选填专练8——高三二轮数学复习课时作业

F，G 分别为侧棱 AB，AC，AD 的中点．若 O 在三棱锥 A-BCD 内，且三棱锥 A-BCD
的体积是三棱锥 O-BCD 体积的 3 倍，则平面 EFG 截球 O 所得截面的面积为( A )
15π A. 4
B．32π
93 C. 8
D．4π
数学(理)
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解析 如图，M 是底面△BCD 的中心，则 O 在 AM 上，而由 VA-BCD＝3VO-BCD 得 AM＝3OM，设 OA＝R，则 OM＝R2，又 BC＝CD＝DB＝3，M 是△BCD 的中心，则 MB＝23× 23×3＝ 3，
考前冲刺 组合特训
选填专练8
数学(理)
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一、选择题 1．(2021·遂宁三模)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x≤4}，B＝{x| 1}，则下列判断正确的是( A ) A．B⊆A B．∁UB＝(－∞，0]∪[2，＋∞) C．－1∈A且 3∉B D．A∪B＝{x|－1≤x＜2}
x－1 ＜
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＝2
3sin
π 3cos
π4－2
3cos
π 3sin
π 4
＝3
2－ 2
6，
故 f(x)的值域为3
2－ 2
6，2
3，故③正确；
当 x∈0，8π时，2x＋1π2∈1π2，π3，则可得 f(x)在区间0，π8上单调递增，故④正
确．故选 C.
数学(理)
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11．已知正三棱锥 A-BCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，其底面边长为 3，E，
数学(理)
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解析 x2－3x≤4⇔x2－3x－4≤0，解得－1≤x≤4，即 A＝{x|－1≤x≤4}． x－1＜1⇔0≤x－1＜1，解得 1≤x＜2，
即 B＝{x|1≤x＜2}． 则 B⊆A，∁UB＝(－∞，1)∪[2，＋∞)，－1∈A 且 3∈B，A∪B＝A.只有 A 正确．故 选 A.
数学(理)
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10．将函数 y＝ 3sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的图象向右平移π8个单位后得到函数 f(x)
的图象，且 f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π2，则下列说法正确的个数是( C )
①f(x)＝2 3sin2x＋254π； ②x＝254π是 f(x)图象的一条对称轴；
③当 x∈0，4π时，f(x)的值域为3
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数学(理)
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12．(2022·江苏南京模拟)已知 a>1，b>1，且(b＋1)ea＝aeb＋1＋a(e 为自然对数)，
则下列结论一定正确的是( A )
A．ln(a＋b)>1
B．ln(a－b)<0
C．2a＋1<2b
D．2a＋2b<23
数学(理)
解析 设 x＝a>1，y＝b＋1>2， 则 yex＝xey＋x＝x(ey＋1)， ln y＋x＝ln x＋ln(ey＋1)． 所以 ln x－x＝ln y－ln(ey＋1)<ln y－ln ey＝ln y－y， 设 f(x)＝ln x－x，则 f′(x)＝1x－1＝1－x x，令 f′(x)＝0，得 x＝1. 易知函数 f(x)＝ln x－x 在(1，＋∞)单调递减，如图，
数学(理)
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解析 当 x＞0 时，f(x)＝－x，由奇函数的性质知，f(x)＝－x，x∈R，函数单调 递减．
又 a＝0.3－0.25＞1， b＝log0.250.3∈(0,1)， c＝log0.32.5＜0，则 a＞b＞c. 由函数的单调性知，f(a)＜f(b)＜f(c)，故选 D.
数学(理)
大小关系是( C )
A．a>b>c
B．c>b>a
C．b>c>a
D．a>c>b
解析 因为 a＝ln 12＝－ln 2<0，b＝12－3＝8，c＝1－tatnan1251°5°＝12tan 30°＝ 63<1，
所以 b>c>a.故选 C.
数学(理)
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4．已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,7)，P(X＞1)＝0.8，则 P(X≥3)＝( A )
2－ 2
6，2
3；
④f(x)在区间0，π8上单调递增． A．1 B．2 C．3 D．4
数学(理)
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解析 把 y＝ 3sin ωx＋3cos ωx＝2 3sinωx＋3π的图象向右平移π8个单位后得到 f(x)＝2 3sinωx－ω8π＋π3的图象，
∵f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π2， ∴12T＝π2，即 T＝π，则 ω＝2Tπ＝2， ∴f(x)＝2 3sin2x＋1π2，故①错误； ∵f52π4＝2 3sin2×52π4＋1π2＝2 3，
3 A.10
B．25
1 C.2
D．35
解析 依题意，已知第一次取出的是黑球的情况下，袋中剩余 2 个黑球和 2 个白
球，所以第二次取出的也是黑球的概率为 P＝24＝12.故选 C.
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6．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 a＝1，B＝2A，则
b 的值可以为( C )
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9．(2021·遂宁三模)已知函数 f(x)为 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f(x)＝－x.若 a＝ 0.3－0.25，b＝log0.250.3，c＝log0.32.5，则( D )
A．f(b)＜f(a)＜f(c) B．f(c)＜f(b)＜f(a) C．f(c)＜f(a)＜f(b) D．f(a)＜f(b)＜f(c)
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数学(理)
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所以 x>y，即 a>b＋1，即 a－b>1， ln(a＋b)>ln(2b＋1)>ln 3>1，所以 A 正确；ln(a－b)>ln 1＝0，所以 B 错误； 2a＋1>2b＋2>2b，所以 C 错误； 2a＋2b>2b＋1＋2b>22＋22＝8，所以 D 错误，故选 A.
数学(理)
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解析 由题意知双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±bax，而一条渐近线与直线 x＝0 的
夹角为 60°，∴一条渐近线与 x 轴的夹角为 30°，
即ba＝
3 3
①.
∵双曲线 C 的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为 8，
∴4 a2＋b2＝8 ②， 联立①②得 a2＝3，b2＝1，即双曲线 C 的标准方程为x32－y2＝1.故选 A.
∴由 OB2＝OM2＋BM2 得 R2＝R22＋( 3)2，
数学(理)
解得 R＝2，设 AM 与平面 EFG 交于点 N， ∵E，F，G 分别是 AB，AC，AD 的中点， 则 N 是 AM 的中点， ∴MN＝12AM＝12×32R＝32， ON＝MN－OM＝32－1＝12， 设平面 EFG 截球 O 所得截面圆的半径为 r， 则 r＝ R2－ON2＝ 22－122＝ 215， ∴截面的面积为 πr2＝π× 2152＝145π.故选 A.
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14．(2022·福建厦门模拟)已知向量 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，(a－b)·(a－c)＝0， |b－c|＝9，则|a|＝ 3 .
解析 由已知可得 a＝－b－c， 则(a－b)·(a－c)＝(－2b－c)·(－b－2c)＝(2b＋c)·(b＋2c)＝0， 即 2b2＋2c2＋5b·c＝0， 因为|b－c|＝9，则 b2＋c2－2b·c＝81， 所以 b2＋c2＝45，b·c＝－18， 因此，|a|2＝a2＝(－b－c)2＝b2＋c2＋2b·c＝9，故|a|＝3.
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15．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，∠ABC＝π3，∠ABC 的 平分线交 AC 于点 D，且 BD＝ 3，则 4a＋c 的最小值为 9 .
解析 由题意可知，S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，由角平分线性质和三角形面积公式得， 12acsin3π＝12a× 3×sin6π＋12c× 3×sin6π， 化简得 ac＝a＋c，即1a＋1c＝1，
数学(理)
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8．“中国剩余定理”又称“孙子定理” ，讲的是关于整除的问题(如 7 被 3 除
余 1,1 被 2 除余 1)．现有这样一个整除问题：将 1 到 100 这 100 个正整数中能被 2 除
余 1 且被 3 除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则数列{an}中各
A．0.2
B．0.3
C．0.7
D．0.8
解析 由 X～N(2,7)，得 P(X≥3)＝P(X≤1)＝1－P(X＞1)＝0.2，故选 A.
数学(理)
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5．一袋中装有除颜色外完全相同的 3 个黑球和 2 个白球，先后两次从袋中不放
回地各取一球．已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的也是黑球的概率为( C )
因此 4a＋c＝(4a＋c)1a＋1c＝5＋ac＋4ca≥5＋2 ac·4ca＝9， 当且仅当ac＝4ca，即 c＝3，a＝32时取等号，即 4a＋c 的最小值为 9.
数学(理)
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16．(2021·遂宁三模)已知斜率为 2的直线过抛物线 E：y2＝2px(p＞0)的焦点 F， 与抛物线 E 交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，又 O 为坐标原点，点 C 也为抛物线 E 上一点，且|AB|＝6，O→C＝O→A＋λO→B，则实数 λ 的值为 0 或 5－2 3 .
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数学(理)
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7．已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线 x＝0 的夹角为 60°，
若以双曲线 C 的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为 8，则双曲线 C 的标准方程为
(A ) A.x32－y2＝1 C.x32－y92＝1
B．x92－y32＝1 D．x2－y32＝1
数学(理)
∴x＝254π是 f(x)图象的一条对称轴，故②正确； 当 x∈0，4π时，2x＋1π2∈1π2，71π2， 则当 2x＋1π2＝2π时， f(x)取得最大值，为 2 3， 当 2x＋1π2＝1π2时， f(x)取得最小值为 2 3sin 1π2＝2 3·sinπ3－π4
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数学(理)
数学(理)
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二、填空题
13．(2021·铜仁三模)已知实数 x，y 满足约束条件4x≥x＋03，y≤12 y≥0，
的最小值是 －3 .
，则 z＝－x＋2y
数学(理)
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解析 作出可行域，如图△OAB 内部(含边界)，作直线 l：－x＋2y＝0，向下平 移直线 l，z＝－x＋2y 减小，当 l 过点 A(3,0)时，z＝－x＋2y＝－3 为最小值．
1 A.2
B．1
பைடு நூலகம்
3 C.2
D．2
数学(理)
解析 由正弦定理得sina A＝sinb B， 因为 a＝1，B＝2A， 所以 bsin A＝sin 2A＝2sin Acos A， 因为 sin A≠0，所以 b＝2cos A， 因为 A＋B∈(0，π)，所以 3A∈(0，π)， 所以 A∈0，3π，所以 cos A∈12，1， 所以 2cos A∈(1,2)，即 b∈(1,2)，故选 C.
项的和为( C )
A．736
B．816
C．833
D．29 800
数学(理)
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解析 被 2 除余 1 且被 3 除余 1 的整数即被 6 除余 1，这些整数由小到大依次排 成一列构成的数列{an}的通项公式为 an＝6n－5(n∈N*)，
由 an≤100 得 n≤325，而 n∈N*，即 nmax＝17，于是得符合条件的数列{an}有 17 项，这 17 项和为1＋297×17＝833，所以数列{an}中各项的和为 833.故选 C.
解析 由于直线斜率为 2，且过焦点，则其方程为 y＝ 2x－p2，将直线方程与 抛物线方程联立，消 y 可得 2x2－4px＋p22＝0，①
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝2p， ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝3p.
数学(理)
∵|AB|＝6，∴3p＝6，p＝2， ∴①式变为 x2－4x＋1＝0， 解得 x1＝2－ 3，x2＝2＋ 3， ∴O→A＝(2－ 3， 2－ 6)， O→B＝(2＋ 3， 2＋ 6)． 设O→C＝(x，±2 x)， 则有 2－ 3＋λ(2＋ 3)＝x，
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2．若复数 z 满足(2＋i)z＝5，则|z|＝( B )
A．5
B． 5
5 C. 5
D．2 5
解析 由(2＋i)z＝5，得 z＝2＋5 i＝2＋52i－2－i i＝525－i＝2－i，∴|z|＝ 22＋－12
＝ 5.故选 B.
数学(理)
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3．(2022·山东临沂三模)已知 a＝ln 12，b＝12－3，c＝1－tatnan1251°5°，则 a，b，c 的