具体数学--2007--Lec03
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Spec(2 2),37,40,44,47,51,.
2019/12/3
Department of Computer Science & Technology
15
3.3 下整/上整递归
下整和上整为递归关系的研究开拓了一个新的有趣视野。 我们进而讲述下整和上整的一个有趣的新的方面，也就 是研究递归关系。让我们首先观察下面这个递归：
6
四个规则
为了实际证明下整函数和上整函数的性质， 而不是仅仅从图形上看出来，下面四个规 则是特别有用的：
x n n x n 1
x n x 1 n x
x n n 1 x n
x n x n x 1
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5
几个常识
因为下整函数总是位于对角线f(x) = x之下或
者相交，所以有x ≤x，而x ≥x。在整数点
上两个函数恰好相等：x x x is an integer x x.
两者不同时，上整恰好比下整大1：
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7
相关性质
可以把整数项移进或者移出下整函数（或上整 函数）： x n x n
一般不能进行像移出常数因子这种类似运算。 例如，当n=2和x=1/2时，我们有 nx nx
在许多场合中，下整和上整括号是多余的，例 如： x n x n
仔细地处理k的最大值K：K 3 n .
对于一般的N，赢者数的总数为：
W 3k 4 K 3 Km N
1k K
m
1 2
7
3K
1K
1
m
m
K
2
N
/
K
3 K 2 5 K 4 m K 2 N / K .
层次3 给定一个明确的集合X和一个明确的性 质P(x)，证明或者推翻对于x∈X，P(x)为真。
层次4 给定一个明确的集合X和一个明确的性 质P(x)，找P(x)为真的必要充分条件Q(x)。
层次5 给定一个明确的集合X，找到其中元素 的一个有趣性质P (x)。
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没能找到反例意味着等式普遍成立
可以证明普遍成立。
推广此想法且证明更多的结果：设f(x)是 任意连续的单调上升函数，可以得到：
f (x) f (x) f (x) f (x)
特殊情况：
x
n
m
x
n
m
22
m
一般解答为：W N K 1 K 2 5 K 3
22
2019/12/3
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14
谱
我们定义实数α的谱为一个无限的整数多 重集：Spec , 2 , 3 ,.
易证任意两个谱都不是相等的 — α≠β意 味着Spec(α)≠Spec(β)
谱具有许多极好的性质。以下两个谱中： 看起来在一个谱中缺少的数字会在另一个 中出现，但是没有数字在两个谱中同时出 现 Spec( 2) 1,2,4,5,7,8,9,11,12,14,15,16,18,19,21,22,24,,
中国科学技术大学-计算机科学技术系
具体数学
第3章 整函数
主 讲: 顾 乃 杰 教授 单 位: 计算机科学技术系 时 间: 2007 (秋)
第四章
《Concrete Mathematics 》
具体数学
作者： R. L. Graham
D. E. Knuth O. Patashnik
机械工业出版社
2019/12/3
n x n x
x n x n
n x n x
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分数部分
x和 x之间的差称为x的分数部分，可以
表示为：{x}=x- x x 也称为x的整数部分。 x y 的性质：
K0 1; Kn1 1 min(2Kn 2 , 3Kn 3 )
(3.16)
这样 K1 是1＋min(2 K0 ，3 K0 ) = 3；序列起始为1，3， 3，4，7，7，7，9，9，10，13，…。本书的作者之一 谨慎地决定称这些数为Knuth数。
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x y x y x y 如果x= x +{x}，并且 y= y+{y}；
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3.2 下整／上整的应用
先看下面的命题： x x
J3
(n)
3 2
J3
2 3
n
an
mod
n
1,
后面我们会其中的‘mod’函数作简要分析，而且根据
n mod 3 = 0，1或2得到 n = – 2，+1，或。但是很难对这个递 归作进一步讨论。
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x x =[x不是整数]
把对角线向下平移一个单位，那它就完全位于 下整函数之下：x 1 x x x x 1
这两个函数是关于两个坐标轴彼此对称的：
x x
x x
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一个应用
具体数学俱乐部的娱乐场有一个轮盘赌，共有 编号从1到1000的1000个位置。如果一次旋转 得到的数n可以被它的立方根的下整除尽，也就
是说，如果 3 n\ n, 则称为赢者数，且娱乐场付
给我们5元；否则称为输者数，且我们必须要付 出1元，我们能够赢钱吗？
赢者数的平均数目为
5W L 5W (1000 W ) 6W 1000.
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下整/上整递归
涉及下整和／或上整的递归关系经常出现在计算机科学 中，因为很多算法都是基于重要的“分而治之”技巧的， 因此经常把大小为n的问题简化为多个大小为n的部分的 类似问题的解。例如，一种n条记录的分类方法（n＞1） 就是把它们分为两个几乎相等的部分，一部分大小为， 另一部分为。（顺便提一句，注意这个公式迟早会经常 用到。）
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下整/上整递归
第一章中的Josephus问题有一个类似的递归方程，它能变成形式
J (1) 1;
J (n) 2J n / 2 1n, for n 1.
我们已经可以使用比第一章中多的工具了，所以让我们考虑更正 式的Josephus问题：问题中每次排除剩下的第三个人，而不是第 二个人。如果我们将第一章中使用的方法应用到这个更困难的问 题，最终得到下面的递归方程：
x
n
m
x
n
m
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数学的层次
层次1 给定一个明确的对象x和一个明确的性 质P (x)，证明P (x)为真。
层次2 给定一个明确的集合X和一个明确的性 质P (x)，证明对于所有的x∈X，P (x)为真。
我们现在有理由怀疑Kn≥n的真值性，所以让我们试着推翻它。若 能找到一个n使得2＜n或者3＜n，而换句话说就是使得
Kn / 2 n / 2 or Kn / 3 n / 3,
我所们以将这得里到最好Kn不1 ＜给n出＋解1。答这。可能吗？我们会在习题25进行讨论，
2019/12/3
对于所有实数x，下整（最大整数）和上 整（最小整数）函数的定义如下：
x =小于或等于x的最大整数；
x =大于或等于x的最小整数；
图形表示，像阶梯一样分布在直线f (x) =
x的上下： x=-e
f(x) 3
f(x)=x
2
1
-3 -2 -1 0-11 2 3 x
-2
-3
x=e
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评分原则
平时： 40 % 作 业：20 % 学习报告：20 %
期未考试：60 % 书面考试，开卷。
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第三章 整函数
整数是离散数学的主要构成部分，而且我们经 常需要把分数或任意实数转换为整数。本章的目的 就是：
熟悉并灵活运用这种转换； 学会它们的一些重要性质。
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3.1下整函数和上整函数
1000
1000
1000
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整个系统方案
利用Iverson关于取值为0或1的逻辑表达 式的约定，就能系统分析整个方案：
1000
W n is a winner
n 1
3 n \ n k 3 n k \ n1 n 1000
16
下整/上整递归
习的题前面25少要数求几证个明K或值者确推实翻满命足题这：个对不于等所式有，n所≥以0，这K个n ≥命n。题刚很才可列能出普 遍成立。让我们尝试用归纳法来证明，从递归方程的定义可以直 接得到基础n＝0。对于归纳步，假设对于小于某个指定的非负整 数n的所有值，不等式成立，我们试着证明Kn1≥n＋1。由递归方 程≥小这可2到远n知达n–2K不，2n到。1＝3K根K1nn＋据31 ≥≥m我i3nn们＋(n2的3K1。归n。2纳，可假3是设K，最n 32 )多n。能2归 可推纳以得假小K设n到1告≥n–诉11我+，们(3n2n–K3n22可） 以，
n n / 2 n / 2;
(3.17)
在对每部分各自进行分类之后（用相同方法，递归应 用），最多多再进行n–1次比较，就能把记录合并为最 终的次序。因此最多需要进行f (n)次比较，其中
f (1) 0;
f (n) f (n / 2) f (n / 2) n 1, n 1 (3.18)
k,m
1 k2 3k 3 1/ k k 2
1k 10
1 3k 4 1 7 31 9 172.
1k 10
2
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推广
让我们进行推广。假设将1000变为 1000000，或改变为更大的数N：
1 n 1000
k,n
k3 n k 13 n km1 n 1000
k ,m,n
1 k3 km k 13 1 k 10
k,m
1 m k2 k 13 / k 1 k 10
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3.3 下整/上整递归
下整和上整为递归关系的研究开拓了一个新的有趣视野。 我们进而讲述下整和上整的一个有趣的新的方面，也就 是研究递归关系。让我们首先观察下面这个递归：
6
四个规则
为了实际证明下整函数和上整函数的性质， 而不是仅仅从图形上看出来，下面四个规 则是特别有用的：
x n n x n 1
x n x 1 n x
x n n 1 x n
x n x n x 1
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几个常识
因为下整函数总是位于对角线f(x) = x之下或
者相交，所以有x ≤x，而x ≥x。在整数点
上两个函数恰好相等：x x x is an integer x x.
两者不同时，上整恰好比下整大1：
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7
相关性质
可以把整数项移进或者移出下整函数（或上整 函数）： x n x n
一般不能进行像移出常数因子这种类似运算。 例如，当n=2和x=1/2时，我们有 nx nx
在许多场合中，下整和上整括号是多余的，例 如： x n x n
仔细地处理k的最大值K：K 3 n .
对于一般的N，赢者数的总数为：
W 3k 4 K 3 Km N
1k K
m
1 2
7
3K
1K
1
m
m
K
2
N
/
K
3 K 2 5 K 4 m K 2 N / K .
层次3 给定一个明确的集合X和一个明确的性 质P(x)，证明或者推翻对于x∈X，P(x)为真。
层次4 给定一个明确的集合X和一个明确的性 质P(x)，找P(x)为真的必要充分条件Q(x)。
层次5 给定一个明确的集合X，找到其中元素 的一个有趣性质P (x)。
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没能找到反例意味着等式普遍成立
可以证明普遍成立。
推广此想法且证明更多的结果：设f(x)是 任意连续的单调上升函数，可以得到：
f (x) f (x) f (x) f (x)
特殊情况：
x
n
m
x
n
m
22
m
一般解答为：W N K 1 K 2 5 K 3
22
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谱
我们定义实数α的谱为一个无限的整数多 重集：Spec , 2 , 3 ,.
易证任意两个谱都不是相等的 — α≠β意 味着Spec(α)≠Spec(β)
谱具有许多极好的性质。以下两个谱中： 看起来在一个谱中缺少的数字会在另一个 中出现，但是没有数字在两个谱中同时出 现 Spec( 2) 1,2,4,5,7,8,9,11,12,14,15,16,18,19,21,22,24,,
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第3章 整函数
主 讲: 顾 乃 杰 教授 单 位: 计算机科学技术系 时 间: 2007 (秋)
第四章
《Concrete Mathematics 》
具体数学
作者： R. L. Graham
D. E. Knuth O. Patashnik
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n x n x
x n x n
n x n x
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分数部分
x和 x之间的差称为x的分数部分，可以
表示为：{x}=x- x x 也称为x的整数部分。 x y 的性质：
K0 1; Kn1 1 min(2Kn 2 , 3Kn 3 )
(3.16)
这样 K1 是1＋min(2 K0 ，3 K0 ) = 3；序列起始为1，3， 3，4，7，7，7，9，9，10，13，…。本书的作者之一 谨慎地决定称这些数为Knuth数。
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x y x y x y 如果x= x +{x}，并且 y= y+{y}；
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3.2 下整／上整的应用
先看下面的命题： x x
J3
(n)
3 2
J3
2 3
n
an
mod
n
1,
后面我们会其中的‘mod’函数作简要分析，而且根据
n mod 3 = 0，1或2得到 n = – 2，+1，或。但是很难对这个递 归作进一步讨论。
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x x =[x不是整数]
把对角线向下平移一个单位，那它就完全位于 下整函数之下：x 1 x x x x 1
这两个函数是关于两个坐标轴彼此对称的：
x x
x x
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一个应用
具体数学俱乐部的娱乐场有一个轮盘赌，共有 编号从1到1000的1000个位置。如果一次旋转 得到的数n可以被它的立方根的下整除尽，也就
是说，如果 3 n\ n, 则称为赢者数，且娱乐场付
给我们5元；否则称为输者数，且我们必须要付 出1元，我们能够赢钱吗？
赢者数的平均数目为
5W L 5W (1000 W ) 6W 1000.
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下整/上整递归
涉及下整和／或上整的递归关系经常出现在计算机科学 中，因为很多算法都是基于重要的“分而治之”技巧的， 因此经常把大小为n的问题简化为多个大小为n的部分的 类似问题的解。例如，一种n条记录的分类方法（n＞1） 就是把它们分为两个几乎相等的部分，一部分大小为， 另一部分为。（顺便提一句，注意这个公式迟早会经常 用到。）
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下整/上整递归
第一章中的Josephus问题有一个类似的递归方程，它能变成形式
J (1) 1;
J (n) 2J n / 2 1n, for n 1.
我们已经可以使用比第一章中多的工具了，所以让我们考虑更正 式的Josephus问题：问题中每次排除剩下的第三个人，而不是第 二个人。如果我们将第一章中使用的方法应用到这个更困难的问 题，最终得到下面的递归方程：
x
n
m
x
n
m
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10
数学的层次
层次1 给定一个明确的对象x和一个明确的性 质P (x)，证明P (x)为真。
层次2 给定一个明确的集合X和一个明确的性 质P (x)，证明对于所有的x∈X，P (x)为真。
我们现在有理由怀疑Kn≥n的真值性，所以让我们试着推翻它。若 能找到一个n使得2＜n或者3＜n，而换句话说就是使得
Kn / 2 n / 2 or Kn / 3 n / 3,
我所们以将这得里到最好Kn不1 ＜给n出＋解1。答这。可能吗？我们会在习题25进行讨论，
2019/12/3
对于所有实数x，下整（最大整数）和上 整（最小整数）函数的定义如下：
x =小于或等于x的最大整数；
x =大于或等于x的最小整数；
图形表示，像阶梯一样分布在直线f (x) =
x的上下： x=-e
f(x) 3
f(x)=x
2
1
-3 -2 -1 0-11 2 3 x
-2
-3
x=e
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评分原则
平时： 40 % 作 业：20 % 学习报告：20 %
期未考试：60 % 书面考试，开卷。
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第三章 整函数
整数是离散数学的主要构成部分，而且我们经 常需要把分数或任意实数转换为整数。本章的目的 就是：
熟悉并灵活运用这种转换； 学会它们的一些重要性质。
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3.1下整函数和上整函数
1000
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整个系统方案
利用Iverson关于取值为0或1的逻辑表达 式的约定，就能系统分析整个方案：
1000
W n is a winner
n 1
3 n \ n k 3 n k \ n1 n 1000
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下整/上整递归
习的题前面25少要数求几证个明K或值者确推实翻满命足题这：个对不于等所式有，n所≥以0，这K个n ≥命n。题刚很才可列能出普 遍成立。让我们尝试用归纳法来证明，从递归方程的定义可以直 接得到基础n＝0。对于归纳步，假设对于小于某个指定的非负整 数n的所有值，不等式成立，我们试着证明Kn1≥n＋1。由递归方 程≥小这可2到远n知达n–2K不，2n到。1＝3K根K1nn＋据31 ≥≥m我i3nn们＋(n2的3K1。归n。2纳，可假3是设K，最n 32 )多n。能2归 可推纳以得假小K设n到1告≥n–诉11我+，们(3n2n–K3n22可） 以，
n n / 2 n / 2;
(3.17)
在对每部分各自进行分类之后（用相同方法，递归应 用），最多多再进行n–1次比较，就能把记录合并为最 终的次序。因此最多需要进行f (n)次比较，其中
f (1) 0;
f (n) f (n / 2) f (n / 2) n 1, n 1 (3.18)
k,m
1 k2 3k 3 1/ k k 2
1k 10
1 3k 4 1 7 31 9 172.
1k 10
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推广
让我们进行推广。假设将1000变为 1000000，或改变为更大的数N：
1 n 1000
k,n
k3 n k 13 n km1 n 1000
k ,m,n
1 k3 km k 13 1 k 10
k,m
1 m k2 k 13 / k 1 k 10