数列求和常用方法

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数列求和常用方法
数列求和是数学中的一个重要内容,它涉及到数学中的序列和级数的
概念。

数列求和常用的方法有多种,包括公式求和法、递推公式法、夹逼
定理法等,下面将为大家详细介绍这些方法。

一、公式求和法
公式求和法是一种常用的数列求和方法,它适用于一些特殊的数列。

在应用这种方法求和时,首先需要找到数列的通项公式,然后利用该公式,通过变量的代入与简化运算,得到数列的和。

以等差数列为例,假设等差数列的首项为a1,公差为d,它的通项公
式为an=a1+(n-1)d。

此时,可以根据等差数列和的公式Sn=n(a1+an)/2
来求得等差数列的和。

例如,求等差数列1,4,7,10,13,16,……的前n项和。

根据等
差数列的通项公式an=1+(n-1)3,可得:
Sn=n(1+1+(n-1)3)/2=n(2+3n)/2=(3n²+2n)/2
通过利用公式Sn=n(2+3n)/2,可以求得等差数列的和。

同样的方法,可以利用等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)和等比数
列和的公式Sn=a1(q^n-1)/(q-1),来求解等比数列的和。

二、递推公式法
递推公式法是利用数列的递推关系求解数列的和,它适用于那些不能
通过通项公式求和的数列。

递推公式法通常需要利用数列的递归关系和已知的初始项来定义一个逐项相加的函数,从而得到数列的和。

例如,求斐波那契数列1,1,2,3,5,8,……的前n项和。

首先可以得到斐波那契数列的递归关系f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中f(1)=1,f(2)=1
然后可以利用这个递归关系,定义一个逐项相加的函数S(n),表示斐波那契数列的前n项和。

初始条件为S(1)=1,S(2)=2
那么根据递推公式可以得到S(n)=S(n-1)+f(n),其中f(n)表示斐波那契数列的第n项。

通过递推公式法,可以求解斐波那契数列的和。

三、夹逼定理法
夹逼定理法适用于求解一些无限项和的问题,它是通过将无限项和的部分项与一个已知的无限项和进行夹逼,从而求出无限项和的方法。

例如,求解无限几何级数1/2,1/4,1/8,1/16,……的和。

根据几何级数的通项公式an=a1*q^(n-1),其中a1=1/2,q=1/2
无限几何级数的和是一个无限项和的极限,它可以通过夹逼定理法求得。

夹逼定理法的思路是,将无限项和的部分项与一个已知的无限项和相比较,通过缩小部分项与已知无限项和的差的范围,从而得出无限项和的结果。

以无限几何级数为例,可以将部分项S(n)=1/2+1/4+1/8+……与已知的无限几何级数S=1进行比较。

当n趋向于无穷大时,S(n)的值越来越接近于S。

通过限定n的取值
范围,接近S的程度可以任意提高。

通过夹逼定理法,可以确定无限几何级数1/2,1/4,1/8,
1/16,……的和为1
综上所述,公式求和法、递推公式法和夹逼定理法是数列求和常用的
方法。

根据具体的数列类型以及求和的问题,可以选择合适的方法进行求解。

在实际应用中,需要根据题目的要求和所给条件,灵活运用这些方法,得到准确的数列和的结果。

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