初中中考三角形知识点总结

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中考解直角三角形知识点整理复习

中考解直角三角形知识点整理复习

中考解直角三角形知识点整理复习解直角三角形是中考数学中的一个重要内容,考查学生对于三角函数的理解和运用能力。

下面是对于中考解直角三角形知识点的整理复习。

一、基本概念1.直角三角形:一个内角为直角(90°)的三角形。

2.角的三要素:角的名称、角的度数、角的符号(顺时针为负,逆时针为正)。

二、特殊角度的三角函数值1.0°和90°的三角函数值:正弦函数sin:sin0° = 0,sin90° = 1;余弦函数cos:cos0° = 1,cos90° = 0;正切函数tan:tan0° = 0,tan90° 不存在。

2.30°和60°的三角函数值:正弦函数sin:sin30° = 1/2,sin60° = √3/2;余弦函数cos:cos30° = √3/2,cos60° = 1/2;正切函数tan:tan30° = 1/√3,tan60° = √3三、三角函数在特定角度的性质1. 正弦函数sin的性质:当角A的终边经过点(x,y)时sinA = y/r其中r是点(x,y)到原点(0,0)的距离。

2. 余弦函数cos的性质:当角A的终边经过点(x,y)时cosA = x/r其中r是点(x,y)到原点(0,0)的距离。

3. 正切函数tan的性质:当角A的终边经过点(x,y)时tanA = y/x其中x不等于0。

4.三角函数的周期性:三角函数sin、cos、tan均是周期函数,其中sin和cos的周期是360°或2π弧度,tan的周期是180°或π弧度。

四、特殊角的三角函数值的计算1.特殊角度的三角函数值:根据三角函数在标准位置上的定义,可以计算出不同角度的三角函数值。

2.夹角的三角函数值:两个夹角相等的三角函数值相等,例如sin(A+B)=sinC。

三角形中考知识点

三角形中考知识点

三角形中考知识点关键信息项:1、三角形的定义与分类定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

分类:按角分类(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形);按边分类(等边三角形、等腰三角形、不等边三角形)2、三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。

3、三角形的内角和定理三角形三个内角的和等于 180°。

4、三角形的外角性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

5、三角形的中线、高线、角平分线中线:连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

高线:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。

角平分线:三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6、全等三角形的性质与判定性质:全等三角形的对应边相等、对应角相等。

判定:SSS(边边边)、SAS(边角边)、ASA(角边角)、AAS (角角边)、HL(斜边、直角边)7、相似三角形的性质与判定性质:相似三角形的对应边成比例,对应角相等;相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。

判定:两角对应相等的两个三角形相似;两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边对应成比例的两个三角形相似。

11 三角形的定义与分类三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。

三角形具有稳定性,这一特性在生活中有广泛的应用,如建筑结构、桥梁设计等。

三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

锐角三角形的三个内角都小于 90°;直角三角形有一个内角等于 90°;钝角三角形有一个内角大于 90°小于 180°。

按边分类可分为等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。

等边三角形的三条边都相等;等腰三角形有两条边相等;不等边三角形的三条边都不相等。

初中三角形总复习+中考几何题证明思路总结

初中三角形总复习+中考几何题证明思路总结

初中三角形总复习【知识精读】1. 三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2. 三角形中的几条重要线段:(1)三角形的角平分线(三条角平分线的交点叫做内心)(2)三角形的中线(三条中线的交点叫重心)(3)三角形的高(三条高线的交点叫垂心)3. 三角形的主要性质(1)三角形的任何两边之和大于第三边,任何两边之差小于第三边;(2)三角形的内角之和等于180°(3)三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角,等于和它不相邻的两个内角的和;(4)三角形中,等角对等边,等边对等角,大角对大边,大边对大角;(5)三角形具有稳定性。

4.⋅S SABE∆基础。

5. 三角形边角关系、性质的应用【分类解析】例1. 锐角三角形ABC 中,∠C =2∠B ,则∠B 的范围是( ) A. 1020︒<<︒∠B B. 2030︒<<︒∠B C. 3045︒<<︒∠B D. 4560︒<<︒∠B分析:因为∆ABC 为锐角三角形,所以090︒<<︒∠B 又∠C =2∠B ,∴︒<<︒0290∠B ∴︒<<︒045∠B又∵∠A 为锐角,()∴=︒-+∠∠∠A B C 180为锐角 ∴+>︒∠∠B C 90∴>︒390∠B ,即∠B >︒30 ∴︒<<︒3045∠B ,故选择C 。

例2. 选择题:已知三角形的一个外角等于160°,另两个外角的比为2:3,则这个三角形的形状是( ) A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定分析:由于三角形的外角和等于360°,其中一个角已知,另两个角的比也知道,因此三个外角的度数就可以求出,进而可求出三个内角的度数,从而可判断三角形的形状。

解:∵三角形的一个外角等于160° ∴另两个外角的和等于200° 设这两个外角的度数为2x ,3x ∴+=23200x x 解得:x =40 2803120x x ==, 与80°相邻的内角为100° ∴这个三角形为钝角三角形 应选C例3. 如图,已知:在∆ABC 中,AB AC ≤12,求证:∠∠C B <12。

中考锐角三角形知识点

中考锐角三角形知识点

中考锐角三角形知识点:
锐角三角形的定义:一个三角形中,如果三个角都小于90度,那么这个三角形就是锐角三角形。

锐角三角形的性质:
三个角都小于90度。

任意两边之和大于第三边。

任意一边都小于另外两边之和。

锐角三角形的判定:
如果一个三角形中有一个角大于90度,则它不是锐角三角形。

如果一个三角形的三个角都小于90度,则它是锐角三角形。

锐角三角形的面积计算:面积= (底×高) ÷2。

锐角三角形的内角和:一个锐角三角形的内角和为180度。

锐角三角形的外接圆半径:外接圆的半径等于三角形边长的一半。

锐角三角形的中线、高、角平分线:
中线:连接顶点与对边中点的线段。

高:从顶点垂直于底边的线段。

角平分线:将一个角平分为两个相等的小角的线段。

锐角三角形的特殊角度:30°、45°、60°等特殊角度在锐角三角形中有特殊的应用和性质。

初中数学中考第六讲三角形知识点分析

初中数学中考第六讲三角形知识点分析

a60第4题图NPOA第六讲:三角形知识梳理知识点1. 三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种。

它的定义是:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

三条线段不在同一条直线上的条件,如果三条线段在同一条直线上,我们认为三角形就不存在。

另外三条线段必须首尾顺次相接,这说明三角形这个图形一定是封闭的。

三角形中有三条边,三个角,三个顶点。

重点:三角形分类的依据 难点:三角形分类的划分 (1)(2)例:如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍,且等于它不相邻内角的4倍,那么这个三角形一定是( )A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、正三角形 解题思路:根据角度来判断是哪一种三角形。

答案B练习:如图,已知OA =a ,P 是射线ON 上一动点(即P 可在射 线ON 上运动),∠AON =600,填空: (1)当OP =时,△AOP 为等边三角形;(2)当OP =时,△AOP 为直角三角形;(3)当OP 满足时,△AOP 为锐角三角形; (4)当OP 满足时,△AOP 为钝角三角形。

答案:(1)a ;(2)a 2或2a ;(3)2a <OP <a 2;(4)0<OP <2a或OP >a 2重点:掌握三角形三条重要线段的概念 难点:三角形三条重要线段的运用三角形中的主要线段有:三角形的角平分线、中线和高线。

这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上,通过作图加以熟练掌握。

并且对这三条线段必须明确三点: (1)三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线。

(2)三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线,都在三角形内部。

而三角形的高线在当△ABC 是锐角三角形时,三条高都是在三角形内部,钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上,这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。

(3)在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。

中考-三角形知识点复习归纳总结

中考-三角形知识点复习归纳总结

D C B A 中考三角形知识点复习归纳总结⒈ 三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点, 三角形ABC 用符号表示为△ABC ,三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示,AC 可用b 表示,BC 可用a 表示.⒉ 三角形的分类:(1)按边分类:(2)按角分类:⒊ 三角形的主要线段的定义:(1)三角形的中线三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段.表示法:1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BD=DC=12BC. 注意:①三角形的中线是线段;②三角形三条中线全在三角形的内部;③三角形三条中线交于三角形内部一点;④中线把三角形分成两个面积相等的三角形.三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形21D C B A D CB A (2)三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段表示法:1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意:①三角形的角平分线是线段;②三角形三条角平分线全在三角形的内部;③三角形三条角平分线交于三角形内部一点;④用量角器画三角形的角平分线.(3)三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段. 表示法:1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.注意:①三角形的高是线段;②锐角三角形三条高全在三角形的内部,直角三角形有两条高是边,钝角三角形有两条高在形外;③三角形三条高所在直线交于一点.⒋ 在画三角形的三条角平分线,三条中线,三条高时应注意:(1)如图3,三角形三条角平分线交于一点,交点都在三角形内部.(2)如图4,三角形的三条中线交点一点,交点都在三角形内部.如图5,6,7,三角形的三条高交于一点,锐角三角形的三条高的交点在三角形内部,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部,直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.5 三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意:(1)三边关系的依据是:两点之间线段是短;(2)围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边.6. 三角形的角与角之间的关系:(1)三角形三个内角的和等于180 ;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.图3 图4图5图6图7 图8三角形的内角和定理定理:三角形的内角和等于180°.推论:直角三角形的两个锐角互余。

中考数学知识点总结中考数学《三角形》知识点:三角形的稳定性

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中考数学知识点总结中考数学《三角形》知识点:三角形的稳定

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中考数学《三角形》知识点:三角形的稳定性
我们在学习三角形的知识中,老师经常会提到的一句话就是:三角形具有稳定性。

稳定性证明
任取三角形两条边,则两条边的非公共端点被第三条边连接。

∵第三条边不容伸缩式或弯曲,
∴两端点距离固定,
∴这两条边的夹角紧固;
∵这两条边是任取的,
∴三角形三个角都紧固,进而将三角形紧固,
∴三角形有稳定性。

余因子n边形(n≥4)两条相连边,则两条边的非公共端点被远不止一条边相连接
∴两端点距离不固定,
∴这两边夹角不紧固,
∴n边形(n≥4)每个角都不固定,所以n边形(n≥4)没有稳定性。

如果不看看上面的证明过程,我们就没办法准确的认知三角形稳定性的所有定理。

中考数学三角形知识点总结

中考数学三角形知识点总结

中考数学三角形知识点总结初中数学三角形知识点总结一、三角形的有关概念1.三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。

三角形的特征:①不在同一直线上;②三条线段;③首尾顺次相接;④三角形具有稳定性。

2.三角形中的三条重要线段:角平分线、中线、高(1)角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

(2)中线:在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

(3)高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

说明:①三角形的角平分线、中线、高都是线段;②三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点;三角形的高可能在三角形的内部(锐角三角形)、外部(钝角三角形),也可能在边上(直角三角形),它们(或延长线)相交于一点。

二、等腰三角形的性质和判定(1)性质1.等腰三角形的两个底角相等(简写成等边对等角)。

2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成等腰三角形的三线合一)。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。

7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。

(2)判定在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)。

在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。

三、直角三角形和勾股定理有一个角是直角的三角形是直角三角形,在直角三角形中,斜边中线等于斜边的一半;30度所对的直角边等于斜边的一半;直角三角形常用面积法求斜边上的高。

勾股定理:直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2。

初中数学必背几何知识点总结归纳

初中数学必背几何知识点总结归纳

初中数学必背几何知识点总结归纳初中数学几何的知识点三角形知识点、概念总结1.三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三角形的三边关系:三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边。

3.高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

4.中线:在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

5.角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6.高线、中线、角平分线的意义和做法7.三角形的稳定性:三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

8.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°推论1直角三角形的两个锐角互余推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;三角形的内角和是外角和的一半9.三角形的外角:三角形的一条边与另一条边延长线的夹角,叫做三角形的外角。

10.三角形外角的性质(1)顶点是三角形的一个顶点,一边是三角形的一边,另一边是三角形的一边的延长线;(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和;(3)三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角;(4)三角形的外角和是360°。

四边形(含多边形)知识点、概念总结一、平行四边形的定义、性质及判定1.两组对边平行的四边形是平行四边形。

2.性质:(1)平行四边形的对边相等且平行(2)平行四边形的对角相等,邻角互补(3)平行四边形的对角线互相平分3.判定:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形4.对称性:平行四边形是中心对称图形二、矩形的定义、性质及判定1.定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2.性质:矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等3.判定:(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(2)有三个角是直角的四边形是矩形(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形4.对称性:矩形是轴对称图形也是中心对称图形。

初中数学中考一轮复习专题6 三角形 重点、考点知识、方法总结及真题练习

初中数学中考一轮复习专题6  三角形 重点、考点知识、方法总结及真题练习

A.
B.
【答案】A.
C.
D.
【解析】解:三角形具有稳定性.
故选:A.
知识点 2 等腰三角形
等腰三角形的概念不性质
1、等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做三角形的腰,第三
边叫做三角形的底.
2、等腰三角形的性质
①等腰三角形的腰相等
②等腰三角形的两个底角相等(简记为”等边对等角“)
2.如图,在△ABC 中,AB=AC.以点 C 为圆心,以 CB 长为半径作圆弧,交 AC 的延长线于
点 D,连结 BD.若∠A=32°,则∠CDB 的大小为 度.
【答案】37 【解析】解:∵AB=AC,∠A=32°,∴∠ABC=∠ACB=74°, 又∵BC=DC,∴∠CDB=∠CBD= ∠ACB=37°.

【答案】40° 【解析】解:∵BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB, ∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB,
而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°, ∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=180°﹣ (∠ABC+∠ACB),
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A, ∴∠BOC=180°﹣ (180°﹣∠A)=90°+ ∠A,
3.如图,在△ABC 中,∠A=36°,AB=AC,BD 平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数


【答案】3
【解析】解:∵AB=AC,∠A=36°∴△ABC 是等腰三角形,
∠ABC=∠ACB=
=72°,
BD 平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBC=36°,
∴在△ABD 中,∠A=∠ABD=36°,AD=BD,△ABD 是等腰三角形,

2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—直角三角形

2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—直角三角形

2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—直角三角形1.了解直角三角形的概念;2.证明并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余(无需证明);直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;3.掌握直角三角形的判定定理:有两个角互余的三角形是直角三角形;4.掌握勾股定理;会运用勾股定理解决简单问题;会用勾股定理的逆定理判定直角三角形;5.掌握直角三角形全等的判定定理:斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等;考点1:直角三角形的性质与判定直角三角形性质1.两锐角之和等于90°2.斜边上的中线等于斜边的一半3.30°角所对的直角边等于斜边的一半1.若有一条直角边等于斜边的一半,则这条直角边所对的锐角等于30°(应用时需先证明)2.勾股定理:若直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,则cba222=+判定1.有一个角为90°的三角形时直角三角形2.有两个角的和时90°的三角形是直角三角形1.一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形考点2:勾股定理及逆定理(1)勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图:直角三角形ABC 的两直角边长分别为a b ,,斜边长为c ,那么222a b c +=.(2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a b c ,,,满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形.(3)勾股数:像15,8,17这样,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数。

勾股数满足两个条件:①满足勾股定理②三个正整数【题型1:直角三角形的性质与判定】【典例1】(2022•绍兴)如图,把一块三角板ABC 的直角顶点B 放在直线EF 上,∠C =30°,AC ∥EF ,则∠1=() 2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长分别为a,b,c 若满足,那么这个三角形为直角三角形。

c b a 222=+面积公式,其中a 是底边常,hs 是底边上的高ch S 21ab 21==A.30°B.45°C.60°D.75°【答案】C【解答】解:∵AC∥EF,∠C=30°,∴∠C=∠CBF=30°,∵∠ABC=90°,∴∠1=180°﹣∠ABC﹣∠CBF=180°﹣90°﹣30°=60°,故选:C.1.(2022•岳阳)如图,已知l∥AB,CD⊥l于点D,若∠C=40°,则∠1的度数是()A.30°B.40°C.50°D.60°【答案】C【解答】解:在Rt△CDE中,∠CDE=90°,∠DCE=40°,则∠CED=90°﹣40°=50°,∵l∥AB,∴∠1=∠CED=50°,故选:C.2.(2023•贵州)5月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为12m,则底边上的高是()A.4m B.6m C.10m D.12m【答案】B【解答】解:如图,作AD⊥BC于点D,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,∴∠B=∠C=(180°﹣∠BAC)=30°,又∵AD⊥BC,∴AD=AB=12=6(m),故选:B【题型2:勾股定理及逆定理】【典例2】(2023•恩施州)《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”.书中记载:“今有户不知高、广,竿不知长短.横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出.问户高、广、邪各几何?”译文:今有门,不知其高宽;有竿,不知其长短,横放,竿比门宽长出4尺;竖放,竿比门高长出2尺;斜放,竿与门对角线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少(如图)?答:门高、宽和对角线的长分别是8,6,10尺.【答案】8,6,10.【解答】解:设门对角线的长为x尺,则门高为(x﹣2)尺,门宽为(x﹣4)尺,根据勾股定理可得:x2=(x﹣4)2+(x﹣2)2,即x2=x2﹣8x+16+x2﹣4x+4,解得:x1=2(不合题意舍去),x2=10,10﹣2=8(尺),10﹣4=6(尺).答:门高8尺,门宽6尺,对角线长10尺.故答案为:8,6,10.1.(2023•天津)如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为()A.9B.8C.7D.6【答案】D【解答】解:由题意得:MN是AC的垂直平分线,∴AC=2AE=8,DA=DC,∴∠DAC=∠C,∵BD=CD,∴BD=AD,∴∠B=∠BAD,∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC=180°,∴2∠BAD+2∠DAC=180°,∴∠BAD+∠DAC=90°,∴∠BAC=90°,在Rt△ABC中,BC=BD+CD=2AD=10,∴AB===6,故选:D.2.(2023•东营)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港,则A,C两港之间的距离为50km.【答案】50.【解答】解:如图:由题意得:∠DAB=60°,∠FBC=30°,AD∥EF,∴∠DAB=∠ABE=60°,∴∠ABC=180°﹣∠ABE﹣∠FBC=90°,在Rt△ABC中,AB=30km,BC=40km,AC===50(km),∴A,C两港之间的距离为50km,故答案为:503.(2023•安徽)清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中,对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明,证明过程中创造性地设计直角三角形,得出了一个结论:如图,AD是锐角△ABC的高,则BD=(BC+).当AB=7,BC=6,AC=5时,CD=1.【答案】1.【解答】解:∵BD=(BC+),AB=7,BC=6,AC=5,∴BD=(6+)=5,∴CD=BC﹣BD=6﹣5=1,故答案为:1.4.(2023•广安)如图,圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点B处,则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为10cm.(杯壁厚度不计)【答案】10.【解答】解:如图:将杯子侧面展开,作B关于EF的对称点B′,连接B′A,则B′A即为最短距离,B′A===10(cm).故答案为:10.【题型3:勾股定理与弦图、拼图】【典例3】(2020•随州)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一,西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载,我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”(如图1),后人称之为“赵爽弦图”,流传至今.(1)①请叙述勾股定理;②勾股定理的证明,人们已经找到了400多种方法,请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理;(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)(2)①如图4、5、6,以直角三角形的三边为边或直径,分别向外部作正方形、半圆、等边三角形,这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有3个;②如图7所示,分别以直角三角形三边为直径作半圆,设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1,S2,直角三角形面积为S3,请判断S1,S2,S3的关系并证明;(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形,再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形,重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中,设大正方形M的边长为定值m,四个小正方形A,B,C,D的边长分别为a,b,c,d,已知∠1=∠2=∠3=∠α,则当∠α变化时,回答下列问题:(结果可用含m的式子表示)①a2+b2+c2+d2=m2;②b与c的关系为b=c,a与d的关系为a+d=m.【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.(或者:在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.)②证明:在图1中,大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.即c2=ab×4+(b﹣a)2,化简得:a2+b2=c2.在图2中,大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.即(a+b)2=c2+ab×4,化简得:a2+b2=c2.在图3中,梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和.即(a+b)(a+b)=ab×2+c2,化简得:a2+b2=c2.(2)①三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有3个;故答案为3;②结论:S1+S2=S3.∵S1+S2=()2+()2+S3﹣()2,∴S1+S2=π(a2+b2﹣c2)+S3,∴a2+b2=c2.∴S1+S2=S3.(3)①a2+b2+c2+d2=m2;②b与c的关系为b=c,a与d的关系为a+d=m.故答案为:m2;b=c,a+d=m.1.(2022•湘潭)中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时,用4个全等的直角三角形拼成正方形(如图),并用它证明了勾股定理,这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1,α为直角三角形中的一个锐角,则tanα=()A.2B.C.D.【答案】A【解答】解:由已知可得,大正方形的面积为1×4+1=5,设直角三角形的长直角边为a,短直角边为b,则a2+b2=5,a﹣b=1,解得a=2,b=1或a=1,b=﹣2(不合题意,舍去),∴tanα===2,故选:A.2.(2022•永州)我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”,极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则AE=3.【答案】3.【解答】解:∵大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,∴AB=BC=CD=DA=5,EF=FG=GH=HE=1,根据题意,设AF=DE=CH=BG=x,则AE=x﹣1,在Rt△AED中,AE2+ED2=AD2,∴(x﹣1)2+x2=52,解得:x1=4,x2=﹣3(舍去),∴x﹣1=3,故答案为:3.一.选择题(共7小题)1.在Rt△ABC中,若一个锐角等于40°,则另一个锐角的度数为()A.40°B.45°C.50°D.60°【答案】C【解答】解:∵直角三角形中,一个锐角等于40°,∴另一个锐角的度数=90°﹣40°=50°.故选:C.2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,沿CD折叠,使A点落在BC边上的E点,若∠B=2 6°,则∠CDE的度数为()A.52°B.71°C.72°D.81°【答案】B【解答】解:∵∠ACB=90°,∠B=26°,∴∠A=90°﹣26°=64°,根据折叠,∠CDE=∠ADC,∠ACD=∠BCD=45°,∴∠ADC=180°﹣45°﹣64°=71°,∴∠CDE=∠ADC=71°,故选:B.3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,点D是AC上一点,连接BD,∠DBC=60°,BC=2,则A D长是()A.4B.5C.6D.8【答案】A【解答】解:∵∠C=90°,∠DBC=60°,∴∠BDC=90°﹣∠DBC=30°,∴BD=2BC=4,∵∠A=15°,∴∠ABD=∠BDC﹣∠A=15°,∴∠A=∠ABD=15°,∴AD=BD=4,故选:A.4.以2,3为直角边的直角三角形斜边长为()A.B.C.4D.5【答案】B【解答】解:以2,3为直角边的直角三角形斜边长==,故选:B.5.下列各组数据是勾股数的是()A.,,B.4,5,6C.0.3,0.4,0.5D.9,40,41【答案】D【解答】解:A、()2+()2≠()2,不能构成直角三角形,故不符合题意;B、42+52≠62,不能构成直角三角形,故不符合题意;C、0.32+0.42=0.52,能构成直角三角形,但不是整数,故不符合题意;D、92+402=412,能构成直角三角形,且9,40,41是正整数,故符合题意.故选:D.6.如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等,则需要添加的条件是()A.AD=CB B.∠A=∠C C.BD=DB D.AB=CD【答案】A【解答】解:∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABD=∠CDB=90°,A.AD=CB,BD=DB,符合两直角三角形全等的判定定理HL,能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等,故本选项符合题意;B.∠A=∠C,∠ABD=∠CDB,BD=DB,符合两直角三角形全等的判定定理AAS,不是两直角三角形全等的判定定理HL,故本选项不符合题意;C.∠ABD=∠CDB,BD=DB,不符合两直角三角形全等的判定定理,不能推出Rt△ABD和Rt△CDB 全等,故本选项不符合题意;D.AB=CD,∠ABD=∠CDB,BD=DB,符合两直角三角形全等的判定定理SAS,不是两直角三角形全等的判定定理HL,故本选项不符合题意;故选:A.7.如图所示,已知在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,若∠B=28°,则∠AEC=()A.28°B.59°C.60°D.62°【答案】B【解答】解:在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,且AE=AE,∴△CAE≌△DAE(HL),∴∠CAE=∠DAE=∠CAB,∵∠B+∠CAB=90°,∠B=28°,∴∠CAB=90°﹣28°=62°,∴∠AEC=90°﹣∠CAB=90°﹣31°=59°.故选:B.二.填空题(共6小题)8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,D为线段AB的中点,则∠BCD=50°.【答案】50.【解答】解:∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,∴∠B=50°.∵D为线段AB的中点,∴CD=BD,∴∠BCD=∠B=50°.故答案为:50.9.我国古代数学著作《九章算术》记载了这样一个有趣的问题:“有一个水池,水面是边长为10尺的正方形,在水池中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果将这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端刚好达到岸边的水面”,则水池的深度为12尺.【答案】见试题解答内容【解答】解:设水池的深度为x尺,由题意得:x2+(10÷2)2=(x+1)2,解得:x=12,答:水的深度是12尺.故答案为:12.10.如图△ABC中,∠A:∠B=1:2,DE⊥AB于E,且∠FCD=75°,则∠D=40°.【答案】见试题解答内容【解答】解:∵∠FCD=75°,∴∠A+∠B=75°,∵∠A:∠B=1:2,∴∠A=×75°=25°,∵DE⊥AB于E,∴∠AFE=90°﹣∠A=90°﹣25°=65°,∴∠CFD=∠AFE=65°,∵∠FCD=75°,∴∠D=180°﹣∠CFD﹣∠FCD=180°﹣65°﹣75°=40°.故答案为:40°11.如图,在一个三角形的纸片(△ABC)中,∠C=90°,则图中∠1+∠2的度数为270°.【答案】270.【解答】解:∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°,∴∠1+∠2=360°﹣90°=270°,故答案为:270.12.如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,以AC为边向外作正方形ADEC,若图中阴影部分的面积为9cm2,BC=4cm,则AB=5cm.【答案】5.【解答】解:∵正方形ADEC的面积为9,∴AC2=9,在Rt△ABC中,由勾股定理得,AB===5(cm),故答案为:5.13.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若BD=1,BC=3,则AC的长为5.【答案】5.【解答】解:延长BD与AC交于点E,∵∠A=∠ABD,∴BE=AE,∵BD⊥CD,∴BE⊥CD,∵CD平分∠ACB,∴∠BCD=∠ECD,∴∠EBC=∠BEC,∴BC=CE,∵BE⊥CD,∴2BD=BE,∵BD=1,BC=3,∴CE=3,∴AE=BE=2,∴AC=AE+EC=2+3=5.故答案为:5.三.解答题(共4小题)14.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,且DE=DF.求证:Rt △BDE≌Rt△CDF.【答案】见解析.【解答】证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°,∵D是BC的中点,∴BD=CD,在Rt△BDE与Rt△CDF中,,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).15.如图,已知∠ADC=90°,AD=8,CD=6,AB=26,BC=24.(1)证明:△ABC 是直角三角形.(2)请求图中阴影部分的面积.【答案】见试题解答内容【解答】(1)证明:∵在Rt △ADC 中,∠ADC =90°,AD =8,CD =6,∴AC 2=AD 2+CD 2=82+62=100,∴AC =10(取正值).在△ABC 中,∵AC 2+BC 2=102+242=676,AB 2=262=676,∴AC 2+BC 2=AB 2,∴△ABC 为直角三角形;(2)解:S 阴影=S Rt △ABC ﹣S Rt △ACD =×10×24﹣×8×6=96.16.如图1,荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动.有一天,小明在公园里游玩,如图2,他发现秋千静止时,踏板离地的垂直高度DE =1m ,将它往前推送6m (水平距离BC =6m )时,秋千的踏板离地的垂直高度BF =CE =3m ,秋千的绳索始终拉得很直,求绳索AD 的长度?【答案】10m .【解答】解:由题意得:∠ACB=90°,在Rt△ACB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,设绳索AD的长度为x m,则AC=(x﹣2)m,∴x2=62+(x﹣2)2,解得:x=10,答:绳索AD的长度是10m.17.一架方梯长25米,如图,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米,(1)这个梯子的顶端距地面有多高?(2)如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米?【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)根据勾股定理:梯子距离地面的高度为:=24(米);(2)梯子下滑了4米,即梯子距离地面的高度为A'B=AB﹣AA′=24﹣4=20(米),根据勾股定理得:25=,解得CC′=8.即梯子的底端在水平方向滑动了8米.一.选择题(共5小题)1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点D是AC上一点,将△ABD沿线段BD翻折,使得点A落在A'处,若∠A'BC=20°,则∠CBD=()A.5°B.10°C.15°D.20°【答案】D【解答】解:由折叠得∠ABD=∠A'BD,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°,∵∠A'BC=20°,∴∠ABA'=80°,∴∠ABD=∠A'BD=40°,∴∠CBD=∠A'BD﹣∠A'BC=20°,故选:D.2.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,以顶点B为圆心、适当长为半径作弧,在边BC、BA上截取BE、BD;然后分别以点D、E为圆心、以大于DE的长为半径作弧,两弧在∠CBA内交于点F;作射线BF交AC于点G.若AC=6,P为边AB上一动点,则GP的最小值为()A.3B.2C.1D.无法确定【答案】B【解答】解:由尺规作图步骤可得,BG平分∠ABC,∵∠C=90°,∠ABC=60°,∴∠CBG=∠ABG=30°,∠A=30°,∴AB=2BC,而AC=6,∴(2BC)2﹣BC2=62,解得:BC2=12,同理可得:BG=2GC,∴(2GC)2﹣GC2=BC2=12,∴GC=2,当GP⊥AB时,GP最短,此时根据角平分线的性质可得GP=GC=2,故选:B.3.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=60°,动点P在斜边AB所在的直线m上运动,连接PC,那点P在直线m上运动时,能使图中出现等腰三角形的点P的位置有()A.6个B.5个C.4个D.3个【答案】C【解答】解:如图所示:以B为圆心,BC长为半径画弧,交直线m于点P4,P2,以A为圆心,AC长为半径画弧,交直线m于点P1,P3,边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置,因此出现等腰三角形的点P的位置有4个,故选:C.4.如图,线段OP=1,过点P作PP1⊥OP且PP1=1,连结OP1;过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1,连结OP2;过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1,连结OP3,则OP3的长为()A.1B.C.D.2【答案】D【解答】解:由勾股定理得:=OP2+=2,=+=3,OP3==2.故选:D.5.如图,以Rt△ABC的三条边作三个正三角形,则S1、S2、S3、S4的关系为()A.S1+S2+S3=S4B.S1+S2=S3+S4C.S1+S3=S2+S4D.不能确定【答案】C【解答】解:如图,设Rt△ABC的三条边AB=c,AC=b,BC=a,∵△ACG,△BCH,△ABF是等边三角形,∴S1=S△ACG﹣S5=b2﹣S5,S3=S△BCH﹣S6=a2﹣S6,∴S1+S3=(a2+b2)﹣S5﹣S6,∵S2+S4=S△ABF﹣S5﹣S6=c2﹣S5﹣S6,∵c2=a2+b2,∴S1+S3=S2+S4,故选:C.二.填空题(共3小题)6.如图,在△ABC,∠ACB=90°,分别以三边为直径向上作三个半圆.若AB=5,AC=4,则阴影部分图形的面积为6.【答案】6.【解答】解:∵∠ACB=90°,AB=5,AC=4,∴BC2+AC2=AB2,BC===3,=BC•AC=×3×4=6,∴S△ABC设以BC为直径的半圆的面积为S1,以AB为直径的半圆的面积为S3,以AC为直径的半圆的面积为S2,∵S1=π•(BC)2=BC2,S2=π•(AC)2=AC2,S3=π•(AB)2=AB2,=S2+S1+S△ABC﹣S3=(BC2+AC2﹣AB2)+S△ABC=S△ABC=6,∴S阴影故答案为:6.7.如图,在一个长方形草坪ABCD上,放着一根长方体的木块.已知AD=12米,AB=8米,该木块的较长边与AD平行,横截面是边长为1米的正方形,一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是2米.【答案】见试题解答内容【解答】解:把立体图形展开为平面图形得:展开后AB方向上线段长度变长,长度为AB+1+1=8+2=1 0米,BC=AD=12米,AB⊥BC,∴AC==2(米),故答案为:2.8.如图①,四个全等的直角三角形与一个小正方形,恰好拼成一个大正方形,这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm,短直角边为3cm,连结图②中四条线段得到如图③的新图案,则图③中阴影部分的周长为32cm.【答案】32.【解答】解:由题意得:BD=7cm,AB=CD=3cm,∴BC=7﹣3=4(cm),由勾股定理得:AC==5(cm),∴阴影的周长=4(AB+AC)=4×(3+5)=32(cm).故答案为:32.三.解答题(共4小题)9.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4cm,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC边上匀速移动,它们的速度分别为V P=2cm/s,V Q=1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为t s.(1)当t为何值时,△PBQ为等边三角形?(2)当t为何值时,△PBQ为直角三角形?【答案】(1);(2)或t=1.【解答】解:在△ABC中,∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=60°.∵4÷2=2,∴0≤t≤2,BP=4﹣2t,BQ=t.(1)当BP=BQ时,△PBQ为等边三角形.即4﹣2t=t.∴.当时,△PBQ为等边三角形;(2)若△PBQ为直角三角形,①当∠BQP=90°时,BP=2BQ,即4﹣2t=2t,∴t=1.②当∠BPQ=90°时,BQ=2BP,即t=2(4﹣2t),∴.即当或t=1时,△PBQ为直角三角形.10.如图,等腰直角三角板如图放置.直角顶点B在直线CD上,分别过点A、E作AC⊥直线CD于点C,ED⊥直线CD于点D.(1)求证:CD=AC+ED.(2)若设△ABC三边长分别为a、b、c,利用此图证明勾股定理.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解答】证明:(1)∵∠ABC+∠EBD=90°,∠ABC+∠BAC=90°,∴∠BAC=∠EBD,∵△ABE是等腰直角三角形,∴AB=BE,在△ABC与△BED中,,∴△ABC≌△BED(AAS),∴BC=DE,BD=AC,∴CD=BC+BD=AC+ED;(2)由(1)知,DE=BC=a,BD=AC=b,=,∴S梯形ACDE=S△ABC+S△ABE+S△BDE又∵S梯形ACDE=ab++=ab+,∴,∴a2+b2=c2.11.如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,C B=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等.问:(1)在离A站多少km处?(2)判定三角形DEC的形状.【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)∵使得C,D两村到E站的距离相等.∴DE=CE,∵DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,∴∠A=∠B=90°,∴AE2+AD2=DE2,BE2+BC2=EC2,∴AE2+AD2=BE2+BC2,设AE=x,则BE=AB﹣AE=(25﹣x),∵DA=15km,CB=10km,∴x2+152=(25﹣x)2+102,解得:x=10,∴AE=10km;(2)△DEC是直角三角形,理由如下:∵△DAE≌△EBC,∴∠DEA=∠ECB,∠ADE=∠CEB,∠DEA+∠D=90°,∴∠DEA+∠CEB=90°,∴∠DEC=90°,即△DEC是直角三角形.12.今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区,风力强,累计降雨量大,影响范围大,有极强的破坏力.如图,台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动,已知点C为一海港,且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km,BC=400km,又AB=500km,经测量,距离台风中心260km及以内的地区会受到影响.(1)海港C受台风影响吗?为什么?(2)若台风中心的移动速度为28千米/时,则台风影响该海港持续的时间有多长?【答案】(1)海港C受台风影响,理由见解答过程;(2)台风影响该海港持续的时间为小时.【解答】解:(1)海港C受台风影响,理由:∵AC=300km,BC=400km,AB=500km,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°;过点C作CD⊥AB于D,∵△ABC是直角三角形,∴AC×BC=CD×AB,∴300×400=500×CD,∴CD=240(km),∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域,∴海港C受台风影响;(2)当EC=260km,FC=260km时,正好影响C港口,∵ED=(km),∴EF=2ED=200km,∵台风的速度为28千米/小时,∴200÷28=(小时).答:台风影响该海港持续的时间为小时.1.(2023•株洲)一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,点A、B对应的刻度为1、7,则CD=()A.3.5cm B.3cm C.4.5cm D.6cm【答案】B【解答】解:由图可得,∠ACB=90°,AB=7﹣1=6(cm),点D为线段AB的中点,∴CD=AB=3cm,故选:B.2.(2022•永州)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,点D为边AC的中点,BD=2,则BC的长为()A.B.2C.2D.4【答案】C【解答】解:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D为边AC的中点,BD=2,∴AC=2BD=4,∵∠C=60°,∴∠A=30°,∴BC=AC=2,故选:C.3.(2020•河北)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是()A.1,4,5B.2,3,5C.3,4,5D.2,2,4【答案】B【解答】解:当选取的三块纸片的面积分别是1,4,5时,围成的直角三角形的面积是=,当选取的三块纸片的面积分别是2,3,5时,围成的直角三角形的面积是=;当选取的三块纸片的面积分别是3,4,5时,围成的三角形不是直角三角形;当选取的三块纸片的面积分别是2,2,4时,围成的直角三角形的面积是=,∵,∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是2,3,5,故选:B.4.(2022•陕西)如图,是一个棱长为1的正方体纸盒.若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面,从顶点A爬到顶点B去觅食,则需要爬行的最短路程是()A.B.2C.D.3【答案】C【解答】解:需要爬行的最短路程即为线段AB的长,如图:∵正方体棱长为1,∴BC=1,AC=2,∴AB===,∴需要爬行的最短路程为;故选:C.5.(2023•攀枝花)如图,在△ABC中,∠A=40°,∠C=90°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC 于点E,则∠EBC=10°.【答案】10°.【解答】解:∵∠C=90°,∠A=40°,∴∠ABC=90°﹣∠A=50°,∵DE是线段AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠EBA=∠A=40°,∴∠EBC=∠ABC﹣∠EBA=50°﹣40°=10°,故答案为:10°.6.(2023•郴州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点M是AB的中点,求CM=5.【答案】5.【解答】解:连接CM,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴AB=,∵点M是AB的中点,∴CM=AB=5.故答案为:5.7.(2023•大连)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,0)和(0,2),连接AB,以点A 为圆心、AB的长为半径画弧,与x轴正半轴相交于点C,则点C的横坐标是+1.【答案】+1.【解答】解:∵点A,B的坐标分别为(1,0)和(0,2),∴OA=1,OB=2,∵∠AOB=90°,∴AB===,∵以点A为圆心,以AB长为半径画弧,∴AC=AB=,∴OC=AC+OA=+1,∵交x轴正半轴于点C,∴点C的坐标为(+1,0).故答案为:+1.8.(2023•随州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点,若BD是∠ABC的角平分线,则AD=5.【答案】5.【解答】解:如图,过点D作DE⊥AB于点E,∵∠C=90°,∴CD⊥BC,∵BD是∠ABC的角平分线,CD⊥BC,DE⊥AB,∴CD=DE,在Rt△BCD和Rt△BED中,,∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL),∴BC=BE=6,在Rt△ABC中,==10,∴AE=AB﹣BE=10﹣6=4,设CD=DE=x,则AD=AC﹣CD=8﹣x,在Rt△ADE中,AE2+DE2=AD2,∴42+x2=(8﹣x)2,解得:x=3,∴AD=8﹣x=5.故答案为:5.9.(2023•扬州)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”,后人称之为“赵爽弦图”,它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图,直角三角形的直角边长为a、b,斜边长为c,若b﹣a=4,c=20,则每个直角三角形的面积为96.【答案】96.【解答】解:由图可得,a2+b2=c2,∴且a、b均大于0,解得,∴每个直角三角形的面积为ab=×12×16=96,故答案为:96.10.(2021•杭州)如图,在△ABC中,∠ABC的平分线BD交AC边于点D,AE⊥BC于点E.已知∠ABC =60°,∠C=45°.(1)求证:AB=BD;(2)若AE=3,求△ABC的面积.【答案】(1)证明见解答过程;(2).【解答】(1)证明:∵BD平分∠ABC,∠ABC=60°,∴∠DBC=∠ABC=30°,∵∠C=45°,∴∠ADB=∠DBC+∠C=75°,∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠C=75°,∴∠BAC=∠ADB,∴AB=BD;(2)解:在Rt△ABE中,∠ABC=60°,AE=3,∴BE==,在Rt△AEC中,∠C=45°,AE=3,∴EC==3,∴BC=3+,=BC×AE=.∴S△ABC。

中考数学三角形知识点总结

中考数学三角形知识点总结

中考数学三角形知识点总结一、三角形的定义和性质1.三角形是由三条边和三个内角组成的封闭图形。

2.三角形的内角和等于180度。

3.三条边的和大于第三边,任意两边之差小于第三边。

二、三角形的分类1.根据角度分类:(1)锐角三角形:三个内角都是锐角的三角形。

(2)直角三角形:有一个内角为直角的三角形。

(3)钝角三角形:有一个内角为钝角的三角形。

2.根据边长分类:(1)等边三角形:三条边长度相等的三角形。

(2)等腰三角形:有两条边长度相等的三角形。

(3)普通三角形:三条边长度都不相等的三角形。

三、三角形的重要性质1.三角形的内角和定理:三角形的三个内角和等于180度。

2.三角形的外角和定理:三角形的一个外角等于其两个不相邻内角。

3.三角形的角平分线:三角形的内角平分线上的点到三条边的距离相等。

4.三角形的中线:三角形的中线连接相邻顶点的中点,长度相等。

5.三角形的高:三角形的高是从顶点到底边的垂直线段。

6.三角形的面积公式:S=1/2*底边长*高。

四、三角形的相似性质1.相似三角形的性质:(1)对应角相等:相似三角形的对应角相等。

(2)对应边成比例:相似三角形的对应边成比例。

(3)边角对应:相似三角形的角与边成比例。

2.判定相似三角形的定理:(1)AA相似判定定理:如果两个三角形的两个角分别相等,则它们相似。

(2)SAS相似判定定理:如果两个三角形的一个角相等,并且两个对应边的比值相等,则它们相似。

(3)SSS相似判定定理:如果两个三角形的三条边的比值相等,则它们相似。

五、三角形的勾股定理1.勾股定理的形式:直角三角形中,较长的斜边的平方等于两直角边的平方和。

(1)a²=b²+c²(2)b²=a²-c²(3)c²=a²-b²2.利用勾股定理求三角形的边长:(1)已知直角边和斜边,可以求另一个直角边的长度。

(2)已知两个直角边的长度,可以求斜边的长度。

初中数学必背几何知识点总结归纳

初中数学必背几何知识点总结归纳

初中数学必背几何知识点总结归纳对每个初三学生来说,他们都希望自己能够在中考中取得好成绩,从而考上好高中,想要在中考中取得好成绩,自然是要认真学习。

下面是小编为大家整理的关于初中数学必背几何知识点,希望对您有所帮助!初中数学几何的知识点三角形知识点、概念总结1. 三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2. 三角形的三边关系:三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边。

3. 高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

4. 中线:在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

5. 角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6. 高线、中线、角平分线的意义和做法7. 三角形的稳定性:三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

8. 三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°推论1 直角三角形的两个锐角互余推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;三角形的内角和是外角和的一半9. 三角形的外角:三角形的一条边与另一条边延长线的夹角,叫做三角形的外角。

10. 三角形外角的性质(1)顶点是三角形的一个顶点,一边是三角形的一边,另一边是三角形的一边的延长线;(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和;(3)三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角;(4)三角形的外角和是360°。

四边形(含多边形)知识点、概念总结一、平行四边形的定义、性质及判定1. 两组对边平行的四边形是平行四边形。

2. 性质:(1)平行四边形的对边相等且平行(2)平行四边形的对角相等,邻角互补(3)平行四边形的对角线互相平分3. 判定:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形4. 对称性:平行四边形是中心对称图形二、矩形的定义、性质及判定1. 定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2. 性质:矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等3. 判定:(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(2)有三个角是直角的四边形是矩形(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形4. 对称性:矩形是轴对称图形也是中心对称图形。

初中三角形知识点

初中三角形知识点

中考数学必备知识点——图形与几何知识点一:三角形1、三角形的定义:是由三条线段首尾顺次相接所组成的平面图形叫做三角形.2、组成三角形的元素:三条边和三个角3、三角形的分类⑴三角形按边的关系分类如下:⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形(一般等腰三角形)等腰三角形底边和腰相等的等腰三角形(等边三角形或正三角形)⑵三角形按角的关系分类如下:⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形(有一个角是直角的三角形)三角形锐角三角形(三个角都是锐角的三角形)斜三角形钝角三角形(有一个角是钝角的三角形)把边和角联系在一起,我们又有一种特殊的三角形:等腰直角三角形,它是两条直角边相等的直角三角形. 4、三角形的性质⑴三角形三边关系定理:三角形的任意两边之和大于第三边且任意两边之差小于第三边.⑵三角形的内角和定理:三角形的三个内角和等于︒180. ⑶三角形的外角和定理:三角形的三个外角和等于︒360.⑷三角形的内外角定理:①互补关系:三角形的一个外角与它相邻的内角互补;②相等关系:三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和.③不等关系:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑸三角形的边角关系:在同一个三角形中:大边对大角,等边对等角,小边对小角;反之,大角对大边,等角对等边,小角对小边也成立. 5、三角形的面积:三角形的面积12=⨯底⨯高知识点二:等腰三角形1、等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2、等腰三角形的性质定理及推论:性质定理:等腰三角形的两个底角相等简称:等边对等角推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一.推论2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°. 3、三角形中的中位线⑴三角形中的中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. ⑵三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半;⑶三角形中位线定理的作用:位置关系:可以证明两条直线平行;数量关系:可以证明线段的倍分关系;⑷常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有:结论1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半; 结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形;结论3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形; 结论4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分;结论5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等;知识点三:直角三角形 1、直角三角形的两个锐角互余;2、在直角三角形中,30︒角所对的直角边等于斜边的一半;3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;4、直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+5、常用关系式:由三角形面积公式可得:AC BC CD AB ⋅=⋅ ★★★6、直角三角形的射影定理从一定向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影;一条线段在直线上的正射影,是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.点和线段的正射影简称为射影直角三角形的射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;推论:直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.即22290CD AD BDACB AC AD ABCD AB BC BD AB︒⎧=⋅⎫∠=⎪⇒=⋅⎬⎨⊥⎭⎪=⋅⎩知识点四:全等三角形1、全等三角形的概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形;2、三角形全等的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等;3、全等三角形的判定定理:⑴边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可简写成“边角边”或“SAS ”⑵角角边定理:任意两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等可以简写成“角角边”或“AAS ”;⑶角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等可简写成“角边角”或“ASA ”⑷边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等可简写成“边边边”或“SSS ”; ★★★直角三角形全等的判定:对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL 定理斜边、直角边定理:有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可简写成“斜边、直角边”或“HL ”4、全等变换:只改变图形的位置,不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换; 全等变换包括一下三种:①平移变换:把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换; ②对称变换:将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换;③旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换;知识点五:相似三角形1、比例线段的概念:对于四条线段a b c d 、、、,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即ac bd或:=a b c d :那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.注意:⑴在求线段比时,线段单位要统一,单位不统一应先化成同一单位.⑵当两个比例式的每一项都对应相同,两个比例式才是同一比例式.⑶比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为:ad c b =. 2、比例的性质基本性质:1bc ad d c b a =⇔=::;2b a c b c c a ⋅=⇔=2::. 反比性质把比的前项、后项交换:cd a b d c ba =⇒=. 合比性质:ddc b b ad c b a ±=±⇒=.发生同样和差变化比例仍成立.如:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c dc ba b a cc d a a b d c b a 等等.等比性质:如果)0(≠++++====n f d bm e c a ,那么am e c a =++++ .平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.三角形中位线定理的逆定理 推论2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰.梯形中位线定理的逆定理平行线等分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 推论:1平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得的对应线段成比例.2平行于三角形一边且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.定理:如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形第三边. 4、相似三角形⑴相似三角形的定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相不同;4相似用“∽”表示,读作“相似于”; 5相似三角形的对应边之比叫做相似比.⑵相似三角形的判定方法预备定理:平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 定理的基本图形语言:数学符号语言:BC DE // ∴ADE ∆∽ABC ∆.判定定理1:如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似.判定定理2:如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 判定定理3:如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两个三角形相似.判定定理4:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下:类型 斜三角形直角三角形全等三角形的判定SAS SSS AASASA HL相似三角形的判定 两边对应成比例夹角相等三边对应成比例 两角对应相等 一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理,这就是我们数学中的用类比的方法,在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法. ⑶相似三角形的性质定理:1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比; 2相似三角形的周长比等于相似比;3相似三角形的面积比等于相似比的平方;4相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.⑷相似三角形的等价关系1反身性:对于任一ABC∆∽ABC∆.∆有ABC2对称性:若ABC∆.BA∆∽ABCBA∆,则'''C∆∽'''C3传递性:若ABC∆,则ABCA''''''∆∽CA''''''B∆.BA'B∆∽C∆''∽CA'∆'',且CB★★★相似直角三角形引理:如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的线段成比例,那么这两条直线平行于三角形的第三边.与三角形的中位线定理类似定理:如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么这两个直角三角形相似.定理:如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 定理:如果两个直角三角形的斜边和一直边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.经过归纳和总结,相似三角形有以下几种基本类型知识点六:锐角三角函数的概念建立在直角三角形的基础之上1、如图,在△ABC 中,∠C=90° ①sin A a A c ∠==的对边斜边;②cos A bA c ∠==的邻边斜边 ③tan A a A A b ∠==∠的对边的邻边;④cot A bA A a∠==∠的邻边的对边2、一些特殊角的三角函数值 三角函数0︒30°45°60°90° sin α2122 23 1cos α123 22 21 0tan α33 1 3不存在cot α不存在3133 03、各锐角三角函数之间的关系1互余关系:sinA=cos90°—A,cosA=sin90°—A,tanA=cot90°—A,cotA=tan90°—A2平方关系:1cos sin 22=+A A 3倒数关系:tanA •tan90°—A=1 4弦切关系:tanA=AAcos sin。

中考数学《三角形》知识点:平行线的定义性质及判定

中考数学《三角形》知识点:平行线的定义性质及判定

中考数学《三角形》知识点:平行线的定义性
质及断定
中考数学《三角形》知识点:平行线的定义性质及断定
平行线
定义:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。

说明:也可以说两条射线或两条线段平行,这实际上是指它们所在的直线平行。

性质:
(1)两直线平行,同位角相等。

(2)两直线平行,内错角相等。

(3)两直线平行,同旁内角互补。

说明:要证明两条直线平行,用断定公理(或定理)在条件中有两条直线平行时,那么应用性质定理。

断定:
(1)同位角相等,两直线平行。

(2)内错角相等,两直线平行。

(3)同旁内角互补两直线平行。

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中考数学黄金知识点系列专题16直角三角形

中考数学黄金知识点系列专题16直角三角形
A.4,5,6B.1.5,2,2.5C.2,3,4D.1, ,3
【答案】B.
【解析】
考点:勾股定理的逆定理.
考点典例二、直角三角形的性质
【例2】(20xx湖北随州第13题)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,M、N分别是AB、AC的中点,延长BC至点D,使CD=BD,连接DM、DN、MN.若AB=6,则DN= .
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)
四、互逆命题、互逆定理
1.互逆命题
如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设,我们把风这两个命题叫做互逆命题.把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.
2.互逆定理
若一个定理的逆命题是正确的,那么它就是这个定理的逆定理,称这两个定理为互逆定理.
二、勾股定理及逆定理
1. 勾股定理:
直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即:a2+b2=c2;
2. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边a、b、c有关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
三、直角三角形全等的判定:
对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,除了有一般三角形全等的判定方法,还有HL定理(斜边、直角边定理):
【例4】(20xx年福建龙岩第4题)下列命题是假命题的是( )
A.若|a|=|b|,则a=b
B.两直线平行,同位角相等
C.对顶角相等
D.若b2﹣4ac>0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根
【答案】A.
【解析】
试题分析:选项A:若a=1,b=-1,则|a|=|b|,但a≠b,此命题为假命题;选项B:两直线平行,同位角相等是真命题;选项C:对顶角相等是真命题;选项D:若b2﹣4ac>0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根是真命题.故选A.

中考数学知识点顺口溜及三角形复习

中考数学知识点顺口溜及三角形复习

中考数学知识点顺口溜及三角形复习2)三个角相等的三角形是等边三角形;三边相等的三角形是等边三角形;一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形9、直角三角形的性质和判定:1)直角三角形两个锐角和为90o(互余)2)直角三角形中30o所对的直角边等于斜边的一半3)直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半4)勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方5)勾股定理的逆定理:若一个三角形中,有两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形10、全等三角形:1)对应边相等,对应角相等的三角形叫全等三角形2)全等三角形的判定方法:SSS、SAS、ASA、AAS、HL【观察这五种方法发现,要证三角形全等,至少要有一组相等的边,因此在应用是要养成先找边的习惯】3)全等三角形的性质:全等三角形的对应边、对应角、面积、周长、对应高、对应中线、对应角平分线都相等11、分析、证明几何题的常用方法:1)综合法(由因导果):从命题的题设出发,通过一系列的有关定义、公理、定理的应用,逐步向前推进,知道问题解决2)分析法(执果索因):从命题的结论出发,不断寻找使结论成立的条件,直到已知条件3)两头凑法:将分析法和综合法合并使用,比较起来,分析法利于思考,综合法适宜表达,因此在实际思考问题时,可合并使用灵活处理。

以利于缩短题设与结论间的距离,最后达到完全沟通。

2022年中考数学知识点顺口溜有理数的加法运算:同号相加一边倒;异号相加大减小,符号跟着大的跑;绝对值相等零正好。

【注】大减小是指绝对值的大小。

合并同类项:合并同类项,法则不能忘,只求系数和,字母、指数不变样。

去、添括号法则:去括号、添括号,关键看符号,括号前面是正号,去、添括号不变号,括号前面是负号,去、添括号都变号。

恒等变换:两个数字来相减,互换位置最常见,正负只看其指数,奇数变号偶不变。

(a-b)2n+1=-(b-a)2n+1(a-b)2n=(b-a)2n平方差公式:平方差公式有两项,符号相反切记牢,首加尾乘首减尾,莫与完全公式相混淆。

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初中中考三角形知识点总结
一、三角形的定义
三角形是平面上的一个图形,它由三条边和三个顶点组成。

三角形是一种基本的几何图形,也是平面几何中研究最多的图形之一。

二、三角形的分类
根据三条边的长度,三角形可以分为等腰三角形、等边三角形和普通三角形。

1. 等腰三角形:两条边的长度相等的三角形。

2. 等边三角形:三条边的长度都相等的三角形。

3. 普通三角形:三条边的长度都不相等的三角形。

根据角的大小,三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。

1. 直角三角形:其中一个角是90度的三角形。

2. 锐角三角形:三个角都是锐角的三角形。

3. 钝角三角形:其中一个角是钝角的三角形。

三、三角形的性质
1. 三角形的内角和恒为180度。

这是三角形的最基本的性质,也是很多三角形问题的关键。

2. 等腰三角形的性质
(1) 两底角相等。

(2) 两边边相等。

3. 等边三角形的性质
(1) 三个角均相等,每个角为60度。

(2) 三条边均相等。

4. 直角三角形的性质
(1) 两个锐角的和等于90度。

(2) 三个角的和等于180度。

(3) 符合勾股定理:a²+b²=c²。

5. 三角形的外角和等于没有被包含的两个内角的和。

这个性质非常重要,经常和外角性质一起来进行三角形的运算。

6. 三角形的两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。

这是三角形的一个重要性质,也是判断三角形是否存在的关键。

7. 经常包含的一些特殊的三角形关系
(1) 在一个等腰三角形中,这个等腰三角形可以分成两个直角三角形。

(2) 30度和60度角的三角函数值,这种关系是初中数学中的重点内容。

四、初中中考三角形的运算
1. 求三角形的周长和面积。

我们经常会遇到问周长或者面积的问题,对初中生来说,掌握好周长和面积的计算方法是
非常重要的。

2. 利用三角形的性质进行求解。

在解三角形问题的时候,我们经常会利用三角形的性质,根据题目给出的条件进行运算。

3. 利用勾股定理求解。

在解直角三角形问题的时候,勾股定理是一个非常重要的定理,学生需要掌握好它的用法。

4. 利用相似三角形的性质求解。

在一些比较复杂的三角形问题中,我们可以利用相似三角形的性质进行求解。

五、常见的初中中考三角形定理
1. 等腰三角形底角定理:等腰三角形两底角相等。

2. 等边三角形三边定理:等边三角形三边相等。

3. 直角三角形勾股定理:a²+b²=c²。

4. 相似三角形的性质:相似三角形对应角相等、对应边成比例。

5. 三角形中的角平分线与边的关系。

6. 三角形内切圆定理:三角形的内切圆的半径与三边的关系。

六、三角形的应用
1. 测量三角形的高度和面积。

2. 解决三角形问题。

3. 利用三角形进行实际问题的计算。

以上就是初中中考三角形的知识点总结。

三角形是初中数学中的重要内容,学生们需要认真学习和掌握好三角形的定义、分类、性质和运算方法,这样才能在中考中取得好成绩。

希望同学们能够在学习和应用中不断提高自己的数学能力,取得优异的成绩。

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