数理统计与随机过程(涂然)-第9课
数理统计与随机过程
数理统计与随机过程1. 介绍2. 数理统计概述2.1 统计学的定义统计学是一门研究如何收集、整理、分析和解释数据的学科。
它利用数理统计方法和技巧来从已有数据中获取有关现象和问题的信息。
2.2 数理统计的重要性•数理统计可以帮助我们理解和解释现象和问题，从数据中提取有用信息。
•数理统计可以帮助我们做出合理的决策，并评估决策的风险和效果。
•数理统计是其他学科研究的重要工具，如经济学、社会学、医学等。
3. 数理统计的基本概念3.1 总体与样本•总体：研究对象的全体。
•样本：从总体中抽取出的一部分数据。
3.2 参数与统计量•参数：用于描述总体特征的数值。
•统计量：用于描述样本特征的数值。
3.3 随机变量与概率分布•随机变量：取值不确定的变量。
•概率分布：描述随机变量取值的概率情况。
4. 数理统计的基本方法4.1 描述统计描述统计是通过对数据进行整理、分类、计算和统计来描述和总结数据的基本特征。
•频数分布表：将数据按照不同取值分组统计出现次数。
•频数分布直方图：用柱状图表示不同频数的分布情况。
•平均数：描述数据的集中趋势。
•方差：描述数据的离散程度。
4.2 推断统计推断统计是通过样本对总体进行推断和估计。
•置信区间：估计总体参数的区间范围。
•假设检验：对总体参数的假设进行检验。
5. 随机过程概述5.1 随机过程的定义随机过程是一组随机变量的集合，这些随机变量依赖于一个或多个参数，并且随着参数变化而改变。
5.2 随机过程的分类•马尔可夫过程：未来状态只与当前状态有关。
•广义马尔可夫过程：未来状态与当前状态及历史状态有关。
•马尔可夫链：具有马尔可夫性质的离散时间的随机过程。
6. 数理统计与随机过程的应用6.1 金融领域在金融领域，数理统计和随机过程被广泛应用于风险评估、资产定价和投资组合管理等。
6.2 生物医学领域在生物医学领域，数理统计和随机过程被用于疾病诊断、药物研发和生物信息学等。
6.3 工程领域在工程领域，数理统计和随机过程被应用于质量控制、可靠性分析和网络通信等。
数理统计与随机过程讲义
=q(t) r e ，为非平凡(非零)有界解，这里•为状态转移概率 那么我们有分布函数F (t) = P(x 乞 t) = 1 _ P(x t) = 1 _ q(t) = 1 _ e —'t因此得到指数分布 Ye 」t_00 other两个指数分布之和的分布？f(t) dF(t) dt 《数理统计与随机过程讲义》段法兵复杂性科学研究所第一章概率论回顾F 面是数理统计部分需要的掌握的，许多推导的基础知识§1.1几种分布的由来指数分布：服务台电话呼叫时间，公交车到达一个车站时间，这些时间分布的符合指数分布。
设q(t)为区间t 上没有事件发生的概率，x 为第一次事件发生等待 的时间，那么q(t)二P(x .t)，假设不同时间区间t i ，t 2相互不重叠且独立，那么 P(x tJP(x t 2) = P(x t 1 t 2)=q(t i )q(t 2)=q(t i t ?)在x-y的空间内，满足x • y乞z的区域如上，那么z的累计分布f z (z)二 f x (x) * f y (y)= F(z) = P& + y wz}= (dy(」f xy (x,y)dx那么f z (zH-d FjZ Z^ " 0f x (x )f y (^x)dx 例如x 与y 为相互独立的指数分布，f x (x)二(厂和f y (y)二，e_y 分别为其概率分 布函数，那么z = x+y 的分布为，2e —'X e-'(z 」)dx = z ・2e 」z ， 0Gamma 分布：N 个指数分布的随机变量之和的分布为 Gamma 分布。
例如x 与y 为相互独立的指数分布，f x (x)二’e"和f y (y)二分别为其概率分 布函数，那么z 二x+y 的分布为z n - n f z (z) = f x (x) * f y (y)=［扎eF/Jdx = zfb如此卷积下去，N 个相互独立的指数分布相加的概率分布为 Gamma 分布，其概 率密度函数这里参数〉，■：':0。
数理统计与随机过程
数理统计与随机过程一、数理统计的基本概念和方法1.1 数理统计的定义数理统计是应用数学和统计学的原理与方法，对各种现象进行观察、收集、整理、分析和解释，从而得出有关这些现象的规律性和特征性的科学。
1.2 数理统计的基本方法数理统计的基本方法包括：数据收集、数据整理、数据分析和结论推断等。
1.3 数据收集数据收集是指通过各种手段获取有关某一现象或问题的信息。
常见的数据收集方式包括问卷调查、实验观测、抽样调查等。
1.4 数据整理数据整理是指对收集到的原始数据进行加工处理，使其变成可分析和可比较的形式。
常见的数据整理方式包括分类汇总、编码标记等。
1.5 数据分析数据分析是指通过各种统计方法对已经整理好的数据进行描述性分析和推断性分析。
常见的数据分析方法包括频率分布、中心位置测度、离散程度测度等。
1.6 结论推断结论推断是指根据已经得出的结果，对所研究问题作出科学合理判断。
常见的结论推断方式包括假设检验、置信区间估计等。
二、随机变量及其分布2.1 随机变量的定义随机变量是指在一次试验中可能取到不同值的变量，其取值不仅受试验本身的性质决定，还受到随机因素的影响。
2.2 随机变量的分类随机变量可以分为离散型和连续型两种。
离散型随机变量只能取有限个或可数个值，而连续型随机变量可以取任意实数值。
2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数是指对于任何实数x，求出X≤x的概率。
对于离散型随机变量，其分布函数为累积分布函数；对于连续型随机变量，其分布函数为概率密度函数。
2.4 常见离散型随机分布常见离散型随机分布包括：伯努利分布、二项式分布、泊松分布等。
2.5 常见连续型随机分布常见连续型随机分布包括：均匀分布、正态分布、指数分布等。
三、参数估计和假设检验3.1 参数估计的基本概念参数估计是指通过样本数据对总体分布的某些未知参数进行估计。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
3.2 点估计点估计是指用样本数据直接求出总体分布的某个未知参数的值。
107492-概率统计随机过程课件-第九章(第五节)
第四节，总体分布的假设检验前面介绍的各种检验法，几乎都是在正态总体的假定下进行的，并且只是对总体的均值或方差进行检验。
但是在实际遇到的许多问题中，总体的分布类型往往是未知的。
在这种情况下，我们需要根据样本来对总体分布的种种假设进行检验，这就是非参数假设检验要解决的问题。
如何通过对样本的分析来初步确定总体分布的可能形式呢？首先，可以由问题的实际背景初步来确定分布的类型。
例如若影响某一数量指标的随机因素很多，而每一个因素所引起的作用不是很大，则可假定该指标服从正态分布；“寿命”、“服务时间”等常假定服从指数分布；抽样检查常假定服从二项分布。
还可以利用样本所提供的数据资料，用直方图法，或者经验分布函数方法，通过直观认识初步确定分布的类型。
在确定了总体分布的类型之后，可以先用矩法或极大似然估计分布中的未知参数，然后再对确定的总体分布进行假设检验。
但是这些方法比较简单、直观，但不那么精细。
所以在实际应用中不是那么理想。
下面介绍一种比较常用的检验法，皮尔逊的2χ拟合优度检验。
它是在总体分布为未知的情况下根据样本n x x ,,1 来检验有关总体分布的假设H 0 ：总体X 的分布函数为F(x)的一种方法。
用这种方法时，要求总体分布的参数都是已知的，如果未知，就用参数的估计值去代替未知参数。
1：理论分布完全已知的情况设根据某一理论、学说甚至假定，某随机变量应当有分布F ，现在对X 进行n 次观察，得i.i.d.样本n X X X ,,,21 ，要据以检验“X 有分布F ”这个（原）假设。
这里虽没有明确指出对立假设，但可以说，对立假设是“X 的分布不是F ”。
本问题的真实含义是估量实测数据与该理论或学说符合的怎么样，而不在于当认为不符合时，X 可能备择的分布如何，故问题中不明确标出对立假设，反而使人感到提法更为贴近现实。
早期（奈曼－皮尔逊之前）研究假设检验的学者，包括此处讨论的皮尔逊的拟合优度检验和费希尔的显著性检验，都是持这样一种看法。
数理统计与随机过程
数理统计与随机过程
数理统计是一门研究如何从数据中提取信息的学科，它是现代统计学的基础。
数理统计的主要任务是通过对数据的分析和处理，得出数据的规律性和特征，从而对数据进行预测和决策。
数理统计的应用范围非常广泛，包括经济、金融、医学、环境、社会等各个领域。
随机过程是一种随机变量的序列，它描述了随机事件在时间上的演化过程。
随机过程是概率论和统计学中的重要概念，它在信号处理、通信、控制、金融等领域中有着广泛的应用。
数理统计和随机过程有着密切的联系。
在数理统计中，我们通常需要对数据进行建模，而随机过程提供了一种自然的建模方式。
例如，我们可以将时间序列数据看作是一个随机过程，然后通过对随机过程的分析和处理，得出数据的规律性和特征。
另外，在随机过程中，我们通常需要对随机变量的分布进行估计，而数理统计提供了一种有效的估计方法。
在实际应用中，数理统计和随机过程经常被用来解决各种问题。
例如，在金融领域中，我们可以使用随机过程来建立股票价格的模型，然后使用数理统计的方法对模型进行分析和预测。
在医学领域中，我们可以使用数理统计的方法对疾病的发病率进行分析，然后使用随机过程来建立疾病传播的模型。
数理统计和随机过程是现代统计学和概率论的重要组成部分，它们
在各个领域中都有着广泛的应用。
通过对数据的分析和建模，我们可以更好地理解数据的规律性和特征，从而为决策和预测提供更加准确的依据。
《概率论与数理统计》课件-随机过程
目录
• 随机过程基础 • 随机过程的基本类型 • 随机过程的分析与变换 • 随机过程的应用 • 随机过程的计算机模拟 • 随机过程的未来发展与挑战
01
随机过程基础
随机过程的定义与分类
定义
随机过程是由随机变量构成的数 学结构，每个随机变量对应一个 时间点或位置。
分类
根据不同的特性，随机过程可以 分为离散随机过程和连续随机过 程，平稳随机过程和非平稳随机 过程等。
随机过程的统计特性
均值函数
方差函数
自相关函数
谱密度函数
描述随机过程的平均行 为。
描述随机过程的波动程 度。
描述随机过程在不同时 间点的相关性。
描述随机过程的频率特 性。
随机过程的概率模型
01
02
蒙特卡洛方法在金融、物理、工程等领域有广泛应用，如期权定价、核反应堆模拟 等。
离散事件模拟方法
离散事件模拟方法是一种基于 事件驱动的模拟方法，通过模 拟离散事件的发生和影响来逼 近真实系统。
离散事件模拟方法适用于描述 离散状态变化的过程，如交通 流模拟、排队系统模拟等。
离散事件模拟方法的关键在于 事件的时间点和顺序的确定， 以及事件影响的计算。
连续时间模拟方法
连续时间模拟方法是一种基于时间连 续变化的模拟方法，通过模拟时间连 续变化的过程来逼近真实系统。
连续时间模拟方法的关键在于时间步 长的选择和状态变化的计算，需要保 证模拟结果的准确性和稳定性。
连续时间模拟方法适用于描述连续状 态变化的过程，如人口增长模拟、生 态系统模拟等。
06
随机过程的未来发展与挑战
控制系统
利用随机过程理论，分析和设计 控制系统，提高系统的稳定性和
研究生《数理统计》完整课件讲义
解. 由题意，X (t) 可表示为
X (t) a cos(t ), t
其中随机变量 的分布律为
0
P
23 13
所以
mX (t) EX (t) Ea cos(t )
a cost 2 (a cost) 1
3
3
a cost, 3
RX (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
2
F
(x;
2
)
0, x 1, x
0 0
（2）X (0) A, X ( ) A ,二维随机变量
32
( A, A 2) 的分布律为
(A, A 2)
P
(1,1 2) (2,1) (3, 3 2)
13
13
13
x2
D4
D2
D3
D1
o
O
x1
二维分布函数为
F (x1,
x2 ;0,
3
)
P{A
x1 ,
A 2
例2. 西安地区从2012年开始，第n年的 降雨量Xn，n∈T={1,2,3,…}。
例3. 某超市在时段[t1,t] 内到来的顾 客人数X(t)，t∈T=[t1,t2]。
例4. 某电路中，一电子元件 t 时刻的 热噪声电压X(t)，t∈T=[0,+∞)。
在上述几个例子中，X(t)（或Xn）具有以下 两个特征：
正态过程是二阶矩过程，它在工程技
术中有重要的应用。正态过程 {X (t),t T} 的 n 维分布密度为
f
1
n
(2 ) 2
C
1 2
exp{
1 2
(
x
m
X
)
107491-概率统计随机过程课件-第九章(第三节)
第三节 二正态总体均值差和方差比的假设检验 一：二正态总体均值差的假设检验。
在实际问题中，我们还常遇到两个总体均值的比较问题。
设总体X ～N ),,(211σμY ～N ),(222σμ，且X 与Y 相互独立。
m x x ,,1 为来自于X 的样本，样本均值为-x ，样本方差为2ms ；n y y ,,1 为来自于Y 的样本，样本均值为-y ，样本方差为2n s 。
下面分类进行讨论。
1：已知21σ和22σ，检验假设210:μμ=H选取Unmy x 2221)(σσ+-=--作为检验统计量，且在假设0H 成立的条件下知U~N （0，1）。
于是对给定的α，查标准正态分布表得21α-z，使αα=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-21z U P于是，得到检验的拒绝域21α->zU ，即212221)(ασσ--->+-znmy x ， （9.11）在由样本值算出统计量U 的值，若21α->zU ，则拒绝0H ；若21α-<zU ，则接受0H 。
1． 未知21σ和22σ，但21σ＝22σ，检验0H ：21μμ= 这时，我们选用T=nm n m mn s n s m yx nm +-+⋅-+----)2()1()1(22作为检验统计量，且在0H 成立下知T ～t(m+n-2)。
于是对给定的α，查t 分布表得)2(21-+=n m tα，使αα=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+>-)2(21n m t T P ，于是，得到检验的拒绝域)2(21-+>-n m tT α，即>+-+⋅-+----n m n m m n s n s m yx nm )2()1()1(22)2(21-+=n m t α，由样本值算出T 的值，若)2(21-+>-n m tT α，则拒绝0H ；否则，接受0H 。
例1 为研究正常成年男、女血液红细胞的平均数的差别，检查某地正常成年男子156名，正常成年女子74名，计算得男性红细胞平均数为465.13万/mm 3；样本标准差为54.80万/mm 3；女性红细胞平均数为422.16万/mm 3，样本标准为49.20万/mm 3。
数理统计与随机过程李忠范
数理统计与随机过程李忠范数理统计与随机过程是概率论和统计学的重要分支，它们的研究对象都是随机现象。
数理统计主要研究如何从样本中推断总体的性质，而随机过程则关注于随机现象在时间上的演化规律。
本文将从简单介绍数理统计和随机过程的基本概念开始，逐渐深入探讨其应用和研究方法。
一、数理统计1.1 基本概念数理统计是一门研究如何根据数据推断总体特征的学科。
它涉及到总体、样本、参数估计、假设检验等基本概念。
在实际应用中，我们往往无法直接获得总体的信息，只能通过对样本进行观察和分析来推断总体的性质。
1.2 参数估计参数估计是数理统计中的重要内容，它通过样本数据来估计总体的未知参数。
最常用的参数估计方法有矩估计和最大似然估计。
矩估计是根据样本矩的性质来估计总体参数，而最大似然估计则是寻找最有可能产生观测数据的参数值。
1.3 假设检验假设检验是数理统计中用来判断总体参数是否符合某种设定的方法。
它分为参数检验和非参数检验两种。
参数检验通常是对总体参数进行假设，然后通过样本数据来判断该假设是否成立；非参数检验则不对总体参数做特定的假设，通过对样本的分布进行比较来得出结论。
1.4 方差分析方差分析是数理统计中用来分析多个总体均值是否相等的方法。
它通过比较组间变异和组内变异的大小来推断不同组的均值是否有显著差异。
方差分析在实际应用中广泛用于比较不同处理组之间的差异。
二、随机过程2.1 基本概念随机过程是描述随机现象在时间上演化的数学模型。
它由状态空间、时间集合和转移概率组成。
随机过程可以是离散的，也可以是连续的。
通过研究转移概率和状态空间的性质，我们可以了解随机过程在不同状态之间的转移规律。
2.2 马尔可夫链马尔可夫链是随机过程的一种特殊形式，它具有马尔可夫性质，即未来状态的概率分布仅依赖于当前状态，而与历史状态无关。
马尔可夫链在很多领域中都有广泛应用，比如排队论、货物流动等。
2.3 布朗运动布朗运动是一种连续时间、连续状态的随机过程，它具有独立增量和正态分布特性。
应用数理统计与随机过程 第9章 马尔可夫链
p1(n)
pi
p(n) i1
p1
p(n 11
)
p2
p(n 21
)
;
iI
p2(n)
pi
p(n) i2
p1
p(n) 12
p2
p(n) 22
;
PT(n)=PT(0)P(n)
iI
(p1 (n)，p2 (n))
(
p1，p2 )
p(n) 11
p(n) 21
p(n) 12
p(n) 22
.
9.1 马尔可夫链及转移概率
pj P{X0 j} pj (n) P{Xn j}
{pj , j I} { pj (n) , j I} pT (0) ( p1, p2 , ) pT (n) ( p1(n), p2(n), )
9.1 马尔可夫链及转移概率
定理9.2 设{Xn, nT }为马尔可夫链, 则对任意整数 jI 和n1 , 绝对概率 pj(n)具有性质
kI
kI
(2)
在(1)中令l=1, k =k1,得
p(n) ij
p p , (1) (n1) ik1 k1 j
由此可递推出公式.
kI
(3) 矩阵乘法.
(4) 由(3), 利用归纳法可证.
9.1 马尔可夫链及转移概率 ◎ 初始概率和绝对概率
定义9.5 • 初始概率 • 绝对概率 • 初始分布 • 绝对分布 • 初始概率向量 • 绝对概率向量
(1) pj (n)
pi
p(n ij
)
;
iI
(2) pj (n) pi (n 1) pij ; iI
(3) PT (n) PT 0 P(n); (4) PT (n) PT (n 1)P
《随机过程》PPT课件
主要内容
随机过程的定义
随机过程的分类
按统计特性是否变化分为平稳随机过程和非平稳随机过程 按照是否具有记忆性分为纯粹随机过程、Markov过程、独 立增量过程 按照一阶变差是否有限分类：若随机过程{t}t≥0的一阶 变差有限，称为有界变差过程。 按照二阶矩是否有限分类：若随机过程的均值和方差都有 限，称为二阶矩过程，例如前面提到的宽平稳过程。 3 按照概率分布特征分类：如Weiner过程，Poission过程等。
随机过程的分类——平稳随机过程
按统计特性是否变化分为平稳随机过程和
非平稳随机过程
统计特性不随时间变化而变化的随机过程，
称为平稳过程，否则，统计特性随时间变化而变化
的随机过程，称为非平稳过程。
平稳过程的严格定义为：对于时间t 的n个
任意的时刻t1,t2,…,tn 和任意实数C，若随机过程
{t }t≥0的分布函数满足
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的 变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义 的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的， 而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现 为一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果 关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。12
宽平稳的不变性表现在统计平均的一、二阶
矩上，而平稳过程的不变性表现在统计平均的概率
分布上，所以二者不同，并且不能由平稳随机过程
得到宽平稳随机过程。二阶矩存在的平稳随机过程
一定是宽平稳随机过程。
6
§3.1 时间序列的平稳性及其检验
一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型 二、时间序列数据的平稳性 三、平稳性的单位根检验 四、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程
数理统计与随机过程
数理统计与随机过程标题：深入理解数理统计与随机过程摘要：本文将深入探讨数理统计与随机过程的多个方面，从简单概念和基本原理出发，逐步深入到更复杂的应用和高级理论。
通过结构化的介绍和回顾性总结，将帮助读者对这一主题有更全面、深刻和灵活的理解。
第一部分：数理统计的基础概念与原理1.1 概率与统计的基本概念- 随机事件与概率空间- 概率分布函数与密度函数- 随机变量与随机过程1.2 统计学的基本方法- 描述统计：均值、方差、中位数等指标- 推断统计：参数估计与假设检验- 抽样方法与样本容量选择第二部分：数理统计的应用领域2.1 生物统计学- 实验设计与样本调查分析- 遗传学与流行病学研究- 医学统计与临床试验分析2.2 金融统计学- 风险管理与投资组合优化- 金融工程与衍生品定价- 高频数据分析与交易策略2.3 工程统计学- 质量控制与流程改进- 可靠性分析与寿命预测- 多元数据分析与建模第三部分：随机过程的基本理论与应用3.1 马尔可夫过程- 离散时间马尔可夫链与连续时间马尔可夫过程 - 马尔可夫链的平稳性与收敛性- 马尔可夫决策过程与最优控制3.2 随机过程的分类与性质- 马尔可夫性与时齐性- 随机过程的独立增量与平稳增量- 马尔可夫过程的各种变形与扩展3.3 随机过程的应用领域- 信号处理与通信系统建模- 排队论与网络性能分析- 金融衍生品定价与投资组合优化第四部分：数理统计与随机过程的未来发展方向4.1 大数据与机器学习的融合- 基于统计学的机器学习方法- 高维数据分析与特征选择- 强化学习与无监督学习的应用潜力4.2 贝叶斯统计与深度学习- 贝叶斯推断与参数估计- 深度学习的贝叶斯框架与不确定性建模- 基于深度学习的贝叶斯优化与决策分析结论：数理统计与随机过程作为现代科学和工程领域中不可或缺的工具和理论基础，其应用广泛而深远。
随着技术和方法的不断创新，数理统计与随机过程将在更多领域发挥重要作用，进一步推动科学和技术的进步。
概率论和数理统计教程茆诗松专题培训课件
1. 按已赌局数分： 则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3
2. 按已赌局数和再赌下去的“期望” 分： 因为再赌两局必分胜负，共四种情况： 甲甲、甲乙、乙甲、乙乙
所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4
11/27/2019
华东师范大学
第二章 随机变量及其分布
第17页
2.2.1 数学期望的概念
若按已赌局数和再赌下去的“期望” 分， 则甲的所得 X 是一个可能取值为0 或100 的随机变量，其分布列为：
E(X)xp(x)dx
11/27/2019
华东师范大学
第二章 随机变量及其分布
第20页
例2.2.1 X 1 0 1 2
P 0.2 0.1 0.4 0.3
则
E(X) = 1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3 = 0.8.
11/27/2019
华东师范大学
第二章 随机变量及其分布
称 pi=P(X=xi)， i =1, 2, …… 为 X 的分布列.
分布列也可用表格形式表示：
X x1 P p1
x2 …… xn …… p2 …… pn ……
11/27/2019
华东师范大学
第二章 随机变量及其分布
第7页
分布列的基本性质
(1) pi 0， (非负性)
(2) pi 1. (正则性)
p(x)
0,
0x<1 其它
求下列 X 的函数的数学期望.
(1) 2X1, (2) (X 2)2
解: (1) E(2X 1) = 1/3, (2) E(X 2)2 = 11/6.
第25页
11/27/2019
浙江大学《概率论、数理统计与随机过程》课后习题答案张帼奋主编第九章 方差分析与回归分析
第九章 方差分析与回归分析注意： 这是第一稿（存在一些错误）1．解：()()()211,,n niii i i i L f y y f y x αβσεαβ======--∏∏()()()221222211ni i i i i y x y x nni eαβαβσσ=------=∑==()())()22212,,ln ,,ln2ni i i y x l L n αβαβσαβσσ=--==--∑()()()()()()212212221242,,0,,0,,1022ni i i n i i i i n i i i y x l y x x l y x l n αβαβσασαβαβσβσαβαβσσσσ===⎧--⎪∂⎪==∂⎪⎪--⎪∂⎪==⎨∂⎪⎪--⎪∂⎪=-=⎪∂⎪⎩∑∑∑ 解得2ˆˆ,ˆ,ˆ.xyxxy x s s SSE n αββσ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩则α、β的极大似然估计与最小二乘估计一致。
2σ的极大似然估计为SSE n ，最小二乘估计为2SSE n -，为2σ的无偏估计。
2．解： （1）由题意，知0123:H μμμ==，1123:,,H μμμ不全相等计算有112312.54ni i i x n x n n n ⋅===++∑ 321()0.738i A i i S n x x ⋅==-=∑，321() 5.534in T ij i i jS x x ===-=∑∑4.796E T A S S S =-=，/(31)0.369A A MS S =-=123/(3)0.178E E MS S n n n =++-=，/ 2.077A E F MS MS ==由于 2.077F =<(2,27) 3.3541F α=，接受0H（2）2σ的无偏估计量为：123/(3)0.178E E MS S n n n =++-=3．解：(1)61n =，4r =,(2)0.05(3,57) 2.76 3.564F ≈<,则拒绝原假设，即认为不同年级学生的月生活费水平有显著差异。
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区间估计
特别注意
对于置信区间 ( X
n
U , X
2
n
U )
2
n 16 （1）如果取1 0.95，又若 1 ， 查表可得这一置信区间为 查表可得这 置信区间为 ( X 0 0.49) 9) （2）这时，如样本观测值 x 5.20 ，则有 (5 20 0 (5.20 0.49) 49)
Confidence interval ( X
n
U 0.01, X
n
U 0.04 )
区间估计
另外注意
置信区间的非唯一性 置信区间的非唯 性 两种方法，置信水平同为 1 0.95 有何区别？
区间估计
另外注意
置信区间的非唯一性 置信区间的非唯 性 两种方法，置信水平同为 1 0.95
X 例如刚才 P U U 1 2 2 / n
区间估计
一般地
任意总体下未知参数 置信区间的求法
P a W ( X 1,..., X n ; ) b 1
并从 a W ( X 1,..., X n ; ) b 中得到等价不等式
数理统计与随机过程
涂 然
Sep. 2014, Xiamen
College of Mechanical Engineering and Automation Huaqiao University E-mail: turan@
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那么 ( , ) 就是其相应置信水平下的置信区间
区间估计
一般地
任意总体下未知参数 置信区间的求法
P a W ( X 1,..., X n ; ) b 1
因为正态分布在现实中的主导地位（根据中心 极限定理可知） 枢轴函数也以正态分布最为常见 极限定理可知），枢轴函数也以正态分布最为常见， 是重点介绍对象
L2 L1
而置信区间长表示精度较低
因此更好的是
区间估计
另外注意
置信区间的非唯一性 置信区间的非唯 性 总结：类似标准正态分布这种单峰且对称的情 况，置信区间也应对称选取，此下未知参数 置信区间的求法 首先寻求一个样本X1，…，Xn和 的函数W
L1 2
n
U 0.025
3.92
n
区间估计
另外注意
置信区间的非唯一性 置信区间的非唯 性 两种方法，置信水平同为 1 0.95
L2
n
(U 0.04 U 0.01 )
4.08
n
区间估计
另外注意
置信区间的非唯一性 置信区间的非唯 性 两种方法，置信水平同为 1 0.95
1 E ( X ) 2 2 2 (1 ) 3 (1 )2
1 (3 1 ) 2
作业点评
解：首先求 的矩估计
1 1 n (3 1 ) 代入 A1 X i X 2 n i 1
1 1 5 ˆ (3 (1 2 1)) 2 3 6
作业点评
解：然后是似然函数
p( x ; ) L( )
i 1 i
n
P X1 1 P X 2 2 P X 3 1 2 2 (1 ) (1 )2 5 2 (1 )
d 5 1 ln L 0 d 1
——注意这只是我们的一个置信区间
区间估计
特别注意
对于置信区间 ( X
n
U , X
2
n
U )
2
（3）如果反复抽样多次，则可计算出多个具体 的置信区间值 （4）其统计意义就是，这么多具体置信区间中， 包含 的约占95%，不包含的约 不包含的约5% 对于每一个具体的置信区间，包含 的可信程 度自然也为95%
区间估计
扩充一下
区间估计的来历 现代统计学的区间估计理论是J. Neyman在19 世纪30年代所建立的 杰兹-内曼，美籍俄裔 杰兹 内曼 美籍俄裔 著名统计学家 也是假设检验的统计理论的 始 创始人之一 Neyman
区间估计
扩充一下
区间估计的来历 内曼希望从数学上定义一种可信区间，以保证 所得结果的客观性和可靠性，因此提出了置信区间 的概念 在统计理论中以他的姓氏命名的还有内曼—皮 尔逊引理 内曼结构等 同时内曼将统计理论应用 尔逊引理、内曼结构等。同时内曼将统计理论应用 于遗传学、医学诊断、天文学、气象学、农业统计 学等方面，取得了丰硕的成果
X P U U 1 2 2 / n
区间估计
X 解：变形 P U U 1 2 / n 2 P X U X U 1 n 2 n 2
也可以利用Excel和具有统计功能的计算器
Excel命令函数 AVERAGE VARP VAR 实现功能 求样本均值 样本均值 求方差矩估计 求样本方差
作业点评
1
解：最终结果对比 ˆ 74.002 ˆ 2 6 10 6
s 2 6.86 10 6
2
3
作业点评
2. 设总体X具有分布律
区间估计
回到正题
大家注意到了吗？ 实际上，可靠性和精度是相互矛盾的两个要求，
内曼准则：先保证可靠性，在此前提下尽可能 提高精度
区间估计
举个例子
设 X ~ N ( , 2 ) ， 已知 X1，…，Xn为样本 2 已知， 求 的 1 置信区间 解：已知 解 已知 X ~ N ( ,
1 ˆ 74 [0.001 [0 001 0.005 0 005 0 0.003 003 0 0.001 001 8 0 0.002 0.006 0.002]
74.002
作业点评
解：同样代入观察值有
ˆ 2 6 10 6 以及 s 2 6.86 10 6
区间估计
换种思路
可不可以用另一种办法 可不可以用另 种办法 即，估计出一个区间，这个区间中包含我们 希望得到的未知参数的可能性是比较大的 再说具体一些，就是使未知参数落在我们所求 区间的概率是比较大的 如0.9 区间的概率是比较大的，如 0 9、0.95 0 95、0.99 0 99等
区间估计
换种思路
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作业点评
1. 随机取8只活塞环，测得它们的直径为（mm）
70.001 74.000 74.005 73.998 74.003 74.006 74.001 74.002
试求 总体均值 及方差 2 矩估计值，并求样本方差 s 2
作业点评
解：总体均值和方差的矩估计为
n 1 n 1 ˆ 2 ( x i x )2 ˆ x xi 和 n i 1 n i 1
W W ( X 1,..., X n ; )
使W的分布不依赖于 或其它未知参数 例如刚才的 W
X
/ n
服从标准正态分布
区间估计
一般地
任意总体下未知参数 置信区间的求法 首先寻求一个样本X1，…，Xn和 的函数W
W W ( X 1, ,..., , X n ; )
P (ˆ1 ˆ2 ) 1
区间估计
重要定义
置信区间的数学描述 总体的未知参数 ，对于给定值 (0 1) ， 若由来自X的样本X1，X2，…，Xn确定的两个统计 量 ( X1, X 2 ,..., X n ) 和 ( X 1, X 2 , ,..., , Xn ) 满足 P ( ) 1
区间估计
另外注意
置信区间的非唯一性 置信区间的非唯 性 以正态分布为例，还取 1 0.95 但区间取为非对称的，有
区间估计
另外注意
置信区间的非唯一性 置信区间的非唯 性 以正态分布为例，还取 1 0.95 但区间取为非对称的，即
X P U 0.04 U 0.01 0.95 / n
W X
/ n
~ N( (0,1) , )
称具有这种性质的函数W为 枢轴量
区间估计
一般地
任意总体下未知参数 置信区间的求法 枢轴
原意指系统负责运转的中心轴，起传动、连接 原意指系统负责运转的中心轴 起传动 连接 的作用——这里的“枢轴量”功能类似
区间估计
一般地
任意总体下未知参数 置信区间的求法 然后对于给定的置信水平 1 ，定出两个常 数a、b，使 P a W ( X 1,..., X n ; ) b 1
区间估计
重要定义
置信区间的数学描述 满足 P ( ) 1
ˆ
则称 随机区间 ( , ) 是 置信水平为 1 的置信 区间 , 分别称为置信水平为 1 的双侧置信 区间， 1 称置信水平 区间的置信下限和置信上限，
区间估计
日常中有没有这种表述 我猜：这个人的年龄在30-35之间 他说：一个吃饭就得花掉800-1000元 这种表述的好处是把误差用醒目的方式表示了 出来 比单说每月吃饭花销900元更让人有信任感， 出来，比单说每月吃饭花销 元更让人有信任感 这就是日常中的区间估计
区间估计
重要概念
区间估计 对于总体的未知参数 ，不仅需要估计它的 值，有时还要按给定的可靠程度（置信度）估计它 的误差范围，即要估计出一个区间 的误差范围，即要估计出 个区间 (ˆ1,ˆ2 ) ，使得 这个区间包含 的可能性是很大的，一般要求
X pk
1
2