广东省深圳实验中学、珠海一中等六校2019届高三第一次联考数学理试题 Word版含解析
2019届广东省六校联考高三第一次联考理科数学试题
，
，
所以，
，
由椭圆定义知点 的轨迹为以 为焦点的椭圆，且
进而
，故轨迹 方程为：
．
（2）当直线 斜率不存在时，
，
或
，
，
此时弦长
．
当直线 斜率存在时，设 的方程为：
，
由 由△
消去 得：
，
恒成立，
设
、
，可得：
，
，
，
令8
，则 ，
，
，
．
综上，弦长 的最大值为 ． 【点睛】本题考查确定曲线轨迹方程的定义法，考查椭圆的定义、圆与圆的位置关系、直线与椭圆的位置 关系的应用，考查了分类讨论思想、等价转化思想，是综合题.
补贴（万元/辆）
3
4
4.5
概率
0.2
0.5
0.3
纯电动汽车 2017 年地方财政补贴的平均数为
(万元)．
（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：
辆数
6000
7000
8000
9000
概率
0.2
0.3
0.4
0.1
若采用方案一，100 台直流充电桩和 900 台交流充电桩每天可充电车辆数为 (辆）；
，一光线从点 出发，经 轴上一点 反射后与圆相切于点 ，则
【答案】
16.已知函数 【答案】(-1,3)
满足
，则 的单调递减区间是______________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
22.在平面直角坐标系中，将曲线 向左平移 2 个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，
广东省2019届高三六校第一次联考理科数学试题(精编含解析)
广东省2019届高三六校第一次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据形如的分式不等式的解法求集合A，根据指数函数的性质求集合B，再根据补集和交集的运算法则计算【详解】因为，由得，其与不等式为同解不等式，所以；则故选A.【点睛】本题主要考查了集合元素的属性，考查形如不等式的计算方法，即要遵循移项——通分——等效转化的原则进行.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件得，利用复数的除法运算化简，求出，则共轭复数的虚部可求.【详解】，，共轭复数的共轭复数的虚部1故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：基本法，将等差数列前项和公式和通项公式代入到已知条件中，联立方程组解得和，即可求得答案.方法二：性质法，根据已知条件得，再根据，即可求得答案. 【详解】方法一：基本法，数列等差数列，，，，整理得，解得方法二：性质法，，，，；；故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查等差数列的性质与前项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，确定实数所在平面区域，再根据数量积的运算，将转化为，根据面积比即可求出概率.【详解】分别以为横、纵轴建立直角坐标系，由题可知点满足，组成了边长为正方形区域，向量，，则，即，表示正方形内以坐标原点为圆心，为半径的圆以外的部分，如图所示.所以，概率.故选B.【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，正确作出几何图形是解题关键.5.已知直线l的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点，且都垂直于x轴（其中分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.6.在△中，为的中点，点满足，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量共线的性质得，，再利用向量的三角形法则、即可得出结果.【详解】为的中点，点满足，，故选A.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线性质，属于基础题.向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简函数，确定，再由题意可知，即可求得答案.【详解】，对任意实数总有成立.故选B.【点睛】本题考查三角函数的最值，考查三角函数的诱导公式、正弦型函数的图象和性质，考查逻辑推理能力和转化思想，着重考查正弦函数的图象和性质.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得函数为定义域内的奇函数，并可以求出函数的周期，利用函数的周期性和奇偶性将转换到范围内，即可求出答案.【详解】及，，函数为周期为4的奇函数.又在上有.故选D.【点睛】本题考查函数值的计算，考查抽象函数的周期性、对称性和奇偶性的关系，考查抽象函数有关的函数性质的应用，根据条件判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键.10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M 的纵坐标，弦的长度为，即， 整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用. 解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在; （2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断; （4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题. 11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，三棱锥外接球的球心在过外接圆圆心的法线上，设，由题设条件可知，外接球半径，由此解得，从而求出外接球的半径及表面积.【详解】如图，设中点为，过点作，，过点作垂足为，交于，则为外接圆的圆心，三棱锥外接球球心在直线上，设，，，且二面角的大小为，，，，，，，,在中，；在中，；外接球半径，，解得，外接球表面积故选D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面的求法，涉及到棱锥的结构特征、二面角的平面角、直角三角形的性质、勾股定理和球的简单性质等知识点，解题时要认真审题，注意合理地转化空间几何问题.12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定的最小值.【详解】①当时，类比写出②由①-②得，即.当时，，，③④③-④得，（常数），，的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用.1、已知数列的前项和与的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（2）当时，求出；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．2、错位相减法：若，其中是等差数列，是公比为的等比数列，那么这个数列的前项和即可用此法来求。
广东省六校届高三第一次联考试题目数学理共10页
广东省六校2019届高三第一次联考试题数学（理）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．第 Ⅰ 卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B ⋂=ðA ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x >2．已知3sin 4θ=，且θ在第二象限，那么2θ在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知命题p ：21,04x R x x ∀∈-+≥，则命题p 的否定p ⌝是A ．21,04x R x x ∃∈-+< B ．21,04x R x x ∀∈-+≤ C ．21,04x R x x ∀∈-+<D ．21,04x R x x ∃∈-+≥4．已知3log,2321==b a ,运算原理如右图所示，则输出的值为A ．22B ．2C ．212-D ．212+5．函数21()log f x x x =-A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()1,2 D ．()2,36．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 7．在△OAB 中，, OA a OB b ==，OD 是AB 边上的高，若AB AD λ=，则实数λ等于ab 1-A ．()2||a b aa b ⋅-- B ．()2||a a ba b ⋅--C ．()||a b aa b ⋅-- D ．()||a a ba b ⋅-- 8．已知集合{}1,2,3,4A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意i A ∈，()f i i≠，设1a ，2a ，3a ，4a 是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表()()()()12341234 a a a a f a f a f a f a ⎛⎫⎪⎝⎭，若两个数表对应位置上至少有一个数不同，就说这是两个不同的数表，那么满足条件的不同的数表共有A ．216个B ．108个C ．48个D ．24个 第 Ⅱ 卷二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答． 9．设i 为虚数单位，复数z 满足i 1i z =-，则z = ．10．在二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，含4x 项的系数为_____________．（用数字作答）11．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在2080 /100mg mL （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80/100mg mL （含80）以上时，属醉酒驾车。
广东省2019届高三六校第一次联考理科数学试题(解析版)
广东省2019届高三六校第一次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据形如的分式不等式的解法求集合A，根据指数函数的性质求集合B，再根据补集和交集的运算法则计算【详解】因为，由得，其与不等式为同解不等式，所以；则故选A.【点睛】本题主要考查了集合元素的属性，考查形如不等式的计算方法，即要遵循移项——通分——等效转化的原则进行.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件得，利用复数的除法运算化简，求出，则共轭复数的虚部可求.【详解】，，共轭复数的共轭复数的虚部1故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：基本法，将等差数列前项和公式和通项公式代入到已知条件中，联立方程组解得和，即可求得答案. 方法二：性质法，根据已知条件得，再根据，即可求得答案.【详解】方法一：基本法，数列等差数列，，，，整理得，解得方法二：性质法，，，，；；故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查等差数列的性质与前项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，确定实数所在平面区域，再根据数量积的运算，将转化为，根据面积比即可求出概率.【详解】分别以为横、纵轴建立直角坐标系，由题可知点满足，组成了边长为正方形区域，向量，，则，即，表示正方形内以坐标原点为圆心，为半径的圆以外的部分，如图所示.所以，概率.故选B.【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，正确作出几何图形是解题关键.5.已知直线l的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点，且都垂直于x轴（其中分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.6.在△中，为的中点，点满足，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量共线的性质得，，再利用向量的三角形法则、即可得出结果.【详解】为的中点，点满足，，故选A.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线性质，属于基础题.向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简函数，确定，再由题意可知，即可求得答案.【详解】，对任意实数总有成立.故选B.【点睛】本题考查三角函数的最值，考查三角函数的诱导公式、正弦型函数的图象和性质，考查逻辑推理能力和转化思想，着重考查正弦函数的图象和性质.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得函数为定义域内的奇函数，并可以求出函数的周期，利用函数的周期性和奇偶性将转换到范围内，即可求出答案.【详解】及，，函数为周期为4的奇函数.又在上有.故选D.【点睛】本题考查函数值的计算，考查抽象函数的周期性、对称性和奇偶性的关系，考查抽象函数有关的函数性质的应用，根据条件判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键.10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M的纵坐标，弦的长度为，即，整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在;（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知，三棱锥外接球的球心在过外接圆圆心的法线上，设，由题设条件可知，外接球半径，由此解得，从而求出外接球的半径及表面积.【详解】如图，设中点为，过点作，，过点作垂足为，交于，则为外接圆的圆心，三棱锥外接球球心在直线上，设，，，且二面角的大小为，，，，，，，,在中，；在中，；外接球半径，，解得，外接球表面积故选D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面的求法，涉及到棱锥的结构特征、二面角的平面角、直角三角形的性质、勾股定理和球的简单性质等知识点，解题时要认真审题，注意合理地转化空间几何问题.12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定的最小值.【详解】①当时，类比写出②由①-②得，即.当时，，，③④③-④得，（常数），，的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用.1、已知数列的前项和与的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（2）当时，求出；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．2、错位相减法：若，其中是等差数列，是公比为的等比数列，那么这个数列的前项和即可用此法来求。
2019届广东省六校联考高三第一次联考理科数学试题(word版)
广东省2019届高三六校第一次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B5.已知直线l的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点，且都垂直于x轴（其中分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D6.在△中，为的中点，点满足，则A. B.C. D.【答案】A7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.【答案】D10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若满足约束条件则的最大值为______________．【答案】2514.若，则的展开式中常数项为______________．【答案】24015.已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则的值为______________．【答案】16.已知函数满足，则的单调递减区间是______________．【答案】(-1,3)三、解答题：共70分。
广东省2019届高三六校第一次联考理科数学(解析版)
9．答案：D
）
1
B．
4
9 C．
4
1 D．
4
解析：由 f (x) f (2 x) 可知函数 f (x) 关于直线 x 1 对称，由 f (x) f (x) 可知函数 f (x) 关于原点
(0, 0) 对称，所以函数 f (x) 是双对称函数，所以是周期函数，周期T 4 ，
1 7 1 1 1 所以 f 2019 f f f ．
1．答案：A
2
2
x 1
解析：由 ≤1 ，得： 1≤ 0, ≥ 0 ，解得 x ≥1或 x 1，即 A (, 1) [1, ) ，
x 1
x 1
x 1
则 R A [1,1) ．由 2x 1，得 x 0 ，即 B (, 0) ，所以 R A B [1, 0) ．
2．若复数 z 满足 zi 1 2i ，则 z 的共轭复数的虚部为（ ）
2
O
1
P' 2
A T
Q2
4 ax2 bx 满足 f (1 x) f (1 x) 22 0 ，则 f (x) 的单调递减区间是
．
16．答案： (1,3) （注意：写闭区间也给分） 知识点：①若 f (x) 关于点 (a,b) 对称，则 f (a x) f (a x) 2b ；
x
15．已知点 P(1, 2) 及圆 (x 3)2 ( y 4)2 4 ，一光线从点 P 出发，经 x 轴上一点 Q 反射后与圆相切于
点T ，则 PQ QT 的值为
．
15．答案： 4 3
解析：点 P 关于 x 轴的对称点为 P(1, 2) ，如图，连接 PP, PQ ，由对称性可知，PQ 与圆相切于点T ，
n 3n
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广东珠海一中等六校2019高三第一次联考-数学(理)
图1乙甲7518736247954368534321广东珠海一中等六校2019高三第一次联考-数学（理）理科数学 试题第一部分选择题〔共40分〕【一】选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1、假设集合M 是函数lg y x =的定义域，N 是函数y =M N 等于()A 、(0,1]B 、(0,)+∞C 、φD 、[1,)+∞ 2、在复平面内，复数311ii+-对应的点位于 〔〕A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 3、以下命题正确的选项是〔〕 A 、2000,230x R x x ∃∈++=B 、32,x N x x ∀∈>C 、1x >是21x >的充分不必要条件D 、假设a b >,那么22a b > 4、向量a =〔x ，1〕，b =〔3，6〕，a ⊥b ，那么实数x 的值为〔〕 A 、12B 、2-C 、2D 、21-5、通过圆:C 22(1)(2)4x y ++-=的圆心且斜率为1的直线方程为〔〕 A 、30x y -+=B 、30x y --= C.10x y +-=D 、30x y ++= 6.图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场竞赛得分的茎叶图， 那么甲、乙两人这几场竞赛得分的中位数之和是〔〕 A 、65B 、64 C 、63D 、62 7、等比数列{}na中，各项基本上正数，且2312,21,a aa 成等差数列，那么8967a a a a ++等于〔〕A 、21+ B.21- C.223+ D.223- 8.在约束条件53,4200≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥s x y s y x y x 当下时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是〔〕()A 、[6，15] ()B 、[7，15]()C [6，8] ()D 、[7，8]图4P第二部分非选择题〔共110分〕【二】填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分 〔一〕必做题〔9～13题〕9、(ax －x1)8的展开式中2x 的系数为70，那么a 的值为；10.下面是一个算法的程序框图，当输入的值x 为5时，那么其输出的结果是； 11.假设axdx =1⎰，那么实数a 的值是_________.12.双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞和椭圆22x y =1169+有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，那么双曲线的方程为. 13、函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意)()(,212121<--≠x x x f x f x x 都有成立，那么a 的取值范围是 .〔二〕选做题〔14～15题，考生只能从中选做一题〕14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线ρsin(θ+π4)=2被圆ρ=4截得的弦长为、15、〔几何证明选讲选做题〕如图4，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PAB 、PCD ，5==AB PA ，3=CD ，那么=PC ____________、【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分.16.〔本小题总分值12分〕 函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R ).(1) 求()f x 的最小正周期和最大值；(2) 假设θ为锐角，且83f πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求tan 2θ的值.17、〔本小题总分值12分〕设函数x x f a log )(=〔1,0≠>a a a 为常数且〕，数列),(1x f ),(2x f ),(n x f 是公差为2的等差数列，且21a x =.〔Ⅰ〕求数列}{nx 的通项公式；〔Ⅱ〕当21=a 时，求证：3121<+++n x x x . 18、(本小题总分值14分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35、〔1〕请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；〔2〕能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；〔3〕现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望.(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)19、〔本小题总分值14分〕一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视 图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.〔Ⅰ〕请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； 〔Ⅱ〕用多少个如此的几何体能够拼成一个棱长为 6的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1?如何组拼？试证明你的结论； 〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的情形下,设正方体ABCD —A 1B1C 1D 1 的棱CC 1的中点为E,求平面AB 1E 与平面ABC 所成二面 角的余弦值. 20、〔本小题总分值14分〕点()0,1F ，直线l ：1y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且FQFP QF QP ∙=∙、〔1〕求动点P 的轨迹C 的方程； 〔2〕圆M 过定点()0,2D ，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B 两正视图侧视图俯视图点，设1DA l =，2DB l =，求1221l l l l +的最大值、 21.〔本小题总分值14分〕函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线为1l ，(1)g x -与x 轴的交点N 处的切线为2l ，同时1l 与2l 平行.〔1〕求(2)f 的值；〔2〕实数t ∈R ，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；〔3〕令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，关于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，同时使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.2018届高三六校第一次联考理科数学参考答案及评分标准【一】选择题：本大题要紧考查差不多知识和差不多运算、共10小题，每题5分，总分值50分、题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B A B C D【二】填空题：本大题要紧考查差不多知识和差不多运算、本大题共5小题，考生作答4小题，每题5分，总分值20分、其中14～15题是选做题，考生只能选做一题、 9、1或-110、211、212.22143x y -=13.⎥⎦⎤⎝⎛41.014、3415、2 【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(1)解:()2sin cos cos2f x x x x=+sin 2cos2x x =+……2分2222x x ⎫=+⎪⎪⎭……3分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.……4分∴()f x 的最小正周期为22ππ=,.……6分(2)解:∵83f πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭,223πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭.……7分∴1cos 23θ=.……8分∵θ为锐角，即02πθ<<,∴02θπ<<.∴sin 23θ==.……10分∴sin 2tan 2cos 2θθθ==……12分 17、〔本小题总分值12分〕 解：〔Ⅰ〕nn x f d a x f n a 22)1(2)(22log )(21=⋅-+=∴===nn n a a x nx 22log :==即--------6分〔Ⅱ〕当21=a 时，n n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛=41 314113141141414121<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++nn n x x x ----------12分 18、(本小题总分值14分)解：〔2〕∵2250(2015105)8.3337.87930202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯------------------------6分 ∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.---------------------7分〔3〕喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0,1,2.-------------------------9分 其概率分别为021*******(0)20C C P C ξ===,1110152251(1)2C C P C ξ===,2010152253(2)20C C P C ξ===--------------------------12分故ξ的分布列为:--------------------------13分ξ的期望值为:7134012202205E ξ=⨯+⨯+⨯=---------------------14分19、〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕该几何体的直观图如图1所示，它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD 是边长为6的 正方形，高为CC 1=6，故所求体积是7266312=⨯⨯=V ------------------------4分 〔Ⅱ〕依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍， 故用3个如此的四棱锥能够拼成一个棱长为6的正方体， 其拼法如图2所示.------------------------6分 证明:∵面ABCD 、面ABB 1A 1、面AA 1D 1D 为全等的 正方形，因此D D AA C A ABB C ABCD C V V V 1111111---==故所拼图形成立.---8分〔Ⅲ〕方法一：设B 1E ，BC 的延长线交于点G ， 连结GA ，在底面ABC 内作BH ⊥AG ，垂足为H ， 连结HB 1，那么B 1H ⊥AG ，故∠B 1HB 为平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角或其补角的平面角.--------10分 在Rt △ABG 中，180=AG ，那么512180126=⨯=BH ，5182121=+=BB BH H B ，32cos 11==∠HB HB HB B ，故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32±.---14分方法二：以C 为原点，CD 、CB 、CC 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立直角坐标系〔如图3〕，∵正方体棱长为6，那么E 〔0，0，3〕，B 1〔0，6，6〕，A 〔6，6，0〕. 设向量n =〔x ，y ，z 〕，满足n ⊥1EB ，n ⊥1AB ，ABC DC 1图1因此⎩⎨⎧=+-=+066036z x z y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==z y zx 21.--------------------12分取z =2，得n =〔2，-1，2〕.又=1BB 〔0，0，6〕，321812||||,cos 111==>=<BB n BB故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32±.----------------14分 20、〔本小题总分值14分〕 〔1〕解：设(),P x y ，那么(),1Q x -，∵QP QF FP FQ =，∴()()()()0,1,2,1,2y x x y x +-=--、--------------------2分即()()22121y x y +=--，即24x y =，因此动点P 的轨迹C 的方程24x y =、--------------------4分 〔2〕解：设圆M 的圆心坐标为(),M a b ，那么24a b =、①圆M 的半径为MD =圆M 的方程为()()()22222x a y b a b -+-=+-、令0y =，那么()()22222x a b a b -+=+-，整理得，22440x ax b -+-=、②由①、②解得，2x a =±、--------------------6分 不妨设()2,0A a -，()2,0B a +，∴1l =2l =、--------------------8分∴22212122112l l l l l l l l ++====当0a ≠时，由③得，1221l l l l +==、当且仅当a =±--------------------12分 当0a =时，由③得，12212l l l l +=、--------------------13分故当a =±时，1221l l l l +的最大值为--------------------14分 21.〔本小题总分值14分〕解:()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =-(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1'(1)1g x x -=-由题意可得12l l k k =，即1a =，………………………………………………2分∴2(),f x x x =-，2(2)222f =-=…………………………………………3分2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-…………………4分令ln u x x =，在[]1,x e ∈时，'ln 10u x =+>，∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤…………………………5分22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122t u -=，抛物线开口向上 ①当1202t u -=≤即12t ≥时，2min 0|u y y t t ===-…………………………………6分②当122tu e-=≥即122e t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+-………………………………7分③当1202t e -<<即12122e t -<<时，22min12212121|()(21)224t u t t y y t t t -=--==+-+-=-…………………………………8分1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x-=-=≥1x ≥得 因此()F x 在区间(1,)+∞上单调递增……………………………………………………………9分∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=， 12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈，………………………………………１０分∴由)(x f 的单调性知0<1()()F x F α<、2()()F F x β<从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设.………………………………11分②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，由)(x f 的单调性知0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤，∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符……………………………………12分 ③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符.……………………………………13分 ∴综合①、②、③得(0,1)m ∈……………………………………14分 说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.。
广东省六校2019届高三第一次联考数学试题及答案(理科)
广东省六校2019届高三第一次联考数学试题及答案（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设i z -=1（为虚数单位），则=+zz 22（ ）A ．i --1B ．i +-1C ．i +1D ． i -12．设U=R ，集合2{|2,},{|40}x A y y x R B x Z x ==∈=∈-≤，则下列结论正确的是（ ） A ．(0,)AB =+∞B ．(](),0UC A B =-∞C ．(){2,1,0}U C A B =--D ．(){1,2}U C A B =3．如果直线(2a+5)x+(a －2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y －1=0互相垂直，则a =（ ）A ． 2B ．－2C ．2,－2D ．2,0,－2 4. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”． 给出下列函数： ①()sin cos f x x x =； ②()2sin()4f x x π=+；③()sin f x x x =；④()21f x x =+．其中“同簇函数”的是（ ） A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④5．右图为某几何体三视图，按图中所给数据,该几何体的体积为 （ ） A ．16 B ．163C ．64+163D ． 16+3346．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥021y x y x ’则y x z -=2的取值范围是 （ ）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．[0，2]7．若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+，则MA MB ⋅=( ) A.98 B.913 C ．98- D ．913- 8．定义：关于x 的不等式||x A B -<的解集叫A 的B 邻域．已知2a b +-的a b +邻域为区间(2,8)-，其中a b、分别为椭圆12222=+by a x 的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线x y 542=的焦点重合，则椭圆的方程为（ ）正视图俯视图侧视图A 1C A ． 13822=+y x B ． 14922=+y x C ．18922=+y x D ．191622=+y x第二部分 （非选择题 满分110分）二、填空题：（本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分） 必做题（9~13题）9．已知数列{}n a 的首项11=a ，若N n *∀∈，21-=⋅+n n a a ，则=n a ．10．执行程序框图，如果输入4=a ，那么输出=n ．11．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种(用数字作答) ．12．如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -内 （含正方体表面）任取一点M ，则11≥⋅AA 的概率=p ．13.设函数()y f x =在（-∞，+∞）内有意义．对于给定的正数k ，已知函数(),()k f x k f x k ⎧=⎨>⎩，取函数()f x =xex ---3．若对任意的x ∈（-∞，+∞），恒有()k f x =()f x ，则k 的最小值为 ． 选做题：考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点π4⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =，过C 作圆的切线l ，过A作l三、的垂线AD ，垂足为D ，则DAC ∠=．解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明 证明过程或演算步骤．）16．(本小题满分12分)设(6cos ,a x =, (cos ,sin 2)b x x =,()f x a b =⋅ （1）求()f x 的最小正周期、最大值及()f x 取最大值时x 的集合； （2）若锐角α满足()3f α=-4tan 5α的值．第15题图17．(本小题满分12分) 某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．（1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列．18．(本小题满分14分) 如图，直角梯形ABCD 中，CD AB //，BC AB ⊥，1=AB ，2=BC ，21+=CD ，过A 作CD AE ⊥，垂足为E ．F 、G 分别是CE 、AD 的中点．现将ADE ∆沿AE 折起，使二面角C AE D --的平面角为0135．（1）求证：平面⊥DCE 平面ABCE ； （2）求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值．19．(本小题满分14分) 已知椭圆C 的中心在原点O ，离心率23=e ，右焦点为)0 , 3( F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量OA OP +与共线？若存在，求直线AP 的方程；若不存在，简要说明理由．20．(本小题满分14分)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，对任意的n N +∈，都有(1)n n S m ma =+-（m 为正常数）．（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）数列{}n b 满足11112,,(2,)1n n n b b a b n n N b -+-==≥∈+，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列12n n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．21. (本小题满分14分)设函数21()ln .2f x x ax bx =-- (Ⅰ)当12a b ==时，求函数)(x f 的最大值； (Ⅱ)令21()()2a F x f x ax bx x =+++（03x <≤）其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤21恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)当0a =，1b =-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．参考答案一、选择题 D C C C D D C B 二、填空题 9．⎩⎨⎧-=是正偶数是正奇数，2 , 1n n a n ，或23)1(211±-+-=n n a ； 10．4； 11． 30； 12．43； 13． 2； 14. cos 2ρθ= 15. 30º 16．解：（1）解：2()6cos 2f x a b x x =⋅= …………………1分1cos 2622x x +=⨯3cos23x x =+1sin 232x x ⎫=-+⎪⎪⎭…3分236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭……4分 最小正周期22T π==π ……5分 当22,6Z x k k ππ+=∈，即,12Z x k k ππ=-∈时，()f x有最大值3，此时，所求x 的集合为{|,}12Z x x k k ππ=-∈．………7分（2）由()3f α=-2336απ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭cos 216απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭…9分又由02απ<<得 2666απππ<+<π+， 故26απ+=π，解得512α=π．……11分从而4tan tan 53απ== ………………12分17．解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为．∴应从四所中学抽取的学生人数分别为． …………… 4分（2）设“从50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M ，从50名学生中随机抽取两名学生的取法共有2501225C =种，… 5分 来自同一所中学的取法共有22221520105350C C C C +++=． …………… 6分∴3502()12257P M ==． 答：从50名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为27． … 7分 （3）由（1）知，50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10． 依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， ………… 8分2102253(0)20C P C ξ===，1115102251(1)2C C P C ξ===，2152257(2)20C P C ξ===．…… 11分 ∴ξ的分布列为： …12分18．（1）证明：DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，DE，∴ AE ⊥平面CDE ， ……3分AE ⊂平面ABCE ，∴平面⊥DCE 平面ABCE ．……5分（2）（方法一）以E 为原点，EA 、EC 分别为,x y 轴，建立空间直角坐标系……6分 DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0135，……7分1=AB ，2=BC ，21+=CD ，∴A （2，0，0），B （2，1，0），C （0，1，0），E （0，0，0），D （0，1-，1）．……9分F 、G 分别是CE 、AD 的中点，∴F 1002（，，），G 11122-（，，） ……10分∴FG =1112-(，，)，AE =(2,0,0)-，……11分由（1）知AE 是平面DCE 的法向量， ……12分设直线FG 与面DCE 所成角02παα≤≤（），则22sin ||||33||||22FG AE FG AE α⋅-===⋅⨯，故求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值为23． ……14分（列式1分，计算1分） （方法二）作AE GH //，与DE 相交于H ，连接FH ……6分由（1）知AE ⊥平面CDE ，所以⊥GH 平面CDE ，GFH ∠是直线FG 与平面DCE 所成角……7分G 是AD 的中点，GH 是ADE ∆的中位线，1=GH ，22=EH ……8分 因为DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，所以DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0135…9分在EFH ∆中，由余弦定理得，FEH EHEF EH EF FH ∠⨯⨯⨯-+=cos 222211152(422224=+-⨯⨯-=（或25=FH ）……11分（列式1分，计算1分） ⊥GH 平面CDE ，所以FH GH ⊥，在GFH Rt ∆中， 2322=+=FH GH GF ……13分 所以直线FG 与面DCE 所成角的正弦值为32sin ==∠GF GH GFH ……14分 19．解：（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>， ……1分离心率23=e，右焦点为)0 , 3( F ，∴c c a ==∴2a =，21b =…… 3分 故椭圆C 的方程为2214x y +=．…… 4分 （2）假设椭圆C 上存在点P （00,x y ），使得向量+与共线，……5分00(,1)OPOA x y +=+，(FA =，∴001)x y =+ （1） ……6分又点P （00,x y ）在椭圆2214x y +=上，∴220014x y +=（2） ……8分 由（1）、（2）组成方程组解得：(0,1)P -，或1(,)77P -， (11)分 当点P 的坐标为(0,1)-时，直线AP 的方程为0y =， 当点P的坐标为1()7P 时，直线AP440y -+=， 故直线AP 的方程为0y =440y -+=． ……14分20．解：（1）证明：当1n =时，111(1)a S m ma ==+-，解得11a =．…………………1分当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．即1(1)n n m a ma -+=．…………………2分 又m 为常数，且0m >，∴1(2)1n n a m n a m-=≥+．………………………3分 ∴数列{}n a 是首项为1，公比为1mm+的等比数列．……………………4分 （2）解：1122b a ==…5分 ∵111n n n b b b --=+，∴1111n n b b -=+，即1111(2)n n n b b --=≥．…7分∴1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为1的等差数列．………………………………………8分∴1121(1)122n n n b -=+-⋅=，即2()21n b n N n *=∈-．……………………………9分（3）解：由（2）知221n b n =-，则122(21)n n nn b +=-．所以2341123122222n n n n nT b b b b b +-=+++++， …10分 即12312123252(23)2(21)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ① ……11分 则234122123252(23)2(21)n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ②………12分②－①得13412(21)2222n n n T n ++=⨯------，……………………13分故31112(12)2(21)22(23)612n n n n T n n -++-=⨯---=⨯-+-．……………………14分21.解：（1）依题意，知()f x 的定义域为(0,)+∞， 当12a b ==时，211()ln 42f x x x x =--，111(2)(1)()222x x f x x x x-+-'=--=………………2分 令，解得 1.(0)x x =>因为()0g x =有唯一解，所以2()0g x =，当01x <<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，此时()f x 单调递减。
广东省深圳实验中学、珠海一中等六校2019届高三第一次联考数学理试题 Word版含解析
广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）2019届高三第一次联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则∁A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用分式不等式的解法化简集合，从而求出集合的补集，利用指数函数的性质化简集合，由交集的定义可得结果.【详解】由，即，解得或，即，∁，解得，即，则∁，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足不属于集合且属于集合的元素的集合.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件得，利用复数的除法运算化简，求出，则共轭复数的虚部可求.【详解】，，共轭复数的共轭复数的虚部1故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：基本法，将等差数列前项和公式和通项公式代入到已知条件中，联立方程组解得和，即可求得答案.方法二：性质法，根据已知条件得，再根据，即可求得答案.【详解】方法一：基本法，数列等差数列，，，，整理得，解得方法二：性质法，，，，；；故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查等差数列的性质与前项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可得点在以原点为圆心以为半径的圆外，且在以为边长的正方形内，由几何概型概率公式可得结果.【详解】在区间上随机取两个实数，则点在以为边长的正方形内，因为，，则，因为，所以，点在以原点为圆心以为半径的圆外，且在以为边长的正方形内，所以，则的概率为，故选B.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5.已知直线的倾斜角为，直线与双曲线（）的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.6.在△中，为的中点，点满足，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的性质可得，，再由平面向量运算的“三角形法则”可得结果.【详解】因为为的中点，点满足，所以，，可得,故选A.【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．7.某几何体的三视图如右图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换可得，依题意可知的最小值为，从而可得结论.【详解】，，周期，又存在实数，对任意实数总有成立，，的最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域：；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由及可得函数是以4为周期的函数，结合在上有，可得结果.【详解】函数的定义域是，关于原点对称，，函数是奇函数，，，函数是以4为周期的函数，，在上有，，，故选D.【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M的纵坐标，弦的长度为，即，整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在;（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知，三棱锥外接球的球心在过外接圆圆心的法线上，设，由题设条件可知，外接球半径，由此解得，从而求出外接球的半径及表面积.【详解】如图，设中点为，过点作，，过点作垂足为，交于，则为外接圆的圆心，三棱锥外接球球心在直线上，设，，，且二面角的大小为，，，，，，，,在中，；在中，；外接球半径，，解得，外接球表面积故选D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面的求法，涉及到棱锥的结构特征、二面角的平面角、直角三角形的性质、勾股定理和球的简单性质等知识点，解题时要认真审题，注意合理地转化空间几何问题.12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定的最小值.【详解】①当时，类比写出②由①-②得，即.当时，，，③④③-④得，（常数），，的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用.1、已知数列的前项和与的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（2）当时，求出；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．2、错位相减法：若，其中是等差数列，是公比为的等比数列，那么这个数列的前项和即可用此法来求。
广东省深圳实验中学、珠海一中等六校2019届高三第一次联考试题(理)(解析版)
广东省深圳实验中学、珠海一中等六校2019届高三第一次联考数学试题（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则∁（）A. B. C. D.【答案】A【解析】利用分式不等式的解法化简集合，从而求出集合的补集，利用指数函数的性质化简集合，由交集的定义可得结果.由，即，解得或，即，∁，解得，即，则∁，故选A.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知条件得，利用复数的除法运算化简，求出，则共轭复数的虚部可求.，，共轭复数的共轭复数的虚部1故选C.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】方法一：基本法，将等差数列前项和公式和通项公式代入到已知条件中，联立方程组解得和，即可求得答案.方法二：性质法，根据已知条件得，再根据，即可求得答案.方法一：基本法，数列等差数列，，，，整理得，解得方法二：性质法，，，，；；故选D.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为理A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得点在以原点为圆心以为半径的圆外，且在以为边长的正方形内，由几何概型概率公式可得结果.在区间上随机取两个实数，则点在以为边长的正方形内，因为，，则，因为，所以，点在以原点为圆心以为半径的圆外，且在以为边长的正方形内，所以，则的概率为，故选B.5.已知直线的倾斜角为，直线与双曲线（）的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.6.在△中，为的中点，点满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根据向量共线的性质可得，，再由平面向量运算的“三角形法则”可得结果.因为为的中点，点满足，所以，，可得,故选A.7.某几何体的三视图如右图所示，数量单位为，它的体积是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C. 8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】利用三角恒等变换可得，依题意可知的最小值为，从而可得结论.，，周期，又存在实数，对任意实数总有成立，，的最小值为，故选B.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由及可得函数是以4为周期的函数，结合在上有，可得结果.函数的定义域是，关于原点对称，，函数是奇函数，，，函数是以4为周期的函数，，在上有，，，故选D.10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M的纵坐标，弦的长度为，即，整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知，三棱锥外接球的球心在过外接圆圆心的法线上，设，由题设条件可知，外接球半径，由此解得，从而求出外接球的半径及表面积.如图，设中点为，过点作，，过点作垂足为，交于，则为外接圆的圆心，三棱锥外接球球心在直线上， 设，，，且二面角的大小为，，，，，，，,在中，；在中，；外接球半径，，解得，外接球表面积故选D. 12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定的最小值.①当时，类比写出②由①-②得，即.当时，，，③④③-④得，（常数），，的最小值是故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省2019届高三六校第一次联考理科数学试题教学提纲
绝密★启用前广东省2019届高三六校第一次联考试题理科数学命题学校：深圳实验学校本试卷共6页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选项出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目定区域内相应位置上；如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2|11A x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{|21}x B x =<，则(∁A R )B =IA ．[1,0)-B ．(1,0)-C ．(,0)-∞D ．(,1)-∞-2．若复数z 满足i 12i z =+，则z 的共轭复数的虚部为A ．2iB ．iC ．1D ．23．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若542S S =，248a a +=，则5a =A ．6B ．7C ．8D ．104．在区间[π,π]-上随机取两个实数,a b ，记向量(,4)OA a b =u u u r ，(4,)OB a b =u u u r，则24πOA OB ≥u u u r u u u r g 的概率为 A ．π18-B ．π14-C ．π12-D ．3π14-5．已知直线l 的倾斜角为45︒，直线l 与双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的左、右两支分别交于M 、N 两点，且1MF 、2NF 都垂直于x 轴（其中1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点），则该双曲线的离心率为A B C 1D 6．在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足4EB EC =u u u r u u u r ，则ED =u u u rA ．5463AB AC -u u u r u u u r B ．4536AB AC -u u ur u u u rC ．5463AB AC +u u u r u u u rD ．4536AB AC +u u ur u u u r7．某几何体的三视图如右图所示，数量单位为cm ，它的体积是 A．32B ．39cm 2C3D ．327cm 28．已知A 是函数()sin 2018cos 201863f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值，若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12||A x x ⋅-的最小值为 A ．π2018B ．π1009C ．2π1009D ．π40369．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-及()()f x f x =--，且在[0,1]上有2()f x x =， 则1(2019)2f =A ．94B ．14 C ．94-D ．14-10．抛物线22y x =上有一动弦AB ，中点为M ，且弦AB 的长度为3，则点M 的纵坐标的最小值为A ．118B ．54C ．32D ．111．已知三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，AB =，BC =，PA PB ==，且二面角 P AB C --的大小为150︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为A ．100πB ．108πC ．110πD ．111π12．已知数列}{n a 满足12323(21)3n n a a a na n ++++=-⋅L ．设4n nnb a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和．若n S λ<（常数），*n ∈N ，则λ的最小值是 A ．32B ．94C ．3112 D ．3118二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
深圳市2019届高三第一次调研考试理科数学(word精排有答案)
深圳市2019届高三第一次调研考试数学理科2019.02.21一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求1 .复数z=i(2+i)的共辗复数是()A. 1 +2iB. 1-2iC. —1 十2iD. -1-2i2 .已知集合 A =1x| y =lg(2—x)}, B Jx|x 2—3x E 0},则 A Pl B =()A. {x|0<x <2}B. {x|0W x <2}C. {x|2<x <3}D. i x|2<x <313 .设S n 为等差数列Ln }的前n 项和.若S 5 =25, a 3+a4 =8 ,则 匕}的公差为()A. -2B. -1C. 1D. 24.己知某产品的销售额 y 与广告费用x 之间的关系如下表: x (单位：万元)0 1 2 3 4 y (单位：万元)10 15 20 30 35 若求得其线性回归方程为 y = 6.5x+a,则预计当广告费用为 6万元时的销售额为( )7 .在 AABC 中，NABC =60 : BC = 2AB = 2 , E 为 AC 的中点，则 AB BE =()8 .古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了 “黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：(l)取线段AB=2,过点B 作AB 的垂线，1并用圆规在垂线上截取 BC=」AB,连接AC ； (2)以C 为圆心，BC 为半 2径画弧，交 AC 于点D; (3)以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交 AB 于点 E .则点E即为线段AB 的黄金分割点.若在线段 AB 上随必取一点F ,则 使得BE < AF < AE 的概率约为() (参考数据： 而2 2.236 )A. 0.236B. 0.382C. 0.472D. 0.618 9 .已知偶函数f(x)的图象经过点(-1,2),且当0Wa<b 时，不等式f (b)— f (a)v0恒成立，则 b - a使得f(x-1) <2成立的x 的取值范困是()A. (0,2)B. (-2,0)C.(—叱0)U (2,+s )D. (-« -2)U (0,-Hc )x 2 y 210 .已知直线y =kx(k 00)与双曲线 ――七=1(a A0,b A0)交于A,B 两点，以AB 为直径的圆恰 a b好经过双曲线的右焦点 F ,若 MBF 的面积为4a 2,则双曲线的离心率为( ) A.五 B. 33C. 2D.后11 .已知A, B,C 为球。
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广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）2019届高三第一次联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则∁A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用分式不等式的解法化简集合，从而求出集合的补集，利用指数函数的性质化简集合，由交集的定义可得结果.【详解】由，即，解得或，即，∁，解得，即，则∁，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足不属于集合且属于集合的元素的集合.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件得，利用复数的除法运算化简，求出，则共轭复数的虚部可求.【详解】，，共轭复数的共轭复数的虚部1故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：基本法，将等差数列前项和公式和通项公式代入到已知条件中，联立方程组解得和，即可求得答案.方法二：性质法，根据已知条件得，再根据，即可求得答案.【详解】方法一：基本法，数列等差数列，，，，整理得，解得方法二：性质法，，，，；；故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查等差数列的性质与前项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可得点在以原点为圆心以为半径的圆外，且在以为边长的正方形内，由几何概型概率公式可得结果.【详解】在区间上随机取两个实数，则点在以为边长的正方形内，因为，，则，因为，所以，点在以原点为圆心以为半径的圆外，且在以为边长的正方形内，所以，则的概率为，故选B.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5.已知直线的倾斜角为，直线与双曲线（）的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.6.在△中，为的中点，点满足，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的性质可得，，再由平面向量运算的“三角形法则”可得结果.【详解】因为为的中点，点满足，所以，，可得,故选A.【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．7.某几何体的三视图如右图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果. 【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换可得，依题意可知的最小值为，从而可得结论.【详解】，，周期，又存在实数，对任意实数总有成立，，的最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域：；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则A. B. C. D.【答案】D【分析】由及可得函数是以4为周期的函数，结合在上有，可得结果.【详解】函数的定义域是，关于原点对称，，函数是奇函数，，，函数是以4为周期的函数，，在上有，，，故选D.【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M的纵坐标，弦的长度为，即，整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在;（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知，三棱锥外接球的球心在过外接圆圆心的法线上，设，由题设条件可知，外接球半径，由此解得，从而求出外接球的半径及表面积. 【详解】如图，设中点为，过点作，，过点作垂足为，交于，则为外接圆的圆心，三棱锥外接球球心在直线上，设，，，且二面角的大小为，，，，，，，,在中，；在中，；外接球半径，，解得，外接球表面积故选D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面的求法，涉及到棱锥的结构特征、二面角的平面角、直角三角形的性质、勾股定理和球的简单性质等知识点，解题时要认真审题，注意合理地转化空间几何问题.12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定的最小值.【详解】①当时，类比写出②由①-②得，即.当时，，，③④③-④得，（常数），，的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用.1、已知数列的前项和与的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（2）当时，求出；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．2、错位相减法：若，其中是等差数列，是公比为的等比数列，那么这个数列的前项和即可用此法来求。
数列前项和，则，两式错位相减并整理即得.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若满足约束条件则的最大值为______________．【答案】25【解析】【分析】先根据约束条件绘制可行域，再根据表示可行域内点到原点的距离的平方，在可行域内确定最长距离，即可求得答案.【详解】可行域如图，表示可行域内点到原点距离的平方的最大值对应点A联立，解得所以的最大值为故答案为.【点睛】本题考查线性规划的距离型问题，线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14.若，则的展开式中常数项为______________．【答案】240【解析】【分析】先根据定积分运算法则求出，再根据展开式的通项公式，令的指数为，即可求得答案.【详解】展开式的通项公式为令，即.的展开式中，常数项是故答案为240.【点睛】本题考查定积分的计算和二项式定理的应用，利用二项展开式的通项公式求展开式中某项的系数是解题关键.15.已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则的值为______________．【答案】【解析】【分析】根据反射的特征，作点关于轴的对称点，则与圆相切，，利用两点距离公式、圆心到直线的距离等于半径和勾股定理，即可求出结果.【详解】点关于轴的对称点为，由反射的对称性可知，与圆相切，圆的圆心坐标为，半径；，故答案为.【点睛】本题考查直线与圆相切，点关于直线的对称，两点间距离和点到直线距离等，解题的关键是光线反射的特征和点关于直线对称性质的合理运用.16.已知函数满足，则的单调递减区间是______________．【答案】(-1,3)【解析】【分析】将与代入已知条件，求出，写出函数解析式，求导函数，令，解不等式即可求出单调递减区间.【详解】函数满足，，整理得，即，解得函数解析式为，令，解得的单调递减区间是故答案为.【点睛】本题考查运用待定系数法求函数的解析式，考查利用导数确定函数的单调区间，属于基本概念和基本方法的考查.三、解答题：共70分。