2018年全国高中数学竞赛试题

2018年全国高中数学竞赛试题
一、选择题（每题4分，共24分）
函数f(x)=4−x2的定义域是（）.
A. [−2,2]
B. (−2,2)
C. [0,2]
D. (0,2)
下列命题中，正确的是（）.
A. 若α⊂β，则α∩β=α
B. 若直线l与平面α平行，则l与α内的所有直线平行
C. 若直线l与平面α相交，则l与α内的无数条直线垂直
D. 若平面α∥β，直线a⊂α，则a∥β
若x,y∈R，且xy=0，则“x>y”是“x1<y1”的（）.
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
已知tanα=21，则sin2α=（）.
A. 51
B. 52
C. 54
D. 53
设Sn为等比数列{an}的前n项和，若S3,S9−S3,S15−S9成等差数列，则公比q为（）.
A. 2
B. −2
C. 21
D. −21
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=2,b=4,cosC=41，则sinB=（）.
A. 815
B. 16315
C. 23
D. 415
二、填空题（每题5分，共20分）
函数y=log2(x2−2x−3)的定义域是_______.
若直线l与平面α垂直，则l与α内所有直线所成的角中（）.
A. 必有一个是直角
B. 必有一个是锐角
C. 必有一个是钝角
D. 都是直角
已知函数f(x)=x3−3x2+2x，则f′(x)= _______.
在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sinA:sinB:sinC=3:5:7，则cosC= _______.
三、解答题（共56分）
（12分）求函数f(x)=x+1x2−1在x=2处的导数值.
（12分）已知数列{an}满足a1=1，且an+1=2an+1，求数列{an}的通项公式.
（12分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=2,b=3,cosC=31。

（1）求sinB的值；
（2）求△ABC的面积。