(新课标)2020版高考数学总复习第十章第三节几何概型练习文新人教A版

第三节几何概型
A组基础题组
1.(2019湖南益阳、湘潭调研)若正方形ABCD的边长为4,E为四边上任意一点,则AE的长度大于5的概率等于( )
A. B. C. D.
答案 D 设M,N分别为BC,CD上靠近点C的四等分点,则当E在线段CM,CN(不包括M,N)上时,AE的长度大于5,因为正方形的周长为16,CM+CN=2,所以AE的长度大于5的概率为=,故选D.
2.(2018湖南郴州第二次教学质量检测)如图是一边长为8的正方形苗圃图案,中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心,圆与圆之间是相切的,且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点,则该点取自黑色区域的概率为( )
A. B. C.1- D.1-
答案 C 正方形的面积为82=64,内切圆半径为4,中间黑色大圆的半径为2,黑色小圆的半径为1,所以白色区
域的面积为π×42-π× 2-4×π× 2=8π,所以黑色区域的面积为64-8π,所以在正方形图案上随机取一点,该
=1-,故选C.
点取自黑色区域的概率P= 4-
4
3.从区间[0,1]内随机抽取2n个数x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y n,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A.4
B.
C.4
D.
答案 C 如图,数对(x i,y i)(i= , ,…,n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界),两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分,不包括弧AC)内,则由几何概型的概率公式可得
=4⇒π=4.故选C.
4.(2019河南正阳模拟)已知圆C:x2+y2=1,直线l:y=k(x+2),在[-1,1]上随机选取一个数k,则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为( )
A. B.-
C.-
D.-
答案 C 圆C:x2+y2=1的圆心C(0,0),半径r=1,圆心到直线l:y=k(x+2)的距离d=
(- )
=,直线l与圆C
相离时d>r,即>1,解得k<-或k>,故所求的概率P=
-
-(- )
=-.
5.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案,它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆O被函数y=3sin x 的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图所示),其中小圆的半径均为1,现从大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为.
答案
解析函数y=3sin x的图象与x轴相交于点(0,0),(6,0)和点(-6,0),则大圆的半径为6,面积为36π,而小圆的半径为1,两个小圆的面积和为2π,所以所求的概率是=.
6.如图所示,OA=1,在以O 为圆心,OA 为半径的半圆弧上随机取一点B,则△AOB 的面积小于 4
的概率为 .
答案
解析 ∵OA= ,若△AOB 的面积小于 4
,则
× × ×sin∠AOB< 4
,∴sin∠AOB<
,∴ <∠AOB<
或
<∠AOB<π,∴△AOB 的面积小于 4
的概率为
.
7.(2018河北唐山五校联考)向圆(x-2)2
+(y- )2
=4内随机投掷一点,则该点落在x 轴下方的概率为 .
答案 -
4
解析 圆(x-2)2+(y- )2
=4与x 轴的交点坐标为(1,0),(3,0),设A(1,0),B(3,0),圆心C(2, ),易得三角形ABC 是边长为2的正三角形,所以圆(x-2)2
+(y- )2
=4在x 轴下方的面积为4
- =
- ,则该点落在x 轴下方
的概率P=
- 4
= -
4
. 8.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,在正方体内随机取一点M.
(1)求四棱锥M-ABCD 的体积小于
的概率; (2)求M 落在三棱柱ABC-A 1B 1C 1内的概率.
解析 (1)设四棱锥M-ABCD 的高为h,
令
S 四边形ABCD ·h=
, ∵S 四边形ABCD =1,
∴h=.
若四棱锥M-ABCD的体积小于,则h<,
即点M在正方体的下半部分,
∴P=正方体
正方体
=.
( )∵V三棱柱=× 2× =,
∴所求概率P1=三棱柱
正方体
=.
9.已知向量a=(2,1),b=(x,y).
(1)若x∈{- , , , },y∈{-1,0,1},求向量a∥b的概率;
(2)若x∈[- , ],y∈[-1,1],求向量a,b的夹角是钝角的概率.
解析(1)设“a∥b”为事件A,由a∥b,得x=2y.所有基本事件为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-
1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1),共12个基本事件.其中A={(0,0),(2,1)},包含2个基本事件.
则P(A)==,即向量a∥b的概率为.
(2)设“a,b的夹角是钝角”为事件B,由a,b的夹角是钝角,可得a·b< ,即2x+y<0,且x≠ y.基本事件为
(,)-
-
所表示的区域,
B=(,)-
-
,
如图,区域B为图中阴影部分去掉直线x-2y=0上的点,
所以P(B)==,
即向量a,b的夹角是钝角的概率是.
B组提升题组
1.在如图所示的圆形图案中有12片树叶,构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为,若在圆内随机取一点,则
此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )
A.2-
B.4-
C.-
D.
=4πr2-
答案 B 设圆的半径为r,根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S=24-
4
6r2,圆的面积S'=πr2,所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为=4-,故选B.
2.已知P是△ABC所在平面内一点,++2=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内的概率是( ) A.
B. C. D.
4
答案 C 如图所示,设点M是BC边的中点,因为++2=0,所以点P是中线AM的中点,所以黄豆落在△PBC内的概=,故选C.
率P=△
△
3.已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的
小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是.
(1)求n的值;
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球的标号为a,第二次取出的小球的标号为b.
(i)记“a+b= ”为事件A,求事件A发生的概率;
(ii)在区间[0,2]内任取2个实数x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”发生的概率.
解析(1)依题意得=,所以n=2.
(2)(i)记标号为0的小球为s,标号为1的小球为t,标号为2的小球为k,h,则取出2个小球的可能情况
有:(s,t),(s,k),(s,h),(t,s),(t,k),(t,h),(k,s),(k,t),(k,h),(h,s),(h,t),(h,k),共12种,其中满足
“a+b= ”的有4种:(s,k),(s,h),(k,s),(h,s).所以所求概率P(A)=4=.
(ii)记“x2+y2>(a-b)2恒成立”为事件B,则事件B等价于“x2+y2>4恒成立”,(x,y)可以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域Ω={(x,y) ≤x≤ , ≤y≤ ,x,y∈R},而事件B构成的区域
.
B={(x,y)|x2+y2>4,(x,y)∈Ω},所以所求的概率P(B)=-4=1-
4
4.已知关于x的二次函数f(x)=b2x2-(a+1)x+1.
(1)若a,b分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次向上一面出现的点数,求y=f(x)恰有一个零点的概率;
(2)若a,b∈[ , ],求y=f(x)有零点的概率.
解析(1)设(a,b)表示一个基本事件,则抛掷两次骰子的所有基本事件有
( , ),( , ),( , ),( ,4),( , ),( , ),( , ),( , ),…,( , ),( , ),共36个.
用A表示事件“y=f(x)恰有一个零点”,令Δ=[-(a+1)]2-4b2=0,则a+1=2b,则A包含的基本事件有
(1,1),(3,2),(5,3),共3个,所以P(A)==.
所以事件“y=f(x)恰有一个零点”发生的概率为.
(2)用B表示事件“y=f(x)有零点”,则B即为“a+ ≥ b”.
试验的全部结果所构成的区域为{(a,b) ≤a≤ , ≤b≤ },构成事件B的区域为{(a,b) ≤a≤ , ≤b≤ ,a-
b+ ≥ },如图:
所以所求的概率为P(B)=
=
4.
所以事件“y=f(x)有零点”发生的概率为 4
.。