图与网络
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数据结构(图与网络)
C = (cij ) n×n ∈ {0,1}
n×n
,
0, cij = 1,
(i, j ) A, (i, j ) ∈ A.
每行元素之和正好是对应顶点的出度， 每列元 素之和正好是对应顶点的入度. 在邻接矩阵的所有元素中，只有m个为非零元.
1
1.3 图与网络的数据结构
1.3.1 邻接矩阵表示法
2 4
11
5
1.3 图与网络的数据结构
2 4
1
3
5
1.3.3 弧表表示法
起点 终点 权 (例) 1 2 8 1 3 9 2 4 6 3 2 4 4 3 0 4 5 3 5 3 6 5 4 7
6
1.3 图与网络的数据结构
G=(V，A)是一个简单有向图 |V|=n，|A|=m
Lists)表示法 1.3.4 邻接表 (Adjacency Lists)表示法 图的邻接表是图的所有节点的邻接表的集合; 而 图的邻接表是图的所有节点的邻接表的集合; 对每个节点，它的邻接表就是它的所有出弧. 对每个节点，它的邻接表就是它的所有出弧.
1 1 2 3 3 4 4 5 5 7 6 9
节点对应的出弧的起始地址编号数组（记为point）为 节点号i 起始地址point(i) 记录弧信息的数组为 弧编号 起点 终点 权 1 1 2 8 2 1 3 9 3 2 4 6 4 3 2 4 5 4 3 0 6 4 5 3 7 5 3 6 8 5 4 7
G=(V，A)是一个简单有向图 |V|=n，|A|=m
1.3.2 关联矩阵(Incidence Matrix)表示法 1.3.2 关联矩阵(Incidence Matrix)表示法 的邻接矩阵C是如下定义的 图G=(V，A)的邻接矩阵 是如下定义的： C是一 ， 的邻接矩阵 是如下定义的： 是一 的矩阵， 个 n × m 的矩阵，即
图与网络分析(GraphTheoryandNetworkAnalysis)
e9
e5 {v1 , v3 } e6 {v3 , v5 }
e7 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 }
e9 {v6 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e1
e2
v2
e5 e3 e4 v4
e8
e6
v5 e7 v3
图1
2、如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无向图，记作
X={1}, w1=0
p1=0
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
min {c12,c14,c16}=min {0+2,0+1,0+3}=min {2,1,3}=1 X={1,4}, p4=1
（9） T (v6 ) min[ T (v6 ), P(v5 ) l56 ] min[ , 5 2] 7 （10） P(v6 ) 7
反向追踪得v1到v6的最短路为：v1 v2 v5 v6
求从1到8的最短路径
2
6
1
2
3
1
10
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
v2
v5
v2
v4
v3
v4
v3
一个图G 有生成树的充要条件是G 是连通图。
用破圈法求出下图的一个生成树。
v2
e1 v1
e4 e7 e3 v4 e8
8.1__图与网络分析基本概念
• 不连通图中的每个连通的部分,称为原图的连通分图. 链、圈、路、回路都是原图的连通分图.
16
5、连通图、连通分图、子图
• 给定图 G
(V , E )
,如果有 (V , E ),使得 V V,E E ， G 为 则称 G 为 G 的一个子图.当 V V 时, 则称 G G 的一个
而 e i 是 v i , v j的关联边. • 同一条边的两个端点称为相邻顶点.具有共同端点的边 称为相邻边. • 一条边的两个端点相同,称为环.具有两个共同端点的
两条边称为多重边. • 既没有环也没有多重边的图称为简单图.
9
3、端点、关联边、相邻、次
• 一个没有环,但允许有多重边的图称为多重图. 今后若不加特别说明,所研究的图均为简单图. • 在无向图中,以顶点 v 为端点的边的数目,称为该顶点 的次,记作 d ( v ) . 次为1的点称为悬挂点,连接悬挂点的边称为悬挂边. 次为0的点称为孤立点. 仅有孤立点的图为零图. 次为奇数的点称为奇点,次为偶数的点称为偶点. 图中顶点均为偶点的图称为偶图.
链中没有重复点和重复边的链称为初等链. • 链 ( v i , v i , v i ) 中,若 v i v i ,则称此链为圈.
1 1 k
1
k
没有重复点和重复边的圈称为初等圈.
14
4、链、圈、路、回路
• 设D是一个有向图, G是它的基础图.若 ( v i , e i , ...., e i , v i )
6
无向图
有向图
混合图
• 图G或D的边数记作 m ( G ) 或 m ( D ) , 顶点个数记作n ( G ) 或 n ( D ) .在不引起混淆情况下,也简记为m , n .
随机图与网络理论
随机图与网络理论是现代数学及计算机科学领域中研究图像和网络结构的重要分支。
随机图指的是由随机过程生成的图结构，而网络理论则是研究这些图像和网络在实际应用中的性质和行为。
随机图的生成可以通过一些随机算法或过程进行。
其中最常见的两类是随机图模型和随机图生成器。
随机图模型是一类具有特定图像性质的图模型，可以用来模拟实际问题中的图结构。
而随机图生成器则是一种能够生成不同类型随机图的算法，它的作用是生成具有随机性的图像。
随机图与网络理论在现实生活中扮演着重要的角色。
例如，在社交网络中，我们可以使用随机图来模拟用户之间的关系，并通过网络理论来分析这些关系的性质和行为。
此外，随机图与网络理论还广泛应用于通信网络、物流网络、交通网络等各种实际应用中。
随机图与网络理论的研究内容非常丰富。
其中一个重要的研究方向是关于图像结构的随机性质的研究。
通过对随机图生成器进行设计和分析，我们可以了解到不同类型图像的生成方式和特性。
例如，我们可以通过随机图生成器来模拟一个社交网络，然后分析这个网络中用户之间的关系，从而了解社交网络的结构和性质。
另一个重要的研究方向是关于网络行为的研究。
通过对随机图模型进行研究，我们可以了解到网络在不同环境下的行为和特性。
例如，在一个通信网络中，我们可以通过随机图模型来模拟数据包的传输过程，并进一步分析网络的拥塞状况和传输性能。
此外，随机图与网络理论在算法设计和优化领域中也发挥着重要的作用。
通过对网络结构的分析和优化，我们可以设计出更加高效和稳定的算法。
例如，在旅行商问题中，我们可以通过随机图模型来表示城市之间的距离，然后通过网络理论来寻找最短路径，从而找到最优解。
总之，随机图与网络理论是现代数学和计算机科学中的重要分支，它们的研究涉及到图像结构的随机生成、网络行为的分析以及算法设计和优化等方面。
随着人工智能和物联网等技术的发展，随机图与网络理论将会发挥更加重要的作用，为我们的生活和社会带来更多的便利和创新。
运筹学第7章图与网络优化
*
1
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
2
相邻节点的序列 {v1 ,v2 ,…, vn} 构成一条链(link)p178；
3
在无向图中，节点不重复出现的链称为初等链；
4
首尾相连的链称为圈(loop) ；首尾相连的初等链称为初等圈；
5
边不重复出现的链（圈）称为简单链（圈）
01
02
子图，部分图；连通图，成分
(1).与v3相连的临时标号有v5
第五步：
T(v5)=min{T(v5),P(v3)+d35}=min{9,7+3}=9
(2).P(v5)=9
最短路线：
vs→v1→v4→ v5 vs→v2→v4→ v5
vS
v2
v3
v4
v5
1
2
2
2
3
3
3
4
4
0
4
5
3
7
9
*
也可以用表格的形式求解。p190
斯坦纳树问题
假设我们在北京、上海、西安三城市之间架设电话线，一种办法是分别联通北京--上海和北京--西安。另一种办法是选第四个点，假设郑州。由此分别向三城市架线，可能你不会想到第二种办法所用的电话线只是第一种办法的86.6%，即可取得比第一种办法节约13%的显著经济效益。这就是离散数学界30年代提出的著名的斯坦纳树问题，但一直未能得到证明。
平面图(planar graph)，若在平面上可以画出该图而没有任何边相交
*
7基础图，路，回路，欧拉回路
在有向图D(V,A)中去掉箭头，称为D的基础图，G（D）
01
在有向图中，链 路
02
圈 回路
03
1
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
2
相邻节点的序列 {v1 ,v2 ,…, vn} 构成一条链(link)p178；
3
在无向图中，节点不重复出现的链称为初等链；
4
首尾相连的链称为圈(loop) ；首尾相连的初等链称为初等圈；
5
边不重复出现的链（圈）称为简单链（圈）
01
02
子图，部分图；连通图，成分
(1).与v3相连的临时标号有v5
第五步：
T(v5)=min{T(v5),P(v3)+d35}=min{9,7+3}=9
(2).P(v5)=9
最短路线：
vs→v1→v4→ v5 vs→v2→v4→ v5
vS
v2
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也可以用表格的形式求解。p190
斯坦纳树问题
假设我们在北京、上海、西安三城市之间架设电话线，一种办法是分别联通北京--上海和北京--西安。另一种办法是选第四个点，假设郑州。由此分别向三城市架线，可能你不会想到第二种办法所用的电话线只是第一种办法的86.6%，即可取得比第一种办法节约13%的显著经济效益。这就是离散数学界30年代提出的著名的斯坦纳树问题，但一直未能得到证明。
平面图(planar graph)，若在平面上可以画出该图而没有任何边相交
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7基础图，路，回路，欧拉回路
在有向图D(V,A)中去掉箭头，称为D的基础图，G（D）
01
在有向图中，链 路
02
圈 回路
03
《图与网络分析》课件
网络的定义与分类
总结词
网络的定义与分类是理解图与网络分析的关键。
详细描述
网络是由节点和边构成的集合，用于描述系统中各个组成部分之间的关系。根据 不同的分类标准，网络可以分为多种类型，如无向网络和有向网络、单层网络和 多层网络等。
图与网络的应用领域
总结词
图与网络的应用领域广泛，包括计算机科学、交通运输、生物信息学等。
从任意一个顶点开始，每次选择一条与已选顶点集合相连的边中权 重最小的边，将其加入最小生成树中。
最短路径算法
Dijkstra算法
01
用于求解图中从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
Bellman-Ford算法
02
用于求解图中所有顶点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法
03
用于求解图中所有顶点之间的最短路径，时间复杂度较低。
网络流算法
01
Ford-Fulkerson算法
用于求解最大网络流问题，通过不断寻找增广路径来增加网络的流量。
02
Dinic算法
基于层次搜索和增广路径的算法，用于求解最大网络流问题。
03
Edmonds-Karp算法
基于广度优先搜索的算法，用于求解最大网络流问题。
03
网络分析与应用
网络中心性分析
节点中心性
社区结构特征
包括社区大小、社区密度、社区连通性等。
社区结构分析的应用
在社交网络中识别用户群体，在组织结构中划分部门和团队等。
网络动态分析
网络动态模型
常见的网络动态模型有随机游走、马尔科夫链和自组 织映射等。
网络动态特征
包括节点的活跃度、网络的演化规律和网络的鲁棒性 等。
网络动态分析的应用
环境系统分析图与网络方法PPT课件
φ ： e1= ＜ V1 、 V2 ＞ V4＞ e2= ＜ V1 、
e3= ＜ V2 、 V3 ＞ V4＞
e4= ＜ V3 、
定义：有向图 G= （ V 、 E 、 ψ ） , 与 无向图的区别在于ψ 与φ ψ ： ek= （ Vi 、 Vj ），以 Vi 为起点， Vj为终点. 有向图的边带箭头，（对应 于实际中的河流水流方向，管道中 水流方向等）
环境系统分析
第3讲
三、图与网络方法
1、图的概念 定义：无向图G=（V、E、φ ），包 含有顶点集合 V ，边的集合 E ，以 及顶点与边之间的关系φ ，有时无 向图直接写成G=（V、E） 这样做便于将图用数学集合 形式表达出来，反之亦然。环境问 题中河网、管网、工艺路线等均可
例：右图中， G= （ V 、 E 、 φ ） 其中：V={V1、V2、V3、V4} E={e1 、 e2 、 e3 、 e4 、 e5 、 e6}
一项系统工程总是由许多工 序（过程、活动、作业）组成， 用箭头“→ ”来表示一道工序， 把代表各个工序的各条箭头按照 工序间相互关系和相互制约的联 系，按先后次序和流程方向，从 左至右按逻辑排列，并画成图， 则为之间 的关系为： A工序完工后，B、 C、G可同时开工； B 完工后， E 、 D 可 以同时开工； C、D完工后，H可 以开工； G、H完工后，F、 J可以开工；
ij
(2) 的值表示从 V i 出发经过某一中
间站 Vk 然后到达 Vj 的路径数目，形
象地说， a
ij (2) 是从 Vi 出发两步到
同样地，A3= A2· A=A· A2=（aij(3)）
其中： （aij(3)）=∑aik(2)· akj
表示从Vi出发三步到达Vj的路径数目。
e3= ＜ V2 、 V3 ＞ V4＞
e4= ＜ V3 、
定义：有向图 G= （ V 、 E 、 ψ ） , 与 无向图的区别在于ψ 与φ ψ ： ek= （ Vi 、 Vj ），以 Vi 为起点， Vj为终点. 有向图的边带箭头，（对应 于实际中的河流水流方向，管道中 水流方向等）
环境系统分析
第3讲
三、图与网络方法
1、图的概念 定义：无向图G=（V、E、φ ），包 含有顶点集合 V ，边的集合 E ，以 及顶点与边之间的关系φ ，有时无 向图直接写成G=（V、E） 这样做便于将图用数学集合 形式表达出来，反之亦然。环境问 题中河网、管网、工艺路线等均可
例：右图中， G= （ V 、 E 、 φ ） 其中：V={V1、V2、V3、V4} E={e1 、 e2 、 e3 、 e4 、 e5 、 e6}
一项系统工程总是由许多工 序（过程、活动、作业）组成， 用箭头“→ ”来表示一道工序， 把代表各个工序的各条箭头按照 工序间相互关系和相互制约的联 系，按先后次序和流程方向，从 左至右按逻辑排列，并画成图， 则为之间 的关系为： A工序完工后，B、 C、G可同时开工； B 完工后， E 、 D 可 以同时开工； C、D完工后，H可 以开工； G、H完工后，F、 J可以开工；
ij
(2) 的值表示从 V i 出发经过某一中
间站 Vk 然后到达 Vj 的路径数目，形
象地说， a
ij (2) 是从 Vi 出发两步到
同样地，A3= A2· A=A· A2=（aij(3)）
其中： （aij(3)）=∑aik(2)· akj
表示从Vi出发三步到达Vj的路径数目。
数学建模- 图与网络模型及方法
欢迎共阅第五章 图与网络模型及方法§1 概论图论起源于18世纪。
第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。
1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。
1857年，凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时，也发现了“树”。
哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。
图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。
如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。
图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。
哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。
当然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。
欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。
他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。
问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
图与网络是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。
图与网络分析-(共34张PPT)
4、环：某一条孤起点=终点，称为环。 5、基础图：给定一个有向图D=(V,A) ，从D中去掉所有
弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。
第九页，共34页。
6、链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的
一个点弧交错序列，如果这个序列在基础图G(D)中
所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列
v(f) fij–fji= 0
–v(f)
i=s is，t
i=t
且使v(f)达到最大。
第二十三页，共34页。
3、增广链 给定可行流f={fij}，使fij=cij的弧称为饱和弧，使
fij<cij的弧称为非饱和弧，把fij=0的弧称为零流弧， fij>0
的弧称为非零流弧。
若是网络中连接发点vs和收点vt的一条链，定义链
22
21
44
(0，Vvs)1
89
62
31
32 63
45
24
47
(44,V1) v4
37 27
(78,V3)
v6
32
v3 (31, V1) 34
第十九页，共34页。
v5 (62,V1)
第三节 最大流问题
如下是一运输网络，弧上的数字表示每条弧上 的容量，问：该网络的最大流量是多少？
4 vs
3
v1
3
1 2
2
v2
v3 3
2
vt
4 v4
第二十页，共34页。
一、基本概念和基本定理
1、网络与流
定义1：给定一个有向图D=(V,A),在V中有一个发点 vs和一收点vt，其余的点为中间点。对于每一条弧 (vi,vj),对应有一个c(vi,vj)0,(cij)称为弧的容量。这 样的有向图称为网络。记为D=(V,A,C)。
弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。
第九页，共34页。
6、链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的
一个点弧交错序列，如果这个序列在基础图G(D)中
所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列
v(f) fij–fji= 0
–v(f)
i=s is，t
i=t
且使v(f)达到最大。
第二十三页，共34页。
3、增广链 给定可行流f={fij}，使fij=cij的弧称为饱和弧，使
fij<cij的弧称为非饱和弧，把fij=0的弧称为零流弧， fij>0
的弧称为非零流弧。
若是网络中连接发点vs和收点vt的一条链，定义链
22
21
44
(0，Vvs)1
89
62
31
32 63
45
24
47
(44,V1) v4
37 27
(78,V3)
v6
32
v3 (31, V1) 34
第十九页，共34页。
v5 (62,V1)
第三节 最大流问题
如下是一运输网络，弧上的数字表示每条弧上 的容量，问：该网络的最大流量是多少？
4 vs
3
v1
3
1 2
2
v2
v3 3
2
vt
4 v4
第二十页，共34页。
一、基本概念和基本定理
1、网络与流
定义1：给定一个有向图D=(V,A),在V中有一个发点 vs和一收点vt，其余的点为中间点。对于每一条弧 (vi,vj),对应有一个c(vi,vj)0,(cij)称为弧的容量。这 样的有向图称为网络。记为D=(V,A,C)。
7图与网络分析
运筹学 4
第一节 一、概念
图的基本概念和模型
图：点V和边E的集合，用以表示对某种现实事 物的抽象。记作 G=｛V,E｝,
V=｛v1,v2,·,vn｝, · · E=｛e1,e2,·,em｝ · · 点：表示所研究的事物对象
e0
e1 v1 e5 e3 e4
v0
e2 v2 e7
v4
运筹学 5
边：表示事物之间的联系
15．0 12．5 25．0 20．0 21．0 16．0 12．5 6．5
4
5
13．0
9．0
6．5
运筹学 26
某台机器可连续工作4年，也可于每年末卖掉，换一 台新的。已知于各年初购置一台新机器的价格及不同役 龄机器年末的处理价如下表所示，又新机器第一年运行 及维护费用为0.6万元，使用1-3年后机器每年的运行及 维修费用为1.6、3.0、4.0万元。试确定该机器的最优更 新策略，使4年内用于更换、购买及运行维修的总费用为 最省?
两个人），他们同在河的一边，想渡过河去，但是必须 保证在河的任何一边商人的数目要大于等于强盗的数目， 并要满足渡河次数尽量少，应该怎么过这条河？
运筹学 15
应用
分酒问题
两人有一只容积为8升的酒壶盛满了酒，还有
两只容积分别为5升和3升的空壶，问平分酒的最简
单的方法应当怎样？
8
5
3
运筹学 16
10名研究生参加6门课程考试。由于选修内容不同，考试门数也 不一样。每个研究生应参加的考试课程如下表所示（打“√” 表示参加该课程考试）。
示，打“√”的项目是各运动员报名参加比赛的项
目。问：六个项目的比赛顺序应如何安排，才能做 到使每名运动员不连续地参加两项比赛？
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第8章 图与网络分析
（a）
（b）
（c）
图 8-9 图、子图、支撑子图
（4）图的同构 设 G1 与 G2 是两个同阶图，若顶点集合 V1 和 V2 以及边集 E1 和 E2 之间在保持关联性
质条件下的一一对应，则称图 G1 和图 G2 同构。 例如：图 8-10（a）和图 8-10（b）就为同构。
（a）
(b)
图 8-10 同构图
（10）定理 8.1 对于图 G=(V ,E) ，其中 V = n , E = m ,则有：
∑d (v) = 2m
（8-2）
v∈V
证明：每条边都有两个端点，在计算顶点的次时，每个端点都要计算对应边次，故共有
2m 次。
通俗地讲，就是线有两头，共有 2m 个线头的意思。
（11）定理 8.2 奇次顶的总数是偶数。
第八章 图与网络分析
8.1 图与网络的基本知识
8.1.1 图与网络的基本概念 8.1.1.1 图的定义 自然界和人类社会中，大量的事物以及事物之间的关系，常可以用图形来描述。例如： 图 8-4 所示的我国北京、上海等十个城市间的交通图反映了这十个城市间铁路
分布情况。这里用点代表城市，用点和点之间的连线代表这两个城市之间有直通铁路。
图 8-7 一个无向图
G = (V, E) V= {v1, v2 ,v3 , v4} E={e1, e2 ,e3 , e4 ,e5 , e6 , e7}
其中
e1 = [v1 ,v2 ] , e2 = [v1 ,v2 ] , e3 = [v2 ,v3 ] , e4 = [v3 ,v4 ] ,
图 8-8 是一个有向图。该图可以表示为：
图 8-4 十个城市间铁路分布图
又如某单位储存五种化学药品，其中，某些药品是不能放在同一库房里的，为了反映这 种情况，可以用点 v1 、 v2 、 v3 、 v4 、 v5 分别代表这五种药品，若药品 vi 和药品 v j 是不能存 放在同一库房的，则在 vi 和 v j 之间连一条线，如图 8-5 所示。如果问题归结为寻求存放这种 化学药品的最少库房个数，则该问题就是染色问题。事实上，至少需要三个库房来存放这些 药品，即 v1 和 v5 、 v2 和 v4 、 v3 各存放在一个库房里。
第六章 图与网络分析
v1 1 v8 5 v7 3 4 5 2 v6 2 4 2 v2 1 3 v0 4 4 v5 1 v3 1 v4 5
28
第三节 最短通路问题
29
一、最短通路问题
最短通路问题：就是从给定的网络图中找出 最短通路问题： 任意两点之间权重之和最小的一条路。 权重之和最小的一条路 任意两点之间权重之和最小的一条路。
8
例：图
e1
v1 e2 e4 e5 e3 e6 v3 v5
9
v4
v2
6、子图：图G1=（V1，E1）和图 2=（V2， 、子图： 和图G （ （ E2），如果 V1 ⊆ V2 和 E1 ⊆ E 2 ，称G1是G2的 ），如果 一个子图。 一个子图。 V 的支撑子图。 当V1= V2，1 ⊂ V2 时，称G1是G2的支撑子图。
32
①令P(vs)=0，T(vi)=+∞，i=(1,2,…,n-1,n) ， ， 计算T(vj)=min[T(vj), P(vi)+ ωij] ②计算 比较所有具有T标号的点 把最小者改为P标 标号的点， ③比较所有具有 标号的点，把最小者改为 标 号，即： P(vi)=min[T(vi)] ；当存在两个以上 最小者时，可同时改为P标号 标号， 最小者时，可同时改为 标号，若全部点均 标号则停止计算。 为P标号则停止计算。 标号则停止计算
39
2、流量：弧（vi,vj）实际通过量或安排的通 、流量： 过量，记为f 过量，记为 ij。 3、流：弧集E上所有边的流量所组成的集合， 、 上所有边的流量所组成的集合， 弧集 上所有边的流量所组成的集合 记为f={fij}。 记为 。
40
v1 (8,8)
(9,4)
v3 (5,5) (6,1) (10,8) vt
28
第三节 最短通路问题
29
一、最短通路问题
最短通路问题：就是从给定的网络图中找出 最短通路问题： 任意两点之间权重之和最小的一条路。 权重之和最小的一条路 任意两点之间权重之和最小的一条路。
8
例：图
e1
v1 e2 e4 e5 e3 e6 v3 v5
9
v4
v2
6、子图：图G1=（V1，E1）和图 2=（V2， 、子图： 和图G （ （ E2），如果 V1 ⊆ V2 和 E1 ⊆ E 2 ，称G1是G2的 ），如果 一个子图。 一个子图。 V 的支撑子图。 当V1= V2，1 ⊂ V2 时，称G1是G2的支撑子图。
32
①令P(vs)=0，T(vi)=+∞，i=(1,2,…,n-1,n) ， ， 计算T(vj)=min[T(vj), P(vi)+ ωij] ②计算 比较所有具有T标号的点 把最小者改为P标 标号的点， ③比较所有具有 标号的点，把最小者改为 标 号，即： P(vi)=min[T(vi)] ；当存在两个以上 最小者时，可同时改为P标号 标号， 最小者时，可同时改为 标号，若全部点均 标号则停止计算。 为P标号则停止计算。 标号则停止计算
39
2、流量：弧（vi,vj）实际通过量或安排的通 、流量： 过量，记为f 过量，记为 ij。 3、流：弧集E上所有边的流量所组成的集合， 、 上所有边的流量所组成的集合， 弧集 上所有边的流量所组成的集合 记为f={fij}。 记为 。
40
v1 (8,8)
(9,4)
v3 (5,5) (6,1) (10,8) vt
OR图与网络模型
发点的发量=Z 其他同最大流的模型。
11
作业 P253 1、3、4
12
THE END
Management school Inner Mongolia University of Technology
13
。
每条弧的实际流量fij≤ 该弧的容量 cij
1非.数负学条模件型：：每例条6弧，的石实油际公流司量铺fi管j≥0道，求最大流量
P242 设，弧(vi，vj)中的实v2 际流量f3ij
v5
Max Z = f12 + f14
2
5
f12 = f23 + f25 f14 = f43+f46+f47 f23+f43 = f35+f36 f25+f35=f57 f36+f46=f67
V，图D的点的集合 1
A，图D的弧的集合
链：点、边交错的序列
圈：起点也是终点的链
连通图：任意两点间有链
权：边上对应的数字，wij
赋权图：每条边都有权wij
e1
e2
V1
V2
e4 e5
V3 e3
V4
V5
路：点、弧交错的序列，同向 回路：起点也是终点的路
权：弧上对应的数字，cij
网络：每条弧都有权(容量cij)， 指定一个发点、一个收点 其它为中间点 。
第第34v步 步1 ，，继根46续 据， 最直 后v2到 的没 顺有 流v路、16。逆流容量4，核v定2 实际流量。
v2
3 3
0 v5
0
2
0
5
6
v1 63 0 v4
02
0 v3
2 0
0
4
11
作业 P253 1、3、4
12
THE END
Management school Inner Mongolia University of Technology
13
。
每条弧的实际流量fij≤ 该弧的容量 cij
1非.数负学条模件型：：每例条6弧，的石实油际公流司量铺fi管j≥0道，求最大流量
P242 设，弧(vi，vj)中的实v2 际流量f3ij
v5
Max Z = f12 + f14
2
5
f12 = f23 + f25 f14 = f43+f46+f47 f23+f43 = f35+f36 f25+f35=f57 f36+f46=f67
V，图D的点的集合 1
A，图D的弧的集合
链：点、边交错的序列
圈：起点也是终点的链
连通图：任意两点间有链
权：边上对应的数字，wij
赋权图：每条边都有权wij
e1
e2
V1
V2
e4 e5
V3 e3
V4
V5
路：点、弧交错的序列，同向 回路：起点也是终点的路
权：弧上对应的数字，cij
网络：每条弧都有权(容量cij)， 指定一个发点、一个收点 其它为中间点 。
第第34v步 步1 ，，继根46续 据， 最直 后v2到 的没 顺有 流v路、16。逆流容量4，核v定2 实际流量。
v2
3 3
0 v5
0
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0
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v1 63 0 v4
02
0 v3
2 0
0
4
数学建模中的图与网络分析
生物信息学中的网络分析
生物信息学中的网络分析
生物分子相互作用网络
利用图与网络理论，对生物分子相互作用 、基因调控、蛋白质互作等生物信息进行 建模和分析。
研究生物分子之间的相互作用关系，揭示 生命活动的内在机制。
基因调控网络
蛋白质互作网络
研究基因转录调控的相互作用关系，揭示 基因表达的调控机制。
研究蛋白质之间的相互作用关系，揭示蛋 白质的功能和结构。
析等方面发挥重要作用。
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动态图
总结词
动态图是随着时间变化的图结构，可以表示事物随时间变化的关系。
详细描述
动态图是图论中的一个重要分支，它研究的是图结构随时间的变化。在动态图中，节点和边的出现、消失以及变 化都可以被建模。这种模型在处理时间序列数据、预测未来趋势和动态系统分析等方面具有广泛应用。
加权图与网络
总结词
加权图与网络中，边具有权重，可以表示节点之间的连接强度或关系。
性质
图具有方向性（有向图和无向图）和 权重（加权图和无权图）等性质。
图的分类
有向图
边具有方向，表示对象之间的单向关 系。
无向图
边没有方向，表示对象之间的双向关 系。
加权图
边具有权重，表示对象之间的关系强 度。
无权图
边没有权重，表示对象之间的关系存 在与否。
图的表示方法
邻接矩阵
用矩阵表示图中顶点之间的关系，矩阵元素 表示顶点之间的连接关系。
规则图
根据预设规则生成节点和边，如网格、环状、星 状等。
社区结构图
根据节点间的相似性或关联性生成图，形成具有 社区结构的网络。
网络的形成
无向网络
节点间连接无方向，表示相互关系。
图与网络的基本概念
1 0 1 1 0
21 0 0 1
3 4
0 0
0 0
0 0
1 0
• 定理3：G是二分图当且仅当G的邻接矩阵可表示为
0 C C1T
C1 0
• 设有图G=(V,E)，如果它的某些顶点与边可以排成 一个非空的有限交错序列 (v0 , e1, v1,, ek , vk )
且 ei {vi1, vi} ，则称它为由 v0 到 vk 的一条途径；
|V | | E | 阶矩阵 B (bij ) ，称为G的关联矩阵， 其中
1，第 i 个顶点与第 j 条边关联,
bij
0,
否则.
• 一个简单有向图D=(V,A)也对应一个如下定 义的 |V | | A | 阶矩阵 B (bij ) ，称为D的关联 矩阵，其中
1, 当第 j 条弧以顶点 i 为尾,
• 如果H是G的子图，且H是连通的，则称H为G 的连通子图.
• 称H为G的极大连通子图，是指H为G的连通 子图，且不存在连通子图J，使H是J的子图.
• 图G的极大连通子图又称为G的连通分支； 一个图可以有多个连通分支，连通图恰好 有一个连通分支.
• 有向图D=(V,A)中某些顶点与弧组成的非空有限序列
• 设有两个图 G1 (V1, E1) ，G2 (V2, E2 ) ，如果 V1 V2, E1 E2, 则称 G1 为 G2 的子图；若进一步有V1 V2 ，则称 G1 为G2 的支撑 子图.
• 设有图 G (V , E) ，V1是 V 的非空子集，若以 V1 为点集，以 两顶点均在 V1 中的所有边为边集的子图称为由 V1 导出的
1,当有弧从顶点 i 连向顶点 j,
cij
0,
否则.
• 例1：试写出下图所示简单无向图和简单有向 图的关联矩阵和邻接矩阵.
《图与网络》课件
学习图与网络的意义
学习图和网络的基础概念和算法有助于提高编程能 力和数据处理能力，同时也对多种应用领域产生启 发作用。
2 算法
最短路径算法，网络流量算法，欧拉路径算法等。
五、图与网络的区别与联系
图与网络的区别
• 节点的关系 • 数据表示方式
图与网络的联系
• 共同的算法和应用场景 • 都能够通过节点与边的关系来描述对象间的关系
六、结语
图与网络的未来
未来图和网络将在数据挖掘，机器学习，人工智能 等领域发挥越来越大的作用。
图与网络
图与网络是计算机科学中基础的数据结构，它们被广泛应用于算法，人工智 能，机器学习等领域。
一、什么是图
图的定义
图是由节点和边组成的数据结构，节点表示对象，边表示对象间的关系。
图的种类
有无向图、有向图、加权图、无向加权图和有向加权图等几种。
图的表示方法
邻接矩阵和邻接表是常用的表示方法。
二、图的应用
应用场景
社交网络，交通网络，电成树算法，网络流算法等。
三、什么是网络
1
网络的定义
网络是由节点和边（或链路）组成的连通结构。
2
网络的种类
计算机网络、社会网络、交通网络等不同的种类。
3
网络的表示方法
邻接矩阵、邻接表等方式。
四、网络的应用
1 应用场景
物流、城市规划、社会网络、通信网络等。
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5
v2
4 1
v4
二、最短路的定义
设D =（V，A）为一个赋权有向图，图中各弧 （vi ，vj）有权lij≥0， vs、vt为图中任意两点， 求一条路P0，它是从vs 到 vt的所有路P中总权 最小的路。 v2 6 v1 7 v3 6 10 w(p0) = min w(p) v4 P={(v1 ,v2 , v4 , v5 ),(v1 , v3 , v5 )} 2 P0= (v1 ,v2 , v4 , v5 )
v3 v2 该定理的证明给出了求生成树的方法：每步选出 一条边，使它与已经选出的边不形成圈，直至选 出（n-1）条边为止。 v2
v3
(1)支撑树的求法:破圈法
v3 3
v5 5
v3
v5
v1
v6
v1
v6 v2 2 v2 v4 v4
v3
v5 v5
v1
v6
v3
v5
v1
v6
v2 v2
v4 v4
v2
v4
v3
则序列{v1， v4}是从v1 至 v4 的一个最短路
v2 6 v4 2 10 v3 v5
6
v1 7
5
（3）标记：
从vs出发，给从vs 到 vk 最短路长的点 vk 赋 予固定标号——P(permanent label)标号，并记下 相应的最短路长（真实的长度）； 而未得到P标号的点赋予试探性（临时性标号） 标号——T(tentative label)标号，表示从vs 到vk 点 的最短路长的上界。 T(v4 )=8 v4 T(v2 )=3 v2 5 6 3 v6 v1 P (v1 ) =0 1 1
d (vi ) +d (vi )= d(vi )（用于有向图）。 G
+
-
d+(D ) =1
d-(D ) =1 d(D) =2 D
N
F
偶点：d(v) = 偶数；
奇点：d(v)=奇数
悬挂点：d(v)=1；
悬挂边：与悬挂点连接的边；
孤立点：d(v)=0；
空图：E = ，无边图
v5
v4
v3 v1
v6
v7
A
G
H
C D N M F
路：链上边方向一致时，称为路； 回路：路上首、尾节点是同一节点时， 称为回路。 G
D N
F
6、顶点的次：以点vi为端点的边数，记为d(vi )。
B
A
G
D
如图中d(A ) =2（用于无向图）。
出次：以点vi为始点的边数，用d+(vi )表示 。 入次：以点vi为终点的边数，用d-(vi )表示。
v2 T(v2)=+∞ T(v2)=2 P(v )=3 3 P(v1)=0 5 T(v4)=+∞ T(v4)=4 P(v v4 1 1
v1
3
T(v3)=1 P(v v3 T(v3)=+∞ λ(vi)= vm :表示从v1到vi的最短路上, vi的前一个点是vm λ(v2)= v3 λ(v4)= v3
v3 5 v1 6 4 v2 v4 8 1 3 1 v2 v4 2 v5 2 5 v3 2 v5 2 1 1 v6
v6 v1
定理3 设图G（V，E）是一棵树，n(G)≥2，则G 中至少有两个悬挂点 v3 v3
A v2
D B EF C H
v1
v1
M
NP
Q
定理4 图T=( V，E )，│V│=n，│E│=m，若T 是一棵树，则下列关于树的说法是等价的。 （1）T无圈，且m=（n-1）。 A v3 v5
徐州
南京
上海
武汉
一、图论形成的历史回顾
1、18世纪哥尼斯堡城中普雷•格尔河中有两个小岛C、 D，它们之间与两岸A、B共有七座桥相连。
A
C
B
D
当地人热衷于这样的游戏：一个人怎样才能一次连续 走过七桥且每桥只走一次，再回到出发点。
1736年，著名数学家欧拉把此问题简化为图，并 发表了论文：“依据几何位置的解题方法”。
Q
2.生成树——若图G的生成子图是一棵树，则 称该树为G的生成树（或支撑树）。简称为图 G的树。图中属于生成树的边叫树枝, 不在生成 树的边叫弦。
v3 树枝 v5 v3 v5
树枝
v1 弦 弦 树枝 弦
弦
v6 v1 v6
树枝 v4
树枝
v2
v2
v4
3.最小生成树——连通图G=( V，E )，每条边上 有非负权L( e )。一棵生成树所有树枝上权的总和 称为这棵生成树的权。具有最小权的生成树称为 最小生成树（最小支撑树），简称最小树。
D
N
F
V1 V2 V5 V2
V1
V1
V2
V5
V3 图G=( V，E）
V4
V3 G的子图
V4 V3
V4 G的无向简单图。 B G
D
N
F
9、基础图：将有向图中弧去掉其方向所形成 的无向图，称为原有向图的基础图。
网络：给图的边或点赋予某些数量指标（我 们称之为“权”），这种赋权图又称为网络。 G 10 G 20
vV1
d (v) d (v) d (v) 2m
vV2 vV
B
G
D N
F
第二节
树
主要内容： 1.树的概念与性质 2.最小生成树及其算法
一、树的概念与性质
1.树——连通且不含圈的无向图称为树。树中 次为1的点为树叶，次大于1的点称为分枝点。 A B D E F
C
H
M
N
P
40 0 30 0
10 0 20 0
三、基本理论
定理1 任何图中，顶点次的总和等于边数的2倍。 G d(G)=2; d(D)=2; d(N)=2;d(F)=2;
D N F
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
次为奇数的点为奇点，次为偶数的点为偶点。 奇点的集合可记为V1，偶点的集合记为V2。
D
D
40
N
30 N
F
F
10、图的矩阵表示：邻接矩阵与权矩阵 （1）邻接矩阵：图G=(V，E)，│V│=n，构造一 个矩阵——邻接矩阵A=(aij)n×n，其中
1 (vi , v j ) E aij 0 其它
（2）权矩阵：图G=(V，E)，│V│=n，边（vi， vj) 有权ωij，构造矩阵——权矩阵B=(bij)n×n，其中
G 始点
弧
M N D=（V，A） V={M，N，F，G} A={[M,G],[G,F],[M,N],[N,F]} 终点 F
2、如果一条边的两端点相同，此边称为环， 两点之间多于一条边的，称为多重边。 3、简单图：无多重边和环的图； 多重图：有多重边，无环的图。 B A
G
H
C D
N
M
F
4、链：点、边交替的序列（V1,e1, V2,e2, …,Vi,ei) ；
简单链： 边不重复， {A, C, D, B, G,D,N}; 初等链： 点、边不重复， {A, B, G, F, N}; 。 B A
G
H
C
D
N
M
5、 圈：链上首、尾节点是同一节点时，称为圈； 简单圈：圈中没有重复的边；(A,B,G,B,D,C,A) 初等圈：既无重复点，也无重复边;(A,B,D,C,A) B
v5
w(p0)=14
三、Dijkstra算法(1959年)
用于求解指定两点间的最短路，或从指定点到其余各 点的最短路。 Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业 课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构， 图论，运筹学等等，是目前被认为求无负权网络最短 路问题的最好方法。 其采用的是贪心法的算法策略。 Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历 计算的节点很多，所以效率低。
1、算法思路
(1) 当lij≥0时，若从vi 出发的弧中权值最小者是 （vi ，vk）那么，从vi至 vk的最短路长必然是lik。
v2 6 v1 7 v3 5 10 6 v4 2
v5
(2)若序列{v1， v2，…， vk， …， vn }是从v1 至 vn 的一个最短路，则序列{v1 ， v2 ，…， vk}是 从v1至 vk的一个最短路程。即，全局最优，一 定是局部最优的。 序列{v1， v4，v5 }是从v1 至 vn 的一个最短路
v5
v1
v6
v3
v5
v1 v2
v6
v4
v2
v4
v3
v1
v4
v5
v2
v3
v1
v4
v5
v2
二、最小生成树的算法
（1）避圈法——每步从未选的边中选取e，使 它与已选边不构成圈，且e是未选边中的最小权 边，直到选够（n-1）条边为止。 （2）破圈法——每步从未破掉的圈中任选一个 圈，将该圈的边中权最大的一条边e去掉，直到 图中无圈为止。 例8—2 一个乡有9个自然村，其间道路及 各道路长度如下图所示，各边上的权表示距离， 问如何拉电缆线才能使用线总长度最短。 解：这是一个最小生成树问题。具体解法如下：
ij (vi , v j ) E bij 0 其它
D
G 10 20
N
F 0 1 0 1
G 1 0 1 0 G
D
40 30
D 0 1 1 0 N F 0 1 G 1 0 D N
F 0 30 0 20
N
D 0 F N 40 F0 G 10
第八章 图与网络分析
教学目的：让学生了解图论的基本知识，掌握用网络 表示所研究问题、对象的基本属性及其解决方法。 教学内容：基本概念、树、最短路、最大流、最小费 用最大流等。 学时安排：8~10学时。