(最新)多边形和圆的初步认识知识归纳及经典例题
九年级上册数学《圆》正多边形和圆知识点整理
正多边形和圆一、本节学习指导本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质，在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。
二、知识要点1、正多边形（1）、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。
（2）、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
（3）、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
（4）、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
（5）、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
（6）、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
2、正多边形的对称性（1）、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。
一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
（2）、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
（3）、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
24.3正多边形和圆一、填空题1． 在一个圆中，如果︒60的弧长是π，那么这个圆的半径r=_________.2． 正n 边形的中心角的度数是_______.3． 边长为2的正方形的外接圆的面积等于________.4． 正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_________.二、选择题5．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）.（A ） 两角互余 （B ）两角互补 （C ）两角互余或互补 （D ）不能确定6．圆内接正三角形的边心距与半径的比是（ ）.（A ）2：1 （B ）1：2 （C ）4:3 （D ）2:37．正六边形的内切圆与外接圆面积之比是（ ）（A ）43 （B ）23 （C ）21 （D ）41 8．在四个命题：（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形；（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形；（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形；（4）各角相等的圆外切多边形是正多边形，其中正确的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．已知：如图48-1，ABCD 为正方形，边长为a ，以B 为圆心，以BA 为半径画弧，则阴影部分面积为（ ）.（A ）（1-π）a 2 （B ）1-π（C ）44π- （D ）44π-a 21. 3；2. n o360；3. ∏2；4. 2:3； DBABD。
最新正多边形和圆知识点整理+典型例题+课后练习(1)
个性化辅导教案学生姓名： 授课教师： 所授科目：学生年级: 上课时间： 2016 年 月 日 时 分至 时 分 共 小时教学标题 正多边形和圆教学重难点知识梳理：1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。
2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。
把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
正n 边形每一个内角的度数为：()2180n n-⨯︒正n 边形的一个中心角的度数为：360n︒正多边形的中心角与外角的大小相等。
3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是180°。
4、圆内接正n 边形的性质（n ≥3，且为自然数）：(1) 当n 为奇数时，圆内接正n 边形是轴对称图形，有n 条对称轴；但不是中心对称图形。
(2) 当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心，即外接圆的圆心。
5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系：(设圆内接正多边形的半径为r ，边心距为d) （1）圆内接正三角形：1d 2r=（2）圆内接正四边形：2d 2r = （3）圆内接正六边形：3d 2r = 6、常见圆内接正多边形半径r 与边长x 的关系：（1）圆内接正三角形：3x r = （2）圆内接正四边形：x 2r=（3）圆内接正六边形：x=r 7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关，要做半径为R 的正n 边形，只要把半径为R 的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。
（1）用量角器等分圆周。
（2）用尺规等分圆（适用于特殊的正n 边形）。
8、定理1：把圆分成n(n ≥3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
多边形和圆的初步认识知识归纳及经典例题
多边形和圆的初步认识知识讲解【要点梳理】要点一、多边形及正多边形1．定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：要点诠释：正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；2．相关概念：顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．要点诠释：(1)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n ． (2)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形．类型一、多边形及正多边形1．如图，（1）从正六边形的顶点A 出发,可以画出 条对角线，分别用字母表示出来为 ；（2）这些对角线把六边形分割成 个三角形.【思路点拨】画出对角线，并按一定规律数出对角线的条数及分割成的三角形的个数即可. E A B C F D【答案】（1）3，线段AC 、线段AD 、线段AE ；（2）4.【总结升华】(1) n 边形有n 个顶点,n 条边,n 个角.(2) 过n 边形的每一个顶点有(n －3)条对角线,n 边形总共(3)2n n 条对角线.(3) n 边形从一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余各顶点,可以分割（n －2）个三角形.举一反三：【变式】（2015春•期末）过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是（ ）A ．八边形B ．九边形C ．十边形D ．十一边形 【答案】B若一个多边形的角和等于720°，则从这个多边形的一个顶点引出对角线 条．一个多边形除一个角外其余角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（ ）A ．27B ． 35C ． 44D ． 542．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗?【答案与解析】解：这个问题，我们可以用图来说明．按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形．按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形．按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形．答：余下的图形是五边形或四边形或三角形．【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题．举一反三：【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（ C ）.A.6B.7C.8D.9要点二、圆及扇形1.圆的定义如图，在一个平面，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.②圆是一条封闭曲线.2.扇形（1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图：（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形.要点诠释：圆可以分割成若干个扇形.（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角.【典型例题】9．（2014•长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（B ）A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧10．（2015春•校级月考）有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（ B ）A．1 B． 2 C． 3 D． 4 19．（2015春•定县期末）下列说确的是（④）填序号．①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦3．如图是对称中心为点的正六边形．如果用一个含角的直角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点处），把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能的值是___________ __.【答案】根据圆接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即可知：360÷30=12；360÷60=6；360÷90=4；360÷120=3；360÷=2．故n的所有可能的值是2，3，4，6，12．4．（2015•丰泽区校级质检）如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于．【思路点拨】利用等腰三角形的性质可得∠N的度数，根据三角形的角和定理可得所求角的度数．【答案】80°．【解析】解：∵OM=ON，∴∠N=∠M=50°，∴∠MON=°﹣∠M﹣∠N=80°，故答案为80°．【总结升华】考查圆的认识；利用圆的半径相等这个知识点是解决本题的突破点．类型三、扇形5. 将一个半径为3的圆形草坪分割成三个扇形，分别种植三种花草，他们的圆心角的度数之比为2：3：4，求这三个圆心角的度数，并尝试求他们的面积，你还能求他们的面积之比吗，你发现了什么【思路点拨】考查扇形面积及圆心角的概念．【答案与解析】解：这三个圆心角的度数分别为：°°236080234⨯=++；°°3360120234⨯=++；°°4360160234⨯=++. 圆的面积29r ππ=，这三个圆心角的面积分别为：8092360ππ⨯=；12093360ππ⨯=；16094360ππ⨯=． 这三个圆心角的面积之比为：2:3:4πππ=2：3：4．发现：扇形的面积之比等于圆心角之比．【总结升华】一个扇形的面积与对应圆的面积比等于扇形圆心角的度数n 与360的比，即S 扇：S 圆＝n ：360， 几个半径相等的扇形的面积比等于这几个扇形的圆心角的比．6.一个扇形圆心角120°，以扇形的半径为边长画一个形，这个形的面积是16平方厘米．这个扇形的面积为多少？【思路点拨】由题意可知，这个扇形所在的圆的半径r 就是这个形的边长，即r2＝边长2＝120平方厘米．【答案与解析】。
初中数学知识点精讲精析 多边形和圆的初步认识
第五节 多边形和圆的初步认识要点精讲一、多边形的相关概念1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形．在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可．多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图．2．多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角．3．在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形．二、多边形的内角和外角和1．n 边形的内角和为（n －2）·180°．2．因为正多边形的每个内角都相等，且它的内角和为（n －2）·180°,所以，正n 边形的每个内角为：n n )2( ·180°．3．多边形的外角和都等于360°．三、圆及有关概念：圆——到定点的距离等于定长的点的集合圆的内部——可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合圆的外部——可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合等圆——圆心不相同，半径相等的圆；同心圆——圆心相同，半径不等的圆． 弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．按与半圆的大小关系可分为：优弧和劣弧等弧——在同圆或等圆中，能够重合的两条弧弦——连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦． 弦心距——圆心到直线的距离弓形——弧与所对的弦所组成得图形．圆的内部——到圆心的距离小于半径的点的集合叫做圆的内部圆的外部——到圆心的距离大于半径的点的集合叫做圆的外部二、与圆有关的角圆心角：顶点在圆心的角圆周角：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．（补充）弦切角、圆内角、圆外角及性质：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半．顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半．三、圆的轴对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；是中心对称图形，对称中心是圆心；其特有旋转不变性．垂径定理——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理的推论1．弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧2．垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧3．弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧4．圆或等圆中,两条平行弦所夹的弧相等依据垂径定理及其推论1．2．3可概括为5．2．3定理：对于一条直线和一个圆来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么也具备其他三个：①垂直弦②过圆心③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理——在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论（4．1．3定理）——在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．相关链接正多边形：正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形．典型分析1．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE 的大小是（）A．115°B．l05°C．100°D．95°【答案】B【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠BAD，而∠BAD=105°，∴∠DCE=105°．故选B．中考案例1.（2011宿州）如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A=120°，∠B=80°，求∠C和∠D的度数.【解析】要求∠C和∠D的度数，条件较分散，如何用好平行线是解题关键.因此可延长AB、CD、EF,将多边形转化为三角形.【答案】向两边延长AB、CD、EF，分别交于H、M、G(如图7-62).因为∠BAF=120°，∠ABC=80°，根据邻补角定义知∠GAF=60°，∠HBC=100°.又因为AF∥CD，根据两直线平行，同位角相等，可得∠H=∠GAF=60°.又因为∠BCD是△BHC的一个外角，所以∠BCD=∠H+∠HBC=160°.因为AB∥DE，根据两直线平行，同位角相等，可得∠EDM=∠H=60°.由邻补角的定义可得∠CDE°=180°-∠EDM=120°.2.(2011江苏)如图，各图形是由边长为1的正方形按照一定规律排列组成的.(1)观察图形，填写下表:(2)推测第n个图形中，正方形的个数为___________，周长_______________(都用含n的代数式表示).【解析】 (1)中填空的图形具体数一数得出∶图②中正方形个数为13，周长为28；图③中正方形个数为18,周长为38.(2)推测第n个图形正方形个数及周长，要根据(1)中三组数据的特点，结合图形，认真观察，全面分析，可得到完整正确的规律.【答案】 (1)13；28；18；38.(2)5n+3；10n+8针对训练1．在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n 的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定2．中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了（）A．一倍 B．二倍 C．三倍 D．四倍3．圆的半径为13cm，两弦：AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm4．车轮半径为0．3m的自行车沿着一条直路行驶，车轮绕着轴心转动的转速为100转/分，则自行车的行驶速度（）A．3．6π千米/小时 B．1．8π千米/小时 C．30千米/小时 D．15千米/小时5．高斯用直尺和圆规作出了正十七边形，如图, 正十七边形的中心角∠AOB的度数近似于（）A．11°B．17°C．21°D．25°6．下列实际生活中的物体，其表面形状可近似地看作多边形的是（）A．硬币 B．六角螺丝 C．菊花 D．日光灯7．下列平面图形中，不是多边形的是（）A．三角形 B．五边形 C．扇形 D．八边形8．多边形是由一些_______组成的封闭图形．9.今年暑期，某中学安排全校师生假期进行社会实践活动，将每班分成三个组，每组派1名教师作为指导老师，为了加强同学们之间的合作，学校要求各班每两人之间(包括指导老师)每周至少通一次电话，现在该校七年组一班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少共通几次电话?为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通电话次数S间的关系用下列模型表示，如图.参考答案1．【答案】C【解析】因为增加的周长等于半径增加1米后的周长减去原来的周长，根据圆周长公式，提取2π后，前后半径的差都是1米，所以m=n ．故选C ．2．【答案】C【解析】设圆的原来的半径是R ，增加1倍，半径即是2R ，则增加的面积是4πR2-πR2=3πR2，即增加了3倍．故选C ．3．【答案】【解析】第一种情况：两弦在圆心的一侧时，已知CD=10cm ，∴DE=5．∵OD=13，∴利用勾股定理可得：OE=12．同理可求OF=5， ∴EF=7．第二种情况：只是EF=OE+OF=17．其它和第一种一样．故选D ．4．【答案】A【解析】：∵车轮半径为0．3m ，∴周长是0．6πm ，∴车轮绕着轴心转动100转，则经过的路程是100×0．6π=60πm ，∴自行车行驶的速度是60πm/分=3．6π千米/小时．故选A ．5．【答案】C【解析】正多边形一定有外接圆，且每条边所对的中心角相等，因此360°÷17≈21°．故选C ．6．【答案】B【解析】根据多边形的定义判断．7．【答案】C【解析】根据多边形的定义判断．8．【答案】不在同一条直线上线段依次首尾相连【解析】根据多边形的定义可以得出．9. 【答案】1378次【解析】 依题意知，每周师生通话次数=多边形的边数+多边形的对角线的条数.本例提供的数字模型实质上是n 个人之间彼此握一次手，求总握手次数的问题，其次数是n+2)1(2)3(-=-n n n n . 将七年级一班师生53人看作53边形的53个顶点，由多边形对角线条数的公式可求出通话次数.即:2)353(53-=1325所以1325+53=1378(次)因此该班每周师生间至少共要通1378次电话.扩展知识计算公式1．圆的周长C=2πr=或C=πd2．圆的面积S=πr23．扇形弧长L=圆心角（弧度制） * r = n°πr/180°（n为圆心角）4．扇形面积S=nπ r2/360=Lr/2（L为扇形的弧长）5．圆的直径 d=2r6．圆锥面积 S=πrl。
正多边形和圆的经典例题
正多边形和圆的经典例题1. 前言嘿，大家好！今天咱们聊聊正多边形和圆的那些事儿。
别紧张，听我慢慢道来，这绝对不是枯燥的数学课，而是一次轻松有趣的数学旅行。
你可能会问，正多边形是什么？那就是像正方形、正六边形那样，边和角都一模一样的形状。
而圆呢，它就像咱们喝水时看到的杯子底部，圆滑得让人觉得舒服。
接下来，我们来探讨一下这些形状之间的关系，还有一些有趣的例子，让你在不知不觉中get到这些知识！2. 正多边形的特点2.1 边和角的对称正多边形最大的特点，就是它的边和角都超级对称，简直像个模特儿站在那儿，姿态优雅！比如，想象一下一个正六边形，就像是蜜蜂的蜂巢，六个边都是相等的，角度也是60度，完全没有一个角敢突出自己，真是团结的好榜样！这就是为什么很多建筑和设计师喜欢用它，显得大方又美观。
2.2 周长和面积的计算再说说正多边形的周长和面积，简单得不要不要的！你只需知道每条边的长度，就可以轻松算出周长，公式就是边长乘以边的数量。
至于面积嘛，正六边形的面积就有点小复杂，不过只需用边长乘以边数，然后再乘以一个常数，记得把它除以2就好。
是不是简单？看吧，数学其实也可以很轻松嘛！3. 圆的魅力3.1 圆的周长和面积说到圆，咱们就不得不提它的周长和面积了。
圆的周长可得靠π（pi）来帮忙，公式是2πr，r是半径。
想象一下，一个大披萨，切下来一片，边缘那一圈就是周长。
而面积呢，则是πr²，听起来高深，其实只要记住这两个公式，就能在朋友面前装得很厉害了！不仅可以计算圆形的游泳池，还能算算自家花园的面积，绝对是个实用的小技能。
3.2 圆和正多边形的关系有趣的是，正多边形和圆之间的关系就像是两位老朋友。
圆的形状是完美的，而正多边形可以通过不断增加边的数量，逐渐接近圆形。
比如，八边形就比六边形更接近圆，十六边形又比八边形更接近，直到你加到无数个边，哦，那简直就是一个圆啊！这种不断变化的过程就像人生，有时候需要不断调整，才能找到最适合自己的方式。
中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题(含答案)
中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题（含答案）知识点总结1.正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。
2.正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
练习题1、（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为厘米．【分析】根据对称性和周长公式进行解答即可．【解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），故答案为：54．2、（2022•营口）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝度．【分析】设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角为120°，在△ABC中，根据等腰三角形两底角相等得到∠BAC＝30°，从而∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，过点B作BM⊥AC于点M，根据含30°的直角三角形的性质求出BM，根据勾股定理求出AM，进而得到AC的长，根据tan∠ACF＝＝＝即可得出∠ACF＝30°．【解答】解：设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，∵AB＝BC，∠B＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠BAF＝120°，∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，如图，过点B作BM⊥AC于点M，则AM＝CM（等腰三角形三线合一），∵∠BMA＝90°，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝，∴AM＝＝＝，∴AC＝2AM＝，∵tan∠ACF＝＝＝，∴∠ACF＝30°，故答案为：30．3、（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为（用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为．【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形面积的计算方法进行计算即可；扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面直径．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD＝＝108°，∴S扇形＝＝；又∵弧BD的长为＝，即圆锥底面周长为，∴圆锥底面直径为，故答案为：；．4、（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．【分析】求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH，即可得出∠BOH的度数．【解答】解：如图，连接OA，正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．故答案为：12．5、（2022•梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大1OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA 于2＝1，则BE⌒，AE，AB所围成的阴影部分面积为．【分析】连接OE、OB．由题意可知，∴△AOE为等边三角形，推出S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE ﹣S△AOB，即可求出答案．【解答】解：连接OE、OB，由题意可知，直线MN垂直平分线段OA，∴EA＝EO，∵OA＝OE，∴△AOE为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，∴∠AOB＝90°，∴∠BOE＝30°，∵S弓形AOE＝S扇形AOE﹣S△AOE，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB＝S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB＝+﹣＝．故答案为：．6、（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是．【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l 将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH ⊥OF于点H，连接OA，由正六边形的性质得出AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，进而得出△OAF是等边三角形，得出OA＝OF＝AF＝6，由AM＝2，得出MF＝4，由MH⊥OF，得出∠FMH＝30°，进而求出FH＝2，MH＝2，再求出OH＝4，利用勾股定理求出OM＝2，即可求出MN的长度，即可得出答案．【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M 作MH⊥OF于点H，连接OA，∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝6，中心为O，∴AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，∵OA＝OF，∴△OAF是等边三角形，∴OA＝OF＝AF＝6，∵AM＝2，∴MF＝AF﹣AM＝6﹣2＝4，∵MH⊥OF，∴∠FMH＝90°﹣60°＝30°，∴FH＝MF＝×4＝2，MH＝＝＝2，∴OH＝OF﹣FH＝6﹣2＝4，∴OM＝＝＝2，∴NO＝OM＝2，∴MN＝NO+OM＝2+2＝4，故答案为：4．。
多边形和圆的初步认识知识归纳及经典例题
多边形和圆的初步认识知识讲解【要点梳理】要点一、多边形及正多边形1. 定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形.其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形. 如下图：D/■人/E C E五边形正六边形要点诠释：正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；2.相关概念：顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个内角.夕卜角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释:(1) 过n边形的一个顶点可以引(*3)条对角线，n边形对角线的条数为n(n 3).2(2) 过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n- 2)个三角形. 类型一、多边形及正多边形G l.如图，(1)从正六边形的顶点A出发,可以画出___________________ 条对角线，分别用字母表示出来为_____________________ ; ( 2)这些对角线把六边形分割成__________ 个三角形.E D【思路点拨】画出对角线，并按一定规律数出对角线的条数及分割成的三角形的个数即可•【答案】(1) 3,线段AC线段AD线段AE; (2) 4.【总结升华】(1) n边形有n个顶点,n条边,n个内角.(2) 过n边形的每一个顶点有(n -3)条对角线,n边形总共n(n 3)条2 对角线•(3) n边形从一个顶点出发，分别连接这个顶点和其余各顶点，可以分割(n —2)个三角形.举一反三：【变式】(2015春?郑州期末)过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是( )A .八边形B .九边形C.十边形 D .十一边形【答案】B若一个多边形的内角和等于720°则从这个多边形的一个顶点引出对角线条. 一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是( )A. 27B. 35C. 44D. 542.同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗？【答案与解析】解：这个问题，我们可以用图来说明.按图（1）所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形.按图（2）所示方式去截，经过点D（或点B）.不经过点B（或点D），还剩4个角，即得到一个四边形.按图（3）所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形.答：余下的图形是五边形或四边形或三角形.【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是（n+1）边形，也可能是n边形，也可能是（n-1）边形，利用它我们可以解决一些具体问题. 举一反三：【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（C ）.A.6B.7C.8D.9要点二、圆及扇形1. 圆的定义如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段0A叫做半径.要点诠释:①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.②圆是一条封闭曲线.2. 扇形（1）圆弧：圆上任意两点A, B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作A B，读作“圆弧AB'或“弧AB'.如下图:（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA 0B所组成的图形叫做扇形.要点诠释：圆可以分割成若干个扇形.（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.如上图，/ AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角.【典型例题】9. （2014?长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（B ）A .直径相等的两个圆是等圆B .长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D .一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧10. （2015春?张掖校级月考）有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆.其中错误说法的个数是（B ）A. 1B. 2C. 3D. 419. （2015春?定陶县期末）下列说法正确的是（④__________________ ）填序号.①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦03.如图是对称中心为点匚的正六边形.如果用一个含二角的直角三角板的角，借助点O （使角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积兀等分，那么左的所有可能的值是______________________________________________ .根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即可知：360- 30=12；【答360-60=6；360-120=3; 360-180=2.故n的所有可能的值是2, 3, 4, 6, 12.04.（2015?丰泽区校级质检）如图，MN为O O的弦，/ M=50 °则/ MON等于________ .【思路点拨】利用等腰三角形的性质可得/ N的度数，根据三角形的内角和定理可得所求角的度数.【答案】80°【解析】解：T OM=ON ,•••/ N= / M=50 °•••/ MON=180 °-Z M -Z N=80°故答案为80°【总结升华】考查圆的认识；利用圆的半径相等这个知识点是解决本题的突破点.360- 90=4；类型三、扇形C>5.将一个半径为3的圆形草坪分割成三个扇形，分别种植三种 花草，他们的圆心角的度数之比为2： 3： 4,求这三个圆心角的度数, 并尝试求他们的面积，你还能求他们的面积之比吗，你发现了什么 【思路点拨】考查扇形面积及圆心角的概念. 【答案与解析】 解：这三个圆心角的度数分别为:ooooo36080 ； 360120 ； 360160 .2342342 3 4圆的面积r 29 ,c 160 ’ 9 —— 4 .360这三个圆心角的面积之比为：2 :3 : 4 2： 发现：扇形的面积之比等于圆心角之比.【总结升华】一个扇形的面积与对应圆的面积比等于扇形圆心角的度 数n 与360的比, 即S 扇：S 圆=n ： 360,几个半径相等的扇形的面积比等于这几个扇形 的圆心角的比..一个扇形圆心角120°,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是16平方厘米.这个扇形的面积为多少？【思路点拨】由题意可知，这个扇形所在的圆的半径 r 就是这个正方 形的边长，即r 2 =边长2 = 120平方厘米. 【答案与解析】这三个圆心角的面积分别为：93602 ； 91203 ;3603: 4.解: 设扇形所在圆的半径为r，则r216，贝y：扇形的面积为：3.14 16 120 16.75 （平方厘米）. 360答这个扇形的面积为16.75平方厘米.：【总结升华】此题在求面积时用到了整体代换，此外注意扇形的面积的计算方法.。
5.5多边形与圆的初步认识
F
1、（1）如图，从八边形ABCDEFGH 的顶点A出发，可以画出多少条对角线？ G 分别用字母表示出来； （2）这些对角线将八边形分割成多少 个三角形？
E D C
H A B
2、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分
成5个三角形，问这个多边形是几边形？
观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？ 小组交流一下。
五边形
六边形
八边形
边 内角
3 3 3
n
4 4 4
5 5 5
6 6 6
8 8 8
n 个内角。
思考：n边形有
个顶点， n 条边，
观察下面一组图形找找其中的规律
四边形
五边形
六边形
七边形
多边形的边数 过一个顶点的对 角线的条数 对角线分割成三 角形的个数
4 1
2
5 2
3
6 3
4
7 4
5
8 5
6
（n-3） 结论：n边形可以从一个顶点出发，引出 条对角线， 这些对角线把这个n边形分成（n-2） 个三角形.
∠EAB, ∠ABC，∠BCD, ∠CDE, ∠DEA, 是多边形的内角（可
简称为多边形的角）； AC,AD都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫做多边 形的对角线。
D
你还能画出图中 其他的对角线吗？ E C
A
B
观察一下：（1）每一个顶点有几条对角线？ 2条 （2）一共有几条对角线？ 5条
多边形 三角形 四边形 顶点
O
练一练： 1、如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这 三个扇形的圆心角吗？
2、画一个半径为1cm的的圆，并在其中画一个 圆心角为120°的扇形AOB。试计算出这个扇形 的面积。
多边形与圆初步认识
多边形与圆的初步认识一基础知识1多边形的概念；2正多边形的概念；3.凸n 边形的内角和公式及外角和定理；4.圆的概念；圆弧及弧长公式；弦的概念；圆心角与圆周角的概念；扇形及面积公式二典例分析1.（2011天津）如图，六边形ABCDEF 的六个内角都相等，若AB =1，BC =CD =3，DE =2，求这个六边形的周长2.（1）在⊙中，120°的圆心角所对的弧长为cm 80π，那么⊙O 的半径为________cm（2）已知扇形的周长为28cm ，面积为49cm 2，则它的半径为____________cm 。
（3）如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，这个扇形的中心角为______3.已知：在四边形ABCD中，如果，求各角的度数． 4. 已知四边形的一个外角等于与它不相邻的三个内角之和的14，求这个外角的度数． 5. 已知：一个多边形的内角和是，求这个多边形的边数.6.已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，求此多边形的边数.7.（中招展示）（1）（12广东湛江）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）A ．4B ．5C ．6D 7（2）（12四川广安）如图7-1，四边形ABCD 中，若去掉一个60o 的角得到一个五边形，则∠1+∠2=_________度．（3）（12德阳）已知一个多边形的内角和是外角和的，则这个多边形的边数是 ．（4）（11山西）一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（ ）A ．正六边形B ． 正七边形C ． 正八边形D ． 正九边形（5）（11四川眉山）若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．9（6）（11广安）若凸边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是________（7）（11湖北宜昌）如图7-7是圆锥的侧面展开图，其半径OA=3，圆心角∠AOB=l20°，则⌒AB 的 长为( ).A.π B.2π C.3π D.4π8（竞赛链接）（1） 在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的 边数是 ．（2）在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．5（3）凸n 边形中有且仅有两个内角为钝角，则n 的最大值是（ ）A ．4 B ．5 C ． 6 D ．7（4）一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是( )A ．9条B ．8条C ．7条D ． 6条（5）已知148∠=，2∠的两边分别与1∠垂直，求2∠的大小 （6）①、②……是边长均大于2的三角形，四边形、……、凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……（1）图①中3条弧的弧长的和为______ 图②中4条弧的弧长的____（2）求图(n)中n 条弧的弧长的和（用n 表示）n （例1图） （7-1） （7-7）随堂练习1、用各种不同的方法把图形分割成三角形，至少可以分割成5个三角形的多边形是（）A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形2、如图1，图中共有正方形（） A.12个 B.13个 C.15个 D.18个图1 图2 图3 图4 图53、如图2，图中三角形的个数为（）A.2 B.18 C.19 D. 204．如图3，已知一个圆，任意画出它的三条半径，能得到（）个扇形. A.4 B.5 C.6 D.85.我们熟悉的平面图形中的多边形有_____________等.它们是由一些_______同一条直线上的线段依次_______相连组成的_______图形.6．圆上两点之间的部分叫做_______，由一条_______和经过它的端点的两条_______所组成的图形叫做扇形. 7．如图4，用简单的平面图形画出三位携手同行的的小人物，请你仔细观察，图中共有三角形____个，圆_____个.8.如图5，你能数出_______个三角形，_______个四边形9. 平面内三条直线把平面分割成最少 ____ 块最多 ____ 块。
正多边形与圆 知识点+例题+练习(非常好 分类全面)
§ 2.6 正多边形与圆一、概念知识点1 正多边形及其有关概念★正多边形：________相等、________也相等的多边形叫做正多边形.注：边数3n 的多边形必须同时满足“各边相等”和“各角相等”这两个条件，才能判定它是正多边形.例1 下列说法正确的是（）A.正三角形不是正多边形B.平行四边形是正多边形C.正方形是正多边形D.各角相等的多边形是正多边形知识点2 正多边形的对称性（重点）1.正多边形都是________图形.一个正n边形共有_______条对称轴，每一条对称轴都经过正n边形的_________.2.一个正多边形，如果有偶数条边，那么它是________________图形，也是_________________图形；如果有奇数条边，那么是_______________图形.注：（1）如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心；（2）正n边形的内角和等于________________，每一个内角都等于___________________，每一个外角都等于_________________.知识点3 正多边形的判定例2 如图，在正∆ABC中，E,F,G,H,L,K分别是各边的三等分点，试说明六边形EFGHLK是正六边形.二、经典题型题型1 根据正多边形的性质求角例1 如图，正方形ABCD是O的内接正方形，点P是弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC等于___________.题型2 利用正多边形的性质求图形的面积例 2 如图，正六边形内接于O，O的半径为10，则图中阴影面积_________.典例精讲：1． 下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面( ) 、(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ．(2)(4)C ．(1)(3)D ．(1)(4)2. 若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．1:2:3B ．3:2:1C ．1:2:3D ． 3:2:13． 已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O的半径为______________________．（第4题） （第5题）4．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AD 上，则∠BEC= ．5．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是 度．OB CDA EF E D C A O6．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ．7.如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则AB B A 11的值为（ ）A ．21 B ．22 C ．41D ．42。
(完整版)北师大数学七年级上册第四章多边形和圆的初步认识
多边形和圆的初步认识知识讲解【学习目标】1．经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩；2. 在具体情景中认识多边形、正多边形、圆、扇形；3. 能根据扇形和圆的关系求扇形的圆心角的度数；4．在丰富的活动中发展有条理的思考和表达能力.【要点梳理】要点一、多边形及正多边形1．定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：要点诠释：正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；2．相关概念：顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n 边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．要点诠释：(1)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为(3)2n n．(2)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．要点二、圆及扇形1. 圆的定义如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA 叫做半径.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.②圆是一条封闭曲线.2.扇形（1）圆弧：圆上任意两点A ，B 间的部分叫做圆弧，简称弧，记作AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图：（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB 和经过这条弧的端点的两条半径OA ，OB 所组成的图形叫做扇形.要点诠释：圆可以分割成若干个扇形.（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB 是圆的一个圆心角，也是扇形OAB 的圆心角.【典型例题】类型一、多边形及正多边形1．如图，（1）从正六边形的顶点A 出发,可以画出 条对角线，分别用字母表示出来为 ；（2）这些对角线把六边形分割成 个三角形.【思路点拨】画出对角线，并按一定规律数出对角线的条数及分割成的三角形的个数即可.【答案】（1）3，线段AC 、线段AD 、线段AE ；（2）4. E A B CF D【总结升华】(1)n边形有n个顶点,n条边,n个内角.(2)过n边形的每一个顶点有(n－3)条对角线,n边形总共(3)2n n条对角线.(3)n边形从一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余各顶点,可以分割（n－2）个三角形. 举一反三：【变式】（2016春•荣成市期中）从一个n边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其他顶点可以把这个n边形分割成三角形个数是（）A．3个B．（n﹣1）个C．5个D．（n﹣2）个【答案】D2．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗?【答案与解析】解：这个问题，我们可以用图来说明．按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形．按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形．按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形．答：余下的图形是五边形或四边形或三角形．【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题．举一反三：【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A.6B.7C.8D.9【答案】C.3．如图是对称中心为点的正六边形．如果用一个含角的直角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点处），把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能的值是___________ __ .【答案】根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即可知：360÷30=12；360÷60=6；360÷90=4；360÷120=3；360÷180=2．故n的所有可能的值是2，3，4，6，12．类型二、圆4．（2015•丰泽区校级质检）如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于．【思路点拨】利用等腰三角形的性质可得∠N的度数，根据三角形的内角和定理可得所求角的度数．【答案】80°．【解析】解：∵OM=ON，∴∠N=∠M=50°，∴∠MON=180°﹣∠M﹣∠N=80°，故答案为80°．【总结升华】考查圆的认识；利用圆的半径相等这个知识点是解决本题的突破点．【变式】如图,一根5m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.【答案】类型三、扇形5. 将一个半径为3的圆形草坪分割成三个扇形，分别种植三种花草，他们的圆心角的度数之比为2：3：4，求这三个圆心角的度数，并尝试求他们的面积，你还能求他们的面积之比吗，你发现了什么【思路点拨】考查扇形面积及圆心角的概念．【答案与解析】解：这三个圆心角的度数分别为： °°236080234⨯=++；°°3360120234⨯=++；°°4360160234⨯=++. 圆的面积29r ππ=，这三个圆心角的面积分别为：8092360ππ⨯=；12093360ππ⨯=；16094360ππ⨯=．这三个圆心角的面积之比为：2:3:4πππ=2：3：4． 发现：扇形的面积之比等于圆心角之比．【总结升华】一个扇形的面积与对应圆的面积比等于扇形圆心角的度数n 与360的比， 即S 扇：S 圆＝n ：360， 几个半径相等的扇形的面积比等于这几个扇形的圆心角的比．6.一个扇形圆心角120°，以扇形的半径为边长画一个正方形，这个正方形的面积是16平方厘米．这个扇形的面积为多少？【思路点拨】由题意可知，这个扇形所在的圆的半径r 就是这个正方形的边长，即r 2＝边长2＝120平方厘米．【答案与解析】解：设扇形所在圆的半径为r，则216r=，则：扇形的面积为：1203.141616.75360⨯⨯≈（平方厘米）.答：这个扇形的面积为16.75平方厘米．【总结升华】此题在求面积时用到了整体代换，此外注意扇形的面积的计算方法．【巩固练习】一、选择题1.下列几何图形中，平面图形的个数为（）个.①三角形，②圆，③圆柱，④圆锥，⑤正方体，⑥扇形.A.4B.5C.3D.62．从n边形的一个顶点出发共有对角线() .A．(n-2)条B．(n-3)条C．(n-1)条D．(n-4)条3．如图，图中四边形有() .A．3个B．5个C．2个D．6个4以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（）.A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个5（2016•重庆校级一模）从一个多边形的任何一个顶点出发都只有6条对角线，则它的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．96 （2015•重庆校级模拟）如图，正四边形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形有9条对角线，则正十边形有（）条对角线．A．27 B．35 C．40 D．44二、填空题7．（2015春•龙口市期中）从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为边形．8. 已知圆的半径，可以画____个圆；已知圆心，可以画____个圆；已知圆心和半径可以画_____个圆.9.一个圆的圆心决定这个圆的_________，圆的半径决定这个圆的_________．10.（2016•哈尔滨）一个扇形的圆心角为120°，面积为12πcm2，则此扇形的半径为cm．11.一个七边形的边数减少1，则它的对角线条数减少________，n边形的边数增加2，则对角线增加______．12.平面内到定点A的距离等于3cm的点组成的图形是 .三、解答题13.已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．14．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，求此多边形的边数．15. （2014秋•腾冲县校级期末）如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，求图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和．（友情提示：三个圆心角之间有何关系）【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C；【解析】①⑥②为平面图形.2. 【答案】B；3. 【答案】A；【解析】四边形有：四边形ABCD,四边形ABOD，四边形ABCO.4. 【答案】A；【解析】以定点为圆心，定长为半径作圆，只能作一个，故选A.5. 【答案】D；【解析】设多边形有n条边，则n﹣3=6，解得n=9．6. 【答案】B二、填空题7. 【答案】九【解析】由题意可知，n﹣2=7，解得n=9．则这个多边形的边数为9，多边形为九边形．8. 【答案】无数；无数；1；【解析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，二者缺一不可．9. 【答案】位置，大小；10．【答案】6；【解析】设该扇形的半径为R ，则212012360ππR ⨯= ，解得R =6． 11.【答案】5，2n －1；【解析】七边形的对角线条数为：7(73)142⨯-=（条），七边形的边数减少1，即六边形的对角线条数为6(63)92⨯-=（条），相减得5条，所以一个七边形的边数减少1，它的对角线条数减少5条；同理n 边形的边数增加2，则对角线增加(2)(23)(3)2122n n n n n ++---=-(条) ． 12. 【答案】以A 为圆心3cm 为半径的圆.三、解答题13.【解析】解：由题意n -3＝4，n ＝7．设各边长为x -3，x -2，x -1，x ，x+1，x+2，x+3，则有： x -3+ x -2+ x -1+x+x+1+x+2+x+3＝56， 7x ＝56，x ＝8． ∴ 各边长为5，6，7，8，9，10，11．14.【解析】解：设多边形的边数为n ，根据题意，有：n ＝2(n -3)，解得n ＝6，故这个多边形的边数为6．15.【解析】解：∵∠A+∠B+∠C=180°∴答：图中的三个扇形面积之和为．。
正多边形与圆的有关的证明和计算知识讲解及典型例题解析
正多边形与圆的有关的证明和计算知识讲解及典型例题解析【考纲要求】1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是360n；所以正n边形的中心角等于它的外角.（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、正多边形有关计算1．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【思路点拨】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．【答案与解析】（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=3=135°，∵OA=5，∴的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=，∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．故答案为：．【总结升华】本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．举一反三：【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是______米．【答案】31+.解析：如图，以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C＝3，所以AB＝AO1+O1C+BC＝1313122++=+．【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.32：：【变式3】一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：【答案】A.【解析】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2，由勾股定理得：OD==2，∴扇形的面积是=π；如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=2，∴MC=MB=，∴⊙M的面积是π×（）2=2π，∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（2π）=．故选：A．类型二、正多边形与圆有关面积的计算2．(1)如图(a)，扇形OAB 的圆心角为90°，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q分别表示阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是( )．A ．P ＝QB ．P ＞QC ．P ＜QD ．无法确定(2)如图(b)，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝3，以BC 为直径的半圆与斜边AB 交于点D ，则图中阴影部分的面积是________．(3)如图(c)，△AOB 中，OA ＝3cm ，OB ＝1cm ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°到△A ′OB ′，求AB 扫过的区域(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)【思路点拨】 直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时，可采用和差法、转化法、方程法等，有时也需要运用变换的观点来解决问题．【答案与解析】解：(1)阴影部分的面积直接求出十分困难，可利用几个图形面积的和差进行计算：2OAB OCA P S S Q =-+扇形半圆2211()42R R Q Q ππ=-+=； (2)(转化法“凑整”)利用BmD CnD S S =弓形弓形，则阴影部分的面积可转化为△ACD 的面积，等于△ABC 面积的一半，答案为94； (3)(旋转法)将图形ABM 绕点O 逆时针旋转到A ′B ′M ′位置，则A OA MOM S S S ''=-阴影扇形扇形2211244OA OM πππ=-=． 【总结升华】求阴影面积的几种常用方 (1)公式法；(2)割补法；（3）旋转法；(4)拼凑法；(5)等积变形法；(6)构造方程法．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ＝8，BC ＝12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是( )A ．64π127-B ．16π32-C ．16π247-D ．16π127-【答案】解：如图，由AB ，AC 为直径可得AD ⊥BC ，则BD ＝DC ＝6．在Rt △ABD 中，228627AD =-=，∴ 211246271612722S ππ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯=-⎪⎝⎭阴影． 答案选D.3．如图所示，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA ，连AC ，求阴影部分的面积．【思路点拨】图中的阴影是不规则图形，不易直接求出，如果连接OB 、OC ，由BC ∥OA ，根据同底等高的三角形面积相等，于是所求阴影可化为扇形OBC 去求解．【答案与解析】解：如图所示，连OB 、OC∵ BC ∥OA ．∴ △OBC 和△ABC 同底等高，∴ S △ABC ＝S △OBC ，∴∵ AB 为⊙O 的切线，∴ OB ⊥AB ．∵ OA ＝4，OB ＝2，∴ ∠AOB ＝60°．∵ BC ∥OA ，∴ ∠AOB ＝∠OBC ＝60°．∵ OB ＝OC ，∴ △OBC 为正三角形．∴ ∠COB ＝60°，∴ 260223603OBC S S ππ⨯===阴影扇形．【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中①可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；②可根据同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化．举一反三：【变式】如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【答案】 解：连接OC 、OD 、CD ．∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°． 又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===g g 阴影扇形OCD ．4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E．（1）求弧BE所对的圆心角的度数．（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【思路点拨】（1）连接OE，由条件可求得∠EAB=45°，利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠E AB=90°；（2）利用条件可求得扇形AOE的面积，进一步求得弓形的面积，利用Rt△ADC的面积减去弓的面积可求得阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAB=45°，∴∠EOB=2∠EAB=90°；（2）由（1）∠EOB=90°，且AB=4，则OA=2，∴S扇形AOE==π，S△AOE=OA2=2，∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2，又∵S△ACD=AD•CD=×4×4=8，∴S阴影=8﹣（π﹣2）=10﹣π．【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键，注意弓形面积的计算方法．»AB）对应5．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（的中心角（∠AOB）为120°，AO的长为4cm，求图中阴影部分的面积.【思路点拨】看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形，经过怎样的拼凑、割补、叠合而成，这是解决这类题的关键．【答案与解析】阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB 和一个Rt △BOC 组成，其中扇形AOB 的中心角是120°，AO 的长为4，Rt △BOC 中，OB ＝OA ＝4，∠BOC ＝60°，∴ 可求得BC 长和OC 长，从而可求得面积，阴影部分面积＝扇形AOB 面积+△BOC 面积＝21623cm 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【总结升华】本题是求简单组合图形的面积问题，解答时，常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求面积的、规则的图形”组合而成.举一反三：【变式】如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，2AD =．以AD 的长为半径的⊙A 交BC 于点E ，则图中阴影部分的面积为________．【答案】1224π--. 解析：连接AE ，易证AB ＝BE ＝1，∠BAE ＝45°，所以∠EAD ＝45°， 所以21112(2)22824ABE ABCD DAE S S S S ππ=--=--=--△阴影矩形扇形．6．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，连接AC ，过点O 作AC 的垂线交AC 于点D ，交⊙O 于点E ．已知AB ﹦8，∠P=30°．（1）求线段PC 的长；（2）求阴影部分的面积．【思路点拨】（1）连接OC，由PC为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与PC垂直，可得三角形OCP为直角三角形，同时由直径AB的长求出半径OC的长，根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比值，根据∠P的度数，利用特殊角的三角函数值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC 的长；（2）由直角三角形中∠P的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数，进而得出∠BOC的度数，由OD与BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线，可求出∠COD度数为60°，再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边OC的长求出OD的长，先由∠COD的度数及半径OC的长，利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积，再由OD与CD的长，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD 的面积，用扇形COE的面积减去三角形COD的面积，即可求出阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∵AB=8，∴OC=12AB=4，又在直角三角形OCP中，∠P=30°，∴tanP=tan30°=OCPC，即PC=433=43；（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，∴∠COP=60°，∴∠A OC=120°，又AC⊥OE，OA=OC，∴OD为∠AOC的平分线，∴∠COE=12∠AOC=60°，又半径OC=4，∴S扇形OCE=26048=3603ππ⨯，在Rt△OCD中，∠COD=60°，∴∠OCD=30°，∴OD=12OC=2，根据勾股定理得：CD=22OC-OD=23，【总结升华】此题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及扇形的面积公式，遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．。
4.3多边形和圆的初步认识+同步练习2024-2025学年北师大版数学七年级上册
4.3多边形和圆的初步认识一、单选题1．如图，用对角线长为4的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为（）A．2B．4C．6D．82．过一个多边形的一个顶点可引2021条对角线，则这个多边形的边数为（）A．2018B．2019C．2023D．20243．某中学新科技馆铺设地面，已有正方形地砖，现打算购买另一种正多边形地砖（边长与正方形的相等），与正方形地砖作平面镶嵌，则该学校可以购买的地砖形状是（）A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十二边形4．一个n边形从一个顶点可引3条对角线．则n为（）A．4B．5C．6D．75．只使用下列正多边形中的一种铺满地面，这种正多边形可以是（）A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形6．只用同一种正多边形铺满地面，不可以选择（）A．正六边形B．正五边形C．正四边形D．正三角形7．下列语句中，正确的是（）A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等B．三点确定一个圆C．三角形的外心到三角形的三边距离相等D．长度相等的两条弧是等弧8．周长是18.84cm的圆，面积是（）平方厘米．A．50.24B．12.42C．25.12D．28.269．在多边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，可以将多边形分割成8个三角形，则该多边形的边数为（）A．8B．9C．10D．1110．用边长相等的两种正多边形地砖铺设地面，要求图形间既无缝隙又不重叠（平面镶嵌），下面选项中的两种正多边形不可以用来平面镶嵌的是（ ）A ．正三角形、正四边形B ．正三角形、正六边形C ．正四边形、正六边形D ．正四边形、正八边形二、填空题11．到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是 ．12．小明用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的周长为 ．13．如图，将四边形ABCD 沿BD 、AC 剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA ＝4，OB ＝3，AB ＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为 ．14．如图所示的圆可记作O ，图中半径有 条，分别是 ．15．若某个多边形从一个顶点出发的对角线最多可画9条，则这个多边形的边数为 ． 16．七巧板是中国传统智力玩具，现用以下方法制作一副七巧板：如图所示，取一张边长为20厘米的正方形纸板，联结对角线BD ；分别取BC CD 、中点E 、F ，联结EF ；过点A 作EF 垂线，分别交BD EF 、于G 、H 两点；分别取BG DG 、中点M 、N ，联结MH NF 、，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．其中四边形GHFN 的面积是 平方厘米．三、解答题17．三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n 边形呢？18．如图，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，求这条传送带的长．19．（1）如图，线段AE上有三个点B，C，D，图中共有条线段；（2）如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？（3）n边形共有条对角线．20．用15.7米长的铁条做直径是50厘米的圆形铁环，可以做多少个？21．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图：(1)过点A作⊙O的直径AD；(2)过点B作⊙O的半径；(3)过点C作⊙O的弦．22．例题：图（a）、（b）、（c）、（d）都称作平面图．(1)数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少区域，将结果填人表中（其中（a）已填好）．(2)观察表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？(3)现已知某一平面图有999个顶点和999个区域，试根据（2）中推断出的关系，确定这个图有多少条边？。
正多边形和圆知识点整理+典型例题+课后练习
正多边形和圆知识点整理+典型例题+课后练习个性化辅导教案正多边形和圆知识梳理:1、正多边形：各边相等，各⾓也相等的多边形是正多边形。
2、正多边形的外接圆：⼀个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。
把⼀个正多边形的外接圆的圆⼼叫做这个正多边形的中⼼，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每⼀边所对的圆⼼⾓叫做正多边形的中⼼⾓，中⼼到正多边形的⼀边的距离叫做正多边形的边⼼距。
正n 边形的⼀个中⼼⾓的度数为：型正多边形的中⼼⾓与外⾓的⼤⼩相等。
3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对⾓和相等，都是4、圆内接正n 边形的性质(nA3，且为⾃然数)：(1)当n 为奇数时，圆内接正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴；但不是中⼼对称图形。
接圆的圆⼼。
的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。
(1)⽤量⾓器等分圆周。
8、定理1:把圆分成n(n 》3)等份:⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正学⽣姓名: 授课教师: 所授科⽬:学⽣年级：上课时间：2016年⽉分⾄时分共⼩时教学重难点教学标题正n 边形每⼀个内⾓的度数为:n 2 180180 °。
⑵当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形⼜是中⼼对称图形,对称中⼼是正多边形的中⼼, 即外5、常见圆内接正多边形半径与边⼼距的关系: (1)圆内接正三⾓形：d1—r(2)圆内接正四边形:2(设圆内接正多边形的半径为d丘d ——rr ,边⼼距为d)(3)圆内接正六边形:43—r 26、常见圆内接正多边形半径 r 与边长x 的关系:(1)圆内接正三⾓形：x(2)圆内接正四边形:(3)圆内接正六边形: x=r7、正多边形的画法：画正多边形⼀般与等分圆正多边形周有关, 要做半径为R 的正n 边形，只要把半径为 R(2)⽤尺规等分圆(适⽤于特殊的正n 边形)。
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形;n 边形。
北京四中七年级上册数学多边形和圆的初步认识(基础)知识讲解
多边形和圆的初步认识（基础）知识讲解【学习目标】1．经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩；2. 在具体情景中认识多边形、正多边形、圆、扇形；3. 能根据扇形和圆的关系求扇形的圆心角的度数；4．在丰富的活动中发展有条理的思考和表达能力.【要点梳理】要点一、多边形及正多边形1．定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：要点诠释：正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；2．相关概念：顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n 边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．要点诠释：(1)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为(3)2n n．(2)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．3. 多边形的分类:（1）凸多边形：画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如下图．要点诠释：①如果没有特别说明，平时所说的多边形都是凸多边形．②凸多边形按边数的不同又可分为三角形、四边形、五边形、六边形等．（2）凹多边形：画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如下图：要点二、圆及扇形1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径.②圆指的是圆周，而不是圆面.③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.2.扇形（1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作»AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图：（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的凸多边形凹多边形图形叫做扇形.要点诠释：（1）圆可以分割成若干个扇形.（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB 是⊙O 的一个圆心角，也是扇形OAB 的圆心角.（3）与扇形有关的计算半径为R 的圆中：n °的圆心角所对的扇形面积公式：； n °的圆心角所对的扇形弧长公式：180n Rl π=. 要点诠释：在扇形中，扇形面积S 、扇形半径R 、扇形的圆心角n °，扇形的弧长l 这四个量知道其中的两个量就可以求出其他量.【典型例题】类型一、多边形及正多边形1．如图，（1）从正六边形的顶点A 出发,可以画出 条对角线，分别用字母表示出来为 ；（2）这些对角线把六边形分割成 个三角形.【思路点拨】画出对角线，并按一定规律数出对角线的条数及分割成的三角形的个数即可.【答案】（1）3，线段AC 、线段AD 、线段AE ；（2）4.【解析】如下图，很容易得出答案.【总结升华】(1) n 边形有n 个顶点,n 条边,n 个内角.(2) 过n 边形的每一个顶点有(n －3)条对角线,n 边形总共(3)2n n -条对角线. (3) n 边形从一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余各顶点,可以分割（n －2）个三角形. 举一反三：【变式】过某个多边形的一个顶点的所有对角线,将这个多边形分成5个三角形,这个多边形E A B CF D是 边形，它的对角线共 条.【答案】七，14.类型二、圆2．在下列说法中：①圆心决定圆的位置；②半径决定圆的大小；③半径相等的圆是同心圆；④两个半径相等且圆心不同的圆是等圆，你认为正确的结论有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C.【解析】对照圆的定义及同心圆、等圆的概念进行判断.显然①②④正确，③不正确.【总结升华】考查确定圆的条件，同心圆、等圆的定义.举一反三：【变式】下列命题中，正确的个数是（ ）⑴各边都相等的多边形是正多边形； ⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆； ⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆 ； ⑷顶点在圆周上的角叫圆心角.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B 提示：⑵、⑶正确.类型三、扇形3. 将一个半径为3的圆形草坪分割成三个扇形，分别种植三种花草，他们的圆心角的度数之比为2：3：4，求这三个圆心角的度数，并尝试求他们的面积，你还能求他们的面积之比吗，你发现了什么【思路点拨】考查扇形面积及圆心角的概念．【答案与解析】解：这三个圆心角的度数分别为：°°236080234⨯=++；°°3360120234⨯=++；°°4360160234⨯=++. 圆的面积29r ππ=，这三个圆心角的面积分别为：8092360ππ⨯=；12093360ππ⨯=；16094360ππ⨯=．这三个圆心角的面积之比为：2:3:4πππ=2：3：4． 发现：扇形的面积之比等于圆心角之比．【总结升华】一个扇形的面积与对应圆的面积比等于扇形圆心角的度数n 与360的比， 即S 扇：S 圆＝n ：360， 几个半径相等的扇形的面积比等于这几个扇形的圆心角的比． 举一反三：【变式】若扇形的半径为6，面积为10π，则扇形的圆心角的度数为 ．【答案】100°4.一个扇形圆心角120°，以扇形的半径为边长画一个正方形，这个正方形的面积是16平方厘米．这个扇形的面积及周长分别为多少？【思路点拨】由题意可知，这个扇形所在的圆的半径r 就是这个正方形的边长，即r 2＝边长2＝120平方厘米．【答案与解析】解：设扇形所在圆的半径为r，则216r=，则：扇形的面积为：1203.141616.75360⨯⨯≈（平方厘米）4r=（厘米）扇形的弧长为：1203.1488.37360⨯⨯≈（厘米）扇形的周长为：弧长＋2r＝16.37 （厘米）答：这个扇形的面积为16.75平方厘米，周长为16.37厘米．【总结升华】此题在求面积时用到了整体代换，此外注意扇形的周长等于扇形的弧长与直径的和．举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm．。
第06讲多边形和圆的初步认识(6类热点题型讲练)(原卷版)
第06讲多边形和圆的初步认识(6类热点题型讲练)1.掌握多边形和正多边形的定义；2.掌握多边形的角平分线的规律；3.掌握圆的相关计算问题.知识点01 多边形三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形.【说明】（1）内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角.（2）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.（3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.（4）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，所以正多边形同时具有各边相等，各角相等的性质.知识点02 多边形的对角线知识点03 圆（1）圆上任意两点 A ，B 间的部分叫做圆弧，简称弧，记作 AB̂，读作“圆弧 AB ”或“弧 AB ”；（2）圆的周长公式：r C π2=；圆的面积公式：2r S π=.题型01 多边形的概念与分类【典例1】（2023秋·全国·八年级专题练习）下列图形中，不是多边形的是（ ） A ．B ．C ．D ．【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【变式2】（2023春·七年级单元测试）下列判断：（1）各边长相等的多边形是正多边形；（2）各角都相等的多边形是正多边形；（3）等边三角形是正多边形：（4）长方形是正多边形．其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个题型02 多边形对角线的条数问题【典例2】（2023秋·八年级课时练习）已知过多边形的某一个顶点可以作2023条对角线（不是一共有2023条对角线），则这个多边形的边数是（ ） A ．2023B ．2024C ．2025D ．2026【变式1】（2023春·山东淄博·六年级统考期中）从五边形的一个顶点出发，可以画出m 条对角线，它们将五边形分成n 个三角形，则n m 的值为( ) A ．9B ．8C ．6D ．5【变式2】（2022·广东深圳·坪山中学校考模拟预测）多边形的对角线共有20条，则下列方程可以求出多边形边数的是（ ） A ．()220n n -= B ．()240n n -=C ．()320n n -=D ．()340n n -=题型03 对角线分成三角形个数问题题型04 用七巧板拼图形【典例4】（2023秋·湖南岳阳·七年级统考开学考试）用边长为1dm 的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是（ ）2dm ．1315【变式2】（2023春·江西鹰潭·九年级校考阶段练习）七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图所示的两幅图是题型05平面镶嵌【典例5】（2023春·广东佛山·八年级校考期末）在平面图形正三角形、正六边形、正四边形、正五边形中，能单独镶嵌平面的有（）种图形．A．1B．2C．3D．4【变式1】（2023秋·全国·八年级专题练习）小明家住黄山市，小明的爸爸刚在市区买了一套住房，带着小明去选地砖准备装修，看着满目美丽的正三角形，正方形、正六边形、正八边形地砖，不知道选哪种好，但是爸爸告诉小明：有一种地砖是不能单独铺满地面的，必须与另外一种形状的地砖混合使用，让小明指出这种地砖，小明略加思考便选出来了，小明选择的地砖的形状是（ ） A ．正三角形B ．正方形C ．正八边形D ．正六边形【变式2】（2020秋·广东惠州·八年级惠州市第八中学校联考阶段练习）如图，张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（ ）A ．B ．C ．D ．题型06 圆的周长和面积问题【典例6】（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R 的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ）A ．22R πB ．24R πC ．2R πD ．不能确定【变式1】（2023秋·四川绵阳·八年级校联考开学考试）滚铁环有助于提高人体的平衡性、肢体的协调性以及眼力，可以提高四肢活动能力．如图，直径为4分米的铁环从原点O 沿数轴滚动一周（无滑动）到达点O '，则OO '= 分米．【变式2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明．一、单选题1．（2023秋·全国·八年级专题练习）五边形经过一个顶点可以引（ ）条对角线． A ．0B ．1C ．2D ．32．（2023秋·河南周口·八年级校联考阶段练习）已知，一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的2倍，则这个多边形的边数是( ) A ．5B ．9C ．8D ．63．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）有足够多的如下4种边长相等的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（ ）A ．①②④B ．①②C ．①④D ．②③4．（2023秋·河南南阳·七年级校联考期末）七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为4cm ，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（ ）A ．28cmB ．24cmC ．22cmD ．21cm5．（2023秋·重庆巫溪·八年级统考期末）我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（ ）A ．54B ．44C ．35D ．27二、填空题6．（2023春·山东济南·六年级统考期末）若从n边形的一个顶点出发，最多可以引5条对角线，则n ．7．（2023秋·山西临汾·七年级山西省临汾市第三中学校校考期末）从十二边形的一个顶点出发，连结这个顶点与其余各顶点，可分割成个三角形．8．（2023春·七年级课时练习）用三个正多边形镶嵌，已知其中两个的边数均为5，则第三个正多边形的边数为．9．（2023春·山东泰安·六年级统考期中）过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成2023个三角形，则这个多边形的边数为．10．（2023秋·江苏南京·九年级校考开学考试）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么先到达B地三、解答题11．（2023春·上海·八年级专题练习）从一个多边形一边上的一点（不是顶点）出发，分别连接这个点与各个顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，请你观察下图，并完成后面的填空.当多边形的边数是4时，可以把多边形分割成_______个三角形；当多边形的边数是5时，可以把多边形分割成_______个三角形；当多边形的边数是6时，可以把多边形分割成_______个三角形；……你能看出多边形边数与分割成的三角形的个数之间有什么规律吗？，，，，12．（2023秋·全国·八年级课堂例题）（1）如图①，O为四边形ABCD内一点，连接OA OB OC OD可以得到几个三角形？它与边数有何关系？，，，可以得到几个三角（2）如图②，点O在五边形ABCDE的边AB上（不与端点重合），连接OC OD OE形？它与边数有何关系？（3）如图③，过点A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？n ，且n为整数）边形，上述三种情况分别可以将n边形分割成多少个三角形？（4）若是任意一个n（413．（2023春·广西百色·八年级统考期末）观察探究及应用；(1)观察下列图形并完成填空．如图①一个四边形有2条对角线；如图②一个五边形有5条对角线；如图③一个六边形有______条对角线；如图④一个七边形有______条对角线；(2)分析探究：由凸n边形的一个顶点出发，可做______条对角线，一个凸n边形有______条对角线；(3)应用：一个凸十二边形有______条对角线．14．（2023秋·江西九江·七年级统考期末）探究归纳题：（1）试验分析：如图1，经过A点可以作1条对角线；同样，经过B点可以作1条对角线；经过C点可以作1条对角线；经过D点可以作1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有________条对角线；（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有________条对角线；图3共有________条对角线；（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有________条对角线；（用含n的式子表示）（4）特例验证：十边形有________对角线．。
七年级数学上册第4章最新《多边形和圆的初步认识》知识点训练(基础)(北师大版)
《多边形和圆的初步认识》基础训练
知识点1 认识多边形
1.下列图形中，不是多边形的是（）
2.从九边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为（）
A.3
B.4
C.6
D.9
3.过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成4个三角形，则这个多边形的边数为（）
A.3
B.4
C.5
D.6
4.n边形有_____个顶点，_____条边，_____个内角，过n边形的每一个顶点有_____条对角线.
知识点2 认识正多边形
5.下列说法不正确的是（）
A.各边都相等的多边形是正多边形
B.正多边形的各边都相等
C.正三角形就是等边三角形
D.各内角都相等的多边形不一定是正多边形
6.一个正六边形的周长是18cm，则这个正六边形的边长是_____cm.
知识点3 认识圆
7.如图是一个圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm.若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转周，则作出的圆的直径是（）
A.1cm
B.2cm
C.4cm
D. cm
8.如图所示的圆可记作圆O，其中半径有______条，分别是______，请写出任意
三条弧：______.
9.将一个圆分割成四个大小相同的扇形，则每个扇形的圆心角是______度.
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.n n n （n-3）
5.A
6.3
7.C
8.3 OA，OB，OC 答案不唯一，如：¶¶
,,
AC BC·MC 9.90。
多边形和圆的初步认识_1
4条边,如图3所示.
第四章
多边形和圆的初步认识
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-10-
15.有一根长为32 cm的铁丝,请你按下列要求,弯成一个长方形或正方形,并分别计算它们的
面积.
( 1 )长为10 cm,宽为6 cm;
多边形和圆的初步认识
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-13-
18.观察、探索及应用.
( 1 )观察图形并填空:
一个四边形有2条对角线;
一个五边形有5条对角线;
一个六边形有 9 条对角线;
一个七边形有 14 条对角线.
( 2 )分析探索:由凸n边形的一个顶点出发,可作 ( n-3 ) 条对角线,凸n边形共有n个顶点,
( 2 )长为9 cm,宽为7 cm;
( 3 )边长为8 cm的正方形.
你会发现在长与宽的变化过程中,其面积有什么规律 根据这一规律,请将总长为100 m的篱
笆围成一个面积尽可能大的长方形或正方形.
解:( 1 )面积为60 cm2.
( 2 )面积为63 cm2.
( 3 )面积为64 cm2.
随着长与宽的差越来越小,其面积越来越大.将总长为100 m的篱笆围成一个边长为25 m的正
A.3
B.4
7.把一个圆分成四个扇形,四个扇形的面积分别占圆面积的10%,20%,30%,40%,则这四个扇
形的圆心角分别为 36°,72°,108°,144° .
第四章
多边形和圆的初步认识
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
北师大数学七年级上册第四章多边形和圆的初步认识(总结)
第03讲_多边形和圆的初步认识知识图谱多边形和圆的初步认识（北师版）知识精讲一．多边形1．多边形：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形，如三角形、四边形、五边形、六边形等．2．如下图，在多边形ABCDE 中，点A 、B 、C 、D 、E 是多边形的顶点，线段AB 、BC 、CD 、DE 、EA 是多边形的边；EAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDE ∠、DEA ∠是多边形的内角（简称多边形的角）；AC 、AD 都是连接不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3．正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图，分别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形．二．圆1．平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆； 2．固定的端点O 称为圆心，线段OA 称为半径；3．圆上任意两点AB 间的部分叫做圆弧，简称弧，记作AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”； 4．由一条弧AB 和经过这条弧的端点的两条半径OA 、OB 所组成的图形叫做扇形； 5．顶点在圆心的角叫做圆心角．三．扇形面积公式EDCBA BOA1．圆的周长公式：π2C D R π==2．扇形弧长公式：π180n Rl =（n 表示扇形圆心角度数值；R 表示半径）3．圆的面积公式：2πS R =4．扇形面积公式：2π360nS R =扇形（n 表示扇形圆心角度数值；R 表示半径）．三点剖析一．考点：1．多边形及对角线；2．圆和扇形．二．重难点：n 边形的对角线：一个顶点有()3n -条对角线，共有()32n n -条对角线．三．易错点：圆的周长面积计算公式计算错误．多边形及对角线例题1、 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是__________边形． 【答案】 13【解析】 从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引()3n -条对角线，（n 为多边形边数）．本题中，设这个多边形是n 边形．代入公式，得310n -=，∴13n =．例题2、 把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ） A.六边形 B.五边形 C.四边形 D.三角形 【答案】 A【解析】 剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．例题3、 （1）若在n 边形内部任意取一点P ，将P 与各顶点连接起来，则可将多边形分割成__________ 个三角形． （2）若点P 取在多边形的一条边上（不是顶点），在将P 与n 边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成__________ 个三角形．【答案】 （1）n （2）1n -【解析】 根据题中条件，画出简单图形，找出规律．（1）多边形内一点，可与多边形顶点连接n 条线段，构造出n 个三角形；（2）若P 点取在一边上，则可以与其他顶点连接出2n -条线段，可以分n 边形为()1n -个三角形． 随练1、 从一个n 边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n 的值是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】 C【解析】 根据从一个n 边形的某个顶点出发，可以引()3n -条对角线，把n 边形分为()2n -的三角形作答．设多边形有n 条边，则26n -=，解得8n =．故选C ． 随练2、 观察下面图形，并回答问题．（1）四边形有_______条对角线，五边形有_______条对角线，六边形有_______条对角线； （2）根据规律七边形有_______条对角线，n 边形有___________条对角线．【答案】 （1）2；5；9（2）14；()32n n - 【解析】 （1）四边形有2条对角线；五边形有5条对角线；六边形有9条对角线；（2）七边形有14条对角线，n 边形有()32n n -条对角线．圆和扇形例题1、 60°的圆心角所对的弧长为2πcm ，则此弧所在圆的半径为________． 【答案】 6cm【解析】 ∵l=180n rπ，∴r=180180260l n πππ⨯==6cm ． 例题2、 一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm ，则此扇形的面积是________cm 2． 【答案】 6π【解析】 设扇形的半径为Rcm ，∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm ， ∴135180R π⨯=3π，解得：R=4，所以此扇形的面积为21354360π⨯=6π（cm 2）．例题3、 在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作BAC ，如图所示．若4AB =，2AC =，124S S π-=，则34S S -的值是__________．【答案】54π 【解析】 ∵4AB =，2AC =，∴132S S π+=，242S S π+=，∵124S S π-=，∴()()()()1324123432S S S S S S S S π+-+=-+-=∴3454S S π-=．随练1、 如图，O 的半径为1，分别以O 的直径AB 上的两个四等分点1O ，2O 为圆心，12为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A.πB.12πC.14π D.2πS 4S 3S 2S 1【答案】 B【解析】 将下面阴影部分进行对称平移，根据半圆的面积公式列式计算即可求解．随练2、 如图，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，若取黄金比为0.6，则α=__________度．【答案】 135【解析】 完整圆的周角是360︒，根据比例解出135α∠=︒．随练3、 一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm 的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为__________ cm ．【答案】 40【解析】 设弧所在圆的半径为r ，由题意得，135253180rππ=⨯⨯，解得40r cm =．故应填40．拓展1、 一个多边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，把这个多边形分成了12个三角形，则这个多边形的边数_______． 【答案】 14【解析】 从n 边形的一个顶点作对角线，把这个n 边形分成()2n -个三角形．根据题意可知，这个多边形的边数是12214+=．2、 若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是__________． 【答案】 5，6，7【解析】 如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．3、 从一个n 边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n 的值是_______． 【答案】 8【解析】 设多边形有n 条边， 则n ﹣2=6， 解得n=8．4、 从一个多边形的一个顶点出发，一共可作10条对角线，则这个多边形的内角和是____度． 【答案】 1980【解析】 （13﹣2）•180=1980度，则这个多边形的内角和是1980度5、 如图，正方形ABCD 的边1AB =，BD 和AC 都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是_________βα【答案】12π- 【解析】 如图：正方形的面积1234S S S S =+++①；两个扇形的面积3122S S S =++②；②-①得：349036012112S S S S ππ⨯⨯-=-=-=-正方形扇形．6、 如图，扇形A 的圆心角的度数为__________．【答案】 144【解析】 根据题意，该扇形圆心角度数为：36040%144︒⨯=︒．7、 如下图中的五个半圆，两只小虫同时出发，以相同的速度从A 点到B 点，甲虫沿1ADA 、12A EA 、23A FA 、3A GB 路线爬行，乙虫沿ACB 路线爬行，则下列结论正确的是（ ）A.甲先到B 点B.乙先到B 点C.甲、乙同时到BD.无法确定 【答案】 C【解析】 ()1122331122AA A A A A A B AB ππ+++=⨯，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B 点．故选C ．8、 如图，图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径OA ＝2cm ，∠AOB ＝120°．则图2的周长为________cm （结果保留π）．【答案】8π3【解析】 由图1得：AO OB AB +=的长的长的长 ∵半径OA ＝2cm ，∠AOB ＝120°则图2的周长为：240π28π1803⨯=． 9、 如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF 变形为以点A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形AFB （阴影部分）的面积为________．432140%AA 3A 2A 1GFE D CBA【答案】 18【解析】 ∵正六边形ABCDEF 的边长为3， ∵AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝FA ＝3， ∵BAF 的长＝3×6－3－3＝12， ∵扇形AFB （阴影部分）的面积1123182=⨯⨯=． 10、 如图，AB 为半圆的直径，且AB ＝2，半圆绕点B 顺时针旋转40°，点A 旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π）．【答案】49π 【解析】 ∵S 阴影＝S 扇形ABA′＋S 半圆－S 半圆 ＝S 扇形ABA′ 2452360π⨯=49=π．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
多边形和圆的初步认识知识讲解
【要点梳理】
要点一、多边形及正多边形
1．定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫
做正多边形．如下图：
要点诠释：
正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
2．相关概念：
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形
的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的
对角线．
要点诠释：
(1)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2
n n ．(2)过n 边形的一个顶点的对角线可以把
n 边形分成(n-2)个三角形．
类型一、多边形及正多边形1．如图，（1）从正六边形的顶点A 出发,可以画出
条对角线，分别用字母表示出来为
；（2）这些对角线把六边形分割成
个三角形.
【思路点拨】画出对角线，并按一定规律数出对角线的条数及分割成的三角形的个数即可.
【答案】（1）3，线段AC 、线段AD 、线段AE ；（2）4.E
A B C F
D。