高等数学试卷2及答案
2011级高数II期中考试试卷及答案
B．
∫ dy ∫
1
2
4
y
y2
f ( x, y )dx
C．∫1 dy ∫y f ( x, y)dx
y2
D． ∫1
dy ∫ 2 f ( x, y )dx
y
y
2 2 5．设L为 x=y2从y = -1到y = 1的一段弧，则 ∫L y dx − x dy =
(
A
)
2 − A． 5
1 B．− 5
1 C． 5
∫∫ xydσ = ∫ dy∫ 2 xydx
D −1 y
2
y+ 2
x2 = ∫ y dy −1 2 y2
2
Y+2
y=x-2
=
∫ [y( y + 2)
2 −1
2
− y 5 dy
]
=
45 8
2 2 4. 计算三重积分 ∫∫∫zdxdydz ，其中 Ω 是由曲面 z = x + y 与平面
∂u y = ∂y ( x + y) 2
∂ 2 u a ( x + y) 2 − 2( x + ay）x + y） ( = ∂x∂y ( x + y) 4
∂ 2 u − 2 y( x + y) = ∂y∂x ( x + y) 4
∂2u ∂2u = ∂x∂y ∂y∂x
a ( x + y) 2 − 2( x + ay）x + y） −2 y( x + y) ( =
4．若L是椭圆
x = a cos θ ，取逆时针方向，则 y = b sin θ
∫
L
y d x − x d y = − 2πab
(2)高等数学B2试卷参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2009学年第2学期 考试科目： 高等数学B Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业一、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. 试定义函数在点的值的 ，使得函数在该点连续。
2．函数在点处可微分的必要条件是函数在该点处连续或可偏导；充分条件是函数的偏导数在该点处连续。
3．设函数在闭区域上连续，且，则。
4. 判断敛散性：已知且，则是收敛的。
5. 已知某二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为，则该微分方程为。
二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 直线与平面的交点是（B ）。
（A ）（9，2，-3）。
（B ）（2，9，11）。
（C ）（2，11，13）。
（D ）（11，9，2）。
2. 若级数在处收敛，则此级数在处（A ）。
（A ）绝对收敛。
（B ）条件收敛。
（C ）发散。
（D ）收敛性不能确定。
3．二元函数 在点处 （C ）（A ）连续，偏导数存在。
（B ）连续，偏导数不存在。
（C ）不连续，偏导数存在。
（D ）不连续，偏导数不存在。
4. 设是连续的奇函数，是连续的偶函数， ，则以下结论正确的是（ A ）。
（A ） 。
（B ） 。
（C ） 。
（A ） 。
5. 微分方程的一个特解应具有形式（A,B,C 是待定常数）（ B ）。
（A ）。
（B ）。
（C ）。
（D ）。
三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） （1）设，其中和具有连续导数，求。
【解】（2）求由方程所确定的函数的全微分。
【解】方程两边求微分得 整理得（3）交换积分次序。
【解】（4）求差分方程在给定初始条件下的特解。
【解】特征方程为，所以对应的齐次方程的通解为。
又不是特征根，故可令特解为，代入原方程，得比较系数可得，，故非齐次方程的一个特解为，于是非齐次方程的通解为，由所给初始条件，可得，所以方程满足给定初始条件下的特解为。
大学高等数学高数期中考试试卷与答案 (2)
安徽大学2008--209高等数学A(二)试卷一、填空题(2×5=10分)1. 过点(1,2,3) 且与直线11233-==-z y x2. 设11),(-+=xy xy y x f ,则=→),(lim )0,0(),(y x f y x 2.3. 累次积分⎰⎰x xdy y x f dx 222),(4. 已知曲线222:a y x L =+(常数0>a ), 则⎰L5. 已知)(x f 是周期为π2的周期函数, 在],(ππ-上)(x f 的解析式为πππ≤<≤<-⎩⎨⎧-=x x x x f 00,,)(,则)(x f 的傅立叶级数在0=x 二、选择题(2×5=10分)6. 设)(1x y 、)(2x y 、)(3x y 是非齐次线性方程)(x f qy y p y =+'+''的三个线性无关的解,21,C C 是任意常数, 则该非齐次线性方程的通解可表示为( D ).A. 32211C y C y C ++B. 3212211)(y C C y C y C +-+C. 3212211)1(y C C y C y C ---+D. 3212211)1(y C C y C y C --++7. 已知二元函数00,1,),(22≠=⎩⎨⎧+=xy xy y x y x f , 则),(y x f 在(0,0)处 ( C ).A. 连续, 一阶偏导数不存在B. 不连续, 一阶偏导数不存在C. 不连续, 一阶偏导数存在D. 连续, 一阶偏导数存在8. 曲线t z t y t x L 4,8,:2===在点 (16,4,8) 处的法平面方程是( B ) .A. 10828=--z y xB. 268216=+-z y xC. 14028=--z y xD. 244216=+-z y x 9. 常数0>a , 则第一型曲面积分⎰⎰=++22222a z y x dS x的值为 ( A ).A.434a π B. 234a π C. 44a π D. 24a π 10. 下列级数中, 绝对收敛的是 ( D ).A.∑∞=-1)1(n nn B. ∑∞=-1)1(n nn C.∑∞=++-11)1(n nn n D. ∑∞=-12)1(n nn 三、计算题(8×8=64分) 11. 已知直线41033:1--==-z y x L , 平面522:=++∑z y x , 求直线1L 与平面∑的夹角. 解：设直线1L 的方向向量为l :则(30-4l =，，）平面∑的法向量 (122n =，，）1cos(,)3l nl n l n⋅==-⋅ 故直线arccos πθ=-或arcsin 3θ=) 12.设y x z arctan= , 求.,,yzx z dz ∂∂∂∂13. 求微分方程xe y y y 223-=+'-''的通解.解：齐次方程320y y y '''-+=对应的特征方程为：2320λλ-+=则 1,21,2λ=. 因此齐次方程对应的通解为：21212(),,x x y x C e C e C C =+其中为任意常数.14.计算二重积分中⎰⎰-Dy dxdy e22, 其中D 是由直线x=0、y=1及y=x 所围成的区域.15. 计算三重积分⎰⎰⎰≤++++2222)(22R z y x dxdydz xz y x , 其中常数R>0.解:⎰⎰⎰≤++++2222)(22R z y x dxdydz xz y x=2222222222()x y z R x y z R x y dxdydz xzdxdydz ++≤++≤++⎰⎰⎰⎰⎰⎰（对称性）提示：本题可以化为：2222222222()x y z R x y z R x y dxdydz xzdxdydz ++≤++≤++⎰⎰⎰⎰⎰⎰（对称性）16. 计算第二型曲线积分⎰-+-=Cx x dy y edx y y e I )2cos ()2sin (, 其中C 为上半圆周ax y x =+22, 方向为从A(a,0) 到O(0,0), 常数a>0.17.设抛物面)0(1:22≥--=∑z y x z 方向取其上侧,计算⎰⎰∑++dxdy dzdx y dydz x 22233 . 解：补充平面220:0(1)z x y ∑=+≤取下侧，则0∑与∑围成空间区域Ω,于是18. 将x f 1)(=展开为(x+2) 的幂级数, 并求该幂级数的收敛域.四、应用题(8分)19. 在椭圆4422=+y x 上求一点, 使该点到直线2x+3y-12=0的距离最短.解：设(,)x y 为椭圆2244x y +=上任一点，则该点到直线23120x y +-=的距离为:五、证明题(8分)20. 设数列{}n a 单调减小, 且),2,1(0⋅⋅⋅=≥n a n , 又级数∑∞=-1)1(n n na 发散.证明: 级数nn na ∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+011收敛. 证明：因为{}n a 单调减小，且0n a ≥，即单调减小有下界，故{}n a 收敛。
2022年河南省专升本高数模拟卷2及答案
2022年河南省专升本模拟试卷（二）高等数学注意事项：1．考生领到试题后，须按规定在试题上填写姓名、准考证号和座位号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。
2．所有答案必须按照答题号在答题卡上对应的答题卡区域内作答，超出各题答题区域的答案无效。
在草稿纸、试题上作答无效。
考试结束后，将试题和答题卡一并交回。
3．本试卷分为第I 卷和第II 卷，共10页，满分为150分，考试时间为120分钟。
第I 卷一、选择题（本大题共25小题，每小题2分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设()f x 是定义在(,)-∞+∞内的函数，且()f x C ≠，则下列必是奇函数的（）A ．3()f xB ．[]3()f x C ．()()f x f x ⋅-D ．()()f x f x --2．已知当0→x 时，4cos 2x x 与1-a ax 是等价无穷小，则=a （）A ．1B ．2C ．3D ．43．=+--→)2()1()1(sin lim21x x x x （）A ．31-B ．32C ．0D ．314．0x =是函数21()x e f x x-=的（）A ．可去间断点B ．振荡间断点C ．无穷间断点D ．跳跃间断点5．设1(2)f '=，则0(22)(2)lim ln(1)h f h f h →+-=+（）A ．12-B ．1-C ．12D ．16．函数312)(+=x x f 在21-=x 处（）A ．极限不存在B ．间断C ．连续但不可导D ．连续且可导7．设()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x =（）A ．1B ．2e C ．2eD ．2e 8．曲线⎩⎨⎧==ty tx 3sin cos 2在6π=t 对应点处的法线方程为（）A ．3=x B ．33-=x y C ．1y x =+D ．1y =9．若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，则（）A ．存在(0,1)θ∈，使得()()()()()f b f a f b a b a θ'-=--B ．存在(0,1)θ∈，使得()()()()()f b f a f a b a b a θ'-=+--C ．存在(0,1)θ∈，使得()()()()f b f a f b a θ'-=-D ．存在(0,1)θ∈，使得()()()()f b f a f b a θ'-=-10．函数201)(1)y t t dt =-+⎰有（）A ．一个极值点B ．二个极值点C ．三个极值点D ．零个极值点11．曲线32312y x x =-+的凹区间（）A ．)0,(-∞B ．)1,(-∞C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21D ．),1(+∞12．曲线1|1|y x =-（）A ．只有水平渐近线B ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线C ．只有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线13．已知的一个原函数是，则等于（）A ．B ．2222ln(1)1x x C x ++++C ．2222ln(1)1x x x +++D ．221(1)ln(1)2x x C+++14．若，则（）A ．Cx +31B ．Cx +331C ．D ．15．下列各式正确的是（）A ．B ．C ．arcsin arcsin bad xdx x dx =⎰D ．111dx x-=⎰16．设，则（）A ．B ．4C ．2D ．017．设为上的连续函数，则与211f dx x ⎛⎫⎪⎝⎭⎰的值相等的定积分为（）A ．221()f x dx x ⎰B ．122()f x dxx⎰C ．1122()f x dx x ⎰D ．1221()f x dx x ⎰18．平面1234x y z++=与平面的位置关系是（）A ．平行但不重合B ．重合C ．相交但不垂直D ．垂直19．向量与轴、轴、轴正向夹角分别为4π，3π，3π，且模为2，则（）A．}B ．{}1,2,1C ．{}2,1,1D ．⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧21,21,2220．函数222222,0(,)0,0xy x y x y z f x y x y ⎧+≠⎪+==⎨⎪+=⎩，在点处（）A ．连续但不存在偏导数B ．存在偏导数但不连续C ．既不存在偏导数又不连续D ．既存在偏导数又连续21．设，则在处（）A ．有极值B ．无极值C ．连续D ．不能确定22．是顶点分别为，，，的四边形区域的正向边界，则曲线积分=-++-+=⎰dy x y dx y x I L)76(cos )3(sin （）A ．0B ．10C ．5D ．1623．微分方程的通解是（）A ．B ．C ．D ．24．二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的正确形式为（）A ．B ．C ．D ．25．下列级数条件收敛的是（）A ．n n n21)1(1∑∞=-B ．n n nn 31)1(1⋅-∑∞=C ．∑∞=+-++1422532n n n n n D ．nn n1)1(1∑∞=-第II 卷二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）26．函数()ln(1)f x x =+-的连续区间是．27．极限0cos limsin x x x xx x→-=-．28．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=2,2,222)(x a x x x x f 在处连续，则．29．已知极限存在且，则．30．设ln(y x =+，则．31．若21()2xf x dx x C =+⎰，则⎰=dx x f )(1．32．=+⎰-dx x x dxd 51)cos (sin ．33．设为由方程所确定的函数，则00x y z y==∂=∂．34．曲面在点处的切平面方程为．35．函数在区间上满足拉格朗日中值定理的．36．设22,xy z f x y e ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭可微，则=∂∂y z ．37．设向量，，向量a ＋b 与a －b 的夹角为．38．交换积分次序，．39．微分方程21(1)yy x x x '+=+的通解为．40．若幂函数21(0)n n n a x a n∞=>∑的收敛半径为12，则常数．三、计算题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)41．已知302sin sin2lim lim cos xx x x c x x x c x x →∞→+-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求常数c 的值．42．求函数的单调区间和极值．43．求不定积分．44．计算36sin cos dxx xππ⎰．45．已知向量{}1,0,2=a ，{}2,1,1-=b ，{}1,2,1-=c ，计算c a b a ⨯-⨯23．46．设函数，求22xz ∂∂，y x z ∂∂∂2．47．求二元函数的极值及极值点．48．设函数的一个原函数为，求微分方程的通解．49．求二重积分22Dxydxdy x y+⎰⎰，其中积分区域{}22(,),14z x y y x x y =≥≤+≤．50．求级数13(2)(1)n nn n x n ∞=+--∑的收敛半径与收敛域．四、应用题(本大题共2小题，每小题7分，共14分)51．求曲线，102x y π+--=以及轴所围成的平面图形的面积．52．某汽车运输公司在长期运营中发现每辆汽车的维修成本对汽车大修时间间隔的变化率等于2281y tt -，并且当大修时间间隔（年）时，维修成本（百元），求每辆汽车的最佳大修间隔时间．五、证明题(本大题共1小题，每小题6分，共6分)53．设函数在上可导，且，证明：在内至少存在一点，使．2022年河南省专升本模拟试卷（二）高等数学注意事项：1．考生领到试题后，须按规定在试题上填写姓名、准考证号和座位号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷2(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．在空间直角坐标系下，方程2x2＋3y2＝6表示的图形为( )A．椭圆B．柱面C．旋转抛物面D．球面正确答案：B解析：由题知2x2＋3y2＝6可化为了，因为柱面公式＝1 故方程表示图形为柱面．答案为B．2．设fx(x0，y0)－0，fy(x0，y0)＝0，则在点(x0，y0)处函数f(x，y) ( ) A．连续B．一定取得极值C．可能取得极值D．的全微分为零正确答案：C解析：A是错误的．因多元函数在某一点可导，不能保证函数在该点连续．B 也是错误的．由题目的条件只能断定点(x0，y0)是驻点，而驻点是可疑的极值点，它不一定是极值点．C是正确的．因为驻点是可疑的极值点．D是错误的．一般会认为df＝f(x0，y0)dx＋fy(x0，y0)dy＝0。
是正确的，却忘记了这个等式成立的前提是f(x，y)在点(x0，y)处可微．而在多元函数中可导不一定可微．答案为C．3．设积分区域Ω：x2＋y2≤R2，0≤z≤1，则三重积分(x2＋y2)dxdydz＝( )A．B．C．D．正确答案：B解析：用圆柱面坐标0＜θ＜2π，0＜r＜R 0＜z＜1答案为B．4．下列方程中为一阶线性非齐次方程的是( )A．y’＝2yB．(y’)2＋2xy＝exC．2xy’＋x2y＝－1D．y’＝sin正确答案：C解析：本题考查一阶线性非齐次方程的定义．由一阶线性微分方程的定义知，(y’)2＋2xy＝ex不是一阶线性微分方程；由一阶线性(非)齐次微分方程的定义知y’＝2y是齐次微分方程；只有选项C，2xy＋x2y＝－1是一阶线性非齐次方程．答案为C．5．设正项级数收敛，则下列无穷级数中一定发散的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：由无穷级数的一般项un不是n→∞时的无穷小量，则级数发散来判断，选项D一定发散．答案为D．填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
2016年专升本(高等数学二)真题试卷(题后含答案及解析)
2016年专升本（高等数学二）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．= ( )A．0B．1C．2D．3正确答案：C2．设函数f(x)=在x=0处连续，则a= ( ) A．一1B．0C．1D．2正确答案：C3．设函数y=2＋sinx，则y’= ( )A．cosxB．－cosxC．2＋cosxD．2-cosx正确答案：A4．设函数y=ex－1+1，则dy= ( )A．exdxB．ex－1dxC．(ex+1)dxD．(ex－1+1)dx正确答案：B5．∫01(5x4+2)dx= ( )A．1B．3C．5D．7正确答案：B6．∫0(1+cosx)dx ( )A．+1B．C．一1D．1正确答案：A7．设函数y=x4+2x2+3，则= ( ) A．4x3+4xB．4x3+4C．12x2+4xD．12x2＋4正确答案：D8．∫1＋∞dx= ( )A．一1B．0C．1D．2正确答案：C9．设函数z=x2+y，则dz= ( )A．2xdx+dyB．x2dx+dyC．x2dx+ydyD．2xdx＋ydy正确答案：A10．若=2，则a= ( )A．B．1C．D．2正确答案：D填空题11．=______．正确答案：12．设函数y=x2一ex，则y’=_______．正确答案：2x-ex13．设事件A发生的概率为0．7，则A的对立事件发生的概率为______．正确答案：0．314．曲线y=Inx在点(1，0)处的切线方程为______．正确答案：y=x-115．∫()dx=_______．正确答案：ln｜x｜+arctanx+C16．∫－11(sinx+x)dx=_______·正确答案：017．设函数F(x)=∫0xcostdt，则F’(x)=_______．正确答案：cosx18．设函数z=sin(x+2y)，则=________．正确答案：cos(x+2y)19．已知点(1，1)是曲线y=x2+alnx的拐点，则a=______．正确答案：220．设y=y(x)是由方程y=x一ey所确定的隐函数，则=______．正确答案：解答题21．计算．正确答案：解：=3．22．设函数y=xe2x，求y’．正确答案：y’=x’e2x＋x(e2x)’=(1＋2x)e2x．23．设函数z=x3y+xy3，求．正确答案：解：=3x2y＋y3，=6xy，=3x2＋3y2．24．计算∫xcosx2dx．正确答案：解：∫xcosx2dx=∫cosx2dx2=sinx2+C．25．计算∫12xlnxdx．正确答案：解：26．求曲线y=，直线x=1和x轴所围成的有界平面图形的面积S，及该平面图形绕z轴旋转一周所得旋转体的体积V．正确答案：解：面积S=∫01dx=．旋转体的体积V=∫01π()2dx=∫01πxdx=x2｜01=．27．设函数f(x，y)=x2+y2+xy+3，求f(x，y)的极值点与极值．正确答案：由已知，=2x+y，=2y+x，故=2．因为A ＞0且AC—B2＞0，所以(0，0)为f(x，y)的极小值点，极小值为f(0，0)=3．已知离散型随机变量X的概率分布为28．求常数a；正确答案：解因为0．2+a+0．2+0．3=1，所以a=0．3．29．求X的数学期望EX及方差DX．正确答案：EX=0×0．2+10×0．3+20×0．2+30×0．3=16，DX=(0一16)2×0．2+(10一16)2×0．3+(20一16)2×0．2+(30一16)2×0．3=124．。
高等数学II试卷及答案
06/07试卷（B ）（本试卷共4页）1、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0001sin 1sin ),(xy xy x y y x y x f ，则极限),(lim 00y x f y x →→=。
(A)不存在(B)等于1(C)等于零 (D)等于2 2、设函数221y x z +-=，则点(,)00是函数z 的（A ）极大值点但非最大值点（B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点（D ）极小值点且是最小值点3、设f (x ,y )为连续函数，则积分可交换积分次序为4、 级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1cos 11n n n α（常数0>α）（A ）发散；（B ）条件收敛；（C ）绝对收敛；（D ）敛散性与α有关。
5、幂级数n n n x n 2131-∞=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+的收敛半径是 (A)1；(B)3e ；(C)3-e ；(D)1-.6、微分方程x x y y 2cos =+''的一个特解应具有形式（A ）x D Cx x B Ax 2sin )(2cos )(+++（B ）x Bx Ax 2cos )(2+（C ）x B x A 2sin 2cos +（D ）x B Ax 2cos )(+一. 1、设函数xy y x y x y x f =+=),(,),(22ϕ，则[]),(),,(y x y x f f ϕ=??????。
2、曲线3231,2,t z t y t x ===在点)31,2,1(处的切线方程是。
3、曲线上任一点),(y x 处的切线斜率为该点横坐标的平方，则此曲线的方程是。
4、如果幂级数()∑∞=-01n n n x a 在1-=x 处收敛，在3=x 处发散，则它的收敛域是. 二. 解答下列各题（本大题共2小题，总计12分） 1、（5分）设)tan ln(x y z =，求y x z z ,。
2、（7分）求函数xy z e u z +-=在点（2,1,0）处沿曲面3=+-xy z e z 法线方向四、解答下列各题（本大题共2小题，总计14分） 1、(7分)计算二重积分224+-⎰⎰D xy dxdy 其中D ：x2+y 2≤9.f (x ,y )为连续函数，写出积分在极坐标系中先积r 后积θ的二次积分。
高等数学考试题库(附答案)
《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()00x f x a x ≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（ ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（ ）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xeC -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（ ）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim xx x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dxx x ++⎰ ②()220dx a x a >-⎰ ③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题 1．2- 2． ３． ２ ４．arctanln x c + ５．２ 三．计算题 １①2e ②162.11xy x y '=+- 3. ①11ln ||23x C x +++②ln ||x C + ③()1x e x C --++四．应用题１．略 ２．18S =《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭(B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2xy x e-=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ). (A) ()121x x e -(B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x . 3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰ ②()220dx a x a>+⎰③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc +②)ln x c + ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》试卷3（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________. 7. 20_______________________.x t d e dt dx -=⎰ 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120x e dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解. 八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x +-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy t t t y dx dx ππ=====且切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)x r r r iy e C x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y ee edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（ ）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （ ）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、214、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d =6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）. A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x-7、⎰=+dx xx ln 2（ ）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C xx++-2ln 1 8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、⎰=+101dx e e xx（ ）. A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 xe y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）.A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim 0； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；5、求定积分⎰eedx x 1ln ； 6、解方程21xy xdx dy -=；四、应用题（每小题10分）1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、xe x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、xe x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e - ； 6、C x y =-+2212 ； 四、1、38； 2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ ）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.A 、 x x cos lim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim （ ）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ ）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （ ）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（ ）. A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a x x lnC 、⎰+=C x xdx sin cosD 、⎰++=C x xdx 211tan7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ ）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、设 a ﹥0，则=-⎰dx x a a22（ ）.A 、2a B 、22a πC 、241a 0 D 、241a π 10、方程（ ）是一阶线性微分方程. A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 xxe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；4、=⎰-113cos xdx x；5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ；6、求方程y xy y x =+'2满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案（B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、xe x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、xxe C e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x xx ； 3、dx x x 221)1(1-- ；4、C x ++ln 22 ；5、)12(2e- ； 6、x e x y 122-= ；四、1、 29； 2、图略七年级英语期末考试质量分析一、试卷分析：本次试卷的难易程度定位在面向大多数学生。
2009年专升本(高等数学二)真题试卷(题后含答案及解析)
2009年专升本（高等数学二）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．A．0B．tanlC．π/4D．1正确答案：B2．A．B．C．D．正确答案：B3．设函数f(x)＝exlnx，则f＇(1)＝( )A．0B．1C．eD．2e正确答案：C4．函数f(x)在[0，2]上连续，且在(0，2)内f＇(x)＞0，则下列不等式成立的是( )A．f(0)＞f(1)＞f(2)B．f(0)＜f(1)＜f(2)C．f(0)＜f(2)＜f(1)D．f(0)＞f(2)＞f(1)正确答案：B5．A．x2+ex+CB．2x2+ex+CC．x2+xex+CD．2x2+xex+C正确答案：A6．A．B．C．D．正确答案：D7．A．B．C．D．正确答案：A8．A．B．C．D．正确答案：C9．设函数z＝f(u)，u＝x2+y2且f(u)二阶可导，则=( )A．4f＇＇(u)B．4xf＇＇(u)C．4yf＇＇(u)D．4xyf＇＇(u)正确答案：D10．任意三个随机事件A，B，C中至少有一个发生的事件可表示为( ) A．A∪B∪CB．A∪B∩CC．A∩B∩CD．A∩B∪C正确答案：A填空题11．____。
正确答案：2/312．____。
正确答案：e-1/313．设函数____。
正确答案：14．已知y＝ax3在X＝l处的切线平行于直线y＝2x-1，则a= 。
正确答案：2/315．函数y＝x sin x，则y＇＇＝。
正确答案：2cosx-xsinx16．曲线y＝x5-10x2+8的拐点坐标(x0，y0)＝。
正确答案：(1,-1)17．____。
正确答案：18．____。
正确答案：19．____。
正确答案：1/220．设函数z=ln(x+y2)，则全微分dz＝。
正确答案：解答题21．求正确答案：22．设函数y＝esinx，求dy．正确答案：23．计算正确答案：24．计算正确答案：25．有10件产品，其中8件是正品，2件是次品，甲、乙两人先后各抽取一件产品，求甲先抽到正品的条件下，乙抽到正品的概率．正确答案：26．求函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．正确答案：27．(1)求在区间[0，n]上的曲线y＝sin x与x轴所围成图形的面积S．(2)求(1)中的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V．正确答案：28．求函数z＝x2+2y2+4x-8y+2的极值．正确答案：。
专升本高等数学一(多元函数积分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
专升本高等数学一（多元函数积分学）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．化二重积分f(x，y)dσ为极坐标下的二次积分，其中D：4≤x2+y2≤9，正确的是( )A．∫02πdθ∫4θf(x，y)rdrB．∫02πdθ∫23f(x，y)rdrC．∫02πdθ∫23f(rcosθ，rsinθ)rdrD．∫02πdθ∫49f(rcosθ，rsinθ)rdr正确答案：C解析：该积分区域在极坐标系下可表示为：0≤θ≤2π，2≤r≤3，则该积分在极坐标系下为f(x，y)dσ=∫02πdθ∫23f(rcosθ，rsinθ)rdr，故选C．知识模块：多元函数积分学2．二次积分∫0dθ∫0cosθf(rcosθ，rsinθ)rdr可以写成( )A．B．C．D．正确答案：D解析：积分区域D为：0≤θ≤，0≤r≤cosθ，令x=rcosθ，y=rsinθ，则0≤x≤1，0≤x2+y2≤x，即0≤x≤1，0≤y≤，故二次积分可写成∫01dx，D也可表示为0≤y≤，故选D．知识模块：多元函数积分学3．若∫01dx∫x2xf(x，y)dy=∫01dy∫yφ(y)f(x，y)dx成立，则φ(y)= ( ) A．y2B．yC．D．正确答案：C解析：积分区域D可表示为0≤x≤1，x2≤y≤x，也可表示为0≤y≤1，y ≤x≤，故φ(y)=．知识模块：多元函数积分学4．设L为直线x+y=1上从点A(1，0)到B(0，1)的直线段，则∫L(x+y)dx—dy= ( )A．2B．1C．一1D．一2正确答案：D解析：用积分路径L可表示为：y=1一x，起点：x=1，终点：x=0，所以∫L(x+y)dx—dy=∫10dx+dx=－2．知识模块：多元函数积分学5．积与路径无关的是( )A．∫L(x2+y2)dx+dyB．∫Lxdx+xydyC．∫Ldx+xydyD．∫Lydx+xdy正确答案：D解析：A项，=1，故选D．知识模块：多元函数积分学6．L为从点(0，0)经点(0，1)到点(1，1)的折线，则∫Lx2dy+ydx= ( ) A．1B．2C．0D．一1正确答案：A解析：积分路径如图5—13所示，∫Lx2dy+ydx=x2dy+ydx+x2dy+ydx=0+∫01dx=1，故选A知识模块：多元函数积分学7．设曲线L的方程是x=acost，y=asint(a＞0，0≤t≤2π)，则曲线积分(x2+y2)nds=( )A．2πa2nB．2πa2n＋1C．一πanD．πan正确答案：B解析：(x2+y2)nds=∫02π(a2)n dt=2πa2n＋1．知识模块：多元函数积分学填空题8．当函数f(x，y)在有界闭区域D上________时，f(x，y)在D上的二重积分必存在．正确答案：连续解析：由二重积分的定义和极限存在的定义可知，当函数f(x，y)在有界闭区域D上连续时，f(x，y)在D上的二重积分必存在．知识模块：多元函数积分学9．设区域D=｛(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1｝，则=________．正确答案：2解析：=2SD=2．知识模块：多元函数积分学10．若D是中心在原点、半径为a的圆形区域，则(x2+y2)2dσ=_______．正确答案：πa6解析：(x2+y2)2dσ=∫02πdθ∫0ar4．rdr=a6×2π=πa6．知识模块：多元函数积分学11．设D是由Y=，y=x，y=0所围成的第一象限部分，则=_______．正确答案：解析：由题意，该积分易于在极坐标系下计算，又积分区域D可表示为：于是有知识模块：多元函数积分学12．交换I=∫01dx f(x，y)dy的次序为I=________．正确答案：∫01dy∫0y2f(x，y)dx+∫12dy f(x，y)dx解析：由0≤x≤1，得区域D如图5—3所示，D由x=y2，(y一1)2+x2=1，x=0围成，改变积分次序后区域需分2块．D可表示为D1+D2=｛(x，y)｜0≤y≤1，0≤x≤y2｝+｛(x，y)｜1≤y≤2，0≤x≤｝，则知识模块：多元函数积分学13．设区域D由y轴与曲线x=cosy(其中所围成，则二重积分3x2sin2ydxdy=________．正确答案：解析：知识模块：多元函数积分学14．L为三顶点分别为(0，0)，(3，0)，(3，2)的三角形正向边界，则(2x —y+4)dx+(5y+3x一6)dy=_______．正确答案：12解析：如图5—14所示，(2x—Y+4)dx+(5y+3x一6)dy==∫03(2x+4)dx+∫02(5y＋3)dy+∫30xdx=21+16—25=12．知识模块：多元函数积分学15．设L为直线y=x一1上的点(1，0)到点(2，1)的直线段，则曲线积分∫L(x—y+2)ds=_______．正确答案：解析：∫L(x—y+2)ds=∫12(x一(x一1)+2)．知识模块：多元函数积分学解答题16．计算∫0πdy dx．正确答案：积分区域又可表示为｛(x，y)｜0≤x≤，0≤y≤x2｝，则涉及知识点：多元函数积分学17．求，其中D由y=和y=x2围成．正确答案：如图5—4所示，区域D：0≤x≤1，x2≤y≤，故涉及知识点：多元函数积分学18．计算y2exydσ，其中D：0≤x≤1，0≤y≤1．正确答案：由题意可知y2exydσ=∫01dy∫01y2exydx=∫01(yey－y)dy=．涉及知识点：多元函数积分学19．求，其中D：0≤y≤x，0≤x≤．正确答案：根据被积函数的特点，选择先对y积分．区域D可表示为：｛(x，y)｜0≤x≤，0≤y≤x｝，．涉及知识点：多元函数积分学20．计算，其中D：4≤x2+y2≤9．正确答案：=∫02π(ln3－ln2)dθ=2πln．涉及知识点：多元函数积分学21．计算∫12dx．正确答案：由于作为y的函数，其原函数不能用初等函数表示，因此交换积分次序．区域D由直线y=x，x=1，x=4，y=2及抛物线y=所围成，如图5-7阴影部分所示，因此区域D可以写为D=｛(x，y)｜1≤y≤2，y≤x≤y2｝，故∫12dx＋∫24dx=∫12dy∫yy2=∫12=(2+π)．涉及知识点：多元函数积分学22．计算二重积分，D：x2+y2≤R2，0≤y≤x，x≥0．正确答案：选择极坐标系计算，区域D的表示式为涉及知识点：多元函数积分学23．求，其中D是顶点分别为(0，0)，(π，0)及(π，π)的三角形区域．正确答案：如图5—10所示区域D：0≤x≤π，0≤y≤x，故xsin(x+y)dσ=∫0πdx∫0xxsin(x+y)dy=∫0π(xcosx－xcos2x)dx=(xsinx＋cosx—cos2x)｜0π=一2．涉及知识点：多元函数积分学24．计算x3dy—y3dx，其中L为x2＋y2=a2顺时针方向．正确答案：L为顺时针方向，即为反向，故x3dy—y3dx=一=－3x2一(一y2)dxdy=一3∫02πdθ∫0ar2．rdr=．涉及知识点：多元函数积分学25．计算对坐标的曲线积分I=∫L(x2+y)dx+(x－siny)dy，其中L是圆周y=上由点(0，0)到点(1，1)的一段弧．正确答案：P=x2+y，Q=x—siny，因为，所以曲线积分与路径无关，故可选择从(0，0)→(1，0)→(1，1)，则I=∫L(x2+y)dx+(x—siny)dy=∫01x2dx+∫01(1－siny)dy=+1+cosy｜01=＋cos1．涉及知识点：多元函数积分学26．求曲线积分，其中L为如图5—1所示的闭路OAB，是x2+y2=a2上一段弧，端点为A(0，a)，．正确答案：涉及知识点：多元函数积分学27．求∫L(y－x)ds，其中L：y=｜1一x｜—x；0≤x≤2．正确答案：当0≤x≤1时，y=1一x—x=1—2x当1≤x≤2时，y=x－1一x=一1．∫L(y－x)ds=∫01(1－2x)一x]+∫12(－1－x)=．涉及知识点：多元函数积分学。
重庆大学高数(下)期末试题二(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 —20 学年第学期开课学院: 数统学院课程号: 考试日期:考试方式：开卷闭卷 其他考试时间: 120 分题号一二三四五六七八九十总分得分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设向量a与三轴正向夹角依次为,,,αβγ则当cos0β=时有().(A) a⊥xoy面(B) a//xoz面(C) a⊥yoz面(D) a xoz⊥面知识点:向量与坐标的位置关系,难度等级:1.答案: (B)分析:cos0,β=,2πβ=a垂直于y轴,a//xoz面.2. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为212323,y C C x C x=++其中123,,C C C为独立的任意常数,则该方程为().(A)0y y'''+=(B) 30yy'''+'=(C)0y y'''-=(D) 0y'''=知识点:通过微分方程的通解求微分方程,难度等级:2.答案: (D)分析:由通解中的三个独立解21,,x x知,方程对应的特征方程的特征根为1230.λλλ===因此对应的特征方程是30.λ=于是对应的微分方程应是0.y'''=故应选(D).3. 设D由14122≤+≤yx确定.若1221,DI dx yσ=+⎰⎰222(),DI x y dσ=+⎰⎰223ln(),DI x y dσ=+⎰⎰则1,I2,I3I之间的大小顺序为().(A)321III<<(B)231III<<(C)132III<<(D)123III<<知识点:二重积分比较大小,难度等级:1.答案:(D)分析:积分区域D由22114x y≤+≤确定.在D内,2222221ln(),x y x yx y+<+<+故321.I I I<<只有D符合.4．设曲线L是由(,0)A a到(0,0)O的上半圆周22,x y ax+=则曲线积分命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试;2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍.(sin )(cos )().xx Ley my dx e y m dy -+-=⎰(A)0 (B)22m a π (C)28m a π (D)24m a π知识点:对坐标的曲线积分,格林公式,难度等级:2. 答案:(B)分析:补充直线段1:0(:0),L y x a =→则1L L +为封闭曲线在上使用格林公式可得12,2L L Dm mdxdy a π+==⎰⎰⎰而10.L =⎰选B.5. 已知向量23,a m n =+则垂直于a 且同时垂直于y 轴的单位向量().e =(A))i j k ++ (B))i j k -+ (C))2i k ±- (D)()2i k ±+知识点:向量垂直,单位向量,难度等级:1. 答案:(C) 分析:向量111010i j ki k =-+垂直于a 且同时垂直于y 轴,其模为6. 设∑为球面2222,x y z R ++=则22()().84x y I dS ∑=+=⎰⎰(A)24R π (B)545R π (C)24R π (D)R π4知识点:对面积的曲面积分,对称性,难度等级:2. 答案:(C)分析: 由于积分曲面关于三个坐标面对称,且满足轮换,故有2222224114()4.333x dS x y z dS R R R ππ∑∑=++=⋅=⎰⎰⎰⎰利用上述结论所求I 为23.8x dS ∑⎰⎰故选C.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 幂级数21!n nn n x n ∞=∑的收敛半径为__________.知识点:幂级数收敛半径,难度等级:1. 答案分析:1`22222(1)(1)(1)!lim lim 1!n n n n n n n n n xn n x ex x n n x n ++→∞→∞+++==<⇒< 8. 由原点向平面引垂线,垂足的坐标是),,(c b a ,此平面的方程为__________.知识点:平面方程,难度等级:1.答案:23120.x y z -+-=分析:该平面的法向量为22350,x y z -+-=且过点22350,x y z -+-=则其平面的方程23120.x y z -+-=9. 设L 为椭圆221,34x y +=其周长记为,a 则求22(243)Lxy x y ds ++⎰__________.=知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1. 答案:12.a10. 设区域D 为222,x y R +≤则()DR y dxdy +⎰⎰__________.=知识点:二重积分的计算,对称性,难度等级:2. 答案:3.R π分析:所求几何体为一圆柱体被一平面劈开剩下部分,由几何形状知其为圆柱体体积一半,可得结果.或直接由被积函数奇偶分开,及积分区域对称立得. 11.3222(2cos )(12sin 3)__________,Lxy y x dx y x x y dy -+-+=⎰其中为抛物线22x y π=上由到的一段弧.知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,难度等级:2答案:2.4π解: 322cos ,P xy y x =-2212sin 3,Q y x x y =-+262cos .Q P xy y x x y∂∂⇒=-=∂∂ 3222(2cos )(12sin 3)L xy y x dx y x x y dy ⇒-+-+⎰与积分路径无关.⇒取L 为由(0,0),(,0),(,1)22ππ组成的折线,则2132222203(2cos )(12sin 3)0(12).44L xy y x dx y x x y dy y y dy ππ-+-+=+-+=⎰⎰12. 设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,则333I x dydz y dzdx z dxdy∑=++⎰⎰__________.=知识点:对坐标的曲面积分,球坐标,难度等级:3. 答案:12.5π分析: 由高斯公式,2122240123()3sin .5I x y z dV d d r dr ππθϕϕΩ=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 求初值问题2(2)|1x ydy x y dxy ==+⎧⎨=⎩的解.知识点:齐次微分方程的初值问题,求解,难度等级:1. 分析:所给方程为齐次微分方程,作代换yu x=化为可分离变量的微分方程. 解:将方程改写为2.dy x y dx y+= 这是齐次方程.令,y xu =则.dy du u x dx dx=+ 代入上式得L (0,0))1,2(π21.du u xdx u+=+ 这是变量分离方程,且有(2)1(2).22y u ==积分得21ln |2|ln |1|0.33x u u C +-+++= 代入初值可解得32ln .2C =--故原方程的特解为213ln |2|ln |1|2ln 0.332y y x x x +-++--=14. 求级数11(4)!n n ∞=∑的和. 知识点:级数和,难度等级:3分析:利用级数之和,幂级数的逐项求导解: 0,.!nx n x e x R n ∞==∈∑(1),.!n nx n x e x R n ∞-=-⇒=∈∑20,.(2)!2n x xn x e e x R n -∞=+⇒=∈∑又 20(1)cos ,.(2)!n nn x x x R n ∞=-=∈∑ 40cos 2,.(4)!2x xn n e e x x x R n -∞=++⇒=∈∑ 111cos112.(4)!2n e e n -∞=++⇒=∑ 15. 计算222()L ydx xdy x y -+⎰,其中L 为圆周22(1)2,x y -+=L 的方向为逆时针方向.知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,取特殊路径;难度等级:3.分析:先注意积分与路径无关,后根据分母特点取特殊路径积分.解:当(,)(0,0)x y ≠时,22222.2()P x y Qy x y x∂-∂==∂+∂作小圆222:,C x y ε+=取逆时针方向,则222222222112.2()2()22L C Cx y ydx xdy ydx xdy ydx xdy dxdy x y x y επεε+≤--==-=-=-++⎰⎰⎰⎰⎰16. 求力(,,)F y z x =沿有向闭曲线L 所作的功,其中L 为平面1x y z ++=被三个坐标面所截成的三角形的整个边界,从z 轴正向看去,顺时针方向.知识点:变力没曲线作功,难度等级:2.分析: 曲线积分的边界已为闭,用斯克斯公式,或化为平面曲线积分用格林公式.解: 用斯托克斯公式,取∑为平面1x y z ++=的下侧被L 所围的部分,∑1,1,1).--- 力F 所做的功为LW ydx zdy xdz =++⎰x y y z ∑---=∂∂∂∂⎰⎰3.2===⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．设(),u yxf z =其中()f z 二阶可导,(,)z z x y =由方程2ln 10x y z +-+=所确定,求22.ux∂∂知识点:方程组的二阶偏导数,难度等级:2. 分析:()u yxf z =对x 求二阶偏导数得22,ux ∂∂但其中会包含z 对x 的二阶偏导数22zx ∂∂.2ln 10x y z +-+=两边对x两次求偏导数,可求出22zx∂∂.解:()(),u z yf z xyf z x x∂∂'=+∂∂ 222222()()()(),u z z zyf z xyf z xyf z x x x x∂∂∂∂''''=++∂∂∂∂221,1,z z x zz zz x x∂==∂∂∂==∂∂2222()()().uyzf z xyz f z xyzf z x∂''''=++∂ 18. 计算曲面积分323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =.知识点:高斯公式,球面坐标,极坐标,难度等级3. 分析: 补充辅助面用高斯公式,再用球面坐标.解: 设222:,0x y a S z ⎧+≤⎨=⎩取下侧,则∑与S 围成的区域为,ΩS 在xoy 面的投影区域为.D 于是323232()()()SI x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+=+++++⎰⎰323232()()()Sx az dydz y ax dzdx z ay dxdy -+++++⎰⎰22223()Dx y z dv ay dxdy Ω=+++⎰⎰⎰⎰⎰222222203sin sin a a d d r r dr a d r rdr πππθϕϕθθ=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰555615429.20a a a πππ=+=五、 证明题(每小题6分,共12分)19. 证明:()()0()()().ay am a x m a x dy e f x dx a x e f x dx --=-⎰⎰⎰知识点:二重积分交换积分次序,难度等级:1分析: 将二次积分化为定积分,注意到被积函数不含变量,y 先对y 积分,故将积分区域D 由y 型区域化为x 型区域计算可得证明结果证明: 积分区域为,0,{()0|},D x y y a x y =≤≤≤≤并且D 又可表示为,0,{(}.)|D x y x a x y a =≤≤≤≤ 所以()()()0()()()().ay a a am a x m a x m a x xdy e f x dx dx e f x dy a x e f x dx ---==-⎰⎰⎰⎰⎰20. 设在半平面0x >内有力3()kF xi yj ρ=-+构成力场,其中k 为常数,ρ=证明:在此力场中场力所作的功与所取路径无关. 知识点:变力沿曲线作功,难度等级:1 分析: 验证积分与路径无关. 证明 场力所作的功2232,()Lxdx ydyW k x y +=-+⎰其中L 为力场内任一闭曲线段.223222523;()()Q y xyx x x y x y ⎡⎤∂∂==-⎢⎥∂∂++⎣⎦ 223222523.()()P x xy y y x y x y ⎡⎤∂∂==-⎢⎥∂∂++⎣⎦ 可见,,P Qy x∂∂=∂∂且,P Q 在半平面0x >内有连续偏导数,所以0.W =即场力作用与路径无关.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 已知年复利为0.05,现存a 万元,第一年取出19万元,第二年取出28万元,…,第n 年取出109n +万元,问a 至少为多少时,可以一直取下去？知识点:幂级数的和函数,难度等级:2解:设n A 为用于第n 年提取(109)n +万元的贴现值,则(1)(109).n n A r n -=++ 故1111110919102009.(1)(1)(1)(1)n n n n nn n n n n n n nA A r r r r ∞∞∞∞∞=====+===+=+++++∑∑∑∑∑设1(),(1,1),n n S x nx x ∞==∈-∑ 则21()()(),(1,1).1(1)n n x x S x x x x x x x ∞=''===∈---∑所以11()()4201 1.05S S r ==+万元,故20094203980A =+⨯=万元,即至少应存入3980万元.22．按照牛顿冷却定律:物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比.已知空气温度为30,︒物体在15分钟内从100︒冷却到70︒时,求物体冷却到40︒时所需要的时间？知识点:微分方程数学模型,难度等级:2分析:根据冷却定律建立微分方程初值问题并求解. 解:设在时间t 时,物体的温度为.T C ︒ 根据冷却定律列出方程(30).dTk T dt=-- 分离变量,并积分得,30dTkdt T =-- ln(30)ln .T kt c -=-+故有0.3kt T ce -=+由初始条件:015|100,|70.t t T T ==== 代入可解得1770,ln ,154c k ==即有 17(ln )154.3070t T e-=+当40T =时,由上式可解得15ln 7527ln 4t ==(分).。
高职升本《高等数学》试卷及参考答案
高等院校“高职升本科”高等数学试卷2及参考答案本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上，并将本人考试用条形码贴在答题卡的贴条形码处。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
一、单项选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列极限正确的是A. B. 1sin 1lim=∞→x xx 11tanlim =∞→xx x C. D. 04lim =-∞→xx ∞=∞→x x e lim 2. 当时，与等价的无穷小是0→x 112-+x A ．B. C. 2 D.x 2x 2x 221x 3. 设函数在()内可导且,又＜,则当()()x g x f ,+∞∞-,()0≠x g ()()x g x f '()()x g x f ' ＜＜(其中为常数)时,有a x b b a , A. ＜B. ＜()()x g x f ()()a g a f ()()x g x f ()()b g b f C ．＜ D.＜()()x g x f ()()a g a f ()()x g x f ()()b g b f 4. 函数在区间上满足拉格朗日中值定理的()1ln +=x y []1,0=ξ A ．B. C. D.212ln 12ln 212ln 11-5. 设向量与向量共线,且满足,则=x {}2,1,2-=a 18=⋅x ax A. B. {}3,6,3-{}4,2,4- C ． D. {}4,2,4--{}6,3,6-6. 不定积分⎰=dx x x2cos A. B. C x x x ++cos ln tan C x x +-cos ln tan C.D. C x x x +-sin ln tan Cx x x +-cos ln tan 7. 广义积分⎰=-e dx xx 12ln 11 A.B. C.D. 2ππ108. 当＞时,下列不等式成立的是x 1 A ．＞ B. ＜ ()x +1ln x xe x C. ＜ D. ＞()x +1ln x x sin x9. 设周期函数在内可导,周期为4,且,则曲线()x f ()+∞∞-,()()1211lim-=--→xx f f x 在点处的切线斜率为()x f y =()()5,5f A. 1B. 2C. -2D. -110.下列微分方程中,通解是的方程为()x C x C e y x2sin 2cos 21+= A. B. 032=-'-''y y y 052=+'-''y y y C.D. 02=-'+''y y y 0136=+'+''y y y高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学试卷第II 卷（非选择题 共110分）注意事项：1.答第II 卷前，考生须将密封线内的项目填写清楚.2. 考生须用蓝，黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上.二三四题号161718192021222324252627总分得分二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分，把答案填在题中横线上.11. 求极限: =⎪⎭⎫⎝⎛-∞→241cos1lim x x x 12. 已知点是曲线的拐点,则常数的值分别为 ()3,123bx ax y +=b a ,13. 设 则的值为 ()⎩⎨⎧<≥=0,sin ,0,2x x x x f x ()dx x f ⎰-20114. 曲线绕Y 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧==+0,1222x z y 15. 函数的驻点为()()y yx e y x f x2,22++=16. 交换积分次序:()=⎰⎰--dx y x f dy y1201,三、解答题:本大题共8小题,共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）.得分评卷人得分评卷人设为常数且函数 在点处连续,求的值.k ()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<=+-1,10,12x ex x x f k x x 1=x k 18．（本小题满分10分）求曲线 ,在相对应的点处的切线方程.()⎩⎨⎧=++=-+0101y te t t x y 0=t 19．（本小题满分10分）设,并且.()⎰+='C edx xx f x()01=f （1）求的表达式; (2) 求不定积分.()x f ()⎰dx x xf 得分评卷人得分评卷人20．（本小题满分10分）已知点和直线,直线. ()3,2,1-A 958273:1-=+=-z y x L 654:2zy x L ==（1）求过点且垂直于直线的平面的方程；A 1L π（2）求过点和直线垂直且平行于平面的直线方程.A 2L π21．（本小题满分10分）设区域,计算二重积分.x y x x y D 2,0:22≤+≤≤⎰⎰+Ddxdy y x 22得分评卷人得分评卷人22．（本小题满分12分）设二元函数,求全微分和二阶偏导数.()yxy z +=1dz 22xz ∂∂23．（本小题满分12分）已知函数在区间上连续,且＞0,设函数()x f []b a ,()x f , .()()()⎰⎰+=x ax bdt tf dt t f x F 1[]b a x ,∈（1）证明;()2≥'x F （2）证明方程在区间内有且仅有一个根.()0=x F ()b a ,得分评卷人得分评卷人24．（本小题满分12分）求微分方程的一个解,使得由曲线与直线()02=-+dx y x xdy ()x y y =()x y y =及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所围成的旋转体体积最小.2,1==x x x x2008年天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学参考答案一、选择题1．B2. D3. C4. D5. B6. A7. A8. C9. C 10. B 二、填空题11.12. 13. 2129,23-2ln 111cos +-14. 15. 16. 12222=++z x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21()⎰⎰--2101,x dyy x f dx 三、解答题17.解: 因为在点处连续，所以()x f 1=x ()()1lim 1f x f x =-→ 因为 ，()()[]2121121111lim lim lim e x x x f x x x x x =-+==-→-→→--- 又因为 ，所以 ，因此 ()ke f +=11kee +=121=k 18. 解: 因为，所以dt dx 01=--+t t t dtdx21+-= 因为 所以 0=++dt dy dt dy te e yyyyte e dt dy +-=1得分评卷人因此()()y yte t e dtdx dt dy dx dy +-==121 当时，所求的切线方程的斜率为0=t 1,0-==y x 1-=e k 故所求的切线方程为x e y 11-=+ 19.解:（1）由已知，得 ()⎰+='C e x d x f x2 所以因此 ()C e x f x +=2()C ex f x2121+= 于是 ()C e x f x 21212+=因为 ，所以()01=f e C -= 于是 ()e e x f x 21212-=（2）()()⎰⎰⎰⎰-=-=xdx e dx e dx ex xe dx x xf x x 214121222 ()Cex e x +-=224120. 解:（1） 直线的方向向量为1L {}9,8,7=→s 于是所求平面的方程为π()()()0392817=-+-++z y x 即 36987=++z y x （2）所求直线的方向向量为k j i kj i m363987654-+-==→故所求直线的方程为132211-=--=+z y x 21.解:在极坐标下，区域D 为，θγπθcos 20,40≤≤≤≤ 所以⎰⎰⎰⎰⎰==+Dd d d dxdy y x 4403cos 20222cos 38ππθθθγγθ ()92101222238sin sin 138402=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰θθπd22. 解:（1）因为 ()xy y ez +=1ln 所以=∂∂xz ()()y xy y xy xy y y xy y e ++=⋅+⋅⋅+111121ln=∂∂y z()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅+++x xy y xy e xy y 111ln 1ln ()()y xy xy xy xy +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=111ln 于是 dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=dy xy xy xy dx xyy xy y11ln 112（2） ()()yy xy xxy y xy y x xy x z +∂∂⋅++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+=∂∂11112222 ()()()y yxy xy y xy y xy xy yy ++⋅++++⋅-=111112222()()23411xy yy xy y +-+=23.证明：（1）因为 ＞0，()x f 所以 ()()()()()2121=⋅≥+='x f x f x f x f x F （2） 因为 ＜0()()()()⎰⎰⎰-=+=a aa bb a dt tf dt t f dt t f a F 11＞0 ，()()⎰=badt t f b F 且在区间上连续.()x F []b a , 所以由零点定理知=0在区间内至少有一个根.()x F ()b a , 由(1)知 ＞0, 所以在上单调增加,从而方程=0()2≥'x F ()x F []b a ,()x F 在区间内至多有一个根.()b a , 故方程=0在区间内有且仅有一个根.()x F ()b a ,24.由 ,得 ,其通解为()02=-+dx y x xdy 12-=-'y xy x Cx dx x C x dx e C e y dx x dx x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰-+⎰=⎰⎰-222221 由及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转2,1,2==+=x x x Cx y x x 体体积为 于是 ()()⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=+=2122237215531C C dx Cx x C V ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=215562C dC dV π 令,得驻点 ,由＞0. 知是0=dC dV 12475-=C π56212475=⎪⎭⎫ ⎝⎛-''V 12475-=C 惟一极小值点,因此也是最小值点,故所求曲线为 .x x y +-=212475。
专升本高等数学二(向量代数与空间解析几何)模拟试卷2(题后含答
专升本高等数学二（向量代数与空间解析几何）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设a、b为两个非零向量，λ为非零常数，若向量a+λb垂直于向量b，则λ等于( )A．B．C．1D．a．b正确答案：B解析：向量a+λb垂直于向量b，则(a+λb)．b=0，则λ=．知识模块：向量代数与空间解析几何2．设有单位向量a0，它同时与b=3i+j+4k，c=i+k垂直，则a0为( )A．B．i+j—kC．D．i－j+k正确答案：A解析：a=c×b==i+j一k，又a0为a的单位向量，故a0=．知识模块：向量代数与空间解析几何3．在空间直角坐标系中，若向量a与Ox轴和Oz轴的正向夹角分别为45°和60°，则向量a与Oy轴正向夹角为( )A．30°B．45°C．60°D．60°或120°正确答案：D解析：由cos2α+cos2β+cos2γ=1，且cosα=，所以向量a与Oy轴正向夹角为60°或120°．知识模块：向量代数与空间解析几何4．若两个非零向量a与b满足｜a+b｜=｜a｜+｜b｜，则( )A．a与b平行B．a与b垂直C．a与b平行且同向D．a与b平行且反向正确答案：C解析：｜a｜+｜b｜=｜a+b｜，(｜a｜+｜b｜)2=｜a｜2+｜b｜2+2｜a｜｜b｜=(｜a+b｜)2=｜a｜2+｜b｜2+2ab=｜a｜2+｜b｜2+2｜a｜｜b｜cos〈a，b〉，即cos〈a，b〉=1，故两向量平行，若二者反向则｜a｜+｜b｜＞｜a+b｜．不满足条件，故两向量平行且同向．知识模块：向量代数与空间解析几何5．直线( )A．过原点且与y轴垂直B．不过原点但与y轴垂直C．过原点且与y轴平行D．不过原点但与y轴平行正确答案：A解析：若直线方程为，令比例系数为t，则直线可化为本题x0=y0=z0=0说明直线过原点，又β=0，则y=0，即此直线在平面xOz内，即垂直于y轴，故选A．知识模块：向量代数与空间解析几何6．平面2x+3y+4z+4=0与平面2x－3y+4z－4=0的位置关系是( )A．相交且垂直B．相交但不重合，不垂直C．平行D．重合正确答案：B解析：2×2－3×3＋4×4=11，且两平面的法向量的对应分量不成比例，故两平面的位置关系是相交，但不垂直，不重合．知识模块：向量代数与空间解析几何7．已知三平面的方程分别为π1：x－5y+2z+1=0，π2：3x－2y+3z+1=0，π3：4x+2y+3z－9=0，则必有( )A．π1与π2平行B．π1与π2垂直C．π2与π3平行D．π1与π3垂直正确答案：D解析：三个平面的法向量分别为n1=｛1，一5，2｝，n2=｛3，一2，3｝，n3=｛4，2，3｝，n1．n2=19，n2．n3=17，n1．n3=0，故π1与π3垂直．知识模块：向量代数与空间解析几何8．平面π1：x－4y+z－2=0和平面π2：2x－2y－z－5=0的夹角为( )A．B．C．D．正确答案：B解析：平面π1的法向量，n1=｛1，一4，1｝，平面π2的法向量n2=｛2，一2，一1｝，cos〈n1，n2〉=，故〈n1，n2〉=，故选B．知识模块：向量代数与空间解析几何9．设球面方程为(x－1)2+(y+2)2+(z－3)2=4，则该球的球心坐标与半径分别为( )A．(一1，2，一3)，2B．(一1，2，一3)，4C．(1，一2，3)，2D．(1，一2，3)，4正确答案：C解析：(x－1)2+[y一(一2)]2＋(z－3)2=22，所以，该球的球心坐标与半径分别为(1，一2，3)，2．知识模块：向量代数与空间解析几何10．方程一=z在空间解析几何中表示( )A．双曲抛物面B．双叶双曲面C．单叶双曲面D．旋转抛物面正确答案：A解析：方程一=z满足双曲抛物面=z(p和q同号)的形式，故方程=z在空间解析几何中表示双曲抛物面．知识模块：向量代数与空间解析几何11．方程(z－a)2=x2+y2表示( )A．xOz面内曲线(z－a)2=x2绕y轴旋转而成B．xOz面内直线z－a=x绕z轴旋转而成C．yOz面内直线z－a=y绕y轴旋转而成D．yOz面内曲线(z－a)2=y2绕x轴旋转而成正确答案：B解析：方程(z－a)2=x2+y2形式表示旋转后的曲面方程形式是h(z，)=0，其是xOz面上的曲线z－a=x绕z轴旋转得到的曲面方程，故选B．知识模块：向量代数与空间解析几何12．下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是( ) A．=y2B．z2—1=C．D．x2＋y2一2x=0正确答案：D解析：A项表示的是正锥面，B项表示的是单叶双曲面，C项表示的是椭球面，D项可写为(x－1)2+y2=1，其图形为圆柱面，故选D．知识模块：向量代数与空间解析几何填空题13．向量a=3i+4j－k的模｜a｜=________．正确答案：解析：｜a｜=．知识模块：向量代数与空间解析几何14．在空间直角坐标系中，以点A(0，一4，1)，B(一1，一3，1)，C(2，一4，0)为顶点的△ABC的面积为________．正确答案：解析：知识模块：向量代数与空间解析几何15．(a×b)2＋(a．b)2=________．正确答案：a2．b2解析：(a×b)2=｜a｜2｜b｜2sin2θ，(a．b)2=｜a｜2｜b｜2cos2θ，θ=〈a，b〉，(a×b)2+(a．b)2=｜a｜2｜b｜2=a2．b2．知识模块：向量代数与空间解析几何16．过点P(4，1，一1)且与点P和原点的连线垂直的平面方程为_________．正确答案：4z+y—z－18=0解析：由点P与原点的连线和所求平面垂直，因此就是平面的法向量．所以n=={4，1，一1}，平面又过点P，所以由点法式得平面的方程为4(x－4)+(y－1)－(z+1)=0，即4x+y一2—18=0．知识模块：向量代数与空间解析几何17．通过Oz轴，且与已知平面π：2x+y一－7=0垂直的平面方程为________．正确答案：x一2y=0解析：过Oz轴的平面方程可设为Ax+By=0(A，B不全为零)，则法向量n=｛A，B，0｝，因为所求平面与已知平面垂直，又已知平面法向量为｛2，1，｝，故可知2A+B=0，即B=一2A，因此，所求平面方程为x一2y=0．知识模块：向量代数与空间解析几何18．直线=z与平面x+2y+2z=5的交点坐标是________．正确答案：(1，1，1)解析：设=z=t，则交点Q(3t一2，一2t+3，t)，又点Q∈平面π，即3t－2＋2(－2t+3)+2t=5，解得t=1，故交点为Q(1，1，1)．知识模块：向量代数与空间解析几何19．点P(3，7，5)关于平面π：2x一6y+3z+42=0对称的点P’的坐标为________．正确答案：解析：过点P(3，7，5)且垂直于平面π：2x一6y+3z+42=0的直线方程可写为，设点P’的坐标为(2t+3，一6t+7，3t+5)，故PP’的中点坐标为(t+3，一3t+7，+5)，且该点在平面内，即2(t+3)一6(一3t+7)+3(+5)+42=0，解得t=一，故P’=．知识模块：向量代数与空间解析几何解答题20．求垂直于向量a=｛2，2，1｝与b=｛4，5，3｝的单位向量．正确答案：由向量积的定义可知，向量c=a×b是既垂直于向量a，又垂直于向量b的向量，因此为所求单位向量．由于c==i一2j+2k，因此为所求单位向量．涉及知识点：向量代数与空间解析几何21．若｜a｜=3，｜b｜=4，且向量a、b垂直，求｜(a+b)×(a一b)｜．正确答案：因为(a+b)×(a－b)=一a×b＋b×a=2b×a，所以｜(a+b)×(a－b)｜=2｜b｜｜a｜sin〈a，b〉=24．涉及知识点：向量代数与空间解析几何22．设平面π通过点M(2，3，一5)，且与已知平面x—y+z=1垂直，又与直线平行，求平面π的方程．正确答案：用一般式求之．设平面π的方程为Ax+By+Cz+D=0，则从而，平面π的方程为x一2y一3z=11．涉及知识点：向量代数与空间解析几何23．求过点A(－1，0，4)且平行于平面π：3x一4y＋z－10=0，又与直线L0：相交的直线方程．正确答案：用两点式求之．过点A(－1，0，4)与已知平面π：3x一4y+z一10=0平行的平面π1的方程为3(x+1)一4y+(z一4)=0，将直线L0的方程化为参数式并代入π1中，求得t=16．于是直线L0与平面π1的交点B为B(15，19，32)，=｛16，19，28｝，所求直线方程为．涉及知识点：向量代数与空间解析几何24．求直线与平面x—y+z=0的夹角．正确答案：因为直线的方向向量为s=｛2，3，2｝，平面的法向量为n=｛1，一1，1｝，所以直线与平面的夹角φ的正弦为sinφ=．所以φ=arcsin．涉及知识点：向量代数与空间解析几何25．求过点(2，1，1)，平行于直线且垂直于平面x+2y 一3z+5=0的平面方程．正确答案：直线的方向向量为s=｛3，2，一1｝，平面的法向量为n1=｛1，2，一3｝，s×n1==一4i+8j+4k，于是所求平面方程为(x一2)一2(y 一1)－(z－1)=0，即x一2y－z+1=0．涉及知识点：向量代数与空间解析几何26．求点(一1，2，0)在平面x+2y－z+1=0的投影点坐标．正确答案：过点(一1，2，0)且与平面x+2y－z+1=0垂直的直线方程为，所以设该垂线与平面x+2y—z+1=0的交点为Q(t一1，2t+2，一t)，即点Q就是点(一1，2，0)在平面π：x+2y－z+1=0上的投影点，由点Q ∈π，将Q(t一1，2t+2，一t)代入到平面方程中可得t－1+2(2t+2)＋t＋1=0，解之得t=一．涉及知识点：向量代数与空间解析几何27．求直线L：绕z轴旋转所得旋转曲面的方程．正确答案：设(x，y，z)是旋转曲面上任何一点，它对应于L上的点为(x0，y0，z0)，由L的参数式可得由于(x，y，z)与(x0，y0，z0)到z轴的距离相等，所以有关系式x2＋y2=x02+y02=1＋t2，另外z=z0，所以z=1+2t，t=，得x2+y2一=1，即为一单叶双曲面方程．涉及知识点：向量代数与空间解析几何。
考研数学二(高等数学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．f(x)在[-1，1]上连续，则x=0是函数g(x)=的( )．A．可去间断点B．跳跃间断点C．连续点D．第二类间断点正确答案：A解析：显然x=0为g(x)的间断点，因为，所以x=0为g(x)的可去间断点，选(A) 知识模块：高等数学部分2．设f(x)二阶连续可导，f’(0)=0，且=-1，则( )．A．x=0为f(x)的极大点B．x=0为f(x)的极小点C．(0，f(0))为y=f(x)的拐点D．x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点．正确答案：B解析：由极限保号，存在δ>0，当00，则当00，从而0则x=0为f(x)的极小点，应选(B) 知识模块：高等数学部分3．设u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则=( )．A．f’2+xf”11+(x+z)f”12+xzf”22B．xf”12+xzf”22C．f’2+xf”12+xzf”22D．xzf”22正确答案：C解析：=f’1+zf’2，=xf”12+f’2+xzf”22，选(C) 知识模块：高等数学部分4．设D：x2+y2≤16，则｜x2+y2-4｜dxdy等于( )．A．40πB．80πC．20πD．60π正确答案：B解析：｜x2+y2-4｜dxdy=∫02πdθ∫04｜r2-4｜rdr=2π∫04｜r2-4｜rdr=2π[∫02(4-r2)rdr+∫24(r2-4)rdr]=80π，选(B) 知识模块：高等数学部分填空题5．设a>0，且，则a=_______，b=_______．正确答案：1，4解析：由得b=1，则，故a=4．知识模块：高等数学部分6．若，则a=_______，b=_______．正确答案：1，-4解析：知识模块：高等数学部分7．设f(x)二阶连续可导，且=1，f”(0)=e，则=_______正确答案：e／2解析：由=1得f(0)=0，f’(0)=1，于是知识模块：高等数学部分8．=_______正确答案：解析：知识模块：高等数学部分9．设f(x)连续，则=_______。
大学高等数学试卷2(含答案,结构规整可直接考试)
高等数学一、填空（18分）1 已知22)/,(y x x y y x f -=+，则=),(y x f 。
2 设{}1:),(22≤+=y x y x D ，则由估值不等式得 ⎰⎰≤++≤Dd y x σ)14(22 。
3 设∑是锥面222z y x =+被平面1=z 所截得立体表面的外侧，则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz 。
4 级数∑∞=--11)1(n n n 的和为 。
5 把函数x +11展开成x 的幂级数得到：=+x11。
6 已知四个函数x x e e x x cos ,sin ,,-是某个四阶齐次线性微分方程的特解， 则该微分方程为 。
二、选择题（18分）1 有且只有一个不连续点的函数是（ ）（A ）xy （B ）)ln(22y x e x + （C ）yx x + （D ）xy arctan 。
2 旋转抛物面42222-+=y x z 在点)0,1,1(-处的法线方程为（ ）（A ）14141-=+=-z y x （B ）14141-=-+=-z y x （C ）14111-=+=--z y x （D ）44111z y x =+=--。
3 改换积分⎰⎰---11122),(y y dx y x f dy的次序，则下列结果正确的是（ ）（A ）⎰⎰--21011),(x dy y x f dx（B ）⎰⎰21/1),(xxdy y x f dx （C ）⎰⎰xxdy y x f dx /131),( （D ）⎰⎰-2121),(x xdy y x f dx4 若L 是抛物线2x y =上10≤≤x 的弧段，则=⎰Lxds （ ）（A ）)155(121- （B ）155- （C ）121 （D ）)155(81-。
5 下列级数中收敛的是（ ）（A ）∑∞=+1884n n n n （B ）∑∞=-1884n n n n （C ）∑∞=+1824n n n n （D ）∑∞=⋅1842n nnn 。
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高等数学（A2）试卷（二）
答案及评分标准
一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）
1. B,
2. D,
3. B,
4. C,
5. D,
6. B,
7. D,
8. B.
二、计算题（本大题共4小题，没题7分，共28分）
1． 设),(y x z z =是由方程333a xyz z =-确定的隐函数, 求dz . 解: 方程两边对x 求导,得
03332='--'x x z xy yz z z (1分)
解得 xy
z yz
z x -=
'2
(3分) 方程两边对x 求导,得 xy
z xz
z y -=
'2
(5分) 所以, )(2
xdy ydx xy
z z
dz +-= (7分) 2． 求⎰⎰
-=
D
dxdy y x I 22, D 由1,==x x y 及x 轴围成.
解: x y x D ≤≤≤≤0,10:, 故有 ⎰
⎰
-=
10
22x dy y x dx I (2分)
令t x y cos =, 则有
⎰
⎰=10
20
22
sin π
tdt dx x I (6分)
12
π
=
(7分) 3． 求函数)1ln()(432x x x x x f ++++=的麦克劳林展开式及收敛区间.
解: x
x x f --=11ln )(5 (2分)
由∑
∞=-≤<--=
+11
)11()
1()1ln(i n
n t n
t t , 可得 (4分) ∑∞
=<≤--=-155
)11()1ln(i n
x n x x (5分) ∑∞
=<≤--=-1)11()1ln(i n
x n
x x (6分) 所以, ∑∑∞=∞
=<≤--=151)11()(i n
i n x n x n x x f (7分) 4． 求微分方程1
cos 1222-=-+'x x
y x x y 满足1)0(=y 的特解. 解: 方程两边同乘1)(2122-=⎰=--
x e x dx
x x
μ得 (2分)
x y x dx
d
cos ])1[(2=-, c x y x +=-sin )1(2 (4分) 通解为, 1
sin 2
-+=x c
x y (5分) 由1)0(=y 得1-=c , 所求特解为1
1
sin 2
--=x x y (7分) 三、计算题(本题8分)
用高斯公式计算⎰⎰
∑
++=
dxdy z dzdx y dydz x I 222, 其中∑为立体
c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:的表面外侧.
解: 由高斯公式可得
２
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
Ω
Ω
++=++=zdxdydz
ydxdydz xdxdydz dxdydz
z y x I 222)222( (2分)
又因,
⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
==b
c
a
bc a xdx dz dy xdxdydz 0
2
22 (4分) 同理有, ⎰⎰⎰Ω
=c ab ydxdydz 2
2,
⎰⎰⎰Ω
=2
2abc ydxdydz (6分) 所以, )(c b a abc I ++= (7分)
四、计算题(本题8分)
确定b 并求出曲线3
2
12
1,,:t z t y t x =
-==Γ的切线, 使之与平面4:=++∏z by x 垂直.
解: 设Γ上点)121,,(302
000t t t M -处的切线与平面∏垂直 Γ在0M 处的切向量为, )4
1,2,1(2
00t t -=τ (2分)
与平面∏的法向量, )1,,1(b n =
平行, 即
1
412112
0t
b t =
-=, 解之得 (4分) )1,4,1(),3
2,4,2(,4,200
=±-±=±=τM b t (6分)
得切线方程, )4(1
32
44
12-=-
=-+=-b z y x
)4(1
324412=+
=+=+b z y x (8分)
五、证明题(本题8分)
证明曲线积分⎰+-=C
dy x dx x xy I 22cos )sin 2(在xoy 面上与路径无关,
并计算积分值, 其中C 为椭圆122
22=+b
y a x 的右半平面)0(≥x 部分, 从
),0(b A -到),0(b B .
证明: 因为22sin 2)sin 2(x x x xy y
y P -=-∂∂
=∂∂
22sin 2)(cos x x x x
x Q -=∂∂
=∂∂ 所以曲线积分I 在xoy 面上与路径无关 (4分)
又因)cos (cos sin 2222x y d dy x dx x xy =+- (6分)
所以b x y x y d I b b C
2|cos )cos ()
,0(),0(22===-⎰
(8分)
六、计算题(本题8分)
若)(2
2
y x f z +=满足方程02222=∂∂+∂∂y
z
x z , 求z , 其中)(r f 有连续
的二阶导数.
解: 记22y x r +=
, 则有
3
2
22222)()(,)(r x r r f r x r f x z r x r f x z -'+''=∂∂'=∂∂ 3
2
22222)()(,)(r
y r r f r y r f x z r y r f y z -'+''=∂∂'=∂∂ 代入方程得 0)(1
)(='+''r f r
r f (4分) 解之得 r
c
r f =
')( (6分) 0ln )(c r c r f z +== (8分)
３
七、应用题(本题8分)
要建造一个上部为半球型下部为圆柱型的不锈钢储水罐, 要求容积为A , 问球体和圆柱半径r 与圆柱高h 为何时, 可以使用料最省?
解: 当所求储水罐的表面积最小时, 可以使用料最省, 用),(h r S 表示储水罐
的表面积, 则有
)0,0(23),(2>>+=h r rh r h r S ππ (2分) 由要求容积为A , 得h r ,的约束关系
A h r r =+2
3
3
2
ππ, 解之得)32(13
2
r A r h ππ-=
(4分)
代入),(h r S 得 r
A
r r h r S r 238))(,()(2+==πϕ
令 02316)(2=-='r A r r πϕ, 解得驻点31
0)83(π
A
r = (6分) 又因0)(0>''r ϕ, 故)(r ϕ在0r 处取得极小值. 由于只有唯一极小值点,
所以即为所求最小值点, 此时有
002r h = (8分) 故r ,h 分别取00,h r 时, 可以使用料最省.。