教育最新K12课标通用2018年高考数学一轮复习第九章解析几何9.3圆的方程学案理

§9.3圆的方程考纲展示►1.掌握确定圆的几何要素．2．掌握圆的标准方程与一般方程．考点1 圆的方程1.圆的定义及方程答案：定点定长(a，b) r2．点与圆的位置关系(1)理论依据：________到________的距离与半径的大小关系．(2)三种情况：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．①(x0－a)2＋(y0－b)2________r2⇔点在圆上；②(x0－a)2＋(y0－b)2________r2⇔点在圆外；③(x0－a)2＋(y0－b)2________r2⇔点在圆内．答案：(1)点 圆心 (2)①＝ ②> ③<(1)[教材习题改编]圆x 2＋y 2－2ax ＋4ay ＝0(a ≠0)的圆心坐标是________，半径r ＝________.答案：(a ，－2a )5|a |解析：根据圆的一般方程的圆心公式和半径公式，可得圆的圆心坐标为(a ，－2a )，半径为5|a |.(2)[教材习题改编]以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为________． 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)的两端点分别为(2,0)，(0,2)， 所以圆心为(1,1)，圆的半径为1222＋22＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.圆的一般方程：注意表示圆的条件．(1)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________． 答案：－2<a <23解析：∵方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆， ∴a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0， 解得－2<a <23.(2)圆x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a ＝0的半径为2，则a ＝________. 答案：0或1解析：由题意可知，124a 2＋16－4a ＝a 2－a ＋4＝2，解得a ＝0或1，经检验都满足题意，所以a ＝0或1.[典题1] (1)求经过点P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程．[解] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，①3D －E ＋F ＝－10.②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6，得D 2－4F ＝36，④由①②④解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.(2)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，求圆C 的标准方程．[解] 解法一：因为圆C 的圆心在直线x －2y ＝0上，且与y 轴的正半轴相切， 所以设圆心C (2b ，b )(b >0)，半径r ＝2b .又圆C 截x 轴所得弦的长为23，圆心C 到x 轴的距离为b ， 所以由勾股定理b2－b 2＝3，解得b ＝1.因此圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.解法二：因为圆C 的圆心在直线x －2y ＝0上，设圆心C (2b ，b )， 所以圆C 的方程为(x －2b )2＋(y －b )2＝r 2， 因为圆C 与y 轴正半轴相切，则r ＝2b >0.① 又圆C 截x 轴所得弦的长为23，由勾股定理，得圆心C 到x 轴的距离为r 2－b 2＝ 3.② 联立①②，得b ＝1，r ＝2.因此圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.[点石成金] 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．考点2 与圆有关的最值问题[考情聚焦] 与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．主要有以下几个命题角度： 角度一 斜率型最值问题[典题2] [2017·辽宁抚顺模拟]已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求y x的最大值和最小值．[解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. 角度二 截距型最值问题[典题3] 在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值． [解] y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. 角度三 距离型最值问题[典题4] 在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值． [解] 如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为－2＋－2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 角度四建立目标函数求最值问题[典题5] 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1 和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 [答案] B[解析] 由(x －3)2＋(y －4)2＝1知，圆上点P (x 0，y 0)可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3＋cos θ，y 0＝4＋sin θ.∵∠APB ＝90°，即AP →·BP →＝0， ∴(x 0＋m )(x 0－m )＋y 20＝0，∴m 2＝x 20＋y 20＝26＋6cos θ＋8sin θ ＝26＋10sin(θ＋φ)≤36⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝34，∴0＜m ≤6，即m 的最大值为6.[点石成金] 求解与圆有关的最值问题的两大规律(1)借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．考点3 与圆有关的轨迹问题(1)[教材习题改编]已知点P 与两个定点O (0,0)，A (－3,3)的距离之比为12，则点P 的轨迹方程是________．答案：x 2＋y 2－2x ＋2y －6＝0 解析：依题意，得|PO ||PA |＝12.设P (x ，y )，则x 2＋y 2x ＋2＋y －2＝12， 整理得x 2＋y 2－2x ＋2y －6＝0.(2)[教材习题改编]若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________．答案：(－1,1)解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2<4，即a 2<1，故－1<a <1.1.求圆的标准方程：几何法．经过三点A (4,0)，B (0,2)，C (1,3)的圆的方程为________． 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：因为k BC ·k AC ＝3－21－0·3－01－4＝－1，所以AC ⊥BC ，所以△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，所以所求圆的圆心坐标为(2,1)，半径r ＝12|AB |＝1242＋22＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 2．求圆的一般方程：待定系数法．△ABC 的三个顶点分别为A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)，其外接圆的方程为________． 答案：x 2＋y 2－4x －2y －20＝0解析：解法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 由题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＋26＝0，－2D －2E ＋F ＋8＝0，5D ＋5E ＋F ＋50＝0，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.解法二：由题意可求得线段AC 的中垂线方程为x ＝2， 线段BC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0， 则圆心是两中垂线的交点(2,1)，半径r ＝＋2＋－2＝5.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25.[典题6] 设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．[解] 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况)．[点石成金] 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，点P 的坐标为(2x －2,2y )． 因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )． 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.[方法技巧] 1.求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分利用圆的几何性质，简化运算． 3．圆心在过切点且垂直于切线的直线上． 4．圆心在任一弦的中垂线上．5．两圆相切时，切点与两圆心三点共线．[易错防范] 求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线．真题演练集训1．[2015·新课标全国卷Ⅰ]一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析：由题意知，a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知，圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0＜m ＜4，r ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，－m 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.2．[2014·陕西卷]若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．答案：x 2＋(y －1)2＝1解析：因为点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.3．[2016·江苏卷]如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围． 解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22， 所以25＝m ＋25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA →＋TP →＝TQ →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点， 所以5－5≤t ＋－6]2＋－2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221 ]．课外拓展阅读圆中避免求“交点”的几种策略有关圆锥曲线与圆的交点问题，若用解方程组的方法求出交点坐标，往往比较繁琐，有些甚至没有必要，下面举例介绍如何避免求“交点”的几种策略：1．整体代入法[典例1] 已知圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交于两点A ，B ，则公共弦AB 所在的直线方程为________．[解析] 设圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0任一交点的坐标是(x 0，y 0)，则x 20＋y 20＋D 1x 0＋E 1y 0＋F 1＝0，①x 20＋y 20＋D 2x 0＋E 2y 0＋F 2＝0.② ①－②，得(D 1－D 2)x 0＋(E 1－E 2)y 0＋(F 1－F 2)＝0，因为A ，B 的坐标都满足方程(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0，③所以③是过A ，B 两点的直线方程．而过A ，B 两点的直线是唯一的，故方程③就是公共弦AB 所在的直线方程．[答案] (D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝02．数形结合法[典例2] 已知曲线xy ＝1与圆M ：x 2＋y 2－4x －4y ＋3＝0相交于A ，B 两点，则AB 的中垂线方程为________．[解析] 曲线xy ＝1是反比例函数，其图象关于直线y ＝x 对称，而圆M 的圆心(2,2)在直线y ＝x 上，就是说圆M 也关于直线y ＝x 对称，故AB 的中垂线方程为y ＝x .[答案] y ＝x方法点睛数形结合思想，通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，往往能起到化繁为简，化难为易的作用，使一些看似复杂的问题通过作图得以轻松解决．3．根与系数之间的关系[典例3] 过点A (0,3)作直线l 与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －6＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，则直线l 的方程为________．[解析] 由题意，斜率不存在的直线不符合题意，设直线l ：y ＝kx ＋3，代入圆的方程式整理，得(1＋k 2)x 2＋2(k －1)x －9＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1x 2＝－91＋k 2，x 1＋x 2＝－k －1＋k 2.① 所以y 1y 2＝(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝k 2x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋9＝－6k 2＋6k ＋91＋k .② 而OP ⊥OQ ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，联立①②解得，k ＝0或k ＝1，故所求直线为y ＝3或x －y ＋3＝0.[答案] y ＝3或x －y ＋3＝04．巧设方程法[典例4] 过点A (0,1)，B (4，m )且与x 轴相切的圆有且只有一个，求实数m 的值和这个圆的方程．[解] 设所求的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其中r 2＝b 2.将A ，B 的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋1－2b ＝0，a 2－8a ＋16＋m 2－2mb ＝0.消去b ，得(1－m )a 2－8a ＋(m 2－m ＋16)＝0.(*)由题设，得知方程(*)只有一解．因此(1)当1－m ＝0，即m ＝1时，方程(*)只有一解，此时a ＝2，b ＝52. 故所求方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522. (2)当m ≠1时，方程(*)为关于a 的一元二次方程，故Δ＝0，解得m ＝0，此时a ＝4，b ＝172. 故所求方程(x －4)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －1722＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1722.。