第八讲矩阵的分块法
矩阵分块法
矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分解成较小矩阵的方法，以便更高效地进行计算。
这种方法在高性能计算和科学计算中得到了广泛应用。
矩阵分块法是将一个大的矩阵分成若干个块，每个块都是一个小的矩阵。
这些小的矩阵可以更容易地进行计算，而且可以更好地利用计算机的并行处理能力。
在矩阵分块法中，矩阵被分成若干行和列的块。
例如，一个n×n的矩阵可以被分成四个n/2×n/2的块，每个块都是一个n/2×n/2的矩阵。
这种分块方法可以继续递归地应用，直到矩阵被分成足够小的块。
矩阵分块法可以用于各种各样的计算，例如矩阵乘法、矩阵求逆、矩阵特征值等。
在矩阵乘法中，矩阵分块法可以将一个大的矩阵乘法变成许多小的矩阵乘法，从而提高计算效率。
在矩阵求逆和矩阵特征值中，矩阵分块法可以将一个大的矩阵分解成多个小的矩阵，从而简化计算。
矩阵分块法的实现需要考虑许多因素，例如矩阵块的大小、矩阵块之间的通信、矩阵块的分配等。
这些因素可以影响矩阵分块法的性能和可扩展性。
因此，在实现矩阵分块法时需要仔细考虑这些因素，并进行优化。
矩阵分块法是一种非常重要的技术，在高性能计算和科学计算中得到了广泛应用。
矩阵分块法可以将一个大的矩阵分解成多个小的矩阵，从而更高效地进行计算。
在实现矩阵分块法时需要考虑许多因素，并进行优化，以提高性能和可扩展性。
矩阵分块知识点总结
矩阵分块知识点总结一、矩阵分块的基本概念1.1 矩阵分块的定义矩阵分块是一种对矩阵进行分割的方法，将一个大的矩阵分割成若干个较小的子矩阵，这些子矩阵可以是行向量、列向量或者更小的矩阵。
矩阵分块的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
1.2 矩阵分块的表示形式矩阵分块可以采用不同的表示形式，其中包括方括号表示、圆括号表示和其他符号表示。
以方括号表示为例，一个矩阵可以分割成四个子矩阵，如下所示：A = [ A11, A12A21, A22 ]其中A11、A12、A21、A22为子矩阵，分别表示矩阵A的四个子块。
1.3 矩阵分块的基本性质矩阵分块具有很多基本的性质，其中包括可交换性、可加性、可乘性等。
具体而言，如果矩阵A和B可以进行相应的分块操作，则有以下性质：可交换性：A和B的分块顺序可以交换，即A*B = B*A。
可加性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A + B) = A + B。
可乘性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A * B) = A * B。
1.4 矩阵分块的应用矩阵分块在实际中有着广泛的应用，其中包括矩阵的运算、方程组的求解、特征值与特征向量的计算等方面。
矩阵分块能够简化问题的处理过程，提高计算的效率，使得矩阵的性质更加清晰和易于理解，因此在很多领域中得到了广泛的应用。
二、矩阵分块的基本类型2.1 行分块矩阵行分块矩阵是将一个大的矩阵按照行进行分块，将每一行的元素划分成若干个较小的行向量，从而形成一个行分块矩阵。
行分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
2.2 列分块矩阵列分块矩阵是将一个大的矩阵按照列进行分块，将每一列的元素划分成若干个较小的列向量，从而形成一个列分块矩阵。
列分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
高等代数矩阵的分块
Chk = Ah1B1k + Ah2B2k + · · · + AhsBsk.
cuv 是位于 AhqBqk (q = 1, 2, · · · , s) 的第 u 行第 v 列的元素的和， 即 Ah1, · · · , Ahs 的第 u 行分别与 B1k, B2k, · · · , Bsk 的第 v 列的 乘积的和. 但由 (4)，Ah1, · · · , Ahs 的第 u 行凑起来就是 A 的第 i 行，而 B1k, · · · , Bsk 的第 v 列凑起来就是 B 的第 j 列，所以
矩阵分块与分块矩阵的概念
在这节，我们将介绍矩阵运算的一种有用的技巧 -矩阵的分块.
这种技巧在处理教高阶的矩阵时常常被用到.
设 A 是一个矩阵. 我们在它的行或列之间加上一些线. 把这个矩
阵分成若干个小块. 例如，设 A 是一个 4 × 3 矩阵
A = aaa123111
a12 a22 a32
个 m × n 矩阵，并且对 A, B 都用同样的方法来分块：
A = A...11
···
A1q ...
,
B = B...11 · · · B...1q ,
Ap1 · · · Apq
Bp1 · · · Bpq
而 a 是一个数，那么
A
+
B
=
A11
+ ...
B11
m1 + m2 + · · · + mr = m,
n1 + n2 + · · · + ns = n,
(1)
p1 + p2 + · · · + pt = p.
矩阵分块法
矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分割成小块的技术，以便更有效地处理和计算。
这种方法在计算机科学和数学领域中被广泛应用，可以提高计算效率和减少计算时间。
矩阵分块法的基本思想是将大型矩阵分割成若干个小块，然后对每个小块进行单独的计算。
这种方法可以减少计算量，提高计算效率，同时也可以更好地利用计算机的并行计算能力。
在实际应用中，矩阵分块法可以用于解决各种数学问题，如线性代数、微积分、概率论等。
例如，在线性代数中，矩阵分块法可以用于求解大型矩阵的特征值和特征向量，从而解决各种实际问题，如图像处理、信号处理等。
矩阵分块法的实现需要考虑多个因素，如矩阵的大小、分块的大小、计算机的硬件配置等。
通常情况下，矩阵分块法需要进行一定的优化和调整，以便更好地适应不同的应用场景。
矩阵分块法是一种非常重要的数学技术，可以提高计算效率和减少计算时间，对于解决各种实际问题具有重要的意义。
在未来的发展中，矩阵分块法将继续发挥重要作用，为各种科学和工程问题的解决提供更加高效和可靠的方法。
矩阵分块法
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
高二数学矩阵的分块
kA11 kA1r kA kA kA sr s1
例
k 3,
1 A 3 4
2 2 5
3 1 6
1 3 3 A 3 3 4 3
2 3 2 3 5 3
3 3 1 3 6 3
其 中Ai 1 , Ai 2 , , Ais的 列 数 分 别 等 于 B1 j , B2 j , , Bsj的 行 数 。 那么 C11 C1r
AB C r1
ik
C rs
其 中C ij
A
k 1
t
Bkj
i 1, , s; j 1, , r .
1 a 1 1 1 a 0 1
0 B 0 1 B2 b B3 b 0 0 C1 1 C3 b 0 C1 a0 0 0b 1 C3 0 0 1 1 0 0 b 1 10
C2 , C4
11
1s
rs
rs
T A A1 s 则 A . A A
T 11 T
T
r1
T
rs
注:
大块小块一起转。
T
A11 A12 例 A A 21 A22 (5) 分块对角矩阵 设 A 为 n 阶矩阵，若 A 的分块矩阵只有对角线上 有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块
O A . 1 O D C A B
(2) 由(1)可得
A O 1 XYZ A D C A B, 1 O DC A B
XYZ X Y Z ,
而 X Z 1,
A B A D C A1 B . C D
线性代数—矩阵的分块、子矩阵
数,
那
么
As1 Asr
A
A11
A1r
.
As1 Asr
3 设A为m l矩阵, B为l n矩阵,分块成
A
A11
A1t
,
B
B11
B1r
,
As1 Ast
Bt1 Btr
其中Ai1 , Ai2 ,, Ait的列数分别等于B1 j , B2 j ,, Bij
的
行
数,
上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都
是方阵.即
A1
A
A2
O
O
,
As
A1
A
A2
O
O
,
As
其中 Ai i 1,2,s 都是方阵,那末称 A为分块
对角矩阵.
若每一块 Ai 均可逆, 则A可逆，并有
A11
o
A1
A21
o
. As 1
A1 0
0 A2
0 B1 0 0
那么
AB
C11
C1r
t
Cs1 Csr
其中Cij Aik Bkj i 1,, s; j 1,, r .
k 1
4
设
A
A11
A1r
, 则则
AATT
AA1T1T11
AAsTsT11 ..
As1 Asr
AA1Tr1Tr
AAsTsTrr
5 设A为n阶矩阵,若A的分块矩阵只有在主对角线
0
0 1 0 0 0 1 3 1
0
0
2
1
0
21
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
矩阵分块计算公式
矩阵分块计算公式——优化大矩阵运算的利
器
矩阵分块计算是一种有效优化大矩阵运算的方法，它通过将大矩
阵划分成若干小块，逐一计算，最终将结果合并得到整个大矩阵的运
算结果。
这种方法在高性能计算、科学计算等领域得到广泛应用。
其计算
公式如下：
首先，将大矩阵按照行列分成 M*N 个小块，每个小块的大小为
m*n，其中 M = ceil(M'/m)，N = ceil(N'/n)，M'表示大矩阵的行数，N'表示大矩阵的列数。
则每个小块的编号为 B(i,j)，其中 i 属于
[1,M]，j 属于 [1,N]。
其次，我们要定义一个块乘运算，表示两个小块相乘的结果。
假
设有两个小块 A(p,q) 和 B(q,r)，其中 p 属于 [1,M]，r 属于
[1,N]，则它们的块乘结果为 C(p,r) = A(p,q) * B(q,r)。
最后，我们要定义整个大矩阵的乘法运算，即 C = A * B。
它的
计算公式为：
C(i,j) = sum(C(k,l)), k belongs [1,M], l belongs [1,N], k =< i <= (k + 1)m, l =< j <= (l + 1)n, B(k,l) A((i-1)m+1:i*m, (j-1)n+1:j*n)
这个公式的意思是，对于每个大矩阵的元素 C(i,j)，我们将其分配给 M*N 个小块，分别与小块内的元素计算块乘运算，然后将结果按照指定的方式合并，得到 C(i,j) 的值。
通过矩阵分块计算，我们可以充分利用计算机的并行计算能力，提高大矩阵运算的效率和速度，达到更好的计算效果。
分块矩阵
1
一、矩阵的分块
对于规模较大, 零较多或局部比较特殊的矩
阵, 为了简化运算，经常采用分块法，把大矩阵
分割成小矩阵.在运算时, 把这些小矩阵当作元 素一样来处理.
具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分
成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，
以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
2
例
a
Z Y
,
AX CW BW
AZ CY BY
E O
O E
,
AX CW E , X A1
AZ
CY BW
O, O,
Z W
A1CB 1 O
BY E .
Y B 1
因此
P 1
A O
C B
1
A1 O
A1CB 1 B 1
.
22
A O
C B
1
A1 O
A1CB 1 B 1
.
特别地， OA
| A5 | | A |5 243 ,
19
3 0 0 0 0 0 3 5 0 0
例3
设
A
0
1
2
0
0 , 求 A2 , | A | , | A5 | , AT .
0 0 0 3 1
0
0
0
2
1
解
3 0 0 0 0
A1T
0
31
0
0
AT
A2T
A3T
0
0
5 0
2 0
0 3
0
.
2
0
0
0
1
1
20
例4 设
P
A 0
C B
矩阵分块法
0 L 0 B2 L 0 L L L 0 L Bs
A1B1 0 0 A2B2 = L L 0 0
0 L 0 . L L L As Bs
3）逆矩阵 ）
A1 设 A=
A2
o
o , O As
a 0 A= 1 0
0 0 = ( A1 A2 A3 A4 ), 1 b
LL
二、分块矩阵的运算规则
(1 )
对于加法 : 设矩阵 A 与 B 的行数相同 , 列数相同 , ,有 采用相同的分块法
A11 A= M A s1
L L
A1 r B11 M , B = M B A sr s1
例
设 1 2 A= −1 1 求 A + B.
0 0 0 0 0 0 0 0 , B = 1 2 1 0 −1 1 1 1
0 1 0 2 0 1 , 0 0 0 0 0 0
解 把 A, B 分块成 记
A11 A= A 21
A1 O A2 ⇒ A = A1 A2 L As . A= O O As
A1 O A2 A= O O As
A可逆 ⇔ Ai 可逆i = 1,2,L , s且
A1−1 O −1 A2 −1 A = O O As−1
B22 . 0
T T A11 L A1 A11 L Ar 1 s (4 ) 设 A = M M , 则 AT = M M . T A1 L A A L AT s sr sr 1r
《矩阵分块法》课件
矩阵分块法具有降低计算规模、提高计算效率和减少内存 占用的优点，但同时也存在分块方式选择不当可能导致计 算精度下降的缺点。
分块法未来的研究方向
优化分块算法
并行化与分布式计算
针对不同的应用场景，研究更加高效和稳 定的分块算法，以提高计算精度和效率。
利用并行化和分布式计算技术，实现大规 模矩阵分块计算的快速求解，以满足大规 模科学计算和工程应用的需求。
《矩阵分块法》 PPT课件
目录
• 引言 • 矩阵分块法的基本原理 • 矩阵分块法的算法实现 • 矩阵分块法的应用实例 • 矩阵分块法的优化与改进 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
什么是矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分 解为若干个小矩阵的数学方法。
通过将矩阵进行适当的分块，可 以简化计算过程，提高计算效率
03
CATALOGUE
矩阵分块法的算法实现
分块矩阵的存储方式
二维数组
将分块矩阵存储为一个二维数组 ，每个元素代表一个子矩阵。
稀疏矩阵格式
对于稀疏矩阵，可以使用特殊的 存储格式，如COO、CSR等，以 节省存储空间。
分块矩阵的算法步骤
分块
将原始矩阵按照一定的规 则划分为多个子矩阵。
计算子矩阵
对每个子矩阵进行所需的 操作，如求逆、求特征值 等。
简化计算
对于某些特殊类型的矩阵，如稀疏矩阵或结构矩阵，分 块法可以进一步简化计算，提高计算效率。
分块法可以将大型矩阵的特征值问题分解为若干个小矩 阵的特征值问题，简化计算过程。
分块法还可以用于预处理步骤，通过将大型矩阵分解为 小矩阵，可以更好地应用特征值计算的迭代方法。
分块法在图像处理中的应用
分块矩阵讲解
D O = F I
C D O D + CF C I AB = = − I − F O − I F I
其中
3 − 3 1 3 6 6 CF = = 2 4 0 − 2 12 − 2
1 0 练习： 练习： 设 A = −1 1 求 AB 。
利用矩阵分块可重新理解矩阵： 利用矩阵分块可重新理解矩阵： a 12 ... a 1 n α 1 a 11 a 21 a 22 ... a 2 n α 2 则 A= M M M M a a m 2 ... a mn α m m1
L A1 s L A2 s O M Ass O L Ass
P.77
性质
同结构的三角形分块矩阵的和、 同结构的三角形分块矩阵的和、积， 仍是同结构的三角形分块矩阵。 仍是同结构的三角形分块矩阵。
接逆矩阵
0 0 1 0 −1 2 ，B = 1 0 0 − 1 − 1 1 B1 I O B1 = 解 如上分块 AB = A1 I B2 A1 B1 + B2 0 − 2 4 − 1 2 1 0 1 + = 其中 A1 B1 + B2 = 1 1 − 1 2 − 1 − 1 − 1 1 1 0 − 1 2 AB = 则 − 2 4 − 1 1 0 1 2 1 0 0 1 0
A pq 是“小矩阵” 小矩阵”
例
1 0 A= 0 0
0 1 0 0
0 0 2 0 1 − 3 1 −1 0 0 4 1
分块矩阵
1、矩阵分块的方法
在矩阵某些行之间插入横线，某些列之间插入纵 线，将矩阵分割成若干个小矩阵，每个小矩阵称为 矩阵的子块；以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵。
a 1 0 0
例如
A
0 1
a 0
0 b
0 1
0 1 1 b
B1 B2 ,
B3
1 2 1
4 4 1
0 3 3
1 13
说明 (3). 矩阵分块的目的，是让矩阵的计算过程
更简单，计算量更少。
例1的计算量比较： 直接进行矩阵乘积需要的四则运算次数
4 4 (4 3) 112 用分块矩阵进行矩阵乘积需要的四则运算次数
块运算：2 2 (2 1) 12 子块运算：2 2 (2 1) 2 2 2 20
称为组合系数。
说明(1). 对于线性方程组Ax = b，利用这样的分块 方式，可以得到线性方程组的向量形式
x11 x22 xnn b
说明(2). 如果记 ei 是第i个分量为1，其余分量为0 的列向量，则
Aei i (i 1,2,, n) 同样记εi 是第i个分量为1，其余分量为0的行向量， 则εi A表示A的第i个行向量。
B是l×n阶矩阵，即A的列数 = B 的行数 分块A = ( Auv )s×r
B = ( Bvw )r×t 即A的列分块法 = B 的行分块法 则A与B的乘积C = ( Cuw ) 是s×t阶分块矩阵，满足
r
Cuw Auv Bvw v1
(u 1,, s; w 1,,t)
注. 分块矩阵乘积AB中，每个子块：
A11
A
分 块 矩 阵
Ar1
Ar2
A1s
A2
s
Ars
2. 分块矩阵的加法
将m×n 矩阵A 与B 按相同的分块法分别分成r×s的分块矩阵
A11 A12
A
A21
A22
Ar1
Ar 2
A1s
B11 B12
A2 s
,
B
B21B22
Ars
Br1
Br 2
B1s
B2s
Brs
则
A11 B11 A12 B12
3 1
4
0
0
1
在利用分块矩阵的乘法讨论AB 时，下面的特殊情形值得注意。 设A 为m ×l 矩阵，B 为l×n 矩阵，将右矩阵B 按列分块:
B= b11 b12 bn
则
AB= Ab11 Ab12 Abn
若AB=O，则 Ab11 Ab12 Abn O (OO O) ，从而
线性代数
分块矩阵
1
2
3
分块矩阵 的概念
分块矩阵 的运算
分块对角矩阵
1.1 分块矩阵的概念
定义1
用若干条横线与若干条纵线将矩阵分成若干小块，每个小块 称为矩阵的子块;以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
a b 0 0
例如
A
c
d
0
0
0 0 p q
0
0
r
s
按下述分法分块
a b 0 0
A
Abj O( j 1,2, n)
即 bj ( j 1, 2, n) 是矩阵方程 Aml Xl1 Om1 的解，也就是说 B 的列是 Aml Xl1 Om1 的解。
4. 分块矩阵的转置
将m×n 矩阵A 分成r×s的分块矩阵
矩阵分块法
作业 1.利用逆矩阵解线性方程组:
2.设
3.设n阶矩阵A和s阶矩阵B都可逆,求
例如：将3×4矩阵 分块形式如下：
二、分块矩阵的运算
1、分块矩阵的加法： 同型矩阵,分法相同,对应子块相加. 设 A 和 B 均为 m×n矩阵,分法下:
其运算律与矩阵的加法相同.
2.分块矩阵的数乘 设分块矩阵
λ为数，那末
其运算律与数乘矩阵相同.
3.分块矩阵的乘法. 设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
Ax = b
按行分块矩阵, Ax = b又可写成:
b1
b2
,
M
bm
即 αi Tx = bi ( i = 1, 2, … , m ) .
按列分块矩阵, Ax = b又可写成
1 ,2 ,L n
b
即 x1β1+ x2 β2 + … + xn βn = b
矩阵 主 要 知 识网 络图
概 念
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 对于线性方程组
是 A 的第 j 列.
记
A=
x=
b=
B=
其中 A 称为系数矩阵, x 称为未知向量 , b 称为常数项向量 , B称为增广矩 阵, 记为:
或 B = ( A,b ) = ( β1, β2,… , β n , b )
利用矩阵的乘法,此方程可记为:
A1n A2n L
An1
An2
L
Ann
概
如果AB=BA=E,则A可逆，
念
B是A的逆矩阵.
用定义
逆矩 阵
求法
用伴随矩阵
A1 1 A A
分块对角 矩阵
线性代数矩阵分块法
分块矩阵的运算规则与 普通矩阵的运算规则相 类似，
分别说明如下：
（1）设矩阵 A与B的行数相同、列数相同，采用相同的分块法
有
A
A11
As1
A1r
，B
B11
Asr
Bs1
B1r
Bsr
，其中 Aij 与 Bij 行数
相同、列数相同，
那么A
B
A11
B11
A1r
B1r
As1 Bs1 Asr Bsr
练习: 设
A1 ,
A2可逆，B
0
A2
A1
，求
B1
0
答案 :
B1
0
A 1
1
A 1
2
0
此结论可以推广！
若第i 行记作
T i
(ai1，ai2，，ain )，
则矩阵 A 便记为
1T
A
T 2
T m
.
m n矩阵 A有n 列，称为矩阵 A的n个列向量，
a1 j
若第
j
列记作 a j
a2 j
，
amj
则
A (a1，a2，，an ) .
例3 设 AT A O ，证明 A O .
证 设A （ai） j mn，把 A用列向量表示为A （a1，a2，，an），
a1T
a1Ta1 a1Ta2 a1Tan
则AT
A
a2T
anT
(a1，a2，，an
)
a2T a1
anT a1
a2T a2
anT a2
a2T an
，
anTan
即 AT A 的(i, j)元为aiTa j ，因 AT A O，
矩阵分块法
1 1 O Байду номын сангаас 1 E 1
0 2 0 1
1 0 4 2
0 1 B11 1 B 21 0
E , B22
§4
(4)设
矩阵分块法
A11 A A s1 A1r , Asr
A11T T A A1r T
2 A11 2A 2 A21
2 A12 2 A22
2 1 2 2 2 3 2 4 6 2 4 2 5 2 6 8 10 12 . 2 7 2 8 2 9 14 16 18
§4
矩阵分块法
主要内容：
一、分块矩阵的定义
二、分块矩阵的运算法则
§4
矩阵分块法
引言:对于行数和列数较高的矩阵A,运算时常采用分块法, 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. 定义:将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每 一个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形式上的矩 阵称为分块矩阵.
§4
例
矩阵分块法
§4
例
2 2 0 A 0 0 0 0
矩阵分块法
5 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 6 7 0 0 0 2 4 4 0 0 0 7 5 3 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 6 0
A1 O O
定义:对于线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2
amn xn bn ,
x1 b1 a11 x b a21 2 2 A aij , x ,b ,B xn bn am1
矩阵的分块和分块矩阵的定义
引言为了研究行数、列数较高的矩阵,常常对矩阵采用分块的方法.类似于集合的划分，是把矩阵完全地分成一些互不相交的子矩阵，使得原矩阵的每一个元落到一个分快的子矩阵中。
以这些子块为元素的矩阵就称为分块矩阵。
线形代数以其独特的理论体系和解题技巧而引人入胜。
在线性代数中，分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上，利用分块矩阵方法计算行列式，时常会使行列式的计算变得简单，并能收到意想不到的效果。
而且利用分快矩阵还可以求出某些矩阵的逆矩阵，证明矩阵的秩等。
第一章 矩阵的分块和分块矩阵的定义设A 是数域K 上的m n ⨯矩阵，B 是K 上n k ⨯矩阵,将A 的行分割r 段，每段分别包含12r m m m 个行，又将A 的列分割为s 段，每段包含12s n n n 个列。
A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭于是A 可用小块矩阵表示如下：，其中ij A 是i j m n ⨯矩阵.对B 做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A 的列的分割法一样。
于是B 可以表示为B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中ij B 是i j n k ⨯的矩阵。
这种分割法称为矩阵的分块。
二．分块矩阵加法和乘法运算设()ij m n A a ⨯=()ij m n B b ⨯=为同型矩阵（行和列数分别相等）。
若采用相同的分块法.A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则可以直接相加 乘法:设，则C 有如下分块形式：C=111212122212s s r r rs C C C C C C C C C ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭，其中ij C 是i j m k ⨯矩阵，且 1nij ij ij i C A B ==∑定义 称数域K 上的分块形式的n 阶方阵A=12S A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为准对角矩阵,其中为阶方阵（）,其余位置全是小块零矩阵。
分块矩阵
解
O , A2 3 1 A2 , 2 1
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A1 5,
1 A ; 5
1 1
O A 例3 设D ，其中A，B分别是m, n阶方阵， B O 求D 1 O En O A B O 解 因为 B O O A Em O
第四节
分块矩阵
一、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算法则
三、小结 思考题
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一、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵 A，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
5 设A为n阶矩阵, 若A的分块矩阵只有在主对 角线
上有非零子块, 其余子块都为零矩阵且非零子块都 , 是方阵.即
A1 O A2 A , O As
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A1 O A2 A , O As
其中 Ai i 1,2, s 都是方阵, 那末称 A为分块 对角矩阵.
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A1 A2 As .
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A1 6设 A
A2
o
, As
o
若 Ai 0i 1,2,, s , 则 A 0, 并有
(2) 数乘
(3) 乘法
数k乘矩阵A,需k乘A的每个子块
若A与B相乘, 需A的列的划分与B的划分相一致
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C11 C1r AB C C sr s1 t 其 中C ij Aik Bkj i 1,, s; j 1,, r .
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第八讲矩阵的分块法
第八讲矩阵的分块法
一、矩阵的分块法
用处：（1）将高阶矩阵用低阶矩阵表示
（2）把每一小块看成元素一样按矩阵的运算来进行运算（3）分块之后使得矩阵的一些运算简化
分块的标准：（1）能分出一些零子块
（2）能分出一些单位矩阵
（3）分成数量矩阵
二、分块矩阵的运算
简单解释一下即可，不做要求
三、分块对角矩阵
1、定义
2、对应的行列式的求法
3、逆矩阵的求法
例题1、设
--=320210002A ，求A ，1-A 四、线性方程组的矩阵表示1、一般表示
=++=++m n mn m n n b x a x a b x a x a
1
111111 系数矩阵n
m m m n a a a a A ?????? ??=11111
未知量矩阵
=n x x X 1
常数项矩阵
=m b b b 1
2、线性方程组的矩阵表示
将上面的方程组用矩阵表示：
=????? ??????? ??m n m m n b b x x a a a a 1111111
b AX =
例题：设=--=-+-=+-02212321
321321x x x x x x x x x ，写出矩阵表达式。
对角矩阵的行列式值和逆矩阵的求法要求必须会。
练习题
1、求逆矩阵101210002A ?? ?= ?
2、求逆矩阵1200250000620032A ?? ? ?= ? ???
3、求x 和y ，使2180341x y -+= ??? ?-
. 4、求x ，y 和z ，使110101************x y z --?????? ??? ?-= ??? ? ??? ?-??????。