复变函数的书
高等数学书单
高等数学是大学数学的基础课程，对于理工科学生来说尤为重要。
以下是一些经典的高等数学书单，供大家参考：1. 《高等数学》（上、下册）- 同济大学数学系编著这是一本非常经典的高等数学教材，内容全面，讲解详细，适合初学者入门。
书中包含了微积分、解析几何、线性代数等多个方面的内容，是学习高等数学的必备教材。
2. 《数学分析》（上、下册）- 陈纪修编著这本书是一本更加深入的数学分析教材，内容更加抽象和严谨。
书中介绍了实数系统、极限、连续性、微分学、积分学等多个方面的内容，适合对数学有一定基础的学生进一步学习和提高。
3. 《高等代数与解析几何》- 王萼芳编著这本书是一本综合性的高等数学教材，内容包括线性代数、解析几何等多个方面。
书中讲解详细，例题丰富，适合对数学有一定基础的学生进一步提高。
4. 《微积分》（上、下册）- 斯图尔特编著这本书是一本国际知名的微积分教材，内容全面，讲解清晰。
书中包含了微积分的基本概念、定理和应用，适合对微积分有一定基础的学生进一步学习和提高。
5. 《概率论与数理统计》- 陈希孺编著这本书是一本关于概率论和数理统计的经典教材，内容涵盖了概率论和数理统计的基本概念、方法和应用。
书中讲解详细，例题丰富，适合对数学有一定基础的学生进一步学习和提高。
6. 《离散数学》- 耿素云编著这本书是一本关于离散数学的经典教材，内容包括集合论、图论、逻辑等多个方面。
书中讲解详细，例题丰富，适合对数学有一定基础的学生进一步学习和提高。
7. 《数值分析》- 黄皮书编著这本书是一本关于数值分析的经典教材，内容包括数值逼近、数值解方程、数值积分等多个方面。
书中讲解详细，例题丰富，适合对数学有一定基础的学生进一步学习和提高。
8. 《复变函数》- 阿姆斯特朗编著这本书是一本关于复变函数的经典教材，内容包括复数、解析函数、级数等多个方面。
书中讲解详细，例题丰富，适合对数学有一定基础的学生进一步学习和提高。
9. 《常微分方程》- 阿诺尔德编著这本书是一本关于常微分方程的经典教材，内容包括常微分方程的基本概念、解法和应用。
数学好书推荐3篇
数学好书推荐第一篇：数学好书推荐数学是现代科学的基础，也是人类思维的最高境界之一。
读好数学书不仅可以提高数学成绩，更重要的是可以拓宽数学思维，培养逻辑思考能力。
下面是我推荐的几本数学好书。
1.《高等数学》张宇版《高等数学》是数学学习的基础，张宇版本的《高等数学》更是备受好评。
它全面系统地介绍了高等数学的各个分支，包括微积分、数理方程、复变函数等。
书中的例题和习题数量很多，涵盖了各种难度和类型，算是一本非常全面的高等数学入门书。
2.《线性代数及其应用》吴文俊版线性代数在数学中的地位非常重要，它是计算机科学、物理学、工程学等多个领域的基础。
吴文俊版的《线性代数及其应用》是国内线性代数教材中的佼佼者，它从基本概念出发，全面介绍了线性方程组、行列式、向量空间等知识点，同时涉及了一些实际应用，语言简单易懂，适合初学者阅读。
3.《群论导论》 Dummit版群论是现代数学中的一个分支，它的研究对象是对称性。
《群论导论》是一本非常经典的群论教材，书中包含了群的基本概念、群同态、群作用等内容，对于想要深入学习数学的读者来说，这是一本非常有价值的书籍。
4.《微积分学原理》阿波斯特尔版阿波斯特尔的《微积分学原理》是一本非常经典的微积分教材，它全面深入地介绍了微积分的各种知识点，包括导数、积分、微积分应用等。
书中涉及的例子和习题很多，难度逐渐递增，非常适合自学。
以上是我个人推荐的数学好书，这些书籍不仅可以提高数学能力，还可以帮助读者拓宽数学思路，养成优秀的逻辑思考能力。
第二篇：如何正确选择数学好书选择一本好的数学书是学习数学的关键，因为它会为我们提供一个清晰的逻辑框架和深入的理解。
以下是我个人的一些建议，可以帮助你选择适合自己的数学好书。
1.明确学习目的学习数学有很多目的，有的人是为了高考，有的人是为了追求数学的美。
不同的目的需要选择不同的数学书。
如果你是初学者，可以选择一些入门级的数学教材，比如张宇的《高等数学》；如果你是想深入学习数学，可以选择一些经典著作，比如David Hilbert和Paul Bernays的《数学基础》。
工程数学：复变函数
读书笔记模板
01 思维导图
03 读书笔记 05 作者介绍
目录
02 内容摘要 04 目录分析 06 精彩摘录
思维导图
关键字分析思维导图
全书
习题
复变
北京理工 大学
积分
习题
复数
函数
函数
国家教委 答案
性质
复变
函数
保角
应用
极限
第章
留数
内容摘要
本书前两版经过了北京许多高校近20年的教学实践，第三版按照国家教委新审定的有关基本要求，根据目前 教学改革需要，北京理工大学数学系教授祝同江等重新对全书进行审查和编写。全书包括复变函数及其极限和连 续性、解析函数、复积分、复级数、留数及保角映射等内容。书中还对重点、难点进行了详细的解释，在各节的 后面附有习题和习题答案，供读者自检。本书适于高等学校理工科类学生以及工程技术人员阅读。
0 6
习题 3.2 答案
0 5
习题 3.2
0 1
3.3 Cauchy积 分公式和高 阶导数公式
0 2
习题 3.3
0 3
习题 3.3 答案
0 4
3.4＊平面 调和场及其 复势
0 6
习题 3.4 答案
0 5
习题 3.4
4.1复数项级数和幂 级数
习题 4.1
习题 4.1答案 4.2 Taylor级数
1
读书笔记
看到第一节，关于等价于的论述，觉得作者思维的混乱啊。
目录分析
1.1复数及其运算 习题 1.1
习题 1.1答案
1.2复平面上曲线和 区域
习题 1.2 习题 1.2答案
1.3复变函数与整线 性映射
国外数学教材
国外数学教材
以下是一些国外知名的数学教材：
1. 《几何学教程》：该书是法国数学家加斯帕尔·蒙日所著，主要讲述解析几何学和微积分的基本概念，被誉为近代数学的开端。
2. 《数学原理》：该书是英国数学家伯特兰·罗素所著，被誉为现代逻辑学的里程碑之作，对整个数学界产生了深远的影响。
3. 《数学分析》：该书是德国数学家卡尔·外尔所著，系统地介绍了数学分析的基本概念和方法，是数学分析领域的重要教材之一。
4. 《实变函数论》：该书是美国数学家沃尔特·雷诺兹所著，详细介绍了实变函数论的基本概念和应用，是实变函数论领域的重要教材之一。
5. 《复变函数论》：该书是荷兰数学家皮特·蒙德里安所著，详细介绍了复变函数论的基本概念和应用，是复变函数论领域的重要教材之一。
6. 《概率论与数理统计》：该书是德国数学家卡尔·外尔所著，系统地介绍了概率论与数理统计的基本概念和方法，是概率论与数理统计领域的重要教材之一。
7. 《代数学教程》：该书是法国数学家韦达所著，详细介绍了代数学的基本概念和方法，是代数学领域的重要教材之一。
以上是一些国外知名的数学教材，它们在各自的领域内都有着重要的影响和价值。
复变函数教材推荐
复变函数教材推荐
复变函数是数学中应用最广泛的数学类别之一，它包括复平面函数、极坐标函数、双曲函数和裂点函数等类别。
在现代教学和应用中，这一类别的教材已成为必备的课程材料，它能帮助学生更好地理解和掌握复变函数的基本概念和知识点，并给出有关解决实际问题的步骤和方法。
对于复变函数的教材，我们建议选择以基本概念和知识点为主、讲解清楚，通俗易懂且注重实际应用的教科书和其他教学参考资料。
以下为我们推荐的几本教材：
1.《复变函数理论与应用》，第三版，作者：韩兴宇。
该书系统地讲解了复变函数的概念和理论，着重强调实际应用，还兼顾了重点和重难点的讲解，是复变函数教学的好帮手。
2.《复变函数实务精选》，第三版，作者：范永新。
本书以实际问题为依据，让学生从实践中提高和掌握复变函数的基本概念和知识点，全书以例题为主导，是复变函数应用研究的参考书籍。
3.《复变函数系列教程》，作者：郭家宝。
本书有详细的复变函数理论讲解，并给出了大量的习题和解答，涉及的内容比较全面，是完成复变函数学习的首选教材。
4.《复变函数课程指南》，第四版，作者：张立明。
本教科书讲解了复变函数的基本概念及其应用，并结合实际案例形象地讲解，重点突出，易于理解，是复变函数教学的好帮手。
以上就是复变函数教材的介绍，以上每一本书籍都有其值得推荐
的地方，无论你是一个初学者还是一个专业的数学老师，你都可以从上面推荐的教材中找到适合自己的教材。
希望上述推荐能够对大家有所帮助，最后，祝大家在复变函数学习中取得好运！。
复变函数与积分变换_高等教育出版社
教育科学“十五”国家规划课题研究成果复变函数与积分变换高等教育出版社内容提要本书是教育科学“十五”国家规划课题研究成果,是依据工科数学《复变函数与积分变换教学大纲》,结合本学科的发展趋势,在教学实践的基础上编写而成的.在编写的过程中始终遵循着:为专业课打好基础,培养学生的数学素质,提高其应用数学知识解决实际问题的能力的原则.在具体内容编写上力求做到:分析客观事物———建立概念———发展理论———应用理论解决实际问题.强调将基础知识的学习,数学思想、方法的学习、能力的培养孕育其中.强调理论的应用性及与计算机的结合.本书具有体系严谨,逻辑性强,内容组织由浅入深,理论联系实际,适应新形势要求,讲授方式灵活等特点.本书的内容为第一篇、第二篇、数学实验三部分,第一篇为复变函数,共七章,主要内容是:复数和复变函数,导数,积分,级数,留数,保形映照及解析函数的应用.第二篇为积分变换,共二章,主要内容是:傅里叶变换,拉普拉斯变换.数学实验的主要内容为数学软件的应用和积分变换的部分程序.本教材建议学时约本书可作为高等院校有关专业本科教材,也可供科技、工程技术人员阅读参考.前 言《复变函数与积分变换》一书是作者研究了大量的中外相关教材资料,在教学实践的基础上,依据工科数学《复变函数与积分变换教学大纲》,结合大学教学课程体系和内容的改革要求,以培养学生数学素质为目的编写而成的.本书具有如下特点:1．复变函数的内容体系方面,复数,复函数,复导数,复积分,级数,留数,保形映照等概念与高等数学的函数,微分,积分,级数等概念遥相呼应,使学生通过对比易于学习和掌握有关内容且能达到对所学内容由少到多,再由多到少.在内容的展开方面,不论是复变函数部分还是积分变换部分都特别注重内容(事件)发生、发展的自然过程,强调概念的产生过程所蕴含的思想方法,注重概念、定理叙述的精确性.从而在学生获得知识的同时培养学生推理、归纳、演绎和创新能力.2．为了适应社会发展需要,将数学理论与实际问题拉近距离,在复变函数部分增加了解析函数对平面向量场的应用一章,使来自实际的数学理论再回到实际中去解决问题.在积分变换部分,添加了离散傅里叶变换、离散沃尔什变换、梅林变换、z变换的简单介绍.3．随着计算机的发展,数学与计算机的关系越来越密切,本书数学实验部分通过数学软件和程序将抽象数学理论与计算机的结合展现在读者面前.4．本书的习题量较大,这给了教师选择和学生练习的余地,并且设置了一定数量的思考型题目.5．本书在内容的表述方式上,不像对数学系专业学生的要求那样严格,而是将数学语言在某些地方“通俗化”,做到了简单、明了、直白.总之,本书具有体系严谨,逻辑性强,内容组织由浅入深,理论联系实际,适应新形势要求,讲授方式灵活等特点.本书由西安建筑科技大学苏变萍主编,其中第一篇的第一、二、三、四章、第二篇及数学实验部分由苏变萍编写,第五、六、七章由西安建筑科技大学陈东立编写.全书最后由苏变萍统稿.本书在编写过程中得到了学校、理学院、数学教研室和广大同仁的大力支持和帮助,潘鼎坤教授、徐裕生教授给予了许多重要的指导,西安建筑科技大学刘林教授仔细审阅了全部书稿.在此深表感谢.并恳切希望读者对此书提出宝贵意见和建议.作者2003年3月于西安目 录第一篇 复变函数第1章 复数与复变函数1．1 复数(2)…………………………………………………………………………………………………………………1．1．1 复数及其代数运算(2) 1．1．2 复数的几何表示(4)……………………………………………………………………………………1．1．3 复数四则运算的几何意义(6)……………………………………………………1．1．4 扩充复平面(10) 1．2 复数的乘幂与方根(11)…………………………………………………………………………………………………………1．2．1 复数的乘幂(11)……………………………………………………1．2．2 复数的方根(11) 1．3 平面点集(13)……………………………………………………………………………………………………………………………1．3．1 区域(13)……………………………………………………………1．3．2 曲线(14)…………………………………………1．3．3 单连通域和多连通域(14)………………………………………………………………1．4 复变函数(15)………………………………………………1．4．1 复变函数的概念(15) 1．4．2 复变函数的几何意义———映照(16)……………………………………………………………………………1．4．3 反函数与复合函数(17)………………………………………………………………1．5 初等函数(18)………………………………………………………1．5．1 指数函数(19)………………………………………………………1．5．2 对数函数(19)…………………………………………………………1．5．3 幂函数(21)………………………………………1．5．4 三角函数与反三角函数(22)………………………………………1．5．5 双曲函数与反双曲函数(24)第1章习题(25)…………………………………………………………………第2章 导 数2．1．1 复变函数极限的概念(31)…………………………………………2．1．2 复变函数极限定理(32)……………………………………………2．2 复变函数的连续性(35)……………………………………………………2．2．1 复变函数连续的概念(35)…………………………………………2．2．2 复变函数连续的定理(35)…………………………………………2．3 导数(37)……………………………………………………………………2．3．1 导数的概念(37)……………………………………………………2．3．2 导数的运算法则(38)………………………………………………2．3．3 函数可导的充分必要条件(39)……………………………………2．3．4 高阶导数(42)………………………………………………………2．4 解析函数(43)………………………………………………………………2．4．1 解析函数的概念(43)………………………………………………2．4．2 初等函数的解析性(43)……………………………………………2．4．3 函数解析的充要条件(44)…………………………………………2．5 调和函数(45)………………………………………………………………2．5．1 调和函数的概念(45)………………………………………………2．5．2 已知实部或虚部的解析函数的表达式(46)………………………第2章习题(49)…………………………………………………………………第3章 积 分3．1 复变函数积分的概念、性质、计算(54)……………………………………3．1．1 不定积分(54)………………………………………………………3．1．2 定积分(55)…………………………………………………………3．1．3 积分值的计算(57)…………………………………………………3．2 柯西定理及其推广(59)……………………………………………………3．3 柯西积分公式(65)…………………………………………………………3．4 解析函数的导数(67)………………………………………………………第3章习题(69)…………………………………………………………………第4章 级 数4．1 收敛序列与收敛级数(76)…………………………………………………4．1．1 收敛序列(76)………………………………………………………4．1．2 收敛数项级数(78)…………………………………………………4．1．3 函数项级数(80)……………………………………………………·2·目 录4．2．1 幂级数的概念(80)…………………………………………………4．2．2 幂级数的收敛半径(82)……………………………………………4．2．3 幂级数和函数的性质(84)…………………………………………4．3 泰勒级数(85)………………………………………………………………4．4 罗朗级数(91)………………………………………………………………4．4．1 罗朗级数的概念(91)………………………………………………4．4．2 解析函数的罗朗展式(92)…………………………………………第4章习题(98)…………………………………………………………………第5章 留 数5．1 解析函数的孤立奇点(103)………………………………………………5．1．1 孤立奇点的定义与分类(103)……………………………………5．1．2 零点与极点的关系(105)…………………………………………5．1．3 解析函数在无穷远点的性质(107)………………………………5．2 留数的一般理论(109)……………………………………………………5．2．1 留数的定义及计算(109)…………………………………………5．2．2 留数定理(112)……………………………………………………5．2．3 无穷远点的留数(114)……………………………………………5．3 留数对定积分计算的应用(117)…………………………………………第5章习题(121)…………………………………………………………………第6章 保形映照6．1 导数的几何意义及保形映照的概念(125)………………………………6．1．1 曲线的切向量(125)………………………………………………6．1．2 导数的几何意义(125)……………………………………………6．1．3 保形映照的概念(127)……………………………………………6．2 分式线性函数及其映照性质(127)………………………………………6．2．1 分式线性函数(127)………………………………………………6．2．2 分式线性函数的映照性质(130)…………………………………6．3 分式线性函数的应用(133)………………………………………………6．4 指数函数与幂函数所确定的映照(136)…………………………………6．4．1 指数函数w =e z所确定的映照(136)……………………………6．4．2 幂函数w =z n 所确定的映照(139)………………………………第6章习题(142)…………………………………………………………………·3·目 录＊第7章 解析函数对平面向量场的应用7．1 平面向量场(146)…………………………………………………………7．2 平面场的复势(148)………………………………………………………7．3 应用(152)…………………………………………………………………7．3．1 对流体力学的应用(152)…………………………………………7．3．2 对电学的应用(154)………………………………………………第二篇 积分变换第1章 傅里叶变换1．1 傅里叶积分(158)…………………………………………………………1．1．1 傅里叶积分的概念(158)…………………………………………1．1．2 傅里叶积分的物理意义———频谱(159)…………………………1．1．3 傅里叶积分定理(163)……………………………………………1．2 傅里叶变换(164)…………………………………………………………1．2．1 傅里叶变换的定义(164)…………………………………………1．2．2 傅里叶变换的性质(167)…………………………………………1．3 δ函数(178)………………………………………………………………1．3．1 δ函数的概念(178)………………………………………………1．3．2 δ函数的性质(181)………………………………………………1．3．3 δ函数的傅里叶变换(185)………………………………………＊1．4 离散傅里叶变换和离散沃尔什变换(186)……………………………1．4．1 离散傅里叶变换(186)……………………………………………1．4．2 快速傅里叶变换(189)……………………………………………1．4．3 离散沃尔什变换(193)……………………………………………第1章习题(195)…………………………………………………………………第2章 拉普拉斯变换2．1 拉普拉斯变换的概念(198)………………………………………………2．1．1 拉普拉斯积分(198)………………………………………………2．1．2 拉普拉斯变换(202)………………………………………………·4·目 录2．3 拉普拉斯变换的性质(208)………………………………………………2．4 拉普拉斯变换的应用(224)………………………………………………2．4．1 线性微分方程及微分方程组(224)………………………………＊2．4．2 具有特殊扰动函数的微分方程(229)…………………………＊2．5 梅林变换和z 变换(231)………………………………………………2．5．1 梅林变换(231)……………………………………………………2．5．2 z 变换(233)………………………………………………………第2章习题(236)…………………………………………………………………＊数学实验实验一:Matlab 软件的应用(241)…………………………………………实验二:快速傅里叶变换、拉普拉斯逆变换的计算程序(243)……………附录A 区域变换表(256)………………………………………………………附录B 傅氏变换简表(261)……………………………………………………附录C 拉氏变换简表(265)……………………………………………………习题答案(270)……………………………………………………………………参考书目(282)……………………………………………………………………·5·目 录第一篇 复变函数复数是十六世纪人们在解代数方程时引入的,在十七和十八世纪,随着微积分的发明与发展,人们研究了复变数函数(简称复变函数),得到了一些重要结果.因为复数最初是单纯地从形式上推广而引进的,并且在十八世纪以前,由于人们对复数的有关概念了解得不够清楚,用它们进行计算得到了一些矛盾,所以复数在历史上长期不能为人们所接受,“虚数”这一名词本身恰好反映了这一点.可是复数并不神秘,它可与有序实数对或平面向量一一对应,在某些情况下用复数表示的向量计算起来更方便.十八世纪,J．达朗贝尔(1717—1783)与L．欧拉(1707—1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义,澄清了复数的概念,并应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题.直到这时,人们才接受了复数.复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的.A．L．柯西(1789—1857),K．外尔斯特拉斯(1815—1897)和G．F．B黎曼(1826—1866)是这一时期的三位代表人物.柯西和外尔斯特拉斯分别应用积分和级数研究复变函数,黎曼研究复变函数的映照性质.本世纪,复变函数论成为数学的重要分支之一,随着它的应用领域不断扩大而发展成一门庞大的学科.这门学科不但研究本身在发展中提出的问题,而且对于自然科学其它部门(如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等)以及数学中其他分支(如微分方程、积分方程、概率论、数论等)复变函数论都有重要的应用．第1章 复数与复变函数高等数学和复变函数都是以变量为研究对象的数学课程.所不同的是高等数学的变量来自于实数集合,而复变函数中的变量来自于复数集合.本章将介绍复数的概念、运算、复变函数、初等函数的概念及其性质.1．1 复 数1．1．1 复数及其代数运算1．复数的概念在中学我们已经学过复数.知道i是方程x2+1=0的一个根,即i2= -1,这里i称做虚数单位.当x,y都是实数时,我们称z=x+i y为复数.x,y分别称为z的实部与虚部.记作x=Re(z),y=Im(z).当x=0,y≠0时,z=i y称为纯虚数;当y=0时,z=x被视作实数x.两个复数的相等,当且仅当它们的实部与虚部分别相等.一个复数等于零,当且仅当它的实部与虚部同时等于零.称复数x+i y和x-i y互为共轭复数.复数z的共轭复数常记为z.2．复数的代数运算对以上定义的复数,我们来规定其运算方法.由于实数是复数的特例,因此复数的运算法则施行于实数时,应与实数的运算结果相符.同时复数运算应能够满足实数运算的一般规律.两个复数z1=x1+i y1,z2=x2+i y2的运算定义如下:复数的加法、减法: z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2).复数的乘法: z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1).复数的除法:z1x1x2+y1y2x2y1-x1y2以上各式的右端分别称为复数z1与z2的和、差、积、商.复数运算所满足的算律:(1)交换律z1+z2=z2+z1; z1z2=z2z1.(2)结合律z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3; z1(z2z3)=(z1z2)z3.(3)分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.算律(1)、(2)、(3)读者可自行证之.我们注意到对复数的运算仍有以下事实:(1)z+0=z, 0·z=0;(2)z·1=z, z·1z=1;(3)若z1z2=0,则z1与z2至少有一个为零,反之亦然.这是因为如果z1z2=0,z2≠0 z1=z1z2·1z2=(z1z2)1z2=0．(4)z1+z2z3=z1z3+z2z3.计算1 2-3i11+i=15-i=526+126i．例1．1 证明:(1+z)2=1+2z+z2．证 (1+z)2=(1+z)(1+z)=1+z+z+z2=1+2z+z2．共轭复数的运算性质:(1)z==z;(2)z1±z2=z1±z2;(3)z1z2=z1z2;(4)z1z2=z1z2.我们来证明性质(3),其余留给读者.证 设z1=x1+i y1,z2=x2+i y2.那么 z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1), z1z2=(x1x2-y1y2)-i(x1y2+x2y1), z1z2=(x1-i y1)(x2-i y2)=(x1x2-y1y2)+i(-x1y2-x2y1)=(x1x2-y1y2)-i(x1y2+x2y1)．因而 z1z2=z1 z2.例 共轭复数-1+3i 2-i =(-1+3i)(2-i)=-1+3i2+i．例1．2 证明:Re(z)=z+z2, Im(z)=z-z2i.证 设z=x+i y．则 z+z2=(x+i y)+(x-i y)2=x=Re(z); z-z2i=(x+i y)-(x-i y)2i=y=Im(z).1．1．2 复数的几何表示1．复平面一个复数z=x+i y本质上由一对有序实数(x,y)唯一确定.于是能够建立全体复数和x y平面上的点之间的一一对应关系.换句话说,我们可以用横坐标为x,纵坐标为y的点来表示复数z=x+i y.由于x轴上的点对应着实数,故x轴称为实轴;y轴上非原点的点对应着纯虚数,故y轴称为虚轴.这样表示复数z的平面称为复平面或z平面.2．复数的模与幅角在复平面上,复数z还与从原点O到z=x+i y所引向量构成一一对应关系.因此,我们也可以用向量来表示复数z=x+i y(如图1．1).复数的模我们称向量z的长度为复数z的模,记作z(如图1．1).关于复数z的模z有:(1)z=x2+y2;(2)z=z,z z=z2;(3)z≤x+y,x≤z,y≤z;(4)z1z2=z1z2(5)z1+z2≤z1+z2;(6)z1-z2≥z1-z2.这里z1-z2又表示点z1与z2之间的距离.(1)、(2)、(3)显然成立,利用运算定义和性质容易得到(4).在1．1．3节定理1．1中我们还将利用复数的其它形式更简捷地证明它.图1．1图1．2 我们来证明不等式(5).证 z 1+z 22 =(z 1+z 2)(z 1+z 2)=(z 1+z 2)(z 1+z 2) =z 1z 1+(z 1z 2+z 1z 2)+z 2z 2 =z 12+z 22+2Re (z 1z 2).但 Re (z 1z 2)≤z 1z 2=z 1z 2,所以 z 1+z 22≤(z 1+z 2)2.即 z 1+z 2≤z 1+z 2.对上式我们可以推广到有限个复数,即z 1+z 2+…+z n ≤z 1+z 2+…+z n.我们再来证明不等式(6).证 当z 1≥z 2时,z 1=z 1-z 2+z 2≤z 1-z 2+z 2,因而 z 1-z 2≤z 1-z 2. 当z 1≤z 2时,同理有 z 2-z 1≤z 1-z 2,所以z 1-z 2≤z 1-z 2.复数的幅角由实轴的正向到向量z 之间的夹角θ称为复数z 的幅角,记作Arg z (如图1．1).显然Arg z 有无穷多个值,其中每两个值相差2π的整数倍.但Arg z 只有一个值θ0,满足条件-π<θ0≤π,称它为复数z的幅角的主值,记作arg z.则 Arg z=arg z+2kπ (k=0,±1,±2,…,-π<arg z≤π.), tan(Arg z)=y x幅角主值arg z由等式tan(arg z)=yx右边的值,x和y的符号及-π<arg z≤π来确定.当z=0时,我们说z的模为0,幅角不定.例1．3 求Arg(2-2i)和Arg(-3+4i).解Arg(2-2i)=arg(2-2i)+2kπ=arctan -22+2kπ=-π4+2kπ (k=0,±1,±2,…)． Arg(-3+4i)=arg(-3+4i)+2kπ=arctan 4-3+2kπ+π=(2k+1)π-arctan 43 (k=0,±1,±2…)．1．1．3 复数四则运算的几何意义由直角坐标系与极坐标系的关系: x=r cosθ, y=r sinθ得到 z=r(cosθ+i sinθ).这里θ=Arg z,此式称为复数z的三角表达式.例1．4 求i,-2,1-3i的三角表达式．解(a)因为 i=1,Arg i=π2+2kπ (k=0,±1,±2,…),所以 i=cos π2+i sinπ2. (b)因为 -2=2,Arg(-2)=π+2kπ (k=0,±1,±2,…),所以 -2=2(cosπ+i sinπ). (c )因为 1-3i =2, Arg (1-3i )=-π3+2k π (k =0,±1,±2,…),所以 1-3i =2cos -π3+i sin -π3.复数的加法、减法运算的几何意义由向量的加法、减法的几何意义给出(如图1．2).应用复数的三角表达式,我们可以得到若 z 1=r 1e i θ≠0,z 2=r 2e i θ≠0,则 z 1z 2=r 1r 2[cos (θ1+θ2)+i sin (θ1+θ2)],(1．1) z 1z 2=r 1r 2[cos (θ1-θ2)+i sin (θ1-θ2)],(1．2)从而有图1．3定理1．1 两个复数乘积的模等于它们模的乘积;两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.定理的含义(如图1．3):对任何两个非零复数z 1、z 2,下面两个等式同时成立.z 1z 2=z 1z 2; Arg (z 1z 2)=Arg z 1+Arg z 2.上面关于幅角的等式应理解为集合的相等.也就是说,对于等式左端的任一值,等式的右端必有一值和它相等,反之亦然.例 设z 1=-1,z 2=i ．那么 Arg z 1+Arg z 2=π+π2+2k ′π, Arg (z 1z 2)=Arg (-i )=-π2+2k π,这里k ′,k 分别为0,±1,±2,…. 显然,作为集合 Arg (z 1z 2)=Arg z 1+Arg z 2.定理1．2 两个复数商的模等于它们模的商;两个复数商的幅角等于被除数与除数的幅角差.即z 1≠0,z 2≠0时, z 1z 2=z 1z 2; Argz 1z 2=Arg z 1-Arg z 2.这里关于幅角的结论与定理1．1中的一样,亦为集合意义下的相等.另外,由复数的三角表达式 z =r (cos θ+i sin θ)经欧拉公式 e i θ=cos θ+i sin θ,我们可以得到等式 z =r e i θ,此式称为复数z 的指数表达式.如设 z 1=r 1e i θ1,z 2=r 2e i θ2 (z 1≠0,z 2≠0).那么, e i θ1ei θ2=(cos θ1+i sin θ1)(cos θ2+i sin θ2)=cos (θ1+θ2)+i sin (θ1+θ2)=ei (θ1+θ2). 1ei θ2=1cos θ2+i sin θ2=cos θ2-i sin θ2=cos (-θ2)+i sin (-θ2)=ei (-θ2)=e-i θ2.因此 z 1z 2=r 1r 2ei (θ1+θ2);(1．3) z 1z 2=r 1r 2e i (θ1-θ2).(1．4)这便是定理1．1与1．2的结论.例1．5 设z 1=1+3i ,z 2=-1-i .分别应用式(1．1)和式(1．2),式(1．3)和式(1．4)计算z 1z 2和z 1z 2.解 因为z 1=2,tan (Arg z )=3,z 1在第Ⅰ象限,所以z 1的三角表达式为 z 1=2cos π3+i sin π3.z 1的指数表达式为 z 1=2e π3i .因为z 2=2,tan (Arg z 2)=1,z 2在第Ⅲ象限,所以z 2的三角表达式为 z 2=2cos -34π+i sin -34π.z2的指数表达式为 z2=2e-34πi.由式(1．1)和式(1．2)可得: z1z2=22cos π3-34π+i sinπ3-34π=22cos-512π+i sin-512π. z1z2=22cosπ3+34π+i sinπ3+34π=2cos1312π-2π+i sin1312π-2π=2cos-1112π+i sin-1112π.由式(1．3)和式(1．4)可得 z1z2=22e i π3-34π=22e-512iπ. z1z2=22e i(π3+34π)=2e-1112πi.根据复数三角表达式与指数表达式的关系 r e iθ=r(cosθ+i sinθ), r e i(θ+2kπ)=r[cos(θ+2kπ)+i sin(θ+2kπ)],显然 r e iθ=r e iθ·e2kπi (k=0,±1,±2,…)．从几何上来看(如图1．4),当θ增加或减少2π时,z点沿圆周移动一圈回到出发点.因此,z=r e iθ与z=r e i(θ+2kπ)(k=0,±1,±2,…)表示的是同一个复数.由图1．4我们还可以看到,一个圆心在原点,半径为R的圆可表示为: z=R.一个圆心在z0,半径为R的圆(如图1．5)可以表示为:z-z0=R.图1．4图1．51．1．4 扩充复平面图1．61．复数的球面表示取一个中心位于复平面原点处的球面,球面与始于原点且垂直于复平面的射线相交于点N .对复平面上任一点z,过z 和N 作直线与球面相交于异于N 的一点P (当点z 位于圆周C 所围区域内时,P 在下半球面上).反之,对球面上任一异于N 的点P ,过N 和P 的直线与复平面交于一点z (如图1．6).这就是说,除去点N 外球面上的点P 与复平面上的点z 为一一对应,即复数可用球面上的点来表示.2．扩充复平面对球面上的点N,复平面上没有复数与之对应.从图1．6可以看到,当z 无限远离原点时P 无限逼近N .我们规定,无限远离原点的点称为“无穷远点”,它与球面上的点N 相对应.不包含无穷远点在内的复平面仍称为复平面.包含无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.为了使扩充复平面上的点与球面上的点一一对应,规定“无穷远点”是唯一的.本书中如无特别声明,只考虑有限复数及复平面.3．复数∞扩充复平面上的无穷远点与复数中的∞对应,记作z =∞.复数z =∞的实部、虚部、幅角均无意义,它的模z 规定为+∞,对于其它每一个复数z 则有z <+∞.设α为不等于零的有限复数,对于z =∞的运算规定为: α±∞=∞±α=∞; α·∞=∞·α=∞; α0=∞,α∞=0.∞±∞,0·∞,0以及∞∞均无意义.1．2 复数的乘幂与方根1．2．1 复数的乘幂设n为正整数,z n表示n个非零复数z的乘积,按乘法法则z n+1=z n·z,可得z n=r n e i nθ.当n=0时,我们约定z0=1.显然,这时z n=r n e i nθ仍然成立.当n为负整数时,定义z-1=1z,我们有 z n=(z-1)-n=1z-n=1re-iθ-n=1r-ne i nθ=r n e i nθ.因此,对任何整数n,复数z的乘幂有下列公式成立:z n=r n e i nθ.特别地,当r=1时,上述公式成为(e iθ)n=e i nθ,即(cosθ+i sinθ)n=cos nθ+i sin nθ.此公式称为棣莫弗(De Moivre)公式.1．2．2 复数的方根我们称满足方程w n=z(这里w≠0,n≥2)的复数w为该方程的n次方根,记作n z,即w=n z.或者记作z 1n,此时w=z1n.设 z=r e iθ,w=ρe iφ,由方程w n=z可得 (ρe iφ)n=r e iθ.即 ρn e i nφ=r e iθ.所以 ρn=r, nφ=θ+2kπ (k=0,±1,±2,…).从而 ρ=r 1 n, φ=θ+2kπn (k=0,±1,±2,…).故 w=r 1n e iθ+2kπn, z 1n=r1n cosθ+2kπn+i sinθ+2kπn (k=0,±1,±2,…)为方程w n=z的全部的根,当k取0,1,2,…,n-1时得到方程w n=z的n 个单根,这n个单根在几何上表现为以原点为中心,r1n为半径的圆内接正n 边形的n个顶点.当k取其它整数值时,得到的方程w n=z的根必与这n个单根中的某个根重合.方程w n=1(n=2,3,…,z≠0)在复数范围内有n个单根w=cos 2kπn+i sin2kπn (k=0,1,2,…,n-1).从几何上来看,若设w n=e i 2πn,方程w n=1的n个单根可记为1,w n,w2n,w3n,…,w n-1n.它们是单位圆内接正n边形的n个顶点,以n=3为例作图1．7,n=6为例作图1．8.图1．7图1．8例1．6 求-8i的三个三次方单根.解 因为 -8i=8e i-π2+2kπ (k=0,±1,±2,…),所以它的三个三次方单根为 (-8i)13=2e i-π6+23kπ (k=0,1,2),也就是 3-i, 2i, -3-i.例1．7 计算-1-i.解 因为 -1-i=2cos-34π+i sin-34π,所以 -1-i=42cos -34π+2kπ2+i sin-34π+2kπ2(k=0,1).即 w02=42cos 38π-i sin38π, w12=42cos 58π+i sin58π.1．3 平面点集关于平面点集的基本概念在高等数学的下册已讲述过了.在此我们仅做回顾.1．3．1 区 域邻域 平面上以z0为心,δ(任意的正数)为半径的圆:z-z0<δ内部的点的集合称为z0的邻域或圆盘.而称由不等式0<z-z0<δ所确定的点集为z0的去心邻域.内点 设E为平面上的一个点集,z0为E内的一点,如果存在z0的一个邻域,而该邻域内所有的点都属于E,则称z0为E的内点.开集 如果点集E的每一个点都是内点,则称E为开集.边界点 如果点z0的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,则称z0为E的边界点.边界 集E的全部边界点所组成的点集,称为集E的边界.连通的 设E是开集,如果对于E内任何两点,都可用折线连接起来,且该折线上的点都属于E,则称开集E是连通的.开区域 连通的开集称为开区域或区域.闭区域 开区域连同它的边界一起,称为闭区域.有界集、无界集 如果集E可以包含在原点的一个邻域内(即存在一个正数M,对任意的z∈E,都有z<M),那么称集E为有界集.否则称集E 为无界集.例如: 圆盘:z-z0≤r为有界闭区域. 圆环:r1<z-z0<r2为有界开区域. 上半平面:Im(z)>0是无界开区域. 角形域:0<arg z<φ是无界区域.1．3．2 曲 线1．简单曲线、简单闭曲线.定义1．1 设x(t)及y(t)是闭区间[α,β]上连续的两个实函数,则由方程 x=x(t)y=y(t) (α≤t≤β),或由复数方程 z=x(t)+i y(t)(α≤t≤β) (简记为z=z(t))所决定的点集C称为复平面(z平面)上的一条连续曲线.在这个意义下, z(α)及z(β)分别称为曲线的起点和终点;若任取t1,t2∈[α,β],且t1≠t2, t1与t2不同时取到端点时,有z(t1)≠z(t2),则称该曲线为简单曲线(或无重点曲线);z(α)=z(β)的简单曲线称为简单闭曲线.例如:没有重点的线段、圆弧、抛物线的弧段等都是简单曲线.椭圆周是简单闭曲线,双纽线不是简单闭曲线(有重点的曲线).2．光滑曲线、分段光滑曲线.定义1．2 设曲线C的方程为z(t)=x(t)+i y(t) (α≤t≤β),又在α≤t≤β上,x′(t),y′(t)连续且不全为零,则称曲线C为光滑曲线.由几段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.例如:摆线x(t)=a(t-sin t),y(t)=a(1-cos t)(a>0)的一拱为一条光滑曲线.星形线x(t)=a cos3t,y(t)=a sin3t(a>0)为分段光滑曲线.1．3．3 单连通域和多连通域定义1．3 设D 是平面上一区域,如果在D 内任作一条简单闭曲线,而图1．9曲线所围的部分总属于D,则称区域D 为单连通区域.不是单连通的区域称为多连通区域或复连通区域.例如:由单连通域,多连通域的定义可以判断出,区域:{zz <1}和区域:{zIm (z )>0}均为单连通区域;区域{zr 1<z -z 0<r 2}为多连通域.复杂一点的多连通区域如图1．9所示,它可以是由曲线C 所围成的区域中挖了几个洞,去除了几个点和一条线段而形成的区域.1．4 复变函数1．4．1 复变函数的概念定义1．4 设D 是一个给定的复数集,如果有一法则f ,对于每一个数z ∈D,总有确定的复数w 和它对应.则称f 是定义在D 上的复变数函数(简称为复变函数),记作w =f (z ).数集D 叫做这个函数的定义域.如果给定一个函数w =f (z )却没有指明函数的定义域,我们约定该函数的定义域为复变数z 所能取的使w =f (z )有意义的值的集合.当取z 0∈D 时,通过w =f (z )与之对应的值w 0称为复变函数w =f (z )在z 0处的函数值.如果任取z ∈D ,通过w =f (z )有唯一的w 值与之对应,这种函数称为单值函数.否则称为多值函数.在以后的讨论中,如无特别声明,所讨论的函数均指单值函数.例如:函数 w =z 12是定义在整个复平面上的多值函数. w =arg z 是定义在除原点外整个复平面上的单值函数. w =1z,其中Im (z )>0.是定义在上半平面的单值函数.设w =f (z )是定义域为D 的函数,其中 z =x +i y, w =u +i v ,则u ,v 随x ,y 而确定.因而w =f (z )又常写成f (z )=u(x ,y)+i v(x ,y),其中u (x ,y)及v(x ,y)是二元实函数.例 设f (z )=z 2,那么 f (z )=(x +i y)2=x 2-y 2+i2xy ,因此u =x 2-y 2, v =2xy .例 若 u (x ,y)=y ∫+∞e-x td t , v(x ,y)=∑∞n =0y n,则 f (z )=y∫+∞e-x td t +i∑∞n =0y n,这个函数的定义域为:x >0且-1<y <1.若a 0,a 1,a 2,…,a n (a n ≠0)为复常数,n 为非负整数,函数P(z )=a 0+a 1z +a 2z 2+…+a n zn称为n 次多项式函数,它的定义域是整个复平面.若Q (z )也为多项式函数,P(z )/Q(z )称为有理函数,它的定义域为除去Q (z )=0的点z 以外的所有点的集合.1．4．2 复变函数的几何解释———映照在高等数学中,我们常用几何图形来表示函数.这给研究函数的性质提供了许多直观的帮助.现在我们取两张复平面,分别称为w 平面和z 平面(有时为了方便,将两张平面重叠在一起),如果在z 平面上函数w =f (z )的定义域D 内取一点z 0,通过w =f (z )在w 平面上有相应的点w 0与之对应,当z 取遍点集D 时,在w 平面上就有相应的点集G 与之对应.因此,从几何上来讲,复变函数w =f (z )代表的是z 平面上点集D 到w 平面上的点集G 之间的一种变换,亦即一种映照.例如:如图1．10所示函数w =z 2将z 平面上的扇形区域 0<θ<π4,0<r <2．映照成w 平面上的扇形区域 0<φ<π2,0<ρ<4．如果我们将z 平面与w 平面重叠起来,那么,我们可以认为映照w =z +1,是将z 平面上每一个点都向右移了一个单位;映照w =i z 是将z 平面上作为向量的每一个点按逆时针旋转了π2角度;映照w =z 是将复平面上每一图1．10个点映照到它关于实轴的对称位置.例1．8 试想映照w=z+1 z将z平面上的圆周z=R映照成w平面上的什么图形.解 若设z=R e iθ,w=u+i v,则 w=R e iθ+1 R e iθ=R(cosθ+i sinθ)+1R(cosθ-i sinθ)=R+1Rcosθ+i R-1Rsinθ,因而 u=a cosθ, v=b sinθ a=R+1R,b=R-1R．显然,当R≠1时u2 a2+v2b2=1．这就是说映照w=z+1z将z平面上的圆周z=R(R≠1),映照成w平面上长轴为2a,短轴为2b的椭圆线.当R=1时,w=2cosθ.这说明映照w=z+1z将z平面上的单位圆映射成w平面上实轴的一段-2≤u≤2.以上讨论如图1．11所示.图1．111．4．3 反函数与复合函数1．反函数 定义1．5 设w=f(z)定义在z平面的点集D上,函数值集合G在w 平面上.则对任意z∈D,在G内有确定的w与之对应.反过来,由G中任取一点w,通过法则f(z)=w,总有确定的z∈D与之对应.由函数的定义知,此时z与w之间具有了函数的对应关系,记作z=f-1(w),我们称新函数z= f-1(w)为函数w=f(z)的反函数.例如:w=az+bcz+d的反函数为z=-d w-bcw-a,其中a,b,c,d为复常数.在下一节中我们还将看到类似于高等数学中的指数函数与对数函数互为反函数,三角函数与它的反三角函数互为反函数.2．复合函数定义1．6 设函数w=f(h)的定义域为D1,函数h=φ(z)的定义域为D2,值域G D1.那么对任一z∈D2,通过h=φ(z)有确定的h∈G D1与之对应,从而通过w=f(h)有确定的w值与z对应.由函数的定义知,此时w与z之间具有了函数的对应关系,记作w=f[φ(z)].这个函数称为w= f(h)与h=φ(z)的复合函数.例如:函数 w=1h1(h1≠0),h1=h2+β,h2=αz,(α,β均为复常数)的复合函数为w=1αz+β.1．5 初等函数这一节我们来讨论复数域上初等函数的定义和性质.1．5．1 指数函数定义1．7 我们将复变数z=x+i y的指数函数定义为:e x+i y=e x(cos y+i sin y)对于复指数函数e z,它具有如下性质:(1)当z=x时,这个定义与实数集上定义的指数函数一致,但当z=x=1n(n=2,3,…)时,对1．2节e1n为e的n次方根集合的约定是个例外.(2)e z=e x, Arg(e z)=y+2kπ (k=0,±1,±2,…);(3)e z1e z2=e z1+z2.事实上,设z1=x1+i y1,z2=x2+i y2,那么 e z1e z2=(e x1e i y1)(e x2e i y2)=(e x1e x2)(e i y1e i y2),因为x1,x2均为实数,由1．1节e i y1e i y2=e i(y1+y2),得e z1e z2=e x1+x2e i(y1+y2).又因为z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2),故上式的右边为e z1+z2.(4)e z+2kπi=e z,这里k为任一整数.这个等式说明指数函数e z是以2kπi 为周期的周期函数.例1．9 证明 (a)(e z)n=e nz(n为正整数); (b)e z1e z2=e z1-z2．证 (a)因为(e z)n=e z e z…e zn,从而(e z)n=e n z. (b)因为e z e-z=e0=1,从而e-z=1 e z,故e z1e z2=e z1·e-z2=e z1-z2.1．5．2 对数函数定义1．8 我们定义对数函数是指数函数的反函数,即若z=e w (z≠0,∞),则称w是z的对数函数,记为w=Ln z.现在我们来推导w=Ln z的具体表达式.设w=u+i v,z=r e iθ.由e w=z可得e u+i v=r e iθ,因而e u=r, v=θ,故 w=u+i v=ln r+iθ=ln z+i Arg z．即 Ln z=ln z+i(arg z+2kπ) (k=0,±1,±2,…)．这是一个多值函数,每给一个z有多个Ln z的值与之对应.若令k=0,则上式中的多值函数便成为了单值函数,我们称这个单值函数为多值函数Ln z的主值,记作ln z.即 ln z=ln z+i arg z; Ln z=ln z+2kπi (k=0,±1,±2,…)．对数函数Ln z具有如下性质:(1)当z=x>0时,ln z=ln x;(2)当z=x<0时,Ln x=ln x+i(2k+1)π(k=0,±1,±2,…);(3)e Ln z=z; Ln e z=z+2kπi (k=0,±1,±2,…);(4)Ln(z1z2)=Ln z1+Ln z2; Ln z1z2=Ln z1-Ln z2．关于性质(3),由于e L n z=e ln z+i arg z+2kπi=z e i arg z=z (k=0,±1,±2,…),Ln e z=ln e z+i arg e z+2kπi=z+2kπi(k=0,±1,±2,…),结论显然成立.对性质(4),我们现在来证明 Ln(z1z2)=Ln z1+Ln z2.证 因为 Ln(z1z2)=ln(z1z2)+i Arg(z1z2), Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2.。
数学必读10本经典著作
数学必读10本经典著作1、王尔德《金字塔原理》：它以有趣的证明方法深入浅出地介绍了数学的核心原理，启发着现代数学思想。
2、华罗庚《数学分析原理》：作为应用数学发展史上的代表作，数学分析原理以清晰深入的思想框架来详细讨论数学分析，考虑函数在极限、连续性等数学概念方面的应用。
3、斯蒂芬·克莱因《线性代数-方程组与空间观念》：这本书探究到最基础的线性代数学科，如矩阵与行列式、向量空间和线性变换，并介绍互补性定理及其应用。
4、伯纳德·穆勒《抽象代数》：这本书是数学史上关于组合论的重要著作，介绍了群论中的概念及其应用，如有限群、有限域，以及环论的工具。
5、乔治·夏普《微积分的概念和原理》：全书分为三部分，介绍微积分的历史、三大概念：函数、变量和微分，以及定积分和曲线积分运算规则。
6、艾伦·默里《复变函数学》：它解释了复数构造的函数及其应用，特别是潜伏在复变函数和数论领域的有趣表现，构成了复数及其积分的重要基础。
7、威廉·希尔顿·汤普森《代数几何》：这本书是研究几何理论的核心文献，介绍了代数几何在各种几何体中的应用，如三角形、圆、曲线等等。
8、弗拉基米尔·高尔基《数学分析与文章》：这本书包含了数学史上最强大的数学思想，讨论了应用数学解决实际三维空间问题的方法，深入浅出地探索了单变量函数的连续性。
9、罗斯培根·萨瑟兰·特拉普《椭圆型微分方程》：从具体的偏微分方程的定义出发，讨论了椭圆型方程的解的性质及其关系，是一本实用性强的有关微分方程的经典著作。
10、詹姆斯·玛斯·布莱尔《几何学推理》：布莱尔探讨了几何推理概念及其在数学和科学研究中的作用，用新颖的思路分析和例子，打开了拓展几何学思想的新路。
复变函数第二版答案详解王绵森
复变函数第二版答案详解王绵森“复变函数第二版答案详解王绵森”是一本复变函数学科的参考书，为学生们提供了理论和实践基础。
本书是王绵森老师的著作，具有深厚的学术背景和专业知识，为学生们提供了全面的解答方法和练习。
本书共分为15章，每章根据主题，分为多个小节，包含了该主题下的理论和实践运用。
对于每个小节的练习题，本书提供了详细的答案解析，以方便学生们更好地掌握复变函数的相关知识。
通过本书的阅读和实践，学生们可以掌握复变函数的基本概念、性质、公式和算法，并能够灵活应用到各种实际问题的解决中。
在本书的第一章中，介绍了复数、复数函数和解析函数的基本概念和性质，为学生们建立了复变函数的基础知识框架。
在第二章中，详细介绍了复变函数的导数和积分的概念和方法，为学生们打下了复变函数的基本数学工具。
在第三章到第五章中，介绍了复变函数的级数、傅里叶级数和幂级数展开，为学生们提供了更深入的理论知识和实践方法。
在第六章中，介绍了留数定理和索引定理的概念和方法，并且提供了大量的例题和练习题，帮助学生们更好地理解和掌握留数定理和索引定理的应用。
在第七章到第十章中，详细介绍了复变函数的逐点收敛、全纯函数和共形映射的概念和方法，为学生们深入掌握复变函数的理论知识和实际运用提供了有效的帮助。
在第十一章到第十四章中，介绍了复变函数的极限和连续性、奇点和极点、渐进展开和解析延拓的概念和方法，为学生们深厚掌握复变函数的理论知识和实际应用提供了有效的工具和方法。
最后一章提供了大量的例题和练习题，并且提供了部分解答，帮助学生们更好地掌握复变函数的理论和实践。
总之，“复变函数第二版答案详解王绵森”是一本优秀的参考书，提供了全面的复变函数知识框架和更加完备的练习题解答方法。
通过阅读和实践，学生们可以全面掌握复变函数的理论和实践，并且能够在实际问题的解决中更加灵活和自信。
为追求复变函数学科发展的同仁提供了坚实的基础和参考。
复变函数教材推荐
复变函数教材推荐
复变函数是一门基础的数学课程，学习它有助于我们更好地理解复杂的数学问题。
为了让学生更好地掌握复变函数的基础知识，专业的教材显得尤为重要。
本文将介绍几种推荐的复变函数教材。
首先推荐的是《复变函数教程》，这是一本深入浅出的复变函数
教材，由专业教师撰写。
书中介绍的内容包括复变函数的基本概念、指数复变函数、对数复变函数、参数变换复变函数及其应用等。
例题丰富，解题技巧翔实，深入浅出的表达方式深受学生的喜爱。
其次推荐的是《复变函数高分突破》，这是一本详细讲解复变函
数的专业教材，主要针对高考考生。
书中涉及了复变函数的语言表达、求导与积分、复变函数的几何认识、复变函数的应用等课题，并列出了大量的习题，具体详细，并给出了解答，可以深入浅出地帮助学生掌握复变函数的基础知识。
最后推荐的是《复变函数精品课堂》，书中记录了大量实用的复
变函数课堂教学案例，可以充分利用好课堂的教学时间，让学生们更加深入的了解复变函数。
学生可以根据书中的案例设计自己的练习，激发自己的知识探索能力，辅以书中的详细的讲解，可以轻松掌握复变函数的相关知识。
总而言之，复变函数教材的选择十分重要。
在购买时，应该根据自己的情况选择最适合自己的教材，才能更好地掌握复变函数的知识。
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关于复数的书籍
关于复数的书籍
1.《复数原理》- 作者：达里尔.弗雷泽
这本书是关于复数的基础概念和原理的详细介绍。
它涵盖了复数的定义、运算法则、极坐标表示法以及与其他数学概念（如三角函数和矩阵）的关系。
2.《复数分析导论》- 作者：霍乐华
该书系统地介绍了复数的分析性质和应用。
它包括复函数、复数级数、调和函数、整函数理论以及复变函数在物理学和工程学中的应用。
3.《复数与几何》- 作者：埃利斯.韦斯特伍德
这本书探索了复数与几何之间的关系。
它以直观的方式解释了复数平面、复数的几何表示、复数乘法的几何解释，以及复数对平面图形的
转换和变换的作用。
4.《复数的历史》- 作者：德雷克.托姆森
本书回顾了复数的历史发展与应用。
作者深入研究了复数概念的起源、早期数学家在复数研究中的贡献，以及复数如何推动了数学和科学领
域的进展。
5.《复数的魅力》- 作者：亚历山大.凯斯勒
这本书以通俗易懂的方式介绍了复数的概念及其在现实世界中的应用。
作者揭示了复数的神奇之处，从工程学到物理学，从数学到艺术领域，展示了复数背后的无穷魅力。
请注意，以上书籍的信息仅供参考，如果您有兴趣阅读这些书籍，请进行进一步的调查和确认。
数学与应用数学专业必读书目
数学与应用数学专业必读书目对于数学与应用数学专业的学生来说，阅读相关的经典书籍是深入理解数学知识、拓展思维、提升专业素养的重要途径。
以下为大家推荐一些该专业的必读书目。
《数学分析》（作者：华东师范大学数学系）数学分析是数学专业的基础课程，这本书系统地阐述了数学分析的基本概念、理论和方法。
从实数理论、极限理论开始，逐步深入到函数的连续性、导数、积分等重要内容。
通过阅读这本书，可以打下坚实的数学分析基础，培养严谨的逻辑思维和推理能力。
《高等代数》（作者：北京大学数学系）高等代数是研究线性空间、线性变换、多项式等内容的学科。
这本教材逻辑清晰，内容丰富，涵盖了矩阵、行列式、线性方程组、向量空间、线性变换等核心知识。
通过学习，可以掌握代数结构的基本概念和方法，为后续学习抽象代数等课程做好准备。
《解析几何》（作者：吕林根许子道）解析几何将代数方法引入几何研究，使几何问题能够通过代数运算来解决。
本书详细介绍了空间直角坐标系、向量、曲线与曲面等内容，帮助读者建立起几何与代数之间的联系，培养空间想象能力和数形结合的思维方式。
《常微分方程》（作者：王高雄等）常微分方程是研究具有未知函数及其导数的关系式的方程。
这本书介绍了常微分方程的基本理论和求解方法，包括一阶方程、高阶线性方程、线性方程组等。
通过阅读，可以学会运用数学工具解决实际问题中的动态变化过程。
《概率论与数理统计》（作者：盛骤谢式千潘承毅）概率论与数理统计是研究随机现象的数学分支。
本书涵盖了概率的基本概念、随机变量及其分布、多维随机变量、大数定律与中心极限定理、参数估计、假设检验等重要内容。
在当今数据驱动的时代，掌握这方面的知识对于处理和分析数据具有重要意义。
《实变函数论》（作者：周民强）实变函数论是数学分析的深化和拓展，它引入了勒贝格测度和积分的概念。
这本书对实变函数的理论进行了深入的探讨，有助于提高对函数本质的理解和数学分析的能力。
《复变函数》（作者：钟玉泉）复变函数是研究复数域上的函数。
高等数学 国外经典教材
高等数学国外经典教材在学习高等数学的过程中，选择一本好的教材是非常重要的。
国外的经典教材往往能够提供更为深入和广泛的知识内容，以及更加清晰和逻辑的讲解方式。
本文将介绍几本国外经典的高等数学教材，帮助读者选择适合自己的学习材料。
一、《Calculus: Early Transcendentals》《Calculus: Early Transcendentals》是由美国数学家James Stewart撰写的经典高等数学教材。
该书内容广泛，包括微积分、多元微积分等多个方面。
这本教材以其通俗易懂的语言和丰富的例题而闻名，能够帮助学生更好地理解高等数学的基本概念和计算方法。
同时，书中还包含了大量的挑战性问题，帮助学生拓展思维，提升数学应用能力。
二、《Linear Algebra and Its Applications》《Linear Algebra and Its Applications》由Gilbert Strang编写，是一本权威的线性代数教材。
线性代数是高等数学中的重要分支，广泛应用于各个领域。
这本教材系统地介绍了线性代数的基本理论和应用，包括向量空间、线性变换、特征值等内容。
它以清晰的逻辑和简明的讲解风格，帮助学生建立对线性代数的整体认识，并培养其解决实际问题的能力。
三、《Introduction to Probability Models》《Introduction to Probability Models》是由美国统计学家Sheldon Ross撰写的著作。
概率论是高等数学中的一门重要课程，也在实际生活中有广泛应用。
这本教材全面介绍了概率论的基本概念、方法和应用，如概率分布、随机变量、极限定理等。
与其他教材相比，该书在例题选择和解题技巧上更具有创新性，能够帮助学生更好地理解和掌握概率论的知识。
四、《Differential Equations and Their Applications》《Differential Equations and Their Applications》是经典的常微分方程教材，作者是美国数学家Martin Braun。
复变函数教材推荐
复变函数教材推荐随着我国数学教育水平的提高，复变函数教材也越来越受到数学教师和学生的重视。
然而，由于复变函数在高中数学教学中是非常重要的一个部分，所以教材的质量对学生学习成绩产生了重要影响。
因此，本文推荐一些用于复变函数教学的好教材，以帮助学生学习该课程。
首先，作为复变函数学习的经典教材，《高等数学复变函数》（第8版）是一本非常好的选择。
该书由权威的郑老师撰写，讲解了复变函数的基本概念和定义，以及复变函数的各种基本求解方法。
其中，书中对复变函数的各种基本求解方法的详细讲解，让学生可以更好地理解复变函数的基本概念，同时也可以帮助学生更好地掌握复变函数的应用。
此外，书中还阐述了复变函数的各种特殊形式，以及复变函数与极限、微分等相关概念之间的联系，这使得学生能够更好地快速掌握复变函数的基础知识。
此外，作为复变函数教学的经典教材，《复变函数》（第3版）也是一本非常优秀的教材，也是学习复变函数的不可或缺的一本教材。
该书全面地介绍了复变函数的基本概念与定义，以及复变函数的各种性质；而且，书中还详细论述了复变函数的各种求解方法，使学生可以更好地掌握复变函数各种绘图和计算工作；此外，书中还涉及了复变函数的应用，包括极限、数列和微积分等内容；最后，书中还提供了大量的习题，可以帮助学生更好地理解复变函数的相关知识，更好地掌握该课程。
此外，《复变函数学习指导书》也是一本优秀的复变函数教材，介绍了复变函数的基本概念及其在高中数学教学中的重要性，将复变函数的概念和定义，以及求解方法等内容结合了起来，让学生更好地理解复变函数的相关知识，并能够快速掌握复变函数的相关技术。
此外，书中还提供了大量的习题，可以帮助学生更好地掌握复变函数的基本概念与定义，以及复变函数的各种求解方法等内容。
综上所述，以上三本书都是用于复变函数学习的经典教材，帮助学生掌握复变函数的基础知识，了解复变函数的各种求解方法等。
希望以上三本书可以为学生提供更多的帮助，让学生能够更好地掌握该课程的知识和技能，从而帮助他们在学习复变函数的过程中取得更好的成绩。
复变函数教材
复变函数/复分析的入门教材以下为8本比较不错的复分析/复变函数教材，我标注了最新版本，以及中英文版本的情况。
排名不分先后：（1）Brown的Complex Variables and Applications(7th edition)（经提醒，最新版已经有第9版）机械工业出版社有翻译版，书名是复变函数及应用。
美国密歇根大学的教材，非常基础，例子也比较多，适合自学。
这本书尤其注重复变函数在物理、流体流动、热传导以及偏微分方程的边值问题中的应用，对工科同学来说应该也是比较友好的。
（2）拉夫连季耶夫, 沙巴特的复变函数论方法(第6版)高等教育出版社翻译。
老毛子的经典教材，也很基础，适合自学。
这本书的特点是包含大量几何观点，易于理解。
（3）Ahlfors的Complex Analysis(3rd edition)机械工业出版社有翻译版，也有授权的影印版。
分析大师Ahlfors的经典之作，非常好的教材，比较适合入门，也包含大量的几何观点。
在知乎上看到有知友表示第2版更好，我还没有读过，所以不太清楚，之后有空更新。
（4）Tristan Needham的Visual Complex Analysis图灵社区&人民邮电出版社在年初推出了2021全新再版，书名是复分析：可视化方法。
这本书非常有意思，它不像是一本教材，反而更像一本复分析中的数学思想巨著，全书另辟蹊径，从几何的角度来阐述作者的理解。
或许它不是一本严谨扎实的复分析教材，但如果你有一定的基础，该书的几何思维或许能给你更深的理解。
值得一提的是，这本书的译者是武大齐民友教授，他在翻译中对原书做了锦上添花的一些注解，可以说是少有的比原版更好的翻译版。
（5）龚昇的简明复分析北京大学出版社/中国科学技术大学出版社出版。
书的厚度确实是相当“简明”了，书中也嵌入了不少几何观点，将微分几何与Picard大定理联系起来非常有特色。
北大的第一版比较老，据说书里的小错误比较多，但是中国科大出版社在09/10年重新出了第2版，不知道该版本如何。
复变函数教材推荐
复变函数教材推荐
复变函数是一门中学数学的重要学科。
它涉及数学的知识和思想，但是却是一门极其繁琐的课程。
要想掌握它，需要有一本合适的复变函数教材，这样才能让学习者更好地理解和掌握复变函数知识，从而取得更好的学习成绩。
因此，本文将推荐几本值得推荐的复变函数教材。
第一本推荐的复变函数教材是《复变函数课程精讲》。
这本书是一本非常不错的复变函数教材，其中包含了大量有关复变函数的知识，并且以简明扼要的语言阐述，从而使学习者更容易掌握复变函数知识，从而提高学习成绩。
此外，这本书还配有大量适合做课外练习的习题，学习者可以深入探索复变函数的知识，从而更好地掌握复变函数知识。
第二本推荐的复变函数教材是《复变函数课程指南》。
这本书涵盖了大量有关复变函数的基础知识，并以清晰易懂的语言介绍，以便学习者可以更容易地理解复变函数知识。
此外，这本书还附有大量有用的实例和案例，可以让学习者更好地理解复变函数的运用，从而帮助学习者掌握复变函数知识。
第三本推荐的复变函数教材是《复变函数基础教程》。
本书是一本专为初学者编写的复变函数教材，书中介绍了基础的复变函数知识，以及其应用的基本技巧，详细介绍了复变函数的基本概念，从而让学习者更容易掌握复变函数知识，从而达到良好的学习效果。
此外，这本书还附带大量有用的案例和实例，可以让学习者更好地
理解复变函数的应用，从而取得更好的学习成绩。
总之，以上是推荐的三本复变函数教材，它们各有特点，可以满足不同学习者的需求。
无论是初学者还是高级学习者，都可以从这三本书中找到适合自己的复变函数教材，从而取得更好的学习成绩。
复变函数教材推荐
复变函数教材推荐
随着信息技术的发展，现代国家的学习水平也发生了巨大的变化，尤其是高等数学的学习。
有越来越多的人开始关注复变函数的教学。
强调学习学习的书，选择合适的教材是无可争议的重要性。
选择好的教材可以帮助学生更好地掌握知识，增强学习能力和批判性思维。
针对复变函数这一数学学科，目前国内外有许多著名的教材，下面我将介绍几本比较有名的复变函数教材。
首先，《复变函数的应用》（作者：王岩），该书系统介绍了复变
函数的理论和应用，通过深入浅出的讲解，读者可以轻松掌握复变函数的基础知识和经典求解方式。
由于其详细、简明、独特和易于理解的特点，该书被誉为中国著名的复变函数教材。
其次，《复变函数与定积分分析》（作者：何继斌），该书介绍了
复变函数的基本概念和基本定义，更加深入地介绍了定积分分析的各种基本知识，涉及到函数的变换、定积分的计算。
书中的例题和典型实例，有助于学生更加深入地理解和掌握复变函数的相关知识。
最后要介绍的是《高等复变函数》（作者：郑翠林），该书介绍了复变函数的最新研究成果，深入浅出地介绍了复变函数的各种概念和性质，讨论了新兴的应用领域，如动态系统、数值计算和应用数学。
本书具有新颖的观点，使读者在复变函数的学习中有更为深入而宏观的认识。
以上就是推荐的复变函数教材列表，每本教材都有其自身的特点，可以根据自身的实际情况和学习需要来选择适合自己的书籍。
最后要
强调的是，学习复变函数的过程也是一种全方位的探索，需要学生有毅力，不断尝试，多多积累，实践才能有所收获。
复变函数书籍
复变函数书籍《复变函数导论》：揭开复数世界的神秘面纱复变函数是数学中一个重要的分支，它通过引入复数的概念，将实数域扩展到复数域，拓宽了数学的应用领域。
《复变函数导论》一书全面而深入地介绍了复变函数的基本理论和应用，帮助读者理解复数世界的奥秘。
本书首先从复数的定义和性质入手，详细介绍了复数的四则运算、共轭与模、幂与指数等基本概念。
复数的引入使得函数在复数域上有了更为丰富的性质和变化规律，这也为复变函数的研究奠定了基础。
随后，《复变函数导论》系统地阐述了复变函数的连续性与可导性。
对于实变函数来说，函数的可导性仅仅意味着函数在某一点的导数存在，而对于复变函数来说，可导性要求函数在某一点的导数存在且在该点的邻域内处处可导。
这一特性为复变函数带来了更多的性质和应用，例如解析函数的概念就是基于复变函数的可导性进行定义的。
《复变函数导论》还探讨了复变函数的积分论。
复变函数的积分与实变函数的积分存在着一些显著的差异，例如复变函数的积分与路径有关，而实变函数的积分与路径无关。
这一特性使得复变函数的积分具有更广泛的应用，例如在物理学和工程学中的电路分析和电磁场计算中，复变函数的积分被广泛应用于计算复杂曲线下的积分值。
除此之外，《复变函数导论》还介绍了复变函数的级数展开、留数理论和调和函数等重要内容。
级数展开是将复变函数表示为一系列幂级数的形式，使得函数的计算更加便捷和灵活。
留数理论是复变函数理论中的重要工具，它将复变函数与复变积分紧密结合，为解决复杂积分和求解特殊函数值提供了有力的手段。
调和函数则是复变函数中的一类特殊函数，它在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如在电势和流体力学中的研究中，调和函数扮演着重要的角色。
《复变函数导论》一书内容丰富、结构严谨、逻辑清晰。
通过深入浅出的讲解，读者可以逐步了解复变函数的基本概念和性质，掌握复变函数的基本技巧和求解方法。
同时，本书还提供了丰富的习题和例题，帮助读者巩固理论知识，培养解决实际问题的能力。
复变函数教材推荐
复变函数教材推荐
复变函数是一门基础数学课程，它包含多象限函数、二重函数、极限运算和导数等等，是学生掌握数学知识的一个重要组成部分。
学习复变函数的时候，学生需要一本讲解清楚的教材，以便可以深入研究。
现在，有许多关于复变函数的教材，但是，学生可以根据自己的要求，找到最适合自己的一本。
下面给出几本值得推荐的教材，有助于提高学生的学习水平。
第一本书是高等数学（复变函数）（第四版），作者是李秀英。
这本书内容丰富，适合中高级学生深入学习复变函数。
李秀英老师把复变函数的概念、特性以及基础知识清楚地列出来，并且还给出了一些实例，以便学生可以更加轻松地理解和掌握。
第二本是《复变函数：历史发展，理论与应用》，作者是丁秀珍。
这本书由历史发展、理论、应用三部分组成，比较全面地介绍了复变函数的发展历史、基本概念、定义和一些重要的实例，以及它在多种应用中的作用。
丁老师的写作风格比较生动，学生可以轻松把握这些概念。
第三本是《复变函数：从入门到精通》，作者是葛豫林。
这本书分为入门篇、中级篇、高级篇三个部分，详细介绍了复变函数的基本概念、定义、实例、应用、数学原理等等。
葛老师还特意提供了一些计算机程序，使学生可以实际操作，从而更加深入地理解复变函数的知识点。
上述三本书是学习复变函数的不错的教材，非常值得推荐。
这些教材都以不同的风格和方式介绍复变函数的基本知识，所以学生可以根据自己的兴趣和要求，选择最适合自己的一本教材。
只要学生仔细学习，就可以掌握复变函数的基础知识，从而更好地学习数学。
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复变函数的书
复变函数是数学分析学科中的一个重要分支，其研究对象为复平面上的函数。
复变函数的研究对于数学、物理、工程等学科都具有重要意义。
因此，有许多关于复变函数的书籍可以供读者学习和参考。
其中，比较经典的复变函数教材包括斯特恩博格（S. Steinberg）的《复分析引论》和霍夫曼（R. Hoffman）的《复分析概论》。
这两本书都是经典的教材，对于初学者来说具有较高的参考价值。
此外，还有许多其他的复变函数教材，如纳什（J. Nash）的《复变函数与黎曼几何》、鲍尔（L. V. Ahlfors）的《复分析》、罗格（T. W. Gamelin）的《复分析》等。
这些书籍都是经典的教材，深入浅出地介绍了复变函数的基本概念、性质和应用。
同时，对于有一定基础的读者，还可以推荐沃夫勒姆（W. Rudin）的《实分析与复分析》。
这本书是一本经典的数学教材，涵盖了实分析和复分析的基本理论，对于深入理解复变函数的本质和重要性具有重要参考价值。
总之，复变函数是数学分析学科中的一个重要分支，其研究对于多个学科都具有重要意义。
有许多经典的复变函数教材可以供读者选择和学习，希望对于学习和研究复变函数的读者有所帮助。
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