专题二 一次函数与二元一次方程组问题 2020年中考数学冲刺难点突破 一次函数问题(原卷版)

2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题
专题二一次函数与二元一次方程组问题
【知识点总结】
一、二元一次方程与一次函数的关系
若k，b表示常数且k≠0，则y－kx＝b为二元一次方程，有无数个解；
将其变形可得y＝kx＋b，将x，y看作自变量、因变量，则y＝kx＋b是一次函数．
事实上，以方程y－kx＝b的解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝kx＋b的图象相同．
二、用图象法求二元一次方程组的近似解
用图象法求二元一次方程组的近似解的一般步骤：
1、先把方程组中两个二元一次方程转化为一次函数的形式：y1＝k1x＋b1和y2＝k2x＋b2；
2、建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；
3、写出这两条直线的交点的横纵坐标，这两个数的值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x，纵坐标是y.
三、利用二元一次方程组确定一次函数的表达式
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．因此一次函数与二元一次方程组有密切联系．
利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的一般步骤如下：
1、写出函数表达式：一次函数y＝kx＋b；
2、把已知条件代入，得到关于k，b的方程组；
3、解方程组，求出k，b的值，写出其表达式．
【针对训练】
1、在平面直角坐标系中，已知点A（x，y），点B（x﹣my，mx﹣y）（其中m为常数，且m≠0），则称B是点
A的“m族衍生点”．例如：点A（1，2）的“3族衍生点”B的坐标为（1﹣3×2，3×1﹣2），即B（﹣5，1）．
（1）点（2，0）的“2族衍生点”的坐标为；
（2）若点A的“3族衍生点”B的坐标是（﹣1，5），则点A的坐标为；
（3）若点A（x，0）（其中x≠0），点A的“m族衍生点“为点B，且AB＝OA，求m的值；
（4）若点A（x，y）的“m族衍生点”与“﹣m族衍生点”都关于y轴对称，则点A的位置在．
2、阅读材料：
我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC≌△CEB．
（1）探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC∽△CEB．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝，请你求出直线CD的解析式．
（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接BE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．
3、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B；直线y═x+6
过点B和点C，且AC⊥x轴．点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴向点O运动，同时点N 从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AC向点C运动，当点M到达点O时，点M、N同时停止运动，设点M运动的时间为t（秒），连接MN．
（1）求直线y＝kx+b的函数表达式及点C的坐标；
（2）当MN∥x轴时，求t的值；
（3）MN与AB交于点D，连接CD，在点M、N运动过程中，线段CD的长度是否变化？如果变化，请直接写出线段CD长度变化的范围；如果不变化，请直接写出线段CD的长度．
4、如图，直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线y＝x+3交y轴于点C，两直线相交于点
D．
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，过点A作AE∥y轴交直线y＝x+3于点E，连接AC，BE．求证：四边形ACBE是菱形；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段BC上，点G在线段AB上，连接CG，FG，当CG＝FG，且∠CGF＝∠ABC时，求点G的坐标．
5、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，
与l1相交于点C．
（1）求点D的坐标；
（2）在y轴上一点E，若S△ACE＝S△ACD，求点E的坐标；
（3）直线l1上一点P（1，3），平面内一点F，若以A、P、F为顶点的三角形与△APD全等，求点F的坐标．
6、如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B（﹣4，3）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）点P是线段AB上的一点，当S△AOP：S△AOB＝2：3时，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段AB绕点A顺时针旋转120°，点B落在点C处，连结CP，求△APC的面积，并直接写出点C的坐标．
7、如图，正方形AOBC的边长为2，点O为坐标原点，边OB，OA分别在x轴，y轴上，点D是BC的中点，
点P是线段AC上的一个点，如果将OA沿直线OP对折，使点A的对应点A′恰好落在PD所在直线上．（1）若点P是端点，即当点P在A点时，A′点的位置关系是，OP所在的直线是，当点P在C点时，A′点的位置关系是，OP所在的直线表达式是．
（2）若点P不是端点，用你所学的数学知识求出OP所在直线的表达式．
（3）在（2）的情况下，x轴上是否存在点Q，使△DPQ的周长为最小值？若存在，请求出点Q的坐标；
若不存在，请说明理由．
8、如图1，直线y＝﹣x+b分别与x轴，y轴交于A（6，0），B两点，过点B的另一直线交x轴的负半轴
于点C，且OB：OC＝3：1
（1）求直线BC的解析式；
（2）直线y＝ax﹣a（a≠0）交AB于点E，交BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线EF，使S
＝S△BDF？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
△BDE
（3）如图2，点P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变，求出它的坐标；
如果会发生变化，请说明理由．
9、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于
点C，且AB＝BC．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC延长线上一点，且AP＝CQ，PQ交x轴于N，设点Q横坐标为m，△PBQ的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点M在y轴负半轴上，且MP＝MQ，若∠BQM＝45°，求直线PQ的解析式．
10、已知：在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是x轴正半轴上
一点，AB＝AC，连接BC．
（1）如图1，求直线BC解析式；
（2）如图2，点P、Q分别是线段AB、BC上的点，且AP＝BQ，连接PQ．若点Q的横坐标为t，△BPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E是线段OA上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，使翻折后的点A 落在y轴上的点H处，点F在y轴上点H上方EH＝FH，连接EF并延长交BC于点G，若BG＝AP，连接PE，连接PG交BE于点T，求BT长．
11、如图，已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．
（1）求△AOB的面积：
（2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标．
（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当△BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标．。