数. 在区间[]11,+-k k x x 上的图形分别为:利用二次插值基函数()x l k 1-, ()x l k , ()x l k 1+,立即可得到二次插值多项式()()()()x l y x l y x l y x L k k k k k k 11112++--++=()()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-===+-===+===+++---.,1 0,1,1,10,1,1, 0,1111111k k j x l x l k k j x l x l k k j x l x l j k k k j k k k j k k kk+14显然,它满足条件()j j y x L =2 ()1,,1+-=k k k j . 即()=x L 21-k y ()()()()1111+--+----k k k k k k x x x x x x x x + k y ()()()()1111+-+-----k k k k k k x x x x x x x x + 1+k y()()()()k k k k k k x x x x x x x x ----+-+-1111２.２. 拉格朗日公式（二次插值）在解题中的应用例2. 已知函数()c ax x f -=2（c a ,为实数 ）。
若 4-≤()11-≤f ，()221≤≤-f ，则()8f 的最大值是多少？提示：由()c ax x f -=2是偶函数，得()()11f f =-.令节点2,1,1210==-=x x x ，由拉格朗日插值公式（抛物插值）得()()()()()()()()()72111281882010210=------=----=x x x x x x x x l()()()()()()()()()272111281882101201--+-+=----=x x x x x x x x l()()()()()()()()()211212181881202102=-+-+=----=x x x x x x x x l()()()()()()()12212112717221127178≤+-=+--=f f f f f f f注：用高中知识很难解决该题，从此题中可知拉格朗日公式在解题中的方便与快捷.例3. 已知()c bx x x f ++=2求证：()()()3,2,1f f f 中至少有一个值不小于21． 证明：根据二次函数的插值公式()()()()()()()()()()()()()()()()3231321232123113121322f x x f x x f x x c bx x x f ----+----+----=++= 比较上式两边2x 的系数，有()()()13212121=+-f f f 假若()()()3,2,1f f f 都小于21，则1=()()()()()()121.212121.2132121213212121=++<++≤+-f f f f f f 得出矛盾.所以，()()()3,2,1f f f 中至少有一个值不小于21注：这是一道全国高中数学联赛题，对高中生有一定难度，但应用高等数学知识来做却易如反掌。
从这方面可看出高等数学的学习对我们中学数学教学的指导有重要作用。
5例4．设c b a ,,为非等腰C ∆AB 的三边长，S 为面积。
求证：()()()()()()214333332S b c a c c c b a b b c a b a a ⨯>--+--+--分析：由不等式左边分母联想到拉格朗日插值公式 证明：构造二次多项式：()()()()c x b x a x x x f ----=3则由拉格朗日插值公式得()()()()()()()()()()()()()()()c x b x a x x c b c a c b x a x b c b a b c x a x a c a b a c x b x ----=----+----+----3333 比较等式两边2x 的系数得()()()()()()p c b a b c a c c c b a b b c a b a a 2333=++=--+--+--由海伦公式得()()()()2733432p c b a p p c p b p a p p S =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-≤---= 因为c b a ,,不全相等，所以，上式等号不成立. 于是， 214321433223S p Sp ⨯>⇒>小结：由此可推广：设n x x x ,,,21 为互不相等的n 个数，则()∑∑∏=-=≤≤≠i nk nj k j j k nkx x x x 11．例5．二次函数()x f 满足()()()92,76,910-==-=-f f f ，则()2008f 的值是多少？ 提示：由拉格朗日插值公式可设()()()()()()()()()()()()()()()()2102621066261062101021061026f x x f x x f x x x f +++++---+--++---+--+=例６．已知,416,39,24===求7的近似值 解：令x y =，列表1).用线性插值多项式三组数据中，可以任取两组数据构造线性插值多项式()x L 1．鉴于插值点所处的位置，应选取6 ()()1100,,,y x y x 构造()x L 1．()()()()()4539523494294911001-+--=⨯--+⨯--=+=x x x x y x l y x l x L 所以 ， ()6.2771=≈L 2).用抛物插值多项式用全部数据构造抛物插值多项式()x L 2()()()()()()()()()()()()()()()()4916416943169491642164941692211002⨯----+⨯----+⨯----=++=x x x x x x y x l y x l y x l x L 所以， ()6286.272538153772=-+=≈L 结论：对比2,1==n n 时，抛物插值更精确．例7.已知()()02≠++=a c bx ax x f 满足()()(),831,325,117≤≤-≤≤--≤≤-f f f 求()4f 的取值范围.分析：解决本题关键是用()()()3,2,1f f f 表示()4f ，用高中知识联立方程组()()()⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a f c b a f c b a f 3932421求出c b a ,,并代入()c b a f ++=4164，从而确定()4f 的取值范围，这样做过程较繁，而使用二次函数的拉格朗日公式却恰到好处.解：由二次拉格朗日公式得()()()()()()()()()()2132113232121--+------=x x f x x f x x f x f 则()()()()332314f f f f +-= 由已知得()38419≤≤-f 3.n 次Lagrange 插值多项式上面对1=n 及2=n 的情况,得到一次与二次插值多项式()x L 1及()x L 2, 用插值基函数表示的方法容易推广到一般情形.下面讨论1+n 个节点n x x x <<< 10的n 次插值多项式()x L n ,假定它满足条件()j j n y x L =()n j ,,1,0 =（１）为了构造()x L n ,先定义n 次插值基函数．7定义：若n 次多项式()x l j ()n j ,,1,0 = 在1+n 个节点n x x x <<< 10上满足条件()⎩⎨⎧≠==j k jk x l k j ,0,1 ()n k j ,,1,0, =就称这1+n 个n 次多项式()()()x l x l x l n ,,,10 为节点n x x x ,,,10 上的n 次插值基函数．类似1=n 及2=n 的推导方法，可得n 次插值基函数为()()()()()()()()()n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=+-+- 110110()n k ,,1,0 =．满足（１）的插值多项式可表示()()∑==nk k k n x l y x L 0（２）由()x l k 的定义知()()jjnk kk j n yx l y x L ==∑=0()n j ,,1,0 =．形如(２)式的插值多项式()x L n 称为Lagrange 插值多项式． 令()()()()n n x x x x x x x w ---=+ 101易求()()()()()n k k k k k k k n x x x x x x x x x w ----=+-+ 110'1则（２）可改写为：()()()()∑=++-=nk k n k n kn x w x x x w y x L 0'11 注意: n 次插值多项式()x L n 通常是次数为n 的多项式,特殊情况次数可能小于n ．二．拉格朗日（Lagrang ）插值公式的证明设已知函数()x f 在1+n 个互异的点n x x x ,,,10 处的函数值()j j y x f =，()n j ,,1,0 =现构造一个次数不超过n 的多项式，使满足()k k n y x L =，n k ,,1,0 =.（３）1.唯一存在性满足插值条件（３）的次数不超过n 次的多项式()()()()()()()n n n x x x x x x a x x x x a x x a a x L ---++--+-+= 10102010 (４)是唯一存在。