同角三角函数的基本关系练习题
1.2.2同角三角函数的基本关系式练习题
同角三角函数的基本关系式练习题1．若 sin α＝ 4，且 α是第二象限角，则 tan α的值等于 () 5A ．－ 4 3 3 43 B. C ．± D ． ±4 4 3 2．化简 1－sin 2160 °的结果是 ()A ． cos160 °B ．－ cos160 °C ． ±cos160 °D ． ±|cos160 | °2sin α－cos α3．若 tan α＝ 2，则的值为 ()sin α＋ 2cos α35 A ． 0B.4 C ． 1D. 484．若 cos α＝－ 17，则 sin α＝ ________， tan α＝ ________.5，则 sin α等于 ()5．若 α是第四象限的角， tan α＝－121 1 35A. 5B ．－ 5 C.15 D ．－ 136．若 α为第三象限角，则cos α ＋ 2sin α 的值为 ()1－ sin 2α1－ cos 2α A ． 3B ．－ 3C ． 1D ．－127、已知 A 是三角形的一个内角， sinA ＋ cosA = 3 ,则这个三角形是 （ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰直角三角形D ．等腰直角三角形18、知 sin α cos α = 8 ,则 cos α－ sin α 的值等于（ ）3333A ．± 4B ．± 2C ． 2D ．－ 2、已知 是第三象限角，且 sin 4cos45 ，则sin cos（）992 B ．2 C ． 1 D ．1A ．333310、如果角满足 sin cos2,那么 tan1的值是（）tanA ． 1B ．2C ． 1D ． 2sin cos ，则 tan（ ）11、若22 sincosA ．1B ．-1C ．3D ．443112． A 为三角形 ABC 的一个内角，若sinA＋ cosA＝12，则这个三角形的形状为 () 25A ．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形13．已知 tanθ＝ 2，则 sin2θ＋ sin θcosθ－ 2cos2θ等于 () 4534 A．－3 B. 4 C.－4 D. 5 14． ( tan x1)cos2x＝ ()tan xA ． tanx B． sinx C． cosx1 D．tan x15．使1－cosα cosα－ 1)＝sinα成立的α的范围是 (1＋cosαA ． { x|2kπ－π＜α＜ 2kπ， k∈Z }B． { x|2kπ－π≤ α≤ 2kπ， k∈Z }3πC． { x|2kπ＋π＜α＜ 2kπ＋2， k∈Z} D．只能是第三或第四象限的角16．计算17．已知1－ 2sin40 ·°cos40 °2＝ ________.sin40 －° 1－sin 40°1－ sinαcosαtanα＝－ 3，则2sinαcosα＋cos2α＝________.18、若tan3sin 3 2 cos3的值为 ________________ ．，则32 cos3sinsin cos2，则 sin cos 的值为19、已知cossinsinα20．若角α的终边落在直线x＋y＝ 0 上，则2＋1－sin α21．求证： sinθ(1＋ tanθ)＋ cosθ·(1＋1)＝1＋1.tanθ sinθ cosθ1－cos2α的值为 ________．cosα2部分答案1、解析： 选 A. ∵α为第二象限角，∴cos α＝－ 1－ sin 2α＝－1－ 4 2＝－ 3，5 54∴tan α＝ sin α 5＝－ 4.＝3cos α － 352、解析： 选 B. 1－ sin 2160 °＝ cos 2160 °＝－ cos160 °.2sin α－ cos α 2tan α－ 1.3、解析： 选 B.＝ ＝ 3sin α＋ 2cos α tan α＋ 2 48 4、解析： ∵ cos α＝－ 17<0，∴α是第二或第三象限角．若 α是第二象限角，则 sin α>0， tan α<0.∴sin α＝215 ， tan α＝ sin α 151－ cos α＝＝－ 8.17cos α若 α是第三象限角，则sin α<0， tan α>0.∴ sin α＝－215， tan α＝ sin α 15 .1－ cos α＝－17 ＝cos α 8 答案：15或－15－ 15或1517 17 8 85、解析： 选 D. ∵tan α＝ sin α 5 2 2＝－ ， sin α＋ cos α＝ 1，cos α 12∴ sin α＝±5，13又 α为第四象限角，∴sin α＝－ 135.6、解析： 选 B. ∵α为第三象限角，∴ sin α<0， cos α<0，∴cos α＋2sin α＝cos α 2sin α1－ sin 2＋＝－ 1－2＝－ 3.α1－ cos 2α |cos α||sin α|127、解析： 选 B. ∵sinA ＋ cosA ＝ ，212 2 144∴ (sinA ＋ cosA) ＝ (25) ＝ 625，即 1＋2sinAcosA ＝144，∴ 2sinAcosA ＝－481625625<0，∴ sinA>0，cosA<0，∴ A 为钝角，∴△ ABC 为钝角三角形．13、解析： 选 D.sin 2θ＋ sin θcos θ－ 2cos 2θ322θ＝ sin θ＋ sin θcos θ－ 2cossin 2θ＋cos 2θ＝ tan 2θ＋ tan θ－ 2tan 2θ＋1＝ 4＋ 2－2＝ 4.5 52sinx ＋ cosx 214、解析： 选 D.(tan x ＋ cotx) ·cos x ＝( cosx sinx ) ·cos x ＝sin 2x ＋ cos 2x2cosx＝ cotx.sinx ·cosx ·cos x ＝ sinx15、解析：选 A.1－ cos α1－ cos α2 1－ cos α cos α－ 1＝＝|sin α|＝，1＋ cos α1－ cos 2αsin α即 sin α＜ 0，故 { x|2k π－π＜ α＜ 2k π， k ∈ Z } ．2cos40 °－ sin40 °16、解析： 原式＝sin40 －°cos40 °＝＝－ 1.sin40 －° cos 240° sin40 －°cos40 °答案： －11－ sin αcos αsin 2α－ sin αcos α＋ cos 2α tan 2α－ tan α＋ 1 － 3 2－ －3 ＋117、解析：2＝2＝2tan α＋ 1 ＝ ＝2sin αcos α＋ cos α2sin αcos α＋ cos α2× －3 ＋113 － 5 .答案： －13518、答案： 5/321、证明： 左边＝ sin θ(1＋ sin θcos θ)＋ cos θ·(1＋)cos θsin θ2θ2θ＝ sin θ＋sin＋ cos θ＋coscos θsin θ2θ2θ＝ (sin θ＋ cossin＋cos θ)sin θ)＋ (cos θsin 2θ＋ cos 2θ sin 2θ＋ cos 2θ＝＋cos θsin θ＝1＋1＝右边，sin θcos θ∴原式成立．4。
高考数学专题《同角三角函数的基本关系与诱导公式》习题含答案解析
专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．（2021·北京二中高三其他模拟）在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点34,55⎛⎫⎪⎝⎭，则tan()πθ-的值为（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C 【解析】由题意可得角的正弦和余弦值，由同角三角函数的基本关系可求出角的正切值，结合诱导公式即可选出正确答案.【详解】解：由题意知，43sin ,cos 55θθ==，则sin 4tan cos 3θθθ==，所以4tan()tan 3πθθ-=-=-，故选:C.2．（2021·全国高三其他模拟（理））已知1tan ,2α=则()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ）A ．﹣12B ．12C ．2D ．﹣2【答案】C 【解析】先用“奇变偶不变，符号看象限”将()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简为cos sin αα--，结合同角三角函数的基本关系来求解.【详解】因为1tan 2α=，所以()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos sin αα--=1tan α=2.故选：C练基础3.（2021·全国高一专题练习）已知3cos cos()2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭则1tan tan αα+=（ ）A ．2B ．-2C ．13D ．3【答案】A 【解析】用诱导公式化简，平方后求得sin cos αα，求值式切化弦后易得结论．【详解】3cos cos()sin cos 2παπααα⎛⎫-++=∴--= ⎪⎝⎭即21sin cos (sin cos )2,sin cos ,2αααααα+=∴+=∴=1sin cos 1tan 2tan cos sin sin cos αααααααα∴+=+==，故选：A ．4．（2021·河南高三其他模拟（理））若1tan 2α=，则22sin sin cos ααα+=_______________________.【答案】45【解析】利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值.【详解】因为12tan α=，所以222222224215sin sin cos tan tan sin sin cos sin cos tan ααααααααααα+++===++.故答案为：455．（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（文））若3sin 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭[0,2)θπ∈，则θ=___________.【答案】116π【解析】根据三角函数的诱导公式，求得cos θ=[0,2)θπ∈，进而求得θ的值.【详解】由三角函数的诱导公式，可得3sin cos 2πθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，即cos θ=，又因为[0,2)θπ∈，所以116πθ=.故答案为：116π.6．（2021·上海格致中学高三三模）已知α是第二象限角，且3sin 5α=，tan α=_________.【答案】34-【解析】根据角所在的象限，判断正切函数的正负，从而求得结果.【详解】由α是第二象限角，知4cos 5α===-，则sin 3tan cos 4ααα==-故答案为：34-7．（2021·上海高三二模）若sin cos k θθ=，则sin cos θθ⋅的值等于___________(用k 表示).【答案】21kk +【解析】由同角三角函数的关系得tan θk =,进而根据22sin cos sin cos sin cos θθθθθθ⋅⋅=+,结合齐次式求解即可.【详解】因为sin cos k θθ=，所以tan θk =，所以2222sin cos tan sin cos sin cos tan 11kk θθθθθθθθ⋅⋅===+++，故答案为:21k k +8．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）函数log (3)2(0a y x a =-+>且a ≠1)的图象过定点Q ，且角a 的终边也过点Q ，则23sin α+2sin cos αα=___________.【答案】75【解析】首先可得点Q 的坐标，然后可得tan α，然后可求出答案.【详解】由题可知点Q (4，2)，所以1tan ,2α=所以22223sin 2sin cos 3sin 2sin cos sin cos αααααααα++==+2211323tan 2tan 74211tan 514ααα⨯+⨯+==++故答案为：759．（2021·上海高三其他模拟）已知3sin 5x =，(,)2x ππ∈，则cos(π﹣x )=___________.【答案】45【解析】根据22sin cos 1x x += ，(,)2x ππ∈，求出cos x ，再用“奇变偶不变，符号看象限”求出cos(π﹣x ).【详解】解：因为3sin 5x =，(,)2x ππ∈，可得cos x =﹣=﹣45，所以cos(π﹣x )=﹣cos x =45.故答案为：45.10．（2020·全国高一课时练习）若2cos()3απ-=-，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．【答案】.【解析】利用诱导公式化简已知和结论，转化为给值求值的三角函数问题解决.【详解】原式=sin(2)sin(3)cos(3)cos (cos )cos παπαπαααα---+----=2sin sin cos cos cos ααααα--+=sin (1cos )cos (1cos )αααα---=-tan α，因为2cos()cos 3απα-=-=-，所以2cos 3α=，所以α为第一象限角或第四象限角．(1)当α为第一象限角时，sin α=所以sin tan cos ααα=，所以原式.(2)当α为第四象限角时，sin α=所以sin tan cos ααα=，所以原式.综上，原式=.1．（2021·全国高三其他模拟（理）(0)a a =>，则1tan 2=________（用含a 的式子表示）．【解析】根据同角三角函数的相关公式，把根号下的式子变形为完全平方式，2111112sin cos sin cos 2222⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2111112sin cos sin cos 2222⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再由11cos sin 022>>，开方即得1cos 22a =，再由22111tan 12cos 2+=即可得解.【详解】练提升=+=1111cos sin sin cos2222=-++12cos 2a ==，则1cos 22a =而22111tan 12cos 2+=，2214tan 12a∴=-又1tan 02>，1tan 2∴==.2.（2021·河北邯郸市·高三二模）当04x π<<时，函数22cos ()sin cos sin xf x x x x=-的最大值为______．【答案】-4【解析】化简函数得21()tan tan f x x x=-，再换元tan ,(0,1)t x t =∈，利用二次函数和复合函数求函数的最值.【详解】由题意得22222cos cos ()sin cos sin cos cos x x f x x x xx x =-所以21()tan tan f x x x =-，当04x π<<时，0tan 1x <<，设tan ,(0,1)t x t =∈所以2211()=11()24g t t t t =---，所以当12t =时，函数()g t 取最大值4-.所以()f x 的最大值为-4．故答案为：4-3．（2021·浙江高三其他模拟）已知πtan 34α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则3πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______，sin cos αα=______.【答案】3 25【解析】由3ππtan tan 44αα⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求，由和的正切公式求出tan α，再建立齐次式即可求出.【详解】3πππtan tan πtan 3444ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由πtan 1tan 341tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，得tan 2α=，故222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15αααααααα===++.故答案为：3；254．（2021·全国高一专题练习）如图，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，M ，N 在单位圆上且分别在第一､第二象限内，OM ON ⊥.若四边形OAMN 的面积为34，则AOM ∠=___________；若三角形AMN 的面积为25，则sin AOM ∠=___________.【答案】6π 35【解析】根据四边形OAMN 的面积，列出关于M 点纵坐标M y 的方程，求出M y ；即可根据三角函数的定义求出sin AOM ∠，进而可得AOM ∠；根据三角形AMN 的面积为25，得到M y 与N y 之间关系，再结合三角函数的定义，得到1cos sin 5AOM AOM ∠-∠=，利用同角三角函数基本关系，即可求出结果.【详解】若四边形OAMN 的面积为34，则3111142222MON MOA M M S S OM ON OA y y =+=⨯⨯+⨯⨯=+V V ，解得12M y =，由三角函数的定义可得1sin 2M AOM y ∠==，因为M 为第一象限内的点，所以AOM ∠为锐角，因此6AOM π∠=；若三角形AMN 的面积为25，则21115222MON MOA AMN OAMN AON AON M N S S S S S S y y ==-=-=+-+V V V V V ，即51N M y y -=，由三角函数的定义可得，sin M AOM y ∠=，sin N AON y ∠=，又sin sin cos 2N y AON AOM AOM π⎛⎫=∠=∠+=∠ ⎪⎝⎭，所以1cos sin 5AOM AOM ∠-∠=，由221cos sin 5sin cos 1AOM AOM AOM AOM ⎧∠-∠=⎪⎨⎪∠+∠=⎩解得3in 5s AOM ∠=或4in 5s AOM ∠=-，又AOM ∠为锐角，所以3in 5s AOM ∠=.故答案为：6π；35.5．（2021·河南高一期中（文））（1）已知角α的终边经过点()43P ,-，化简并求值：221cos sin cos sin cos tan 1a ααααα-+---；（2的值．【答案】（1）15-（2）1．【解析】（1）利用三角函数定义得到3sin 5α=，4cos 5α=-，化简三角函数表达式代入即可得到结果；（2）利用同角基本关系式化简即可.【详解】（1）由题意知，3sin 5α=，4cos 5α=-．原式222sin sin cos sin sin cos 1cos ααααααα+=---2222sin sin cos sin cos sin cos cos αααααααα+=---()2222cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα+=---22sin cos sin cos sin cos αααααα=---22sin cos sin cos αααα-=-341sin cos 555αα=+=-=-；（2）原式=sin 40cos 40cos 40cos50︒-︒=︒-︒cos 40sin 401cos 40sin 40-==-︒︒︒︒．6．（2021·河南高一期中（文））已知sin 2cos 0αα+=．（1）求sin 2cos cos 5sin αααα--的值；（2）求33sin cos cos sin aααα+的值．【答案】（1）411-；（2）858-．【解析】（1）本题可根据sin 2cos 0αα+=得出tan 2α=-，然后根据同角三角函数关系即可得出结果；（2）本题可通过22sin cos 1αα+=求出2sin α、2cos α的值，然后通过同角三角函数关系即可得出结果.【详解】（1）因为sin 2cos 0αα+=，所以tan 2α=-，则sin 2cos tan 24cos 5sin 15tan 11αααααα--==---.（2）联立22sin 2cos 0sin cos 1αααα+=⎧⎨+=⎩，解得224sin 51cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则3322sin cos tan 185cos sin cos sin tan 8a ααααααα+=+=-.7．（2020·武汉市新洲区第一中学高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴非负半轴为始边作角0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知点A ，B，．（1）求23sin sin cos 1ααα-+的值；（2）化简并求cos 的值．【答案】（1）195；（2）1-+【解析】（1）由已知条件可知求得sin α，tan α，已知式变形为2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos 111sin cos tan 1ααααααααααα---+=+=+++，代入可得答案；（2）由已知得cos β，sin β=.【详解】解：（1）由已知条件可知：cos α=0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α>，sin α==，tan 7α=，2222223sin sin cos 3tan tan 3497193sin sin cos 1111sin cos tan 1505ααααααααααα--⨯--+=+=+=+=++，（2）cos β=,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0β>，从而sin β==；1sin cos cos cos (1sin )1|cos |ββββ-===--=-+.8．（2021·全国高三专题练习（理））求函数sin cos sin cos y x x x x =+-(x ∈R )的值域．【答案】112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】令sin cos t x x =-=4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()2221111+++122221t y t t t t -=--=+=-，根据二次函数的性质可求得值域．【详解】令sin cos t x x =-=4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()2221111+++122221t y t t t t -=--=+=-，所以当t =24=-+x k ππ (k Z ∈)时，min y =12-；当1t =，即()114k x k ππ⎡⎤=++-⎣⎦(k Z ∈)时，max 1y =，因此函数y =sin cos sin cos y x x x x =+-的值域应为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．9．（2021·江苏高一月考）如图，锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点()11,A x y ，将射线OA 按逆时针方向旋转3π后与单位圆交于点()()2212,,B x y f x x α=+.（1）求()fα的取值范围；（2）若()fα=，求tan α的值.【答案】（1）32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）由三角函数的定义可得1cos x α=，2cos(3x πα=+，化简()f α6)πα+．根据2663πππα<+<，利用余弦函数的定义域和值域求得()f α的范围．（2）根据()f α=，求得3cos(654sin(65παπα⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，再利用两角差的正弦余弦公式求出sin ,cos αα的值，从而得出结论．【详解】（1）由图知，3AOB π∠=，由三角函数的定义可得1cos x α=，2cos(3x πα=+，123()cos cos()cos cos cossin sincos 3332f x x πππαααααααα==+++-+=-=6)πα=+．角α为锐角，∴2663πππα<+<，∴1co 26s()πα-<+<∴623πα<+<，即()f α的范围是32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．（2）因为()fα=，2663πππα<+<，6πα+=，3cos()65)46sin()65παπαπα⎧+=⎪⎪+=⇒⎨⎪+=⎪⎩，431sin sin66552ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦341cos cos66552ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=+⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sintancosααα∴===10．（2021·河南省实验中学高一期中）（1）已知sin()cos()tan(3)()3cos2fπθπθπθθπθ-+-=⎛⎫-⎪⎝⎭，求73fπ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值（2）已知1sin cos5αα+=-，2παπ<<，求sin(3)cos(2)sin()sin2παπαπαα--++⎛⎫-++⎪⎝⎭的值．【答案】（1（2）17.【解析】（1）利用诱导公式、同角三角函数基本关系化简()fθ，然后再代值计算即可.（2）利用同角三角函数间的关系，将1sin cos5αα+=-平方求出sin cosαα的值，从而求出cos sinαα-的值，再由诱导公式将所求式子化简，即可得出答案.【详解】(1)()()sin cos tansin()cos()tan(3)()sin3sincos2fθθθπθπθπθθθπθθ⋅-⋅--+-===--⎛⎫-⎪⎝⎭所以77sin sin2sin3333fπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由1sin cos 5αα+=-，则112sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25αα=-由2παπ<<，则sin 0,cos 0αα><设cos sin 0t αα=-<，则2244912cos sin 12525t αα=-=+=由cos sin 0t αα=-<，所以7cos sin 5αα-=-1sin(3)cos(2)sin cos 157sin cos 7sin()sin 52παπαααπαααα---+++===-+⎛⎫--++ ⎪⎝⎭1．（2021·全国高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．65【答案】C 【解析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．2.（2020·全国高考真题（理））已知π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）AB ．23C ．13D练真题【答案】A 【解析】3cos 28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴== 故选：A.3.（2019·北京高考真题（文））如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B 【解析】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为+S △POB + S △POA =4β+.故选：B .APB ∠2222βππ⨯⨯1||sin()2OPOB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅4．（2017·北京高考真题（文））在平面直角坐标系中,角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若,则_____.【答案】【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.5．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.6．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x +3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．xOy αβOx y 1sin 3α=sin β=13αβy 2,k k Z αβππ+=+∈()1sin sin 2sin 3k βππαα=+-==。
高中数学-同角三角函数的基本关系式练习题
高中数学-同角三角函数的基本关系式练习题5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知sinα=53,α∈（0,π），则tanα的值等于（ ） A.34 B.43 C.±43 D.±34 解析：由sin 2α+cos 2α=1，α∈（0,π）， ∴cosα=±α2sin 1-=±54. ∴tanα=ααcos sin =±43. 答案：C2.已知cosθ=54，且23π＜θ＜2π，那么θtan 1的值为（ ）A.43B.43-C.35D.34-解析：由sin 2θ+cos 2θ=1，得sinθ=±θ2cos 1-.因为23π＜θ＜2π，故sinθ＜0,所以sinθ=2)54(1--=53-,tanθ=θθcos sin =34-.答案：D3.若tanα=t（t≠0），且sinα=21tt +-，则α是（ ）A.第一、二象限角B.第二、三象限角C.第三、四象限角D.第一、四象限角 解析：由tanα=ααcos sin 得cosα=ααtan sin ，所以cosα=211t+-＜0，故α是第二、三象限角.答案：B4.若tanα=2，则（1）cos 2α=________________；（2）sin 2α-cos 2α=________________. 解析：（1）由题意和基本三角恒等式，列出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+,2cos sin ,1cos sin 22αααα 由②得sinα=2cosα,代入①，整理得5cos 2α=1，cos 2α=51. （2）由（1）得sin 2α=1-51=54,所以sin 2α-cos 2α=54-51=53. 答案：（1）51 (2) 5310分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知sinα=53，并且α是第二象限角，那么tanα的值等于（ ） A.34- B.43- C.43 D.34解析：由sin 2α+cos 2α=1，α是第二象限角，得cosα=54)53(12-=--. ∴tanα=ααcos sin =43-. 答案：B2.如果角x 的终边位于第二象限，则函数y=xx xx 22sin 1cos cos 1sin -+-的值可化简为（ ）A.1B.2C.0D.-1解析：利用同角基本关系式sin 2x+cos 2x=1以及x 属于第二象限，有y=xxx x x x x cos cos sin sin |cos |cos |sin |sin -+=+=1-1=0.答案：C3.如果角α满足关系式αααα22tan 1cos cot 1sin +-+=1，则角α的终边位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：由已知条件有sinα|sinα|-cosα|cosα|=1，故sinα＞0且cosα＜0.所以α属于第二象限. 答案：B 4.化简53sin12π-得到的结果是___________________. 解析：因为2π＜53π＜π，所以53π是第二象限角,cos 53π＜0, 所以53cos 53sin122ππ=-=｜cos 53π｜=-cos 53π. 答案：-cos53π 5.已知2sinα-cosα=3sinα，那么cosα=_________________.解析：由2sinα-cosα=3sinα，得（2-3）sinα=cosα，sinα=（2+3）cosα，由sin 2α+cos 2α=1，得（2+3）2cos 2α+cos 2α=1，解之,得cosα=±426-. 答案：±426- 6.化简:)cos 1cos 1cos 1cos 1()sin 1sin 1sin 1sin 1(αααααααα+---+•+---+.解：原式=［αααα2222cos )sin 1(cos )sin 1(--+］·［αααα2222sin )cos 1(sin )cos 1(--+］ =（|cos |sin 1|cos |sin 1αααα--+）·（|sin |cos 1|sin |cos 1αααα--+）=|sin |cos 2|cos |sin 2αααα•=⎩⎨⎧-.,,4,,,4四象限时在第二三象限时在第一αα30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.设sin 2α=54，且α是第二象限角，则tan 2α等于（ ） A.34 B.43 C.±34 D.±43 解析：∵α是第二象限角，∴2kπ+2π＜α＜2kπ+π（k∈Z ），kπ+4π＜2α＜kπ+2π（k∈Z ）.∴2α是第一、三象限角.而sin 2α=54＞0，∴2α是第一象限角，由sin 22α+cos 22α=1，得cos 2α=532sin12=-α，∴tan 342cos 2sin 2==ααα. 答案：A 2.已知tanx=122-a a，其中0＜a ＜1，x 是三角形的一个内角，则cosx 的值为（ ） A.122+a aB.1122+-a aC.1122+-a aD.±1122+-a a解析：∵0＜a ＜1,∴122-a a＜0.∴x 是第二、四象限角.又x 是三角形的一个内角, ∴x 是第二象限角.由题意和基本三角恒等式，得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+,12cos sin ,1cos sin 222a ax x x x解得cos 2x=（1122+-a a ）2，∴cosx=1122+-a a .答案：C3.如果tanθ=2，那么sin 2θ+sinθ·cosθ+cos 2θ的值是（ ） A.37 B.57 C.45D.35解析：由题意和基本三角恒等式，得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=,1cos sin ,2cos sin 22θθθθ∴cos 2θ=51. ∴sin 2θ+sinθ·cosθ+cos 2θ=1+2cos 2θ=57. 答案：B4.如果sinα+cosα=1，则sin n x+cos nx （n∈Z ）的值为（ ）A.-1B.1C.1或-1D.2解析：由sinα+cosα=1，则（sinα+cosα）2=1，故sinαcosα=0.若sinα=0，则cosα=1.这时sin n α+co s n α=1；若cosα=0，则sinα=1，这时也有sin n α+cos nα=1. 答案：B 5.若｜sinθ｜=51，29π＜θ＜5π，则tanθ的值为（ ） A.126 B.62- C.126- D.62解析：因为29π＜θ＜5π，即4π+2π＜θ＜4π+π,所以θ是第二象限角，sinθ=51.所以cosθ=562sin 12-=--θ,tanθ=126cos sin -=θθ,应选C 项.答案：C 6.化简︒--︒︒•︒-10sin 110sin 10cos 10sin 212的值为（ ）A.1B.-1C.2D.-2 解析：原式=︒-︒︒-︒=︒-︒︒+︒︒-︒10cos 10sin )10cos 10(sin 10cos 10sin 10cos 10cos 10sin 210sin 2222︒-︒︒-︒-=10cos 10sin )10cos 10(sin =-1.答案：B7.已知1cos 4sin 2++θθ=2，则（cosθ+3）·（sinθ+1）的值为（ ）A.4B.0C.2D.0或4解析：由1cos 4sin 2++θθ=2得1-cos 2θ+4=2cosθ+2,整理得cos 2θ+2cosθ-3=0，解得cosθ=1或cosθ=-3（舍去），所以sinθ=±θ2cos 1-=0.所以（cosθ+3）·（sinθ+1）=4. 答案：A8.(高考重庆卷,文13)已知sinα=2,552π＜α＜π，则tanα=_______________. 解析：由sinα=552，2π＜α＜π可得cosα=55-，tanα=-2. 答案：-29.已知sinθ+cosθ=51,θ∈（0，π），则cotθ的值是_____________. 解析：因为sinθ+cosθ=51，两边平方，得1+2sinθ·cosθ=251，所以2sinθ·cosθ=2524-. ①因为θ∈（0，π），所以cosθ＜0＜sinθ.由于（sinθ-cosθ）2=1-2sinθ·cosθ=2549，所以sinθ-cosθ=57.②联立①②，解得sinθ=54，cosθ=53-，所以cotθ=435453sin cos -=-=θθ. 答案：43-10.（1）已知sinθ=415-，求θθθθθθθθcos sin cos sin cos sin cos sin -+++-的值. （2）已知5sinθ+12cosθ=0，求θθθsin 32cos 9sin -+的值.解：（1）原式=1)415(221sin 2)cos (sin 2cos sin )cos (sin )cos (sin 22222222--⨯=-+=-++-θθθθθθθθθ=522-.（2）由5sinθ+12cosθ=0，得tanθ=512-＜0，故θ角在第二或第四象限，当θ在第二象限时，cosθ=135tan 112-=+-θ，当θ在第四象限时，cosθ=135tan 112=+θ， ∴原式=62331033cos tan 32cos )9(tan 或=•-•+θθθθ.11.若tanα、tanβ是方程x 2-2（log 872+log 972）x-log 872·log 972=0的两个根， 求sin α·cosβ+cosα·sinβ+2sinα·sinβ的值. 解：由定理得⎩⎨⎧•-=•+=+,72log 72log tan tan ),72log 72(log 2tan tan 9898βαβα而log 872+log 972=9log 8log 72log 9log 8log 9log 8log 9log 18log 1727272727272727272•=•+=+=log 872·log 972.所以tanα+tanβ=2log 872·log 972.所以sinα·cosβ+cosα·sinβ+2sinα·sinβ =cosα·sinβ（tanα+tanβ+2tanα·tanβ）=cosα·sinβ（2log 872·log 972-2log 872·log 972）=0.。
高中数学-同角三角函数的基本关系式练习
高中数学-同角三角函数的基本关系式练习34，选D. 答案：D5．已知θ∈(0,2π)，且sin θ，cos θ是方程x 2－kx ＋k ＋1＝0的两个实根，求k ，θ的值．解析：依题意有sin θ＋cos θ＝k ，① sin θcos θ＝k ＋1，②又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 所以k 2－2k －3＝0，解得k ＝3或k ＝－1， 显然|sin θcos θ|＝|k ＋1|≤1，因此k ＝－1，代入①②得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝－1，sin θcos θ＝0，从而⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－1，cos θ＝0.又θ∈(0,2π)，所以θ＝π或3π2.(限时：30分钟)1．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( )A.513 B ．－513 C.512 D ．－512解析：∵α是第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513.答案：B2．已知tan α＝－12，则2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.43 B ．3 C ．－43D ．－3解析：2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝2tan αtan 2α－1，将tan α＝－12代入得： 2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1214－1＝43，故选A. 答案：A 3．化简⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1＋cos α1－cos αsin α＝sin 2αsin α＝sin α. 答案：A4．已知sin αcos α＝18，且π＜α＜5π4，则cos α－sin α的值为( )A.32 B ．－32C.34 D ．－34解析：∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，且π＜α＜5π4，∴cos α＜sin α，∴cos α－sin α＜0，∴cos α－sin α＝－34＝－32. 答案：B5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．8解析：tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝1sin αcos α.∵sin α－cos α＝－52，∴1－2sin αcos α＝54， ∴sin αcos α＝－18，∴1sin αcos α＝－8.答案：C6．已知1＋sin x cos x ＝－13，则cos xsin x －1的值等于( )。
完整版)同角三角函数的关系练习题
完整版)同角三角函数的关系练习题同角三角函数的关系已知cosα=3/5，且α在第三象限，求cosα和tanα的值。
已知cosα=3/5，由于α在第三象限，所以sinα<0，根据勾股定理可得sinα=-4/5.再由于tanα=sinα/cosα，所以tanα=-4/3.已知cosα=1/5，且tanα<0，求sinα和tanα的值。
由于cos²α+sin²α=1，所以sinα=-√(1-cos²α)=-√(24/25)=-4/5.再由于tanα=sinα/cosα，所以tanα=-4.已知sinα=-5/13，且α是第四象限角，求sinα和cosα的值。
由于sin²α+cos²α=1，所以cosα=√(1-sin²α)=12/13.再由于tanα=sinα/cosα，所以tanα=-5/12.已知tanθ=2，求2sinθ-3cosθ，4sinθ-9cosθ，2sinθ-3sinθcosθ-4cosθ的值。
由于tanθ=sinθ/cosθ，所以sinθ=2cosθ。
将sinθ代入2sinθ-3cosθ和4sinθ-9cosθ中，可得它们的值分别为1和-2.再将sinθ代入2sinθ-3sinθcosθ-4cosθ中，可得其值为-4cosθ。
已知tanθ=2，求cosθ+sinθ，cosθ-sinθ，sinθ-sinθcosθ+2cos²θ的值。
由于tan²θ+1=sec²θ，所以cosθ=1/√5，sinθ=2/√5.将cosθ和sinθ代入cosθ+sinθ和cosθ-sinθ中，可得它们的值分别为√5/5和-√5/5.将cosθ和sinθ代入sinθ-sinθcosθ+2cos²θ中，可得其值为1/5.已知sinα=2cosα，求sinα-4cosα/(5sinα+2cosα)，sinα+2sinαcosα和2sinαcosα。
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，则.【答案】3【解析】===3.【考点】同角三角函数基本关系式2.若tan α＝3，则 sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝______.【答案】【解析】sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝＝＝＝.3.已知f(α)＝，则f的值为________．【答案】－【解析】∵f(α)＝＝－cos α，∴f＝－cos＝－cos＝－cos＝－.4.化简＋＝________.【解析】原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.5.已知α∈(，π)，tanα＝－，则sin(α＋π)＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】由题意可知，由此解得sin2α＝，又α∈(，π)，因此有sinα＝，sin(α＋π)＝－sinα＝－，故选B．6.记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】解法一：因为cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝＝，所以tan100°＝－tan80°＝－＝－．解法二：因为cos(－80°)＝k，所以cos80°＝k，所以tan100°＝－tan80°＝＝－．7.已知sinαcosα＝，且π<α<，则cosα－sinα的值为()A．－B．C．－D．【答案】B【解析】∵π<α<，∴cosα>sinα，∴cosα－sinα>0，又∵(cosα－sinα)2＝1－2cosαsinα＝，∴cosα－sinα＝．8.若3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin2θ的值是________．【答案】【解析】∵3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，即3sinθ－cosθ＝0，即tanθ＝．∴cos2θ＋sin2θ＝＝＝＝＝＝．9.（5分）（2011•福建）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函数间的基本关系化简后，得到关于sinα的方程，根据α的度数，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函数值，由α的范围即可得到α的度数，利用α的度数求出tanα即可．解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，则sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，则α=，所以tanα=tan=．故选D点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的范围．10.已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．【答案】－【解析】将sin α－cos α＝两边平方，得2sin α·cos α＝，(sin α＋cos α)2＝，sin α＋cos α＝，＝＝－(sin α＋cos α)＝－．11.在△ABC中,若sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根,则△ABC是 ( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∵sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根∴sinA+cosA=∴(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=即sinAcosA=-∵0o<A<180o,∴sinA>0,所以cosA<0,即90o<A<180o故知△ABC是钝角三角形12.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴.【考点】三角函数求值.13.在中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，则 .【答案】【解析】∵成等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（1）∵且，∴代入（1）式中，，∴，∴，∴，∴.【考点】1.等差中项；2.倍角公式；3.诱导公式.14.已知，，则．【答案】【解析】由题意，，．【考点】同角间的三角函数关系．15.若则【答案】【解析】，得，∴.【考点】求三角函数值.16.α是第二象限角，tanα＝－，则sinα＝________．【答案】【解析】由解得sinα＝±.∵α为第二象限角，∴sinα>0，∴sinα＝.17. cos＝________．【答案】－【解析】cos＝cos＝cos(17π＋)＝－cos＝－.18.已知其中若．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先由已知条件求得的值，再由平方关系可得的值，把拆为，最后利用两角和的余弦公式即可求得的值；（2）考查了三角函数中知一求三的思想，即这几个量“知一求三”．可先利用差角余弦公式将展开，求得的值，两边平方即可求得的值，再由平方关系即可求得的值，最后由商关系即可求得的值．试题解析：（1）由已知得：，（2）由，得，两边平方得：，即，∵，且，从而． 12分【考点】1．平面向量的数量积运算；2．应用三角恒等变换求三角函数的值．19.已知x∈(0,),则函数f(x)=的最大值为()A．0B．C．D．1【答案】C【解析】由已知得,f(x)==tanx-tan2x=-(tanx-)2+,∵x∈(0,),∴tanx∈(0,1),=.故当tanx=时,f(x)max20.已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.(1)求cos3(-θ)+sin3(-θ)的值.(2)求tan(π-θ)-的值.【答案】(1) -2 (2) 1+【解析】【思路点拨】先由方程根的判别式Δ≥0,求a的取值范围,而后应用根与系数的关系及诱导公式求解.解：由已知,原方程的判别式Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,∴a≥4或a≤0.又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,则a2-2a-1=0,从而a=1-或a=1+(舍去),因此sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-.(1)cos3(-θ)+sin3(-θ)=sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθ·cosθ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2.(2)tan(π-θ)-=-tanθ-=-(+)=-=-=1+.21.若sinθcosθ>0,则θ在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【答案】B【解析】∵sinθcosθ>0,∴sinθ,cosθ同号.当sinθ>0,cosθ>0时,θ在第一象限,当sinθ<0,cosθ<0时,θ在第三象限,因此,选B.22.＝()A．－B．－C．D．【解析】＝＝＝＝sin 30°＝.23.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.【答案】－【解析】f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.24. 4cos 50°－tan 40°＝________.【答案】【解析】4cos 50°－tan 40°＝＝＝＝＝＝.25.已知α∈，且cos α＝－，则tan α＝________.【答案】2【解析】利用同角三角函数的基本关系求解．由条件可得sin α＝－，所以tan α＝＝＝2.26.若α，β∈，cos ＝，sin ＝－，则cos (α＋β)＝________.【答案】【解析】∵α，β∈，∴－<α－<，－<－β<，由cos ＝和sin ＝－得α－＝±，－β＝－，当α－＝－，－β＝－时，α＋β＝0，与α，β∈矛盾；当α－＝，－β＝－时，α＝β＝，此时cos (α＋β)＝－.27.若cos ＝，则cos ＝()．A．－B．－C．D．【答案】D【解析】∵cos ＝，∴cos ＝2cos 2－1＝－，即sin 2x＝，∴cos ＝sin 2x＝.28.已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为________．【答案】－【解析】∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2cos θsin θ＝，∴2cos θsin θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－＝，又θ∈，∴sin θ＜cos θ，∴sin θ－cos θ＝－.29.已知，则=____________.【答案】【解析】，根据，可知：，故答案为.【考点】同角三角函数的基本关系式的运算30.已知，且，则．【答案】【解析】因为，所以。
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题1.已知，且，则 .【答案】【解析】由已知得，.【考点】三角函数基本运算.2.已知函数f(x)= ,则f[f(2014)]= ( )A．1B．-1C．0D．【答案】A【解析】∵f(2014)=2014-14=2000∴f[f(2014)]=f(2000)=cos(×2000)=cos500=13.若，则 .【答案】【解析】．【考点】诱导公式．4.若sinα＝，α∈，则cos＝__________．【答案】－【解析】由α∈，sinα＝，得cosα＝，由两角和与差的余弦公式得cos＝cosαcos－sinαsin＝－(cosα－sinα)＝－5.已知tanθ＝2，则＝__________．【答案】－2【解析】＝＝－2.6.已知2tanα·sinα＝3，－＜α＜0，则cos(α－)＝____________．【解析】依题意得＝3，即2cos2α＋3cosα－2＝0，解得cosα＝或cosα＝－2(舍去)．又－＜α＜0，因此α＝－，故cos＝cos＝cos＝0.7.已知tan=3，则 .【答案】45【解析】已知条件为正切值，所求分式为弦的齐次式，所以运用弦化切，即将分子分母同除以得.【考点】弦化切8.已知函数f(x)＝sin＋－2cos2，x∈R(其中ω＞0)．(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数y＝f(x)的单调增区间．【答案】（1）[－3,1]（2）(k∈Z)【解析】(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx－cos ωx－(cos ωx＋1)＝2－1＝2－1.由－1≤≤1，得－3≤2s－1≤1，所以函数f(x)的值域为[－3,1]．(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，所以＝π，即ω＝2.所以f(x)＝2sin－1，再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋ (k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以函数y＝f(x)的单调增区间为 (k∈Z)．9.＝()A．－B．－C．D．【答案】C【解析】＝＝＝＝sin 30°＝.10.已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解法（一）切化弦的思想：因为，所以，.又因为.所以解得.所以.故选D. 解法（二）弦化切的思想：因为.故选D.【考点】1.切与弦互化的思想.2.二倍角公式.3.方程的思想.11.已知，则=______________.【答案】【解析】本题三角函数式的求值，一般要先化简，而化简方法有透导公式化为同角，然后用切割化弦法，．【考点】诱导公式与同角关系．12.已知，且，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，且，所以，因此，故选B.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系13.已知函数，.（1）求的最大值和最小正周期；（2）若，是第二象限的角，求.【答案】（1）函数的最大值为，最小正周期为；（2）.【解析】（1）先利用辅助角公式将函数的解析式化简为的形式，进而求出函数的最大值与最小正周期；（2）先利用已知条件求出的值，再结合角的取值范围，求出的值，最后利用二倍角公式求出的值.试题解析：（1），，，即函数的最大值为，最小正周期为；（2），，为第二象限角，，因此，.【考点】1.辅助角公式；2.三角函数的最值；3.三角函数的周期性；4.同角三角函数的基本关系；5.二倍角14.已知，，，则的值=________________.【答案】【解析】因为，所以，，则，，则.【考点】1、同角三角函数值的互化；2,、三角函数的和差化积公式.15.化简的结果是 .【答案】【解析】.【考点】三角函数的诱导公式.16.已知，则 .【答案】【解析】由,.【考点】三角恒等变性及求值.17.函数的最小正周期是（）A．B．C．2πD．4π【答案】B【解析】函数,所以周期为.【考点】诱导公式，二倍角公式，三角函数的周期.18.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.①；②；③；④；⑤.(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数；(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.【答案】(1)；（2）.【解析】（1）∵②中的15°的2倍是30°，便于计算，可选用②算出a值；（2）观察发现两角之和为30°，可猜想，再运用降次公式，两角和与差公式，同角三角函数的关系式进行证明.试题解析：(1)选择②式计算.(2)猜想的三角恒等式为.证明：.【考点】降次公式，两角和与差公式，同角三角函数的关系式.19.若，且，则．【答案】【解析】∵，，∴是第三象限角，.【考点】同角三角函数的关系.20.已知是第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵是第二象限角，∴.故选A.【考点】三角求值21.已知角终边上一点，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于角终边上一点，则可知,故答案为D.【考点】三角函数的定义点评：解决的关键是根据三角函数的定义来得到其正弦值和余弦值，得到结论，属于基础题。
(完整版)同角三角函数基本关系式练习题
任意角的三角函数1.已知sin α=45，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ） (A)34(B)43- (C)43(D)43- 2.若θ是第三象限角，且02cos <θ，则2θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限3.设是第二象限角,则sin cos αα( )(A) 1 (B)tan 2α (C) - tan 2α (D) 1- 4.若tan θ=31,π<θ<32π,则sin θ·cos θ的值为 （ ） (A)±310(B)3105 若α 是三角形的一个内角，且sin α+cos α=32,则三角形为 （ ） (A) 钝角三角形(B)锐角三角形(C)直角三角形(D)等腰三角形6.已知α的终边经过P （ππ65cos ,65sin ），则α可能是 （ ）A ．π65B ．6πC ．3π-D ．3π7．如果).cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是 （ ）A ．)(]22,22[Z k k k ∈++-ππππB ．)()223,22(Z k k k ∈++ππππC ．)(]223,22[Z k k k ∈++ππππD ．)()2,2(Z k k k ∈++-ππππ8.1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为 （ ）A ．5B ．－5C ．6D ．－69. 扇形的周期是16，圆心角是2弧度，则扇形面积是______________10.若θ为第二象限角，则sin θcos θtan3的符号是_______________．11.⎪⎭⎫⎝⎛-π619sin 的值等于______________.12.若sin （125°－α）= 1213,则sin （α＋55°）=．13.cos π7 ＋cos 2π7 ＋cos 3π7 ＋cos 4π7 ＋cos 5π7 ＋cos 6π7 = ．14.已知sin α cos α=81,且4π<α<2π，则cos α－sin α的值为 ______________. 15．若2cos sin 2cos sin =-+αααα，则=αtan ______________16．已知tan α=2,则2sin 2α－3sin αcos α－2cos 2α= ; 17．角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13cos ≠=m mα，则sin α+cos α=______．18.若cos α＝23，α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值.19.已知51cos sin =+x x ，且π<<x 0．（1）求sinx 、cosx 、tanx 的值． （2）求sin 3x – cos 3x 的值．。
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，则= ；【答案】【解析】分子分母同除，便会出现,【考点】三角函数的计算2.已知，则( )A. B． C D．【答案】B【解析】.【考点】同角三角函数的基本关系.3.化简的结果 .【答案】【解析】,当为奇数时，，原式；当为偶数时，，原式；综上原式【考点】三角函数化简.4.已知,且∥.求值：（1）;（2）.【答案】(1);(2) .【解析】解题思路：（1）由得出关于的关系，利用求得；（2）利用,分子、父母同除以，得到的式子，再代入求值.规律总结：平面向量与三角函数结合是命题热点，主要借助平面向量平行、垂直的条件推得关于的关系式，然后利用三角函数的有关公式或性质进行变换.试题解析：(1),,.(2).【考点】平面向量平行的判定、同角三角函数基本关系式.5.已知且是第四象限角，则A．B．C．D．【答案】A【解析】∵=，∴，又∵是第四象限角，∴==，故选A．由诱导公式知，=，∴，由是第四象限角知，，结合同角三角函数基本关系中的平方关系得==．【考点】诱导公式；同角三角函数基本关系式；三角函数在各象限的符号6.若则．【答案】【解析】由故【考点】同角三角函数基本关系式7.已知，则的值为．【答案】-11【解析】【考点】弦化切8.化简：.【答案】【解析】此类化简题的关键在于诱导公式的使用，要能够理解诱导公式口决“奇变偶不变，符号看象限”的意义，奇偶指的是的倍数如，中是的偶数倍，4倍，中是的奇数倍，11倍；符号看象限，指的是使用诱导公式时，将看成锐角时的所在的象限，不管题中的范围,如中，为锐角时，为第四象限角，则符号为负，故可知.当然也可用诱导公式层层推进.本题由诱导公式易化简.解：原式=.【考点】诱导公式.9.已知，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，∴．【考点】1．诱导公式；2．同角三角函数基本关系．10.的值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,故选C.【考点】诱导公式11.已知是第二象限角,（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由是第二象限角，则．【考点】同角三角函数的基本关系式，三角函数的符号．12.的化简结果是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】是第二限角，则，所以==．【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系式．13.已知角的终边过点.（1）求的值；（2）若为第三象限角，且，求的值.【答案】；【解析】（1）由角的终边过点求出，利用诱导公式化简即可；（2）由为第三象限角，，可求出，结合（1）求出，利用展开式即可（1）因为的终边过点，所以，而；（2）因为为第三象限角，且，，故【考点】三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和与差的三角函数14.已知sinθ＝，sin2θ＜0，则tanθ等于 ( )A．－B．C．－或D．【答案】A【解析】由题意，∵sinθ=，sin2θ＜0，∴cosθ＜0∴cosθ＝−＝−∴tanθ＝＝−，故选A．【考点】同角三角函数间的基本关系．15.已知是第二象限角,（）A．B．C．D．-【答案】D【解析】∵是第二象限角，∴，故选D．【考点】同角三角函数基本关系．16.知为锐角，且2，=1，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】诱导公式化简为，解得：,得,故选C.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式.17.化简：.【答案】.【解析】本小题主要考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系式及辅助角公式，属于容易题.根据诱导公式及同角三角函数的商数关系：进行展开运算得到，再运用辅助角公式（其中）或运用两角和差公式进行化简即可.试题解析： 4分8分10分.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系式；3.辅助角公式（两角和差公式）；4.三角恒等变换.18.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】法一：由，而，故，；法二：.【考点】同角三角函数的基本关系式.19.已知向量与，其中.（1）问向量能平行吗？请说明理由；（2）若，求和的值；（3）在（2）的条件下，若，求的值.【答案】（1）不能平行；（2），；（3）.【解析】（1）先假设，列方程得，然后利用正弦的二倍角公式化简得，再判断此方程是否有解，若有解，可判断、可能平行；若无解，则可判断、不可能平行；（2）将向量的垂直问题转化为向量的数量积问题，得到，联立方程，并结合，即可求出；（3）先由同角三角函数的基本关系式计算出，然后再根据两角和的余弦公式展开计算得的值，最后结合的取值范围确定的值即可.试题解析：解：（1）向量不能平行若平行，需，即，而则向量不能平行 4分（2）因为，所以 5分即又 6分，即，又 8分（3）由（2）知，得 9分则 11分又，则 12分.【考点】1.向量平行、垂直的判定与应用；2.同角三角函数的基本关系式；3.两角和与差的三角函数.20.函数的值域是__ ____．【答案】【解析】正切函数在是单调递增的，所以在处取得最小值，在处取得最大值.【考点】正切函数图像及性质.21.的值为________.【答案】【解析】，故.【考点】1.诱导公式；2.三角恒等变换.22.已知，求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】(1)利用，对原式分子分母同除以得关于的解析式，代入就可求出代数式的值，(2) 利用分母，将原式化为关于二次齐次式，再利用，对原式分子分母同除以得关于的解析式，代入就可求出代数式的值，本题主要考查利用＂弦化切＂方法求值.本题也可从出发得代入（１）立得，但代入（２）后只得到，还需结合得出，才可最终求值.试题解析：（1）原式（2）原式12分【考点】同角三角函数关系，弦化切.23.已知，则________________；【答案】．【解析】利用公式，把平方得，从而，由于，则，这类问题中确定它们的正负是我们解题时要特别注意的，于是．【考点】同角三角函数关系（平方关系）．24.函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则___ ．【答案】【解析】的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，所以，，即，故。
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题1.已知，是第三象限角，则 .【答案】.【解析】根据同角三角函数的基本关系知，，化简整理得①，又因为②，联立方程①②即可解得：，，又因为是第三象限角，所以，故.【考点】同角三角函数的基本关系.2.已知.(1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：(1)利用诱导公式进行化简即可；（2）先用诱导公式得出，再利用同角三角函数基本关系式及角所在象限求出，进而求出.规律总结：涉及三角函数的化简与求值问题，往往要利用三角函数基本关系式、诱导公式、两角和差的三角公式以及二倍角公式，进行恒等变形；一定要注意灵活选用公式.试题解析：（I）原式=；（II）由得，即，因为是第三象限角，所以，所以 .【考点】1.诱导公式；2.三角函数基本关系式.3. cos660o的值为( ).A．B．C．D．【答案】C.【解析】【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.4.（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，诱导公式和特殊值的三角函数值记忆不正确，会导致选择A或B，选择D的错误很少见.【考点】诱导公式和特殊角的三角函数值.5.已知,且∥.求值：（1）;（2）.【答案】(1);(2) .【解析】解题思路：（1）由得出关于的关系，利用求得；（2）利用,分子、父母同除以，得到的式子，再代入求值.规律总结：平面向量与三角函数结合是命题热点，主要借助平面向量平行、垂直的条件推得关于的关系式，然后利用三角函数的有关公式或性质进行变换.试题解析：(1),,.(2).【考点】平面向量平行的判定、同角三角函数基本关系式.6.已知的值为（）A．－2B．2C．D．－【答案】D【解析】由原式可得，解得.【考点】同角三角函数间的基本关系.7.求的值域.【解析】可利用同角三角函数的基本关系式将函数化为利用换元法令原函数变为一元二次函数，可用一元二次函数求值域的方法解，注意的取值范围.解：原函数可化为令可得则【考点】同角三角函数的基本关系式,一元二次函数求值域.8.已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据诱导公式，将中的三角函数都转化为的三角函数，即可得到；（2）由，可得，又由条件是第三象限角及（1）中得到的的表达式，即可得到．（1）；（2）由得，，因为是第三象限角，所以，∴．【考点】1．诱导公式；2．同角三角函数基本关系．9.已知sinα=，且α为第二象限角，那么tanα的值等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵sinα=，且α为第二象限角，∴，∴．【考点】同角三角函数的基本关系．10.的值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,故选C.【考点】诱导公式11.已知，则的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】诱导公式的化简12. sin的值是（）A．B．－C．D．－【答案】B【解析】.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.13.已知，则等于 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】法一：由可得即，所以，又因为，从而可得到，所以，所以；法二：因为将代入即可得到，故选D.【考点】同角三角函数的基本关系式.14.已知函数,.(1)求的值;(2)若,,求.【答案】(1)1；(2)【解析】(1)直接将代入函数即可求其值。
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题1.已知，，则_____________.【答案】【解析】因为α是锐角所以sin(π－α)＝sinα＝【考点】同角三角函数关系，诱导公式.2.若，则A．B．C．D．【答案】C【解析】由，可得：同正或同负，即可排除A和B，又由，故.【考点】同角三角函数的关系，且α∈，则tan(2π－α)的值为________．3.已知sin(π－α)＝log8【答案】＝－，【解析】sin(π－α)＝sin α＝log8又α ∈，得cos α＝＝，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.4.已知2sinαtanα＝3，则cosα的值是()A．－7B．－C．D．【答案】D【解析】由已知得2sin2α＝3cosα，∴2cos2α＋3cosα－2＝0，(cosα＋2)(2cosα－1)＝0∴cosα＝，选D．5.已知sin(－x)＝，则cos(π－x)＝()A．B．C．－D．－【答案】C【解析】cos(π－x)＝cos[＋(－x)]＝－sin(－x)＝－，故选C．6.方程两根，且，则；【答案】【解析】由已知可得，，因为，所以，所以或.但由于，所以，。
由，则同号；由，则都小于0。
所以，所以【考点】两角和差公式以及正切函数的性质.7.在中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，则 .【答案】【解析】∵成等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（1）∵且，∴代入（1）式中，，∴，∴，∴，∴.【考点】1.等差中项；2.倍角公式；3.诱导公式.8.若，则 .【答案】【解析】．【考点】诱导公式．9.已知tan ＝，tan ＝，则tan(α＋β)＝________．【答案】1【解析】tan(α＋β)＝tan[(α－)＋(＋β)]＝＝110.若sinα＝，α∈，则cos＝__________．【答案】－【解析】由α∈，sinα＝，得cosα＝，由两角和与差的余弦公式得cos＝cosαcos－sinαsin＝－(cosα－sinα)＝－11.函数y＝cos的单调递增区间是________．【答案】(k∈Z)【解析】－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所求单调递增区间是(k∈Z)．12.设f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导数,若f(x)=2f′(x),则=_________.【答案】【解析】由f'(x)=cosx-sinx,∴sinx+cosx=2(cosx-sinx),∴3sinx=cosx,∴tanx=,所求式子化简得,=tan2x+tanx=+=.13.若sinθcosθ>0,则θ在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【答案】B【解析】∵sinθcosθ>0,∴sinθ,cosθ同号.当sinθ>0,cosθ>0时,θ在第一象限,当sinθ<0,cosθ<0时,θ在第三象限,因此,选B.14.已知sin ＝，则sin＝________.【答案】±【解析】由sin ＝，得cos ＝±，所以sin＝cos＝±.15.若tan θ＋＝4，则sin 2θ的值 ()．A．B．C．D．【答案】D【解析】由tan θ＋＝4，得＝4，∴4sin θcos θ＝1，则sin 2θ＝.16.已知f(x)＝sin2，若a＝f(lg 5)，b＝f()．A．a＋b＝0B．a－b＝0C．a＋b＝1D．a－b＝1【答案】C【解析】f(x)＝，∴a＝＋，b＝＋＝－，因此a＋b＝1.17.已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】【解析】.又因为，所以为三象限的角，.选B.【考点】三角函数的基本计算.18.已知0<α<，β为f(x)＝cos的最小正周期，a＝，b＝(cos α，2)，且a·b＝m，求的值．2cos2α＋sin 2α＋βcosα－sin α【答案】4＋2m【解析】因为β为f(x)＝cos的最小正周期，故β＝π.因为a·b＝m，又a·b＝cos α·－2，故cos α·＝2＋m.由于0＜α＜，所以＝＝＝2cos α·＝2cos α·tan＝2(2＋m)＝4＋2m.19.在中，BC=，AC=2，的面积为4，则AB的长为 .【答案】或【解析】由已知，∴，故，在中，当，当时，4，当时.【考点】1、三角形的面积；2、同角三角函数基本关系式；3、余弦定理.20.在中，角A，B，C所对的边分别为（Ⅰ）叙述并证明正弦定理；（Ⅱ）设，，求的值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .【解析】(Ⅰ)正弦定理：，利用三角形的外接圆证明正弦定理. 设的外接圆的半径为，连接并延长交圆于点，则，直径所对的圆周角，在直角三角形中，，从而得到，同理可证，，则正弦定理得证；(Ⅱ)先由正弦定理将化为①，再依据和差化积公式，同角三角函数间的关系，特殊角的三角函数值将①式化简，得到，则，再由二倍角公式求解.试题解析：(Ⅰ) 正弦定理：.证明：设的外接圆的半径为，连接并延长交圆于点，如图所示：则，，在中，，即，则有，同理可得，，所以.(Ⅱ)∵，由正弦定理得，，，，，，解得，，∴.【考点】1.正弦定理；2.解三角形；3.同角三角函数间的关系；4.和差化积公式；5.二倍角公式21.已知函数，.（1）求的值；（2）设、，，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接计算的值；（2）先由已知条件计算、的值，然后利用同角三角函数的基本关系求出、的值，最后利用两角和的余弦公式计算出的值.试题解析：（1），所以；（2），，、，所以，，所以.【考点】1.同角三角函数的基本关系；2.两角和的余弦公式22.已知5cos（45°+x）=3，则sin2x=．【答案】【解析】由已知可得（cosx－sinx）=，即cosx－sinx=，两边平方得1-2cosxsinx=，sin2x=.【考点】1.两角和差公式；2.同角的基本关系式；23.已知函数的最大值是1，其图像经过点。
同角三角函数的基本关系式与诱导公式专题及答案
同角三角函数基本关系及诱导公式1．α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝ .2．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝ .3．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α＝ .4．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为 ．5．函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π4对称，则φ的取值是 ．6．如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝7．已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝ .8．化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3(π2＋α)·sin (－α－2π)＝ .9．已知sin θ＝45，π2<θ<π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．10．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R)的两个根，求cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)的值． (已知：a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2))同角三角函数基本关系及诱导公式1．α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝ . 答案 －513解析 ∵tan α＝sin αcos α＝－512，∴cos α＝－125sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋14425sin 2α＝16925sin 2α＝1. 又sin α<0，∴sin α＝－513. 2．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝ . 答案 －79解析 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋α＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13. 则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α－1＝－79. 3．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α＝ . 答案 －25解析 由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)得sin α＝－2cos α， 所以tan α＝－2，所以sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25. 4．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为 ． 答案 12解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos α·(－tan α)＝cos α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＝cos π3＝12. 5．函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π4对称，则φ的取值是 ． 答案 k π－π4(k ∈Z) 解析 ∵y ＝cos x ＋2的对称轴为x ＝k π(k ∈Z)，∴x ＋φ＝k π(k ∈Z)，即x ＝k π－φ(k ∈Z)，令π4＝k π－φ(k ∈Z)得φ＝k π－π4(k ∈Z)． 6．如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝ . 答案 265解析 ∵sin α＝15，且α为第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－125＝－265， ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－cos α＝265. 7．已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝ . 答案 －74解析 由题意可得cos(π4＋α)＝±74，又因为α为钝角，所以cos(π4＋α)＝－74，所以sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)＝－74. 8．化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3(π2＋α)·sin (－α－2π)＝ . 答案 1解析 原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 9．已知sin θ＝45，π2<θ<π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值． 解 (1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝925. 又π2<θ<π，∴cos θ＝－35.∴tan θ＝sin θcos θ＝－43. (2)由(1)知，sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857. 10．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R)的两个根，求cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)的值．(已知：a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2))解 由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又∵⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，则a 2－2a －1＝0，从而a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)，因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.∴cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)＝sin 3θ＋cos 3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.。
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题1. [2014·滨州模拟]sin600°＋tan240°的值等于()A．－B．C．－D．＋【答案】B【解析】sin600°＋tan240°＝sin240°＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝，选B项．2.若，则 .【答案】【解析】．【考点】诱导公式．3.已知α、β均为锐角，且sinα＝，tan(α－β)＝－.(1) 求sin(α－β)的值；(2) 求cosβ的值．【答案】（1）－（2）【解析】(1) ∵α、β∈，∴－＜α－β＜.又tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－.(2) 由(1)可得，cos(α－β)＝.∵α为锐角，sinα＝，∴cosα＝.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝.4.已知角θ的终边经过点P(－x，－6)，且cosθ＝－，则sinθ＝____________，tanθ＝____________．【答案】－，【解析】cosθ＝＝－，解得x＝sinθ＝＝－，tanθ＝5.已知α为锐角，cos α＝，则tan＝()A．－3B．－C．－D．－7【答案】B【解析】依题意得，sin α＝，故tan α＝2，tan 2α＝，所以tan＝＝－.6.已知sinα=,则cos(π-2α)=()A．-B．-C．D．【答案】B【解析】∵sinα=,∴cos(π-2α)=-cos2α=-(1-2sin2α)=-.故选B.7.设sin＝，则sin 2θ＝()A．－B．－C．D．【答案】A【解析】因为sin＝，即sin θ＋cos θ＝，所以sin θ＋cos θ＝，两边平方得1＋2sin θcos θ＝，所以sin 2θ＝－.8.已知sin 2α＝，则cos2＝()A．B．C．D．【答案】A【解析】法一：cos2＝＝(1－sin 2α)＝.法二：cos＝cos α－sin α，所以cos2＝(cos α－sin α)2＝(1－2sin αcos α)＝ (1－sin 2α)＝.9.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(，)，a·b＝，则cos＝________.【答案】【解析】因为a·b＝cos x＋sin x＝2cos＝，所以cos＝.10.已知α∈，cos α＝－，tan 2α等于()．A．B．－C．－2D．2【答案】B【解析】由于α∈，cos α＝－，则sin α＝－＝－，那么tan α＝＝2，则tan 2α＝＝－.11.已知sin α＝，则cos (π－2α)＝()．A．B．－C．D．【答案】B【解析】cos (π－2α)＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×2－1＝－.12.设α是第二象限角，tan α＝－，且sin<cos，则cos＝______.【答案】-【解析】∵α是第二象限角，tan α＝－，∴2kπ＋<α<2kπ＋，∴kπ＋<<kπ＋，又sin <cos ，∴为第三象限角，∴cos<0.∵tan α＝－，∴cos α＝－，∴cos ＝－＝－.13.已知则= .【答案】【解析】因为所以=，所以==.【考点】同角三角函数的基本关系.14.在△中，角、、所对的边分别为、、，且.（Ⅰ）若，求角；（Ⅱ）设，，试求的最大值.【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由题中所给,不难想到余弦定理,可求得 ,又由,变形成,从而求出,结合和,不难求出B; （Ⅱ）由已知可求出,又由向量的数量积公式可求出的形式,这样得到关于A 的一个三角函数式,运用二倍角公式化简得一个关于为整体的二次函数,即,又由的值推出的范围,进而得出的范围,从而求出的范围,即可求得最大值.试题解析：解：由，得，又， 3分（Ⅰ）由，，， 6分，又， 8分（Ⅱ）= 11分又中，，得，，的最大值为 14分【考点】1.解三角形;2.三角函数的性质;3.向量的数量积15.已知则= .【答案】【解析】已知则，于是.【考点】同角三角函数基本关系式.16.已知函数．（1）求的值；（2）若，求．【答案】（1）；(2)【解析】（1）把代入解析式可得；（2）把表示出来并展开，得关于的式子，由，结合同角三角函数基本关系式，求得（注意的范围），代入上式即可. 试题解析：（1）=；（2）∵，且，∴， ==.【考点】1、同角三角函数基本关系式；2、差角的余弦公式.17.已知，则 .【答案】或【解析】由已知：.又.联立解方程组得：或.所以：或.【考点】1、诱导公式；2、同角三角函数关系式；3、解方程组.18.已知函数为偶函数，周期为2.(Ⅰ)求的解析式；(Ⅱ)若的值.【答案】（1）．（2）.【解析】（1）利用，可得，从而得到．再根据其为偶函数及，可得，得到．这是解答此类问题的一般方法.要特别注意这一限制条件.（2）∵根据角的范围及．进一步应用同角公式，确定．应用二倍角公式求解.试题解析：（1）由题意可得，解得，故函数．又此函数为偶函数，可得，结合，可得，故．（2）∵，∴．根据，∴．∴【考点】1、三角函数的图象和性质；2、同角公式；3、二倍角公式.19.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，选.【考点】诱导公式.20.已知点是圆：内任意一点，点是圆上任意一点，则实数（）A．一定是负数B．一定等于0C．一定是正数D．可能为正数也可能为负数【答案】A【解析】令，，又因为小于1，所以必定是负数.【考点】1.三角函数式的化简；2.三角函数最值.21.已知函数，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．（Ⅰ）求函数的达式；（Ⅱ）在△中．、、分别是角、、的对边，，，角C为锐角。
同角三角函数的基本关系式练习题
同角三角函数的基本关系式练习题（一）1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )A ．－43B.34C ．±34D ．±432．化简1－sin2160°的结果是( )A ．cos160°B ．－cos160°C ．±cos160°D ．±|cos160°| 3．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.34C ．1 D.544．若cos α＝－817，则sin α＝________，tan α＝________.5．若α是第四象限的角，tan α＝－512，则sin α等于( )A.15B ．－15C.315D ．－5136．若α为第三象限角，则cos α1－sin2α＋2sin α1－cos2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－17、已知A 是三角形的一个内角，sinA ＋cosA = 23 ,则这个三角形是 （ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰直角三角形D ．等腰直角三角形 8、已知sinαcosα = 18 ,则cosα－sinα的值等于 （ ）A ．±34B ．±C ．D ．－9、已知是第三象限角，且，则 （ ）A ．B ．C ．D ．10、如果角满足,那么的值是 （ ）A ．B ．C ．D ．11、若，则（）A ．1B ． 1C ．D ．12．A 为三角形ABC 的一个内角，若sinA ＋cosA ＝1225，则这个三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形13．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于( )A ．－43B.54C.－34D.4514．()cos2x ＝( )A ．tanxB ．sinxC ．cosxD ．15．使1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是( )A ．{x|2k π－π＜α＜2k π，k ∈Z}B ．{x|2k π－π≤α≤2k π，k ∈Z}C ．{x|2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z}D ．只能是第三或第四象限的角16．计算1－2sin40°·cos40°sin40°－1－sin240°＝________.17．已知tan α＝－3，则1－sin αcos α2sin αcos α＋cos2α＝________.18、若，则的值为________________．19、已知，则的值为．20．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin2α＋1－cos2αcos α的值为________．21．求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ·(1＋1tan θ)＝1sin θ＋1cos θ.部分答案1、解析：选A.∵α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin2α＝－1－452＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝45－35＝－43.2、解析：选B.1－sin2160°＝cos2160°＝－cos160°.3、解析：选B.2sin α－cos αsin α＋2cos α＝2tan α－1tan α＋2＝34.4、解析：∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限角．若α是第二象限角，则sin α>0，tan α<0.∴sin α＝1－cos2α＝1517，tan α＝sin αcos α＝－158.若α是第三象限角，则sin α<0，tan α>0. ∴sin α＝－1－cos2α＝－1517，tan α＝sin αcos α＝158. 答案：1517或－1517 －158或1585、解析：选D.∵tan α＝sin αcos α＝－512，sin2α＋cos2α＝1，∴sin α＝±513，又α为第四象限角，∴sin α＝－513.6、解析：选B.∵α为第三象限角，∴sin α<0，cos α<0，∴cos α1－sin2α＋2sin α1－cos2α＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝－1－2＝－3.7、解析：选B.∵sinA ＋cosA ＝1225，∴(sinA ＋cosA)2＝(1225)2＝144625，即1＋2sinAcosA ＝144625，∴2sinAcosA ＝－481625<0，∴sinA>0，cosA<0，∴A 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形．13、解析：选D.sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tan θ－2tan2θ＋1＝4＋2－25＝45.14、解析：选 D.(tanx ＋cotx)·cos2x ＝(sinx cosx ＋cosxsinx )·cos2x ＝sin2x ＋cos2x sinx ·cosx ·cos2x ＝cosxsinx ＝cotx.15、解析：选 A . 1－cos α1＋cos α＝1－cos α21－cos2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α，即sinα＜0，故{x|2kπ－π＜α＜2kπ，k ∈Z}．16、解析：原式＝sin40°－cos40°2sin40°－cos240°＝cos40°－sin40°sin40°－cos40°＝－1. 答案：－117、解析：1－sin αcos α2sin αcos α＋cos2α＝sin2α－sin αcos α＋cos2α2sin αcos α＋cos2α＝tan2α－tan α＋12tan α＋1＝－32－－3＋12×－3＋1＝－135.答案：－13518、答案：5/321、证明：左边＝sin θ(1＋sin θcos θ)＋cos θ·(1＋cos θsin θ)＝sin θ＋sin2θcos θ＋cos θ＋cos2θsin θ＝(sin θ＋cos2θsin θ)＋(sin2θcos θ＋cos θ)＝sin2θ＋cos2θsin θ＋sin2θ＋cos2θcos θ＝1sinθ＋1cosθ＝右边，∴原式成立．。
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题1.△ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sinA－cosB，cosA－sinC)，则＋＋的值是()A．1 B．－1 C．3 D．4【答案】B【解析】因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A>90°－B，则sinA>sin(90°－B)＝cosB，sinA－cosB>0，同理cosA－sinC<0，所以点P在第四象限，＋＋＝－1＋1－1＝－1，故选B．2.已知，，则．【答案】【解析】由题意，，．【考点】同角间的三角函数关系．3.已知，则= .【答案】【解析】.【考点】三角函数同角公式，二倍角的正弦公式.4.若sinα＝，α∈，则cos＝__________．【答案】－【解析】由α∈，sinα＝，得cosα＝，由两角和与差的余弦公式得cos＝cosαcos－sinαsin＝－(cosα－sinα)＝－5.已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，且θ∈(0，2π)．(1)求的值；(2)求m的值；(3)求方程的两根及此时θ的值．【答案】（1）（2）（3）θ＝或【解析】(1)由韦达定理可知而＝＝sinθ＋cosθ＝.(2)由①两边平方得1＋2sinθcosθ＝，将②代入得m＝.(3)当m＝时，原方程变为2x2－(1＋)x＋＝0，解得x1＝，x2＝，∴或∵θ∈(0，2π)，∴θ＝或6.已知α为锐角，cos α＝，则tan＝()A．－3B．－C．－D．－7【答案】B【解析】依题意得，sin α＝，故tan α＝2，tan 2α＝，所以tan＝＝－.7.在△ABC中,sin(-A)=3sin(π-A),且cosA=-cos(π-B),则C等于()(A) (B) (C) (D)【答案】C【解析】【思路点拨】将已知条件利用诱导公式化简后可得角A,角B,进而得角C.解:由已知化简得cosA=3sinA.①cosA=cosB.②由①得tanA=,又∵0<A<π,∴A=,由②得cosB=·cos=,又∵0<B<π,∴B=,∴C=π-A-B=.8.已知α是第三象限角,且cos(85°+α)=,则sin(α-95°)=.【答案】【解析】∵α是第三象限角,cos(85°+α)=>0,∴85°+α是第四象限角,∴sin(85°+α)=-,sin(α-95°)=sin[(85°+α)-180°]=-sin(85°+α)=.9.已知,,则的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,, ，【考点】正弦和差角公式诱导公式10.已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α等于________．【答案】【解析】∵sin α＋2cos α＝，∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝.化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝.11.若sin＝，则sin＝______.【答案】-【解析】sin＝－cos＝－cos＝2sin2－1＝－. 12.已知sin α＝，则cos (π－2α)＝()．A．B．－C．D．【答案】B【解析】cos (π－2α)＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×2－1＝－.13.化简：=________．【答案】－tana【解析】.【考点】三角函数同角关系式及诱导公式.14.在中，BC=，AC=2，的面积为4，则AB的长为 .【答案】或【解析】由已知，∴，故，在中，当，当时，4，当时.【考点】1、三角形的面积；2、同角三角函数基本关系式；3、余弦定理.15.若α∈，且，则的值等于()A．B．C．D．【解析】因为，α∈，且，所以，，=，选D.【考点】三角函数倍角公式、同角公式16.设为锐角，若，则的值为___________.【答案】【解析】，所以=，因为，且，所以=，∴=，=，所以=.【考点】1、两角差的正弦公式；2、正弦和余弦的二倍角公式.17.已知函数，函数与函数图像关于轴对称.（1）当时，求的值域及单调递减区间；（2）若，求值.【答案】（1）当时，的值域为，单调递减区间为；（2）.【解析】（1）先将函数的解析式进行化简，化简为，利用计算出的取值范围，再结合正弦曲线确定函数的值域，对于函数在区间上的单调区间的求解，先求出函数在上的单调递减区间，然后和定义域取交集即得到函数在区间上的单调递减区间；（2）利用等式计算得出的值，然后利用差角公式将角凑成的形式，结合两角差的正弦公式进行计算，但是在求解的时候计算时，利用同角三角函数的基本关系时需要考虑角的取值范围.试题解析：（1）2分又与图像关于轴对称，得当时，得，得即 4分单调递减区间满足，得取，得，又，单调递减区间为 7分（2）由（1）知得，由于 8分而10分13分【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系；3.两角差的正弦公式18.已知且（1）求的值；（2）求的值；【答案】（1）；（2）【解析】⑴根据已知条件先判断角所在的象限，然后求出角的余弦值，那么正弦值就很容易得到了；⑵先化简所给的式子，然后分子分母同时除以，然后将代入即可.试题解析：⑴∵，∴在第四象限 2分∴， 4分∴； 6分（2）. ..12分【考点】同角三角函数间的关系，三角函数的诱导公式及应用.19.设θ为第二象限角，若tan(θ＋)＝，则sinθ＋cosθ＝．【答案】－【解析】由θ为第二象限角且tan(θ＋)＝，则为第三象限角，于是，所以.【考点】三角函数计算20.已知，，则．【答案】【解析】由，得，，.【考点】同角三角函数的关系、两角和的正切公式.21.已知，且，，则______．【答案】【解析】由，，得，所以，又由，知.【考点】同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数.22.已知，且，则的值等于（）A．B．C．D．7【答案】C【解析】由倍角公式得又由平方关系得最后由两角和正切公式得【考点】考查三角恒等变换，知值求值类问题．23.已知是第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵是第二象限角，∴.故选A.【考点】三角求值24.若，且，则 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，且，所以，故选D。
三角函数复习(同角三角函数基本关系与诱导公式)
三角函数复习（同角三角函数基本关系与诱导公式）. （2）商数关系：sin αcos α＝tan α.1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1（3）倒数关系：tan α=co 1t∝2.六组诱导公式（1）诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． （2）同角三角函数基本关系式的常用变形：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 二、课前自测1. tan 等于 ( ) A. √B. √C.√D.√2. 若 α=1，α ./，则 tanα 等于 ( )A.√B.√C. √D. √3. 已知 tanα= 1，且 α 为第二象限角，则 nα 的值为 ( )A. 1B. 11C.1D.14. .1 / n.1/= ．5. 已知 tanα= ，则的值为 ．三、典型例题1. 已知 α 是三角形的内角，且 nα α=1．Ⅰ求tanα的值；Ⅱ把1用tanα表示出来，并求其值；Ⅲ求：的值；Ⅳ求 nα nα α的值．2. （1） n()() n()=；（2）已知 .α/=√，则 .α/ n.α/的值为．（3）已知 n.1 α/=，则 .α111/=．（4）若 .α/=1，则 n.α/=．3. （1）已知=()()()，则的值构成的集合是()A. *+B. *+C. *+D. *+（2）()() . /()()=．（3）已知α为第三象限角，(α)= . / . / ()()()．Ⅰ化简(α)；Ⅱ若 .α/=1，求(α)的值．同角三角函数基本关系式与诱导公式答案课前自测 1. D 2. C 3. C4. √5. 1典型例题1. （1） 解法一： 联立 { nα α=1n αα=由 得 α=1nα， 将其代入 ，整理得 n α nα = ． 因为 α 是三角形的内角， 所以 nα=，所以 α=， 所以 tanα=． 解法二：因为 nα α=1，所以 ( nα α)=.1 /，则 nα α=1，所以 nα α=，所以 ( nα α) = nα α==． 因为 nα α= 1且 α ， 所以 nα ， α ， 所以 nα α ． 所以 nα α= ．由 { nα α=1nα α=得 { nα=α=所以 tanα= ．（2）1 === 11因为tanα=，所以α nα=tanαtanα=. /. /=（3）tanα=，则：==. /=．（4）nα nα α==1=1=2. （1）；（2）√（3）（4）. 13. （1）C 【解析】当为偶数时，==；当为奇数时，==．所以的值构成的集合是*+．（2）.【解析】原式=0 ./1 ( ), ( )-=./( ) =( ) ===（3）(α)= . / ./ ( ) ( ) ( )=( ) ( )( )= α（4） 因为 .α/=1， 所以 nα=1，从而 nα= 1． 又 α 为第三象限角， 所以 α= √ n α= √，所以 (α)= √．同角三角函数基本关系式与诱导公式课堂练习与作业一、选择题（共7小题；共35分） 1. n 的值为 ( ) A. 1B. √C.D. √2. 已知 ./=√，且，则 tan = ( )A. √B. √C. √D. √3. 若 α 是第三象限角，且 tanα=1，则 α= ( )A. √11B.√11C.√11D. √114. 在 中，若 tan = 则 = ( )A. √B. √C. √D. √5. 已知 n ( )= n./ 则 n = ( )A.B.C. 或D. 16. 已知 (α)=( ) ( )( )，则 .1/ 的值为 ( )A. 1B. 1C. 1D. 17. 已知函数 ( )= n ( α) ( )，且 ( )= ，则 ( ) 的值为 ( )A. B. C. D.二、填空题（共1小题；共5分）8. 已知α为锐角，且 tan(α) . /=，tan(α) n()=，则 nα的值是．三、解答题（共2小题；共26分）9. 已知 n(α)= n.α/，求下列各式的值：（1）；（2） nα nα α．10. 已知 n(α)(α)=√.α /，求下列各式的值．（1） nα α；（2） n.α/.α/．答案第一部分1. A【解析】 n = n ( ) ( )= n ( )= n =1 1=12. D 【解析】 ./= n =√，又，则 =1，所以 tan =√ ．3. C【解析】因为 α 是第三象限角，且 tanα= =1， n α α= ，所以 α= √1 1．4. B【解析】在 中，当 tan = 时， ./，所以 =√1=√= √． 5. B【解析】由已知等式得 n = ， 所以 n = = ，所以 =1，故 n = =． 6. C【解析】因为 (α)== α，所以 . 1/= .1/= ./== 1．7. c【解析】因为 ( )= n ( α) ( )= nα = ，所以( )= n ( α) ( )= n (α) ( )=第二部分 8. √1 1【解析】由已知可得 tanα n = ，tanα n = ， 解得 tanα= ， 又 α 为锐角，故 nα= √11． 第三部分9. （1） 解法一：由 n ( α)= n.α/ 得 tanα= ．原式=== 1．解法二：由已知得 nα= α．原式==1．（2）解法一：原式==1=．解法二：原式===．10. （1）由 n(α)(α)=√，得 nα α=√．将两边平方，得 nα α=，故 nα α=．又α，所以 nα， α．( nα α)= nα α= . /=1 ，所以 nα α=．（2） n.α/.α/=α nα=( α nα)(α α nα nα)= .1/=。
同角三角函数的基本关系(基础知识+基本题型)(含解析)
5.2.2 同角三角函数的基本关系（基础知识+基本题型）知识点一 同角三角函数的基本关系式利用单位圆中的三角函数线以及勾股定理，我们可以得到同一个角的三个三角函数之间的两种关系：（1）根据三角函数的定义，当,2k k Z παπ=+∈时，sin tan cos ααα=不成立． （2）2sin α是()2sin α的简写，不能将2sin α写成2sin α，前者是α的正弦的平方，而后者是α平方的正弦．（3）利用平方关系，得sin α=，cos α=，“±”号由α的终边所在象限决定．（4）“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立，与角的表达形式无关，如22sin 3cos 31αα+=等．知识点二 同角三角函数关系式的应用同角三角函数的基本关系式主要用于：（1）已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；（2）化简三角函数式；（3）证明三角恒等式．常用的等价变形有：sin α=， cos α=，22sin 1cos αα=-，22cos 1sin αα=-，sin tan cos ααα=，sin cos tan ααα=． 【提示】 已知某角的一个三角函数值，在使用22sin cos 1αα+=求它的其余三角函数值时，要注意角的终边所在的象限．求解过程中一般有以下三种情况：①如果已知三角函数值，且角所在的象限已知，那么只有一组解；②如果已知三角函数值，但没有指定角在哪个象限，那么先由已知三角函数值的正负确定角可能在的象限，再求解，这种情况一般有两组解；③如果所给的三角函数值是由字母给出的，且没有指明角在哪个象限，那么就需要进行讨论．考点一应用同角三角函数关系式求值【例1】已知()1sin cos05αααπ+=<<，求tanα．解：方法1：由1sin cos5αα+=两边平方．得221sin2sin cos cos25αααα++=，即112sin cos25αα+=．所以12sin cos025αα=-<，又因为0απ<<，所以sin0α>，cos0α<，所以sin cos0αα->．所以7sin cos5αα-====．所以4sin5α=，3cos5α=-．所以sin4tancos3ααα==-．方法2：由221sin cos5sin cos1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，联立消去cosα，得221sin sin15αα⎛⎫+-=⎪⎝⎭，即225sin5sin120αα--=，解得4sin5α=或3sin5α=-（舍去）．所以3cos5α=-，所以sin4tancos3ααα==-．（1）在sin cosαα+，sin cosαα-，sin cosαα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是()2sin cos12sin cosαααα±=±．（2）设sin cos tαα+=，由三角函数线，知当02πα<<时，1t>；当324ππα<<时，01t<<；当34παπ<<时，10t-<<；当32ππα<<时，1t <-； 当3724ππα<<时，10t -<<； 当724παπ<<时，01t <<． 依据以上结论，已知sin cos αα+的值时，可进一步得出α的范围．【例2】已知tan 2α=，则（1）2sin 3cos 4sin 9cos αααα-=-______； （2）224sin 3sin cos 5cos αααα--=______．解：(1)：2sin 3cos 2tan 34sin 9cos 4tan 9αααααα--=-- 2231429⨯-==-⨯-． （2）2222224sin 3sin cos 5cos 4sin 3sin cos 5cos sin cos αααααααααα----=+． 224tan 3tan 5tan 1ααα--=+． 44325141⨯-⨯-==+． 答案：（1）-1 （2）1本题是一个在已知tan m α=的条件，求关于sin ,cos αα的齐次式的整体代入的问题．解决这类问题，需注意以下两点；（1）一定是关于sin ,cos αα的齐次式（或能化为齐次式，如第（2）问）的三角函数式；（2）cos 0α≠，这样分子、分母才能都除以()*cos n n N α∈．先将被求式化为关于tan α的表达式，再将tan m α=代入，从而使问题获得求解．考点二 三角函数式的化简【例3】 化简tan α是第二象限角． 分析：先由角α是第二象限角确定出sin ,cos αα的符号，利用22sin cos 1αα+=对含根号的式子化简，结合sin ,cos αα的符号去掉根号，再由sin tan cos ααα=把式子化简． 解：因为α是第二象限角，所以sin 0α>，cos 0α<．故tan tan tan ==sin cos sin cos cos sin cos sin αααααααα-=⋅=⋅． ＝１．化简三角函数式的一般要求：（1）函数种类最少；（2）项数最少；（3）函数次数最低；（4）能求值的求出值；（5）尽量使分母不含三角函数；（6）尽量使分母不含根式．考点三 三角恒等式的证明【例4】 求证：tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅． 证明：左边=tan sin tan tan cos ααααα⋅-⋅． ()tan sin sin tan 1cos 1cos αααααα⋅==--． 右边=tan tan cos tan sin ααααα+⋅⋅ =()tan 1cos 1cos tan sin sin αααααα++=⋅=()21cos sin 1cos ααα-- =()2sin sin sin 1cos 1cos ααααα=-- 所以左边=右边，即原等式成立．（1）利用同角三角函数关系式证明时，要熟悉公式．方法有从左至右、从右至左或从两侧证明等于同一式，还可用比较法．（2）注意切化弦、弦化切及平方关系的应用．。
同角三角函数的基本关系练习题及答案详解
同角三角函数的基本关系【课前复习】．叙述任意角三角函数的定义．1 ．计算下列各式的值：22222420°＋sin；_______________30°＝cos30°＋sin ；________________420°＝．_______________＝²cottan；_______________＝【学习目标】．1＝αcotαtan，αtan＝，11＝αcos＋αsin．掌握同角三角函数的基本关系式：．运用同角三角函数的基本关系式解决求值问题．2 【基础知识精讲】本课时的重点是同角三角函数关系式及其变式的应用，难点是三角函数值符号在不同象限时的确定．1．同角三角函数的基本关系式，反映三角函数之间的内在联系．它们都是根据三角函数的定义推导出来的．亦可以利用单位圆用几何方法推出．．对同角三角函数基本关系式的应用应注意：222 就不恒成立．1＝βcos＋αsin）关系式中要注意同角．例如1（2kα²cotαtan）时，Z∈（＝α的值使等式两边都有意义时才成立．如，当α）关系式仅当2（就不成立．1＝2221＝αcos＋αsin）对公式除了顺用，还应用逆用、变用、活用．例如，由3（1＝αcos，可变形为22，＝α²cosαsinαcos＋αsin＝1，等．＝±αcos，αsin－22，αcos＋αsin）注意“1”的代换，可用4（．1等去代换α²cotαtan2α2sin如：至于角的表达形式是无关重要的，用同角三角函数的基本关系式时一定要注意“同角”，．2222tan，1＝α2cos＋等．1＝α²cot4αtan4，＝222αsin．4的正弦值的α，前者是αsin的平方”，而不能写成α的简写，读作“sin）αsin是（的平方的正弦，两者是不同的．α平方，后者是．同角三角函数的基本关系式有哪些应用？5 ）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求出其余两个；1（）化简三角函数式；2（）证明简单的三角恒等式．3（终边所在象限求出其三角函数值，是本课时的一个难点，它的结果不唯一，需要讨α其中，根据角论，正确运用平方根及象限角的概念，是解决这一难点的关键．．根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求其余两个值（简称“知一求二”）时，如何判6 断是一组结果还是两组结果？如果角所在象限已指定，那么只有一组解；如果角所在象限没有指定，一般应有两组解．．基本关系式的重要等价变形有哪几个？72222；＝αcos；αcos－1＝αsin常用的有以下几个：αcos；α²tanαcos＝αsin；αsin－1＝2s2．|α|cos＝αsin（；αcosα＝1±2sin）α±cos 【学习方法指导】αtan是第三象限角且α］已知1［例的值．αcos，求2＝年高考题，虽然简单，但有很高的训练价值，下面给出两种解法．1992分析：本题是2222αcos＋αsin，而＝αtan（公式法）由解法一：α4cos＝αsin，α2cos＝αsin，2＝知215222，1＝αcos＋α，∴4cos1＝．＝αcos55＝－αcos在第三象限知α由解法二：（锐角示意图法） 1 －4－4图55ABC1－4－4为锐角，作锐角示意图，如图α先视＝cos，则55．＝－α是第三象限角，∴cosα∵当已知角的一个三角函数值是字母时，如何求其他三角函数值？mm．αcos，αtan），求|<1|（＝αsin］已知2［例22所在象限来α取正或取负应根据αcos，但1＝αcos＋αsin，需用公式αcos求αsin分析：由分类讨论．α确定，所以需对mm时，≠0，且<11<）当－1解：（22αcos在第一、四象限，则α若，＝2αtan＝＝＝；2 1 ，＝－αcos在第二、三象限，则α若21sin2cos1．＝αtankkm＝α，则0＝）若2（），Z∈（π ＝±1．αcos，0＝α∴tan 分类讨论．α的一个三角函数值为字母时，应对α点评：当已知角43［例，求下列各式的值：＝－αtan］已知sin3cos2sin cos322α3cos－αcosαsin＋α2sin）2；（）1（．tan分析：根据题目的条件，可将欲求值的式用来表达．α4)(3234tan326)(33tan35＝）原式＝1解：（．＝222sin23tan tan2cos3cossin222sin1tancos ＝）原式＝2（4423)()(273342521)(3．＝点评：本例的解法，体现了一种转化与化归的数学思想方法，把含有正弦、余弦的分式和齐次式转化为只含有正切的式子是常用的三角变换技巧．【知识拓展】．根据同角三角函数的基本关系式及三角函数的定义，可得出八个式子．sin221cos sin1cot tan tancos221csc sinsec tan1cos cot1sec cos22csc cot1sin即．同角三角函数的基本关系式是整个三角函数一章的重点内容之一，应牢记三个基本公式，并能正2 确地运用它们进行三角函数求值、化简、证明．在应用中逐渐掌握解题技巧：如“1”的变形，切化弦思想，等价转化的思想．【同步达纲训练】一、选择题451 ）的值等于（αtan是第二象限角，则α，且＝αsin．若43343443D ．±C ．B ．－A ．±15 ）等于（αtan，那么π<α0≤，且＝αcos＋αsin．已知243343443A ．D ．C ．－B ．－44 ）等于（αcos＋αsin，则1＝αcos＋αsin．若3 2．B ．±A ．±1D 1 ．－C 1 二、填空题＝α3cos＋αsin．若 4 ．____________的值为，则1．____________＝，则2＝αtan．已知5 三、解答题t，2＝θcos＋θtan．已知633的值；（θcos＋θsin）2的值；（θ²cosθsin）1求：（的值．θcos＋θsin）3 ] 参考答案【课前复习】 1 1 1 1 ．2．（略）1 【同步达纲训练】，从而＝－αcos是第二象限角，由平方关系可得α根据A ．1一、．＝－＝得解方程组A ．2 或434355 ．＝－αtan，求得α＝－αcos，这时＝sin，故取π<α0≤又因为22222222244，αsin．D ∵（3＝αcos＋αsinαcosα2sin＋1＝αcosα2sin＋αcos＋αsin＝）αcos＋ 1 22∴sin0 ＝αcosα0sin ＝αcosα ＝±1 αcos时，0＝αsin当＝±1．αsin时，0＝αcos当∴所以＝±1．αcos＋，于是原式＝3＝－．α＝－tan由已知可得．－4二、．5 ．＝＋2＝＋αtan＝＝＝＋，∴2＝θcot＋θ）∵tan1．解：（6三、2 ＝，21 2 ；＝θ²cosθ∴sin12222θcos＋θsin）∵（2（2 ＝＋2³1＝θcos＋θ²cosθ2sin＋θsin＝）12θsin，故>0＝θcos²θθsin，可得2>0＝θcot＋θtan又cos＝＋θsin同号，从而θcos与为第一象限角当为第三象限角当；1 22233θsin－θsin（）θcos＋θsin（＝θcos＋θ∵sin）3（）θcos＋θsin（＝）θcos＋θ²cos2为第一象限角当为第三象限角当33 ＝θcos＋θ∴sin。
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同角三角函数的基本关系【课前复习】1．叙述任意角三角函数的定义． 2．计算下列各式的值：sin 230°＋cos 230°＝_______________；sin 2420°＋cos 2420°＝________________；︒︒45cos 45sin ＝_______________；tan 65π＝_______________．【学习目标】1．掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，ααcos sin ＝tan α．2．运用同角三角函数的基本关系式解决求值问题．【基础知识精讲】本课时的重点是同角三角函数关系式及其变式的应用，难点是三角函数值符号在不同象限时的确定． 1．同角三角函数的基本关系式，反映三角函数之间的内在联系．它们都是根据三角函数的定义推导出来的．亦可以利用单位圆用几何方法推出．2．对同角三角函数基本关系式的应用应注意：（1）关系式中要注意同角．例如sin 2α＋cos 2β＝1就不恒成立． （2）关系式仅当α的值使等式两边都有意义时才成立．（3）对公式除了顺用，还应用逆用、变用、活用．例如，由sin 2α＋cos 2α＝1，可变形为cos 2α＝1－sin 2α，cos α＝±α2sin 1-，1＝sin 2α＋cos 2α，sin α²cos α＝21)cos (sin 2-+αα等．（4）注意“1”的代换，可用sin 2α＋cos 2α去代换1．3．用同角三角函数的基本关系式时一定要注意“同角”，至于角的表达形式是无关重要的，如：sin 22α＋cos 22α＝1，tan 2α＝2cos2sinαα等．4．sin 2α是（sin α）2的简写，读作“sin α的平方”，而不能写成sin α2，前者是α的正弦值的平方，后者是α的平方的正弦，两者是不同的．5．同角三角函数的基本关系式有哪些应用？（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求出其余两个； （2）化简三角函数式； （3）证明简单的三角恒等式．其中，根据角α终边所在象限求出其三角函数值，是本课时的一个难点，它的结果不唯一，需要讨论，正确运用平方根及象限角的概念，是解决这一难点的关键．6．根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求其余两个值（简称“知一求二”）时，如何判断是一组结果还是两组结果？如果角所在象限已指定，那么只有一组解；如果角所在象限没有指定，一般应有两组解． 7．基本关系式的重要等价变形有哪几个？常用的有以下几个：sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α；sin α＝cos α²tan α；cos α＝ααtan sin ；（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α；α2sin 1-＝|cos α|．【学习方法指导】［例1］已知α是第三象限角且tan α＝2，求cos α的值．分析：本题是1992年高考题，虽然简单，但有很高的训练价值，下面给出两种解法．解法一：（公式法）由tan α＝2知ααcos sin ＝2，sin α＝2cos α，sin 2α＝4cos 2α，而sin 2α＋cos 2α＝1，∴4cos 2α＋cos 2α＝1，cos 2α＝51．由α在第三象限知cos α＝－55解法二：（锐角示意图法）图4－4－1先视α为锐角，作锐角示意图，如图4－4－1，则cos ABC ＝55∵α是第三象限角，∴cos α＝－55．当已知角的一个三角函数值是字母时，如何求其他三角函数值？ ［例2］已知sin α＝m （|m |<1），求tan α，cos α．分析：由sin α求cos α，需用公式sin 2α＋cos 2α＝1，但cos α取正或取负应根据α所在象限来确定，所以需对α分类讨论．解：（1）当－1<m <1，且m ≠0时， 若α在第一、四象限，则cos α＝221sin 1m -=-α，tan α＝ααcos sin ＝21m m-＝2211m m m --；若α在第二、三象限，则cos α＝－21m -，tan α＝2211cos sin m m m ---=αα．（2）若m ＝0，则α＝k π（k ∈Z ）， ∴tan α＝0，cos α＝±1．点评：当已知角α的一个三角函数值为字母时，应对α分类讨论．［例3］已知tan α＝－34，求下列各式的值：（1）ααααsin cos 3sin 3cos 2++；（2）2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α．分析：根据题目的条件，可将欲求值的式用tan α来表达．解：（1）原式＝ααtan 3tan 32++＝)34(3)34(32-+-⋅+＝56-． （2）原式＝αααααα2222cos sin cos 3cos sin sin 2+-+＝1tan 3tan tan 222+-+ααα＝2571)34(3)34()34(222-=+---+-⨯．点评：本例的解法，体现了一种转化与化归的数学思想方法，把含有正弦、余弦的分式和齐次式转化为只含有正切的式子是常用的三角变换技巧．【知识拓展】1．根据同角三角函数的基本关系式及三角函数的定义，可得出八个式子．即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+ααααααααααααααααααsin cos cot cos sin tan 1sec cos 1csc sin 1cot tan csc cot 1sec tan 11cos sin 222222 2．同角三角函数的基本关系式是整个三角函数一章的重点内容之一，应牢记三个基本公式，并能正确地运用它们进行三角函数求值、化简、证明．在应用中逐渐掌握解题技巧： 如“1”的变形，切化弦思想，等价转化的思想．【同步达纲训练】 一、选择题1．若sin α＝54，且α是第二象限角，则tan α的值等于（ ）A ．－34B ．43C ．±43D ．±342．已知sin α＋cos α＝51，且0≤α<π，那么tan α等于（ ）A ．－34B ．－43C ．43D ．343．若sin 4α＋cos 4α＝1，则sin α＋cos α等于（ ） A ．±2B ．1C ．－1D ．±1二、填空题4．若sin α＋3cos α＝0，则ααααsin 3cos 2sin 2cos -+的值为____________．5．已知tan α＝2，则ααcos sin 1＝____________．三、解答题6．已知tan θ＋1tan θ＝2，求：（1）sin θ²cos θ的值；（2）sin θ＋cos θ的值；（3）sin 3θ＋cos 3θ的值．参考答案【课前复习】1．（略） 2．1 1 1 1【同步达纲训练】一、1．A 根据α是第二象限角，由平方关系可得cos α＝－53，从而tan α＝ααcos sin ＝－34．2．A 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 51cos sin 22αααα得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53cos 54sin αα或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54cos 53sin αα 又因为0≤α<π，故取sin α＝54，这时cos α＝－53，求得tan α＝－34．3．D ∵（sin 2α＋cos 2α）2＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2α＝1＋2sin 2αcos 2α，sin 2α＋cos 2α＝1∴sin 2αcos 2α＝0sin αcos α＝0 当sin α＝0时，cos α＝±1 当cos α＝0时，sin α＝±1．∴所以sin α＋cos α＝±1．二、4．－115由已知可得tan α＝－3，于是原式＝9261tan 32tan 21+-=-+αα＝－115． 5．25 ααcos sin 1⋅＝ααααcos sin cos sin 22+＝tan α＋αtan 1＝2＋21＝25．三、6．解：（1）∵tan θ＋cot θ＝2，∴θθcos sin ＋θθsin cos ＝2，θθθθcos sin cos sin 22⋅+＝2∴sin θ²cos θ＝21；（2）∵（sin θ＋cos θ）2＝sin 2θ＋2sin θ²cos θ＋cos 2θ＝1＋2³21＝2又tan θ＋1tan θ＝2>0，可得sin θ²cos θ＝21>0，故sin θ与cos θ同号，从而sin θ＋cos θ＝⎪⎩⎪⎨⎧-为第三象限角当为第一象限角当θθ2 2；（3）∵sin 3θ＋cos 3θ＝（sin θ＋cos θ）（sin 2θ－sin θ²cos θ＋cos 2θ）＝ 21（sin θ＋cos θ）∴sin 3θ＋cos 3θ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-为第三象限角当为第一象限角当θθ22 22。