数学疑难解答(91--100)
小学数学竞赛：定义新运算.教师版解题技巧 培优 易错 难
【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【巩固】 表示
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】原式
【答案】
【巩固】规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a<b，则a☆b=a×b。那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）=。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】19
【答案】
【例 2】“△”是一种新运算，规定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d为常数)，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO的计算结果是________。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【答案】
【巩固】设 △ ，那么，5△ ______，(5△2)△ _____.
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【解析】
,
【答案】
【巩固】 、 表示数， 表示 ，求3 (6 8)
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【解析】
【答案】
【巩固】已知a,b是任意自然数,我们规定:a⊕b=a+b-1, ,那么
可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12＝26×12＝312
【答案】
【巩固】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7
小学奥数 定义新运算 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
定义新运算教学目标定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
知识点拨一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。
由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312【答案】312【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。
高考数学回归课本100个问题
高考数学回归课本100个问题1．区分集合中元素的形式：如：{}|lg x y x =—函数的定义域；{}|lg y y x =—函数的值域；{}(,)|lg x y y x =—函数图象上的点集。
2．在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况．3，含n 个元素的集合的子集个数为2n,真子集个数为2n－1;如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个。
（答：7）4、C U (A ∩B)=C U A ∪C U B; C U (A ∪B)=C U A ∩C U B;card(A ∪B)=?5、A ∩B=A ⇔A ∪B=B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A ∩C U B=∅⇔C U A ∪B=U6、注意命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别: 命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝；否命题是p q ⌝⇒⌝；命题“p 或q ”的否定是“┐P 且┐Q”，“p 且q ”的否定是“┐P 或┐Q”7、指数式、对数式：ma =1m nm aa -=，，01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>，log a N a N =。
8、二次函数①三种形式:一般式f(x)=ax 2+bx+c(轴-b/2a,a ≠0,顶点?);顶点f(x)=a(x-h)2+k;零点式f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(轴?);b=0偶函数;③区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：若函数42212+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：2）④实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 9、反比例函数:)0x (xc y ≠=平移⇒b x ca y -+=(中心为(b,a))10、对勾函数xax y +=是奇函数,上为增函数，，在区间时)0(),0(,0∞+-∞<a 递减，在时)0,[],0(,0a a a -> 递增，在),a [],a (+∞--∞11．求反函数时，易忽略求反函数的定义域． 12．函数与其反函数之间的一个有用的结论：1()()fb a f a b -=⇔=13求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示．14、奇偶性：f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。
一年级下册数学解决问题100道及完整答案【考点梳理】
一年级下册数学解决问题100道一.解答题(共100题，共518分)1.小光的爸爸买来24个苹果，妈妈买来16个苹果，小朋友又送给小光9个苹果。
小光现在还有多少个苹果？2.一个生日蛋糕16元，一个玩具小熊25元，买这两种物品一共需要多少钱？可以怎样付钱？请你写出两种付钱方式。
3.看图解答：4.解决问题。
（1）小永有11枚邮票，送给小华2枚，还剩多少枚邮票？（2）小兰有11本练习本，用了9本，还剩几本练习本？5.小林要看一本96页的故事书。
6.公交车上原来有15人，车在某站停靠时下去了7人，又上来了6人，车上现在有多少人？□○□○□＝□（）7.玩具飞机60元，玩具汽车的价钱比玩具飞机便宜一些，玩具汽车可能要多少元?8.（1）与香蕉一共有多少个？（2）与一共有多少个？9.盘子里原有20块蛋糕，吃了7块，送给别人8块，还剩下几块？10.妈妈拿80元,买了一双鞋,还剩20元,这双鞋多少元?11.小朋友们在植树节集体去种树，一共要种15棵树，已经种了6棵。
还需要种多少棵树？12.小华用彩纸折“幸运星”，昨天和今天一共折了15颗，今天折了8颗，昨天折了多少颗？13.小林和小军看同一本故事书。
几天后，小林还剩15页没看，小军还剩23页没看。
谁看的页数多？14.张生种了6棵树，加上秋生种的一共15颗，秋生种了多少棵？15.小红现在有多少元？16.小红和小田一起踢毽子，小红踢了5下，小田踢了13下，小田比小红多踢了多少下？17.果园里有苹果树40棵，桃树30棵，梨树和桃树同样多。
果园里有果树一共多少棵？18.货车比客车多多少辆?19.明明有32颗弹珠，他拿出5颗送给了小胖．他还剩下几颗弹珠？20.一(2)班共有15个小朋友参加表演,其中有8个小朋友合唱,还有几个小朋友表演其他节目?21.小红原来有25个硬币，妈妈又给了她8个，她现在一共有多少个硬币？22.学校开运动会．男运动员有52人，女运动员有40人．（1）一共有运动员多少人？（2）女运动员比男运动员少多少人？23.《河流乐园》有28本,《海底世界》有20本,一(1)班有45名学生,把这些书分给每人一本,够吗?24.小红做了多少面小旗？25.淘气今年5岁．哥哥对他说：“等你长到7岁时，我就15岁啦!”哥哥今年几岁?26.小小商店。
【七年级奥数】第2讲 绝对值（例题练习）
第2讲绝对值——练习题一、第2讲绝对值（练习题部分）1.判断下列各题是否正确．（1）当b<0时，（2）若a是有理数，则一定是正数．（3）当时，（4）若a=-b，则（5）若，则（6）一定是正数2.若，试化简3.若，试化简4.绝对值小于100的整数有哪些?共多少个?它们的和是多少?5.化简6.已知，求a-b的值7.设a和b是有理数，若a>b，那么|al>lbl一定正确吗?如果正确，请你说明理由；如果不正确，请举出反例．8.已知有理数a、b、c的位置如图所示，化简|a+c|+|b+c|−|a+b|9.若，试求a、b应满足的关系。
10.已知，化简11.化简12.化简| |2x−4|−6|+|3x−6|13.设a是有理数，求的值答案解析部分一、第2讲绝对值（练习题部分）1.【答案】（1）解：∵b<0，∴ | b | =-b，故正确.（2）解：∵a是有理数，∴|a| 是非负数，故错误.（3）解：∵|m|=m，∴m≥0，故错误.（4）解：∵a=-b，∴ |a|=|b|.故正确.（5）解：∵当 a < b<0时，∴|a|>|b|，故错误.（6）解：∵当a <0时，∴a+|a|=a-a=0，故错误.【解析】【分析】（1）根据负数的绝对值是它的相反数，可知正确.（2）一个数的绝对值是正数或者0，故错误.（3）正数或0的绝对值是它本身，故错误.（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，故正确.（5）当a和b都是负数时，|a|>|b|，故错误.（6）当a为负数或者0时，a+|a|值为0，故错误.2.【答案】解：∵−1<x<1 ，∴x+1＞0，x-1<0,∴原式=x+1+x-1，=2x.【解析】【分析】根据−1<x<1 得x+1＞0，x-1<0，再由绝对值性质化简合并即可得出答案.3.【答案】解：∵a < 0 ，∴3a< 0，-4a＞0，∴原式=，=，=-.【解析】【分析】根据a < 0 得3a< 0，-4a＞0，根据绝对值性质化简即可得出答案.4.【答案】解：绝对值小于100的整数有：-99，-98，……98，99，共199个.它们的和为：-99-98-97+……+98+99=0.【解析】【分析】根据绝对值的性质可知绝对值小于100的整数个数，列出式子求出和即可.5.【答案】解：①当x≤-时，∴原式=-（x-）-（x+），=-x+-x-，=-2x.②-＜x＜时，∴原式=-（x-）+（x+），=-x++x+，=.③x≥时，∴原式=x-+x+，=2x.综上所述：原式=.【解析】【分析】依题可分情况讨论：①当x≤-，②-＜x＜，③x≥，根据绝对值的性质去掉绝对值，合并同类项即可.6.【答案】解：∵|a|=5，|b|=1，∴a=±5，b=±1，①a=5，b=1时，∴a-b=5-1=4；②a=5，b=-1时，∴a-b=5+1=7；③a=-5，b=1时，∴a-b=-5-1=-7；④a=-5，b=-1时，∴a-b=-5+1=-4；综上所述：a-b=±7或±4.【解析】【分析】根据绝对值的定义可知a和b的值，再分情况讨论：①a=5，b=1，②a=5，b=-1，③a=-5，b=1，④a=-5，b=-1，分别计算a-b的值即可.7.【答案】解：不一定正确；理由如下：∵a>b∴当a=2，b=-5时，∴|al＜lbl.【解析】【分析】根据a>b，当a=2，b=-5时，得出|al＜lbl.8.【答案】解：由图可知：b＜a＜0＜c，a=-c则a+c=0，b+c<0，a+b<0∴原式=0-(b+c)-[-(a+b)]，=-b-c+a+b，=2a.【解析】【分析】由图可知：b＜a＜0＜c，a=-c，根据绝对值的性质去掉绝对值，计算即可得出答案.9.【答案】解：∵|a-b|=|a|+|b|，∴a≤0且b≥0，或a≥0且b≤0，∴ab≤0.【解析】【分析】根据题意可知a≤0且b≥0，或a≥0且b≤0，从而得出ab≤0.10.【答案】解：依题可得：，∴a=b=0，∴原式=|02005+02005|+|02005-02005|，=0.【解析】【分析】根据绝对值的非负性可得a=b=0，代入即可得出答案.11.【答案】解：①当x≤-时，∴原式=-（2x-3）-（3x-5）+（5x+1），=-2x+3-3x+5+5x+1，=9.②当-＜x≤时，∴原式=-（2x-3）-（3x-5）-（5x+1），=-2x+3-3x+5-5x-1，=-10x+7.③当＜x＜时，∴原式=2x-3-（3x-5）-（5x+1），=2x-3-3x+5-5x-1，=-6x+1.④当x≥时，∴原式=2x-3+3x-5-（5x+1），=2x-3+3x-5-5x-1，=-9.综上所述：原式=.【解析】【分析】根据题意分四种情况来讨论：①x＜-，②-＜x＜，③＜x＜，④x＞，根据绝对值的性质去掉绝对值，化简即可得出答案.12.【答案】解：①当x≤-1时，∴原式=|-（2x-4）-6|-（3x-6），=|-2x-2|-3x+6，=-（2x+2）-3x+6，=-2x-2-3x+6，=-5x+4.②当-1＜x＜2时，∴原式=|-（2x-4）-6|-（3x-6），=|-2x-2|-3x+6，=2x+2-3x+6，=-x+8.③当2≤x＜5时，∴原式=|2x-4-6|+3x-6，=-（2x-10）+3x-6，=-2x+10+3x-6，=x+4.④当x≥5时，∴原式=|2x-4-6|+3x-6，=2x-10+3x-6，=5x-16.综上所述：原式=.【解析】【分析】根据题意分四种情况来讨论：①x≤-1②-1＜x＜2③2≤x＜5④x≥5，根据绝对值的性质去掉绝对值，化简即可得出答案.13.【答案】解：当a≤0时，|a|=-a，∴原式=a-a=0；当a＞0时，|a|=a，∴原式=a+a=2a.【解析】【分析】根据绝对值的性质分情况讨论：①当a≤0时，②当a＞0时，之后化简即可.。
北师版七上数学第二章易错点拨
3.下列说法错误的是（ B ） A.3.14×103是精确到十位 B.4.609万精确到万位 C.近似数0.8和0.80表示的意义不同 D.用科学记数法表示的数2.5×104，其原数是25 000
4.下列说法中：①－a一定是负数；②｜－a｜一定是正数；③倒数 等于它本身的数为±1；④绝对值等于它本身的数是正数；⑤两个 有理数的和一定大于其中每一个加数；⑥如果两个数的和为0，那 么这两个数一定是一正一负.正确的有 ③ .（填序号）
第二章 有理数及其运算
第二章易错点拨
易错点1 对有理数有关概念理解不透出错
1.如果一个数的相反数等于这个数的绝对值，那么这个数是
（A）
A.负数或0
B.负数
C.正数
D.正数或0
2.下列说法正确的是（ B ） A.0是正数，不是负数 B.0既不是正数，也不是负数 C.0既是正数，也是负数 D.不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数
C.0
D.±5
12.把数轴上表示－3的点移动4个单位长度后，表示的数为 －7
或1 .
（3）原式＝－1－15×[3－(－27)]－16＝－1－6－16＝－23.
8.若a，b互为相反数，c，d互为倒数，｜x｜＝3，试求式子2（a＋b） －（－cd）101＋x的值. 解：因为a，b互为相反数，c，d互为倒数，｜x｜＝3， 所以a＋b＝0，cd＝1，x＝±3， 所以2（a＋b）－（－cd）101＋x＝0－（－1）101＋x＝1＋x. 当x＝3时，1＋x＝1＋3＝4；当x＝－3时，1＋x＝1＋（－3）＝－2.
（2）－24×
−2+3+ 1
3 4 12
；
（3）－14－15×[｜－3｜－（－3）3]－（－4）2.
小学数学6年级培优奥数讲义 第17讲 最大最小问题(教师版)
第17讲最大最小问题教学目标学会在题目中判断出限制条件；学会分数知识的综合运用；从题目限制条件中分析最大最小问题。
知识梳理在日常生活中,人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题,这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题,最终都可以归结成为:在一定范围内求最大值或最小值的问题,我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法:1、枚举比较法。
当题中给定的范围较小时,我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；2、着眼于极端情形,即充分运动已有知识和生活常识,一下子从“极端”情形入手,缩短解题过程。
人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题,最终都表现为数学上的极值问题,即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多,灵活性强,解题时要善于综合运用所学的各种知识。
典例分析考点一:简单最大最小问题例1、把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里,使每边上7个小三角形内数的和相等。
问这个和最大值是多少？【解析】为了方便描述,我们把图中部分三角形注上字母,从图中可以看出:中心处D中填的数和三条边上的和没有关系,因此,应填最小的数1。
而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次,所以要尽可能填大数,即填11——16。
然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件,就可以计算出这个和的最大值了。
(2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16)÷3=72例2、有8个西瓜,它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。
把它们分成三堆,要使最重的一堆西瓜尽可能轻些,那么,最重的一堆应是多少千克？【解析】3堆西瓜的总重量是42.5千克,要使最重的一堆尽可能轻些,另两堆就得尽可能重些。
根据42.5÷3=14千克……0.5千克可知:最重的一堆是14＋0.5=14.5千克,即由6千克和8.5千克组成,另外两堆分别是14千克。
定义新运算.汇总题库教师版
定义新运算教学目标定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
知识点拨一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。
由A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312【答案】312【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。
中考数学压轴题100题精选(91-100题)2013
中考数学压轴题100题精选（91-100题）（答案在本人文辑中寻找）【091】已知二次函数y＝x2－x＋c．(1)若点A(－1，a)、B(2，2n－1)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，求此二次函数的最小值；(2)若点D(x1，y1)、E(x2，y2)、P(m，n)(m＞n)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，且D、E两点关于坐标原点成中心对称，连接OP．当22≤OP≤2＋2时，试判断直线DE与抛物线y＝x2－x＋c＋38的交点个数，并说明理由．【092】已知：直角梯形OABC的四个顶点是O(0，0)，A(32，1)，B(s，t)，C(72，0)，抛物线y=x2＋mx－m的顶点P是直角梯形OABC内部或边上的一个动点，m为常数．(1)求s与t的值，并在直角坐标系中画出．．直角梯形OABC；(2)当抛物线y=x2＋mx－m与直角梯形OABC的边AB相交时，求m的取值范围．（第24题）【093】已知在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为()3A 0，、()04C ，，点D 的坐标为()D 5-0，，点P 是直线AC 上的一动点，直线DP 与y 轴交于点M ．问： （1）当点P 运动到何位置时，直线DP 平分矩形OABC 的面积，请简要说明理由，并求出此时直线DP 的函数解析式；（2）当点P 沿直线AC 移动时，是否存在使DOM △与ABC △相似的点M ，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P 沿直线AC 移动时，以点P 为圆心、半径长为R （R ＞0）画圆，所得到的圆称为动圆P ．若设动圆P 的直径长为AC ，过点D 作动圆P 的两条切线，切点分别为点E 、F ．请探求是否存在四边形DEPF 的最小面积S ，若存在，请求出S 的值；若不存在，请说明理由． 注：第（3）问请用备用图解答．【094】在平面直角坐标系中，已知(40)A -，，(10)B ，，且以AB 为直径的圆交y 轴的正半轴于点(02)C ，，过点C 作圆的切线交x 轴于点D ．（1）求过A B C ，，三点的抛物线的解析式（2）求点D 的坐标（3）设平行于x 轴的直线交抛物线于E F ，两点，问：是否存在以线段EF 为直径的圆，恰好与x备用图【095】）如图1，已知：抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于点C ，经过B C 、两点的直线是122y x =-，连结AC ． （1）B C 、两点坐标分别为B （_____，_____）、C （_____，_____），抛物线的函数关系式为______________；（2）判断ABC △的形状，并说明理由；（3）若ABC △内部能否截出面积最大的矩形DEFC （顶点D E F 、、、G 在ABC △各边上）？若能，求出在AB 边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．[抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭]图1图2(备用)（第26题）【096】如图12，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一点E ，顶点M 的坐标为 (2,4)；矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3. （1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图12所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度．．．．．从点A 出发向B 匀速移动，设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图13所示）.① 当t=25时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；② 设以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为S ，试问S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【097】矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图13所示，A C 、两点的坐标分别为(60)A ，，(03)C -，，直线34y x =-与BC 边相交于D 点． （1）求点D 的坐标；（2）若抛物线294y ax x =-经过点A ，试确定此抛物线的表达式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 为对称轴上一动点，以P O M 、、为顶点的三角形与OCD △相似，求符合条件的点P 的坐标．【098】如图，在平面直角坐标系中，点A （0，6），点B 是x 轴上的一个动点，连结AB ，取AB 的中点M ，将线段MB 绕着点B 按顺时针方向旋转90o ，得到线段BC .过点B 作x 轴的垂线交直线AC 于点D .设点B 坐标是（t ，0）.（1）当t =4时，求直线AB 的解析式；（2）当t >0时，用含t 的代数式表示点C 的坐标及△ABC 的面积；（3）是否存在点B ,使△ABD 为等腰三角形?若存在，请求出所有符合条件的点B 的坐标；若不存在，请说明理由.【099】我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提．．．．．．．．．．．．．．．．出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包· yOA x备用图括研究的思想和方法）.请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：(1) 如图1，在圆O 所在平面上，放置一条．．直线m （m 和圆O 分别交于点A 、B ），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些（直接写出两个即可）？(2) 如图2，在圆O 所在平面上，请你放置与圆O 都相交且不同时经过圆心．．．．．．．的两条．．直线m 和n （m 与圆O 分别交于点A 、B ，n 与圆O 分别交于点C 、D ）. 请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之. (3) 如图3，其中AB 是圆O 的直径，AC 是弦，D 是的中点，弦DE ⊥AB 于点F . 请找出点C 和点E 重合的条件，并说明理由.【100】抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点为M ，与x 轴的交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），△ABM 的三个内角∠M 、∠A 、∠B 所对的边分别为m 、a 、b 。
初一下数字第一章易错点规纳(附练习及答案)
第一章 整式的运算1．整式易错点一：单项式及其有关概念 （1）单项式的定义①单独的一个数或一个字母也是单项式 ②分母中含有字母的代数式不是单项式 （2）单项式的次数①单独一个非零数的次数是0②单项式的次数只与所含字母的指数有关，切勿加单项式中系数的指数 （3）单项式的系数①单项式的系数包括它前面的符号 ②π是常数易错题练习1．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数x ，ab -，a1，π2y x 2，1-a ，527x易错点二：多项式及其有关概念 ①多项式中的每一项必须都是单项式②多项式的次数是其中次数最高的项的次数，而不是所以项的次数和 ③一个多项式通常被描述成“几次几项式”易错题练习2．指出下列多项式的项、常数项和次数 （1）724523-+-x x x （2）322333b b a ab a -++易错点三：整式单项式和多项式统称整式。
整式分两类，一类是单项式，一类是多项式。
2. 整式的加减易错点：整式的加减 运算步骤： （1）先去括号； （2）合并同类项 易错题练习3．一个多项式加1322--xy y x 得3232---xy y x ，求这个多项式3. 同底数幂的乘法易错点：同底数幂的乘法①法则：底数不变，指数相加n m n m a a a +=⋅ （n m ,都是正整数）②底数可以是一个数，也可以是一个单项式或多项式 ③法则可逆向使用 ④易错题练习4．若422x x x m m =⋅-，求122++-m m 的值4. 幂的乘方与积的乘方易错点一：幂的乘方① 法则：底数不变，指数相乘mn n m a a =)( （n m ,都是正整数） ②法则可逆向使用 易错点二：积的乘方①法则：n n n b a b a ⋅=⋅)( （n 是正整数）②对三个或三个以上因式的积的乘方也适用 ③法则可逆向使用 易错题练习 5．计算322244243)()2()(b a a a a a a --+-+⋅⋅6．若0353=-+y x ，求y x 328⋅的值5. 同底数幂的除法易错点一：同底数幂的除法法则①法则：底数不变，指数相减 n m n m a a a -=÷ （0≠a ，n m ,都是正整数，n m >） ②法则可逆向使用易错点二：零指数幂与负整数指数幂 ①任何非零数的0次幂都等于1 0,10≠=a a ②负整数指数幂 p a aa p p ,0,1≠=-是正整数 易错题练习7．计算： 22402)2()2(1-+-÷---6. 整式的乘法易错点一：单项式与单项式相乘的法则①法则：系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母同它的指数不变，作为积的因式 ②单项式与单项式相乘的结果仍是一个单项式 ③多个以上单项式相乘同样适用 易错点二：单项式与多项式相乘的法则①法则：单项式分别乘多项式的各项，所得积相加 mb ma b a m +=+)( ②注意符号问题③相乘的结果是多项式，项数与多项式相同 易错点三：多项式与多项式相乘的法则①法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 nb na mb ma b a n m +++=++))(( ②注意符号问题③要合并同类项，得出最简结果。
希望杯竞赛数学试题详解(91-100题)
高中数学希望杯典型例题100道（91-100）题91 三棱锥P ABC -中，90APB BPC CPA D ∠=∠=∠=︒，为底面ABC 内的一点，45,60APD BPD ∠=︒∠=︒，则CPD ∠的余弦值为______.（第九届高一第二试第20题）解法1 设D 在PA PB PC 、、三边上的投影分别是E F G 、、，则由于45,APD ∠=︒60BPD ∠=︒，1cos 45,cos 60.2PE PD PD PF PD PD ∴=︒==︒= 2222,PE PF PG PD ++= 12PG PD ∴=，即60CPD ∠=︒，它的余弦值为12.解法2 如图1，以P A P B P C、、为棱，PD 的延长线为对角线长作长方体AFCP GEHB -，设,45,,.PA x APD PA AE AE PA x =∠=︒⊥∴== 又设,PB y = 60,,BPD PB BE ∠=︒⊥2,cos 45PAPE y ∴===︒222.x y PC GE ∴====∴在Rt PEC ∆中，1cos ,2PCCPE PE ∠==== 即CPD ∠的余弦值为12. 解法3 如图2，过D 作平面α垂直于PD ，分别交PA PB PC 、、于A B C '''、、，由已知有90,A PB B PC C PA C P '''''''∠=∠=∠=︒∴⊥平面,PA B A B ''''⊂平面PA B ''，,C P A B '''∴⊥从而A B ''⊥平面PDC '，连结C D '并延长交A B ''于E ，连结PE ,显然有,.A B PE A B C E '''''⊥⊥连结A D'、B D'.不妨设1,PD =45A P D A P D '∠=∠=︒902.PD A A P ''∠=︒∴=又B PD BPD'∠=∠60,=︒90,PDB '∠=︒ 2.PB '∴=在Rt A B P ''∆中，A B ''==由,PE A B A P B P ''''⋅=⋅得图1ABD CP F G EH PABCDEA’C’B’图2A PB P PE A B ''⋅===''ED ∴===于是1tan tan 60,cos cos .2PD DPC PED DPC CPD DPC ED '''∠=∠==∠=︒∴∠=∠= 评析 由已知条件画出的图形，CPD ∠的余弦值可在CPD ∆中由余弦定理求得，然而，三边都不知道，这就是本题的难点之所在.如何突破？解法2根据已知90APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒这一特点，将已知三棱锥补成长方体，这样就有45,60cos .CPAPD APE BPD BPE CPD CPE CPD PE∠=∠=︒∠=∠=︒∠=∠∠=，，问题归结为解直角三角形，这就容易多了.解法3则通过过D 作平面与PD 垂直，从而使得APD ∠（即A PD '∠）、BPD ∠（即B PD '∠）、及CPD ∠（即C PD '∠）都成为直角三角形的一个内角，同样起到了化难为易的作用.解法1中用到结论2222PE PF PG PD ++=,其依据是：PD 恰为以PE PF PG 、、为棱的长方体的对角线.拓展 因为222211cos cos 45,cos cos 60,24APD BPD ∠=︒=∠=︒=又知结论 1cos 2CPD ∠=，即21cos 4CPD ∠=，所以有222cos cos cos 1APD BPD CPD ∠+∠+∠=，将三个角一般化，我们可得定理 三棱锥P ABC -中，90,APB BPC CPA D ∠=∠=∠=︒为底面ABC 内的一点，PD 与PA AB PC 、、所成的角分别是αβγ、、，则222cos cos cos 1.αβγ++=简证 如图1，222222cos cos cos PA PB PC PD PD PD αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222PA PB PC PD ++= 221.PD PD==推广 P A P B P C 、、是两两垂直的三条射线，PD 与PA PB PC 、、所成的角分别是αβγ、、，则222cos cos cos 1.αβγ++= 题92 有一个侧棱都是l 的三棱锥，顶点处的三个面角中，有两个都是α，另一个是x .将该棱锥的体积V 表示成x 的函数并求出当x 取什么值时，V 达到最大或最小.（第二届高一第二试第21题）解 设所给的棱锥是α=∠=∠===-ASB ASC l SC SB SA ABC S ,,（定值），x BSC =∠（变量），以BSC ∆所在平面为底面，作⊥AO 底面于O ，作SB OD ⊥于D ，连结AD .（如图）由三垂线定理，SB AD ⊥,于是αc o s c o s ⋅=∠⋅=l A S D SA SD .⊥∠=∠AO BSA ASC , 面BSC ，O ∴在BSC ∠的平分线上.2,xOSD x BSC =∠∴=∠ . ,OD SB ⊥ cos cos cos 2SD l SO x OSD α⋅∴==∠，于是2cos cos 12cos cos 22222222x l x l l SO SA AO αα-⋅=⋅-=-=.又BSC ∆的面积∴=∠⋅⋅=,s in 21s in 212x l B S C SB SC P 三棱锥BS C A -的体积2sin cos 4sin 612cos cos 1sin 61312223223xx l x x l AO P V ⋅-=-⋅⋅=⋅⋅=αα. 设)0(2sin 2>=y y x，则根号内的这部分可以表示为αα222sin 44)(cos 4)1(4)(y y y y y y f +-=--=，当2sin )4(2sin 422αα=--=y 时，)(y f 最大，同时V 也最大.2sin ,2sin 22α=∴=y x y ，即2,2s i n 2s i n 22x x α=是锐角，2sin arcsin2,2sin arcsin 2,2sin 2sin),,0(αααπα===∴∈x x x . 答：当2sin arcsin2α=x 时，V 最大.评析 这是一道立几、函数综合题，涉及的知识面广，方法多.破解此题的关键，一是把A 看成顶点，把面SBC 看成底面；二是写出函数关系式)(x f V =；三是求V 的最值.把A 看成顶点后，x l S h S V SBC SBC sin 21,312=⋅=∆∆是显然的，关键是如何将高h 用x 表示.而要解决这个问题，必须知道由ASC ASB ∠=∠，可得到AS 在底面BSC 上的射影是BSC ∠的平分线这一重要结论（立几中常常用到这一结论）.另外，作SB OD ⊥，由三垂线定理得SB AD ⊥，这就沟通了AO 与x l ,,α之间的关系，使得AO 用x l ,,α表示成为可能.求得的2sin cos 4sin 612223xx l V α-=是较复杂的，如何求其最值也是问题之一.分析出SABCDO只需求2s i nc o s 4s i n )(222xx x g α-=的最值是一个进步；将其变形为2sin cos 4)2sin 1(2sin 4)(2222x x x x g α--=又是一个进步.接着换元，令y x=2sin 2，得α22s in 44)()(y y y f x g +-==，这是一个二次函数在(0,1)上的最值问题，太熟悉了，于是大功告成.其答案也可表示成2sin 2arccos 22α-或αα2sin 2sin arctan 2-.该题重点考查了转化问题的能力，综合运用多种知识解决问题的能力.题93 设M 为正三棱锥S ABC -的底面ABC 内的任意一点，过M 引底面的垂线与这棱锥的三个侧面所在平面分别交于P,Q,R 三点，若正三棱锥的高为2.试求MP MQ MR ++的长.（第十二届高一培训题第81题）解 如图，过M 作MD BC ⊥于D ，作ME AC ⊥于E ，作M F A B⊥于F ，连结P D ,Q E ,R F .显然PDM ∠、QEM ∠、RFM ∠都等于这个正三棱锥的侧面与底面所成的二面角α，MP MQ MR MDtan ME tan ∴++=α+αMFtan (MD ME MF)tan +α=++α.易知M D M E ++为底面正三角形的高h ，因为正三棱锥高为h 2'=，所以有h t a n 1h 3'α=，h tan 3h α='=6，即MP MQ MR 6++=.评析 首先用特殊点指明解题方向：由于M 是正ABC ∆内的任意一点，故不妨使其为正ABC ∆的中心，则此时的P,Q,R 与正三棱锥的顶点S 重合，从而MP MQ MR ++为正在棱锥高的3倍，也就是6.若将此题改为选择题，则已可选出正确答案.然而，这是解答题，又该如何求呢？解决此题遇到的第一个难点就是正确地画出图形.图画出后的关键问题是如何利用正三棱锥这一条件，由于MP MQ MR ++都垂直于底面，且P,Q,R 分别在三个侧面内，故分别过P,Q,R 在三个侧面内作底边的垂线PD,QE,RF ，则MD,ME,MF 为三条射影.由正三棱锥，可知PDM QEM RFM ∠=∠=∠=α，则MP MQ MR (MD ME MF)tan ++=++α.运用正三角P QAESMF D BCR形内任一点到三边距离之和为其一边上的高，设MD ME MF h ++=，正三棱锥的高为h 2'=，则h tan 1h 3'α=，这就得到MP MQ MR 3h ++='=6.这里，发现h tan 1h 3'α=也是解决问题的关键之一，它将三棱锥的高h 2'=与MD ME MF ++，进而与MP MQ MR ++建立了联系，从而最终解决了问题.拓展 此题就是下面定理的特殊情形.定理 若M 是高为h 的正三棱锥S ABC -的底面内的任意一点，过M 引底面的垂线与该棱锥的三个侧面所在平面分别交于P,Q,R 三点，则MP MQ MR 3h ++=.证明留给读者.题94 There are two travel projects from Beijing to Santiago, Chile: (A)Flying westward(向西) to New York, then flying southward to Santiago; (B) Flying southward from Beijing to Friemander, Australia , then flying westward to Santiago. The geographic positions of these four cities may be approximately considered as: Beijing (1200 east longitude, 400 north latitude ), New York (700 west longitude , 400 north latitude ), Friemander (1200 east longitude, 300 south latitude) , Santiago(700 west longitude , 300 south latitude ).Suppose that the air lines go along the spherical distance , then the project of the shorter distance is ________(第十三届高二第一试第20题)译文:从北京前往智利的圣地亚哥,有两种旅行方案可供选择.方案(A):由北京向西飞抵纽约，再向南飞抵圣地亚哥; 方案(B):由北京向南飞抵澳大利亚的弗里曼特尔,再向西飞抵圣地亚哥.上述4个城市的地理位置可近似看作:北京(东经1200,北纬400),纽约(西经700,北纬400), 弗里曼特尔(东经1200,南纬300), 圣地亚哥(西经700,南纬300). 假设飞机航线都是球面距离,那么飞行距离较短的方案是_______.解 用BN d 表示北京与纽约的球面距离, NS d 表示纽约与圣地亚哥的球面距离, BF d 表示北京与弗里曼特尔的球面距离, FS d 表示弗里曼特尔与圣地亚哥的球面距离.则有:(A)方案的航程为BN d + NS d ， (B)方案的航程为BF d + FS d ，而向南飞是沿着经度线(球大圆)飞行，所以NS d =BF d . 又由余弦定理计算直线距离得)170cos 1()40cos (2)]70120(360cos[)40cos (2)40cos (202000020202-=+--=R R R BN 022085sin )40cos (4⋅=R .因此0085sin 40cos 2⋅=R BN (R 为地球半径). 同理，0085sin 30cos 2⋅=R FS .于是BN<FS.又BN d 和FS d 都是小于地球赤道(长)的1/2 , 所以BN d <FS d . 故方案(A)的航程更短些 . 评析 地球表面两点间的最短距离是这两点的球面距离(过这两点及球心的平面截球面所得大圆上的劣弧的长).同一经线上两点间的弧长就是这两点间的球面距离,但同一纬线圈上两点间的劣弧长并不是这两点间的球面距离,因此,此题的关键是为何求得BN d 与FS d ,并比较其大小.当两点间的直线距离小于地球赤道长的一半时，两点间的直线距离小的，这两点间的球面距离也小.运用这一结论可简化运算.拓展 如果直接求北京与纽约间的球面距离BN d '及弗里曼特与圣地亚哥间的球面距离FS d '，又该如何求呢？我们可以运用下面的定理 设地球半径为R ，B A 、是纬度为⎪⎭⎫⎝⎛<≤20πϕϕ的同一纬线圈上两点，这两点的经度差为()πθθ≤<0，则B A 、间的球面距离⎪⎭⎫⎝⎛-=2sincos 21arccos 22θϕR d AB . 证明 设地球的球心为O ，B A 、所在纬度圈的圆心为'O ，则ϕ=∠=∠''OBO OAO，θ=∠B AO '，⊥'OO 平面AB O '，''AO OO ⊥∴，B O OO ''⊥，ϕcos ''R B O A O ==∴.在ABO '∆中，由余弦定理得θϕϕcos cos 2cos 222222R R AB -==()θϕcos 1cos 222-R =2sincos 4222θϕR .在OAB ∆中，222222224cos sin 2cos 12cos sin 22R R AOB R θϕθϕ-∠==-，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∠∴2sin cos 21arccos 22θϕAOB （弧度）. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴2sin cos 21arccos 22θϕR d AB .证毕.将0170,40==θϕ代入上式，便得题中的BN d '，将0170,30==θϕ代入上式便得题中的FS d '，由于03040>，0222285sin 30cos 2185sin 40cos 21->-∴，又x arccos 是减函数，()()020220285sin 30cos21arccos 85sin 40cos 21arccos ->-∴，FS BN d d ''<∴.故方案(A)的航行路程更短些.AB O ’R O题95 如图1所示，矩形ABCD 中，P b AD a AB ,,==为CD 上的任一点，以AB 所在直线为轴，将PAB ∆旋转而成一个旋转体，求旋转体表面积的最大值，并指出当表面积最大时P 点位置.（第十一届高一培训题第79题）解法1 如图2，设P l PB l PA ,,21==到AB 的距离是b ，则旋转体表面积)(21l l b S +=π.为求21l l +的最大值，不妨设PC PD ≤.作B 关于直线CD 的对称点'B ，连结DB DB PB AB ,,,'''，则P 在D AB '∆内部或边界上，延长AP 交'DB 于E ，则≤+'PB PA 'EB PE PA ++=++≤+=''EB DE AD EB AE 'DB AD +，所以DB AD DB AD PB PA +=+≤+'.所以)(,)(222max max 21b a b b S DB AD l l ++=+=+π.此时P 与D 或C 重合.解法2 由解法1，可知只须求PB PA +的最大值.设x PD =，则=+-=PB PA x a PC,2=，表示直角坐标系x o y 内x 轴上的动点))(,(a x o o x P ≤≤到两点),(),,(b a B b o A -的距离之和（如图3）.由平几知识，显然当点P 位于AB 与x 轴的交点M 处时，PB PA +最小，当点P 由点M 处沿x 轴移向点O 时，PB PA +越来越大，当点P 达到点O 时，PB PA +达到最大，为22b a b ++；同样地，当点P 由点M 处沿x 轴移到点),(o a N 处时，PB PA +达到最大，为22ba b ++.故22max )(b a b PB PA ++=+.从而)(222max b a b b S ++=π.评析 此题的难点是求PB PA +的最大值.解法1在作出点B 关于DC 的对称点'B 后，反复利用三角形两边之和大于第三边突破了这一难点；解法2运用函数思想，将PB PA +表示成DP 的长x 的函数，而求这种无理函数的最大值无常规方法，故又将PB PA +看作动点B ’P图2ABCDE A ’图3 图1ABCDP))(,(a x o o x P ≤≤与两定点),(),,(b aB b o A -的距离之和，再利用平几知识求出了最大值.平几知识、转化思想的灵活运用是破解此题的关键.拓展 不难知道，当点P 为DC 的中点时，22m i n 4)(b a PB PA +=+,从而22m i n 4b a b S +=π，进而旋转体表面积的取值范围是2(b ππ⎡⎤+⎣⎦. 题96 ABCD 是一个正方形，M 为AB 上一点，N 为BC 上一点，且AM=BN.连DM 、DN分别交对角线AC 于点P 、Q ，剪掉△MNB.求证：①以DM 、DN 为折痕，将DA 与DC 重合，可以构成一个三棱锥的侧面.②以线段AP 、PQ 、QC 为边恰可构成一个内角为600的三角形.（第一届高一第二试第五题） 解 ①如图1，由于AM=BN ，则CN=BM.以DM 、DN DA 与DC 重合.下面证明AM ，MN ，CN AM=BN <MN ，CN=BM<MN ，所以MN 为AM ，MN ，CN MN<MB+BN=AM+CN ，所以AM ，MN ，CN 可构成一个三角形.故将DA 与DC 重合后，面DAM ，面DMN ，面DNC 锥的侧面.②如图2，在棱锥D-A(C)MN 中，AP 在面ADM 内，PQ 在面DMN QA 在面DAN 内.AP-PQ-QA(C)形成封闭折线构成△APQ ，所以AP ，QC 可构成△APQ 的三条边.现在只须证∠PAQ=600.由于棱锥底面△AMN ≌△BMN （三边对应相等），∴∠MAN=900，又∠DAM=900，∠DA(C)N=900，AP 为∠DAM 的平分线，AQ 为∠DAN 的平分线.作PP 1⊥DA 于P 1，过P 1作P 1S ∥AN 交AQ 于S ，则∠PP 1S=900，P 1A=P 1P=P 1S ，所以PA=SA=SP ，即△PSA 为正三角形，所以∠PAQ=600.评析 这是一个典型的折叠问题，解决此类问题的关键是要搞清楚折叠前的各种量在折叠后是否发生了变化，并画出正确的图形，再根据图形寻求解题的路子.第①小题的核心是证明线段AM 、MN 、CN 可以构成一个三角形.上述证法是证明了最长的线段MN 比两条较短的线段CN 与AM 的和小，故三条线段能构成一个三角形.其实，因为AM=BN ，所以CN=BM.而BN 、MN 、BM 显然构成△BMN ，故AM 、MN 、CN 当然也能构成三角形 .第②小题要证明线段AP 、PQ 、QC 为边可构成一个三角形是很容易的，难就难在要证明此三角形的一个内角是60 0，到底哪一个内角是600？这在直观图上是不易看出的 .瞎猜一通，将会浪费大量时间，且不易得到证明.怎么办呢？我们可以用图1中的三条线段AP 、PQ 、QC 为边画一个三角形，量出一个最接近600的角（若不明显，还可将图1中M 、N 的位置适当移动后再如此操作），然后再去证明，这是一个有效的方法.要证明∠PAQ=60O也并非易事.一般来说，是通过解△PAQ ，求得∠PAQ=600.这就需要知道△PAQ 的三边或一些边与角.我们可以设正方形的边长为1，AM=BN=x ，设∠ADP=θ，则∠APD=1800-450-θ=1350-θ，sin θ=21xx DM AM +=,在△APD 中，)135sin(sin 0θθ-=ADAP ，)135sin(sin 0θθ-=AP ，类似地可在△DCQ 中设∠CDQ=ϕ，则CQ 可用ϕ的三角函数表示出来，再得PQ=2-AP-CQ.然后再用余弦定理，应当说是可以得到∠PAQ=600的，但是太繁了！于是上面的解法抓住∠DAM=∠DAN=∠MAN=900，作PP 1⊥DA 于P 1，，作P 1S ∥AN 交AQ 于S ，又由AP 、AQ 分别是Rt ∠DAM ，Rt ∠DAN 的平分线，得到△P 1AP 、△P 1PS 、△P 1SA 为全等的等腰直角三角形，得AP=PS=SA ，故∠PAQ=600.这就有效地避免了繁琐的运算.这也启示我们，当常规思路（比如通过解三角形求角）难以奏效时，应当改变思考方向，寻求新的解法.题97 正ABC ∆的边长为a ，用任意直线l 截ABC ∆与两边交于F E 、，将ABC ∆沿l 折起作成二面角，由此可形成四棱锥ABEF C -，求此四棱锥的最大体积，并证明之.（第十二届高二培训题第77题）解 由棱锥的体积公式sh V 31=，可知 （1）当l 固定时，CEF ∆折起与平面ABEF 垂直时，所成四棱锥有最大体积，此时，CEF ∆的高CD 即为棱锥的高.（2）当高CD h =固定时，所有的直线l 皆以与C 为圆心，h 为半径的圆相切，由此可知棱锥的体积要最大，必须四边形 ABEF 的面积S 最大，CEF ∆有最小面积.因而只要考虑 与AB 平行的这些直线l .（3）设EF ∥CG AB CG AB ,,⊥交EF 于H ，记a CG x x CH 230,=<<=，则EF = x 32，四棱锥ABEF C -的体积为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2222439332434331x a x x a x V . （4）由⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222222224322127143271x a x x a x V 212714322⨯≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a 63232222216271221271343432a a xa x a x ⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+，当且仅当=22x -243a 2x ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<=a x a x 232时取等号.所以3max 363a V =.评析 此题解法中的4个步骤恰好解决了本题的4个关键问题：（1）当l 固定时，折成什么样的二面角体积最大？（2）当高CD h =固定时，l 处于什么样的位置时底面积最大？认识到底面ABEF 的面积最大时CEF ∆的面积最小也是至关重要的.DBCGF H Ell（3）在认识了l 必须与AB 平行，设x CH =后，如何将V 表示成x 的函数？ （4）如何求（3）中函数)(x f V =的最小值？这种高与底面积都在变化，即影响体积V 的两个量都在变化时，先固定一个变量再加以分析的方法在解一些较为复杂的多元函数问题时常常用到，我们应细心体会，并能在实践中自如操作.拓展 将此题略加变动，我们便得下面的定理 若D 是边长为a 的正ABC ∆的BC 边上的动点，将ACD ∆沿AD 折起作成二面角，则由此形成的三棱锥ABD C -的体积的最大值是3483a . 证明 如图，设()a x x CD <<=0，则x a BD -=. ()︒∆-⋅=60sin 21x a a S ABD =()43x a a -.在ACD ∆中，由 余弦定理，求得22a ax x AD +-=.作AD CH ⊥于H ，则==⋅+-=⋅∆ACD S CH a ax x CH AD 222121 4360sin 21axax =︒，所以CH =显然，若ABD ∆固定，则当ACD ∆沿AD 折成直二面角时三棱锥ABD C -的体积最大，此时，CH 就是此三棱锥的高.故()()⋅=+--=+-⋅-⋅=⋅=∆-8823433131222222a aax x x a x a a ax x ax x a a CH S V ABD ABDC()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+-=+-+--222222222228aax x aax x a aa ax x a ax x a .令=+-22a ax x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛≥a t t 23，则易证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-t t a a V ABD C 228在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,23a 上单调递减，所以m ax )(ABD C V -= 32248323238a a a a a =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-.题98 给定一个三角形纸片（如图1），你能否用它为原料剪拼成一个正三棱柱（正三棱柱的全面积等于原三角形的面积）？说明你的方法.这里“剪拼”的意思是：依直线剪裁，边对边拼接.（第十四届高二第二试第22题）ABCDHaaxx a -解 可以剪拼成一个正三棱柱，下面分两步证明：（1）设A ∠是最大角之一，取AC AB 、中点F E 、F E 、作BC 的垂线，垂足N M 、一定在BC 内.过A 作的平行线PQ ，分别交两垂线于点Q P 、.由BME ∆AQE ∆，CNF ∆≌APF ∆，可见矩形MNPQ 可由ABC ∆拼而成（如图2）.（2）设矩形MNPQ 中，NP MN ≤，以MN 为边，向内作正MNT ∆，T 与MN 的距离等于NP MN <23,故T 在矩形MNPQ 内.过T 作MN 的平行线RS ，如图3剪拼，即成一个正三棱柱.证毕.评析 正三棱柱的三个侧面是全等的矩形，两底面是全等的正三角形，将正三角形平分后又能拼成矩形，三个全等的侧面矩形总有一边等于底面正三角形的边长.因此，意识到任何一个矩形都可按图3那样剪拼成一个正三棱柱是破解此题的关键之一.在此基础上，如何将任何一个正三角形剪拼成矩形又是一个关键问题，运用平几知识很容易解决这一问题.拓展 对此题作进一步研究，可得命题1 一个三角形可剪拼成任意形状的等积三角形.证明 设已知三角形为ABC ∆，各边长分别为c b a ,,，所求三角形为'''C B A ∆，各边长为'a ，'b ，'c .1、不妨设c b a ≥≥，'''c b a ≥≥.我们先将ABC ∆剪拼成一个边长为2a的矩形MNPQ （如图2）. 2、将矩形MNPQ 剪拼成一组对边长为2'a 的平行四边形.若22'aa >，将矩形MNPQ 作如图4的处理，FE 、分别为PQ MN 、的中点，4''a EM =（倘若EQ a EM >=4''，我们就将矩形MNPQ 截成两个全等的矩形EFQM 与EFPN ，如图5，将E F Q M 接到EFPN ，重复这个操作，直至EQ a <4'），延长E M '交PN 于'N ，''P Q 过F 且平行于''N M ，易知可拼成平行四边形''''Q P N M 且2'''a N M =. 若22'a a <，仍作图5处理，直至MN a >2'（矩形在竖直方向的边长）为止，再进行上述操作.3、因为'''''''11'''22A B C M N P Q a c S S a h ∆>==，所以h c >'（h 为平行四边形的高）.如图6，F E 、分别是''''P N Q M 、的中点，过E 的直线交''Q P 于'A ，交''N M 于'B ，且'''c B A =（由前所证，这样的''B A 存在）连接F A '并延长交''N M 于'C .如图7，若'A 在''P Q 的延长线上，可先将''N FC ∆剪拼到''P FA ∆，再将''A EQ ∆剪拼到''B EM ∆，'A 在''Q P 的延长线上，同理可得.因为在剪拼的过程中，面积始终不变，所以当''c a 、确定时'b 也唯一确定，故'''C B A ∆ 即为所求三角形.命题2 一个三角形可剪拼成任意形状的等积多边形.把要求的多边形看成有限个三角形的组合，设为n ∆∆∆∆,,3,2,1 ，则++=∆∆∆21S S S A B Cn S ∆+ .将ABC ∆底边分成n 份，长度比为n S S S S ∆∆∆∆::::321 ，再依端点将ABC ∆剪成n 个面积依次为n S S S ∆∆∆、、、 21的三角形.由命题1，依次将面积为n S S S ∆∆∆、、、 21的三角形剪拼成n ∆∆∆∆,,3,2,1 .最后将n ∆∆∆∆,,3,2,1 拼起来即得所求多边形.命题3 一个多边形可剪拼成任意形状的等积多边形. 将命题扩展到空间，又得命题4 一个多面体可切拼成任意形状的等积多面体.题99 设在空间给出了20个点.其中某些点涂黄色，其余点涂红色.已知在任何一个平面上的同种颜色的点不会超过三个.求证：存在一个四面体，它的四个顶点同色，并且至少有一个侧面内不含另一种颜色的点.（第一届高一第二试第四题）解 因为20=n ，这20个点涂红、黄两种颜色，所以至少有四个点是同色的.由于任一平面上同色点不会超过三个，所以上述四个同色点不共面，组成四个顶点同色的四面体.于是可知，四个顶点同色的四面体必定存在.由于点数有限（20个），其中四个顶点同色的四面体只能有有限个，所以可选取其中一个体积最小者.这个体积最小的四个顶点同色的四面体即合要求——其中至少有一个侧面内不含另一种颜色的点，如若不然,若它的四个面内都有涂另一种颜色的点,则这四个点必不共面，将形成一个体积更小的四个顶点同色的四面体，于是会产生矛盾.故命题得证.评析 这是最简单、形象、直观的染色——点的染色问题.将空间20个点染成黄色、红色（任何平面上不同色点不超过3个）后，要求证明具有某种性质的对象（四个顶点同色，且至少有一个侧面内不含另一种颜色的点的四面体）存在，这类问题的证明，通常要用到抽屉原理，重叠原理等组合学中的基本原理，或利用奇数偶性分析，有时还用到构造法、递归法、数学归纳法等数学方法.本题中利用抽屉原理，立即证得四个顶点同色的四面体的存在性.再在存在的有限个四顶点同色的四面体中取一个体积最小的，再用反证法证明这个体积最小的四面体就是四个顶点同色，并且至少有一个侧面内不含另一种颜色的点的四面体.题100 用四个边长分别为 a ， b ， c (a>b>c>0)的锐角三角形可以拼成一个四面体.把拼成的任何一个四面体的各棱用红、黄、蓝三色染色，每条棱染一色，每种色染两条棱，考虑一切经过这样染色的四面体，如果经过适当转动，两个染色四面体完全重合，并且重合的对应棱同色时，称这样的两个四面体是同一染色类.问：所有这样的染色四面体可分为几种染色类？（第四届高一第2试第22题）解：所构成的四面体对棱长度相等，图中AB=CD,AC=BD,BC=AD .从四面体外部看，任何一个表面三角形三条边都包含 a ， b ， c 三种长度，按它们的配置顺序看，可分为两类：一类是边长为 a ， b ， c 的三边按顺时针方向排布，另一类是按逆时针方向排布.如果有两个四面体分别属于这两类，那么无论如何转动，这两个四面体都不会重合.因此，只要把 a ， b ， c 三边顺时针方向排布的染色四面体的染色类数弄清楚了，就可以把这个数乘以2，得到全部染色类的数目.以下设 a ， b ， c 顺次按顺时针方向排布，按染色方法可分成三种不同方式：①三组对棱对应同色，即图中 AB 与 CD 、 AC 与 BD 、 BC 与 AD 同色.容易看出，只要一个顶点处的三条棱所占的三种颜色确定后，整个四面体的染色也就确定了.这种方式下，有⨯⨯321=6类.②恰有一组对棱同色，设长为 a 的对棱同色，另外两组对棱对应异色.当长为 a 的这组对棱的颜色确定后，不论另外四条棱怎样染色（但要使另外两组对棱对应异色），都可以经过适当旋转，使这样染色的两个四面体重合，且对应棱同色，也就是说：长为 a 的对棱同色时，可划分为3个染色类.同理，长为 b ，长为 c 的对棱同色也是这样，在这种染色方式下，共可划分为3⨯3=9类.③任何两条对棱都异色，这时有且仅有一个三角形，它的三边是三种不同颜色，设∆ABC 中， BC 染了红色， AC 染了黄色， AB 染了蓝色这时，只要 AD 染色确定后，整个四面体的染色就确定了. AD 可染黄色，也可染蓝色.这样形成的两个染色四面体不同类.因此，这种染色方式下，A B CD3212=12类.有⨯⨯⨯(6+12)2=54种.综上分析，考虑到a,b,c按逆时针方向排布的四面体，共有9+⨯评析显然不是所有染色四面体经过适当转动后两个四面体都能完全重合且重合的对应棱是同色的，于是必须对所有染色四面体进行分类.染色问题的本质就是分类.分类应注意既不能重复又不能遗漏.要做到这一点，分类标准必须一致.因此，如何分类？分哪几类？分类以后怎么办？就成了解决问题的关键.由于本题中的四面体的任何一个表面三角形三边都包含 a， b， c三种长度，故可按其配置顺序分为两类：一类是边长为 a， b， c的三边按顺时针方向排布，另一类是按逆时针方向排布.认识分属这两类的两个四面体都不会是同一染色类也是十分重要的，在此基础上，我们只须把 a， b， c顺时针方向排布的染色四面体的染色类数弄清楚了，而 a， b， c按逆时针方向排布的染色四面体的染色类数与其相同，故问题也就解决了.于是又对 a， b， c按顺时针方向排布时按染色方法分为三类，并逐一求出同一染色类数，便最终解决了问题.。
简单的数学问题
简单的数学问题数学是一门抽象而又具有普适性的学科，它贯穿于我们日常生活的方方面面。
它不仅帮助我们解决实际问题，还能培养我们的逻辑思维和分析能力。
在这篇文章中，我们将探讨几个简单的数学问题，帮助读者更好地理解数学的魅力。
问题一：1加1等于几？这是一个最基本的数学问题，看似简单，但其实同样有许多有趣的讨论。
在常规的数学运算中，1加1等于2。
这是我们学习数学时所接受的常识。
然而，在某些特定的领域中，1加1并不一定等于2，而可能等于其他的值。
比如，如果我们将1表示为一个二进制数字，那么1加1的结果应该是10，即二进制数的2。
这是因为在二进制运算中，当两个数相加等于或超过基数时，就要进位。
此外，在一些抽象的数学领域，如群论或运算规则的研究中，我们可以定义1加1等于任何你想要的值。
这是因为在这些领域中，数学规则可以根据特定的目的和定义进行灵活的调整。
问题二：如何快速计算乘法？乘法是数学中的基本运算之一，涉及到对两个或多个数的相乘。
在我们日常生活中，我们经常需要进行乘法运算，比如计算购物总价、算账等等。
但是，对于大的乘法运算，我们可能会感到头疼和困惑。
事实上，有一些技巧可以帮助我们更快速地计算乘法。
其中一种常见的技巧是使用分配律。
例如，对于计算14乘以13，我们可以先将14拆分为10和4，然后计算10乘以13和4乘以13，最后将两个结果相加。
这样的计算方式可以大大简化我们的手算过程。
此外，我们还可以利用乘法表来帮助我们记忆乘法结果。
乘法表是一个方形的表格，其中包含了从1到10的所有数的乘法结果。
通过熟记乘法表，我们可以更快速地找到乘法运算的结果，而无需进行繁琐的手算。
问题三：如何计算百分比？百分比是表示一个数相对于另一个数的比例关系，常用于描述增长、减少、比较等情况。
计算百分比也是我们日常生活中经常遇到的问题。
计算百分比的方法相对简单。
以计算一个数的百分之多少为例，我们可以将待求的百分数除以100，然后与要比较的数相乘即可。
(完整版)北师大六年级下册期末数学必备知识点题目精选名校及解析
（完整版）北师大六年级下册期末数学必备知识点题目精选名校及解析一、选择题1．在一张图纸上有400：1这样的一个比例．这个比例告诉我们的是( )．A．图上距离是实际距离的1 400B．实际距离是图上距离的400倍C．这张图纸是将实物放大到400倍画出来的2．如图所示是一个正方体展开图，和这个展开图对应的正方体是（）A．B．C．D．3．某村去年生产油菜籽120吨，比前年增产一成五，前年生产油菜籽多少吨？正确的算式是（）。
A．120×15% B．120×（1＋15%）C．120÷（1＋15%）4．在一个三角形中，最小的一个角是47°，这个三角形一定是（）。
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5．小胖有88枚邮票，比小亚邮票枚数的一半多2枚。
小亚有多少枚邮票？解：设小亚有x枚邮票。
下列方程错误的是（）。
A．x÷2－2＝88 B．x÷2＋2＝88 C．88－x÷2＝2 D．x÷2＝88－26．下图是一个正方体的展开图。
写有数字“1”的面和写有（）的面是相对的。
A．数字“3”B．字母“A”C．字母“B”7．下面说法错误的是（）。
A．经过一点可以画无数个圆B．周长相等的两个圆，面积也一定相等C．圆的周长与它直径的比值是πD．直径就是两端都在圆上的线段8．下面图形中，圆柱展开图的是（）。
A．B．C．D．9．一种电视机提价25%，又降价20%，现在的价钱和原来的价钱相比，价钱（）．A．降低了B．没有变C．提高了D．不确定10．下列选项中，能用“3m＋1”表示的是（）。
A．右面整条线段的长度。
B．摆一个正方形用4根小棒，照下图这样摆m个正方形需要的小棒根数。
C．乐乐今年m岁，爸爸的年龄比她年龄的3倍少1岁，爸爸今年的年龄。
二、填空题11．地球绕太阳的平均距离是一亿四千九百六十万千米，这个数字写作（______）千米，四舍五入到亿位约是（______）亿千米。
北师大版九年级数学上册 第六章 反比例函数相关概念热点集锦(含答案)
北师大版九年级上册 反比例函数相关概念热点集锦（含答案）一、单选题1．如图，反比例函数k x y =（k ＞0）与一次函数1y x b 2=+的图象相交于两点A (1x ,1y ),B (2x ,2y ),线段AB 交y 轴与C ，当|1x －2x |=2且AC = 2BC 时，k 、b 的值分别为（ ）A.k ＝12,b ＝2 B.k ＝49,b ＝1 C.k ＝13,b ＝13D.k ＝49,b ＝132．已知函数25(1)m y m x-=+是反比例函数，且图像在第二、四象限，则m 的值是（ ）A.2B.12-C.±2D.-23．函数y ＝(a －2)2a 2x -是反比例函数，则a 的值是( )A ．1或－1B ．－2C ．2D ．2或－24．若点 A （a ，b ）在反比例函数 y ＝（x ＞0）的图象上，则 a+b 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．95．已知21x和y 成正比例，1y 与z 成反比例，那么2x 和z 成（ ）． A ．正比例B ．反比例C ．既不成正比例，也不成反比例D ．既成正比例也成反比例6．若y +b 与1x a+成反比例，则y 与x 的函数关系式是（ ）． A ．正比例B ．反比例C ．一次函数D ．二次函数7．若点1(3,)A y -，2(2,)B y -，3(1,)C y 都在反比例函数12y x=-的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．213y y y <<B ．312y y y <<C ．123y y y <<D ．321y y y <<8．若双曲线在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（ ） A.k ＜3B.k≥3C.k ＞3D.k≠39．若y 与x 成反比例，x 与z 成反比例，则y 与z 的关系是( ) A ．成正比例 B ．成反比例C ．一次函数关系D ．不能确定二、填空题10．已知11(,)A x y ，22(,)B x y 都在反比例函数6y x=的图象上，若123x x =-，则12y y 的值为______. 11．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是 A ．小明完成100m 赛跑时，时间t （s ）与跑步的平均速度v （m/s ）之间的关系. B ．菱形的面积为48cm 2，它的两条对角线的长为y （cm ）与x （cm ）的关系.C ．一个玻璃容器的体积为30L 时，所盛液体的质量m 与所盛液体的体积V 之间的关系.D ．压力为600N 时，压强p 与受力面积S 之间的关系. 12．已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)都在反比例函数y ＝6x的图象上．若x 1x 2＝﹣4，则y 1y 2的值为______． 13．设函数y =x －4与3y x =的图象的交点坐标为（m ，n ），则11m n-的值为_____．14．在①y ＝35x -；②y ＝－35x ；③y ＝1x ＋1；④y ＝a 1x+(a≠－1)四个函数中，为反比例函数的是____________．(填序号)三、解答题15．已知函数2212mm y m m x （）--=+（1）如果y 是x 的正比例函数，求m 的值；（2）如果y 是x 的反比例函数，求出m 的值，并写出此时y 与x 的函数关系式．16．已知12y y y =+，1y 与2x 在正比例关系，2y 与x 成反比例函数关系，且x 1=时，y 3=，x 1=-时，y 1= (1)求y 与x 的关系式. (2)求当2x =-时，y 的值.17．已知y =1y －2y ，又1y 与x 的算术平方根成正比例，2y 与x 的平方成反比例，，当x=1时，y=0；x=2时，y=314，求y 关于x 的表达式．18．已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 2成反比例，并且当x ＝1与x ＝2时，y 的值都等于7，求x ＝－1时，y 的值．参考答案1．D【解析】∵AC=2BC，∴A点的横坐标的绝对值是B点横坐标绝对值的两倍．∵点A、点B都在一次函数y＝x+b的图象上，∴设B（m，12m+b），则A（-2m，-m+b），∵|1x－2x|=2，∴m-(-2m)=2，解得m=23，又∵点A、点B都在反比例函数kxy 的图象上，∴23（13+b）=(-43)×（-23+b），解得b=13，∴k=23×（13+13）=49，故选D.2．D【解析】根据反比例函数的概念，可知m+1≠0，m2-5=-1，解得m=±2，然后根据函数的图像在第二、四象限，可知m+1＜0，即m＜-1，因此可求得m=-2.故选：D.3．A【解析】【分析】依据反比例函数的定义可知：a-2≠0，a2-2=-1，从而可求得a的值．【详解】∵函数y＝(a−2)x a2−2是反比例函数，∴a2-2=-1，a-2≠0．解得：a=±1．故选A．【点睛】本题主要考查的是反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．4．C【解析】【分析】依据（a﹣）2≥0，即可得出a+ ≥2 a ，当a＝b 时，等号成立，再根据点A（a，b）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，即可得到a+b 的最小值．【详解】解：对于任意正实数a、b，∵（a）2≥0，∴a+b﹣2 a ≥0，a+ 2 a ，当a＝b 时，等号成立，（x＞0）的图象上，又∵点A（a，b）在反比例函数y＝x∴ab＝9，∴a+b 的最小值为故选：C．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy ＝k．5．B【解析】【分析】可以根据正比例与反比例函数的定义确定z与2x的函数关系．【详解】解：因为21x 和y 成正比例，所以y=k 121x ， 又1y与z 成反比例，所以z=21yk ． 所以z=k 2y=k 2 k 121x ，， 即z 与x 2之间的关系是成反比例．故选：B ． 【点睛】本题考查正比例函数及反比例函数的定义，注意区分：正比例函数的一般形式是y=kx （k≠0），反比例函数的一般形式是y ＝kx（k≠0）． 6．C 【解析】 【分析】根据反比例函数定义先对y+b 与1x a+成反比例列出函数关系式，再变形得到y 与x 的函数关系式． 【详解】 解：∵y+b 与1x a+成反比例， ∴y+b=k （x+a ）（k 为不等于0的常数）， ∴y=kx+ka-b ，∴y 与x 的函数关系式是一次函数． 故选：C ． 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的定义，解题关键是熟练掌握定义．7．B 【解析】 【分析】将A 、B 、C 三点坐标分别代入反比例函数的解析式，求出123、、y y y 的值比较其大小即可 【详解】∵点1(3,)A y -，2(2,)B y -，3(1,)C y 都在反比例函数12y x=-的图象上， ∴分别把x=-3、x=-2、x=1代入12y x=-得14y =，26y =，312y =- ∴312y y y << 故选：B 【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 8．C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质由函数在每一象限内, y 随x 的增大而减小, 得到k-3>0, 求出即可得到答案.【详解】解: 函数在每一象限内,y 随x 的增大而减小,k-3>0, k>3. 故选C.【点睛】本题主要考查对反比例函数的性质,解一元一次不等式等知识点的理解和掌握,能熟练地运用反比例函数的性质进行计算是解此题的关键. 9．A 【解析】 【分析】根据反比例关系的定义分别写出相应的解析式，根据y 与z 的数量关系即可进行判断． 【详解】解： ∵y 与x 成反比例，∴y ＝1k x， ∵x 与z 成反比例，∴x ＝2k z， ∴y ＝12k z k ，∴y 与z 正比例． 故选A. 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，利用了反比例关系、正比例关系是解题关键． 10．12 【解析】 【分析】把A 、B 两点的坐标代入解析式，再根据123x x =-即可求解. 【详解】把11(,)A x y ，22(,)B x y 代入6y x=得： 121266,y y x x ==∵123x x =-∴12123612y y x x ==-故答案为：-12 【点睛】本题考查的是反比例函数，整体代入思想是解答本题的关键. 11．C 【解析】 【分析】此题可先对各选项列出函数关系式，再根据反比例函数的定义进行判断． 【详解】A 、根据速度和时间的关系式得，t=；B 、因为菱形的对角线互相垂直平分，所以 xy=48，即y=；C 、根据题意得，m ρV ；D 、根据压强公式，p=；可见，m ρV 中，m 和V 不是反比例关系．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，正确表示出各量之间的函数关系是解决本题的关键． 12．﹣9． 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到121266,y y x x ==， 再把它们相乘，然后把124x x =-代入计算即可． 【详解】根据题意得121266,y y x x ==， 所以1212126636369.4y y x x x x =⋅===-- 故答案为:−9. 【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点,A B 的坐标代入反比例函数解析式得到121266,,y y x x ==是解题的关键. 13．43-【解析】分析:把（m ，n ）代入y =x －4可得n -m =-4，把（m ，n ）代入3y x =可得mn =3，然后把11m n-通分，再把求得的n -m =-4，mn =3代入即可.详解: ∵把（m ，n ）代入y =x －4得n -m =-4，把（m ，n ）代入3y x=得mn =3，∴11m n-=43n m n mmn mn--==-.故答案为：4 3 -.点睛:本题考查了函数图像上点的坐标特征，熟练掌握函数图像上的点的横纵坐标满足函数关系式是解答本题的关键. 14．①②④.【解析】【分析】根据反比例函数的定义求解．【详解】解：根据反比例函数的定义求解．为反比例函数的是y＝35x-；y＝－35x；y＝a1x+(a≠－1)．所以反比例函数有①②④. 【点睛】反比例函数解析式的一般式y=kx（k≠0）中，特别注意不要忽略k≠0这个条件．15．（1）m=2或m=﹣1（2）y=3x﹣1【解析】【分析】（1）根据y=kx（k是不等于零的常数）是正比例函数，列式求解即可；（2）根据y=kx（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式，列式求解即可．【详解】（1）由y=（m2+2m）是正比例函数，得m 2﹣m ﹣1=1且m 2+2m≠0，解得m=2或m=﹣1；（2）由y=（m 2+2m ）是反比例函数，得m 2﹣m ﹣1=﹣1且m 2+2m≠0，解得m=1．故y 与x 的函数关系式y=3x ﹣1 ．【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，重点是将一般式y =k x（k ≠0）转化为y =kx -1（k ≠0）的形式． 16．（1）212y x x =+；（2）152【解析】【分析】（1）根据正比例关系与反比例关系设出比例式，然后把两组数据代入关系式，解方程组即可；（2）把x 的值代入所求函数关系式，计算即可得解．【详解】(1)∵1y 与2x 在正比例关系，2y 与x 成反比例函数关系，∴211y k x =，∵2y 与x 成反比例函数关系， ∴22k y x=， ∴22121k y y y k x x=+=+，代入数据可得121231k k k k +=⎧⎨-=⎩， 解得1221k k =⎧⎨=⎩，所以，y 与x 之间的函数关系式为212y x x =+(2)当x −2时，()211522.22y =⨯-+=- 【点睛】考查待定系数法求函数解析式，能够正确的设出y 与x 的关系式，进而用待定系数法求得解析式是解题的关键. 17．2124)124(xx y +-+= 【解析】【分析】得到y 1与x 的算术平方根的关系式，y 2与x 的平方的关系式，进而得到y 与x 的关系式，把x ，y 的两组值代入所得解析式，求得相关的比例系数的值即可．【详解】解：∵y 1与x 的算术平方根的关系，y 2与x 的平方的关系，∴设y 1=x k 1，y 2=22k x ， ∵y=y 1-y 2，∴y=x k 1-22k x ， ∵当x=1时，y=0；x=2时，y=314，∴1221031244k k k k -⎧⎪⎨-=⎪⎩＝ 解得k 1=42+1，k 2=42+1， ∴()2421421y x x+=+-． 【点睛】考查用待定系数法求函数解析式；用到的知识点为：正比例函数的一般形式为y=kx （k≠0）；反比例函数的一般形式为y=k x（k≠0）． 18．1【解析】设y 1＝k 1x(k 1≠0)，222k y x =(k 2≠0)． ∵y ＝y 1＋y 2， ∴212k y k x x=+， ∵当x ＝1与x ＝2时，y ＝7 ∴12217,{27,4k k k k +=+=解得123,{ 4.k k == ∴243y x x=+． 当x ＝－1时，243(1)1(1)y =⨯-+=-。
一百个书数学问题
一百个书数学问题数学问题是在学习和应用数学知识时遇到的难点和挑战，它们涵盖了各个数学领域的概念、原理和技巧。
下面是一百个涉及不同难度和类型的数学问题，让我们一起来解决它们！1. 1-1000之间能被3整除但不能被7整除的数有多少个？2. a/b + c/d的值是多少，其中a、b、c、d是整数，分数a/b与c/d是相等的。
3.已知直线y = 3x + 2和y = -2x + 5的交点是什么？4.如果一个圆的半径是5，那么它的直径是多少？5.如果f(x) = 2x + 3，那么f(4)的值是多少？6.一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶8小时后，总共行驶了多少公里？7.如果一个数字的平方等于100，那么这个数字是多少？8.三个数的平均值是10，其中两个数是3和5，那么第三个数是多少？9.如果一个矩形的长度是5，宽度是3，那么它的周长是多少？10.一个圆的面积是25π平方厘米，那么它的半径是多少厘米？11.如果一个长方体的长、宽和高分别是2、3、4，那么它的体积是多少？12.三角形的内角之和是多少？13.如果一个正方形的边长是2，那么它的面积是多少？14.如果一个圆的半径是4，那么它的周长是多少？15.乘法的交换律是什么？16.除法的结合律是什么？17.如果三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长是多少？18.两个数字的乘积是20，其中一个数字是5，那么另一个数字是多少？19.如果一个正方形的面积是25平方厘米，那么它的边长是多少厘米？20.如果一个圆的面积是16π平方厘米，那么它的半径是多少厘米？21.一个长方体的体积是24立方米，如果它的宽度是3米，那么它的长度和高度是多少米？22.三角形的三个内角分别是60度、60度和60度，那么这个三角形是什么类型的？23.如果两个正方形的面积分别是4平方厘米和9平方厘米，那么它们的边长比是多少？24.如果一个圆的周长是20π厘米，那么它的直径是多少厘米？25.三个数的和是15，其中两个数是6和7，那么第三个数是多少？26.一个四边形的内角之和是多少？27.如果一个正方形的边长是6，那么它的周长是多少？28.如果一个圆的半径是8，那么它的面积是多少π平方厘米？29.乘法的结合律是什么？30.除法的交换律是什么？31.如果一个三角形的两边长分别是5和12，那么第三边的长是多少？32.两个数字的乘积是36，其中一个数字是9，那么另一个数字是多少？33.如果一个正方形的面积是49平方厘米，那么它的边长是多少厘米？34.如果一个圆的面积是9π平方厘米，那么它的半径是多少厘米？35.一个长方体的体积是36立方米，如果它的宽度是4米，那么它的长度和高度是多少米？36.如果一个三角形的三个内角分别是45度、45度和90度，那么这个三角形是什么类型的？37.如果两个正方形的面积分别是16平方厘米和25平方厘米，那么它们的边长比是多少？38.如果一个圆的周长是12π厘米，那么它的直径是多少厘米？39.一个正方形的面积是16平方厘米，那么它的边长是多少厘米？40.一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是多少厘米？41.一个长方体的体积是20立方米，如果它的长度是4米，那么它的宽度和高度是多少米？42.一个三角形的内角之和是多少？43.如果一个正方形的边长是8，那么它的周长是多少？44.如果一个圆的半径是10，那么它的面积是多少π平方厘米？45.乘法的交换律是什么？46.除法的结合律是什么？47.如果一个三角形的两边长分别是7和24，那么第三边的长是多少？48.两个数字的乘积是16，其中一个数字是4，那么另一个数字是多少？厘米？50.如果一个圆的面积是4π平方厘米，那么它的半径是多少厘米？51.一个长方体的体积是16立方米，如果它的宽度是2米，那么它的长度和高度是多少米？52.三个数的和是20，其中两个数是8和5，那么第三个数是多少？53.一个四边形的内角之和是多少？54.如果一个正方形的边长是10，那么它的周长是多少？55.如果一个圆的半径是16，那么它的面积是多少π平方厘米？56.乘法的结合律是什么？57.除法的交换律是什么？58.如果一个三角形的两边长分别是9和16，那么第三边的长是多少？59.两个数字的乘积是64，其中一个数字是8，那么另一个数字是多少？厘米？61.如果一个圆的面积是16π平方厘米，那么它的半径是多少厘米？62.一个长方体的体积是32立方米，如果它的宽度是2米，那么它的长度和高度是多少米？63.如果一个三角形的三个内角分别是30度、60度和90度，那么这个三角形是什么类型的？64.如果两个正方形的面积分别是25平方厘米和36平方厘米，那么它们的边长比是多少？65.如果一个圆的周长是18π厘米，那么它的直径是多少厘米？66.一个正方形的面积是25平方厘米，那么它的边长是多少厘米？67.一个圆的直径是12厘米，那么它的半径是多少厘米？68.一个长方体的体积是40立方米，如果它的长度是8米，那么它的宽度和高度是多少米？69.一个三角形的内角之和是多少？70.如果一个正方形的边长是12，那么它的周长是多少？71.如果一个圆的半径是5，那么它的面积是多少π平方厘米？72.乘法的交换律是什么？73.除法的结合律是什么？74.如果一个三角形的两边长分别是8和15，那么第三边的长是多少？75.两个数字的乘积是12，其中一个数字是3，那么另一个数字是多少？76.如果一个正方形的面积是100平方厘米，那么它的边长是多少厘米？77.如果一个圆的面积是25π平方厘米，那么它的半径是多少厘米？78.一个长方体的体积是50立方米，如果它的宽度是5米，那么它的长度和高度是多少米？79.三个数的和是25，其中两个数是10和7，那么第三个数是多少？80.一个四边形的内角之和是多少？81.如果一个正方形的边长是14，那么它的周长是多少？82.如果一个圆的半径是20，那么它的面积是多少π平方厘米？83.乘法的结合律是什么？84.除法的交换律是什么？85.如果一个三角形的两边长分别是11和24，那么第三边的长是多少？86.两个数字的乘积是49，其中一个数字是7，那么另一个数字是多少？87.如果一个正方形的面积是121平方厘米，那么它的边长是多少厘米？88.如果一个圆的面积是36π平方厘米，那么它的半径是多少厘米？89.一个长方体的体积是56立方米，如果它的宽度是4米，那么它的长度和高度是多少米？90.如果一个三角形的三个内角分别是30度、30度和120度，那么这个三角形是什么类型的？91.如果两个正方形的面积分别是36平方厘米和49平方厘米，那么它们的边长比是多少？92.如果一个圆的周长是24π厘米，那么它的直径是多少厘米？93.一个正方形的面积是36平方厘米，那么它的边长是多少厘米？94.一个圆的直径是14厘米，那么它的半径是多少厘米？95.一个长方体的体积是60立方米，如果它的长度是6米，那么它的宽度和高度是多少米？96.一个三角形的内角之和是多少？97.如果一个正方形的边长是16，那么它的周长是多少？98.如果一个圆的半径是7，那么它的面积是多少π平方厘米？99.乘法的交换律是什么？100.除法的结合律是什么？以上是一百个数学问题，涉及了各种基本的数学概念和运算法则。
数学疑难解答41--50)
数学疑难解答（40——50）题41、怎样理解“5比4多几分之几？”两个数相比较，一般来说有两种不同的方法。
一种是比差，如“7比5多几”另一种是比倍，如“7是5的几倍？”而求一个数比另一个数多几分之几的题目，要根据题意的不同，去区别对待。
一种是求两个分数之差。
如:“一块地，大型拖拉机每小时可耕它的1/8，中型拖拉机每小时可耕它的1/12。
大型拖拉机比中型拖拉机每小时多耕这块地的几分之几？”这里所求的“多几分之几”，就是求1/8与1/12差。
另一个是求两个数的倍数差。
即以后者为1倍，前者的倍数比后者多几分之几。
如：“5比4多几分之几？”因为已知的两个数都是整数，其绝对数量只差必定也是整数，而不可能是真1 1分数，所以应理解为是求两数倍数之差的问题。
因为5÷4=1 ，即5是4的1 倍，4 4所以5比4多1/4。
也可用两数之差除以后者，即：（5-4）÷4=1/442、怎样理解“4/5比2/3多几分之几？”“4/5比2/3多几分之几”中，因为其中的两个已知数都是分数，且不带单位名称，这样无论是比差，还是比倍，其结果都是分数，因此看不出该题是比差还是比倍，这样便容易产生争议，出现两种解法：（1）4/5-2/3=12/15-10/15=2/15（2）(4/5-2/3)÷2/3=2/15×3/2=1/5因此，对于这类题目，在命题时要尽可能明确一些。
若要求比差时则宜将问题问做“4/5 比2/3多它的几分之几？”43、教材中求产品合格率的式子：合格的产品数合格率= ×100%，为什么要乘以100%？产品总数合格率、发芽率、出勤率都是百分率在工农业生产重的实际运用。
所谓“率”就是两个数相除的商化成的百分数。
为了表明这些公式都必须用百分数表示，就在它们的公式中都乘合格的产品数以100%，如果写成：合格率= ，得到的结果不一定是百分数，但是只要把结产品总数果乘以100%，就可以保证结果是百分数了。
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数学疑难解答（90——100）题
90、到2002年小明才真正的过了第一个生日，这可能有两种情况。
一种是2001年出生的，到2002年真正的过了一年，所以只过了一个生日，小明1岁了，这种情况下，她的生日无法确定。
还有一种情况就是小明是在某一闰年的2月29日出生的。
因为1996年是闰年，这一年有2月29日，再过4年到2000年才能再有2月29日，这就是小明过的第一个生日，而这一年小明已经4岁了，而且2001年都不是闰年，这两年也不会真正的过生日，因此2002年小明已经6岁了。
91、下面的图形中有多少条线段？
A B C D
在数线段的条数时，要抓住线段的特征，即端点的个数。
因为每一条线段都有且只有两个端点，所以上面的图形中每两点之间都可以称作一条直线。
一般地，可以用下面的枚举方法数出现段的条数。
先以A作为一个端点，可以数出三条线段：
A B C D
在以B作为端点，可以数出两条线段：
A B C D
再以C点作为一个端点，可以数出一条线段：
A B C D
一共有3 +2+1=6（条）线段。
92、下面图中有多少个三角形？
因为图中的每个三角形都有一个共同的顶点，底边上有多少条线段，就有多少个三角形，因此这个问题可以转化成数线段的问题。
即可以转化成下图：
因为图中共有3+2+1=6（条）线段，所以本题中的图中共有6个三角形。
图中的每一个长方形都有一组邻边所确定，因此数长方形个数的问题可以转化成数线段的问题（如下图）：
上图中竖线段（即原长方形的宽）有三条，横线段（即原长方形的长）有6条，因为每一条竖线段与每一条横线段都可以组成一个长方形，所以一共可以组成3×6=18（个）长方形。
94、下图中有多少个正方形？
图中单个的小正方形有15个;由2×2=4（个）小正方形组成的较大的正方形有8个；由3×3=9（个）小正方形组成的较大的正方形有3个。
因此一共有15+8+3=26（个）正方形。
95、小云和小丽各画了一个圆，小丽对小云说：“我画的圆大，你画的圆小，我画的圆的直径是你画的圆的直径的2倍“请问小丽说的对吗？
因为在同圆和等圆中才能说直径是半径的2倍。
而既然小丽画的圆比小云画的大，就不存在这个关系。
所以说小丽的话是错的。
96、用24厘米长的铁丝围成一个长方形（包括正方形），要是围成的图形的面积最大，应该怎样围？（长和宽都取整厘米）
长和宽都是6厘米时，围成的图形面积最大即围成正方形时，面积最大，面积为6×6=36 （平方厘米）；当长取11厘米，宽取1厘米时，围成的面积最小,即围成长方形面积为11×1=11（平方厘米）。
97、有一个瓶子，装满水时的容积为100立方厘米。
现在瓶子中没有装满水，只知道正放时水面的高度是8厘米，倒放时瓶中空白部分（既没有水的部分）的高度是2厘米（如右图）。
求瓶中装有多少水？
虽然不知道瓶子底面直径，但可以把两种情况（正放与倒放）结合起来考虑（如右图），这样就可以很容易求出瓶中水的容积（即图中阴影部分）。
8
即100×=80（立方厘米）
2+8
98、小利和几个好朋友想调查一下所在城市某十字路口的各种车辆通过情况，应该如何做？
因为车辆通过某十字路口时，不可能都停下来让他们统计，可以先把这几个人进行适当分工，再让每个人只对一种（或两种）车辆进行统计，这样做起来就会有条不紊。
另外，在统计的过程中可采用画“正”字的方法，最后再对统计后的数据进行整理。
99、几个同学用硬纸片做了20个数字卡片，上面分别写着1——20这二十个数。
小明说可以把这些数分成两类，小花说可以把这些数分成三类，小强说可以把这些数分成四类。
你能把这些数分成几类？并写出分类理由。
答案不唯一。
例如：
根据能否被2整除，可以分为两类：能被2整除（偶数），不能被2整除（奇数）。
根据约数个数的多少，可以分为三类：一个约数（1），两个约数（质数），两个以上的约数（合数）
根据被4除的余数，可以分成四类：被4除余0（无余数），被4除余1，被4除余2，被4除余3。
还可以根据“是否60的约数”分：根据“大于10，等于10，小于10”分……
100、我国首次载人航天飞行获得圆满成功的特大喜讯，鼓舞着成千上万的学生。
为了向杨利伟学习，培养学生的吃苦精神，某校组织了一次爬山活动。
他们从上午9点开始爬山，每小时走3千米，在山顶上休息一个半小时后开始下山，每小时走6千米，到山下刚好是下午1点半。
这些学生上山和下山一共走了多少千米？
由题意不难推知，上山和下山一共走了3个小时。
因为上山和下山的路程一定，所以同学们的行进速度和时间成反比例。
从上山“每小时行走3千米”，下山“每小时行走6千米”，可知上山的速度正好是下山速度的一半，所以上山所用的时间也正好是下山所用时间的2 倍，由此可知下山用了3÷（1+2）=1（小时），从而知道下山走了6×1=6（千米），显然上山和下山一共走了6×2=12（千米）。