2018中考数学三角形知识点汇总

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三角形知识点总结

三角形知识点总结三角形知识点总结一、基础知识1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. （三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点）2、三角形的表示三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。

注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义3、三角形的分类：（1）按边分类：等腰三角形、等边三角形、不等边三角形（2）按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形4、三角形的主要线段的定（2）正多边形：各边相等，各角都相等的多边形叫做正多边形（3）多边形的内角和为（n-2）*180度；多边形的外角和为360度二、等腰三角形1、等腰三角形的概念定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角2、三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线互相集合（简称为“三线合一”）3、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”）注意：要正确区分等腰三角形的性质和判定4、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形注意：等边三角形是等腰三角形的特殊情况，它是底边与腰相等的等腰三角形5、等边三角形的性质和判定性质：（1）等边三角形的三条边都相等（1）等边三角形的每一个角都等于60度判定：（1）各边或角都相等的三角形是等边三角形（2）有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形相关规律：（1）边长为a的等边三角形面积等于（2）等边三角形的内心、外心、垂心和重心重合于一点三、直角三角形1、定义：有一个角为直角的三角形称为直角三角形。

2018年中考数学三角形常考考点及易错点-文档资料

2018年中考数学三角形常考考点及易错点
易错点1：三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高线的特征与区别。

易错点2：三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。

求最短距离的方法。

易错点3：三角形的内角和，三角形的分类与三角形内外角性质，特别关注外角性质中的“不相邻”。

易错点4：全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定。

着重学会论证三角形全等，三角形相似与全等的综合运用以及线段相等是全等的特征，线段的倍分是相似的特征以及相似与三角函数的结合。

根据边边角不能得到两个三角形全等。

易错点5：两个角相等和平行经常是相似的基本构成要素，以及相似三角形对应高之比等于相似比，对应线段成比例，面积之比等于相似比的平方。

易错点6：等腰（等边）三角形的定义以及等腰（等边）三角形的判定与性质，运用等腰（等边）三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题，这里需注意分类讨论思想的渗入。

易错点7：运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题。

易错点8：将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用探究各种解题方法。

易错点9：中点，中线，中位线，一半定理的归纳以及各自的性质。

易错点10：直角三角形判定方法：三角形面积的确定与底上的高（特别是钝角三角形）。

易错点11：三角函数的定义中对应线段的比经常出错以及特殊角的三角函数值。

(完整版)初中三角形知识点总结

图形的初步认识：三角形考点一、三角形1、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

2、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角平等边；等边平等角；大角对大边；大边对大角。

4、三角形的面积三角形的面积 = 1×底×高2考点二、全等三角形1、全等三角形的观点能够完整重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、三角形全等的判断三角形全等的判断定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“ SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“ SSS”）。

（4）角角边定理：有两角和一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“ AAS”）。

直角三角形全等的判断：关于特别的直角三角形，判断它们全等时，还有 HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“ HL”）3、全等变换只改变图形的地点，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包含一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行挪动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180°，这类变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转必定的角度到另一个地点，这类变换叫做旋转变换。

考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边平等角）推论 1：等腰三角形顶角均分线均分底边并且垂直于底边。

2018中考数学知识点：三角形的半角定理公式

2018中考数学知识点：三角形的半角定理公式单解释就是利用某个角(如A)的正弦来求某个角的半角(如A/2)的正弦的公式。

三角形的半角定理做三角形内切圆，在AB,AC,BC边上的切点分别为D，E，Fl=(a+b+c)/2则有r=(l-a)tan(A/2)=(l-b)tan(B/2)=(l-c)tan(C/2)半角定理还可以写成tanA/2=[1/(s-a)]√[(s-a)(s-b)(s-c)/s]，tanB/2=[1/(s-b)]√[(s-a)(s-b)(s-c)/s]，tanC/2=[1/(s-c)]√[(s-a)(s-b)(s-c)/s]。

其中A、B、C为三角形内角的符号，s=1/2(a+b+c)证明：由余弦定理cosA=(b +c -a )/2bc，得1-cosA=(2ab-b -c +a )/2bc=[a -(b-c) ]/2bc=(a+b-c)(a-b+c)/2bc1+cosA=(2ab+b +c -a )/2bc=[(b+c) -a ]/2bc=(a+b+c)(b+c-a)/2bc设a+b+c=2s，那么-a+b+c=2(s-a)，a-b+c=2(s-b)，a+b-c=2(s-c)。

因此上面结论可以写成：1-cosA=2(s-c)2(s-b)/2bc=2(s-b)(s-c)/bc1+cosA=2s2(s-a)/2bc=2s(s-a)/bc。

因为A/2是锐角，所以把上面所得到的结果代入公式tanA/2=√(1-cosA)/(1+cosA)，就可以得到tanA/2=√[(s-b)(s-c)/s(s-a)]。

又因为s-a>0，所以上面的式子还可以写成：tanA/2=√[(s-a)(s-b)(s-c)/s(s-a) ]=[1/(s-a)]√[(s-a)(s-b)(s-c)/s]。

由此便证明了半角定理。

半角定理和三角函数的半角公式内容不同，大家不要弄混淆了。

中考三角形知识点总结

中考三角形知识点总结一、三角形的概念与分类。

1. 概念。

- 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

- 三角形有三个顶点、三条边和三个内角。

2. 分类。

- 按角分类。

- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

- 直角三角形：有一个角是直角的三角形。

直角三角形可以用“Rt△”表示，直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。

- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。

- 按边分类。

- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。

- 等腰三角形：有两边相等的三角形。

相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

- 等边三角形：三边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角都相等，且每个角都是60°。

二、三角形的性质。

1. 三角形内角和定理。

- 三角形的内角和为180°。

- 直角三角形的两个锐角互余。

2. 三角形的外角性质。

- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

- 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

3. 三角形的三边关系。

- 三角形任意两边之和大于第三边。

- 三角形任意两边之差小于第三边。

4. 等腰三角形的性质。

- 等腰三角形的两腰相等。

- 等腰三角形的两底角相等（简称为“等边对等角”）。

- 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称为“三线合一”）。

5. 等边三角形的性质。

- 等边三角形的三条边相等。

- 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°。

三、三角形中的重要线段。

1. 中线。

- 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

- 三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心。

重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

2. 角平分线。

- 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

- 三角形的三条角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。

2年中考1年模拟2018年中考数学第四篇图形的性质专题17三角形及其性质(含解析)

第四篇图形的性质专题17 三角形及其性质☞解读考点算与证明☞2年中考【2017年题组】一、选择题1．(2017内蒙古包头市）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【答案】A．【解析】若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm)，此时三角形的三边长分别为2cm,4cm，4cm,符合三角形的三边关系；故选A．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系;3．分类讨论．2．（2017广西河池市)三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（)A．中线B．角平分线C．高D．中位线【答案】A．【解析】试题分析:∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选A．考点:1．三角形的面积；2．三角形的角平分线、中线和高；3．应用题．3．（2017贵州省遵义市)如图，△ABC的面积是12,点D,E，F，G 分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（）A．4。

5B．5C．5.5D．6【答案】A．【解析】考点：1．三角形中位线定理；2．三角形的面积．4．（2017南宁）如图，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C等于（）A．100°B．80°C．60°D．40°【答案】B．【解析】试题分析：由三角形内角和定理得,∠C=180°﹣∠A﹣∠B=80°，故选B．考点：三角形内角和定理．5．(2017南宁)如图，△ABC中,AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹,则下列结论错误的是(）A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE ∥BC D．∠DAE=∠EAC【答案】D．【解析】考点：1．作图—复杂作图;2．平行线的判定与性质；3．三角形的外角性质．6．(2017广西贵港市）从长为3，5,7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是（）A．14B．12C．34D．1【答案】B．【解析】试题分析：从长为3，5，7,10的四条线段中任意选取三条作为边，所有等可能情况有:3,5，7；3，5，10；3，7，10；5,7，10,共4种,其中能构成三角形的情况有：3,5，7;5，7,10，共2种,则P（能构成三角形）=24=12，故选B．考点:1．列表法与树状图法；2．三角形三边关系；3．概率及其应用．7．（2017江苏省扬州市)若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）A．6B．7C．11D．12【答案】C．【解析】试题分析：设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是2和4,∴4﹣2＜x＜2+4，即2＜x＜6．则三角形的周长:8＜C＜12，C选项11符合题意，故选C．考点：三角形三边关系．8．（2017四川省雅安市)一个等腰三角形的边长是6，腰长是一元二次方程27120x x-+=的一根，则此三角形的周长是（）A．12B．13C．14D．12或14【答案】C．【解析】考点：1．解一元二次方程﹣因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论．9．（2017四川省巴中市)若一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．直角三角形【答案】D．【解析】试题分析:设一份为x，三内角分别为x，2x，3x,根据内角和定理得：x+2x+3x=180°，解得:x=30°,∴三内角分别为30°，60°，90°，则这个三角形为直角三角形，故选D．考点：1．三角形内角和定理；2．实数．10．（2017德州）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法,…将这种做法继续下去（如图2，图3…），则图6中挖去三角形的个数为()A．121B．362C．364D．729【答案】C．【解析】考点：1．三角形中位线定理；2．规律型：图形的变化类．二、填空题11．（2017四川省广安市)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6,AC=8，D、E分别为AC、AB的中点,连接DE,则△ADE的面积是．【答案】6．【解析】试题分析：∵D、E分别为AC、AB的中点，∴AD=12AC=4，DE=12BC=3，DE∥BC，∴∠ADE=∠C=90°，∴△ADE的面积=12×AD×DE=6，故答案为：6．考点：三角形中位线定理．12．（2017宁夏）在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC,交AC于点E，点M在DE上，且ME=13DM．当AM⊥BM时,则BC的长为．【答案】8．【解析】考点:1．三角形中位线定理;2．等腰三角形的判定与性质．13．（2017贵州省黔南州)如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠FPE=100°，则∠PFE 的度数是．【答案】40°．【解析】AD，试题分析:∵P是对角线BD的中点，E是AB的中点，∴EP=12BC，∵AD=BC，∴PE=PF，∵∠FPE=100°,∴∠PFE=40°，同理，FP=12故答案为：40°．考点：三角形中位线定理．14．（2017黑龙江省绥化市）如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形,如此操作下去,则第n 个小三角形的面积为．【答案】2112n ．【解析】考点:1．三角形中位线定理；2．等腰直角三角形；3．综合题；4．规律型；5．操作型．15．（2017四川省成都市）在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C =2：3：4，则∠A 的度数为．【答案】40°．【解析】试题分析：∵∠A ：∠B ：∠C =2:3：4，∴设∠A =2x ，∠B =3x ，∠C =4x ,∵∠A +∠B +∠C =180°,∴2x +3x +4x =180°，解得：x =20°,∴∠A 的度数为：40°．故答案为：40°．考点：三角形内角和定理．16．（2017四川省达州市）△ABC 中，AB =5，AC =3，AD 是△ABC 的中线，设AD 长为m ,则m 的取值范围是．【答案】1＜m ＜4．【解析】试题分析：延长AD至E，使AD=DE，连接CE，则AE=2m，∵AD 是△ABC的中线，∴BD=CD,在△ADB和△EDC中，∵AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，∴△ADB≌△EDC，∴EC=AB=5，在△AEC 中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，∴1＜m＜4，故答案为：1＜m＜4．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．三角形三边关系．17．（2017贵州省黔西南州）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是．【答案】15．【解析】考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．18．（2017四川省巴中市）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满2--=,第三边c为奇数，则c= ．9(2)0a b【答案】9．【解析】试题分析:∵a、b满足2-+-=，∴a=9，b=2，∵a、b、c为三a b9(2)0角形的三边,∴7＜c＜11，∵第三边c为奇数，∴c=9,故答案为：9．考点：1．三角形三边关系;2．非负数的性质:偶次方；3．非负数的性质：算术平方根．19．（2017四川省泸州市)在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE,垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为cm．【答案】45．【解析】试题分析:连接AO并延长,交BC于H，由勾股定理得，DE=22+OE OD =25,∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线，∴BC=2DE=45，OBC=25，∵O 是△ABC的重心，∴AH是中线,又BD⊥CE，∴OH=12是△ABC的重心,∴AO=2OH=45,故答案为：45．考点：1．三角形的重心；2．勾股定理．20．（2017山东省淄博市）设△ABC的面积为1．如图1,分别将AC，BC边2等分,D1，E1是其分点，连接AE1，BD1．交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1=13如图2，分别将AC,BC边3等分,D1,D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2=1；6如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点,连接AE3,BD3交于点F3,得到四边形CD3F3E3,其面积S3=1；10…按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CD n E n F n，其面积S= ．．【答案】2++n n(1)(2)【解析】考点：1．规律型：图形的变化类；2．三角形的面积；3．规律型；4．综合题．三、解答题21．（2017内蒙古呼和浩特市）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．（1）求证:B D=CE；（2）设BD与CE相交于点O,点M，N分别为线段BO和CO的中点,当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．【答案】（1）证明见解析；(2）四边形DEMN是正方形．【解析】试题解析：（1）解:由题意得，AB=AC，∵BD，CE分别是两腰上的中线,∴AD=12AC，AE=12AB，∴AD=AE，在△ABD和△ACE中，∵AB=AC,∠A=∠A，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD=CE；（2）四边形DEMN是正方形，证明：∵E、D分别是AB、AC的中点，∴AE=12AB,AD=12AC，ED是△ABC的中位线，∴ED∥BC，ED=1BC,∵点M、N分别为线段BO和CO中点，∴OM=BM，ON=CN，2BC，∴ED∥MN,ED=MN, MN是△OBC的中位线,∴MN∥BC，MN=12∴四边形EDNM是平行四边形，由(1)知BD=CE，又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM,ON=CN，∴DM=EN，∴四边形EDNM是矩形，在△BDC与△CEB中，∵BE=CD，CE=BD，BC=CB，∴△BDC≌△CEB，∴∠BCE=∠CBD，∴OB=OC,∵△ABC的重心到顶点A的BC，∴BD⊥CE，∴四边距离与底边长相等，∴O到BC的距离=12形DEMN是正方形．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．三角形的重心;3．等腰三角形的性质．【2016年题组】一、选择题1．（2016贵州省铜仁市)如图，已知∠AOB=30°,P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（）A．1B． 2 C．4D．8【答案】B．【解析】考点：1．角平分线的性质；2．含30度角的直角三角形．2．（2016贵州省毕节市）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点【答案】D．【解析】试题分析：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选D．考点：1．线段垂直平分线的性质;2．角平分线的性质．3．（2016广西河池市）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（）A．5，5，10B．4,5,6C．4，4,4 D．3，4，5【答案】A．【解析】考点:三角形三边关系．4．（2016广西百色市）三角形的内角和等于(）A．90°B．180°C．300°D．360°【答案】B．【解析】试题分析：因为三角形的内角和为180度．所以B正确．故选B．考点：三角形内角和定理．5．（2016广西贵港市）在△ABC中，若∠A=95°，∠B=40°，则∠C 的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】C．【解析】试题分析：∵三角形的内角和是180°，又∠A=95°，∠B=40°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣95°﹣40°=45°，故选C．考点：三角形内角和定理．6．（2016江苏省盐城市)若a、b、c为△ABC的三边长，且满足-+-=，则c的值可以为(）420a bA．5B．6C．7D．8【答案】A．【解析】试题分析:∵420-+-=，∴a﹣4=0，a=4；b﹣2=0，b=2；则4﹣2a b＜c＜4+2，2＜c＜6，5符合条件；故选A．考点：1．三角形三边关系;2．非负数的性质：绝对值；3．非负数的性质：算术平方根．7．（2016湖南省岳阳市)下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（)A．2cm，3cm,5cm B．7cm,4cm，2cmC．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm【答案】D．【解析】考点：三角形三边关系．8．(2016贵州省安顺市)已知实数x,y满足480--=，则以x，yx y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对【答案】B．【解析】试题分析:根据题意得:4080x y -=⎧⎨-=⎩，解得：48x y =⎧⎨=⎩．（1)若4是腰长,则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长,则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形,周长为4+8+8=20．故选B ．考点：1．等腰三角形的性质；2．非负数的性质;3．三角形三边关系；4．分类讨论．9．(2016湖北省荆门市）已知3是关于x 的方程2(1)20xm x m -++=的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为( ）A ．7B ．10C ．11D ．10或11【答案】D ．【解析】考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解;3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．10．（2016湖北省襄阳市)如图,AD 是∠EAC 的平分线,AD ∥BC ,∠B=30°，则∠C的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【答案】C．【解析】试题分析:∵AD∥BC,∠B=30°，∴∠EAD=∠B=30°．又∵AD是∠EAC的平分线，∴∠EAC=2∠EAD=60°．∵∠EAC=∠B+∠C,∴∠C=∠EAC﹣∠B=30°．故选C．考点：1．平行线的性质；2．角平分线的定义;3．三角形的外角性质．11．（2016湖北省鄂州市）如图所示,AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E,∠1=50°，则∠2的度数为（)A．50°B．40°C．45°D．25°【答案】B．【解析】考点:1．平行线的性质;2．三角形内角和定理．12．（2016湖北省黄石市)如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D,∠A=50°，则∠BDC=（）A．50°B．100°C．120°D．130°【答案】B．【解析】试题分析:∵DE是线段AC的垂直平分线，∴DA=DC,∴∠DCA=∠A=50°，∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°，故选B．考点：1．三角形的外角性质；2．线段垂直平分线的性质．13．(2016湖南省湘西州）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是(）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对【答案】C．【解析】试题分析:当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，∴周长为13cm；当5cm为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm,5cm，4cm，符合三角形的三边关系，∴周长为14cm，故选C．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．14．(2016青海省）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2680x x-+=的根，则该三角形的周长为（）A．8B．10C．8或10D．12【答案】B．【解析】考点：1．解一元二次方程—因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．15．（2016宁夏）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O,E，F 分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF=2,BD=2,则菱形ABCD 的面积为(）A．22B2C．62D．82【答案】A．【解析】试题分析：∵E，F分别是AD，CD边上的中点,EF=2，∴AC=2EF=22，又∵BD=2,∴菱形ABCD的面积S=12×AC×BD=12×22×2=22A．考点：1．菱形的性质；2．三角形中位线定理．16．(2016广东省广州市）如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线,DE交AB于点D，连接CD，则CD=(）A．3B．4C．4.8D．5【答案】D．【解析】考点：1．线段垂直平分线的性质；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理；4．三角形中位线定理．17．(2016新疆）如图,在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（）A．DE=12BC B．AD AEAB ACC．△ADE∽△ABCD．S△ADE：S△ABC=1：2【答案】D．【解析】试题分析：∵D 、E 分别是AB ．AC 的中点，∴DE ∥BC ,DE =12BC ,∴12AD AE DE ABACBC===，△ADE ∽△ABC ,∴2ΔADE ΔABC 1:()4AD SS AB ==，∴A ，B ，C 正确，D 错误；故选D ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理． 18．（2016广西梧州市）在△ABC 中,AB =3，BC =4,AC =2，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 中点,连接DF 、FE ,则四边形DBEF 的周长是（）A ．5B ．7C ．9D ．11 【答案】B ．【解析】考点：三角形中位线定理．19．（2016陕西省）如图，在△ABC 中,∠ABC =90°，AB =8，BC =6．若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△A BC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B．【解析】试题分析：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC=22+=10，∵DE是△ABC的中位线，86+=22AB BC∴DF∥BM，DE=1BC=3，∴∠EFC=∠FCM,∵∠FCE=∠FCM，2AC=5,∴DF=DE+EF=3+5=8．故∴∠EFC=∠ECF,∴EC=EF=12选B．考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质；3．勾股定理．20．(2016江苏省苏州市）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=22,E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2B．C．D．3【答案】C．【解析】考点:三角形的面积．21．（2016湖北省咸宁市）如图，在△ABC 中，中线BE ,CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论： ①12DE BC=；②ΔDOEΔCOB12SS =；③AD OE AB OB=；④ΔODE ΔADC 13S S = 其中正确的个数有( ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ．【解析】故正确的是①③．故选B．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形的重心．22．（2016湖南省永州市）对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短"的原理B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理【答案】B．【解析】考点:1．圆的认识；2．线段的性质：两点之间线段最短;3．垂线段最短；4．三角形的稳定性．23．(2016内蒙古包头市)如图,点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC=120°，则tanA的值为（）A3B．33C．32D．22【答案】A．【解析】试题分析:∵点O到△ABC三边的距离相等,∴BO平分∠ABC，CO 平分∠ACB，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣2(∠OBC+∠OCB）=180°﹣2×=180°﹣2×=60°,∴tanA=tan60°3A．考点：1．角平分线的性质；2．特殊角的三角函数值．24．（2016江苏省淮安市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再MN的长为半径画弧，两弧交于点P，分别以点M，N为圆心,大于12作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15,则△ABD的面积是（）A．15B．30C．45D．60【答案】B．【解析】考点：角平分线的性质．25．（2016福建省厦门市）如图,DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE【答案】B．【解析】试题分析:∵DE是△ABC的中位线,∴E为AC中点，∴AE=EC，∵CF∥BD，∴∠ADE=∠F,在△ADE和△CFE中，∵∠ADE=∠F，∠AED=∠CEF，AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS)，∴DE=FE．故选B．考点:1．三角形中位线定理；2．全等三角形的判定与性质。

2018中考数学解直角三角形(在实际问题中的运用-含答案)

DABCEF解直角三角形在实际问题中的运用要点一：锐角三角函数的基本概念1。

(·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ,直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ,且CD = 24 m,OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE = 1213． (1)求半径OD ;（2）根据需要，水面要以每小时0。

5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？2.（綦江中考）如图,在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点,AE BC =，DF AE ⊥,垂足为F ,连接DE ．（1）求证：ABE △DFA ≌△;(2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．3、（宁夏中考）如图,在△ABC 中，∠C =90°，sin A =54,AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．OECD4、（肇庆中考）在Rt △ABC 中,∠C = 90°,a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值。

5、(·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠,(1) 求证：AC=BD ； (2）若12sin 13C =，BC =12,求AD 的长．要点二、特殊角的三角函数值一、选择题 1.(·钦州中考）sin30°的值为（）A 3B 2C ．12D 3 2.（长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,452AOC OC ∠==°，B 的坐标为（）A ．(21)，B ．2)，C ．211)， D ．(121)，3.（定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（） A ．8米 B ．3 C 83米 D ．433米 4。

宿迁中考）已知α为锐角,且23)10sin(=︒-α，则α等于( ) Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒80 5。

(完整版)第十八章三角形知识点总结

(完整版)第十八章三角形知识点总结一、基本概念三角形是由三条线段所围成的封闭图形，它是几何学中非常重要的一个概念。

在研究三角形知识时，需要掌握以下基本概念：1. 三边：三角形由三条线段组成，分别称为三边。

记作AB、BC、CA，也可以用小写字母a、b、c表示。

三边：三角形由三条线段组成，分别称为三边。

记作AB、BC、CA，也可以用小写字母a、b、c表示。

2. 三角形的顶点：三角形的一个角的顶点叫做该三角形的顶点，记作A。

三角形的顶点：三角形的一个角的顶点叫做该三角形的顶点，记作A。

3. 三个内角：三角形内部的角叫做三角形的内角。

记作∠B、∠C、∠A，也可以用小写字母α、β、γ表示。

三个内角：三角形内部的角叫做三角形的内角。

记作∠B、∠C、∠A，也可以用小写字母α、β、γ表示。

4. 三个外角：三角形内部每个内角的补角叫做该内角的外角。

记作∠∠B、∠∠C、∠∠A。

三个外角：三角形内部每个内角的补角叫做该内角的外角。

记作∠∠B、∠∠C、∠∠A。

二、三角形的分类根据三边的关系，三角形可以分为以下几种类型：1. 等边三角形：三条边的边长相等，记作ABC。

等边三角形的每个内角都是60°，每个外角都是120°。

等边三角形：三条边的边长相等，记作ABC。

等边三角形的每个内角都是60°，每个外角都是120°。

2. 等腰三角形：两条边的边长相等，记作ABC。

等腰三角形的底边上的两个角是等角。

等腰三角形：两条边的边长相等，记作ABC。

等腰三角形的底边上的两个角是等角。

3. 直角三角形：其中一个角是直角（90°），记作ABC。

直角三角形的斜边是其他两条边的最长边。

直角三角形：其中一个角是直角（90°），记作ABC。

直角三角形的斜边是其他两条边的最长边。

4. 锐角三角形：三个内角都是锐角（小于90°）的三角形。

锐角三角形：三个内角都是锐角（小于90°）的三角形。

2018年中考数学常考知识点整理

2018年中考数学常考知识点整理三角形知识点三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种.它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三条线段不在同一条直线上的条件,如果三条线段在同一条直线上,我们认为三角形就不存在.另外三条线段必须首尾顺次相接,这说明三角形这个图形一定是封闭的.三角形中有三条边,三个角,三个顶点.三角形中的主要线段三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线.这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上,通过作图加以熟练掌握.并且对这三条线段必须明确三点：(1)三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线.(2)三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线,都在三角形内部.而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时,三条高都是在三角形内部,钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上,这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边.(3)在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点.在以后我们可以给出具体证明.今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心.三角形的按边分类三角形的三条边,有的各不相等,有的有两条边相等,有的三条边都相等.所以三角形按边的相等关系分类如下：等边三角形是等腰三角形的一种特例.判定三条边能否构成三角形的依据△ABC的三边长分别是a、b、c,根据公理“连接两点的所有线中,线段最短”.可知：③a+bgt;c,①a+cgt;b,②b+cgt;a定理：三角形任意两边的和大于第三边.由②、③得b―a―c故|a―b|lt;c,同理可得|b―c|lt;a,|a―c|lt;b.lt; p=gt;......lt;lt;点击查阅详情gt;gt;圆的重点知识点一集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合二轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆;2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线;3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线三位置关系：1、点与圆的位置关系:点在圆内 dlt;r 点c在圆内lt;= p=gt;点在圆上 d=r 点B在圆上点在此圆外 dgt;r 点A在圆外2、直线与圆的位置关系:直线与圆相离 dgt;r 无交点直线与圆相切 d=r 有一个交点直线与圆相交 dlt;r p= 有两个交点lt;=gt;3、圆与圆的位置关系:外离(图1) 无交点 dgt;R+r外切(图2) 有一个交点 d=R+r相交(图3) 有两个交点 R-rlt;dlt;r+rlt; p=gt;内切(图4) 有一个交点 d=R-r内含(图5) 无交点 dlt;r-rlt; p=gt;......lt;lt;点击查阅详情gt;gt;反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola）,反比例函数图象中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。

2018中考数学专题复习双等边三角形(无答案)

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双等边三角形1. 如图，正ABC Δ的边长为a ，点P 从点A 出发，沿着高线AD 运动点D 停止，以CP 为边向左下方作正CPQ Δ，连接BQ ，DQ .(1)求证：ACP Δ≌BCQ Δ；(2)在点P 从A 运动到D 的过程中.①当BDQ Δ是等腰三角形时，求BDQ ∠的度数；②DQ 长度的最小值是；③点Q 的运动路径长是；(3)在点P 的运动过程中，设PC AP +21的最小值为m ；当PC AP +21的值最小时，相应地，将点Q 的运动路径长设为n . 则m 与n 之间存在的关系为：=m （用含n 的代数式表示）.2.如图，D 为正ABC Δ中，D 为AB 中点，E 在BC 边上从B 运动到C 停止，以DE 为边向右侧作正DEF Δ，连接AF ，CF .(1)求证：CF EF =；(2)若设正ABC Δ的边长为x ，在E 从B 运动到C 的过程中.①用x 表示AF 长度的最小值；②当AB AF ⊥时，恰好1=CE ，则=x .提示：第1题中，两个等边三角形有公共顶点，本题中的两个等边三角形有没有公共顶点？怎么办？3.如图，动点P 在线段AB 上，从A 运动到B 停止，分别以AP ，BP 为边向上作正APC Δ 和正BPD Δ，连接AD ，BC 交于点Q .(1)经典结论：请尽可能多写一些结论；(2)老题重生：若6=AB ，则在点P 从A 运动到B 的过程中.①PQ 长度的最大值为；②点Q 的运动轨迹长为 .4.(2015武汉改编)如图，ABC Δ与DEF Δ均是边长为2的正三角形，P 为BC 与EF 的中点，DEF Δ绕点P 旋转，直线AD 与CF 交于点Q .(1)若设α=∠CPF ，请用α表示：①=∠QDF ；②=∠QFD ； ③=∠ACQ ；④=∠CAQ ；(2)BQ 长度的最大值是，最小值是 .。

初三数学几何知识点归纳

初三数学几何知识点归纳一、三角形1. 三角形的基本概念- 三角形由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成。

- 三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

例如，若三角形三边为a、b、c，则a + b>c，a - b<c。

2. 三角形的分类- 按角分类：- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

- 直角三角形：有一个角是直角的三角形，直角三角形中斜边最长，两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理a^2+b^2=c^2，其中c为斜边，a、b为两直角边）。

- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。

- 按边分类：- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。

- 等腰三角形：有两边相等的三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

等腰三角形两底角相等（等边对等角），等腰三角形三线合一（底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合）。

- 等边三角形：三边都相等的三角形，等边三角形三个角都是60^∘，等边三角形是特殊的等腰三角形。

3. 三角形的内角和与外角- 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180^∘。

- 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

二、四边形1. 平行四边形- 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

- 性质：- 平行四边形的对边平行且相等。

- 平行四边形的对角相等，邻角互补。

- 平行四边形的对角线互相平分。

- 判定：- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

2. 矩形- 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

- 性质：- 矩形具有平行四边形的所有性质。

2018中考数学知识点：三角形的重心公式证明

2018中考数学知识点：三角形的重心公式证明
重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理来证明。

三角形的重心
已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB 于F。

求证：F为AB中点。

证明：根据燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。

重心的几条性质：
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3
5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线交于一点。

如图，在△ABC中，AD、BE、CF是中线
则AF=FB，BD=DC，CE=EA
∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1
∴AD、BE、CF交于一点
即三角形的三条中线交于一点
其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题，而是综合图形知识要领，这就需要大家准确的分析了。

2018中考数学知识点：三角形垂心的基础公式

2018中考数学知识点：三角形垂心的基础公式三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心，基本上全部的锐角三角形垂心都在在三角形内部。

三角形垂心设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2.1、锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心;3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。

4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。

5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。

7、在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。

8、设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

9、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

10、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短(施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发现)。

11、西姆松定理(西姆松线)：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

12、设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

13、设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。

2018年中考数学知识点总结：直角三角形

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1、有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。

直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。

直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
2、性质
性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
性质2:在直角三角形中，两个锐角互余
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

性质5: 射影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项
∠ACB=90°
CD⊥AB ABCD=ACBC直角三角形的外接圆的半径R=1/2BC,
直角三角形的内切圆的半径r=1/2；
r=AB*AC/
性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。

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2018届中考数学一轮复习讲义第18讲等边三角形

2018届中考数学一轮复习讲义第18讲等边三角形【知识巩固】1.等边三角形的概念：等边三角形(又称正三角形)，为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角的一种。

2.等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形；（4）两个内角都为60°的三角形是等边三角形。

3.等边三角形的性质：（1）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）；（2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线；（3）等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。

(四心合一)；（4）等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)。

【典例解析】典例一、等边三角形概念如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC 沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是【答案】400.【解析】：先证出阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个，据此求出第100个图形中等边三角形的个数．试题解析：如图①∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∵A′B′∥AB，BB′=B′C=12 BC，∴B′O=12AB，CO=12AC，∴△B′OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形．又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，…依次可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个．故第100个图形中等边三角形的个数是：2×100+2×100=400．故答案为：400．【变式训练】如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=1200时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是________．（请写出正确结论的番号）．【答案】①②．【解析】试题分析：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE，在△ABC和△EBF中，∵AB=EB，∠CBA=∠FBE，BC=BF，∴△ABC≌△EBF（SAS），选项①正确；∴EF=AC，又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC，∴EF=AD，同理可得AE=DF，∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；若AB=AC，∠BAC=120°，则有AE=AD，∠EAD=120°，此时AEFD为菱形，选项③错误，故答案为：①②．典例二、等边三角形的判定（2017张家界）如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为6﹣10．【考点】R2：旋转的性质；LE：正方形的性质．【分析】根据旋转的想知道的PB=BC=AB，∠PBC=30°，推出△ABP是等边三角形，得到∠BAP=60°，AP=AB=2，解直角三角形得到CE=2﹣2，PE=4﹣2，过P作PF⊥CD于F，于是得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，∴PB=BC=AB，∠PBC=30°，∴∠ABP=60°，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP=60°，AP=AB=2，∵AD=2，∴AE=4，DE=2，∴CE=2﹣2，PE=4﹣2，过P作PF⊥CD于F，∴PF=PE=2﹣3，∴三角形PCE的面积=CE•PF=×（2﹣2）×（4﹣2）=6﹣10，故答案为：6﹣10．【变式训练】（2017湖南岳阳）如图，⊙O为等腰△ABC的外接圆，直径AB=12，P为弧上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P处切线PD交BQ于点D，下列结论正确的是②③④．（写出所有正确结论的序号）①若∠PAB=30°，则弧的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB；③若PB=BD，则PD=6；④无论点P在弧上的位置如何变化，CPCQ为定值．【分析】①根据∠POB=60°，OB=6，即可求得弧的长；②根据切线的性质以及垂径定理，即可得到=，据此可得AP平分∠CAB；③根据BP=BO=PO=6，可得△BOP是等边三角形，据此即可得出PD=6；④判定△ACP∽△QCA，即可得到=，即CPCQ=CA2，据此可得CPCQ为定值．【解答】解：如图，连接OP，∵AO=OP，∠PAB=30°，∴∠POB=60°，∵AB=12，∴OB=6，∴弧的长为=2π，故①错误；∵PD是⊙O的切线，∴OP⊥PD，∵PD∥BC，∴OP⊥BC，∴=，∴∠PAC=∠PAB，∴AP平分∠CAB，故②正确；若PB=BD，则∠BPD=∠BDP，∵OP⊥PD，∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等边三角形，∴PD=OP=6，故③正确；∵AC=BC，∴∠BAC=∠ABC，又∵∠ABC=∠APC，∴∠APC=BAC，又∵∠ACP=∠QCA，∴△ACP∽△QCA，∴=，即CPCQ=CA2（定值），故④正确；故答案为：②③④．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，切线的性质以及弧长公式的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形，解题时注意：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．典例三、等边三角形的性质（2017广西河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（）A．3 B．4 C．8 D．9【考点】KK：等边三角形的性质；KO：含30度角的直角三角形．【分析】设AD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：设AD=x，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB，∴∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，∴AF=2x，∴CF=12﹣2x，∴CE=2CF=24﹣4x，∴BE=12﹣CE=4x﹣12，∴BD=2BE=8x﹣24，∵AD+BD=AB，∴x+8x﹣24=12，∴x=4，∴AD=4．故选B．【变式训练】（2016·广西百色·3分）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（）A．4 B．32C．23D．2+3【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．【分析】连接CC′，连接A′C交y轴于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，根据等边三角形的性质即可得出四边形CBA′C′为菱形，根据菱形的性质即可求出A′C的长度，从而得出结论．【解答】解：连接CC′，连接A′C交l于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，如图所示．∵△ABC与△A′BC′为正三角形，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，∴四边形CBA′C′为边长为2的菱形，且∠BA′C′=60°，∴A′C=2×23A′B=23．故选C ．典例四、等边三角形的综合应用△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，CD 、AE 交于点F ，∠AFD=60°．（1）如图1，求证：BD=CE ；（2）如图2，FG 为△AFC 的角平分线，点H 在FG 的延长线上，HG=CD ，连接HA 、HC ，求证：∠AHC=60°；（3）在（2）的条件下，若AD=2BD ，FH=9，求AF 长．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AB=BC ，∠BAC=∠C=∠ABE=60°，根据SAS 推出△ABE ≌△BCD ，即可证得结论；（2）根据角平分线的性质定理证得CM=CN ，利用∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE ，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE ，得出∠CEM=∠CGN ，然后根据AAS 证得△ECM ≌△GCN ，得出CG=CE ，EM=GN ，∠ECM=∠GCN ，进而证得△AMC ≌△HNC ，得出∠ACM=∠HCN ，AC=HC ，从而证得△ACH 是等边三角形，证得∠AHC=60°；（3）在FH 上截取FK=FC ，得出△FCK 是等边三角形，进一步得出FC=KC=FK ，∠ACF=∠HCK ，证得△AFC ≌△HKC 得出AF=HK ，从而得到HF=AF+FC=9，由AD=2BD 可知AG=2CG ，再由=，根据等高三角形面积比等于底的比得出===2，再由AF+FC=9求得．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠ACE=60°BC=AC ， ∵∠AFD=∠CAE+∠ACD=60°∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，∴∠BCD=∠CAE，在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD（ASA），∴BD=CE；（2）如图2，作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，∵∠EFC=∠AFD=60°∴∠AFC=120°，∵FG为△AFC的角平分线，∴∠CFH=∠AFH=60°，∴∠CFH=∠CFE=60°，∵CM⊥AE，CN⊥HF，∴CM=CN，∵∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，∴∠CEM=∠CGN，在△ECM和△GCN中∴△ECM≌△GCN（AAS），∴CE=CG，EM=GN，∠ECM=∠GCN，∴∠MCN=∠ECG=60°，∵△ABE≌△BCD，∵AE=CD，∵HG=CD，∴AE=HG，∴AE+EM=HG+GN，即AM=HN，在△AMC和△HNC中∴△AMC≌△HNC（SAS），∴∠ACM=∠HCN，AC=HC，∴∠ACM﹣∠ECM=∠HCN﹣∠GCN，即∠ACE=∠HCG=60°，∴△ACH是等边三角形，∴∠AHC=60°；（3）如图3，在FH上截取FK=FC，∵∠HFC=60°，∴△FCK是等边三角形，∴∠FKC=60°，FC=KC=FK，∵∠ACH=60°，∴∠ACF=∠HCK，在△AFC和△HKC中∴△AFC≌△HKC（SAS），∴AF=HK，∴HF=AF+FC=9，∵AD=2BD，BD=CE=CG，AB=AC，∴AG=2CG，∴==，作GW⊥AE于W，GQ⊥DC于Q，∵FG为△AFC的角平分线，∴GW=GQ，∵===，∴AF=2CF，∴AF=6．【变式训练】（2017江西）我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=BC；②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为4．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=AB′即可解决问题；②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；（2）结论：AD=BC．如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M，首先证明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M，即可解决问题；（3）存在．如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC 于O．想办法证明PA=PD，PB=PC，再证明∠APD+∠BPC=180°，即可；【解答】解：（1）①如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AB=AB′=AC′，∵DB′=DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=120°，∴∠B′=∠C′=30°，∴AD=AB′=BC，故答案为．②如图3中，∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=∠BAC=90°，∵AB=AB′，AC=AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC=B′C′，∵B′D=DC′，∴AD=B′C′=BC=4，故答案为4．（2）结论：AD=BC．理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M∵B′D=DC′，AD=DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′=B′M=AC，∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°，∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC=AM，∴AD=BC．（3）存在．理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．∵∠ADC=150°，∴∠MDC=30°，在Rt△DCM中，∵CD=2，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∴CM=2，DM=4，∠M=60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°，∴EM=BM=7，∴DE=EM﹣DM=3，∵AD=6，∴AE=DE，∵BE⊥AD，∴PA=PD，PB=PC，在Rt△CDF中，∵CD=2，CF=6，∴tan∠CDF=，∴∠CDF=60°=∠CPF，易证△FCP≌△CFD，∴CD=PF，∵CD∥PF，∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP=90°，∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠ADP=60°，∵∠BPF=∠CPF=60°，∴∠BPC=120°，∴∠APD+∠BPC=180°，∴△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”，在Rt △PDN 中，∵∠PDN=90°，PD=AD=6，DN=， ∴PN===．【能力检测】1.已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( )ABC ．32D ．不能确定 [答案]B[考点]勾股定理，三角形面积公式，应用数学知识解决问题的能力。

考点13 三角形-2018年中考数学考点归纳总结

一、三角形的基础知识1．三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．2．三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．学！科网推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．3．三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．二、全等三角形1．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．三、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．四、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．五、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．六、锐角三角函数与解直角三角形1．锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sin A=∠的对边=斜边A ac；余弦：cos A=∠的邻边=斜边A bc；正切：tan A=∠的对边=邻边A ab．2．特殊角的三角函数值3．解直角三角形解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sin A=cos B=ac，cos A=sin B=bc，tan A=ab；（4）sin2A+cos2A=1．4．解直角三角形的应用常用知识（1）仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．（2）坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=hl．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．（3）方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．考向一三角形的三边关系在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断．典例1 下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是A．1 cm，2 cm，3 cm B．2 cm，2 cm，4 cm C．2 cm，3 cm，4 cm D．1 cm，2 cm，5 cm【答案】C1．若一个三角形的三条边长为别是2，2x-3，6，则x的取值范围是__________．考向二三角形的内角和外角在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．典例2 如图，∠ABC =∠ACB ，AD 、BD 、CD 分别平分△ABC 的外角∠EAC 、内角∠ABC 、外角∠ACF ．以下结论：①AD ∥BC ；②∠ACB =2∠ADB ；③∠ADC +∠ABD =90°；④∠BDC =∠BAC ．其中正确的结论有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】①∵AD 平分△ABC 的外角∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ，∵∠EAC =∠ACB +∠ABC ，且∠ABC =∠ACB ，∴∠EAD =∠ABC ，∴AD ∥BC ，故①正确；②由①可知AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ，∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD =∠DBC ，∴∠ABC =2∠ADB ，∵∠ABC =∠ACB ，∴∠ACB =2∠ADB ，故②正确；③在△ADC 中，∠ADC +∠CAD +∠ACD =180°，∵CD 平分△ABC 的外角∠ACF ，∴∠ACD =∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠ADC =∠DCF ，∠ADB =∠DBC ，∠CAD =∠ACB ，∴∠ACD =∠ADC ，∠CAD =∠ACB =∠ABC =2∠ABD ，∴∠ADC +∠CAD +∠ACD =∠ADC +2∠ABD +∠ADC =2∠ADC +2∠ABD =180°，∴∠ADC +∠ABD =90°，故③正确； ④∵∠BAC +∠ABC =∠ACF ，∴12∠BAC +12∠ABC =12∠ACF ，∵∠BDC +∠DBC =12∠ACF ，∴12∠BAC + 12∠ABC =∠BDC +∠DBC ，∵∠DBC =12∠ABC ，∴12∠BAC =∠BDC ，即∠BDC =12∠BAC ，故④错误，故选C ．学￥科网【名师点睛】本题主要考查了三角形的内角和、平行线的判定和性质、三角形外角的性质等知识，解题的关键是正确找各角的关系．2．如图，CE 是△ABC 的外角ACD ∠的平分线，若3560，B ACE ∠=︒∠=︒，则A ∠=__________．3．如图，在△ABC 中，∠ACB =68°，若P 为△ABC 内一点，且∠1=∠2，则∠BPC =__________．考向三三角形中的重要线段三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形．典例3 在△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =2，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，AC 中点，连接DF ，FE ，则四边形DBEF 的周长是A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】B【名师点睛】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．典例4 如图，点G 为△ABC 的重心，则S △ABG ∶S △ACG ∶S △BCG 的值是A ．1∶2∶3B ．2∶1∶2C ．1∶1∶1D ．无法确定【答案】C【解析】如图，分别延长AG 、CG 、BG ，交BC 、AB 、AC 于点D 、F 、E ，根据三角形重心的定理得到AD 、BE 、CF 是△ABC 的中线，根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形可得，ABD ACD BDG CDG S S S S ∆∆∆==，即可得ABG ACG S S ∆∆=，同理可得ABG BCG S S ∆∆=，所以=ABG BCG ACG S S S ∆∆∆=，即S △ABG ∶S △ACG ∶S △BCG =1∶1∶1，故选C ．4．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于D点，AB=4，BD=5，点P是线段BC上的一动点，则PD的最小值是__________．考向四全等三角形1．判定两个三角形全等一般可以从三个角度考虑：（1）从三边考虑；（2）从两边和它们的夹角考虑；（3）从两角和夹边考虑．2．轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等．典例5 如图，已知∠ADB=∠CBD，下列所给条件不能证明△ABD≌△CDB的是A．∠A=∠C B．AD=BC C．∠ABD=∠CDB D．AB=CD【答案】D【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，①三边对应相等的两个三角形全等，简记为“SSS”；②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS”；③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简记为“ASA ”；④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为“AAS ”；⑤斜边及一直角边对应相等的两个三角形全等，根据这几种判定方法解答即可．5．如图，正方形ABCD 中，BD 是对角线，将△DCB 绕点D 顺时针旋转45︒得到△DGH ，HG 交AB 于点E ，图中全等三角形共有A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对6．如图，在△BCE 中，AC ⊥BE ，AB =AC ，点A 、点F 分别在BE 、CE 上，BF 、AC 相交于点D ，BD =CE ．求证：AD =AE ．考向五等腰三角形1．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．2．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 3．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 4．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例6 等腰三角形的一个内角为70°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是A．35°B．20°C．35°或20°D．无法确定【答案】C【解析】70°是顶角，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是35°，70°是底角，顶角是40°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是20°，故选C．典例7 如图，等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，在底边BC上截取BD=AB，过D作DE⊥BC交AC于E，连接AD，则图中等腰三角形的个数是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【名师点睛】此题考查了等腰三角形的性质和判定以及三角形的内角和定理，由已知的条件利用相关的性质，求得各个角的度数是正确解题的关键.7．等腰三角形的周长为15 cm，其中一边长为3 cm．则该等腰三角形的腰长为A．3 cm B．6 cm C．3 cm或6 cm D．3 cm或9 cm考向六直角三角形与勾股定理在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例8 下列几组数：①6，8，10；②7，24，25；③9，12，15；④n2-1，2n，n2+1（n）（n是大于1的整数），其中是勾股数的有A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】D【解析】①∵62+82=100=102，∴6、8、10是勾股数；②∵72+242=252，∴7，24，25是勾股数；③∵92+122=152，∴9，12，15是勾股数；④∵（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴n2-1，2n，n2+1（n）（n是大于1的整数）是勾股数，故选D．【名师点睛】本题考查了勾股数的判断，解题的关键是根据勾股数的定义分别对每一组数进行分析．典例9 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=12AD=3，故答案为：3．8．如图，一圆柱高8 cm cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是A．12 cm B．10 cmC．8 cm D．6 cm9．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC tan∠ABC D是AC的中点．（1）求线段BD的长；（2）点E在边AB上，且CE=CB，求△ACE的面积．考向七锐角三角函数与解直角三角形解直角三角形的应用可解决的问题（1）测量物体的高度；（2）测量河的宽度；（3）解决航海航空问题；（4）解决坡度问题；（5）解决实际生活中其他问题.典例10 在△ABC 中，∠C =90°，sin A =1213，则tan A 的值为 A ．1213 B ．513 C ．125 D ．1312【答案】C【解析】∵sin A =BC AB =1213，∴设BC =12x ，AB =13x ，由勾股定理得：AC x ，∴tan A =BC AC =125，故选C ．典例11 某山的山顶B 处有一个观光塔，已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC 为30°，山高BC 为100米，点E 距山脚D 处150米，在点E 处测得观光塔顶端A 的仰角为60°，则观光塔AB 的高度是A ．50米B ．100米C ．125米D ．150米【答案】A 【解析】如图，作EF ⊥AC 于F ，EG ⊥DC 于G ，在Rt △DEG 中，EG =12DE =75，∴BF =BC -CF =BC -CE =100-75=25，EFAEF =60°，∴∠A =30°，∴AF， ∴AB =AF -BF =50（米），故观光塔AB 的高度为50米，故选A ．10．正方形网格中，△ABC 如图放置，则sin ∠BAC=ABCD ．121311．如图，某湖心岛上有一亭子A ，在亭子A 的正东方向上的湖边有一棵树B ，在这个湖心岛的湖边C 处测得亭子A 在北偏西45︒方向上，测得树B 在北偏东36︒方向上，又测得B 、C 之间的距离等于200米，求A 、B 之间的距离（结果精确到1米）．学！科网1.414≈，sin360.588︒≈，cos360.809︒≈，tan360.727︒≈，cot36 1.376︒≈）1．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2-c2，则此三角形是A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形2．如图，已知△ABC≌△EDF，点F，A，D在同一条直线上，AD是∠BAC的平分线，∠EDA=20°，∠F=60°，则∠DAC的度数是A．50°B．60°C．100°D．120°3．如图，△ABC中，∠A=30°，tan B=2，AC=AB的长为A．B．C．5 D．9 24．如图，△ABC中，AB=6，AC=4，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB 于G，连接EF，则线段EF的长为__________．5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．6．如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为__________．7．如图，测量河宽AB（河的两岸平行），在C点测得∠ACB=32°，BC=60 m，则河宽AB约为__________m．（用科学计算器计算，结果精确到0.1）8．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；（2）作图：在△BED中作出BD边上的高EF和BE边上的高DG；（3）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高EF为多少？若BE=6，求△BED中BE 边上的高DG为多少？9．如图，点D，E分别在AB，AC上，且AD=AE，∠BDC=∠CEB．求证：BD=CE．10．如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC，分别以BC和AC为直角边向上作等腰直角三角形△BCD和△ACE，AE与BD相交于点F，连接CF并延长交AB于点G．求证：CG垂直平分AB．11．如图，一架2.5 m长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B距底端O为0.7 m．（1）求OA的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？12．如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时测得小船C的俯角是∠FDC=30°BG=1.5米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i=4∶3，坡长AB=10米，点A、B、C、D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长是多少？（结果保留根号）1．（2017•大庆）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2∶3∶4，则∠B的度数为A．120°B．80°C．60°D．40°2．（2017•广州）如图，Rt△ABC AB=__________．3．（2017•抚顺）如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为__________米（结果保留根号）．4．（2017•大庆）如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A ，小明在岸边点B 处测得点A 在点B 的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80 m 后到达点C ，测得点A 在点C 的北偏西60°方向上，则点A 到河岸BC 的距离为__________．5．（2017•广州）如图，点E ，F 在AB 上，，，AD BC A B AE BF =∠=∠=．求证：△ADF ≌△BCE ．6．（2017•张掖）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A ，B 两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D 进行了测量．如图，测得∠DAC =45°，∠DBC =65°．若AB =132米，求观景亭D 到南滨河路AC 的距离（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）．7．（2017•重庆A卷）在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图①，若AB BC=5，求AC的长；（2）如图②，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．。

初中三角形知识点整理

初中三角形知识点整理
目录：
1. 三角形的定义
1.1 三角形的构成要素
1.1.1 三角形的三条边
1.1.2 三角形的三个顶点
1.1.3 三角形的三个内角
1.2 三角形的分类
1.2.1 根据边长分类
1.2.2 根据角度分类
1.2.3 根据边和角的关系分类
1.3 三角形的性质
1.3.1 三角形内角和
1.3.2 三角形外角和
1.3.3 三角形的周长
2. 三角形的特殊情况
2.1 等边三角形
2.2 等腰三角形
2.3 直角三角形
2.4 斜角三角形
3. 三角形的相关定理
3.1 直角三角形的勾股定理
3.2 等腰三角形的性质
3.3 等边三角形的性质
4. 三角形的周长和面积计算
4.1 周长的计算方法
4.2 面积的计算方法
5. 三角形的应用
5.1 三角形在建筑中的应用
5.2 三角形在工程中的应用
5.3 三角形在日常生活中的应用
6. 三角形的综合题型解析
6.1 三角形的基础题型
6.2 三角形的综合题型
7. 三角形的拓展知识
7.1 三角形的外接圆和内切圆
7.2 钝角三角形的性质
7.3 锐角三角形的性质
8. 总结讨论
（注：具体内容请使用文字描述，并不得出现任何数字和符号。

）。

2018中考数学必考知识点：轴对称与轴对称图形-等边三角形

2018中考数学必考知识点：轴对称与轴对称图形/等边三角形轴对称与轴对称图形
1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。

2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

注意：对称轴是直线而不是线段
3.轴对称的性质：
(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;
(2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;
(3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上;
(4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

等边三角形的性质：
(1)等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°;
(2)等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且在每条边上都有“三线合一”。

因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，而等腰三角形(非等边三角形)只有一条对称轴。

判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

说明：等边三角形是一种特殊的三角形，容易知道等边三角形的三条高(或三条中线、三条角平分线)都相等。

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2018中考数学三角形知识点汇总
相似三角形
所谓的相似三角形,就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。

三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形的判定方法有：
平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似，
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似，
直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

射影定理
相似三角形的性质
1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方
三角形的三边关系定理及推论：
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形；
②当已知两边时，可确定第三边的范围；
③证明线段不等关系
三角形的三边关系：
在三角形中，任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边。

设三角形三边为a,b,c
则
a+b>c
a+c>b
b+c>a
a-b
a-c
b-c
在直角三角形中，设a、b为直角边，c为斜边。

则两直角边的平方和等于斜边平方。

在等边三角形中，a=b=c
在等腰三角形中，a,b为两腰，则a=b
在三角形ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c的情况下，
c2=a2+b2-2abcosc
相似三角形的判定方法
由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。

所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：
（1）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；
（2）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；
（3）如果一个三角形的两个角和另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

与三角形有关的线段
1、三角形的边
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。

顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

三角形两边的和大于第三边。

2、三角形的高、中线和角平分线
3、三角形的稳定性
三角形具有稳定性。

角平分线的性质及判定：
性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。

判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上
全等图形、全等三角形：
1.全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形。

2.全等图形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。

3.全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。

同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三
角形的周长，面积也都相等。

这里要注意：（1）周长相等的两个三角形，不一定全等；（2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。

全等三角形的判定：
1.一般三角形全等的判定
（1）边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“SSS”）。

（2）边角公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“SAS”)。

（3）角边角公理：两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“ASA”)。

（4）角角边定理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“AAS”)。

2.直角三角形全等的判定
利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等．
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“HL”)．
注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。

三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

三角形的内角和定理及推论：
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：
（1）直角三角形的两个锐角互余。

（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

三角形的外角：
三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。

三角形的外角特征：
①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC
边的延长线。

性质：
①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。

②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

④. 三角形的外角和等于360°。

设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。

定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。

定理：三角形的三个内角和为180度。