12-2高数
高数二考试大纲
考试科目:高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分,考试时间为180分钟.二、答题方式答题方式为闭卷、笔试.三、试卷内容结构高等教学约78%线性代数约22%四、试卷题型结构单项选择题8小题,每小题4分,共32分填空题6小题,每小题4分,共24分解答题(包括证明题)9小题,共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:,函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,并会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念.5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法.8.理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限.9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质.二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L'Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1.理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系.2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.4.会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理,了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数的最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间内,设函数具有二阶导数.当时,的图形是凹的;当时,的图形是凸的),会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形.9.了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径.三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常(广义)积分定积分的应用考试要求1.理解原函数的概念,理解不定积分和定积分的概念.2.掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理,掌握换元积分法与分部积分法.3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.4.理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿-莱布尼茨公式.5.了解反常积分的概念,会计算反常积分.6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数平均值.四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1.了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念,了解有界闭区域上二元连续函数的性质.3.了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数,会求全微分,了解隐函数存在定理,会求多元隐函数的偏导数.4.了解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题.5.了解二重积分的概念与基本性质,掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标).五、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程微分方程的简单应用考试要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法,会解齐次微分方程.3.会用降阶法解下列形式的微分方程:和.4.理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理.5.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.6.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.7.会用微分方程解决一些简单的应用问题.线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行(列)展开定理考试要求1.了解行列式的概念,掌握行列式的性质.2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1.理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质.2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律,了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件.理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵初等变换的概念,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念,理解矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.5.了解分块矩阵及其运算.三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的的正交规范化方法考试要求1.理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念.2.理解向量组线性相关、线性无关的概念,掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.3.了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩.4.了解向量组等价的概念,了解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩的关系.5.了解内积的概念,掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法.四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默(Cramer)法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解考试要求1.会用克拉默法则.2.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.3.理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念,掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.4.理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念.5.会用初等行变换求解线性方程组.五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵的特征值和特征向量.2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,会将矩阵化为相似对角矩阵.3.理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念,会用矩阵形式表示二次型,了解合同变换与合同矩阵的概念.2.了解二次型的秩的概念,了解二次型的标准形、规范形等概念,了解惯性定理,会用正交变换和配方法化二次型为标准形.3.理解正定二次型、正定矩阵的概念,并掌握其判别法.。
高数二版习题答案下
下册各章习题答案 第七章第八章习题8.11. (1) 1; (2) 0; (3) 41－; (4) e ; (5) 2; (6) 0. 2.)(2122y x xy +≤习题8.2 1. (1)323y y x x z -=∂∂,233xy x y z -=∂∂; (2) )ln(21xy x x z =∂∂,)ln(21xy y y z =∂∂;(3)y x y x y x z csc sec 1=∂∂,y x y x yx y z csc sec 12-=∂∂; (4)1-=∂∂z y z x y x u ,z y zx y u z y z ln 1-=∂∂,y x x y zu z y z ln ln =∂∂; (5)z z y x y x z x u 21)(1)(-+-=∂∂-,zz y x y x z y u 21)(1)(-+--=∂∂-,zz y x y x y x z u 2)(1)ln()(-+--=∂∂;(6))]2sin()[cos(xy xy y xu-=∂∂,)]2sin()[cos(xy xy x y u -=∂∂, .3. 4π=α.4. (1)2222812y x x z -=∂∂,2222812x y yz -=∂∂,xy y x z 162-=∂∂∂; (2)22222)(2y x xy x z +=∂∂,22222)(2y x xy y z +-=∂∂,222222)(y x x y y x z +-=∂∂∂;(3)y y x z x 222l n =∂∂，222)1(--=∂∂x y x x yz ，)ln 1(12y x y y x z x +=∂∂∂-； (4)[]22222sin cos 22x x x y x z +-=∂∂,2322cos 2x yy z =∂∂,222sin 2x x y y x z =∂∂∂.5.223231,0y y x z y x z -=∂∂∂=∂∂∂.6. ⎪⎩⎪⎨⎧+≠++=∂∂000)(222222323＝当当y x y x y x y x f ；⎪⎩⎪⎨⎧+≠++=∂∂000)(222222323＝当当y x y x y x x y f .习题8。
2024考研数学二的考试范围
2024年考研数学二的考试大纲
2024年考研数学二的考试大纲包括高等数学和线性代数两个科目，为闭卷笔试，满分150分，考试时间180分钟。
内容涵盖六个部分：1. 函数、极限、连续：要求理解函数的概念和性质，掌握极限的定义和性质，了解函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。
2. 一元函数微分学：要求理解导数和微分的概念和意义，掌握导数的运算法则和基本公式，了解高阶导数的概念，会求复合函数、隐函数和参数方程的导数，理解微分中值定理和洛必达法则，掌握函数的单调性、极值、最值和图形的判别和描绘，了解曲率的概念和计算。
3. 一元函数积分学：要求理解定积分的概念与性质，掌握不定积分、定积分、二重积分的计算方法和技巧，以及第一类和第二类曲线积分和曲面积分的概念、性质和计算方法。
4. 多元函数微积分学：要求理解多元函数的概念和性质，掌握偏导数、全微分、二重积分的计算方法和技巧，以及第一类和第二类曲线积分和曲面积分的计算方法。
5. 常微分方程：要求掌握常微分方程的基本概念和性质，能够求解一阶常微分方程、高阶常微分方程以及线性微分方程组。
6. 线性代数：要求掌握行列式、矩阵、向量、线性方程组的基本概念和性质，以及它们的运算方法和技巧。
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经管类高等数学答案
经管类高等数学答案【篇一：《高等数学》(经管类)期末考试试卷】class=txt>《高等数学》（经管类）期末考试试卷班级：姓名：学号：分数：1. ???0e?4xdx? 2. 已知点a(1,1,1),b(2,2,1),c(2,1,2)则?bac?3. 交换二次积分次序：?dy?0112?yf(x.y)dxxn4. 已知级数 ?n，其收敛半径r= 。
n?12?n?5. 已知二阶线性常系数齐次常微分方程的特征根为1和?2则此常微分方程是6. 差分方程2yx?1?3yx?0的通解为1. 求由x?0,x??,y?sinx,y?cosx 所围平面图形的面积。
《高等数学》（经管类）第 1 页共8页2. 求过点(2,0,且与两平面x?2y?4z?7?0,3x?5y?2z?1?平行的直线方?3)0程。
3.求x y??00 《高等数学》（经管类）第 2 页共8页4. 设可微函数z?z(x,y)由函数方程 x?z?yf(x2?z2) 确定，其中f有连续导数，求?z。
?x?z?2z5. 设 z?f(xy,xy),f具有二阶连续偏导数，求 ,2。
?x?x22《高等数学》（经管类）第 3 页共8页6. 计算二重积分???x2?y2d?，其中d为圆域x2?y2?9。
d7. 求函数 f(x,y)?x3?y3?3x2?3y2?9x 的极值。
《高等数学》（经管类）第 4 页共8页n221. 判断级数 ?nsinnx 的敛散性。
n?12?2. 将f(x)?x展开成x的幂级数，并写出展开式的成立区间。
x2?x?2《高等数学》（经管类）第 5 页共8页【篇二：高等数学经管类第一册习题答案】1.1 --1.1.3函数、函数的性质、初等函数一、选择题1.c;2.d;3.d 二、填空题1.x?5x?11;2. 1;3. ?0,1?2三、计算下列函数的定义域。
1. ???,2???3,???;2. ???,0???3,???;3. ?2,3???3,???;4. ?0,1?四、(1)y?u2,u?sinv,v?lnx.(2) y?u2,u?lnt,t?arctanv,v?2x.?sinx?1,x?1?五、 f?x???sinx?1,0?x?1??sinx?3,x?0?1.2.1 数列的极限一、选择题1.c;2.d;3.d 二、填空题1.111;2. ;3. 22311三、计算下列极限1. . 2. . 3. 1.4.231.2.2 函数的极限?2???. 5. 10 ?3?4一、选择题1.c;2.d;3.d 二、填空题1. a?4,b??2;2. 1;3.三、计算下列极限1. 2. 2. 6 . 3. 2x.4.1. 5. 1 33?;3. ;4. 05?1.2.3---1.2.5 无穷小与无穷大;极限的运算法则和极限存在准则；两个重要极限一、选择题1.ab;2.c;3. c 二、填空题1. ?1;2.?3?6三、计算下列极限1. e. 2. ?? . 3. e.4.?2??6205. e21.2.5--1.2.6 两个重要极限；无穷小的比较一、选择题1.c;2.b;3.a二、填空题1.1;2. k?0;3. 高. 21?1?22三、计算下列极限1. 1. 2. . 3. e.4. e2. 5. e41.3.1 函数的连续性与间断点一、选择题1.b;2.c;3.a 二、填空题1. x?0,?1;2. 三、求下列函数的不连续点并判别间断点的类型。
高数字母符号读法
高数字母符号读法0 - 零1 - 一2 - 二3 - 三4 - 四5 - 五6 - 六7 - 七8 - 八9 - 九10 - 十11 - 十一（1和1，即十一）12 - 十二（1和2，即十二）13 - 十三（1和3，即十三）14 - 十四（1和4，即十四）15 - 十五（1和5，即十五）16 - 十六（1和6，即十六）17 - 十七（1和7，即十七）18 - 十八（1和8，即十八）19 - 十九（1和9，即十九）20 - 二十（2和0，即二十）22 - 二十二（2和2，即二十二）23 - 二十三（2和3，即二十三）24 - 二十四（2和4，即二十四）25 - 二十五（2和5，即二十五）26 - 二十六（2和6，即二十六）27 - 二十七（2和7，即二十七）28 - 二十八（2和8，即二十八）29 - 二十九（2和9，即二十九）30 - 三十（3和0，即三十）31 - 三十一（3和1，即三十一）32 - 三十二（3和2，即三十二）33 - 三十三（3和3，即三十三）34 - 三十四（3和4，即三十四）35 - 三十五（3和5，即三十五）36 - 三十六（3和6，即三十六）37 - 三十七（3和7，即三十七）38 - 三十八（3和8，即三十八）39 - 三十九（3和9，即三十九）40 - 四十（4和0，即四十）41 - 四十一（4和1，即四十一）42 - 四十二（4和2，即四十二）44 - 四十四（4和4，即四十四）45 - 四十五（4和5，即四十五）46 - 四十六（4和6，即四十六）47 - 四十七（4和7，即四十七）48 - 四十八（4和8，即四十八）49 - 四十九（4和9，即四十九）50 - 五十（5和0，即五十）。
高等数学 第二章 极限和导数2-12高阶导数
(2) 若函数 y = f (x) 的导数 y′ = f ′(x) 在区间 b) 在区间(a, 上可导, 上可导 则称 记作 或 的导数为 f (x)的二阶导 函)数 , 二阶导(函 数 d2 y d dy ( ) = 即 y′′ = ( y′)′ 或 2 d x dx dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 , n −1阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
三、高阶导数的运算法则
设函数 及 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数 为常数) 为常数
n(n −1) 2! n(n −1)L n − k + 1) ( +L+ k!
(u(0) = u， (0) = v) v
—— 莱布尼茨 莱布尼茨(Leibniz) 公式
(uv)′ = u′v + uv′
(uv)′′= (u′v + uv′)′ = u′′v +2 u′v′+ uv′′
(n) n)
= sin( x + n⋅ π );
2
n) (cos x)(n) = cos( x + n⋅ π ) 2
(a )
x (n)
= a ln a;
x n
4. 利用莱布尼兹公式 5. 求由参数方程确定的函数的高阶导数时 从 求由参数方程确定的函数的高阶导数时, 低到高每次都用参数方程求导公式. 低到高每次都用参数方程求导公式
1 (n) n! ( ) = 其中a为常数 其中 为常数) n+1 (其中 为常数 a− x (a − x)
3. 利用已知高阶导数法 常用高阶导数公式： 常用高阶导数公式：
(e x )(n) = ex (1) (ax )(n) = ax ⋅ lnn a (a > 0) π (n) n (2) (sin kx) = k sin(kx + n⋅ ) 2 π (n) n (3) (cos kx) = k cos(kx + n⋅ ) 2 (4) ( xα )(n) = α(α −1)L α − n+1)xα−n (
大学数学(高数微积分)专题五第2讲椭圆双曲线(课堂讲义)
热点分类突破
(2)设∠F1PF2＝θ，
本
由||PPFF11||－ ＝4|P|PFF2|2＝| 2a，
得|PF1|＝83a， |PF2|＝23a，
讲 栏 目
由余弦定理得cos θ＝17a82－a2 9c2＝187－98e2.
开
关 ∵θ∈(0,180°]，∴cos θ∈[－1,1)，－1≤187－98e2<1，
|x|≥a
本
讲 栏
几
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±a,0)
目 开
何 对称性
关于x轴，y轴和原点对称
关 性 焦点
(±c,0)
x≥0
(0,0) 关于x轴对称
(p2，0)
质
长轴长2a，短轴 实轴长2a，
轴
长2b
虚轴长2b
主干知识梳理
几 离心率 e＝ac＝
1－ba22 e＝ac＝
1＋ba22 e＝1
本
3 2.
热点分类突破
∴|AC|＝|y2－y1|＝ 3.
因此菱形的面积S＝12|OB|·|AC|＝12×2× 3＝ 3.
(2)假设四边形OABC为菱形．
讲 栏 目
又 x1＋x2＝－43m，x1x2＝2m23－2，
开 关
∴y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2
＝2m23－2－4m3 2＋m2＝m23－2.
又F为△MPQ的垂心，连接PF，则PF⊥MQ， ∴P→F·M→Q＝0，
热点分类突破
又P→F＝(1－x1，－y1)，M→Q＝(x2，y2－1)， ∴P→F·M→Q＝x2＋y1－x1x2－y1y2 ＝x2＋x1＋m－x1x2－y1y2
5
高数公式大全
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高数第十二章 微分方程
可分离 变量的 微分方程
内容小结
1.通解不一定是方程的全部解 例如, 方程
( x y) y 0 有解
y=–x 及 y=C
后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件(初始条件)定常数 .
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3. 解微分方程应用题的方法和步骤
d2x 程 2 k 2 x 0的解. 当 k≠0 时,求满足初始条 dt dx 0的特解. 件 x t 0 A, dt t 0 dx 解 kC1 sin kt kC 2 cos kt , dt d2x 2 2 k C cos kt k C 2 sin kt , 1 2 dt d2x 将 2 和x的表达式代入原方程 , dt 13
y '' f ( x , y , y ') y | y , y ' | y ' x x 0 x x 0 0 0
几何意义:求过定点 ( x0 , y0 ) 且在定点的切线的斜 率为定值 y '0 的积分曲线.
12
例 3 验证:函数 x C1 cos kt C 2 sin kt 是微分方
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例 3)
3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例4 )
积分
y 2 xdx 即 y x 2 C ,
将 x 1时, y 2代入上式， 求得C 1,
故所求曲线方程为 y x 2 1 .
3
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度 0.4米/秒 2,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
日本古代令制国石高数
28
29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
地区 京畿 京畿 京畿 京畿 京畿 东海道 东海道 东海道 东海道 东海道 东海道 东海道 东海道 东海道 东海道 东海道 东海道 东海道 东海道 东海道 东山道 东山道 东山道 东山道 东山道 东山道 东山道
17.7 18.6 19.4 16.8 27 24.4 6.2 18.4 12.6 36.6 20.26 33.6 26.6 14 41.8 31 34.1 17 28 17.5 0.53 1.6
山口
6
51 山阳道 长门
山口
6
52 南海道 纪伊
和歌山、三重
7
53 南海道 淡路
兵库
2
54 南海道 阿波
德岛
9
55 南海道 赞岐
香川
11
56 南海道 伊予
爱媛
14
57 南海道 土佐
高知
7
58 西海道 筑前
福冈
15
59 西海道 筑后
福冈
10
60 西海道 丰前
大分
8
61 西海道 丰后
大分
8
62 西海道 肥前
郡数 8 15 15 3 13 4 15 2 8 8 14 7 4 3 8 21 4 11 12 11 13 18 4 10 14 9 54
12
3 12 4 4 4 7 3 6 5 8 7 6 10 6 4 14 7 11
47 山阳道 备中
高数课件12单调性的判定
单调增函数的应用：在解决实际问题时，可以利用单调增函数的性质来简化计算或证 明结论
单调减函数的定义
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单调减函数：对于定义域内的任意x1,x2， 如果x1>x2，则f(x1)<f(x2)
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单调减函数的图像：在定义域内，函数图 像是向下倾斜的
单调性在数学分析、高等数学等课程中具有重要地位，是学习数学的重要基础
感谢您的耐心观看
汇报人：
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单调减函数的性质：如果函数f(x)在区间 [a,b]上是单调减函数，那么f(x)在区间 [a,b]上的最大值是f(a)，最小值是f(b)
添加 标题
单调减函数的应用：在解决实际问题时， 可以利用单调减函数的性质来简化计算或 证明结论。
单调性的判定方法
定义法
单调性的定义：函数在某点处的导数大于0，则函数在该点处单调递增；函数在某点处的导数小 于0，则函数在该点处单调递减。
单调性的判定方法：通过计算函数在某点处的导数，判断其符号，从而确定函数的单调性。
导数的计算方法：使用导数公式或导数表进行计算。
单调性的应用：在解决实际问题时，可以利用单调性进行求解，如求极值、最值等。
导数法
导数定义：函数在某一点的切线斜率 导数性质：导数是函数在某一点的切线斜率 导数判定：导数大于0，函数单调递增；导数小于0，函数单调递减 导数应用：判断函数单调性，求极值、最值等
单调性在解题中的应用技巧
注意函的定义域和值域
利用单调性判断函数的极 值和拐点
利用单调性求解不等式
利用单调性求解方程的根
单调性在数学中的地位和作用
单调性是函数性质的重要方面，决定了函数的变化趋势和性质 单调性是函数极限、导数、积分等重要概念的基础 单调性在解决实际问题中具有重要作用，如优化问题、微分方程等
高数AB练习册答案详解习题1202(1)
n n n 1
2 e
1,故级数收敛.
(2)
n1
n
tan
2n1
.
解. lim un1
u n n
lim
n
tan
2n2
tan 2n1
lim
n
2n2
2n1
1 1,故级数收敛.
2
1
3.用根值审敛法判断下列级数的收敛性:
(1)
n1
n 3n
1
2n1
;
2 n 1
解.
lim
n
n
un
lim
un
vn
n 2n
,而 lim n
vn1 vn
1 2
1,故级数收敛.
5.(1)证明积分判别法:设 f x 是1, 上的单调减少连续函数,
且 f x 0 ,令 an f n ,则 an 与 f x dx 有相同的收敛性;
n1
1
(2)讨论
n2
n
1 ln p
n
的收敛性.
k 1
n
n1nຫໍສະໝຸດ (1)证. f k 1 f x dx f k f k 1 f x dx f k ,
(3)
n1
1 1 an
a
0
.
解. un
1 1 an
1 an
,故当 a
1时级数收敛;当 a
1
时,
lim
n
un
1 2
,
当a
1时,
lim
n
un
1,故级数发散.
2.用比值审敛法判断下列级数的收敛性:
(1) 2n n! ; nn n1
解. lim n
高数复习知识点
高等数学上册知识点一、 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、 函数的连续性与间断点；（重点）函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在.间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理（重点）、介值定理及其推论.（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2） 函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量1） 定义：若lim 0α=则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：（重点）a) 1sin lim 0=→x x x b) e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 15） 无穷小代换：（0→x ）（重点）a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c)x e x ~1- （a x a x ln ~1-）d) x x ~)1ln(+ （axx a ln ~)1(log +）e)x x αα~1)1(-+二、 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率.3、 可导与连续的关系：4、 求导的方法1） 导数定义；（重点） 2） 基本公式； 3） 四则运算；4） 复合函数求导（链式法则）；（重点） 5） 隐函数求导数；（重点） 6） 参数方程求导；（重点）7） 对数求导法. （重点） 5、 高阶导数1） 定义：⎪⎭⎫⎝⎛=dx dy dx d dx y d 22 2）Leibniz 公式：()∑=-=nk k n k k n n v u C uv 0)()()( （二） 微分1） 定义：)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，其中A 与x ∆无关.2） 可微与可导的关系：可微⇔可导，且dx x f x x f dy )()(00'=∆'=三、 微分中值定理与导数的应用 （一） 中值定理1、 Rolle 定理：（重点）若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈； 3）)()(b f a f =；则0)(),,(='∈∃ξξf b a 使.2、 Lagrange 中值定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈；则))(()()(),,(a b f a f b f b a -'=-∈∃ξξ使.3、 Cauchy 中值定理：若函数)(),(x F x f 满足：1）],[)(),(b a C x F x f ∈； 2）),()(),(b a D x F x f ∈；3）),(,0)(b a x x F ∈≠'则)()()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈∃使（二） 洛必达法则（重点） （三） T aylor 公式（不考） （四） 单调性及极值1、 单调性判别法：（重点）],[)(b a C x f ∈，),()(b a D x f ∈，则若0)(>'x f ，则)(x f 单调增加；则若0)(<'x f ，则)(x f 单调减少.2、 极值及其判定定理：a) 必要条件：)(x f 在0x 可导，若0x 为)(x f 的极值点，则0)(0='x f . b) 第一充分条件：（重点）)(x f 在0x 的邻域内可导，且0)(0='x f ，c) 则①若当0x x <时，0)(>'x f ，当0x x >时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；②若当0x x <时，0)(<'x f ，当0x x >时，0)(>'x f ，则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号，则0x 不是极值点.d) 第二充分条件：（重点）)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，e) 则①若0)(0<''x f ，则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ，则0x 为极小值点.3、 凹凸性及其判断，拐点1）)(x f 在区间I 上连续，若2)()()2(,,212121x f x f x x f I x x +<+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凹的；若2)()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +>+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凸的.2）判定定理（重点）：)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上有一阶、二阶导数，则 a) 若0)(),,(>''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的；b) 若0)(),,(<''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的.3）拐点：设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是)(x f 的内点，如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00x f x 为曲线的拐点.（五） 不等式证明1、 利用微分中值定理；2、 利用函数单调性；（重点）3、 利用极值（最值）. （六） 方程根的讨论1、 连续函数的介值定理；2、 Rolle 定理；3、 函数的单调性；4、 极值、最值；5、 凹凸性. （七） 渐近线1、 铅直渐近线：∞=→)(lim x f ax ，则a x =为一条铅直渐近线； 2、 水平渐近线：b x f x =∞→)(lim ，则b y =为一条水平渐近线； 3、 斜渐近线：k xx f x =∞→)(lim b kx x f x =-∞→])([lim 存在，则b kx y +=为一条斜 渐近线.（八） 图形描绘四、 不定积分 （一） 概念和性质1、 原函数：在区间I 上，若函数)(x F 可导，且)()(x f x F ='，则)(x F 称为)(x f 的一个原函数. （重点）2、 不定积分：在区间I 上，函数)(x f 的带有任意常数的原函数称为)(x f 在区间I 上的不定积分.3、 基本积分表（P188，13个公式）；（重点）4、 性质（线性性）.（二） 换元积分法（重点）1、 第一类换元法（凑微分）：[])()(d )()]([x u du u f x x x f ϕϕϕ=⎰⎰='2、 第二类换元法（变量代换）：[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=⎰⎰ϕϕϕ（三） 分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv （重点）（四） 有理函数积分 1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、 定积分 （一） 概念与性质：1、 定义：∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ2、 性质：（7条）性质7 （积分中值定理） 函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则],[b a ∈∃ξ，使))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ （平均值：ab dx x f f ba-=⎰)()(ξ）（二） 微积分基本公式（N —L 公式）（重点）1、 变上限积分：设⎰=Φxadt t f x )()(，则)()(x f x =Φ'推广：)()]([)()]([)()()(x x f x x f dt t f dx d x x ααβββα'-'=⎰ 2、 N —L 公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰（三） 换元法和分部积分（重点）1、 换元法：⎰⎰'=βαϕϕt t t f dx x f bad )()]([)(2、 分部积分法：[]⎰⎰-=babab a vdu uv udv （四） 反常积分1、 无穷积分：⎰⎰+∞→+∞=tat a dx x f dx x f )(lim )( ⎰⎰-∞→∞-=btt bdx x f dx x f )(lim)(⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=0)()()(dx x f dx x f dx x f2、 瑕积分：⎰⎰+→=btat ba dx x f dx x f )(lim )(（a 为瑕点） ⎰⎰-→=tabt badx x f dx x f )(lim )(（b 为瑕点）两个重要的反常积分：1) ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤∞+=-∞+⎰1 ,11,d 1p p a p x x p a p 2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<--=-=--⎰⎰1,1 ,1)()(d )(d 1q q q a b x b x a x x qb a q b a q六、 定积分的应用 （一） 平面图形的面积1、 直角坐标：⎰-=badx x f x fA )]()([12（重点）2、 极坐标：⎰-=βαθθϕθϕd A )]()([212122（二） 体积1、 旋转体体积：（重点）a)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=bax dx x f V )(2πb)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=bay dx x xf V )(2π （柱壳法）2、 平行截面面积已知的立体：⎰=badx x A V )(（三） 弧长1、 直角坐标：[]⎰'+=badx x f s 2)(12、 参数方程：[][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()(3、 极坐标：[][]⎰'+=βαθθρθρd s 22)()(七、 微分方程 （一） 概念1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程. 阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、 解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同. 特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二） 变量可分离的方程（重点）dx x f dy y g )()(=，两边积分⎰⎰=dx x f dy y g )()(（三） 齐次型方程)(x y dx dy ϕ=，设x y u =，则dxdu x u dx dy +=； 或)(y x dy dx φ=，设y x v =，则dydv y v dy dx += （四） 一阶线性微分方程（重点）)()(x Q y x P dxdy =+ 用常数变易法或用公式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()( （五） 可降阶的高阶微分方程1、)()(x f y n =，两边积分n 次；2、),(y x f y '=''（不显含有y ），令p y ='，则p y '=''；3、),(y y f y '=''（不显含有x ），令p y ='，则dy dp p y =''（六） 线性微分方程解的结构1、21,y y 是齐次线性方程的解，则2211y C y C +也是；2、21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解，则2211y C y C +是方程的通解；3、*2211y y C y C y ++=为非齐次方程的通解，其中21,y y 为对应齐次方程的线性无关的解，*y 非齐次方程的特解.（七） 常系数齐次线性微分方程（重点）二阶常系数齐次线性方程：0=+'+''qy y p y特征方程：02=++q pr r ，特征根： 21,r r（八） 常系数非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''1、)()(x P e x f m x λ=（重点）设特解)(*x Q e x y m x k λ=，其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=是重根是一个单根不是特征根, λ, λ, λk 210 2、()x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=设特解[]x x R x x R e x y m m x k ωωλsin )(cos )()2()1(*+=，其中 } ,max{n l m =，⎪⎩⎪⎨⎧++=是特征根不是特征根i i k ωλωλ ,1 ,0。
高数课表
高数课表11010 12104 1高等数学（下）1101012104采矿11-1采矿11-2采矿11-3越采矿11-1刘耀119117正常1-20 周二第二大节博雅楼1051-20 周四第二大节博雅楼1051-12 周五第二大节博雅楼10511010 12104 2高等数学（下）1101012104采矿11-4采矿11-5采矿11-6采矿11-7麻凤昌122122正常1-20 周二第二大节博雅楼1031-20 周四第二大节博雅楼1031-12 周五第二大节博雅楼10311010 12104 3高等数学（下）1101012104环境11-1环境11-2环科11-1煤层11-1吴慧明121121正常1-20 周二第二大节博雅楼1111-20 周四第二大节博雅楼1111-12 周五第二大节博雅楼11111010 12104 4高等数学（下）1101012104矿加11-1于清1111正常1-20 周二第二大节博雅楼113矿加11-2 矿加11-3 矿加11-4 江9 9 1-20 周四第二大节博雅楼1131-12 周五第二大节博雅楼11311010 12104 5高等数学（下）1101012104勘查11-1勘查11-2资勘11-1资勘11-2李国元121121正常1-20 周二第二大节博雅楼2031-20 周四第二大节博雅楼2031-12 周五第二大节博雅楼20311010 12104 6高等数学（下）1101012104采矿11-8机械11-5机械11-6机械11-7水土11-1陈尧伟21717正常1-20 周二第二大节博雅楼1011-20 周四第二大节博雅楼1011-12 周五第二大节博雅楼10111010 12104 7高等数学（下）1101012104机械11-1海杰2119正常1-20 周二第二大节博雅楼215机械11-2 机械11-3 机械11-4 5 9 1-20 周四第二大节博雅楼2151-12 周五第二大节博雅楼11511010 12104 8高等数学（下）1101012104机电11-1机电11-2加工11-1加工11-2周彦江221129正常1-20 周二第二大节新华楼2021-20 周四第二大节新华楼2021-12 周五第二大节新华楼20211010 12104 9高等数学（下）1101012104流体11-1流体11-2汽车11-1汽车11-2汽车11-3刘北战17165正常1-20 周二第二大节新华楼2011-20 周四第二大节新华楼2011-12 周五第二大节新华楼20111010 12104 1高等数学（下）1101012104热能11-1李建1299正常1-20 周二第二大节博雅楼205热能11-2 热能11-3 军0 1-20 周四第二大节博雅楼2051-12 周五第二大节博雅楼20511010 12104 11高等数学（下）1101012104工业11-1矿电11-1矿电11-2矿电11-3付巍巍121121正常1-20 周二第二大节博雅楼2111-20 周四第二大节博雅楼2111-12 周五第二大节博雅楼21111010 12104 12高等数学（下）1101012104安全11-1安全11-2安全11-3安全11-4董春胜221139正常1-20 周一第一大节新华楼2081-20 周三第一大节新华楼2081-12 周五第一大节新华楼20811010 12104 13高等数学（下）1101012104测绘11-1测绘11-2测绘11-3王锦新12214正常1-20 周一第一大节博雅楼1031-20 周三第一大节博雅楼1031-12 周五第一大节博雅楼103越测绘11-111010 12104 14高等数学（下）1101012104测绘11-4地理11-1地理11-2李建军11991正常1-20 周一第一大节博雅楼1051-20 周三第一大节博雅楼1051-12 周五第一大节博雅楼10511010 12104 15高等数学（下）1101012104城规11-1城规11-2遥感11-1张广大12183正常1-20 周一第一大节博雅楼1111-20 周三第一大节博雅楼1111-12 周五第一大节博雅楼11111010 12104 16高等数学（下）1101012104焊接11-1焊接11-2遥感11-2刘玉春11983正常1-20 周一第一大节博雅楼1131-20 周三第一大节博雅楼1131-12 周五第一大节博雅楼11311010 12104 17高等数学（下）1101012104材料11-1材料11-2材料11-3刘耀12193正常1-20 周一第一大节博雅楼2031-20 周三第一大节博雅楼2031-12 周五第一大节博雅楼20311010 12104 18高等数学（下）1101012104成型11-1成型11-2成型11-3麻凤昌121121正常1-20 周一第一大节博雅楼2111-20 周三第一大节博雅楼2111-12 周五第一大节博雅楼21111010 12104 19高等数学（下）1101012104材料11-4成型11-4物理11-1吴慧明121正常1-20 周一第一大节博雅楼2051-20 周三第一大节博雅楼2051-12 周五第一大节博雅楼20511010 12104 2高等数学（下）1101012104生物工程11-1生物工程11-2生物技术11-1陈尧伟1282正常1-20 周一第一大节博雅楼2131-20 周三第一大节博雅楼2131-12 周五第一大节博雅楼21311010 12104 21高等数学（下）1101012104工力11-1工力11-2理力11-1于清江1799正常1-20 周一第一大节新华楼2011-20 周三第一大节新华楼2011-12 周五第一大节新华楼20111010 12104 22高等数学（下）1101012104仿真11-1李国2212正常1-20 周一第一大节新华楼202仿真11-2 结构11-1 结构11-2 元 1 1 1-20 周三第一大节新华楼2021-12 周五第一大节新华楼20211010 12104 23高等数学（下）1101012104建工11-6建环11-1建环11-2海杰1219正常1-20 周一第一大节博雅楼3031-20 周三第一大节博雅楼3031-12 周五第一大节博雅楼30311010 12104 24高等数学（下）1101012104给排11-1给排11-2建工11-4周彦江1713正常1-20 周一第一大节新华楼2071-20 周三第一大节新华楼2071-12 周五第一大节新华楼20711010 12104 25高等数学（下）1101012104建工11-1建工11-2建工11-3越建工11-1刘北战12119正常1-20 周一第一大节博雅楼3051-20 周三第一大节博雅楼3051-12 周五第一大节博雅楼30511010 12104 26高等数学（下）1101012104建工11-5涉工11-1涉工11-2陈朝霞1297正常1-20 周一第一大节博雅楼3111-20 周三第一大节博雅楼3111-12 周五第一大节博雅楼311。
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(2)
间接法
− π( 200h − h )dh = 0.62 2 gh dt , 可分离变量 400 3 2 5 π ( h − h ) + C, 解得 t = − 0.62 2 g 3 π 514 5 × × 10 , Q h |t = 0 = 100, ∴ C = 0.62 2 g 15 π 5 3 3 5 (7 × 10 − 10 h + 3 h ). 所求规律 t = 4.65 2 g
• 习题12-2 1-(2) 2-(3)
业
2
8 /9
由(1)和(2)，消去 ，得: 和 ，消去V，
三、小结
分离变量法步骤: 分离变量法步骤: 1、分离变量; 、分离变量 2、两端积分-------隐式通解 、两端积分 隐式通解. 隐式通解
*思考题 思考题
求解微分方程
dy x− y x+ y . + cos = cos dx 2 2
9/9
作
C x2
x2 +C
为所求通解。 ∴ y = Ce 为所求通解。 通解, 全部解
x2
3/9
例2 求 f ( xy) ydx + g( xy)xdy = 0的通解。 的通解。
u f ( u) dx + g ( u)du − g ( u) dx = 0, x x dx g(u) du, = 可分离变量为 x u g(u) − f (u)] [ g ( u) 积分， 积分，得 ln | x |= du + C . ∫ u[ g(u) − f (u)] g ( u) 所求通解 ln | x |= [ du] u= xy + C . ∫ u[ g(u) − f (u)]
−
4 5
4 5
解法 1、 分离变量 ； 分离变量； 2、 两边积分 g( y)dy =
∫
∫ f ( x)dx
分离变量法
2/9
的原函数， 若 G ( y ) 和 F ( x ) 分别为 g ( y ) 和 f ( x ) 的原函数 ， 则
为微分方程的（隐式）通解。 为微分方程的（隐式）通解。
G( y) = F( x) + C
解 以体积 作为中间变量。 由力学知识得， 以体积V作为中间变量 由力学知识得， 作为中间变量。 水从孔口流出的流量为
dV Q= = 0.62 ⋅ S 2 gh , dt
流量系数
2
孔口截面面积
重力加速度
QS = 1 cm , ∴ dV = 0.62 2 gh dt ,
(1)
7/9
∴dV = −π(200h − h )dh,
5/9
例 3 衰变问题: 铀的衰变速度与未衰变原子含量 M成正比。已知M t =0 = M0，求衰变过程中铀含 成正比。 成正比 变化的规律。 量 M( t )随时间 t 变化的规律。 由题设条件， 解 由题设条件，有
直接法
dM 衰变速度 = − λM (λ > 0衰变系数 ) dt dM = −λdt 可分离变量为 M 积分， 积分，得 ln | M |= − λt + C , 即M = ± e C e − λt , − λt ∴ M = Ce . 代入 M t = 0 = M 0 得 M 0 = C， − λt ∴ M = M 0e 衰变规律
6/9
小孔横截面积为1平方厘米 如图）。 平方厘米（ 出， 小孔横截面积为 平方厘米（如图）。 开始时容 器内盛满了水, 器内盛满了水 求水从小孔流出过程中容器里水面的高 的变化规律。 度h（水面与孔口中心间的距离）随时间 的变化规律。 （水面与孔口中心间的距离）随时间t的变化规律
有高为1米的半球形容器 米的半球形容器， 例 4 有高为 米的半球形容器，水从它的底部小孔流
第二节
1. 2. 3.
可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程 例题 小结、 小结、作业
1/9
一、可分离变量的微分方程
若一阶微分方程可写成变量分离的形式 若一阶微分方程可写成变量分离的形式
g( y)dy = f (可分离变量的
dy 2 2 例 = 2 x y ⇒ y dy = 2 x dx . dx
4/9
解（做因变量换元） u = xy, 做因变量换元） 令 原方程化为 u
建立微分方程的方法： 建立微分方程的方法：
1、直接法： 、直接法： 直接由几何条件或物理定律列出（ 直接由几何条件或物理定律列出（因变 量与自变量）的微分方程。 量与自变量）的微分方程。 2、间接法： 、间接法： 借助中间变量间接地建立因变量与自变 量的联系，列出微分方程。 量的联系，列出微分方程。
二、例题
dy . = 2xy 的通解 例1 求 dx 通解,非全部解 dy 解 可分离变量为 = 2xdx , y dy 两端积分 ∫ = ∫ 2 xdx , 得 ln | y |= x 2 + C , y
, 即 y = ±e e . 即 | y |= e 又 y = 0 也是解 零解） （零解）
2
设在微小的时间间隔 [t , t + dt ]内, h 水面的高度由h降至 水面的高度由 降至 h + dh , h+ dh + 则 dV = − πr 2 dh, o Q r = 100 2 − (100 − h)2 = 200h − h2 ,
dV = 0.62 2gh dt,
(1)
h
100
r
100 cm