12_5磁场的能量 磁场能量密度

1 2 自感磁能 W 1 = LI10 L 2
ε M12 I1
εL2 I2
I10时要克 服自感电动势作 功，即自感电动 势作负功， 势作负功，变为
WL2 =
2
LI
2 20
12 – 5 磁场的能量 磁场能量密度
第十二章电磁感应 第十二章电磁感应 电磁场
2）维持线圈“1”中电流不变，让线圈“2”中电 ）维持线圈“ 中电流不变 让线圈“ 中电 中电流不变， 流由0 I20 流由
W'm = W ∴M12 = M21 m
12 – 5 磁场的能量 磁场能量密度
第十二章电磁感应 第十二章电磁感应 电磁场
按照磁场的近距作用观点， 按照磁场的近距作用观点，磁 能也是定域在磁场中的。 能也是定域在磁场中的。 可以引入磁场能量密度的概念。 可以引入磁场能量密度的概念。 以载流长直螺线管为例： 以载流长直螺线管为例：
1 1 2 Wm = µH V体 = BHV体 2 2
W m 能量密度w 单位体积内的磁场能量）： m 能量密度 m（单位体积内的磁场能量）： w = 单位体积内的磁场能量 V体 2 Wm B 1 2 1 ∴wm = = µH = BH = V体 2 µ 2 2
12 – 5 磁场的能量 磁场能量密度
电源所 作的功 自感线圈磁能
电源克服自 电阻上的 感电动势所 热损耗 做的功
Wm
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2 = LI 0 2
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2、 考察在开关断开后的一 段时间内， 段时间内，电路中的电流衰 过程： 减过程： 由全电路欧姆定律
L
电池
R
ε L = IR →ε LI = I 2 R
12 – 5 磁场的能量 磁场能量密度
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三、互感磁能 L1 M L2 “1” “2”
初始状态： 初始状态： I1 = 0 I2 = 0 稳定状态： 稳定状态：
I1
I2 I1 = I10 I2 = I20
显然： 显然：互感电路中的磁能是克服自感电动势及 互感电动势作功的过程中建立的。 互感电动势作功的过程中建立的。
2
第十二章电磁感应 第十二章电磁感应 电磁场
B 1 1 2 ∴ wm = = µH = BH 2µ 2 2
可以证明它对磁场是普遍成立的。 可以证明它对磁场是普遍成立的。 对非均匀磁场
dW 1 m w = = B⋅ H m dV 2
12 – 5 磁场的能量 磁场能量密度
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12 – 5 磁场的能量 磁场能量密度
第十二章电磁感应 第十二章电磁感应 电磁场
L1 M L2 “1” “2”
能量是状态量，应与电流建立的过程无关。 能量是状态量，应与电流建立的过程无关。为此 分两步建立磁场。 分两步建立磁场。
1）线圈“2”开路，让线圈“1”中电流由0 线圈“2”开路，让线圈“1”中电流由 开路 I10 维持线圈“1”中电流不变 让线圈“2”中电 中电流不变， 2）维持线圈“1”中电流不变，让线圈“2”中电 流由0 流由0 I
r < R1 ,
H =0
µ µ
R2
I R1 < r < R2 , H = 2π r
r > R2 , H = 0
R1 < r < R2
则
1 1 I 2 2 ) wm = µH = µ ( 2 2π r 2
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Wm = ∫ wm dV = ∫
V
1 R1 < r < R2 wm = µ ( 2 2π r 2 µI
1 2 说明： 说明：载流线圈的磁场能量可以用公式 W自 = LI ， 2
也可以用磁场能量密度公式对空间求积分计算。 也可以用磁场能量密度公式对空间求积分计算。在已 知自感系数的情况下，应用第一种公式计算较为简单。 知自感系数的情况下，应用第一种公式计算较为简单。
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V
第十二章电磁感应 第十二章电磁感应 电磁场 2 I 2 µI ) = 2 2
8π r
8π r
2 2
dV
单位长度壳层体积
d V = 2π r d r ⋅ 1 2 R2 µI µ I 2 R2 ln Wm = ∫ dr = R1 4 π r 4π R1
µ
r dr
R2
µ R2 1 2 ln Wm = LI L = 2 π R1 2
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1 2 1 2 W 1 = LI10 WL2 = LI20 L 2 2 W = M12I10I20 互
互感线圈的总磁能： 互感线圈的总磁能：
1 1 2 2 Wm = L I10 + L I20 + M12I10I20 ⋯ 1) ( 1 2 2 2
1 2 1 2 W 1 = LI10 W 2 = LI20 L L 2 2
I10克服 εM12 作功： 作功：
dI2 I10dt A = ∫ − ε M12 I10dt = ∫ − M12 dt
= −M12I10 ∫
建立互感磁能
I20 0
dI2 = −M12I10I20
W = M12I10I20 互
第十二章电磁感应 第十二章电磁感应 电磁场
如图同轴电缆,中间充以磁介质 中间充以磁介质,芯线与圆筒上的 例 如图同轴电缆 中间充以磁介质 芯线与圆筒上的 电流大小相等、方向相反. 电流大小相等、方向相反 已知 R 1 , R 2 , I , µ , 求单位 长度同轴电缆的磁能和自感. 设金属芯线内的磁场可略. 长度同轴电缆的磁能和自感 设金属芯线内的磁场可略 解 由安培环路定律可求 H
ε
BATTER Y
两边同时对时间进行积分 0 dI 1 2 左边积分： 左边积分： LIdt = ∫ − L dt = ∫ − LIdI = LI0 ∫ε I0 dt 2 为自感线圈提供的能量 t 1 2 1 2 右边积分： 右边积分：I Rdt = LI0 为电路所消耗的焦耳热 自感线圈磁能 W m = LI 02 ∫0 2 2
建立电流的方式也可反过来： 建立电流的方式也可反过来： 1）线圈“1”开路，让线圈“2”中电流由 I20 ）线圈“ 开路 让线圈“ 中电流由 开路， 中电流由0 2）维持线圈“2”中电流不变，让线圈“1”中电 中电流不变， ）维持线圈“ 中电流不变 让线圈“ 中电 流由0 I10 流由
12 – 5 磁场的能量 磁场能量密度
ε L + ε = IR →ε LI + εI = I 2 R
dI → ε I − LI = I 2R dt
dI → εI = LI + I 2R dt
两边同时积分： 两边同时积分：
∫
∞
0
Iεdt = ∫
I0
0
∞ t 1 2 dI = LI + ∫ I 2 Rdt L Idt + ∫ IRIdt 0 0 2 dt
i
K E R
若电流衰减过程 L
εL
磁场能量→ R焦耳热
二、自感磁能 1、 考察在开关合上后的一
L
R
段时间内， 段时间内，电路中的电流滋 长过程： 长过程： 由全电路欧姆定律
ε
BATTER Y
电池
ε L + ε = IR
12 – 5 磁场的能量 磁场能量密度
第十二章电磁感应 第十二章电磁感应 电磁场
20
I1
I2
12 – 5 磁场的能量 磁场能量密度
第十二章电磁感应 第十二章电磁感应 电磁场
1）线圈“2”开路，让线圈“1”中电流由0 线圈“2”开路，让线圈“1”中电流由 开路
L1 M L2
I10
ε L1
I1由0
2）维持线圈“1”中电流不变，让线圈“2”中电 ）维持线圈“ 中电流不变 让线圈“ 中电 中电流不变， 流由0 I20 要克服自感电动势 εL2作功， 作功， 流由 同时为维持I10不变，I10要克服 εM12作功 同时为维持 不变， 前者建立互感磁能 1
2
2µ
V体
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第十二章电磁感应 第十二章电磁感应 电磁场 l
B = µH
上式还可以写成： 由 上式还可以写成：
µ
S n I
磁场的能量只与磁场和磁场分布的空间有关。 磁场的能量只与磁场和磁场分布的空间有关。 内的总能量， 磁场能量只能反映空间体积 V 内的总能量，不能 反映磁场的能量分布情况。 反映磁场的能量分布情况。须引入描写磁场分布的物 理量----能量密度。 理量 能量密度。 能量密度
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一、一般讨论
K ε
R
对纯电阻电路
ε做功→ R，焦耳热
i
K E R
若加一线圈， 若加一线圈，如电流滋长过程
εL
L ε提供的能量
→ 焦耳热+ 磁场能量
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第十二章电磁感应 第十二章电磁感应 电磁场
由能量密度计算任意一个磁场的能量： 由能量密度计算任意一个磁场的能量： 1）先确定体积元内的磁场能量， ）先确定体积元内的磁场能量，
dWm = wmdV体
2）.再计算体积 ） 再计算体积 再计算体积V体内的磁场能量， 内的磁场能量， 内的磁场能量
Wm = ∫V dW = ∫V wmdV m 体
积分应遍及磁场 存在的全空间。 存在的全空间。
l
µ
S I