人教新课标版数学高二数学选修1-1练习2-2-1双曲线及其标准方程

技能演练
1.已知F1(－5,0)，F2(5,0)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹为()
A．双曲线和一条直线
B．双曲线的一支和一条直线
C．双曲线和一条射线
D．双曲线的一支和一条射线
解析当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，P的轨迹为双曲线的一支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2|，∴P的轨迹是一条射线．答案 D
2．若k∈R，则“k＞3”是“方程
x2
k－3
－
y2
k＋3
＝1表示双曲线”
的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
解析方程表示双曲线须(k－3)(k＋3)>0，即k>3，或k<－3，又“k>3”是“k>3”或“k<－3”的充分不必要条件．∴选A.
答案 A
3．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，则△ABF2的周长是()
A．16 B．18
C．21 D．26
解析 如图所示，由题意可知 |AF 1|＋2a ＝|AF 2|，|BF 1|＋2a ＝|BF 2|，
∴△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＋4a ＝2|AB |＋4a ＝26.故选D.
答案 D
4．已知双曲线x 26－y 2
3＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，
且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )
A.365
B.566
C.65
D.56
解析 由双曲线的方程知，a ＝6，b ＝3， ∴c ＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)． 将x ＝－3代入双曲线的方程得y 2＝3
2.
不妨设点M 在x 轴上方，则M (－3，
62
)．
∴|MF 1|＝62，|MF 2|＝56
2.
设点F 1到直线F 2M 的距离为d ， 则有12|MF 1|·|F 1F 2|＝12|MF 2|·d ，∴d ＝6
5.
答案 C
5．已知P 为双曲线x 225－y 2
9＝1上任意一点，A (5,0)，B (－5,0)，
则k PA ·k PB 为( )
A.3
5 B.53 C ．－925
D.925
解析 设P (x 0，y 0)，则x 2025－y 209＝1，∴y 2
0＝9(x 2
025－1)．
又k PA ·k PB ＝y 0x 0－5·y 0x 0＋5＝y 2
x 20－25
＝925(x 2
－25)x 20－25＝9
25.故选D.
答案 D
6．已知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是________．
答案 y 216－x 2
9
＝1
7．双曲线x 2m 2－4－y 2
m ＋1＝1的焦点在y 轴上，则m 的取值范围
是________．
解析
由题可知⎩⎨
⎧
m 2－4<0，
m ＋1<0，
∴－2<m <－1.
答案 (－2，－1)
8．双曲线x 23－y 2
6＝1的右焦点到渐近线的距离是________．
解析 由双曲线方程x 23－y 2
6＝1知，渐近线方程为y ＝±2x ，右
焦点为(3,0)，根据点到直线的距离公式可求得该距离为d ＝32
3
＝ 6.
答案
6
9．设双曲线x 24－y 2
9＝1，F 1，F 2是两个焦点，点M 在双曲线上，
若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积．
解 由题意知a 2＝4，b 2＝9，∴c 2＝13. 设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，
则由双曲线定义知|r 1－r 2|＝2a ＝4，
∴(r 1－r 2)2＝r 21＋r 2
2－2r 1r 2＝16. ①
又∵∠F 1MF 2＝90°，
∴r 21＋r 22＝|F 1F 2|2＝4c 2＝52. ②
∴由①②得r 1r 2＝18. ∴S △F 1MF 2＝1
2
r 1r 2＝9.
10．设A ，B ，C 三点是红方三个炮兵阵地，A 在B 正东6 km 处，C 在B 北偏西30°，相距4 km 处，P 为蓝方炮兵阵地．某时刻A
处发现蓝方炮兵阵地的某种信号，由于B ，C 两地比A 地距P 地远，因此4 s 后，B ，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方位角．
解
如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则B (－3，0)，A (3,0)，C (－5，23)．
∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上． ∵k BC ＝－3，BC 中点为D (－4，3)， ∴直线PD ：y －3＝
1
3
(x ＋4)．① 又|PB |－|PA |＝4，故P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，则双曲线方程为x 24－y 2
5
＝1(x ≥2)．②
联立①②式，得x ＝8，y ＝53，∴P (8,53)． 因此k PA ＝53
8－3＝ 3.
故炮击的方位角为北偏东30°.
感悟高考
1.(2010·安徽)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A ．(2
2，0)
B ．(5
2，0)
C ．(
6
2
，0) D ．(3，0)
解析 由双曲线方程可知a 2
＝1，b 2
＝12，∴c 2
＝32.∴c ＝62，故右
焦点坐标为(6
2
，0)．
答案 C
2．(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 24－y 2
12＝1上
一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是________．
解析 由题可知M 的坐标为(3，±15)，右焦点F (4,0)，∴|MF |＝
(3－4)2＋15＝4. 答案 4。